第35期 二项式定理-【数理报】2024-2025学年高二数学选择性必修第二册同步学案（北师大版2019）

书书书 １７． （１５ 分 ） 某 研 究 机 构 为 了 了 解 大 学 生 对 冰 壶 运 动 的 兴 趣 ， 随 机 从 大 学 生 中 抽 取 了 男 、女 各 １００ 人 进 行 调 查 ． 经 统 计 ， 对 冰 壶 运 动 有 兴 趣 的 男 生 与 女 生 的 人 数 比 为 ４ ∶３ ，男 生 有 ８０ 人 表 示 对 冰 壶 运 动 感 兴 趣 ，调 查 结 果 如 下 表 ： （ 单 位 ： 人 ） ： 兴 趣 情 况 性 别 　 感 兴 趣 没 兴 趣 男 生 ８０ 女 生 （１ ） 分 别 估 计 男 、女 大 学 生 对 冰 壶 运 动 感 兴 趣 的 概 率 ； （２ ） 试 问 ：男 、女 大 学 生 对 冰 壶 运 动 的 兴 趣 是 否 有 差 异 ． 附 ：χ ２ ＝ ｎ （ａｄ － ｂｃ） ２ （ａ ＋ ｂ） （ｃ ＋ ｄ ） （ａ ＋ ｃ） （ｂ ＋ ｄ ） ． １８． （１７ 分 ） 已 知 在 ３槡 ｘ － １２ ３槡 ( )ｘ ｎ 的 展 开 式 中 ，第 ６ 项 为 常 数 项 ． （１ ） 求 ｎ ； （２ ） 求 含 ｘ ２ 的 项 的 系 数 ； （３ ） 求 展 开 式 中 所 有 的 有 理 项 ． １９． （１７ 分 ） 甲 、 乙 两 名 同 学 在 ５ 次 英 语 口 语 测 试 中 的 成 绩 统 计 为 ： 甲 ：７４ ，８５ ，８６ ，９０ ，９３ ，乙 ：７６ ，８３ ，８５ ，８７ ，９７． （１ ） 现 要 从 中 选 派 一 人 参 加 英 语 口 语 竞 赛 ，从 统 计 学 角 度 ，你 认 为 派 哪 位 学 生 参 加 更 合 适 ，请 说 明 理 由 ； （２ ） 若 将 频 率 视 为 概 率 ， 对 学 生 甲 在 今 后 的 三 次 英 语 口 语 竞 赛 成 绩 进 行 预 测 ，记 这 三 次 成 绩 中 高 于 ８０ 分 的 次 数 为 Ｘ ， 求 Ｘ 的 分 布 列 及 数 学 期 望 Ｅ （Ｘ ）． !"#$%&'()*+,-./0123!"#$%&'( 4"#$%&'(5*+,-670128)"#$%&'( 9 : ; < = ! " > 书 误区一：思维僵化 造成思维僵化主要原因有两个方面：（１）对 基本概念和基本公式理解不透，易造成混用知 识；（２）受定势思维的影响，易机械地套用解题 思维方法． 例１某企业有３个分厂生产同一种电子产 品，第一、二、三分厂的产量之比为１∶２∶１，用分 层随机抽样方法（每个分厂的产品为一层）从３ 个分厂生产的电子产品中共取１００件作使用寿 命的测试，由所得的测试结果算得从第一、二、 三分厂取出的产品的使用寿命的平均值分别为 ９８０ｈ，１０２０ｈ，１０３２ｈ，则抽取的１００件产品的使 用寿命的平均值为 ． 错解：抽取的１００件产品的使用寿命的平 均值ｘ＝９８０＋１０２０＋１０３２４ ＝７５８． 剖析：上面的解答受到算术平均数的影响， 没有考虑到某企业的三个分厂的实际产量问 题，事实上，第二个分厂是其他两个分厂产量的 两倍，显然直接利用算术平均数计算是不合理 的． 正解：抽取的１００件产品的使用寿命的平 均值ｘ＝９８０＋１０２０×２＋１０３２４ ＝１０１３． 误区二：不求甚解 造成不求甚解的原因比较多，主要有两个 原因：（１）对基本概念中关键词及原理理解不 透；（２）对一些基本数学思想方法不能灵活应 用． 例２随机抽取某厂的某种产品２００件，经质 检，其中有一等品１２６件、二等品５０件、三等品 ２０件、次品４件．已知生产１件一、二、三等品获 得的利润分别为６万元、２万元、１万元，而１件次 品亏损２万元．设１件产品的利润（单位：万元） 为Ｘ． （１）求Ｘ的分布列； （２）求１件产品的平均利润． 错解：（１）因为Ｘ表示一件产品的利润，所 以Ｘ的所有可能取值有６，２，１， 则Ｐ（Ｘ＝６）＝１２６２００＝０６３， Ｐ（Ｘ＝２）＝５０２００＝０２５， Ｐ（Ｘ＝１）＝２０２００＝０１． 故Ｘ的分布列为 Ｘ ６ ２ １ Ｐ ０．６３ ０．２５ ０．１ （２）Ｅ（Ｘ）＝６×０６３＋２×０２５＋１×０１ ＝４３８． 剖析：将分布列中的概率相加，其和为０．９８ ＜１，显然解法错误，主要表现在两个方面：（１） 对题中的利润错误理解为只有获得盈利才叫利 润，亏损不叫利润；（２）对分布列的特点认识不 够． 正解：（１）Ｘ的所有可能取值有６，２，１，－２， 则Ｐ（Ｘ＝６）＝１２６２００＝０６３， Ｐ（Ｘ＝２）＝５０２００＝０２５， Ｐ（Ｘ＝１）＝２０２００＝０１， Ｐ（Ｘ＝－２）＝ ４２００＝００２． 故Ｘ的分布列为 Ｘ ６ ２ １ －２ Ｐ ０．６３ ０．２５ ０．１ ０．０２ （２）Ｅ（Ｘ）＝６×０．６３＋２×０．２５＋１×０．１ ＋（－２）×０．０２＝４３４． 误区三：草率收兵 造成草率收兵的主要原因：（１）没有充分挖 掘已知中的隐含条件；（２）由于解题过程不是等 价转化，因此对有些所求得的结果不注意验证． 例３一个盒子里装有４张大小形状完全相 同的卡片，分别标有数２，３，４，５；另一个盒子也 装有４张大小形状完全相同的卡片，分别标有数 ３，４，５，６．现从一个盒子中任取一张卡片，其上 面的数记为 ｍ；再从另一盒子里任取一张卡片， 其上面的数记为ｎ，记随机变量Ｘ＝ｍ＋ｎ，求Ｘ 的分布列和数学期望． 错解：依题意，可分别取Ｘ＝５，６，…，１１，共 有７种可能，根据等可能事件的概率知识，每种可 能的概率均相等，即都为 １ １６，所以Ｘ的分布列为 Ｘ ５ ６ ７ ８ ９ １０ １１ Ｐ １１６ １ １６ １ １６ １ １６ １ １６ １ １６ １ １６ Ｅ（Ｘ）＝５×１１６＋６× １ １６＋７× １ １６＋８× １ １６ ＋９×１１６＋１０× １ １６＋１１× １ １６＝ ７ ２． 剖析：上面解答中当Ｘ取５，６，７，８，９，１０，１１ 的值时，忽视了产生这些数的多种可能情况存 在，而直接将问题简单化了，犯了草率收兵的错 误． 正解：依题意，可分别取Ｘ＝５，６，…，１１，则 有 Ｐ（Ｘ＝５）＝１１６，Ｐ（Ｘ＝６）＝ ２ １６， Ｐ（Ｘ＝７）＝３１６，Ｐ（Ｘ＝８）＝ ４ １６， Ｐ（Ｘ＝９）＝３１６，Ｐ（Ｘ＝１０）＝ ２ １６， Ｐ（Ｘ＝１１）＝１１６， 所以Ｘ的分布列为 Ｘ ５ ６ ７ ８ ９ １０ １１ Ｐ １１６ ２ １６ ３ １６ ４ １６ ３ １６ ２ １６ １ １６ Ｅ（Ｘ）＝５×１１６＋６× ２ １６＋７× ３ １６＋８× ４ １６ ＋９×３１６＋１０× ２ １６＋１１× １ １６＝８． 书 !"#$%&'() ， *+,-./01 234.567/ ， 89:;+, ， <*=>? -. ， @@9A()BC 、 DEF/G ． ! 、 "#$% & １ HI ：（ｘ＋１）５－５（ｘ＋１）４＋１０（ｘ＋ １）３－１０（ｘ＋１）２＋４（ｘ＋１）＝ ． '( ： JK'LMNOPQR*%&'S TU （ｘ＋１）５，（ｘ＋１）４，（ｘ＋１）３，（ｘ＋１）２ VW XY ， Z[\] ，̂ _`a"12 ． )$ ： Jbcdefgh'i?jk ， Ml m ， noU （ｘ＋１） ?lmpq ５， rscd “－ １”， tuv*%&'ST7/ ． *+ ： w' ＝（ｘ＋１）５－５（ｘ＋１）４＋１０（ｘ＋ １）３－１０（ｘ＋１）２＋５（ｘ＋１）－１＋［１－（ｘ＋１）］ ＝［（ｘ＋１）－１］５－ｘ＝ｘ５－ｘ． , 、 -./0 & ２ 8 ｎ xym ， z ７ｎ＋Ｃ１ｎ·７ ｎ－１＋… ＋Ｃｋｎ ·７ｎ－ｋ＋… ＋Ｃｎ－１ｎ ·７{９|}~mx （　　） （Ａ）０　　　　　　（Ｂ）２ （Ｃ）７　　 （Ｄ）８ '( ： 567/€& ， 8v*%&'S T ， H‚ ８ｎ－１， Z[rH‚ （９－１）ｎ－１， 7/ƒ „…12 ． )$ ： †‡ˆ)xcd‰Š) ， ‹)?Œ Ž ｎ ?4‘ ， ’uj“7/ ． *+ ： ” ｎ＝１， w' ＝７， zmq ７． ’‰ （Ｃ）． 1 、 )2,3456 & ３ •– ｆ（ｘ）＝ｘ４＋４ｘ３＋８ｘ２＋８ｘ＋５， z ｆ（－１＋槡２）?q （　　） （Ａ）２槡２ （Ｂ）５ （Ｃ）１０槡２ （Ｄ）１０ '( ： ˆ)?+,/.x56A ｘ＝－１＋ 槡２—˜7，̂ #cS?_`™，012． )$ ： š›œ'ž?ŒŸ ，  ¡XY' ， v*%&'ST ， Ap~I¢P7 ． *+ ： £q ｆ（ｘ）＝ｘ４＋４ｘ３＋６ｘ２＋４ｘ＋１＋ ２ｘ２＋４ｘ＋４＝（ｘ＋１）４＋２（ｘ＋１）２＋２， }¤ ｆ（－１＋槡２）＝（槡２） ４＋２（槡２） ２＋２＝１０． ’‰ （Ｄ）． 7 、 )89: & ４ ¥ （１＋ｘ＋ｘ２）８ ?XY'¦ ， § ｘ５ ?& ?lmx ． '( ： ˆ)+,/.xA （１＋ｘ＋ｘ２）８ pK q ［１＋（ｘ＋ｘ２）］８， Z[¨©_*%&XY' ， ªS«+12 ． )$ ： uJbc-¬­š› ，（１＋ｘ＋ｘ２）８ ＝（１＋ｘ＋ｘ２）（１＋ｘ＋ｘ２）…（１＋ｘ＋ｘ２                   ） ８ d£' ， J ® ８ d£'¯°?XY'¦±² ｘ５ ?­³ ， _*´ \?#‘–µ/G ． *+ ： ¶~R§ ｘ５ ?& ， V·/G ：̧ １ · ， J ８ d¹º¦»‰¨d¹ºVW ｘ２， J¼½? ６ d¹º¦»‰cd¹º ｘ， ¾ ５ d¹º¿  １， À# Ｃ２８Ｃ １ ６Ｃ ５ ５Á.；̧ ２·，J８d¹º¦ »‰cd¹º ｘ２， J¼½? ７ d¹º¦»‰Â d¹ºÃcd ｘ， À# Ｃ１８Ｃ ３ ７Ｃ ４ ４Á.；̧ ３·， J ８ d¹º¦»‰ ５ d¹ºÃcd ｘ， À# Ｃ５８Ｃ ３ ３Á.． }7?lmx Ｃ２８Ｃ １ ６Ｃ ５ ５＋Ｃ １ ８Ｃ ３ ７Ｃ ４ ４＋Ｃ ５ ８Ｃ ３ ３ ＝ ５０４． !"#$%&'()* +,%&-./012' #!$%&$'"%'() +,34-./012' #!$%&$'"%!"# !"#$ %&' 56789:;< =: !!"!> "#"$? %@ "!ABC>; : > !! ?@AB1$CD ?@A1EFGHIJKLCM NOPQRST2 UVWXYZ [\],^_T2`aW!"#$%&'()(*b+c defaW,-.-/0 ! g@ h i ! j@ klm nopqr !"#$%&'( )*+",&-./0 12"3456678 9: ";<=>?@A BCDEFGHIJK: 12LMNOEPQR STUVH (I!PQWXY Z:[\B]^_:`a Lbcdef"Tgh ijk[\lmPQ: noPQE7pqrs +!"tuvEwx: [\yz: "{d|} "~i€‚Eg h: ƒ„…†s‡E† ˆH [‰Š‹Œ7Ž ,:‘’“”:• fl: –—"˜ef™ šzgh: ›z12y z™šEœ€:i ,: ž"Ÿ ¡¢" ‡‚H ™š(£X^¤E XYZ0¥¦§¨0,© ª«z[\mPQ0¬ ­2®=>¯°±²³ ´:"µ¶·SB]H¸ S¦K:[\¹º»¼: Ž@™š½¾¿IÀ H XÁÂZ:ÃÄÅ ÆÇÈ7lSÉÊË «ÌS;ÎH1"e <Ï: ƒÐљšÒÓ (ÏBÔÕÖ×ØÙ Ú! 1stW ÛÜAÝ Þ: ßQÜAàcH á Ë: "âÛE„ãäÛ åæçèéêëhì íEH 书 专项小练 １．ＡＣＤ；　２．Ｂ；　３．Ｃ；　４．９５％；　５．９９％． ６．解：因为头胎为女孩的频率为０．５， 所以头胎为女孩的总户数为２００×０５＝１００． 因为生二孩的概率为０．５２５， 所以生二孩的总户数为２００×０５２５＝１０５． 该问题是头胎的男女情况与对二孩是否有影响． 根据题中数据得到下表（单位：户）： 　　　　是否生二孩 头胎情况　　　　　 生二孩 不生二孩 总计 头胎为女孩 ６０ ４０ １００ 头胎为男孩 ４５ ５５ １００ 总计 １０５ ９５ ２００ χ２ ＝２００×（６０×５５－４５×４０） ２ １０５×９５×１００×１００ ＝ ６００ １３３≈４．５１１， 因为４５１１＞３８４１， 所以有９５％的把握判断头胎的男女情况对生二孩有 影响． 一、单项选择题 １～４　ＢＤＤＡ　５～８　ＢＤＡＤ 二、多项选择题 ９．ＣＤ；　１０．ＡＣ；　１１．ＡＢＤ． 三、填空题 １２．２１；　１３．②③④；　１４．２８． 四、解答题 １５．解：该问题是判断数学兴趣与学生报考文、理是否 有关． 由表中数据得χ２的观测值 χ２ ＝３６１×（１３８×５２－７３×９８） ２ ２１１×１５０×２３６×１２５ ≈００００１９， 因为０．０００１９＜２７０６， 所以没有充分证据判断数学兴趣与报文、理有关，可以 认为数学兴趣与报考文、理无关． １６．解：由题意得 　　　　休闲方式 性别　　　　　 看电视 运动 总计 女 ４３ ２７ ７０ 男 ２１ ３３ ５４ 总计 ６４ ６０ １２４ 该问题是判断性别与休闲方式是否有关． 根据表中数据计算随机变量χ２的观测值 χ２ ＝１２４×（４３×３３－２７×２１） ２ ７０×５４×６４×６０ ≈６２０１， 因为６．２０１＞３８４１， 所以有９５％的把握判断性别与休闲方式有关． １７．解：（１）由题可得“锻炼达标”的人数为 ３００× （００３＋００４）×１０＝２１０． 由题中数据计算得到下表（单位：人）： 　　　　锻炼是否达标 身体素质　　　　　 达标 不达标 总计 合格 １４０ ４０ １８０ 不合格 ７０ ５０ １２０ 总计 ２１０ ９０ ３００ （２）该问题是判断学生身体素质与锻炼时间是否有 关． χ２ ＝３００×（１４０×５０－４０×７０） ２ １８０×１２０×２１０×９０ ＝ ３５０ ２７≈１２９６３， 因为１２９６３＞６６３５，所以有９９％的把握判断学生身 体素质与锻炼时间有关． １８．解：（１）该问题是判断Ａ市使用共享单车情况与年 龄是否有关． χ２ ＝２００×（７０×４０－６０×３０） ２ １３０×７０×１００×１００ ≈２１９８， 因为２．１９８＜２７０６， 所以没有充分证据判断Ａ市使用共享单车情况与年龄 有关，可以认为Ａ市使用共享单车情况与年龄无关． （２）（ⅰ）依题意可知所抽取的５名３０岁以上的网友 中，经常使用共享单车的有５×６０１００＝３（人），偶尔或不用 共享单车的有５×４０１００＝２（人）． （ⅱ）由题知２人都没有经常使用共享单车的概率为 Ｐ１ ＝ Ｃ２２ Ｃ２５ ＝ １１０， 故选出的２人中至少有１人经常使用共享单车的概率 为Ｐ２ ＝１－ １ １０＝ ９ １０． １９．解：（１）由题意知，甲方案中农产品为“优质品”的 农场有６０×２０％ ＝１２（家）， 甲、乙两种方案中农产品为“优质品”的农场共有５＋ １０＋１５＝３０（家）， 该问题是判断该农产品为“优质品”与种植方案是否 有关． 由题中数据计算得到下表（单位：家） 　　　　种植方案 质量指标　　　　　 甲 乙 总计 优质品 １２ １８ ３０ 合格品 ４８ ４２ ９０ 总计 ６０ ６０ １２０ 则χ２ ＝１２０×（１２×４２－１８×４８） ２ ３０×９０×６０×６０ ＝１６， 因为１６＜２７０６， 所以没有充分证据判断该农产品为“优质品”与种植 方案有关，即认为该农产品为“优质品”与种植方案无关． （２）由题意得，抽到的农产品是“优质品”的概率为 ３０ １２０＝ １ ４，且 (Ｘ～Ｂ ２， )１４ ， 则Ｘ的可能取值为０，１，２， Ｐ（Ｘ＝０） (＝ １－ )１４ ２ ＝ ９１６， Ｐ（Ｘ＝１）＝Ｃ (１２ １－ )１４ ×１４ ＝ ６１６＝ ３８， Ｐ（Ｘ＝２） (＝ )１４ ２ ＝ １１６， 所以Ｘ的分布列为 Ｘ ０ １ ２ Ｐ ９１６ ３ ８ １ １６ 所以Ｅ（Ｘ）＝２×１４ ＝ １ ２． 一、单项选择题 １～４　ＤＢＤＡ　５～８　ＣＣＤＢ 二、多项选择题 ９．ＢＣＤ；　１０．ＡＢ；　１１．ＡＣＤ． 三、填空题 １２．Ｙ＝６５Ｘ－１０；　１３．６５；　１４．①②③． 四、解答题 １５．解：该问题是判断吸烟习惯与患慢性气管炎病是否有 关． 根据题中数据计算得到 χ２ ＝３３９×（４３×１２１－１６２×１３） ２ ２０５×５６×２８３×１３４ ≈７４６９， 因为７．４６９＞６．６３５， 所以有９９％的把握判断吸烟习惯与患慢性气管炎病 有关． １６．解：（１）因为ｘ＝２＋３＋４＋６＋１０＋１１６ ＝６， ｙ＝１２＋２２＋２６＋４１＋５３＋６５６ ＝３６５， ｂ^＝ ∑ ６ ｉ＝１ ｘｉｙｉ－６ｘｙ ∑ ６ ｉ＝１ ｘ２ｉ－６ｘ ２ ＝１６８５－６×６×３６５ ２８６－６×６２ ＝３７１７０ ＝５．３， ａ^＝ｙ－ｂ^ｘ＝３６５－５３×６＝４７， 故所求线性回归方程为Ｙ＝４７＋５．３Ｘ． （２）由题得４．７＋５．３Ｘ≥９０－５，解得Ｘ≥１５．１５， 由１５．１５＞１５，符合国家给予公司补贴政策，所以公司 收益达到９０亿元，估计改造投入至少达到１５．１５亿元． １７．解：（１）该问题是判断性别与喜爱打篮球是否有 关． 由题中数据计算得到下表（单位：人）： 　　　　　喜爱打篮球情况 性别　　　　　 喜爱 不喜爱 总计 男生 ２０ ５ ２５ 女生 １０ １５ ２５ 总计 ３０ ２０ ５０ χ２＝５０×（２０×１５－１０×５） ２ ３０×２０×２５×２５ ≈８３３３，因为８３３３＞ ６６３５，所以有９９％的把握判断性别与喜爱打篮球有关． （２）从１０位女生中选出喜欢打羽毛球、喜欢打乒乓 球、喜欢踢足球的各１名，其一切可能的结果组成的基本事 件如下： （Ａ１，Ｂ１，Ｃ１），（Ａ１，Ｂ１，Ｃ２），（Ａ１，Ｂ２，Ｃ１），（Ａ１，Ｂ２，Ｃ２），（Ａ１， Ｂ３，Ｃ１），（Ａ１，Ｂ３，Ｃ２），（Ａ２，Ｂ１，Ｃ１），（Ａ２，Ｂ１，Ｃ２），（Ａ２，Ｂ２， Ｃ１），（Ａ２，Ｂ２，Ｃ２），（Ａ２，Ｂ３，Ｃ１），（Ａ２，Ｂ３，Ｃ２），（Ａ３，Ｂ１，Ｃ１）， （Ａ３，Ｂ１，Ｃ２），（Ａ３，Ｂ２，Ｃ１），（Ａ３，Ｂ２，Ｃ２），（Ａ３，Ｂ３，Ｃ１），（Ａ３， Ｂ３，Ｃ２），（Ａ４，Ｂ１，Ｃ１），（Ａ４，Ｂ１，Ｃ２），（Ａ４，Ｂ２，Ｃ１），（Ａ４，Ｂ２， Ｃ２），（Ａ４，Ｂ３，Ｃ１），（Ａ４，Ｂ３，Ｃ２），（Ａ５，Ｂ１，Ｃ１），（Ａ５，Ｂ１，Ｃ２）， （Ａ５，Ｂ２，Ｃ１），（Ａ５，Ｂ２，Ｃ２），（Ａ５，Ｂ３，Ｃ１），（Ａ５，Ｂ３，Ｃ２）， 基本事件的总数为３０， 用Ｍ表示“Ｂ１，Ｃ１不全被选中”这一事件， 则其对立事件Ｍ表示“Ｂ１，Ｃ１全被选中”这一事件， 由于 Ｍ由（Ａ１，Ｂ１，Ｃ１），（Ａ２，Ｂ１，Ｃ１），（Ａ３，Ｂ１，Ｃ１）， （Ａ４，Ｂ１，Ｃ１），（Ａ５，Ｂ１，Ｃ１）共５个基本事件组成， 所以Ｐ（Ｍ）＝ ５３０＝ １ ６， 由对立事件的概率公式得 Ｐ（Ｍ）＝１－Ｐ（Ｍ）＝１－１６ ＝ ５ ６． １８．解：（１）把月份作为横坐标，相应的月销售额作为 纵坐标，在直角坐标系中描点（ｘｉ，ｙｉ）（ｉ＝１，２，３，４，５）作出 散点图如下图所示． 由图可以看出，各点都在一条直线附近，所以月份与销 售额之间有线性相关关系，求回归直线方程有意义． （２）因为ｘ＝ １５×（２＋４＋５＋６＋８）＝５， ｙ＝ １５×（３０＋４０＋６０＋５０＋７０）＝５０， ∑ ５ ｉ＝１ ｘ２ｉ ＝１４５，∑ ５ ｉ＝１ ｘｉｙｉ＝１３８０，∑ ５ ｉ＝１ ｙ２ｉ ＝１３５００． 所以ｒ＝ １３８０－５×５×５０ （１４５－５×５２）（１３５００－５×５０２槡 ） ≈０．９２， 所以该服装的月份与销售额之间存在着较强的线性关 系． ｂ^＝ ∑ ５ ｉ＝１ ｘｉｙｉ－５ｘｙ ∑ ５ ｉ＝１ ｘ２ｉ－５ｘ ２ ＝１３８０－５×５×５０ １４５－５×５２ ＝６．５， ａ^＝ｙ－ｂ^ｘ＝５０－６．５×５＝１７．５， 于是所求的线性回归方程为Ｙ＝６．５Ｘ＋１７．５． （３）Ｘ＝１２时，Ｙ＝６．５×１２＋１７．５＝９５．５， 所以１２月份的销售额约为９５．５万元． １９．解：（１）该问题是判断该校学生对亚运会项目的了 解情况与性别是否有关．根据题中数据得到下表（单位： 人） 　　　　性别 了解情况　　　　　 男 女 总计 了解 ６ｎ ５ｎ １１ｎ 不了解 ４ｎ ５ｎ ９ｎ 总计 １０ｎ １０ｎ ２０ｎ χ２ ＝２０ｎ×（６ｎ×５ｎ－４ｎ×５ｎ） ２ １０ｎ×１０ｎ×１１ｎ×９ｎ ＝ ２０ｎ ９９≈４．０４０， 因为ｎ∈Ｎ＋，可得ｎ＝２０， 因为χ２≈４０４０＞３８４１， 所以有９５％的把握判断该校学生对亚运会项目的了 解情况与性别有关． （２）①采用分层随机抽样的方法从抽取的不了解亚运 会项目的学生中随机抽取９人， 这９人中男生的人数为４，女生的人数为５， 再从这９人中抽取３人进行面对面交流，“至少抽到一 名女生”的概率为１－ Ｃ３４ Ｃ３９ ＝１－４８４＝ ２０ ２１． ②由题意可知 (Ｘ～Ｂ １０，１１)２０ ， 故Ｅ（Ｘ）＝１０×１１２０＝ １１ ２． ! !"#$% !! !! !&'()(* !+123* !45678/$%#!&#'(!'#) !&9:;/<=>?@ABCDEFG '$' HIJ19KLMN9O456 !PQ4R/$%$$$) !AS6T9UV/$%#!!#'(!')* !##%))%)++(WXYZH[ !T\/]^&9AS6;_`abcdPeWf[ !PQT\UV/!!!+# !ghijTklTmnT ! & 9 o a b c >WA [ p q r s t 9 ! & 9 u < = v ; w x y z { |W? @ A } ~  D €  ‚ ƒ „ w … † y w ‡ ˆ ‰ Š ‹ … ] ^ & 9 A S 6 ; _ Œ  !"#!$% ()#,%'! + !- '- %- ,- #- )- (- +- " &'!& 书书书 核 心 素 养 阶 段 测 评 （ 三 ） ◆ 数 理 报 社 试 题 研 究 中 心 第 Ⅰ 卷 选 择 题 （ 共 ５８ 分 ） 一 、 单 项 选 择 题 ： 本 题 共 ８ 小 题 ， 每 小 题 ５ 分 ， 共 ４０ 分 ． 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 １． 已 知 槡 ｘ ＋ ３ ３ 槡 ( ) ｘｎ 的 展 开 式 中 各 项 系 数 的 和 与 其 各 项 二 项 式 系 数 的 和 之 比 为 ６４ ，则 ｎ ＝ （ 　 　 ） （ Ａ ） ４ （ Ｂ） ５ （ Ｃ） ６ （ Ｄ ） ７ ２． 已 知 随 机 变 量 Ｘ 服 从 正 态 分 布 Ｎ （ ３， σ２ ） ， 若 Ｐ（ Ｘ ＜ ４） ＝ ０． ７８ ，则 Ｐ（ ２ ＜ Ｘ ＜ ３） ＝ （ 　 　 ） （ Ａ ） ０． ２ （ Ｂ） ０． ２４ （ Ｃ） ０． ２８ （ Ｄ ） ０． ３２ ３． 将 ４ 本 完 全 相 同 的 小 说 ，１ 本 诗 集 全 部 分 给 ４ 名 同 学 ， 每 名 同 学 至 少 １ 本 书 ，则 不 同 分 法 有 （ 　 　 ） （ Ａ ） ２４ 种 （ Ｂ） ２８ 种 （ Ｃ） ３２ 种 （ Ｄ ） １６ 种 ４． 根 据 如 下 样 本 数 据 得 到 的 回 归 方 程 为 Ｙ ＝ ａ^ ＋ ｂ^Ｘ ， 若 ａ^ ＝ ５． ４， 则 Ｘ 每 增 加 １ 个 单 位 ，Ｙ 就 （ 　 　 ） Ｘ ３ ４ ５ ６ ７ Ｙ ４ ２． ５ － ０． ５ ０． ５ － ２ （ Ａ ） 增 加 ０． ９ 个 单 位 （ Ｂ） 减 少 ０． ９ 个 单 位 （ Ｃ） 增 加 １ 个 单 位 （ Ｄ ） 减 少 １ 个 单 位 ５． 在 ｎ（ ｎ ∈ Ｎ ＋ ） 次 独 立 重 复 试 验 中 ，每 次 试 验 的 结 果 只 有 Ａ， Ｂ， Ｃ 三 种 ，且 Ａ， Ｂ， Ｃ 三 个 事 件 之 间 两 两 互 斥 ．已 知 在 每 一 次 试 验 中 ， 事 件 Ａ， Ｂ 发 生 的 概 率 均 为 ２ ５ ，则 事 件 Ａ， Ｂ， Ｃ 发 生 次 数 的 方 差 之 比 为 （ 　 　 ） （ Ａ ） ３ ∶ ３ ∶ ２ （ Ｂ） ４ ∶ ４ ∶ ３ （ Ｃ） ５ ∶ ５ ∶ ４ （ Ｄ ） ２ ∶ ２ ∶ １ ６ ． 从 １， ３， ５， ７， ９ 这 ５ 个 奇 数 中 选 取 ３ 个 数 字 ，从 ２， ４， ６， ８ 这 ４ 个 偶 数 中 选 取 ２ 个 数 字 ，再 将 这 ５ 个 数 字 组 成 没 有 重 复 数 字 的 五 位 数 ， 且 奇 数 数 字 与 偶 数 数 字 相 间 排 列 ，这 样 的 五 位 数 的 个 数 是 （ 　 　 ） （ Ａ ） １８ ０ （ Ｂ） ３６ ０ （ Ｃ） ４８ ０ （ Ｄ ） ７２ ０ ７ ． 袋 中 装 有 大 小 相 同 的 黑 球 和 白 球 共 ９ 个 ， 从 中 任 取 ２ 个 都 是 白 球 的 概 率 为 ５ １２ ．现 甲 、乙 两 人 轮 流 从 袋 中 取 球 ， 甲 先 取 、 乙 后 取 、 然 后 甲 再 取 ，… ，每 次 取 出 １ 个 球 ，取 出 的 球 不 放 回 ，直 到 其 中 有 一 人 取 出 白 球 时 终 止 ．用 Ｘ 表 示 取 球 终 止 时 取 球 的 总 次 数 ，则 Ｅ（ Ｘ） ＝ （ 　 　 ） （ Ａ ） ９ ７ （ Ｂ） １０ ７ （ Ｃ） １１ ７ （ Ｄ ） １２ ７ ８ ． 深 受 广 大 球 迷 喜 爱 的 某 支 足 球 队 在 对 球 员 的 使 用 上 总 是 进 行 数 据 分 析 ，根 据 以 往 的 数 据 统 计 ， 乙 球 员 能 够 胜 任 前 锋 、 中 锋 、 后 卫 以 及 守 门 员 四 个 位 置 ， 且 出 场 率 分 别 为 ０． ２， ０． ５， ０． ２， ０． １， 当 乙 球 员 担 当 前 锋 、中 锋 、后 卫 以 及 守 门 员 时 ，球 队 输 球 的 概 率 依 次 为 ０． ４， ０． ２， ０． ６， ０． ２． 当 乙 球 员 参 加 比 赛 时 ， 该 球 队 某 场 比 赛 不 输 球 的 概 率 为 （ 　 　 ） （ Ａ ） ０． ３ （ Ｂ） ０． ３２ （ Ｃ） ０． ６８ （ Ｄ ） ０． ７ 二 、 多 项 选 择 题 ： 本 题 共 ３ 小 题 ， 每 小 题 ６ 分 ， 共 １８ 分 ． ９． 为 弘 扬 我 国 古 代 的 “ 六 艺 文 化 ” ，某 夏 令 营 主 办 单 位 计 划 利 用 暑 期 开 设 “ 礼 ” “ 乐 ” “ 射 ” “ 御 ” “ 书 ” “ 数 ” 六 门 体 验 课 程 ， 每 周 一 门 ， 连 续 开 设 六 周 ．则 （ 　 　 ） （ Ａ ） 某 学 生 从 中 选 ３ 门 ，共 有 ３０ 种 选 法 （ Ｂ） 课 程 “ 射 ” “ 御 ” 排 在 不 相 邻 两 周 ，共 有 ２４ ０ 种 排 法 （ Ｃ） 课 程 “ 礼 ” “ 书 ” “ 数 ” 排 在 相 邻 三 周 ，共 有 １４ ４ 种 排 法 （ Ｄ ） 课 程 “ 乐 ” 不 排 在 第 一 周 ，课 程 “ 御 ” 不 排 在 最 后 一 周 ，共 有 ５０ ４ 种 排 法 １０ ．某 型 号 汽 车 的 平 均 油 耗 Ｙ（ 单 位 ： Ｌ ／１ ００ ｋｍ ） 与 使 用 年 数 Ｘ（ 单 位 ： 年 ） 具 有 线 性 相 关 关 系 ，根 据 一 组 样 本 数 据 ， 用 最 小 二 乘 法 建 立 的 回 归 方 程 为 Ｙ ＝ ６ ２５ ＋ ０ ２８ Ｘ， 则 下 列 结 论 正 确 的 是 （ 　 　 ） （ Ａ ） Ｙ 与 Ｘ 具 有 正 的 线 性 相 关 关 系 （ Ｂ） 所 有 的 样 本 点 都 在 回 归 直 线 上 （ Ｃ） 若 该 型 号 汽 车 多 使 用 一 年 ， 则 其 平 均 油 耗 约 增 加 ６． ２５ Ｌ ／１ ００ ｋｍ （ Ｄ ） 预 计 该 型 号 汽 车 使 用 到 第 １０ 年 平 均 油 耗 会 超 过 ９ Ｌ ／１ ００ ｋｍ １１ ． ( 已 知 二 项 式 ａｘ － １ 槡 ) ｘ ６ ，则 下 列 说 法 正 确 的 是 （ 　 　 ） （ Ａ ） 若 ａ ＝ ２， 则 展 开 式 的 常 数 为 ６０ （ Ｂ） 展 开 式 中 有 理 项 的 个 数 为 ３ （ Ｃ） 若 展 开 式 中 各 项 系 数 之 和 为 ６４ ，则 ａ ＝ ３ （ Ｄ ） 展 开 式 中 二 项 式 系 数 最 大 为 第 ４ 项 第 Ⅱ 卷 非 选 择 题 （ 共 ９２ 分 ） 三 、 填 空 题 ： 本 题 共 ３ 小 题 ， 每 小 题 ５ 分 ， 共 １５ 分 ． １２ ．设 Ｘ ～ Ｂ（ ３， ｐ） ，且 Ｐ（ Ｘ ＝ ２） ＝ ５４ １２ ５， 则 ｐ 的 值 为 ． １３ ．在 高 三 的 一 个 班 中 ，有 １ ４ 的 学 生 数 学 成 绩 优 秀 ， 若 从 班 中 随 机 找 出 ５ 名 学 生 ，那 么 数 学 成 绩 优 秀 的 学 生 数 Ｘ ～ Ｂ ５， ( ) １ ４ ，则 Ｐ（ Ｘ ＝ ｋ） 取 最 大 值 的 ｋ 值 为 ． １４ ．在 （ １ ＋ ｘ） ６ （ １ ＋ ｙ） ４ 的 展 开 式 中 ， 记 ｘｍ ｙｎ 项 的 系 数 为 ｆ（ ｍ ， ｎ） ，则 ｆ（ ３， ０） ＋ ｆ（ ２， １） ＋ ｆ（ １， ２） ＋ ｆ（ ０， ３） ＝ ． 四 、 解 答 题 ： 本 题 共 ５ 小 题 ， 共 ７７ 分 ． １５ ．（ １３ 分 ） 为 了 探 讨 学 生 的 物 理 成 绩 Ｙ 与 数 学 成 绩 Ｘ 之 间 的 关 系 ，从 某 批 学 生 中 随 机 抽 取 １０ 名 学 生 的 成 绩 （ ｘ ｉ ，ｙ ｉ） （ ｉ ＝ １， ２， … ， １０ ） ， 并 已 计 算 出 ∑１０ ｉ＝１ ｘ ｉ ＝ ７５ ８， ∑１０ ｉ＝１ ｘ２ ｉ ＝ ５８ ７３ ２， ∑１０ ｉ＝１ ｙ ｉ ＝ ７７ ４， ∑１０ ｉ＝１ ｘ ｉ ｙ ｉ ＝ ５９ ６８ ６． 试 求 ： （ １） 物 理 成 绩 Ｙ 关 于 数 学 成 绩 Ｘ 的 线 性 回 归 方 程 ； （ 精 确 到 ０ ０１ ） （ ２） 当 数 学 成 绩 为 ９２ 分 时 ，物 理 成 绩 Ｙ 的 线 性 回 归 估 计 值 ．（ 精 确 到 １） １６ ．（ １５ 分 ） 某 校 为 庆 祝 元 旦 ，安 排 了 一 场 文 艺 演 出 ，其 中 有 ２ 个 唱 歌 节 目 ， ３ 个 舞 蹈 节 目 ，３ 个 曲 艺 节 目 ，求 分 别 满 足 下 列 条 件 的 排 节 目 单 的 方 法 ： （ １） １ 个 唱 歌 节 目 开 头 ，另 １ 个 压 轴 ； （ ２） ２ 个 唱 歌 节 目 不 相 邻 ； （ ３） ２ 个 唱 歌 节 目 相 邻 且 ３ 个 舞 蹈 节 目 不 相 邻 ． Ž  M  ‘ ’ “ ” • – — 2 ˜ ™ š › K * œ ! " # $ % & ' ( Ž  M  ‘ ’ “ ” • – — 2 ˜ ™ š › K * œ ) " # $ % & ' ( !" 书 答案详解 　　２０２４～２０２５学年　高中数学北师大版选择性必修第一册　第３３～３６期（２０２５年３月）　　 第３３期２版 专项小练 １．ＡＣＤ；　２．Ｂ；　３．Ｃ；　４．９５％；　５．９９％． ６．解：因为头胎为女孩的频率为０．５， 所以头胎为女孩的总户数为２００×０５＝１００． 因为生二孩的概率为０．５２５， 所以生二孩的总户数为２００×０５２５＝１０５． 该问题是头胎的男女情况与对二孩是否有影响． 根据题中数据得到下表（单位：户）： 　　　　是否生二孩 头胎情况　　　　　 生二孩 不生二孩 总计 头胎为女孩 ６０ ４０ １００ 头胎为男孩 ４５ ５５ １００ 总计 １０５ ９５ ２００ χ２ ＝２００×（６０×５５－４５×４０） ２ １０５×９５×１００×１００ ＝ ６００ １３３≈４．５１１， 因为４５１１＞３８４１， 所以有９５％的把握判断头胎的男女情况对生二孩有影 响． 第３３期３，４版 独立性检验同步核心素养测评 一、单项选择题 １～４　ＢＤＤＡ　５～８　ＢＤＡＤ 提示： １．由题可得χ２的取值范围为（３８４１，６６３５］，因此χ２的值 可能为６５６１．故选（Ｂ）． ２．由表中数据计算得 χ２ ＝１００×（４５×２０－２５×１０） ２ ７０×３０×５５×４５ ≈８１２９， 因为８１２９＞６６３５， 所以有９９％的把握判断性别与关注冰雪运动有关，故选 （Ｄ）． ３．物理类中选择地理的比例为５０１２０＝ ５ １２＝ ２０ ４８， 历史类中选择地理的比例为 ４５ ８０＝ ９ １６＝ ２７ ４８， 因为 ２０ ４８＜ ２７ ４８，所以物理类的学生中选择地理的比例比历 史类的学生中选择地理的比例低，故（Ａ）错误； 物理类中选择生物的比例为 ６５ １２０＝ １３ ２４＝ ２６ ４８， 历史类中选择生物的比例为 ３５ ８０＝ ７ １６＝ ２１ ４８， 因为 ２６ ４８＞ ２１ ４８，所以物理类的学生中选择生物的比例比历 史类的学生中选择生物的比例高，故（Ｂ）错误； 由表格知，物理类中选考生物和不选生物的人数分别是 ６５，５５，合计１２０人；历史类中选考生物和不选生物的人数分别 是３５，４５，合计８０人； ２００人中选生物和不选生物的人数均是１００． 故χ２ ＝２００×（６５×４５－３５×５５） ２ １００×１００×１２０×８０ ≈２０８３， 由２０８３＜２７０６知，没有９０％的把握认为选择生物与选 考类别有关，故（Ｃ）错误； 由２０８３＜３８４１知，没有９５％的把握认为选择生物与选 考类别有关，故（Ｄ）正确．故选（Ｄ）． ４．根据题意，得到如下表（单位：人）： 　　　　专业 性别　　　　　 Ａ Ｂ 总计 女生 １２ ４ １６ 男生 ３８ ４６ ８４ 总计 ５０ ５０ １００ 则χ２ ＝１００×（１２×４６－４×３８） ２ １６×８４×５０×５０ ＝１００２１≈４７６２＞３８４１， 所以有９５％的把握判断工科院校中性别与专业有关                                                        ． —１— 高中数学北师大版选择性必修第一册　第３３～３６期 ５．因为两个变量没有关系， 所以χ２ ＝（８２０＋ａ）×（１００×６００－１２０×ａ） ２ ２２０×（６００＋ａ）×（１００＋ａ）×７２０＝０， 解得ａ＝５００． ６．设男、女大学生各有 ｍ人，根据题意得到下表（单位： 人）： 　　　　看营养说明情况 性别　　　　　　 看 不看 总计 男 ５ ６ｍ １ ６ｍ ｍ 女 ２ ３ｍ １ ３ｍ ｍ 总计 ３ ２ｍ １ ２ｍ ２ｍ 所以χ２ ＝ ２ (ｍ ５６ｍ×１３ｍ－１６ｍ×２３ )ｍ ２ ３ ２ｍ× １ ２ｍ×ｍ×ｍ ＝２ｍ２７． 因为有９９％的把握认为性别与是否看营养说明之间有 关，所以 ２ｍ ２７＞６６３５，解得２ｍ＞１７９１４５，所以总人数的最小整 数为１８０．故选（Ｄ）． ７．与专业关联的χ２的观测值χ２２≈９０９０，明显大于６６３５， 所以有９９％的把握判断毕业生的选择意愿与专业相关联，故 （Ａ）正确； 因为χ２２ ＞χ ２ １，故（Ｂ）不正确； 根据题中的数据表列出专业与甲、乙公司的关联表可知， 理科专业的学生更倾向于选择甲公司，故（Ｃ）不正确； 列出性别与甲、乙公司的关联表可知，女性毕业生更倾向 于选择乙公司，故（Ｄ）不正确．故选（Ａ）． ８．当ａ＝３００时， χ２ ＝１４８０×（２００×３００－１８０×８００） ２ ３８０×１１００×１０００×４８０ ≈５２０４８， 因为５２０４８＞２７０６， 所以有９０％的把握判断Ａ与Ｂ有关； 当ａ＝４００时， χ２ ＝１５８０×（２００×４００－１８０×８００） ２ ３８０×１２００×１０００×５８０ ≈２４４６９， 因为２４４６９＞２７０６， 所以有９０％的把握判断Ａ与Ｂ有关； 当ａ＝５００时， χ２ ＝１６８０×（２００×５００－１８０×８００） ２ ３８０×１３００×１０００×６８０ ≈９６８２， 因为９６８２＞２７０６， 所以有９０％的把握判断Ａ与Ｂ有关； 当ａ＝６００时， χ２ ＝１７８０×（２００×６００－１８０×８００） ２ ３８０×１４００×１０００×７８０ ≈２４７１， 因为２４７１＜２７０６， 所以没有充分证据判断Ａ与Ｂ有关联，可以认为Ａ与Ｂ无 关．故选（Ｄ）． 二、多项选择题 ９．ＣＤ；　１０．ＡＣ；　１１．ＡＢＤ． 提示： ９．根据ａ＞５且１５－ａ＞５，ａ∈Ｚ，知ａ可取６，７，８，９．由 表中数据及题意，得 χ２ ＝６５×［ａ（３０＋ａ）－（１５－ａ）（２０－ａ）］ ２ ２０×４５×１５×５０ ＝１３×（１３ａ－６０） ２ ２０×４５×３×２ ＞３８４１， 结合选项知ａ的可能取值为８，９． 故选（Ｃ）（Ｄ）． １０．设这１００名学生中学习效率高的人数有ｎ人， 由题意有 ｎ １００＝０４，得ｎ＝４０． 所以Ｈ高中的５０名学生中有３０人学习效率高，Ｍ高中的 ５０名学生中有１０人学习效率高， 所以Ｈ高中的前５０名学生中有３０５０×１００％ ＝６０％的学生学 习效率高，故（Ａ）正确； Ｍ高中的前５０名学生中有１０５０×１００％ ＝２０％ 学习效率 高，故（Ｂ）不正确； 根据以上数据得到下表： 　　　　学习效率 学校　　　　　 高 不高 总计 Ｈ高中 ３０ ２０ ５０ Ｍ高中 １０ ４０ ５０ 总计 ４０ ６０ １００ χ２ ＝１００×（３０×４０－２０×１０） ２ ４０×６０×５０×５０ ≈１６６６７， 因为１６６６７＞６６３５， 所以有９９％的把握判断晚上睡眠是否充足与学生效率高 低有关，所以（Ｃ）正确，（Ｄ）不正确． 故选（Ａ）（Ｃ）． １１．该同学再购买两个这款盲盒，基本事件有：（Ａ，Ａ），（Ａ                                                                      ， —２— 高中数学北师大版选择性必修第一册　第３３～３６期 Ｂ），（Ａ，Ｃ），（Ｂ，Ａ），（Ｂ，Ｂ），（Ｂ，Ｃ），（Ｃ，Ａ），（Ｃ，Ｂ），（Ｃ，Ｃ），能 收集齐这三种样式的基本事件有（Ｂ，Ｃ），（Ｃ，Ｂ），所以恰好能 收集齐这三种样式的概率是 ２ ９，故（Ａ）正确； 购买盲盒的人数为２００×３０％ ＝６０（人），则未购买盲盒的 人数为 １４０人，在未购买人中女生人数为 １４０×５０％ ＝ ７０（人）． 所以表中ｘ的值为７０，（Ｂ）正确； χ２ ＝２００×（７０×４０－７０×２０） ２ ９０×１１０×１４０×６０ ≈４７１４， 因为４７１４＞３．８４１． 所以有９５％的把握判断购买盲盒与性别有关，（Ｃ）错误， （Ｄ）正确． 故选（Ａ）（Ｂ）（Ｄ）． 三、填空题 １２．２１；　１３．②③④；　１４．２８． 提示： １２．χ２ ＝２００×（１００×２０－６０×２０） ２ １６０×４０×１２０×８０ ＝ ２５ １２≈２．１． １３．对于①，χ２的值越大，说明有更大的把握认为Ｘ与Ｙ有 关系，但却不能判断其相关性大小，故①错； 对于②，由临界值数据可知χ２的值越小，“Ｘ与Ｙ有关系” 的可信程度越小，故②正确； 对于③，χ２ ＝４＞３８４１，所以有９５％的把握认为“Ｘ与Ｙ 有关系”，故③正确； 对于④，若２×２列联表中，若每个数据变为原来的３倍， 则χ２的值变为 ３ｎ（３ａ×３ｄ－３ｂ×３ｃ） ２ （３ａ＋３ｂ）（３ｃ＋３ｄ）（３ａ＋３ｃ）（３ｂ＋３ｄ）＝３× ｎ（ａｄ－ｂｃ）２ （ａ＋ｂ）（ｃ＋ｄ）（ａ＋ｃ）（ｂ＋ｄ），是原来的３倍，故④正确． １４．由题可得ａ＋６＝１８，所以ａ＝１２． 因为ａ＋ｂ＝２０，所以ｂ＝８． 因为６＋ｄ＝３０，所以ｄ＝２４， 所以ａ－ｂ＋ｄ＝１２－８＋２４＝２８． 四、解答题 １５．解：该问题是判断数学兴趣与学生报考文、理是否有 关． 由表中数据得χ２的观测值 χ２ ＝３６１×（１３８×５２－７３×９８） ２ ２１１×１５０×２３６×１２５ ≈００００１９， 因为０．０００１９＜２７０６， 所以没有充分证据判断数学兴趣与报文、理有关，可以认 为数学兴趣与报考文、理无关． １６．解：由题意得 　　　　休闲方式 性别　　　　　 看电视 运动 总计 女 ４３ ２７ ７０ 男 ２１ ３３ ５４ 总计 ６４ ６０ １２４ 该问题是判断性别与休闲方式是否有关． 根据表中数据计算随机变量χ２的观测值 χ２ ＝１２４×（４３×３３－２７×２１） ２ ７０×５４×６４×６０ ≈６２０１， 因为６．２０１＞３８４１， 所以有９５％的把握判断性别与休闲方式有关． １７．解：（１）由题可得“锻炼达标”的人数为 ３００×（００３＋００４）×１０＝２１０． 由题中数据计算得到下表（单位：人）： 　　　　锻炼是否达标 身体素质　　　　　 达标 不达标 总计 合格 １４０ ４０ １８０ 不合格 ７０ ５０ １２０ 总计 ２１０ ９０ ３００ （２）该问题是判断学生身体素质与锻炼时间是否有关． χ２ ＝３００×（１４０×５０－４０×７０） ２ １８０×１２０×２１０×９０ ＝ ３５０ ２７≈１２９６３， 因为１２９６３＞６６３５， 所以有９９％的把握判断学生身体素质与锻炼时间有关． １８．解：（１）该问题是判断 Ａ市使用共享单车情况与年龄 是否有关． χ２ ＝２００×（７０×４０－６０×３０） ２ １３０×７０×１００×１００ ≈２１９８， 因为２．１９８＜２７０６， 所以没有充分证据判断 Ａ市使用共享单车情况与年龄有 关，可以认为Ａ市使用共享单车情况与年龄无关． （２）（ⅰ）依题意可知所抽取的５名３０岁以上的网友中， 经常使用共享单车的有５×６０１００＝３（人）， 偶尔或不用共享单车的有５×４０１００＝２（人）． （ⅱ）由题知２人都没有经常使用共享单车的概率为 Ｐ１ ＝ Ｃ２２ Ｃ２５ ＝ １１０， 故选出的２人中至少有１                                                                      人经常使用共享单车的概率为 —３— 高中数学北师大版选择性必修第一册　第３３～３６期 Ｐ２ ＝１－ １ １０＝ ９ １０． １９．解：（１）由题意知，甲方案中农产品为“优质品”的农 场有６０×２０％ ＝１２（家），甲、乙两种方案中农产品为“优质 品”的农场共有５＋１０＋１５＝３０（家），该问题是判断该农产品 为“优质品”与种植方案是否有关． 由题中数据计算得到下表（单位：家） 　　　　种植方案 质量指标　　　　　 甲 乙 总计 优质品 １２ １８ ３０ 合格品 ４８ ４２ ９０ 总计 ６０ ６０ １２０ 则χ２ ＝１２０×（１２×４２－１８×４８） ２ ３０×９０×６０×６０ ＝１６， 因为１６＜２７０６， 所以没有充分证据判断该农产品为“优质品”与种植方案 有关，即认为该农产品为“优质品”与种植方案无关． （２）由题意得，抽到的农产品是“优质品”的概率为 ３０ １２０＝ １ ４，且 (Ｘ～Ｂ ２， )１４ ， 则Ｘ的可能取值为０，１，２， Ｐ（Ｘ＝０） (＝ １－ )１４ ２ ＝ ９１６， Ｐ（Ｘ＝１）＝Ｃ (１２ １－ )１４ ×１４ ＝ ６１６＝ ３８， Ｐ（Ｘ＝２） (＝ )１４ ２ ＝ １１６， 所以Ｘ的分布列为 Ｘ ０ １ ２ Ｐ ９１６ ３ ８ １ １６ 所以Ｅ（Ｘ）＝２×１４ ＝ １ ２． 第３４期 统计案例核心素养综合测评 一、单项选择题 １～４　ＤＢＤＡ　５～８　ＣＣＤＢ 提示： ２．依题意得，珋ｘ＝ １６×（０＋１＋４＋５＋６＋８）＝４， ｙ－＝１６×（１．３＋１．８＋５．６＋６．１＋７．４＋９．３）＝５．２５． 又直线Ｙ＝０．９５Ｘ＋ａ^必过样本中心点（珋ｘ，珋ｙ）， 即点（４，５．２５）， 于是有５．２５＝０．９５×４＋ａ^， 由此解得 ａ^＝１．４５，选（Ｂ）． ３．因为Ｙ＝－０．１Ｚ＋１， 所以Ｙ随Ｚ的增大而减小，即Ｙ与Ｚ负相关， 又Ｙ与Ｘ负相关，故Ｘ增大时，Ｙ减小，Ｚ增大， 所以Ｘ与Ｚ正相关．故选（Ｄ）． ４．由题意有３．９１８＞３．８４１， 所以有９５％的把握判断“这种血清能起到预防感冒的作 用”．故选（Ａ）． ５．注意Ｘ前面是负的． ６．有两种方法：（１）利用｜ａｄ－ｂｃ｜越大越有关进行判断； （２）利用 ａａ＋ｂ与 ｃ ｃ＋ｄ相差越大越有关进行判断． 经计算比较可知说明Ｘ与Ｙ有关的可能性最大的一组为 选项（Ｃ）． ７．由回归分析的概念可知选（Ｄ）． ８．由表１得χ２ ＝５２×（６×２５－７×１４） ２ ２０×３２×１３×３９ ≈０．４３， 由表２得χ２ ＝５２×（２×２１－１１×１８） ２ ２０×３２×１３×３９ ＝３．９， 由表３得χ２ ＝５２×（４×２３－９×１６） ２ ２０×３２×１３×３９ ≈０．４３， 由表４得χ２ ＝５２×（７×２６－６×１３） ２ ２０×３２×１３×３９ ≈１．７３， 所以这四种慢性疾病可以通过坚持锻炼来预防的可能性 最大的是高血压，故选（Ｂ）． 二、多项选择题 ９．ＢＣＤ；　１０．ＡＢ；　１１．ＡＣＤ． 提示： ９．对于相关系数ｒ，有以下结论： ①当ｒ＞０时，两个变量正相关； 当ｒ＜０时，两个变量负相关； ②相关系数ｒ的绝对值越接近于１，两个变量间线性相关 性越强；相关系数ｒ的绝对值越接近于０，两个变量之间几乎不 存在线性相关关系． 当ｒ＜０时，ｒ越大，｜ｒ｜越接近于０，两个变量间的线性相 关性越弱，故（Ａ）错误； 由相关系数的意义可得，－１≤ｒ≤１，故（Ｂ）正确； 由相关系数的意义可得（Ｃ）正确； 因为相关系数ｒ的绝对值越接近１，                                                                      两个变量间线性相关 —４— 高中数学北师大版选择性必修第一册　第３３～３６期 性越强，所以相关系数ｒ＝１时，样本点在同一直线上，故（Ｄ） 正确． 故选（Ｂ）（Ｃ）（Ｄ）． １０．设男生可能有ｘ人，依题意得女生有ｘ人，由题中数据 计算得到下表（单位：人） 　　　　喜欢抖音情况 性别　　　　　 喜欢 不喜欢 总计 男生 ４ ５ｘ １ ５ｘ ｘ 女生 ３ ５ｘ ２ ５ｘ ｘ 总计 ７ ５ｘ ３ ５ｘ ２ｘ 由题可得χ２ ＞２．７０６， 即χ２＝ ２ｘ (· ４５ｘ·２５ｘ－３５ｘ·１５ )ｘ ２ ７ ５ｘ· ３ ５ｘ·ｘ·ｘ ＝２２１ｘ＞２．７０６， 解得ｘ＞２８．４１３， 由题意知ｘ＞０，且ｘ是５的整数倍，所以３０和３５都满足题 意．故选（Ａ）（Ｂ）． １１．ｘ＝１＋２＋３＋４＋５＋６６ ＝３．５， ｙ＝５５０＋６５０＋７５０＋８１０＋９５５＋１０５５６ ＝７９５， 所以样本中心点为（３．５，７９５）． 将其代入Ｙ＝１００Ｘ＋ａ^，得 ａ^＝４４５，故（Ａ）正确； 由选项（Ａ）得线性回归方程为Ｙ＝１００Ｘ＋４４５， 因此销售该玩具所获得的利润逐周增加，平均每周增加约 １００元，故（Ｂ）不正确； 第５周实际统计值与预测值的差为 ９５５－（１００×５＋４４５）＝１０，故（Ｃ）正确； 第７周时，将Ｘ＝７代入回归方程可得 Ｙ＝１００×７＋４４５＝１１４５（元），故（Ｄ）正确． 故选（Ａ）（Ｃ）（Ｄ）． 三、填空题 １２．Ｙ＝６５Ｘ－１０；　１３．６５；　１４．①②③． 提示： １２．由题意知ｘ＝２，ｙ＝３，ｂ^＝６５， 所以 ａ^＝ｙ－ｂ^ｘ＝３－６５×２＝－１０， 即回归直线的方程为Ｙ＝６５Ｘ－１０． １３．将Ｘ＝６００代入回归方程得 Ｙ＝００１×６００＋０５＝６５． １４．回归方程Ｙ＝３－５Ｘ，变量Ｘ增加一个单位时，Ｙ平均减 小５个单位，故①不正确； 曲线上的点与该点的坐标之间具有一一对应关系，故 ② 不正确； 因为χ２＝１３０７９＞６６３５，所以有９９％的把握判断两个变 量间有关系，故③不正确． 四、解答题 １５．解：该问题是判断吸烟习惯与患慢性气管炎病是否有 关． 根据题中数据计算得到 χ２ ＝３３９×（４３×１２１－１６２×１３） ２ ２０５×５６×２８３×１３４ ≈７４６９， 因为７．４６９＞６．６３５， 所以有９９％的把握判断吸烟习惯与患慢性气管炎病有 关． １６．解：（１）因为ｘ＝２＋３＋４＋６＋１０＋１１６ ＝６， ｙ＝１２＋２２＋２６＋４１＋５３＋６５６ ＝３６５， ｂ^＝ ∑ ６ ｉ＝１ ｘｉｙｉ－６ｘｙ ∑ ６ ｉ＝１ ｘ２ｉ－６ｘ ２ ＝１６８５－６×６×３６５ ２８６－６×６２ ＝３７１７０ ＝５．３， ａ^＝ｙ－ｂ^ｘ＝３６５－５３×６＝４７， 故所求线性回归方程为Ｙ＝４７＋５．３Ｘ． （２）由题得４．７＋５．３Ｘ≥９０－５，解得Ｘ≥１５．１５， 由１５．１５＞１５，符合国家给予公司补贴政策， 所以公司收益达到９０亿元，估计改造投入至少达到１５．１５亿 元． １７．解：（１）该问题是判断性别与喜爱打篮球是否有关． 由题中数据计算得到下表（单位：人）： 　　　　　喜爱打篮球情况 性别　　　　　 喜爱 不喜爱 总计 男生 ２０ ５ ２５ 女生 １０ １５ ２５ 总计 ３０ ２０ ５０ χ２ ＝５０×（２０×１５－１０×５） ２ ３０×２０×２５×２５ ≈８３３３， 因为８３３３＞６６３５， 所以有９９％的把握判断性别与喜爱打篮球有关． （２）从１０位女生中选出喜欢打羽毛球、喜欢打乒乓球、喜 欢踢足球的各１名，其一切可能的结果组成的基本事件如下： （Ａ１，Ｂ１，Ｃ１），（Ａ１，Ｂ１，Ｃ２），（Ａ１，Ｂ２，Ｃ１），（Ａ１，Ｂ２，Ｃ２），（Ａ１，Ｂ３                                                                      ， —５— 高中数学北师大版选择性必修第一册　第３３～３６期 Ｃ１），（Ａ１，Ｂ３，Ｃ２），（Ａ２，Ｂ１，Ｃ１），（Ａ２，Ｂ１，Ｃ２），（Ａ２，Ｂ２，Ｃ１）， （Ａ２，Ｂ２，Ｃ２），（Ａ２，Ｂ３，Ｃ１），（Ａ２，Ｂ３，Ｃ２），（Ａ３，Ｂ１，Ｃ１），（Ａ３，Ｂ１， Ｃ２），（Ａ３，Ｂ２，Ｃ１），（Ａ３，Ｂ２，Ｃ２），（Ａ３，Ｂ３，Ｃ１），（Ａ３，Ｂ３，Ｃ２）， （Ａ４，Ｂ１，Ｃ１），（Ａ４，Ｂ１，Ｃ２），（Ａ４，Ｂ２，Ｃ１），（Ａ４，Ｂ２，Ｃ２），（Ａ４，Ｂ３， Ｃ１），（Ａ４，Ｂ３，Ｃ２），（Ａ５，Ｂ１，Ｃ１），（Ａ５，Ｂ１，Ｃ２），（Ａ５，Ｂ２，Ｃ１）， （Ａ５，Ｂ２，Ｃ２），（Ａ５，Ｂ３，Ｃ１），（Ａ５，Ｂ３，Ｃ２）， 基本事件的总数为３０， 用Ｍ表示“Ｂ１，Ｃ１不全被选中”这一事件， 则其对立事件Ｍ表示“Ｂ１，Ｃ１全被选中”这一事件， 由于Ｍ由（Ａ１，Ｂ１，Ｃ１），（Ａ２，Ｂ１，Ｃ１），（Ａ３，Ｂ１，Ｃ１），（Ａ４，Ｂ１， Ｃ１），（Ａ５，Ｂ１，Ｃ１）共５个基本事件组成， 所以Ｐ（Ｍ）＝ ５３０＝ １ ６， 由对立事件的概率公式得 Ｐ（Ｍ）＝１－Ｐ（Ｍ）＝１－１６ ＝ ５ ６． １８．解：（１）把月份作为横坐标，相应的月销售额作为纵坐 标，在直角坐标系中描点（ｘｉ，ｙｉ）（ｉ＝１，２，３，４，５）作出散点图 如下图所示． !"#!$% !"#$%&' ( ') &) %) $) #) ") !) () " &'!& 由图可以看出，各点都在一条直线附近，所以月份与销售 额之间有线性相关关系，求回归直线方程有意义． （２）因为ｘ＝ １５×（２＋４＋５＋６＋８）＝５， ｙ＝ １５×（３０＋４０＋６０＋５０＋７０）＝５０， ∑ ５ ｉ＝１ ｘ２ｉ ＝１４５，∑ ５ ｉ＝１ ｘｉｙｉ＝１３８０，∑ ５ ｉ＝１ ｙ２ｉ ＝１３５００． 所以ｒ＝ １３８０－５×５×５０ （１４５－５×５２）（１３５００－５×５０２槡 ） ≈０．９２， 所以该服装的月份与销售额之间存在着较强的线性关系． ｂ^＝ ∑ ５ ｉ＝１ ｘｉｙｉ－５ｘｙ ∑ ５ ｉ＝１ ｘ２ｉ－５ｘ ２ ＝１３８０－５×５×５０ １４５－５×５２ ＝６．５， ａ^＝ｙ－ｂ^ｘ＝５０－６．５×５＝１７．５， 于是所求的线性回归方程为Ｙ＝６．５Ｘ＋１７．５． （３）Ｘ＝１２时，Ｙ＝６．５×１２＋１７．５＝９５．５， 所以１２月份的销售额约为９５．５万元． １９．解：（１）该问题是判断该校学生对亚运会项目的了解 情况与性别是否有关．根据题中数据得到下表（单位：人） 　　　　性别 了解情况　　　　　 男 女 总计 了解 ６ｎ ５ｎ １１ｎ 不了解 ４ｎ ５ｎ ９ｎ 总计 １０ｎ １０ｎ ２０ｎ χ２ ＝２０ｎ×（６ｎ×５ｎ－４ｎ×５ｎ） ２ １０ｎ×１０ｎ×１１ｎ×９ｎ ＝ ２０ｎ ９９≈４．０４０， 因为ｎ∈Ｎ＋，可得ｎ＝２０， 因为χ２≈４０４０＞３８４１， 所以有９５％的把握判断该校学生对亚运会项目的了解情 况与性别有关． （２）①采用分层随机抽样的方法从抽取的不了解亚运会 项目的学生中随机抽取９人， 这９人中男生的人数为４，女生的人数为５， 再从这９人中抽取３人进行面对面交流，“至少抽到一名 女生”的概率为１－ Ｃ３４ Ｃ３９ ＝１－４８４＝ ２０ ２１． ②由题意可知 (Ｘ～Ｂ １０，１１)２０ ，故Ｅ（Ｘ）＝１０×１１２０＝１１２． 第３５期３，４版 核心素养阶段测评（三） 一、单项选择题 １～４　ＣＣＤＢ　５～８　ＡＤＢＣ 提示： １．令ｘ＝１，各项系数的和为４ｎ，二项式系数的和为２ｎ，故 有 ４ｎ ２ｎ ＝６４，所以ｎ＝６． ２．由题可得Ｐ（Ｘ≥４）＝Ｐ（Ｘ≤２）＝１－０．７８＝０．２２， 则Ｐ（２≤Ｘ≤４）＝１－２×０．２２＝０．５６， 故 Ｐ（２＜Ｘ＜３）＝１２Ｐ（２≤Ｘ≤４）＝ １ ２×０．５６＝０２８． ３．由题意得，每名同学至少１本书，可分为两类分法：一是 把诗集分下去，其他４本相同的小说，只有一种分法，共有Ｃ１４＝ ４种；第二类是把诗集单独给一个同学，其中２本相同的小说分 给一位同学，共有Ａ２４ ＝１２种分法，共有４＋１２＝１６种． ４．由题意可得 ｘ＝５，ｙ＝ １５（４＋２．５－０．５＋０．５－２）＝０．９                                                                      ， —６— 高中数学北师大版选择性必修第一册　第３３～３６期 因为回归直线过点（５，０．９）， 所以０．９＝５．４＋５ｂ^，解得 ｂ^＝－０．９， 所以Ｘ每增加一个单位，Ｙ就减少０．９个单位． ５．由题意得，每一次试验中，事件Ｃ发生的概率为 １５， 设事件Ａ，Ｂ，Ｃ发生的次数分别为随机变量Ｘ，Ｙ，Ｚ， 则有 (Ｘ～Ｂ ｎ， )２５ ， (Ｙ～Ｂ ｎ， )２５ ， (Ｚ～Ｂ ｎ， )１５ ． 则事件Ａ，Ｂ，Ｃ发生次数的方差分别为 ６２５ｎ， ６ ２５ｎ， ４ ２５ｎ． 故事件Ａ，Ｂ，Ｃ发生次数的方差之比为３∶３∶２． ６．从１，３，５，７，９这５个奇数中选取３个数字，从２，４，６，８这 ４个偶数中选取２个数字，共有Ｃ３５Ｃ ２ ４ ＝６０种选法； 又３个奇数数字与２个偶数数字相间排列，利用插空法可 知共有Ａ３３Ａ ２ ２ ＝１２种排法， 所以这样的五位数共有６０×１２＝７２０（个）． ７．易得袋中白球的个数为６．则由题意得，Ｘ的可能取值为 １，２，３，４． Ｐ（Ｘ＝１）＝ ６９ ＝ ２ ３， Ｐ（Ｘ＝２）＝３×６９×８＝ １ ４， Ｐ（Ｘ＝３）＝３×２×６９×８×７＝ １ １４， Ｐ（Ｘ＝４）＝３×２×１×６９×８×７×６＝ １ ８４． 所以Ｅ（Ｘ）＝１×２３＋２× １ ４＋３× １ １４＋４× １ ８４＝ １０ ７． ８．设Ａ１表示“乙球员担当前锋”， Ａ２表示“乙球员担当中锋”， Ａ３表示“乙球员担当后卫”， Ａ４表示“乙球员担当守门员”， Ｂ表示“当乙球员参加比赛时，球队输球”． 则 Ｐ（Ｂ） ＝ Ｐ（Ａ１）Ｐ（Ｂ｜Ａ１）＋Ｐ（Ａ２）Ｐ（Ｂ｜Ａ２）＋ Ｐ（Ａ３）Ｐ（Ｂ｜Ａ３）＋Ｐ（Ａ４）Ｐ（Ｂ｜Ａ４） ＝０２×０．４＋０．５×０．２＋０．２×０．６＋０．１×０．２＝０．３２， 所以当乙球员参加比赛时，该球队某场比赛不输球的概率 为１－０．３２＝０．６８．故选（Ｃ）． 二、多项选择题 ９．ＣＤ；　１０．ＡＤ；　１１．ＡＤ． 提示： ９．６门中选３门共有Ｃ３６ ＝２０种，故（Ａ）错误； 课程“射”“御”排在不相邻两周，共有 Ａ４４Ａ ２ ５ ＝４８０种排 法，故（Ｂ）错误； 课程“礼”“书”“数”排在相邻三周，共有Ａ３３Ａ ４ ４＝１４４种排 法，故（Ｃ）正确； 课程“乐”不排在第一周，课程“御”不排在最后一周，共 有Ａ５５＋Ｃ １ ４Ｃ １ ４Ａ ４ ４ ＝５０４种排法，故（Ｄ）正确．故选（Ｃ）（Ｄ）． １０．因为０．２８＞０，所以Ｙ与Ｘ具有正的线性相关关系，故 （Ａ）正确； 回归直线过样本点的中心（ｘ，ｙ），样本点不一定在回归直 线上，故（Ｂ）错误； 该型号汽车多使用一年，则其平均油耗约增加０．２８Ｌ／１００ｋｍ， 故（Ｃ）错误； Ｘ＝１０时，Ｙ＝６．２５＋０．２８×１０＝９．０５＞９， 所以预计该型号汽车使用到第 １０年平均油耗会超过 ９Ｌ／１００ｋｍ，（Ｄ）正确． 故选（Ａ）（Ｄ）． １１．当 ａ ＝ ２时，Ｔｒ＋１ ＝ Ｃ ｒ ６（２ｘ） ６ (－ｒ － ｘ－ )１２ ｒ ＝ （－１）ｒＣｒ６２ ６－ｒｘ６－ ３ ２ｒ，其中ｒ为整数，且０≤ｒ≤６， 令６－３２ｒ＝０，解得ｒ＝４，此时（－１） ｒＣｒ６２ ６－ｒ＝１５×４＝ ６０，故常数项为６０，故（Ａ）正确； Ｔｒ＋１ ＝Ｃ ｒ ６（ａｘ） ６ (－ｒ －ｘ－ )１２ ｒ＝（－１）ｒＣｒ６ａ６－ｒｘ６－３２ｒ，其中ｒ为 整数，且０≤ｒ≤６， 当ｒ＝０时，６－３２ｒ＝６；当ｒ＝２时，６－ ３ ２ｒ＝３；当ｒ＝ ４时，６－３２ｒ＝０；当ｒ＝６时，６－ ３ ２ｒ＝－３，满足有理项要求， 故有４项，故（Ｂ）错误； (令 ａｘ－１ 槡 )ｘ ６ 中的ｘ＝１，得（ａ－１）６ ＝６４， 所以ａ＝３或ａ＝－１，故（Ｃ）错误； 展开式共有７项，最中间一项二项式系数最大，而最中间 为第４项，所以展开式中二项式系数最大为第４项，故（Ｄ）正 确．故选（Ａ）（Ｄ）． 三、填空题 １２．３５；　１３．１；　１４．１２０． 提示： １２．由题意得Ｃ２３ｐ ２（１－ｐ）＝５４１２５， 即ｐ２（１－ｐ）＝１８１２５＝ ２×３２ ５３ ，解得ｐ＝ ３５                                                                      ． —７— 高中数学北师大版选择性必修第一册　第３３～３６期 １３．依题意，Ｃｋ５( )３４ ５－ｋ( )１４ ｋ ≥Ｃｋ－１５ ( )３４ ５－（ｋ－１） ·( )１４ ｋ－１ 且 Ｃｋ５( )３４ ５－ｋ( )１４ ｋ ≥Ｃｋ＋１５ ( )３４ ５－（ｋ＋１）( )１４ ｋ＋１ ， 解得 １ ２≤ｋ≤ ３ ２，所以ｋ＝１． １４．根据二项式定理，（１＋ｘ）６的展开式中，ｘｍ的系数为 Ｃｍ６，（１＋ｙ） ４的展开式中，ｙｎ的系数为Ｃｎ４， 所以ｆ（ｍ，ｎ）＝Ｃｍ６·Ｃ ｎ ４， 所以ｆ（３，０）＋ｆ（２，１）＋ｆ（１，２）＋ｆ（０，３） ＝Ｃ３６Ｃ ０ ４＋Ｃ ２ ６Ｃ １ ４＋Ｃ １ ６Ｃ ２ ４＋Ｃ ０ ６Ｃ ３ ４ ＝２０×１＋１５×４＋６×６＋１×４＝１２０． 四、解答题 １５．解：（１）ｘ＝ １１０∑ １０ ｉ＝１ ｘｉ＝７５８，ｙ＝ １ １０∑ １０ ｉ＝１ ｙｉ＝７７４， ｂ^＝ ∑ １０ ｉ＝１ ｘｉｙｉ－１０ｘｙ ∑ １０ ｉ＝１ ｘ２ｉ－１０ｘ ２ ＝５９６８６－１０×７５８×７７４ ５８７３２－１０×７５·８２ ≈０８０， ａ^＝ｙ－ｂ^ｘ＝７７４－０８０×７５８＝１６７６， 所以Ｙ关于Ｘ的线性回归方程为Ｙ＝０８０Ｘ＋１６７６． （２）当Ｘ＝９２时，Ｙ＝０８×９２＋１６７６＝９０３６≈９０． 故当数学成绩为９２分时，物理成绩Ｙ的线性回归估计值为 ９０． １６．解：（１）先排唱歌节目有 Ａ２２种排法，再排其他节目有 Ａ６６种排法，所以共有Ａ ２ ２Ａ ６ ６ ＝１４４０种排法． （２）先排３个舞蹈节目，３个曲艺节目有Ａ６６种排法，再从其 中７个空（包括两端）中选２个排唱歌节目，有Ａ２７种方法． 所以共有Ａ６６Ａ ２ ７ ＝３０２４０种排法． （３）先把２个相邻的唱歌节目看成一个元素，与３个曲艺 节目排列共有Ａ４４种排法，再将３个舞蹈节目插入，共有Ａ ３ ５种插 入的方法，最后将２个唱歌节目全排列有Ａ２２种排法． 由分步乘法计数原理知，共有Ａ４４Ａ ３ ５Ａ ２ ２ ＝２８８０种排法． １７．解：（１）因为对冰壶运动有兴趣的男生与女生的人数 比为４∶３，男生有８０人对冰壶运动感兴趣，所以女生有６０人对 冰壶运动感兴趣． 由调查数据显示，男大学生中对冰壶运动感兴趣的比率为 ８０ １００＝０８， 因此男大学生对冰壶运动感兴趣的概率的估计值为０．８． 女大学生中对冰壶运动感兴趣的比率为 ６０ １００＝０．６， 因此女大学生对冰壶运动感兴趣的概率的估计值为０６． （２）该问题是判断男、女大学生对冰壶运动的兴趣是否有 差异． 根据题中数据得到下表（单位：人）： 　　　　兴趣情况 性别　　　　　 感兴趣 不感兴趣 总计 男 ８０ ２０ １００ 女 ６０ ４０ １００ 总计 １４０ ６０ ２００ χ２ ＝２００×（８０×４０－６０×２０） ２ １００×１００×１４０×６０ ＝ ２００ ２１≈９．５２４， 因为９５２４＞６６３５， 所以有９９％的把握判断男、女大学生对冰壶运动的兴趣 有差异． １８．解：（１）通项公式为 Ｔｒ＋１ ＝Ｃ ｒ ｎｘ ｎ－ｒ ３ －( )１２ ｒ ｘ－ ｒ ３ ＝ Ｃｒｎ －( )１２ ｒ ｘ ｎ－２ｒ ３ ． 因为第６项为常数项，所以ｒ＝５时，有ｎ－２ｒ３ ＝０， 即ｎ＝１０． （２）令１０－２ｒ３ ＝２，得ｒ＝ １ ２（１０－６）＝２， 所以所求的系数为Ｃ２１０× －( )１２ ２ ＝４５４． （３）根据通项公式，由题意得 １０－２ｒ ３ ∈Ｚ， ０≤ｒ≤１０， ｒ∈Ｎ { ． 令 １０－２ｒ ３ ＝ｋ（ｋ∈Ｚ），则１０－２ｒ＝３ｋ，即ｒ＝５－ ３ ２ｋ． 又因为ｒ∈Ｎ，所以ｋ应为偶数， 所以ｋ可取２，０，－２，即ｒ可取２，５，８． 所以第３项、第６项与第９项为有理项，它们分别为４５４ｘ ２， －６３８， ４５ ２５６ｘ２ ． １９．解：（１）ｘ甲 ＝ ７４＋８５＋８６＋９０＋９３ ５ ＝８５．６， ｘ乙 ＝ ７６＋８３＋８５＋８７＋９７ ５ ＝８５．６， ｓ２甲 ＝ １ ５［（７４－８５．６） ２＋（８５－８５．６）２＋（８６－８５．６）２＋ （９０－８５．６）２＋（９３－８５．６）２］ ＝ １５×２０９．２０＝４１．８４                                                                      ， —８— 高中数学北师大版选择性必修第一册　第３３～３６期 ｓ２乙 ＝ １ ５［（７６－８５．６） ２＋（８３－８５．６）２＋（８５－８５．６）２＋ （８７－８５．６）２＋（９７－８５．６）２］ ＝ １５×２３１．２０＝４６．２４， 因为ｓ２甲 ＜ｓ ２ 乙，甲的水平更稳定，所以派甲去． （２）由题中数据可知甲成绩高于８０分的频率为 ４５， 故甲每次成绩高于８０分的概率ｐ＝ ４５． 由题得Ｘ的所有可能取值为０，１，２，３，且Ｘ～Ｂ３，( )４５ ， Ｐ（Ｘ＝０）＝Ｃ (０３ )４５ ( ０ )１５ ３ ＝ １１２５， Ｐ（Ｘ＝１）＝Ｃ (１３ )４５ ( １ )１５ ２ ＝１２１２５， Ｐ（Ｘ＝２）＝Ｃ (２３ )４５ ( ２ )１５ １ ＝４８１２５， Ｐ（Ｘ＝３）＝Ｃ (３３ )４５ ( ３ )１５ ０ ＝６４１２５， 所以Ｘ的分布列为 Ｘ ０ １ ２ ３ Ｐ １１２５ １２ １２５ ４８ １２５ ６４ １２５ Ｅ（Ｘ）＝ｎｐ＝３×４５ ＝ １２ ５． 第３６期 学业水平测评 一、单项选择题 １～４　ＡＢＡＤ　５～８　ＣＣＡＤ 提示： １．圆的方程可化为（ｘ－１）２＋（ｙ－４）２ ＝４， 则圆心坐标为（１，４）， 圆心到直线ａｘ＋ｙ－１＝０的距离为｜ａ＋４－１｜ ａ２＋槡 １ ＝１， 解得ａ＝－４３．故选（Ａ）． ２． (二项式 ｘ－１ 槡 )ｘ ｎ 的展开式，第ｋ＋１项为 Ｔｋ＋１ ＝Ｃ ｋ ｎ·ｘ ｎ－ｋ·（－１）ｋ（ｘ－ １ ２）ｋ ＝Ｃｋｎ（－１） ｋｘｎ－ ３ ２ｋ， 已知第ｍ项为常数项， 所以有ｎ－３２ｋ＝０且ｋ＝ｍ－１， 所以ｎ＝３２（ｍ－１），所以２ｎ＝３（ｍ－１）． ３．设“男生甲被选中”为事件Ａ， “女生乙被选中”为事件Ｂ， 则Ｐ（Ａ）＝ Ｃ２５ Ｃ３６ ＝１０２０＝ １ ２，Ｐ（ＡＢ）＝ Ｃ１４ Ｃ３６ ＝ １５， 所以Ｐ（Ｂ｜Ａ）＝Ｐ（ＡＢ）Ｐ（Ａ） ＝ ２ ５，故选（Ａ）． ４．两圆方程相减，得直线ＭＮ的方程为ｘ－２ｙ＋４＝０， 圆ｘ２＋ｙ２＋２ｘ－８＝０的标准方程为（ｘ＋１）２＋ｙ２ ＝９， 所以圆ｘ２＋ｙ２＋２ｘ－８＝０的圆心为（－１，０），半径为３， 圆心（－１，０）到直线ＭＮ的距离为ｄ＝ ３ 槡５ ， 所以线段ＭＮ的长为２ ３２ (－ ３ 槡 )５槡 ２ ＝ 槡１２５５ ．故选（Ｄ）． ５．由题得 ＡＦ１ ＝ＡＦ２，由 ∠Ｆ１ＡＦ２ ＝４∠ＡＦ１Ｆ２可得 ∠ＡＦ１Ｆ２ ＝３０°，所以 ｂ ｃ ＝ 槡３ ３． 又△ＡＦ１Ｆ２面积为槡３，即Ｓ＝ｂｃ＝槡３， 解得ｂ＝１，ｃ＝槡３，则ａ＝ ｂ ２＋ｃ槡 ２ ＝２， 所以椭圆的方程为 ｘ２ ４＋ｙ ２ ＝１． ６．由题意可得Ａ（ａ，０）， 双曲线的渐近线方程为ａｙ±ｂｘ＝０， 不妨设Ｂ点为直线ｘ＝ａ与ｙ＝ ｂａｘ的交点， 则Ｂ点的坐标是（ａ，ｂ）． 因为ＡＢ⊥ＦＡ，∠ＢＦＡ＝３０°， 所以ｔａｎ∠ＢＦＡ＝｜ＡＢ｜｜ＦＡ｜＝ ｂ ａ＋ｃ＝ ｅ２－槡 １ ｅ＋１ ＝ 槡３ ３， 解得ｅ＝２． ７．设盒中印有“环保会徽”图案的卡片有ｎ张， 则印有“绿色环保标志”图案的卡片有（１０－ｎ）张， 由题意得 Ｃ２ｎ Ｃ２１０ ＝ １３，所以ｎ＝６， 所以参加者每次从盒中抽取两张卡片， 获奖的概率Ｐ＝ Ｃ２４ Ｃ２１０ ＝ ２１５，因此 (Ｘ～Ｂ ４，２ )１５ ， 所以Ｅ（Ｘ）＋Ｄ（Ｘ）＝４×２１５＋４× ２ １５ (× １－２ )１５ ＝２２４２２５． 故选（Ａ）． ８．因为ＳＡ⊥平面ＡＢＣＤ，∠ＢＡＤ＝９０°， 故可建立以Ａ为原点，ＡＤ，ＡＢ，ＡＳ分别为ｘ，ｙ，ｚ轴的空间直 角坐标系Ａ－ｘｙｚ． 因为ＡＢ＝４，ＳＡ＝３                                                                      ， —９— 高中数学北师大版选择性必修第一册　第３３～３６期 所以Ｂ（０，４，０），Ｓ（０，０，３）． 设ＢＣ＝ｍ，则Ｃ（ｍ，４，０）． 因为 ＳＦ ＢＦ＝ ＣＥ ＢＥ＝λ，所以 →ＳＦ＝λ→ＦＢ， 所以 →ＡＦ＝ １１＋λ →ＡＳ＋ λ１＋λ →ＡＢ， 所以 (Ｆ ０，４λ１＋λ， ３１＋ )λ ． 同理， (Ｅ ｍ１＋λ，４， )０ ， 所以 → (ＦＥ＝ ｍ１＋λ， ４１＋λ，－３１＋ )λ ． 要使∠ＡＦＥ＝９０°，则→ＦＥ·→ＦＡ＝０， 又 → (ＦＡ＝ ０，－４λ１＋λ，－３１＋ )λ ， 所以０× ｍ１＋λ ＋ ４１＋λ ×－４λ１＋λ (＋ －３１＋ )λ ２ ＝０， 所以１６λ＝９，所以λ＝ ９１６． 二、多项选择题 ９．ＡＣＤ；　１０．ＢＣＤ；　１１．ＡＤ． 提示： ９．（Ｂ）不正确．独立性检验是检验两个分类变量是否有关 的一种统计方法，只是在一定的可信度下进行判断，不一定正 确，会因为样本不同导致结论可能不同，带有反证法思想． １０．如图１，连接Ｃ１Ｄ，ＤＦ， ! " #$ % & ! ! # ! & ! % ! ! ! 可知在正四棱柱ＡＢＣＤ－Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１中，Ｂ１Ｃ１瓛ＢＣ瓛ＡＤ， 所以四边形ＡＢ１Ｃ１Ｄ是平行四边形，所以ＡＢ１∥ＤＣ１， 所以∠ＤＣ１Ｆ是异面直线ＡＢ１与Ｃ１Ｆ所成的角． 设ＡＡ１＝２，则ＡＢ＝ＢＣ＝ 槡２２， 则可得ＤＦ＝ （槡２２） ２＋（槡２）槡 ２ ＝槡１０， Ｃ１Ｆ＝ （槡２） ２＋２槡 ２ ＝槡６， Ｃ１Ｄ＝ （槡２２） ２＋２槡 ２ ＝ 槡２３， 所以ｍ＝ｃｏｓ∠ＤＣ１Ｆ＝ （槡６） ２＋（槡２３） ２－（槡１０） ２ ２×槡６× 槡２３ ＝槡２３，故（Ａ）错误，（Ｃ）正确； 如图２，连接ＥＦ，ＡＣ，Ａ１Ｃ１，Ｂ１Ｆ． 因为Ｅ，Ｆ分别是ＡＢ，ＢＣ的中点，所以ＥＦ∥ＡＣ． ! " #$ % & ! ! # ! & ! % ! ! ! 又因为正四棱柱中，ＡＡ１瓛ＢＢ１瓛ＣＣ１， 所以四边形ＡＡ１Ｃ１Ｃ是平行四边形， 所以Ａ１Ｃ１∥ＡＣ，所以ＥＦ∥Ａ１Ｃ１， 所以Ｅ，Ｆ，Ａ１，Ｃ１四点共面， 即直线Ａ１Ｅ与直线Ｃ１Ｆ共面，故（Ｂ）正确； 因为Ａ１Ｅ平面ＡＢＢ１Ａ１，Ｂ１Ｆ∩平面ＡＢＢ１Ａ１ ＝Ｂ１， 且Ｂ１Ａ１Ｅ， 所以直线Ａ１Ｅ与直线Ｂ１Ｆ异面，故（Ｄ）正确． 故选（Ｂ）（Ｃ）（Ｄ）． １１．由已知可得椭圆ｘ ２ ｍ２ ＋ｙ ２ ｎ２ ＝１的ｃ＝３， 又短轴为长轴的槡 ７ ４， 故椭圆方程为 ｘ２ １６＋ ｙ２ ７ ＝１或 ｘ２ ７＋ ｙ２ １６＝１， 设Ａ（ｘ１，ｙ１），Ｂ（ｘ２，ｙ２）， 当椭圆方程为 ｘ２ １６＋ ｙ２ ７ ＝１时，有 ｘ２１ １６＋ ｙ２１ ７ ＝１， ｘ２２ １６＋ ｙ２２ ７ ＝１ { ， 两式相减得 （ｘ１－ｘ２）（ｘ１＋ｘ２） １６ ＋ （ｙ１－ｙ２）（ｙ１＋ｙ２） ７ ＝０， 整理得 ｙ１－ｙ２ ｘ１－ｘ２ ＝－７８， 所以直线ｌ的方程为ｙ－１＝－７８（ｘ－２）， 整理得７ｘ＋８ｙ－２２＝０； 当椭圆方程为 ｘ２ ７＋ ｙ２ １６＝１时，有 ｘ２１ ７＋ ｙ２１ １６＝１， ｘ２２ ７＋ ｙ２２ １６＝１ { ， 两式相减得 （ｘ１－ｘ２）（ｘ１＋ｘ２） ７ ＋ （ｙ１－ｙ２）（ｙ１＋ｙ２） １６ ＝０， 整理得 ｙ１－ｙ２ ｘ１－ｘ２ ＝－３２７                                                                      ， —０１— 高中数学北师大版选择性必修第一册　第３３～３６期 所以直线ｌ的方程为ｙ－１＝－３２７（ｘ－２）， 整理得３２ｘ＋７ｙ－７１＝０． 故选（Ａ）（Ｄ）． 三、填空题 １２．ｙ２ ＝３ｘ；　１３．０．９５６ａ；　１４ [． 槡６３， ]１ ． 提示： １２．由题意可知ＡＣ＝ ３２＋（槡３３）槡 ２ ＝６， 由抛物线定义知｜ＡＦ｜＝｜ＡＢ｜＝３， 则Ｆ是ＡＣ的中点， 所以在Ｒｔ△ＡＢＣ中，ｐ＝ １２｜ＡＢ｜＝ ３ ２， 所以抛物线方程为ｙ２ ＝３ｘ． １３．由题意可设一辆该品牌同型号私家车在第四年续保时 的费用为Ｘ， 则Ｘ的可能取值有０．９ａ，０．８ａ，０．７ａ，ａ，１．１ａ，１．３ａ， 且对应的概率分别为Ｐ（Ｘ＝０９ａ）＝２０１００＝０２， Ｐ（Ｘ＝０８ａ）＝１０１００＝０１， Ｐ（Ｘ＝０７ａ）＝１０１００＝０１， Ｐ（Ｘ＝ａ）＝３８１００＝０３８， Ｐ（Ｘ＝１１ａ）＝２０１００＝０２， Ｐ（Ｘ＝１３ａ）＝ ２１００＝００２， 所以Ｅ（Ｘ）＝０．９ａ×０．２＋０．８ａ×０．１＋０．７ａ×０．１＋ａ× ０３８＋１１ａ×０．２＋１．３ａ×０．０２＝０．９５６ａ． １４．设正方体的棱长为１，则Ａ１Ｃ１ ＝槡２，Ａ１Ｃ＝槡３， Ａ１Ｏ＝ＯＣ１ ＝ １＋槡 １ ２ ＝槡 ３ ２，ＯＣ＝槡 １ ２， 所以ｃｏｓ∠Ａ１ＯＣ１ ＝ １ ３，ｓｉｎ∠Ａ１ＯＣ１ ＝ 槡２２ ３， ｃｏｓ∠Ａ１ＯＣ＝－槡 ３ ３，ｓｉｎ∠Ａ１ＯＣ＝ 槡６ ３． 又直线与平面所成的角小于等于９０°，而∠Ａ１ＯＣ为钝角， 所以ｓｉｎα的取值范围为 槡６ ３，[ ]１． 四、解答题 １５．解：（１）由题设所求直线方程为ｘ＋２ｙ＋ｍ＝０， 因为直线过点Ａ（３，２），所以３＋４＋ｍ＝０，解得ｍ＝－７． 所以所求直线方程为ｘ＋２ｙ－７＝０． （２）依题意设所求直线方程为２ｘ－ｙ＋ｃ＝０， 因为点Ｐ（３，０）到该直线的距离为槡５， 所以 ｜６＋ｃ｜ ２２＋（－１）槡 ２ ＝槡５，解得ｃ＝－１或 －１１． 所以所求直线方程为２ｘ－ｙ－１＝０或２ｘ－ｙ－１１＝０． １６．解：（１）记“小球落入４号容器”为事件Ａ，若要小球落 入４号容器，则需要在通过的四层中有三层向右，一层向左， 所以理论上，小球落入４号容器的概率为 Ｐ（Ａ）＝Ｃ (３４ )１２ ４ ＝ １４． （２）落入４号容器的小球的个数Ｘ的可能取值为０，１，２，３， Ｐ（Ｘ＝０）＝Ｃ０３ (× １－ )１４ ３ ＝２７６４， Ｐ（Ｘ＝１）＝Ｃ１３× １ ４ (× １－ )１４ ２ ＝２７６４， Ｐ（Ｘ＝２）＝Ｃ２３ (× )１４ ２ (× １－ )１４ ＝ ９６４， Ｐ（Ｘ＝３）＝Ｃ３３ (× )１４ ３ ＝ １６４， 所以Ｘ的分布列为 Ｘ ０ １ ２ ３ Ｐ ２７６４ ２７ ６４ ９ ６４ １ ６４ １７．解：（１）由题意得Ｆ（１，０），ｌ的方程为ｙ＝ｋ（ｘ－１）（ｋ＞０）， 设Ａ（ｘ１，ｙ１），Ｂ（ｘ２，ｙ２）． 由 ｙ＝ｋ（ｘ－１）， ｙ２ ＝４{ ｘ 得ｋ２ｘ２－（２ｋ２＋４）ｘ＋ｋ２ ＝０． Δ＝１６ｋ２＋１６＞０，故ｘ１＋ｘ２ ＝ ２ｋ２＋４ ｋ２ ． 所以｜ＡＢ｜＝｜ＡＦ｜＋｜ＢＦ｜ ＝（ｘ１＋１）＋（ｘ２＋１）＝ ４ｋ２＋４ ｋ２ ． 由题设知 ４ｋ２＋４ ｋ２ ＝８，解得ｋ＝－１（舍去）或ｋ＝１， 因此ｌ的方程为ｙ＝ｘ－１． （２）由（１）得ＡＢ的中点坐标为（３，２），所以ＡＢ的垂直平 分线方程为ｙ－２＝－（ｘ－３），即ｙ＝－ｘ＋５． 设所求圆的圆心坐标为（ｘ０，ｙ０），则 ｙ０ ＝－ｘ０＋５， （ｘ０＋１） ２ ＝ （ｙ０－ｘ０＋１） ２ ２ ＋１６ {                                                                      ， —１１— 高中数学北师大版选择性必修第一册　第３３～３６期 解得 ｘ０ ＝３， ｙ０ ＝ { ２或 ｘ０ ＝１１， ｙ０ ＝－６ { ． 因此所求圆的方程为（ｘ－３）２＋（ｙ－２）２＝１６或（ｘ－１１）２ ＋（ｙ＋６）２ ＝１４４． １８．（１）解：在图３中，取ＤＥ的中点Ｏ，ＢＣ的中点Ｆ，连接 ＯＡ，ＯＦ， 以Ｏ为原点，ＯＥ，ＯＦ，ＯＡ所在直线分别为ｘ，ｙ，ｚ轴，建立空 间直角坐标系Ｏ－ｘｙｚ， ! " # $ % ! ! & ' ( ) * 设ＯＡ＝ｘ，则ＯＦ＝ 槡２３－ｘ，ＯＥ＝ ｘ 槡３ ， 所以Ｂ（２，槡２３－ｘ，０）， (Ｅ ｘ 槡３ ，０， )０ ，Ａ（０，０，ｘ）， Ｃ（－２，槡２３－ｘ，０）， →ＡＣ＝（－２，槡２３－ｘ，－ｘ）， → (ＢＥ＝ ｘ 槡３ －２，ｘ－ 槡２３， )０ ， 因为异面直线ＢＥ与ＡＣ垂直， 所以 →ＡＣ·→ＢＥ＝０，即ｘ２－１０ 槡３ ｘ＋８＝０， 解得ｘ＝ 槡２３（舍）或ｘ＝ ４ 槡３ ＝ 槡４３３， 所以 ＡＤ ＡＣ＝ ＡＯ ＡＦ＝ 槡４３ ３ 槡２３ ＝ ２３， 所以题目图１０中点Ｄ在靠近点Ｃ的三等分点处． （２）证明：易知平面 ＡＤＥ的法向量 ｎ＝（０，１，０），→ ( ＡＥ＝ ｘ 槡３ ，０， )－ｘ ，→ (ＢＥ＝ ｘ 槡３ －２，ｘ－ 槡２３， )０ ， 设平面ＡＢＥ的法向量ｍ ＝（ａ，ｂ，ｃ）， 则 →ＡＥ·ｍ ＝ ｘ 槡３ ａ－ｘｃ＝０， →ＢＥ·ｍ (＝ ｘ 槡３ － )２ ａ＋（ｘ－ 槡２３）ｂ＝０{ ， 取ａ＝１，得ｍ (＝ １，－１ 槡３ ， １ 槡 )３ ． 设二面角Ｄ－ＡＥ－Ｂ的平面角为θ， 则ｃｏｓθ＝ ｍ·ｎ｜ｍ｜｜ｎ｜＝ －１ 槡３ １× １＋１３＋槡 １ ３ ＝－槡５５， 所以无论点Ｄ的位置如何，二面角Ｄ－ＡＥ－Ｂ的余弦值都 为定值 －槡５５． １９．（１）解：设双曲线的标准方程为ｘ ２ ａ２ －ｙ ２ ｂ２ ＝１（ａ＞０，ｂ ＞０），由已知得 ｃａ ＝ 槡５ ２，２ｂ＝２． 又ａ２＋ｂ２ ＝ｃ２，解得ａ＝２，ｂ＝１， 所以双曲线的标准方程为 ｘ２ ４－ｙ ２ ＝１． （２）证明：设Ａ（ｘ１，ｙ１），Ｂ（ｘ２，ｙ２），联立 ｙ＝ｋｘ＋ｍ， ｘ２ ４－ｙ ２ ＝１{ ， 得（１－４ｋ２）ｘ２－８ｍｋｘ－４（ｍ２＋１）＝０， 则有 Δ＝６４ｍ２ｋ２＋１６（１－４ｋ２）（ｍ２＋１）＞０， ｘ１＋ｘ２ ＝ ８ｍｋ １－４ｋ２ ， ｘ１ｘ２ ＝ －４（ｍ２＋１） １－４ｋ２        ， ｙ１ｙ２ ＝（ｋｘ１＋ｍ）（ｋｘ２＋ｍ） ＝ｋ２ｘ１ｘ２＋ｍｋ（ｘ１＋ｘ２）＋ｍ ２ ＝ｍ ２－４ｋ２ １－４ｋ２ ， 因为以ＡＢ为直径的圆过双曲线Ｃ的左顶点Ｄ（－２，０）， 所以ｋＡＤ·ｋＢＤ ＝－１，即 ｙ１ ｘ１＋２ · ｙ２ ｘ２＋２ ＝－１， 所以ｙ１ｙ２＋ｘ１ｘ２＋２（ｘ１＋ｘ２）＋４＝０， 所以 ｍ２－４ｋ２ １－４ｋ２ ＋－４（ｍ ２＋１） １－４ｋ２ ＋ １６ｍｋ １－４ｋ２ ＋４＝０， 所以３ｍ２－１６ｍｋ＋２０ｋ２ ＝０， 解得ｍ＝２ｋ或ｍ＝１０ｋ３． 当ｍ＝２ｋ时，直线ｌ的方程为ｙ＝ｋ（ｘ＋２），直线过定点 （－２，０），与已知矛盾； 当ｍ＝１０ｋ３时，直线ｌ的方程为ｙ＝ｋｘ＋ １０( )３ ，直线过定 点 －１０３，( )０，经检验符合已知条件， 所以直线ｌ过定点，定点坐标为 －１０３，( )０                                                                   ． —２１— 高中数学北师大版选择性必修第一册　第３３～３６期