高一数学月考卷01（人教A版2019，测试范围：必修第二册第六章～第九章）-学易金卷：2024-2025学年高中下学期第三次月考

2024-2025学年高一数学下学期第三次月考卷01 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版2019必修第二册第六章--第九章。 （第六章 平面向量及其应用、第七章 复数、第八章 立体几何初步、第九章统计） 5．难度系数：0.7。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若复数的实部为0，则实数的值为（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【解析】依题意， 由的实部为0，，得. 故选C 2．某工厂利用随机数表对生产的 50 个零件进行抽样测试， 先将 50 个零件进行编号， 编号分别为 01， 02， ......， 50. 从中抽取 5 个样本，下面提供随机数表的第 1 行到第 2 行: 66  67  40  37  14  64  05  71  11  05  65  09  95  86  68  76  83  20  37  90 57  16  03  11  63  14  90  84  45  21  75  73  88  05  90  52  23  59  43  10 若从表中第 1 行第 7 列开始向右依次读取数据， 则得到的第5个样本编号是 （    ）. A．09 B．05 C．65 D．71 【答案】A 【解析】第一行第7列为3，依次往右读，37，14，05，11，09. 09为第5个样本编号， 故选A 3．为了了解高一、高二、高三学生的身体状况，现用比例分配分层随机抽样的方法抽出一个容量为1500的样本，三个年级学生数之比依次为，已知高一年级共抽取了300人，则高三年级抽取的人数为（   ） A．750 B．300 C．450 D．150 【答案】A 【解析】由题意可得：解得：， 所以高三年级抽取的人数为. 故选A 4．已知向量，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】在上的投影向量是， 故选B. 5．如图，三棱锥中，均为正三角形，为直角三角形，斜边为，为的中点，则直线所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】取的中点，连接，易得， 则，所成的角即为直线所成的角. 设，因为均为正三角形，为直角三角形，斜边为， 则，，， 在中，由余弦定理，得， 所以直线所成角的余弦值为. 故选B. 6．已知向量，若与的夹角为锐角，则实数的取值范围为（    ） A． B．且 C． D．且 【答案】D 【解析】向量，则， 由与的夹角为锐角，得，且与不共线， 因此，解得且， 所以实数的取值范围为且. 故选D 7．如图，在正方体中，，，分别是棱，的中点，则正方体被平面所截得的截面周长是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【解析】在正方体中，取的中点，的中点，连接，    由是的中点，得，则四边形为平行四边形， ，由是的中点，得， 梯形是正方体被平面所截得的截面， ，， 所以所求截面的周长是. 故选B 8．根据最新版“气候季节划分”标准规定：如果连续5天的日平均气温都低于且大于或等于即为秋季.现将连续5天的日平均气温（单位：）记录数据（记录数据都是自然数）作为一组样本，则下列描述中，该组数据一定符合秋季标准的是（    ） A．平均数小于16且中位数小于或等于15 B．平均数等于16且极差小于或等于3 C．平均数小于16且标准差小于或等于4 D．众数等于18且极差小于或等于4 【答案】B 【解析】对于A，举出反例：，其平均数为15.8，中位数为14，但不符合秋季标准，故A错误； 对于B，假设有数据大于或等于22，由极差小于或等于3可知，此组数据的最小值大于或等于19，与平均数等于16矛盾，假设不成立， 同理，若有数据小于10也不成立，故B正确； 对于C，举出反例：，此组数据平均数为15，且标准差为4，但不符合秋季标准，故C错误； 对于D，举出反例：，此组数据众数等于18且极差等于4，但不符合秋季标准，故D错误. 故选B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知直线和平面，则下列命题中正确的有（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】AC 【解析】对于A，若，则，故A正确； 对于B，若，则或，故B错误； 对于C，若，则存在直线使得， 又因为若，所以， 又，所以，故C正确； 对于D，若，则平行或相交，故D错误. 故选AC. 10．在中，若，，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】由题意知，，，由正弦定理得， 故， 结合，可知，故或， 当时，，则， 当时，，则， 故选AC 11．有一组样本数据、、、，其平均数、中位数、方差、极差分别记为、、、，由这组数据得到新样本数据、、、，其中，其平均数、中位数、方差、极差分别记为、、、，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【解析】对于A选项，由平均数的性质可得，A对； 对于B选项，不妨设， 若为奇数，设，则数据、、、的中位数为， 若，新样本数据由小到大依次为、、、， 这组数据的中位数为； 当，新样本数据由小到大依次为、、、， 这组数据的中位数为； 若为偶数，同理可知，，B对； 对于C选项，由方差的性质可得，C对； 对于D选项，若、是、、、中最大值、最小值， 当时，则为、、、中的最大值， 为、、、中的最小值， 此时，； 当时，则为、、、中的最小值， 为、、、中的最大值， 此时，，D错. 故选ABC. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知向量，，若，则实数 ． 【答案】 【解析】由，则，解得. 故答案为：. 13．已知公式，其中是虚数单位，根据此公式计算的虚部是 . 【答案】/ 【解析】由题意得，， ∴， ∴的虚部是. 故答案为：. 14．已知正六棱锥的高为，它的外接球的表面积是．若在此正六棱锥内放一个正方体，使正方体可以在该正六棱锥内任意转动，则正方体的棱长的最大值为 ． 【答案】 【解析】设外接球的半径为，则，． 设正六棱锥的底面边长为，则，， 即正六棱锥的底面边长为1，侧棱长为2． 正六棱锥的底面积． 侧面面积． 正六棱锥的体积． 设正六棱锥的内切球的半径为， 则． ． 设正方体的棱长为，则，． 正方体的棱长的最大值为． 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 如图，在四棱锥中，底面是边长为1的正方形，底面，，点在棱上，平面． (1)试确定点的位置，并说明理由； (2)求四棱锥的表面积． 【解析】（1）点为的中点．理由如下：如图，连接．设， 则点O为的中点，连接．∵ 平面，平面， 平面平面，∴ ． 在中，∵ O为的中点，∴为的中位线， ∴ 点为的中点． （2）⊥底面，又底面是边长为1的正方形， ∴，因为底面，又平面， 则，即直角三角形，又， 则， 则，又， 则为直角三角形，则. 综上四棱锥的表面积为. 16．（15分） 某学校举办了一场党史知识竞赛活动，共有名学生参加了此次竞赛活动.为了解本次竞赛活动的得分情况，从中抽取了名学生的得分（得分均为整数，满分为分）进行统计，所有学生的得分都不低于分，将这名学生的得分进行分组，第一组，第二组，第三组，第四组，得到如下的频率分布直方图. (1)求图中的值，并估计此次竞赛活动中学生得分的第百分位数； (2)根据频率分布直方图，估计此次竞赛活动学生得分的平均值.若对得分不低于平均值的同学进行奖励，请估计在参赛的名学生中有多少名学生获奖. 【解析】（1）由频率分布直方图知：，解得：； 设此次竞赛活动学生得分的第百分位数为分， 数据落在内的频率为，落在内的频率为，， ，解得：， 即此次竞赛活动学生得分的第百分位数为分. （2）由频率分布直方图及（1）知：数据落在，，，的频率分别为，，，， 此次竞赛活动学生得分的平均值， 此次竞赛活动学生得分不低于分的频率为， 在参赛的名学生中，估计有名学生获奖. 17．（15分） 设内角所对的边分别为，已知，且． (1)求的面积； (2)若为角的平分线，交于，求的长度． 【解析】（1）由余弦定理可得：，即， 因为，，所以， 所以； （2）因为为角的平分线，所以 因为， 所以，而， 所以. 18．（17分） 为纪念五四青年运动105周年，进一步激励广大团员青年继承和发扬五四精神，宁波市教育局组织中小学开展形式多样、内容丰富、彰显青年时代风貌的系列主题活动．某中学开展“读好红色经典，争做强国少年”经典知识竞赛答题活动，现从该校参加竞赛的全体学生中随机选取100份学生的答卷作为样本，所有得分都分布在，将得分数据按照，，…，分成7组，得到如图所示的频率分布直方图． (1)估计该中学参加竞赛学生成绩的平均分（注：同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； (2)估计该中学参加竞赛学生成绩的第75百分位数（结果精确到0.1）； (3)若竞赛得分100分及以上的学生视为“强国少年”．根据选取的100份答卷数据统计；竞赛得分在内学生的平均分和方差分别为110和9，竞赛得分在内学生的平均分和方差分别为128和6，请估计该中学“强国少年”得分的方差． 【解析】（1）（分）， 据此估计该校参加竞赛学生成绩的平均分约为69分． （2）前4组频率和为，第5组频率为，故第75百分位数在内，即第75百分位数为（分）． 据此估计该校参加竞赛学生成绩的第75百分位数约为86.7分． （3）竞赛得分在内学生的答卷数为；分数记为，其平均数记为，方差记为； 竞赛得分在内学生的答卷数为；分数记为，其平均数记为，方差记为； 把“强国少年”得分的平均数记为，方差记为．根据方差的定义，总样本方差为： ．（*） 由，，根据按比例分配分层随机抽样总样本平均数与各层样本平均数的关系，可得总样本平均数为：． 把已知的平均数和方差的取值代入（*）可得：． 据此估计该学校“强国少年”得分的方差约为80． 19．（17分） 在三棱柱中，侧面平面分别为的中点.    (1)求证：平面； (2)若二面角的大小为，求证：与不垂直； (3)若，求与平面所成角的正弦值的取值范围. 【解析】（1）    取中点，连接， 在中，分别是的中点，所以， 又是的中点，所以，所以， 所以四边形为平行四边形，所以， 因为平面平面，所以平面. （2）    假设， 因为侧面平面，侧面平面， 平面，所以侧面， 因为侧面，所以， 所以二面角的平面角为，所以， 又侧面，所以， 因为平面， 所以平面. 因为平面，所以， 由（1）知，所以. 在平行四边形中，， 所以， 所以，所以， 所以，与矛盾，所以与不垂直. （3）解法一：    作于点，作于点，连接， 由侧面侧面，得， 又平面，所以平面. 所以，又， 所以平面，所以， 在，，中， ， 因为， 所以， 因为，所以， 又]，所以， 所以，所以， 取中点，所以，所以， 所以四点共面， 连接，因为， 所以， 由（2）知侧面，所以平面侧面， 平面侧面侧面，所以平面， 所以与平面所成角为， 在等腰中，， 由，得， 连接，在中，，所以， 所以与平面所成角正弦值的取值范围为. 解法二：      设点到平面的距离为， 因为平面， 所以. 由（1）（2）知侧面， 所以， 因为， 所以， ， 所以，即， 所以. 设与平面所成角为，则. 作A1P⊥AC于点P，作PQ⊥AB于点Q，连接A1Q， 由侧面侧面，得， 又平面，所以平面. 所以，又，所以平面，所以， 在，，中， ， 因为， 所以， 因为，所以， 又]，所以， 所以，所以，即， 所以， 所以与平面所成角正弦值的取值范围为. 16 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高一数学下学期第三次月考卷01 参考答案 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 C A A B B D B B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 AC AC ABC 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12． 13．/ 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 【答案】(1)点为的中点，理由见解析； (2) 【知识点】棱锥表面积的有关计算、补全线面平行的条件 【分析】（1）连接，然后由线面平行性质可得答案； （2）分别计算各个面的表面积可得答案. 【详解】（1）点为的中点． （1分） 理由如下：如图，连接．设， 则点O为的中点， （2分） 连接．∵ 平面，平面， 平面平面，∴ ． （4分） 在中，∵ O为的中点，∴为的中位线， ∴ 点为的中点． （5分） （2） ⊥底面，又底面是边长为1的正方形， ∴， （6分） 因为底面，又平面， 则，即直角三角形，又，（8分） 则， 则， （10分） 又， 则为直角三角形，则. （12分） 综上四棱锥的表面积为. （13分） 16．（15分） 【答案】(1)，第百分位数为分 (2)平均值为分，名学生获奖 【知识点】由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量、总体百分位数的估计、补全频率分布直方图、由频率分布直方图估计平均数 【分析】（1）根据频率和为可求得；由频率分布直方图估计百分位数的方法可求得结果； （2）根据频率分布直方图估计平均值的方法可求得，进而估计得到得分不低于平均值的频率，由频率和频数关系可求得估计值. 【详解】（1）由频率分布直方图知：，解得：；（2分） 设此次竞赛活动学生得分的第百分位数为分， 数据落在内的频率为，落在内的频率为，，（4分） ，解得：，（6分） 即此次竞赛活动学生得分的第百分位数为分.（7分） （2）由频率分布直方图及（1）知：数据落在，，，的频率分别为，，，， （8分） 此次竞赛活动学生得分的平均值，（12分） 此次竞赛活动学生得分不低于分的频率为，（14分） 在参赛的名学生中，估计有名学生获奖.（15分） 17．（15分） 【答案】(1) (2) 【知识点】三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形 【分析】（1）由，，结合余弦定理化简得，再根据三角形面积计算公式计算即可； （2）根据及，化简计算即可. 【详解】（1）由余弦定理可得：，即，（2分） 因为，，所以，（4分） 所以；（6分） （2）因为为角的平分线，所以（7分） 因为，（10分） 所以，而，（14分） 所以. （15分） 18．（17分） 【答案】(1)分 (2)分 (3) 【知识点】估计总体的方差、标准差、总体百分位数的估计、由频率分布直方图估计平均数 【分析】（1）根据平均数的公式求出即可． （2）先估计第75百分位数在内，后按求百分位数的方法求解第75百分位数即可． （3）算出竞赛得分在内学生的答卷数为；分数记为，其平均数记为，方差记为；算出竞赛得分在内学生的答卷数为；分数记为，其平均数记为，方差记为；把“强国少年”得分的平均数记为，方差记为．用分层随机抽样总样本平均数、方差与各层样本平均数、方差的关系式求解即可． 【详解】（1）（分）， 据此估计该校参加竞赛学生成绩的平均分约为69分．（4分） （2）前4组频率和为，第5组频率为，故第75百分位数在内，即第75百分位数为（分）． 据此估计该校参加竞赛学生成绩的第75百分位数约为86.7分．（7分） （3）竞赛得分在内学生的答卷数为；分数记为，其平均数记为，方差记为；（8分） 竞赛得分在内学生的答卷数为；分数记为，其平均数记为，方差记为；（9分） 把“强国少年”得分的平均数记为，方差记为．根据方差的定义，总样本方差为： ．（*）（11分） 由，，根据按比例分配分层随机抽样总样本平均数与各层样本平均数的关系，可得总样本平均数为：．（14分） 把已知的平均数和方差的取值代入（*）可得：．（16分） 据此估计该学校“强国少年”得分的方差约为80．（17分） 19．（17分） 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【知识点】证明线面平行、面面垂直证线面垂直、线面垂直证明线线垂直 【分析】（1）根据线面平行的判定定理即可证明； （2）根据侧面平面，得侧面，所以，然后证明，又因为，通过反证法即可说明假设不成立； （3）根据（1）（2），解法一结合直角三角形的正余弦定义，解法二结合等积法即可证明. 【详解】（1）    取中点，连接， 在中，分别是的中点，所以， 又是的中点，所以，所以，（1分） 所以四边形为平行四边形，所以，（2分） 因为平面平面，所以平面.（3分） （2）    假设， 因为侧面平面，侧面平面， 平面，所以侧面，（4分） 因为侧面，所以，（5分） 所以二面角的平面角为，所以，（6分） 又侧面，所以， 因为平面， 所以平面.（7分） 因为平面，所以， 由（1）知，所以. 在平行四边形中，， 所以， 所以，所以，（8分） 所以，与矛盾，所以与不垂直.（9分） （3）解法一：    作于点，作于点，连接， 由侧面侧面，得， 又平面，所以平面. 所以，又， 所以平面，所以，（11分） 在，，中， ， 因为， 所以， 因为，所以， 又]，所以， 所以，所以，（13分） 取中点，所以，所以， 所以四点共面， 连接，因为， 所以，（14分） 由（2）知侧面，所以平面侧面， 平面侧面侧面，所以平面， 所以与平面所成角为， 在等腰中，，（15分） 由，得，（16分） 连接，在中，，所以， 所以与平面所成角正弦值的取值范围为.（17分） 解法二：      设点到平面的距离为， 因为平面， 所以. 由（1）（2）知侧面， 所以， 因为， 所以， ， 所以，即， 所以. 设与平面所成角为，则. 作A1P⊥AC于点P，作PQ⊥AB于点Q，连接A1Q， 由侧面侧面，得， 又平面，所以平面. 所以，又，所以平面，所以， 在，，中， ， 因为， 所以， 因为，所以， 又]，所以， 所以，所以，即， 所以， 所以与平面所成角正弦值的取值范围为. 【点睛】本题考查空间中点､线､面之间的位置关系，线面角､二面角等基本知识；考查空间想象､推理论证､运算求解等能力，考查化归与转化､数形结合等数学思想. 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2024-2025学年高一数学下学期第三次月考卷01 答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高一数学下学期第三次月考卷01 （考试时间：120分钟 分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版2019必修第二册第六章--第九章。 5．难度系数：0.7。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若复数的实部为0，则实数的值为（   ） A． B．0 C．1 D．2 2．某工厂利用随机数表对生产的 50 个零件进行抽样测试， 先将 50 个零件进行编号， 编号分别为 01， 02， ......， 50. 从中抽取 5 个样本，下面提供随机数表的第 1 行到第 2 行: 66  67  40  37  14  64  05  71  11  05  65  09  95  86  68  76  83  20  37  90 57  16  03  11  63  14  90  84  45  21  75  73  88  05  90  52  23  59  43  10 若从表中第 1 行第 7 列开始向右依次读取数据， 则得到的第5个样本编号是 （    ）. A．09 B．05 C．65 D．71 3．为了了解高一、高二、高三学生的身体状况，现用比例分配分层随机抽样的方法抽出一个容量为1500的样本，三个年级学生数之比依次为，已知高一年级共抽取了300人，则高三年级抽取的人数为（   ） A．750 B．300 C．450 D．150 4．已知向量，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 5．如图，三棱锥中，均为正三角形，为直角三角形，斜边为，为的中点，则直线所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 6．已知向量，若与的夹角为锐角，则实数的取值范围为（    ） A． B．且 C． D．且 7．如图，在正方体中，，，分别是棱，的中点，则正方体被平面所截得的截面周长是（    ）    A． B． C． D． 8．根据最新版“气候季节划分”标准规定：如果连续5天的日平均气温都低于且大于或等于即为秋季.现将连续5天的日平均气温（单位：）记录数据（记录数据都是自然数）作为一组样本，则下列描述中，该组数据一定符合秋季标准的是（    ） A．平均数小于16且中位数小于或等于15 B．平均数等于16且极差小于或等于3 C．平均数小于16且标准差小于或等于4 D．众数等于18且极差小于或等于4 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知直线和平面，则下列命题中正确的有（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 10．在中，若，，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 11．有一组样本数据、、、，其平均数、中位数、方差、极差分别记为、、、，由这组数据得到新样本数据、、、，其中，其平均数、中位数、方差、极差分别记为、、、，则（    ） A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知向量，，若，则实数 ． 13．已知公式，其中是虚数单位，根据此公式计算的虚部是 . 14．已知正六棱锥的高为，它的外接球的表面积是．若在此正六棱锥内放一个正方体，使正方体可以在该正六棱锥内任意转动，则正方体的棱长的最大值为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 如图，在四棱锥中，底面是边长为1的正方形，底面，，点在棱上，平面． (1)试确定点的位置，并说明理由； (2)求四棱锥的表面积． 16．（15分） 某学校举办了一场党史知识竞赛活动，共有名学生参加了此次竞赛活动.为了解本次竞赛活动的得分情况，从中抽取了名学生的得分（得分均为整数，满分为分）进行统计，所有学生的得分都不低于分，将这名学生的得分进行分组，第一组，第二组，第三组，第四组，得到如下的频率分布直方图. (1)求图中的值，并估计此次竞赛活动中学生得分的第百分位数； (2)根据频率分布直方图，估计此次竞赛活动学生得分的平均值.若对得分不低于平均值的同学进行奖励，请估计在参赛的名学生中有多少名学生获奖. 17．（15分） 设内角所对的边分别为，已知，且． (1)求的面积； (2)若为角的平分线，交于，求的长度． 18．（17分） 为纪念五四青年运动105周年，进一步激励广大团员青年继承和发扬五四精神，宁波市教育局组织中小学开展形式多样、内容丰富、彰显青年时代风貌的系列主题活动．某中学开展“读好红色经典，争做强国少年”经典知识竞赛答题活动，现从该校参加竞赛的全体学生中随机选取100份学生的答卷作为样本，所有得分都分布在，将得分数据按照，，…，分成7组，得到如图所示的频率分布直方图． (1)估计该中学参加竞赛学生成绩的平均分（注：同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； (2)估计该中学参加竞赛学生成绩的第75百分位数（结果精确到0.1）； (3)若竞赛得分100分及以上的学生视为“强国少年”．根据选取的100份答卷数据统计；竞赛得分在内学生的平均分和方差分别为110和9，竞赛得分在内学生的平均分和方差分别为128和6，请估计该中学“强国少年”得分的方差． 19．（17分） 在三棱柱中，侧面平面分别为的中点.    (1)求证：平面； (2)若二面角的大小为，求证：与不垂直； (3)若，求与平面所成角的正弦值的取值范围. 6 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2024-2025学年高一数学下学期第三次月考卷01 （考试时间：120分钟 分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版2019必修第二册第六章--第九章。 5．难度系数：0.7。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若复数的实部为0，则实数的值为（   ） A． B．0 C．1 D．2 2．某工厂利用随机数表对生产的 50 个零件进行抽样测试， 先将 50 个零件进行编号， 编号分别为 01， 02， ......， 50. 从中抽取 5 个样本，下面提供随机数表的第 1 行到第 2 行: 66  67  40  37  14  64  05  71  11  05  65  09  95  86  68  76  83  20  37  90 57  16  03  11  63  14  90  84  45  21  75  73  88  05  90  52  23  59  43  10 若从表中第 1 行第 7 列开始向右依次读取数据， 则得到的第5个样本编号是 （    ）. A．09 B．05 C．65 D．71 3．为了了解高一、高二、高三学生的身体状况，现用比例分配分层随机抽样的方法抽出一个容量为1500的样本，三个年级学生数之比依次为，已知高一年级共抽取了300人，则高三年级抽取的人数为（   ） A．750 B．300 C．450 D．150 4．已知向量，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 5．如图，三棱锥中，均为正三角形，为直角三角形，斜边为，为的中点，则直线所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 6．已知向量，若与的夹角为锐角，则实数的取值范围为（    ） A． B．且 C． D．且 7．如图，在正方体中，，，分别是棱，的中点，则正方体被平面所截得的截面周长是（    ）    A． B． C． D． 8．根据最新版“气候季节划分”标准规定：如果连续5天的日平均气温都低于且大于或等于即为秋季.现将连续5天的日平均气温（单位：）记录数据（记录数据都是自然数）作为一组样本，则下列描述中，该组数据一定符合秋季标准的是（    ） A．平均数小于16且中位数小于或等于15 B．平均数等于16且极差小于或等于3 C．平均数小于16且标准差小于或等于4 D．众数等于18且极差小于或等于4 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知直线和平面，则下列命题中正确的有（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 10．在中，若，，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 11．有一组样本数据、、、，其平均数、中位数、方差、极差分别记为、、、，由这组数据得到新样本数据、、、，其中，其平均数、中位数、方差、极差分别记为、、、，则（    ） A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知向量，，若，则实数 ． 13．已知公式，其中是虚数单位，根据此公式计算的虚部是 . 14．已知正六棱锥的高为，它的外接球的表面积是．若在此正六棱锥内放一个正方体，使正方体可以在该正六棱锥内任意转动，则正方体的棱长的最大值为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 如图，在四棱锥中，底面是边长为1的正方形，底面，，点在棱上，平面． (1)试确定点的位置，并说明理由； (2)求四棱锥的表面积． 16．（15分） 某学校举办了一场党史知识竞赛活动，共有名学生参加了此次竞赛活动.为了解本次竞赛活动的得分情况，从中抽取了名学生的得分（得分均为整数，满分为分）进行统计，所有学生的得分都不低于分，将这名学生的得分进行分组，第一组，第二组，第三组，第四组，得到如下的频率分布直方图. (1)求图中的值，并估计此次竞赛活动中学生得分的第百分位数； (2)根据频率分布直方图，估计此次竞赛活动学生得分的平均值.若对得分不低于平均值的同学进行奖励，请估计在参赛的名学生中有多少名学生获奖. 17．（15分） 设内角所对的边分别为，已知，且． (1)求的面积； (2)若为角的平分线，交于，求的长度． 18．（17分） 为纪念五四青年运动105周年，进一步激励广大团员青年继承和发扬五四精神，宁波市教育局组织中小学开展形式多样、内容丰富、彰显青年时代风貌的系列主题活动．某中学开展“读好红色经典，争做强国少年”经典知识竞赛答题活动，现从该校参加竞赛的全体学生中随机选取100份学生的答卷作为样本，所有得分都分布在，将得分数据按照，，…，分成7组，得到如图所示的频率分布直方图． (1)估计该中学参加竞赛学生成绩的平均分（注：同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； (2)估计该中学参加竞赛学生成绩的第75百分位数（结果精确到0.1）； (3)若竞赛得分100分及以上的学生视为“强国少年”．根据选取的100份答卷数据统计；竞赛得分在内学生的平均分和方差分别为110和9，竞赛得分在内学生的平均分和方差分别为128和6，请估计该中学“强国少年”得分的方差． 19．（17分） 在三棱柱中，侧面平面分别为的中点.    (1)求证：平面； (2)若二面角的大小为，求证：与不垂直； (3)若，求与平面所成角的正弦值的取值范围. 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第1页（共6页） 试题 第2页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$