第38期《平行四边形》章节检测卷-【数理报】2024-2025学年八年级下册数学学案（华东师大版）

书 答案详解 　　　　　　　２０２４～２０２５学年　初中数学·华东师大八年级　第３６～３９期　　　　　　　 ３６期１，２版 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０１１１２ 答案 Ｄ Ａ Ｄ Ｃ Ａ Ｃ Ｃ Ｄ Ｄ Ｃ Ｂ Ｂ 二、１３．－１；　１４．＜；　１５．ａ＜２２且ａ≠－２； １６．－６． 三、１７．（１）－４．　（２）ｘ＝ ３５． １８．原式 ＝ ２ｘ－３．因为ｘ≠２且ｘ≠３，所以ｘ＝４．当ｘ＝ ４时，原式 ＝２． １９．设ｙ与ｘ的函数表达式为ｙ＝ｋｘ＋ｂ．将（２０，３６０），（３０， ６０）代入，得 ２０ｋ＋ｂ＝３６０， ３０ｋ＋ｂ＝６０{ ．解得 ｋ＝－３０， ｂ＝９６０{ ．所以 ｙ与 ｘ的函 数表达式为ｙ＝－３０ｘ＋９６０（０＜ｘ≤３２）．根据题意，得 －３０ｘ ＋９６０＝３００．解得ｘ＝２２． 答：每件商品的销售价格应定为２２元． ２０．（１）根据题意，得２ｍ－４＝０．解得ｍ＝２．所以３ｍ＋１ ＝７．所以点Ｐ的坐标为（０，７）． （２）根据题意，得３ｍ＋１＝－２．解得ｍ＝－１．所以２ｍ－４ ＝－６．所以点Ｐ的坐标为（－６，－２）． ２１．（１）设村民每天采摘茶叶ｘ吨，则志愿者服务队每天采 摘茶叶１．５ｘ吨． 根据题意，得 ４ ｘ＋ ２４－４ ｘ＋１．５ｘ＝１５．解得ｘ＝０．８． 经检验，ｘ＝０．８是原分式方程的解，且符合题意． 答：村民每天采摘茶叶０．８吨． （２）原计划村民完成采摘需要的天数为：２４０．８＝３０，所需劳 务费为：２０００×３０＝６００００（元）． 志愿者服务队工作的天数为： ２４－４ ０．８＋０．８×１．５＝１０，村民 工作了 １５天，所以实际花费为：２０００×１５＋５００×１０＝ ３５０００（元）． ６００００－３５０００＝２５０００（元）． 答：志愿者服务队加入后可帮助合作社节省２５０００元． ２２．（１）将Ａ（ｍ，２）代入ｙ＝ｘ＋１，得ｍ＋１＝２．解得ｍ＝ １．所以Ａ（１，２）．把Ａ（１，２）代入ｙ＝ ｋｘ，得ｋ＝２．所以反比例 函数的表达式为ｙ＝ ２ｘ． （２）解 ｙ＝ｘ＋１， ｙ＝２ｘ { ， 得 ｘ＝－２，ｙ＝－１{ ．所以Ｂ（－２，－１）．观察图象， 得关于ｘ的不等式ｘ＋１＞ ｋｘ的解集是 －２＜ｘ＜０或ｘ＞１． （３）记ｙ＝ｘ＋１交ｙ轴于点Ｃ，则Ｃ（０，１）．所以ＯＣ＝１． 所以Ｓ△ＡＯＢ ＝Ｓ△ＡＯＣ ＋Ｓ△ＢＯＣ ＝ １ ２ＯＣ·（ｘＡ－ｘＢ）＝ ３ ２．因为 △ＡＯＢ的面积是 △ＡＯＰ面积的一半，所以 Ｓ△ＡＯＰ ＝３．所以 １ ２｜ＯＰ｜·ｙＡ ＝３，即 １ ２｜ＯＰ｜×２＝３．解得｜ＯＰ｜＝３．所以 点Ｐ的坐标为（－３，０）或（３，０）． ３６期３，４版 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０１１１２ 答案 Ｂ Ａ Ｃ Ｂ Ｄ Ａ Ｄ Ｄ Ａ Ｃ Ｂ Ｃ 二、１３．３；　１４．２；　１５．１∶５；　１６．－９． 三、１７．（１） ３ｘ－ｙ．　（２）无解． １８．设这款电动汽车平均每公里的充电费为ｘ元． 根据题意，得 ２００ ｘ ＝ ２００ ｘ＋０．６×４．解得ｘ＝０．２． 经检验，ｘ＝０．２是原分式方程的解，且符合题意． 答：这款电动汽车平均每公里的充电费为０．２元． １９．（１）由图象，得该反比例函数过点（２，５００），在第一象 限，所以ｋ＝２×５００＝１０００．所以该反比例函数的表达式为ｐ ＝１０００Ｓ （Ｓ＞０）． （２）当ｐ＝８０００Ｐａ时，８０００＝１０００Ｓ ．解得Ｓ＝０．１２５．由 图象可知，ｐ随Ｓ的增大而减小．所以当 ｐ≤８０００Ｐａ时，Ｓ≥ ０．１２５ｍ２． 答：选用的木板面积至少要０．１２５ｍ２． ２０．（１）一元一次方程３－２（１－ｘ）＝４ｘ与分式方程２ｘ＋１２ｘ－１ －１＝ ４ ４ｘ２－１ 不是“相似方程”．理由如下： 解３－２（１－ｘ）＝４ｘ，得ｘ＝１２．解 ２ｘ＋１ ２ｘ－１－１＝ ４ ４ｘ２－１ ， 得ｘ＝ １２．检验：当ｘ＝ １ ２时，（２ｘ＋１）（２ｘ－１）＝０．所以原 分式方程无解．所以一元一次方程３－２（１－ｘ）＝４ｘ                                                         与分式方 —１— 初中数学·华东师大八年级　第３６～３９期 程 ２ｘ＋１ ２ｘ－１－１＝ ４ ４ｘ２－１ 不是“相似方程”． （２）由题意，得两个方程有相同的整数解，所以ｍｘ＋６＝ｘ ＋４ｍ．化简，得（ｍ－１）ｘ＝４ｍ－６．当ｍ－１＝０时，方程无解； 当 ｍ－１≠０，即ｍ≠１时，ｘ＝４ｍ－６ｍ－１，即ｘ＝４－ ２ ｍ－１．因为 ｘ，ｙ均为整数，所以ｍ－１＝１或２或 －１或 －２．又因为ｍ为正 整数，所以ｍ＝２或３． ２１．（１）把ｙ＝２代入ｙ＝－１２ｘ，得ｘ＝－４．所以Ａ（－４， ２）．把Ａ（－４，２）代入ｙ＝ ｋｘ，得 ｋ＝－８．所以反比例函数的表 达式为ｙ＝－８ｘ． （２）由题意，得Ｂ（４，－２）．根据图象，得 －１２ｘ＞ ｋ ｘ的解 集为ｘ＜－４或０＜ｘ＜４． （３）设平移后的直线ｌ２与ｘ轴交于点 Ｄ，连结 ＡＤ，ＢＤ，图 略．因为ＣＤ∥ＡＢ，所以Ｓ△ＡＢＤ ＝Ｓ△ＡＯＤ ＋Ｓ△ＢＯＤ ＝Ｓ△ＡＢＣ ＝３０， 即 １ ２ＯＤ·（ｙＡ－ｙＢ）＝３０．解得ＯＤ＝１５．所以Ｄ（１５，０）．设平 移后的直线ｌ２的函数表达式为 ｙ＝－ １ ２ｘ＋ｂ．把 Ｄ（１５，０）代 入，得０＝－１２×１５＋ｂ．解得ｂ＝ １５ ２．所以平移后的直线ｌ２的 函数表达式为ｙ＝－１２ｘ＋ １５ ２． ２２．（１）把Ｐ（４，ｔ）代入ｙ＝ ３４ｘ＋６，得ｔ＝９．所以Ｐ（４， ９）．把Ａ（１６，０），Ｐ（４，９）代入ｙ＝ｋｘ＋ｂ，得 １６ｘ＋ｂ＝０， ４ｋ＋ｂ＝９{ ．解得 ｋ＝－３４， ｂ＝１２ { ． 所以直线ｌ２的函数表达式为ｙ＝－ ３ ４ｘ＋１２． （２）①令ｙ＝０，则ｙ＝ ３４ｘ＋６＝０．解得 ｘ＝－８．所以 Ｃ（－８，０）．因为点Ｑ的横坐标为ｍ，所以Ｍ（ｍ，－３４ｍ＋１２）， Ｎ（ｍ，３４ｍ＋６）．所以ＭＮ＝｜－ ３ ４ｍ＋１２－（ ３ ４ｍ＋６）｜＝｜－ ３ ２ｍ ＋６｜． ②当点Ｎ是ＭＱ的中点时，则ＭＱ＝２ＮＱ．所以－３４ｍ＋１２ ＝２（３４ｍ＋６）．解得ｍ＝０． 当点Ｍ是 ＮＱ的中点时，则 ＮＱ＝２ＭＱ．所以 ３４ｍ＋６＝ ２（－３４ｍ＋１２）．解得ｍ＝８． 不存在点Ｑ是ＭＮ中点的情况． 综上所述，ｍ的值是０或８． ３７期２版 １８．１平行四边形的性质 基础训练　１．Ａ；　２．Ｃ；　３．Ｃ；　４．１．５． ５．因为四边形ＡＢＣＤ是平行四边形，∠Ｂ＝６０°，所以ＡＤ∥ ＢＣ，∠Ｄ＝∠Ｂ＝６０°．所以∠ＢＡＤ＝１８０°－∠Ｂ＝１２０°．因为ＡＥ ⊥ＢＣ，ＡＦ⊥ＣＤ，所以∠ＡＥＢ＝∠ＡＦＤ＝９０°．所以∠ＢＡＥ＝９０° －∠Ｂ＝３０°，∠ＤＡＦ＝９０°－∠Ｄ＝３０°．所以∠ＥＡＦ＝∠ＢＡＤ －∠ＢＡＥ－∠ＤＡＦ＝６０°． ６．因为四边形ＡＢＣＤ是平行四边形，所以ＡＢ＝ＣＤ，ＢＣ＝ ＡＤ，∠ＡＢＣ＝∠ＡＤＣ．因为△ＢＣＥ和△ＣＤＦ都是等边三角形，所 以ＣＤ＝ＤＦ，ＢＣ＝ＢＥ，∠ＥＢＣ＝∠ＣＤＦ＝６０°．所以ＡＢ＝ＤＦ， ＢＥ＝ＡＤ，∠ＡＢＣ＋∠ＥＢＣ＝∠ＡＤＣ＋∠ＣＤＦ，即 ∠ＡＢＥ＝ ∠ＦＤＡ．所以△ＡＢＥ≌△ＦＤＡ（Ｓ．Ａ．Ｓ．）．所以ＡＥ＝ＡＦ． ７．因为四边形ＡＢＣＤ是平行四边形，所以ＯＢ＝ＯＤ，ＡＢ∥ ＣＤ．因为ＯＥ⊥ＢＤ，所以ＢＥ＝ＥＤ．所以∠ＢＤＥ＝∠ＣＢＤ＝１５°． 因为∠ＣＤＥ＝１５°，所以∠ＢＤＣ＝∠ＢＤＥ＋∠ＣＤＥ＝３０°．所以 ∠ＡＢＤ＝∠ＢＤＣ＝３０°．所以∠ＡＢＣ＝∠ＡＢＤ＋∠ＣＢＤ＝４５°． 能力提高　８．Ｂ． １８．２平行四边形的判定 基础训练　１．Ｂ；　２．Ａ；　３．Ｄ；　４．是． ５．因为ａ２＋ｂ２＋ｃ２＋ｄ２ ＝２ａｃ＋２ｂｄ，所以（ａ－ｃ）２＋（ｂ－ ｄ）２ ＝０．所以ａ＝ｃ，ｂ＝ｄ．所以四边形ＡＢＣＤ是平行四边形． ６．由对顶角相等，得∠ＡＯＥ＝∠ＣＯＤ．在△ＡＯＥ和△ＣＯＤ 中，因为 ∠ＥＡＯ＝∠ＤＣＯ，ＡＯ＝ＣＯ，∠ＡＯＥ＝∠ＣＯＤ，所以 △ＡＯＥ≌△ＣＯＤ（Ａ．Ｓ．Ａ．）．所以ＯＥ＝ＯＤ．所以四边形ＡＥＣＤ 是平行四边形． ７．因为ＣＦ∥ＡＢ，所以∠ＤＡＥ＝∠ＣＦＥ，∠ＡＤＥ＝∠ＦＣＥ． 在△ＡＤＥ和△ＣＦＥ中，因为∠ＡＤＥ＝∠ＦＣＥ，∠ＤＡＥ＝∠ＣＦＥ， ＡＥ＝ＦＥ，所以△ＡＤＥ≌△ＣＦＥ（Ａ．Ａ．Ｓ．）．所以ＡＤ＝ＦＣ．因为 ＣＤ是△ＡＢＣ的中线，所以ＡＤ＝ＢＤ．所以ＢＤ＝ＦＣ．所以四边形 ＤＢＦＣ是平行四边形． ８．平行四边形 ＡＯＤＥ，平行四边形 ＣＤＥＯ，平行四边形 ＡＢＯＥ．理由略． 能力提高　９．４． ３７期３版 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 Ｄ Ｂ Ｃ Ｄ Ｂ Ｃ Ａ Ｃ 二、９．１１８°；　１０．答案不惟一，如ＡＢ＝ＣＤ；　１１．６； １２．（２，２）或（－２，１０）． 三、１３．因为四边形ＡＢＣＤ是平行四边形，所以ＯＡ＝ＯＣ，ＯＢ ＝ＯＤ．因为ＡＥ＝ＣＦ，所以ＯＡ＋ＡＥ＝ＯＣ＋ＣＦ，即ＯＥ＝ＯＦ． 因为ＢＧ＝ＤＨ，所以ＯＢ－ＢＧ＝ＯＤ－ＤＨ，即ＯＧ＝ＯＨ．所以四 边形ＥＧＦＨ是平行四边形． １４．因为四边形ＡＢＣＤ是平行四边形，所以ＡＤ∥ＢＣ，ＡＤ＝ ＢＣ．所以∠ＡＥＢ＝∠ＤＡＥ．因为ＡＢ＝ＡＥ，所以∠Ｂ＝∠ＡＥＢ．所 以∠Ｂ＝∠ＤＡＥ．在△ＡＢＣ和△ＥＡＤ中，因为ＡＢ＝ＥＡ，∠Ｂ＝ ∠ＤＡＥ，ＢＣ＝ＡＤ，所以△ＡＢＣ≌△ＥＡＤ（Ｓ．Ａ．Ｓ．）． １５．（１）因为 ＢＤ是 △ＡＢＣ的角平分线，所以 ∠ＣＢＤ＝ ∠ＥＢＤ．因为ＥＤ∥ＢＣ，所以∠ＣＢＤ＝∠ＥＤＢ．所以∠ＥＢＤ＝ ∠ＥＤＢ．所以ＢＥ＝ＥＤ．因为ＢＥ＝ＣＦ，所以ＥＤ＝ＣＦ．又因为                                                                      ＥＤ —２— 初中数学·华东师大八年级　第３６～３９期 ∥ＦＣ，所以四边形ＥＦＣＤ是平行四边形． （２）因为 ＢＤ是 △ＡＢＣ的角平分线，∠ＡＢＣ＝６０°，所以 ∠ＡＢＤ＝１２∠ＡＢＣ＝３０°．因为∠ＡＤＢ＝１００°，所以∠Ａ＝１８０° －∠ＡＢＤ－∠ＡＤＢ＝５０°．因为四边形ＥＦＣＤ是平行四边形，所以 ＥＦ∥ＡＣ．所以∠ＡＥＦ＝１８０°－∠Ａ＝１３０°． １６．（１）因为四边形ＡＢＣＤ是平行四边形，所以ＡＢ＝ＣＤ，ＡＢ ∥ＣＤ．因为ＣＥ＝ＡＢ，所以ＣＥ＝ＣＤ．所以∠ＣＤＥ＝∠ＣＥＤ＝ １ ２（１８０°－∠ＤＣＥ）＝９０°－ １ ２∠ＤＣＥ．所以∠ＡＥＤ＝∠ＣＤＥ＝ ９０°－１２∠ＤＣＥ． （２）延长ＤＡ，ＦＥ交于点Ｍ，图略．因为四边形ＡＢＣＤ是平行 四边形，所以ＡＤ∥ＢＣ．所以∠Ｍ ＝∠ＥＦＢ．因为Ｅ是ＡＢ的中 点，所以ＡＥ＝ＢＥ．由对顶角相等，得∠ＡＥＭ＝∠ＢＥＦ．在△ＡＥＭ 和△ＢＥＦ中，因为∠Ｍ＝∠ＥＦＢ，∠ＡＥＭ＝∠ＢＥＦ，ＡＥ＝ＢＥ，所 以△ＡＥＭ≌△ＢＥＦ（Ａ．Ａ．Ｓ．）．所以ＭＥ＝ＥＦ，ＡＭ ＝ＢＦ．所以 ＤＭ＝ＡＤ＋ＡＭ＝６＝ＤＦ．所以∠ＤＥＦ＝９０°． 附加题　１．因为四边形ＡＢＣＤ是平行四边形，ＡＢ＝４，所以 ＣＤ＝ＡＢ＝４，ＡＤ∥ ＢＣ．因为 ∠ＡＣＢ＝３０°，所以 ∠ＤＡＣ＝ ∠ＡＣＢ＝３０°．根据折叠的性质，得ＡＥ＝ＡＤ，ＣＤ＝ＣＥ，∠ＡＣＤ＝ ９０°．所以∠Ｄ＝９０°－∠ＤＡＣ＝６０°．所以△ＡＤＥ是等边三角形． 所以ＡＤ＝ＡＥ＝ＤＥ＝２ＣＤ＝８．所以△ＡＤＥ的周长为：８×３＝ ２４． ２．（１）因为ＡＣ＝ＡＥ，ＢＣ＝ＢＥ，所以ＡＢ⊥ＣＥ，∠ＡＥＣ＝ ∠ＡＣＥ，∠ＢＥＣ＝∠ＢＣＥ．所以 ∠ＡＥＣ＋∠ＢＥＣ＝∠ＡＣＥ＋ ∠ＢＣＥ，即∠ＡＥＢ＝∠ＡＣＢ．因为∠ＡＥＢ＝∠ＣＡＤ，所以∠ＡＣＢ ＝∠ＣＡＤ．所以ＢＣ∥ＡＤ．因为ＣＤ⊥ＣＥ，所以ＡＢ∥ＣＤ．所以四 边形ＡＢＣＤ是平行四边形． （２）过点Ａ作ＡＧ⊥ＣＤ于点Ｇ，图略．所以ＡＧ∥ＣＦ．又因为 ＡＢ∥ＣＤ，ＡＢ⊥ＣＥ，所以ＣＦ＝ＡＧ．根据勾股定理，得ＡＣ２－ＣＧ２ ＝ＡＤ２－ＤＧ２，即４２－（３－ＤＧ）２＝３２－ＤＧ２．解得ＤＧ＝１３．所 以ＣＦ＝ＡＧ＝ ＡＤ２－ＤＧ槡 ２ ＝槡８０３ ． ３８期检测卷 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０１１１２ 答案 Ｂ Ｃ Ｂ Ｄ Ｃ Ａ Ｂ Ｄ Ｂ Ａ Ｃ Ｂ 二、１３．是；　１４．２０；　１５．４１°；　１６．４３或４． 三、１７．因为四边形ＡＢＣＤ是平行四边形，所以∠Ａ＝∠Ｃ＝ ７０°，ＡＤ∥ＢＣ．因为ＡＢ＝ＢＥ，所以 ∠ＢＥＡ＝∠Ａ＝７０°．所以 ∠ＥＢＣ＝∠ＢＥＡ＝７０°． １８．因为ＡＥ⊥ＡＤ，ＣＦ⊥ＢＣ，所以∠ＥＡＤ＝∠ＦＣＢ＝９０°． 因为ＡＤ∥ＢＣ，所以∠ＡＤＥ＝∠ＣＢＦ．在△ＡＥＤ和△ＣＦＢ中，因 为∠ＡＤＥ＝∠ＣＢＦ，∠ＥＡＤ＝∠ＦＣＢ，ＡＥ＝ＣＦ，所以△ＡＥＤ≌ △ＣＦＢ（Ａ．Ａ．Ｓ．）．所以ＡＤ＝ＣＢ．所以四边形ＡＢＣＤ是平行四 边形． １９．因为四边形ＡＢＣＤ是平行四边形，所以∠Ａ＝∠Ｃ，ＡＢ＝ ＣＤ，ＡＤ＝ＢＣ．又因为 ∠ＡＤＥ ＝∠ＣＢＦ，所以 △ＡＤＥ≌ △ＣＢＦ（Ａ．Ｓ．Ａ．）．所以ＡＥ＝ＣＦ．所以ＡＢ－ＡＥ＝ＣＤ－ＣＦ，即 ＢＥ＝ＤＦ． ２０．（１）因为四边形ＡＢＣＤ是平行四边形，所以ＢＣ＝ＡＤ， ∠Ａ＝∠Ｃ．因为ＢＣ＝ＦＣ，所以ＡＤ＝ＦＣ．在△ＡＢＤ和△ＣＥＦ 中，因为 ＡＤ ＝ＦＣ，∠Ａ＝∠Ｃ，ＡＢ ＝ＣＥ，所以 △ＡＢＤ≌ △ＣＥＦ（Ｓ．Ａ．Ｓ．）． （２）四边形ＡＢＤＦ是平行四边形．理由如下： 因为四边形ＡＢＣＤ是平行四边形，所以ＡＢ＝ＣＤ，ＡＢ∥ＣＤ． 因为ＦＣ＝２ＡＢ，所以ＦＣ＝２ＣＤ．所以ＦＤ＝ＣＤ＝ＡＢ．所以四边 形ＡＢＤＦ是平行四边形． ２１．因为 ＢＰ平分 ∠ＡＢＣ，ＣＰ平分 ∠ＡＣＢ，所以 ∠ＰＢＣ＝ １ ２∠ＡＢＣ，∠ＰＣＢ＝ １ ２∠ＡＣＢ．所以 ∠Ｐ＝１８０°－∠ＰＢＣ－ ∠ＰＣＢ＝１８０°－１２（∠ＡＢＣ＋∠ＡＣＢ）＝９０°＋ １ ２∠Ａ．根据轴对 称的性质，得∠ＢＤＣ＝∠Ｐ，∠ＰＢＣ＝∠ＤＢＣ，ＰＣ＝ＤＣ．所以 ∠ＣＤＥ＝１８０°－∠ＢＤＣ＝１８０°－∠Ｐ＝９０°－１２∠Ａ．因为 ∠ＰＢＣ＝２∠ＰＣＢ＝∠ＡＣＢ，所以∠ＤＢＣ＝∠ＡＣＢ．所以ＡＣ∥ ＢＥ．因为ＢＥ＝ＡＣ，所以四边形ＡＢＥＣ是平行四边形．所以∠Ｅ＝ ∠Ａ，ＡＢ＝ＣＥ．因为 ＡＢ＝ＰＣ，所以 ＤＣ＝ＣＥ．所以 ∠ＣＤＥ＝ ∠Ｅ，即９０°－１２∠Ｅ＝∠Ｅ．解得∠Ｅ＝６０°． ２２．（１）因为ＡＤ⊥ＣＭ，ＢＥ⊥ＣＭ，所以ＡＤ∥ＢＥ，∠ＡＤＭ＝ ∠ＢＥＭ＝９０°．因为点Ｍ是ＡＢ的中点，所以ＡＭ＝ＢＭ．在△ＡＤＭ 和△ＢＥＭ中，因为∠ＡＤＭ＝∠ＢＥＭ，∠ＡＭＤ＝∠ＢＭＥ，ＡＭ＝ＢＭ， 所以△ＡＤＭ≌△ＢＥＭ（Ａ．Ａ．Ｓ．）．所以 ＡＤ＝ＢＥ．所以四边形 ＡＤＢＥ是平行四边形． （２）延长ＤＯ交ＢＥ于点Ｆ，图略．因为ＡＤ⊥ＣＭ，ＢＥ⊥ＣＭ， 所以ＡＤ∥ＢＥ，∠ＢＥＭ＝９０°．所以∠ＤＡＯ＝∠ＦＢＯ，∠ＯＤＥ＋ ∠ＯＦＥ＝∠ＤＥＯ＋∠ＦＥＯ＝９０°．因为点Ｏ在ＤＥ的垂直平分 线上，所以 ＤＯ＝ＥＯ．所以 ∠ＯＤＥ＝∠ＤＥＯ．所以 ∠ＯＦＥ＝ ∠ＦＥＯ．所以ＦＯ＝ＥＯ．所以ＤＯ＝ＦＯ．在△ＡＤＯ和△ＢＦＯ中， 因为 ∠ＤＡＯ ＝∠ＦＢＯ，∠ＡＯＤ ＝∠ＢＯＦ，ＤＯ ＝ＦＯ，所以 △ＡＤＯ≌△ＢＦＯ（Ａ．Ａ．Ｓ．）．所以ＡＯ＝ＢＯ． ３９期２版 １９．１矩形 １９．１．１矩形的性质 基础训练　１．Ｄ；　２．Ｄ；　３．１１０． ４．因为四边形 ＡＢＣＤ是矩形，所以 ＯＣ＝ＯＢ，∠ＤＣＢ＝ ∠ＡＢＣ＝９０°．因为ＣＥ平分∠ＤＣＢ，所以∠ＢＣＥ＝１２∠ＤＣＢ＝ ４５°．在Ｒｔ△ＥＢＣ中，∠ＣＥＢ＝９０°－∠ＢＣＥ＝４５°．所以∠ＢＣＥ ＝∠ＣＥＢ．所以ＢＥ＝ＢＣ．因为∠ＯＣＥ＝１５°，所以∠ＢＣＯ＝ ∠ＯＣＥ＋∠ＢＣＥ＝６０°．所以△ＢＯＣ是等边三角形．所以ＢＣ＝ ＯＢ＝ＢＥ，∠ＯＢＣ＝６０°．所以∠ＤＢＡ＝∠ＡＢＣ－∠ＯＢＣ＝３０°． 所以∠ＢＥＯ＝∠ＢＯＥ＝ １２（１８０°－∠ＤＢＡ）＝７５°． ５．（１）因为四边形 ＡＢＣＤ是矩形，所以 ＡＤ∥ ＢＣ，∠                                                                      Ｂ＝ —３— 初中数学·华东师大八年级　第３６～３９期 ９０°．所以∠ＤＡＥ＝∠ＡＥＢ．因为ＤＦ⊥ＡＥ，所以∠ＡＦＤ＝９０° ＝∠Ｂ．又因为ＤＡ＝ＡＥ，所以△ＤＦＡ≌△ＡＢＥ．所以ＤＦ＝ＡＢ． （２）因为ＡＢ＝４，所以ＤＦ＝４．在Ｒｔ△ＡＤＦ中，ＡＤ＝８，由 勾股定理，得ＡＦ＝ ＡＤ２－ＤＦ槡 ２ ＝ 槡４３．由△ＤＦＡ≌△ＡＢＥ， 得ＢＥ＝ＡＦ＝ 槡４３．所以ＣＥ＝ＢＣ－ＢＥ＝８－ 槡４３． 能力提高　６．５． ７．（１）因为四边形 ＡＢＣＤ是矩形，所以 ＡＢ∥ ＣＤ．所以 ∠ＢＡＣ＝∠ＦＣＯ．由对顶角相等，得 ∠ＡＯＥ＝∠ＣＯＦ．又因为 ＡＥ＝ＣＦ，所以△ＡＯＥ≌△ＣＯＦ．所以ＯＥ＝ＯＦ． （２）连结ＯＢ，图略．因为△ＡＯＥ≌△ＣＯＦ，所以ＯＡ＝ＯＣ， 即Ｏ为矩形ＡＢＣＤ对角线的交点．所以ＯＡ＝ＯＢ．所以∠ＢＡＣ ＝∠ＡＢＯ．因为ＢＥ＝ＢＦ，ＯＥ＝ＯＦ，所以ＢＯ⊥ＥＦ．在Ｒｔ△ＢＥＯ 中，∠ＢＥＦ＋∠ＡＢＯ ＝９０°．因为 ∠ＢＥＦ ＝２∠ＢＡＣ，所以 ２∠ＢＡＣ＋∠ＢＡＣ＝９０°．解得∠ＢＡＣ＝３０°．所以∠ＢＥＦ＝６０°． 所以△ＢＥＦ是等边三角形．所以ＢＥ＝ＥＦ．因为ＥＦ＝２ＯＦ，所 以ＢＥ＝２ＯＦ． １９．１．２矩形的判定 基础训练　１．Ｄ；　２．Ｃ；　３．Ａ； ４．答案不惟一，如ＤＥ＝ＦＧ；　５．１３． ６．因为ＢＥ∥ＤＦ，所以∠ＤＦＣ＝∠ＡＥＢ．所以１８０°－∠ＤＦＣ ＝１８０°－∠ＡＥＢ，即∠ＤＦＡ＝∠ＢＥＣ．因为ＤＦ＝ＢＥ，ＡＦ＝ＣＥ，所 以△ＡＦＤ≌△ＣＥＢ．所以∠ＤＡＣ＝∠ＢＣＡ，ＡＤ＝ＣＢ．所以ＡＤ∥ ＢＣ．所以四边形ＡＢＣＤ是平行四边形．又因为∠ＢＡＤ＝９０°，所以四 边形ＡＢＣＤ是矩形． ７．（１）因为点Ｅ是ＡＤ的中点，所以ＡＥ＝ＤＥ．因为ＡＦ∥ ＢＣ，所以 ∠ＡＦＥ＝∠ＤＣＥ，∠ＦＡＥ＝∠ＣＤＥ．所以 △ＥＡＦ≌ △ＥＤＣ（Ａ．Ａ．Ｓ．）．所以 ＡＦ＝ＤＣ．因为 ＡＦ＝ＢＤ，所以 ＢＤ＝ ＤＣ，即Ｄ是ＢＣ的中点． （２）四边形ＡＦＢＤ是矩形．证明如下： 因为ＡＦ∥ＢＤ，ＡＦ＝ＢＤ，所以四边形 ＡＦＢＤ是平行四边 形．因为ＡＢ＝ＡＣ，ＢＤ＝ＤＣ，所以ＡＤ⊥ＢＣ．所以∠ＡＤＢ＝９０°． 所以四边形ＡＦＢＤ是矩形． 能力提高　８．（１）因为ＡＤ∥ＢＣ，所以∠Ｄ＋∠Ｃ＝１８０°． 因为∠Ａ＝∠Ｄ＝９０°，所以∠Ｃ＝∠Ａ＝∠Ｄ＝９０°．所以四 边形ＡＢＣＤ是矩形． （２）根据折叠的性质，得∠ＢＧＥ＝∠Ａ＝９０°，ＢＧ＝ＡＢ＝ ６，ＡＥ＝ＧＥ．所以∠ＥＧＦ＝１８０°－∠ＢＧＥ＝９０°．因为Ｅ是ＡＤ 的中点，所以 ＡＥ＝ＤＥ．所以 ＤＥ＝ＧＥ．因为 ＥＦ＝ＥＦ，所以 Ｒｔ△ＤＥＦ≌Ｒｔ△ＧＥＦ（Ｈ．Ｌ．）．所以ＤＦ＝ＧＦ．所以ＢＦ＝ＢＧ＋ ＧＦ＝６＋ＤＦ．因为四边形ＡＢＣＤ是矩形，所以ＣＤ＝ＡＢ＝６．在 Ｒｔ△ＢＣＥ中，根据勾股定理，得ＢＣ２＋ＣＦ２ ＝ＢＦ２，即８２＋（６－ ＤＦ）２ ＝（６＋ＤＦ）２．解得ＤＦ＝ ８３． ３９期３版 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 Ｄ Ｄ Ｃ Ｄ Ｃ Ｄ Ｃ Ｂ 二、９．３５°；　１０．４５；　１１．６；　１２．７２． 三、１３．因为四边形ＡＢＣＤ是平行四边形，所以ＢＣ＝ＡＤ＝ ８．因为ＡＢ＝６，ＡＣ＝１０，所以ＡＣ２ ＝ＡＢ２＋ＢＣ２．所以∠Ｂ＝ ９０°．所以平行四边形ＡＢＣＤ是矩形． １４．（１）因为四边形ＡＢＣＤ是矩形，所以ＡＤ∥ＢＣ．所以∠Ｆ ＝∠ＢＣＥ．因为Ｅ是ＡＢ的中点，所以ＡＥ＝ＥＢ．由对顶角相等， 得∠ＡＥＦ＝∠ＢＥＣ．所以△ＡＥＦ≌△ＢＥＣ（Ａ．Ａ．Ｓ．）． （２）因为四边形ＡＢＣＤ是矩形，所以∠Ｄ＝９０°．因为∠Ｆ ＝４５°，所以∠ＤＣＦ＝４５°＝∠Ｆ．所以ＤＦ＝ＣＤ＝４．由勾股 定理，得ＣＦ＝ 槡４２． １５．因为矩形 ＡＢＣＤ≌ 矩形 ＡＥＦＧ，所以 ＡＢ＝ＡＥ＝１， ∠ＤＡＢ＝∠ＦＥＡ＝９０°，ＡＤ＝ＢＣ＝２．所以∠ＡＢＥ＝∠ＡＥＢ， ∠ＡＢＥ＋∠ＡＤＢ＝９０°，∠ＡＥＢ＋∠ＤＥＦ＝１８０°－∠ＦＥＡ＝ ９０°．所以∠ＤＥＦ＝∠ＡＤＢ．所以ＥＨ＝ＤＨ．在Ｒｔ△ＡＥＨ中，由 勾股定理，得ＥＨ２＋ＡＥ２＝ＡＨ２，即（２－ＡＨ）２＋１２＝ＡＨ２．解得 ＡＨ＝ ５４． １６．（１）因为ＡＢ＝ＡＣ，ＡＤ是△ＡＢＣ的角平分线，所以ＡＤ ⊥ ＢＣ，∠ＣＡＤ ＝ １２∠ＢＡＣ．所以 ∠ＡＤＣ＝９０°．因为 ＡＮ为 △ＡＢＣ外角∠ＣＡＭ的平分线，所以 ∠ＣＡＮ＝ １２∠ＣＡＭ．所以 ∠ＤＡＥ＝∠ＣＡＤ＋∠ＣＡＮ＝９０°．因为ＣＥ⊥ＡＮ，所以∠ＡＥＣ＝ ９０°．所以四边形ＡＤＣＥ为矩形． （２）四边形ＡＢＤＥ是平行四边形．证明如下： 由（１）知，四边形ＡＤＣＥ为矩形．所以ＡＥ＝ＣＤ，ＡＣ＝ＤＥ． 因为ＡＢ＝ＡＣ，ＢＤ＝ＣＤ，所以ＡＢ＝ＤＥ，ＡＥ＝ＢＤ．所以四边形 ＡＢＤＥ是平行四边形． （３）ＤＦ∥ＡＢ，ＤＦ＝ １２ＡＢ． 附加题　１．（１）因为四边形ＡＢＣＤ是平行四边形，所以ＡＥ ∥ＢＣ．因为ＣＥ∥ＢＤ，所以四边形 ＢＣＥＤ是平行四边形．所以 ＣＥ＝ＢＤ．又因为ＣＥ＝ＡＣ，所以ＡＣ＝ＢＤ．所以四边形ＡＢＣＤ 是矩形． （２）因为四边形ＡＢＣＤ是矩形，所以 ∠ＢＡＤ＝９０°，ＢＣ＝ ＡＤ＝３．由勾股定理，得ＢＤ＝ ＡＢ２＋ＡＤ槡 ２ ＝５．所以四边形 ＢＣＥＤ的周长为：２（ＢＣ＋ＢＤ）＝１６． ２．（１）因为四边形ＡＢＣＤ是矩形，所以∠Ａ＝∠ＡＤＣ＝∠Ｂ ＝∠Ｃ＝９０°，ＡＢ＝ＣＤ．由折叠的性质，得ＡＢ＝ＰＤ，∠Ａ＝∠Ｐ＝ ９０°，∠Ｂ＝∠ＰＤＦ＝９０°．所以ＰＤ＝ＣＤ，∠ＰＤＦ＝∠ＡＤＣ，∠Ｐ＝ ∠Ｃ．所以∠ＰＤＦ－∠ＡＤＦ＝∠ＡＤＣ－∠ＡＤＦ，即∠ＰＤＥ＝∠ＣＤＦ． 所以△ＰＤＥ≌△ＣＤＦ（Ａ．Ｓ．Ａ．）． （２）过点Ｅ作ＥＧ⊥ＢＣ于点Ｇ，图略．所以∠ＥＧＦ＝∠ＥＧＢ ＝９０°．所以四边形ＡＢＧＥ和四边形ＥＧＣＤ都是矩形．所以ＡＥ＝ ＢＧ，ＤＥ＝ＣＧ，ＥＧ＝ＣＤ＝４．在Ｒｔ△ＥＧＦ中，由勾股定理，得ＦＧ ＝ ＥＦ２－ＥＧ槡 ２ ＝３．由（１），得 △ＰＤＥ≌ △ＣＤＦ．所以 ＰＥ＝ ＣＦ，ＤＥ＝ＤＦ＝ＣＧ＝ＣＦ＋３．由折叠的性质，得ＡＥ＝ＰＥ．在 Ｒｔ△ＣＤＦ中，由勾股定理，得ＣＤ２＋ＣＦ２ ＝ＤＦ２，即ＣＦ２＋４２ ＝ （ＣＦ＋３）２．解得ＣＦ＝ ７６．所以ＢＣ＝２ＣＦ＋ＦＧ＝ １６ ３                                                                      ． —４— 初中数学·华东师大八年级　第３６～３９期 ! " # ! ! ! " # " $ " % ! " $ # $ % & " ' ! & ( !!!!!!!!!!!!!!!! ! ! """""""""""""""" " " ################ # # $$$$$$$$$$$$$$$$ $ $ !!!!!!!!!!!!!!!! ! ! """""""""""""""" " " ################ # # $$$$$$$$$$$$$$$$ $ $ %%%%%%%%%%%%%%%% % % &&&&&&&&&&&&&&&& & & '''''''''''''''' ' ' ! " # ! $ % & ' ( ) * + , - . ! $ / & ' ( ) * + - 0 1 2 3 4 5 6 7 ! 8 9 : ; < = > ? @ A ( ! " # $ % & ' & ' ( B ) C ! > ? & ' ( D E F G ! G H I J K L ! M N O A I * + , * & - 书 《平行四边形》章节检测卷 ◆ 数理报社试题研究中心 　（说明：本试卷为闭卷笔答，答题时间９０分钟，满分１２０分）　 题　号 一 二 三 总　分 得　分 一、精心选一选（本大题共１２小题，每小题４分，共４８分） 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ １１ １２ 答案 １．如图１，直线ｌ１∥ｌ２，其中Ｐ在ｌ１上，Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ在ｌ２上，且ＰＢ⊥ｌ２， 则ｌ１与ｌ２之间的距离是 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．线段ＰＡ的长度 Ｂ．线段ＰＢ的长度 Ｃ．线段ＰＣ的长度 Ｄ．线段ＰＤ的长度 ２．在ＡＢＣＤ中，若∠Ａ＋∠Ｃ＝１４０°，则∠Ａ的度数为 （　　） Ａ．４０° Ｂ．６０° Ｃ．７０° Ｄ．１１０° ３．用一根６米长的绳子围成一个平行四边形，其中一边长为１．６米，则其邻边长为 （　　） Ａ．１．２米 Ｂ．１．４米 Ｃ．１．６米 Ｄ．１．８米 ４．如图２，在ＡＢＣＤ中，对角线 ＡＣ的垂直平分线分别交 ＣＤ，ＡＢ于点 Ｅ，Ｆ，连结 ＣＦ．若 △ＢＣＦ的周长为４，则ＡＢＣＤ的周长为 （　　） Ａ．１４ Ｂ．１２ Ｃ．１０ Ｄ．８ ５．在四边形ＡＢＣＤ中，∠Ａ＋∠Ｂ＝１８０°，∠Ｂ＋∠Ｃ＝１８０°，ＡＢ＝５，则ＣＤ的长为 （　　） Ａ．２０ Ｂ．１０ Ｃ．５ Ｄ．２．５ ６．如图３，在等腰△ＡＢＣ中，∠Ａ＝１２０°，顶点Ｂ在ＯＤＥＦ的边ＤＥ上．已知∠１＝４０°，则 ∠２＝ （　　） Ａ．１１０° Ｂ．１２０° Ｃ．１３０° Ｄ．１４０° 书 二、细心填一填（本大题共４小题，每小题４分，共１６分） １３．将一条长２ｃｍ不水平的线段向右平移３ｃｍ后，连结对应点得到的图形 平行四 边形（填“是”或“不是”）． １４．如图９，直线 ＡＤ∥ ＢＣ．若 ＡＤ＝５，ＢＣ＝８，△ＡＢＣ的面积为３２，则 △ＡＤＣ的面积为 ． １５．已知正六边形ＡＢＣＤＥＦ与平行四边形ＧＨＭＮ的位置如图１０所示．若∠ＡＢＧ＝１９°，则 ∠ＮＭＤ的度数是 ． １６．在四边形ＡＢＣＤ中，ＡＤ∥ＢＣ，ＢＣ⊥ＣＤ，ＡＤ＝６ｃｍ，ＢＣ＝１０ｃｍ，Ｍ是边ＢＣ上一点，且 ＢＭ ＝４ｃｍ，点Ｅ从点Ａ出发以１ｃｍ／ｓ的速度向Ｄ运动，点Ｆ从点Ｂ出发以２ｃｍ／ｓ的速度向点 Ｃ运动，当其中一点到达终点，则另一点也随之停止．设运动时间为ｔｓ，当ｔ的值为 时， 以Ａ，Ｍ，Ｅ，Ｆ为顶点的四边形是平行四边形． 三、耐心解一解（本大题共６小题，共５６分） １７．（６分）如图１１，在平行四边形 ＡＢＣＤ中，∠Ｃ＝７０°，点 Ｅ为 ＡＤ上一点，ＡＢ＝ＢＥ，求 ∠ＥＢＣ的度数． 书 ７．如图４，在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ＝８，点Ｅ，Ｆ，Ｇ分别在边ＡＢ，ＢＣ，ＡＣ上，ＥＦ∥ＡＣ，ＥＦ＝ ＡＧ，则四边形ＡＥＦＧ的周长是 （　　） Ａ．８ Ｂ．１６ Ｃ．２４ Ｄ．３２ ８．如图５，在平行四边形ＡＢＣＤ中，Ｅ，Ｆ分别为边ＡＢ，ＤＣ的中点，则图中共有平行四边形 （　　） Ａ．３个 Ｂ．４个 Ｃ．５个 Ｄ．６个 ９．如图６，在ＡＢＣＤ中，对角线ＡＣ与ＢＤ相交于点Ｏ．嘉嘉说：“作ＤＰ∥ＯＣ，ＣＰ∥ＯＤ，则 由Ｏ，Ｃ，Ｄ，Ｐ四点构成的四边形是平行四边形”．琪琪说：“作ＤＱ＝ＯＣ，ＣＱ＝ＯＤ，则由Ｏ，Ｃ，Ｄ， Ｑ四点构成的四边形是平行四边形”．下列判断正确的是 （　　） Ａ．两人的说法都正确 Ｂ．嘉嘉的说法正确，琪琪的说法不正确 Ｃ．嘉嘉的说法不正确，琪琪的说法正确 Ｄ．两人的说法都不正确 １０．如图７，在ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝２，∠ＡＢＣ的平分线与∠ＢＣＤ的平分线交于点Ｅ．若点Ｅ恰 好在边ＡＤ上，则ＢＥ２＋ＣＥ２的值为 （　　） Ａ．１６ Ｂ．１２ Ｃ．８ Ｄ．无法确定 １１．在平面直角坐标系中，已知点 Ａ（０，０），Ｂ（２，２），Ｃ（３，０）．若以点 Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ为顶点的四 边形是平行四边形，则点Ｄ的坐标不可能为 （　　） Ａ．（－１，２） Ｂ．（５，２） Ｃ．（２，－２） Ｄ．（１，－２） １２．如图８，Ｅ是ＡＢＣＤ的边ＡＢ上的点，Ｑ是ＣＥ的中点，连结 ＢＱ并延长交ＣＤ于点Ｆ，连结ＡＦ与ＤＥ交于点Ｐ．若Ｓ△ＡＰＤ ＝３ｃｍ ２， Ｓ△ＢＱＣ ＝７ｃｍ ２，则阴影部分的面积为 （　　） Ａ．２４ｃｍ２ Ｂ．１７ｃｍ２ Ｃ．１３ｃｍ２ Ｄ．１０ｃｍ２ ! " # $ % # * #*&! & ' ! . ( * ( + %#$& ) ! + ! * & $ # % " ! # " $ * & ! ! / # + ! " * & % ! 0 $ & $ # % ' ! - ! ' & $ # % ! ! 1 , & $ # % " ! ) % ! - " . # + $ * & ! +& # %! $ & ! ++ # $ % & ! 2 ! ! " # $ % & ' ! ( ) * + , ! - . / 0 1 2 ! " # $ % # & ' $ & # ( ! 3 4 5 6 2 ) " # $ ! # & ' $ & ( * ! 7 4 8 9 2 : ; < = > ? @ A B C D E & ) & F G H ) 4 I J K L 4 M - $ / ! N O # P 2 ) " ) ) ) ( ! 7 4 U : ; * 9 V W X Y Z [ \ = > ? ] ^ _ B ` a b c d V e f 6 书 ２２．（１４分）如图１６，点Ｍ是△ＡＢＣ的边ＡＢ上一点，连结ＣＭ，过点Ａ作ＡＤ⊥ＣＭ于点Ｄ， 过点Ｂ作ＢＥ⊥ＣＭ于点Ｅ． （１）如图１６－①，若点Ｍ是ＡＢ的中点时，连结ＡＥ，ＢＤ，求证：四边形ＡＤＢＥ是平行四边形； （２）如图１６－②，若点Ｍ不是ＡＢ的中点，点Ｏ是边ＡＢ上不与Ｍ重合的一点，连结ＤＯ，ＥＯ． 已知点Ｏ在ＤＥ的垂直平分线上，求证：ＡＯ＝ＢＯ． 书 １８．（７分）如图１２，在四边形ＡＢＣＤ中，ＡＤ∥ＢＣ，ＡＥ⊥ＡＤ交ＢＤ于点Ｅ，ＣＦ⊥ＢＣ交ＢＤ 于点Ｆ，ＡＥ＝ＣＦ．求证：四边形ＡＢＣＤ是平行四边形． １９．（７分）如图１３，已知Ｅ，Ｆ分别是ＡＢＣＤ的边ＡＢ，ＣＤ上的两点，且∠ＣＢＦ＝∠ＡＤＥ． 求证：ＢＥ＝ＤＦ． 书 ２０．（１０分）如图１４，已知ＡＢＣＤ，ＢＣ＝ＦＣ＝２ＡＢ＝２ＣＥ． （１）求证：△ＡＢＤ≌△ＣＥＦ； （２）连结ＡＦ，请判断四边形ＡＢＤＦ的形状，并说明理由． ２１．（１２分）如图１５，在 △ＡＢＣ中，∠ＡＢＣ和 ∠ＡＣＢ的平分线相交于点 Ｐ，且 ＡＢ＝ＰＣ， ∠ＰＢＣ＝２∠ＰＣＢ，作△ＰＢＣ关于ＢＣ的对称图形△ＤＢＣ，延长ＢＤ到点Ｅ，使ＢＥ＝ＡＣ，连结ＣＥ， 求∠Ｅ的度数． \ghijklQm ! 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