第一次月考滚动检测卷(范围：第六至七章)-【学而思·高中同步双测卷】2025-2026学年高二数学选择性必修第三册测试卷（人教A版2019）

第二部分 月考滚动检测卷 第一次月考滚动检测卷 [范围:第六至七章] (时间:120分钟 分值:150分) 一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的. 1.数学中“凸数”是一个位数不低于3的奇位数,是最中间的数位上的数字比两边的数字都大的 数,则没有重复数字且大于564的三位数中“凸数”的个数为 ( ) A.147 B.112 C.65 D.50 2.已知某中学高二年级学生某次考试的数学成绩X(单位:分)服从正态分布N(105,σ2),且P(X <120)=0.8,从这些学生中任选一位,其数学成绩落在区间(90,105)内的概率为 ( ) A.0.2 B.0.3 C.0.4 D.0.5 3.长时间玩手机可能影响视力.据调查,某校学生大约40%的人近视,而该校大约有20%的学生 每天玩手机超过1h,这些人的近视率约为50%.现从每天玩手机不超过1h的学生中任意调 查一名学生,则他近视的概率 ( ) A.12 B. 3 8 C. 5 8 D. 3 4 4. x+ 1 x -2 4 的展开式中无理项的项数为 ( ) A.3 B.4 C.5 D.6 5.数轴上一个质点在随机外力的作用下,从原点O出发,每隔1秒向左或向右移动一个单位,已知 向右移动的概率为2 5 ,向左移动的概率为3 5 ,共移动8次,则质点位于-2的位置的概率是( ) A.25 4 3 5 4 B.25 6 3 5 2 C.C38 2 5 5 3 5 3 D.C58 2 5 3 3 5 5 6.随机变量X 的分布列如下,且E(X)=75 ,则D 12X = ( ) X 0 1 2 P 0.2 p1 p2 A.0.64 B.0.32 C.0.16 D.0.08 7.已知随机变量X 的概率分布如表.当a在(-1,1)内增大时,方差D(X)的变化为 ( ) X -1 a 1 P 16 1 3 1 2 A.增大 B.减小 C.先增大再减小 D.先减小再增大 —33— 8.为了保障我国民众的身体健康,产品在进入市场前必须进行两轮检测,只有两轮都合格才能进 行销售,否则不能销售,已知某产品第一轮检测不合格的概率为1 9 ,第二轮检测不合格的概率 为1 10 ,两轮检测是否合格相互之间没有影响,若产品可以销售,则每件产品获利40元,若产品 不能销售,则每件产品亏损80元,已知一轮中有4件产品,记一箱产 品 获 利 X 元,则 P X≥-80 等于 ( ) A.96625 B. 256 625 C. 608 625 D. 209 625 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求. 全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 9.关于(a-b)11的说法,正确的是 ( ) A.展开式中的二项式系数之和为2048 B.展开式中只有第6项的二项式系数最大 C.展开式中第6项和第7项的二项式系数最大 D.展开式中第6项的系数最小 10.若袋子中有3个白球,2个黑球,现从袋子中有放回地随机取球5次,每次取一个球,取到白球 记1分,取到黑球记0分,记5次取球的总分数为X,则 ( ) A.X~B5,35 B.P(X=2)=29125 C.X 的数学期望E(X)=3 D.X 的方差D(X)=65 11.现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加志愿者服务活动,有翻译、导游、礼仪、司机四项工作可 以安排,则以下说法错误的是 ( ) A.若每人都安排一项工作,则不同的方法数为54 B.若每人都要安排一项工作,每项工作至少有1人参加,则不同的方法数为A45C14 C.每项工作至少有1人参加,甲、乙不会开车但能从事其他三项工作,丙、丁、戊都能胜任四项 工作,则这5名同学全部被安排的方案数是C13C24A33+C23A33 D.若司机工作不安排,其余三项工作至少安排1人,则这5名同学全部被安排的不同方法数 为(C35C12+C25C23)A33 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分. 12.已知(x-2)2024=a0+a1x+a2x2+…+a2024x2024,则a0+3a1+32a2+…+32024a2024= . 13.将4瓶外观相同,品质不同的酒让品酒师品尝,要求按品质优劣将4种酒排序,经过一段时间 后,再让其品尝这4瓶酒,并让他重新按品质优劣将4种酒排序.根据测试中两次排序的偏离 程度评估品酒师的能力.a1,a2,a3,a4,表示第一次排序为1,2,3,4的四种酒分別在第二次排 序中的序号,记X=|1-a1|+|2-a2|+|3-a3|+|4-a4|为其偏离程度,假设a1,a2,a3,a4 为1,2,3,4的等可能的各种排列,假设每轮测试之间互不影响,p1 表示在1轮测试中X≤2 的概率,p2 表示在前3轮测试中恰好有一轮X≤2的概率,则p2= . 14.在人类与大自然的较量中,经常面对影响人类生存、反复无常的天气变化.人类对天气变化经 历了漫长的认识过程,积累了丰富的气象经验,三国时期,孙刘联军运用气象观测经验,预报 出会有一场大雾出现,并在大雾的掩护下,演出了一场“草船借箭”的好戏,令世人惊叹.小明 计划8月份去上海游览,受台风“利马奇”的影响,上海市8月份一天中发生雷雨天气的概率 上升为0.8,那么小明在上海游览的3天中,只有1天不发生雷雨天气的概率约为 . —43— 四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)从A,B,C等7人中选出5人排成一排. (1)A,B,C三人不全在内,有多少种排法? (2)A,B,C都在内,且A,B必须相邻,C与A,B都不相邻,都多少种排法? (3)A不允许站排头和排尾,B不允许站在中间(第三位),有多少种排法? (列式并用数字作答) 16.(15分)某市教育部门计划从该市的中学生中选出6人作为该市代表去参加省里的中华古诗 词大赛,该市经过初赛选拔最后决定从甲、乙两所中学的学生中进行最后的筛选.甲中学推荐 了3名男生,3名女生,乙中学推荐了3名男生,4名女生,两校推荐的学生一起参加集训,由 于集训后所有学生的水平相当,该市决定从参加集训的两校男生中随机抽取3人,女生中随 机抽取3人组成该市的代表队. (1)求甲中学至少有1名学生入选该市代表队的概率; (2)在省赛某场比赛前,从该市代表队的6名学生中随机抽取3人参赛,设X 表示参赛队员中 的女生人数,求X 的分布列和数学期望. 17.(15分)2024年4月26日至10月28日,世界园艺博览会在成都主办,主题为“公园城市,美 好人居”.本次展览的主会场内部规划了中华园艺展区,国家园艺展区,天府人居展区,公园城 市展区等7个展区.暑假期间,甲乙两人相约游览世园会,恰逢7月6日小暑至,“花语成都” 诗词活动正在火热进行,一场场沉浸式、高互动的成都行歌正在线下演绎. (1)由于园区太大,甲乙两人决定在7个展区中随机选出3个展区游玩,求他们至少选中中华 园艺展区,国家园艺展区,天府人居展区,公园城市展区这4个展区中2个展区的概率. (2)甲乙两人各自独立的参加了诗词活动中的“诗词填白”游戏,参加的人只要准确填出抽中 的诗中空白 的 诗 句,则 视 为 闯 关 成 功.已 知 甲 和 乙 闯 关 成 功 的 概 率 分 别 为 p 和2p- 112<p<1 . (ⅰ)记甲乙两人闯关成功的人数之和为X,求X 的分布列; (ⅱ)若甲乙两人闯关成功的人数之和的期望大于1,求p的取值范围. —53— 18.(17分)为落实体育总局和教育部发布的《关于深化体教 融合,促进青少年健康发展的意见》,A 市共100000名男 学生进行100米短跑训练,在某次短跑测试中,从中抽取 100名男生作为样本,统计他们的成绩(单位:秒),整理得 到如图所示的频率分布直方图,现规定男生短跑成绩不超 过13.5秒为优秀. (1)估计样本中男生短跑成绩的平均数;(同一组的数据用 该组区间的中点值为代表) (2)根据统计分析,A 市男生的短跑成绩X 服从正态分布N(μ,1.25 2),以(1)中所求的样本平 均数作为μ的估计值,求下列问题: ①若从A 市的男生中随机抽取10人,记其中短跑成绩在[12.5,17.5]以外∙∙ 的人数为Y,求 P(Y≥1); ②在这100名男生中、任意抽取2名成绩优秀的男生的条件下,将该2人成绩纳入全市排名 (短跑用时越少、排名越靠前),能进入全市前2275名的人数为x,求x的期望. 附:若Z~N(μ,σ 2),则:p(μ-σ≤Z≤μ+σ)=0.6827,P(μ-2σ≤Z≤μ+2σ)=0.9545, P(μ-3σ≤Z≤μ+3σ)=0.9973,0.9545 10≈0.6277. 19.(17分)我们称n(n∈N*)元有序实数组(x1,x2,…,xn)为n维向量,|x1|+|x2|+…+|xn|为 该向量的范数,已知n维向量a=(x1,x2,…,xn),其中xi∈{-1,0,1},i=1,2,…n,记范数为 奇数的n维向量a的个数为An,这An 个向量的范数之和为Bn. (1)求A3 和B3 的值; (2)求A2025的值; (3)当n为偶数时,证明:Bn=n·(3n-1-1). —63— ■ 请在各题目的答题区域内作答,超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 ■ 第一次月考滚动检测卷 姓 名 准考证号 考生禁填:缺考考生由监考员填涂右边的缺考 标记 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 考生条形码粘贴处 填 涂 样 例 正确填涂 错误填涂 注 意 事 项 1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚,并认真检查监考员所粘 贴的条形码; 2.选择题必须用2B铅笔填涂,解答题必须用0.5毫米黑色签字笔书写,字体 工整,笔迹清楚; 3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无 效;在草稿纸、试题卷上答题无效。 一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分. 1.[A][B][C][D] 2.[A][B][C][D] 3.[A][B][C][D] 4.[A][B][C][D] 5.[A][B][C][D] 6.[A][B][C][D] 7.[A][B][C][D] 8.[A][B][C][D] 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分. 9.[A][B][C][D] 10.[A][B][C][D] 11.[A][B][C][D] 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分. 12. 13. 14. ■ 请在各题目的答题区域内作答,超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 ■ —73— ■ 请在各题目的答题区域内作答,超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 ■ 四、解答题:本题共5小题,共77分. 15.(13分) 16.(15分) ■ 请在各题目的答题区域内作答,超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 ■ —83— ■ 请在各题目的答题区域内作答,超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 ■ 17.(15分) 18.(17分) ■ 请在各题目的答题区域内作答,超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 ■ —93— ■ 请在各题目的答题区域内作答,超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 ■ 19.(17分) ■ 请在各题目的答题区域内作答,超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 ■ —04— (3)k=5,理由如下: 由频率分布直方图得,抽取的学生中日平均阅读 时间在(8,12]内的概率为0.50,所以从该地区所 有高一学生中随机抽取10名学生,恰有k名学生日 平均阅读时间在(8,12]内的分布列大致服从二项分 布X~B(10,0.50),P(k)=Ck10 1 2 k 1-12 10-k = Ck10 1 2 10 ,由组合数的性质可得k=5时P(k)最大. 19.解:(1)从卡拉旺站上车的乘客到德卡鲁尔站下车 的概率P=2030= 2 3 , ∴根据频率估计概率,从卡拉旺站上车的乘客中 任选3人, 则这3人到德卡鲁尔站下车的人数X~B3,23 ,即 X 的可能取值为0,1,2,3, 所以P(X=0)=C03 2 3 0 1 3 3 =127 ,P(X=1)= C13 2 3 1 1 3 2 =627= 2 9 , P(X=2)=C23 2 3 2 1 3 =1227=49,P(X=3)= C33 2 3 3 1 3 0 =827 , 所以X 的分布列如下: X 0 1 2 3 P 127 2 9 4 9 8 27 则E(X)=3×23=2. (2)由表中数据可知,在高铁离开卡拉旺站时,在 哈利姆站上车的有35人,在卡拉旺站上车的有30 人. 记事件A:该乘客来自A 地;记事件B1:该乘客在 哈利姆 站 上 车;记 事 件 B2:该 乘 客 在 卡 拉 旺 站 上车; ∴P(B1)= 35 65= 7 13 ,P(B2)= 30 65= 6 13 ,P(B1|A)= 0.4,P(B2|A)=0.6, 从哈利姆站上车的乘客中是来自 A 地的概率为 P(A|B1),从卡拉旺站上车的乘客中是来自A 地的 概率为P(A|B2), ∵P(B1|A)P(A)=P(A|B1)P(B1),P(B2|A)P(A) =P(A|B2)P(B2), ∴ P(A|B1)P(B1) P(A|B2)P(B2) = P(B1|A)P(A) P(B2|A)P(A) , ∵P(A)>0, ∴ P(A|B1) P(A|B2) = P(B1|A)P(B2) P(B2|A)P(B1) = 0.4×613 0.6×713 =47 , ∴在高铁离开卡拉旺站时,所求概率的比值为47. 第二部分 月考滚动检测卷 第一次月考滚动检测卷 1.C 最高位是5的“凸数”,中间数分别为7,8,9,分 别有6,7,8个,共有21个;最高位是6的“凸数”, 中间数分别为7,8,9,分别有6,7,8个,共有21个; 最高位是7的“凸数”,中间数分别为8,9,分别有 7,8个,共有15个;最高位是8的“凸数”,中间数为 9,有8个,所以没有重复数字且大于564的三位数 中“凸数”的个数为21+21+15+8=65.故选:C. 2.B 依题意,μ=105,而120-105=105-90,由 P(X<120)=0.8可得,P(X≥120)=P(X≤90) =0.2,故P(90<X<105)=1-2×P (X≥120) 2 = 1-2×0.2 2 =0.3 ,即数学成绩落在区间(90,105)内 的概率为0.3.故选:B. 3.B 法1:令 A1=“玩手机超过1h的学生”,A2= “玩手机不超过1h的学生”,B=“任意调查一人, 此人近视”,则Ω=A1∪A2,且 A1,A2 互 斥;依 题 意,P(A1)=0.2,P(A2)=0.8,P(B|A1)=0.5, P(B)=0.4;由全概率公式P(B)=P(A1)P(B|A1)+ P(A2)P(B|A2);即0.4=0.2×0.5+0.8×P(B|A2); ∴P(B|A2)= 3 8. 故选:B. 4.B 由 题 x+ 1x-2 4 = x-2 x+1x 4 = (x-1) 2 x 􀭠 􀭡 􀪁 􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁 4 = (x-1)8 x2 ,又(x-1)8 的 展 开 式 Tr+1=Cr8(x)8-r(-1)r =(-1)rCr8x4- r 2,所 以 x+1 x -2 4 的 展 开 式 的 通 项 公 式 为 Tr+1 x2 = 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —48— (-1)rCr8x4- r 2 x2 =(-1)rCr8x2- r 2,所 以 当x 的 指 数 不为整数时,该项为无理项,而当r=1,3,5,7时,2 -r2 不为整数,所以展开式中无理项的项数为4. 故选:B. 5.D 依题意此实验满足8重伯努利实验,设向左移 动次数为X,则X~B 8,35 ,从原点O 出发,共移 动8次,最后质点位于-2,则需向右移动3次,向 左移动5次,所以质点位于-2的位置的概率为 P(X=5)=C58 2 5 3 3 5 5 .故选:D. 6.C 根据题意可得 p1+p2=0.8, 0×0.2+1×p1+2×p2= 7 5 , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 解得 p1=0.2, p2=0.6, D 12X =14D(X)=14×[0.2×(1.4- 0)2+0.2×(1-1.4)2+0.6×(2-1.4)2]=14× (0.392+0.032+0.216)=0.16.故选:C. 7.D 由分布列可得E(X)=-1×16+a× 1 3+1× 1 2= 1 3 (a+1),所以D(X)= -1-13 (a+1) 2 × 1 6+ a- 1 3 (a+1) 2 ×13+ 1- 1 3 (a+1) 2 ×12 =19 (2a2-2a+5)=29 a- 1 2 2 +12 ,所以,当a ∈ -1,12 时,D(X)单调递减;当a∈ 12,1 时, D(X)单调递增.故选:D. 8.C 由题意得该产品能销售的概率为 1-19 1- 1 10 =45,易 知 X 的 取 值 范 围 为{-320,-200, -80,40,160},设ξ表示一箱产品中可以销售的件 数,则ξ~B 4, 4 5 ,所以P(ξ=k)=Ck4· 45 k · 1 5 4-k ,k=0,1,2,3,4,所以 P(X=-80)=P(ξ =2)=C24 4 5 2 1 5 2 =96625 ,P(X=40)=P(ξ=3) =C34 4 5 3 1 5 1 =256625 ,P(X=160)=P(ξ=4)= C44 4 5 4 1 5 0 =256625 ,故 P(X≥-80)=P(X= -80)+P(X=40)+P(X=160)=608625. 故选:C. 9.ACD 对于 A:二项式系数之和为211=2048,故 A正确;对于B、C:展开式共12项,中间第6、7项 的二项式系数最大,故B错误,C正确;对于D:展 开式中各项的系数为Ck+1=(-1)kCk11,k=0,1, …,11.易知当k=5时,该项的系数最小.故D正 确.故选:ACD. 10.ACD 由题意知从袋子中有放回地随机取球5 次,每次取到白球的概率为3 5 ,取到白球记1分, 取到黑球的概率为2 5 ,取到黑球记0分,则记5次 取球的总分数为 X,即为5次取球取到白球的个 数,知 X~B 5,35 ,故 A 正 确;P(X=2)= C25 2 5 3 × 35 2 =144625 ,故B错误;X 的数学期望 E(X)=5×35=3 ,故C正确﹔X 的方差D(X)= 5×35× 1- 3 5 =65,故D正确.故选:ACD. 11.ABD 对于A,安排5人参加4项工作,若每人都 安排一项工作,每人有4种安排方法,则有45 种 安排方法,故A错误;对于B,根据题意,先将5人 分为4组,再将分好的4组全排列,安排4项工 作,有C25A44 种安排方法,故B错误;对于C,根据 题意,分2种情况讨论:①从丙、丁、戊中选出2人 开车,则有C23A33 种安排方法;②从丙、丁、戊中选 出1人 开 车,则 有 C13C24A33 种 安 排 方 法,则 共 有 C13C24A33+C23A33 种安排方法,故C正确;对于D, 分2步分析:需要先将5人分为3组,有 C 3 5C12 A22 + C25C23 A22 种分组方法,将分好的三组安排翻译、导 游、礼仪三项工作,有 A33 种情况,则有 C 3 5C12 A22 + C25C23 A22 A33 种安排方法,故D错误.故选:ABD. 12.解析:令x=3,则(3-2)2024=a0+a1·3+a2·32 +…+a2024·32024, 所以a0+3a1+32a2+…+32024a2024=1. 故答案为:1. 答案:1 13.解析:依题意,基本事件的总数为A44=24, 随机变量X≤2时,4种酒全排对,或者相邻的两 种位置互换,包含的基本事件个数为1+3=4, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —58— 故在1轮测试中X≤2的概率P=424= 1 6 , 依题意,前3轮测试中随机变量X~B 3,16 , 所以p2=C13× 1 6× 5 6 2 =2572 , 故答案为:25 72. 答案:25 72 14.解析:小明计划8月份去上海游览,受台风“利马 奇”的影响, 上海市8月份一天中发生雷雨天气的概率上升 为0.8, 则小明在上海游览的3天中,只有1天不发生雷 雨天气的概率约为: P=C23×0.82×0.2=0.384. 故答案为:0.384. 答案:0.384 15.解:(1)从7人中任选5人排列共有A57 种不同排 法,A,B,C三人全在内有C24A55 种不同排法, 由间接法可得 A,B,C三人不全在内共有 A57- C24A55=1800种不同排法. (2)因A,B,C都在内,所以只需从余下4人中选2 人有C24 种不同结果,A,B必须相邻,有 A22 种不 同排法, 由于C与A,B都不相邻,先将选出的2人进行全 排列共有A22 种不同排法,再将 A、B这个整体与 C插入到选出的2人所产生的3个空位中有 A23 种不同排法, 由乘 法 原 理 可 得 共 有 C24A22A22A23=144种 不 同 排法. (3)分四类:第一类:所选的5人无 A、B,共有 A55 =120种排法; 第二类:所选的5人有 A、无B,共有 C45C13A44= 360种排法; 第三类:所选的5人无 A、有B,共有 C45C14A44= 480种排法; 第四类:所选的5人有 A、B,若 A排中间时,有 C35A44=240种排法, 若A不排中间时,有C35C12C13A33=360种排法,共 有C35(A44+C12C13A33)=600种排法. 综上,共有120+360+480+600=1560种不同 排法. 16.解:(1)依题意知,来自甲、乙两所中学参加集训的 学生中共有男生6名,女生7名, 则入选代表队的学生全部来自乙中学的概率为 C33C34 C36C37 = 1175 ,即没有1名甲中学的学生入选代表 队的概率为 1 175 ,故甲中学至少有1名学生入选该 市代表队的概率为P=1- 1175= 174 175. (2)因 为 参 赛 的6名 队 员 中 包 含 男 生、女 生 各 3名, 故由题意知X 的所有可能取值为0,1,2,3, 所以P(X=0)= C33 C36 =120 ,P(X=1)= C13C23 C36 =920 , P(X=2)= C23C13 C36 =920 ,P(X=3)= C33 C36 =120 , 所以X 的分布列为: X 0 1 2 3 P 120 9 20 9 20 1 20 E(X)=0×120+1× 9 20+2× 9 20+3× 1 20= 3 2. 17.解:(1)记“他们至少选中其中的两个园区”为事 件A. 则P(A)= C14C13+C34 C37 =2235. (2)(ⅰ)由可知:X 可取0,1,2. P(X=0)=(1-p)[1-(2p-1)]=2p2-4p+2 P(X=1)=(1-p)(2p-1)+p[1-(2p-1)]= -4p2+5p-1 P(X=2)=p(2p-1)=2p2-p 列出分布列如下: X 0 1 2 P 2p2-4p+2 -4p2+5p-1 2p2-p (ⅱ)由(ⅰ)可知E(X)=1·(-4p2+5p-1)+ 2·(2p2-p)=3p-1>1,解得1>p>23. 18.解:(1)由频率分布直方图可得2a+0.09+0.22 +0.33+0.24+0.08=1,解得a=0.02, 则样本中男生短跑成绩的平均数为 12×0.02+13×0.09+14×0.22+15×0.33+16 ×0.24+17×0.08+18×0.02=15. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —68— (2)①由(1)可知μ=15,则X 服从正态分布 N(15, 1.252), 所以A 市男生的短跑成绩在[12.5,17.5]以外的 概率为 1-P(12.5≤X≤17.5)=1-0.9545=0.0455, 由题意可得Y~B(10,0.0455), 所以P(Y≥1)=1-P(Y=0)=1-0.954510≈ 1-0.6277=0.3723, ②这100名男生中成绩优秀的有100×(0.02+ 0.09)=11人, 因为P(15-2×1.25<X<15+2×1.25)= 0.9545, 所以P(X<12.5)=1-0.95452 =0.02275 , 所以100000×0.02275=2275, 所以全市短跑成绩在12.5秒内的有2275人,这 100人中短跑成绩在12.5秒内的有100×0.02= 2人, 所以x可能取0,1,2, P(x=0)= C29 C211 =3655 ,P(x=1)= C12C19 C211 =1855 ,P(x= 2)= C22 C211 =155 , 所以E(x)=0×3655+1× 18 55+2× 1 55= 4 11. 19.解:(1)当x=3,范数为奇数时,xi=0的个数为偶 数,即a=(x1,x2,x3)中0的个数为0或2, 所以根据乘法原理和加法原理可得 A3=C03×23 +C23×21=14,B3=C03×23×3+C23×21×1=30. (2)当n为奇数时,在向量a=(x1,x2,…,xn)中, 要使范数为奇数,则0的个数一定为偶数,其余位 置为1或-1, 所以可按0的 个 数 为0,2,4,…,n-1分 情 况 讨论, 所以An=C0n×2n+C2n×2n-2+…+Cn-1n ×21, 因为(2+1)n=C0n×2n +C1n×2n-1+C2n×2n-2+… +Cnn×20①, (2-1)n=C0n×2n-C1n×2n-1+C2n×2n-2-…-Cnn ×20②, ①+② 2 得 C0n ×2n +C2n ×2n-2+ … +Cn-1n ×21 =3 n+1 2 , 所以A2025= 32025+1 2 . (3)当n为偶数时,在向量a=(x1,x2,…,xn)中, 要使范数为奇数,则0的个数一定为奇数,其余位 置为1或-1, 所以可按0的 个 数 为1,3,5,…,n-1分 情 况 讨论, 所以An=C1n×2n-1+C3n×2n-3+…+Cn-1n ×21, Bn=(n-1)×C1n×2n-1+(n-3)×C3n×2n-3+… +1×Cn-1n ×21, 因为(2+1)n=C0n×2n +C1n×2n-1+C2n×2n-2+… +Cnn×20①, (2-1)n=C0n×2n-C1n×2n-1+C2n×2n-2-…+Cnn ×20②, ①-② 2 得C1n×2n-1+C3n×2n-3+…+Cn-1n ×21= 3n-1 2 , 所以An= 3n-1 2 , 解法一:因为(n-k)Ckn=(n-k)· n! k! (n-k)!= n· (n-1)! k! (n-1-k)!=nC k n-1, 所以Bn=(n-1)×C1n×2n-1+(n-3)×C3n×2n-3 +…+1×Cn-1n ×21 =n(C1n-1×2n-1+C3n-1×2n-3+…+Cn-1n-1×2) =2n(C1n-1×2n-2+C3n-1×2n-4+…+Cn-1n-1) =2n· 3 n-1-1 2 =n·(3n-1-1). 解法二:①+② 2 得C0n×2n+C2n×2n-2+…+Cn-1n ×21=3 n+1 2 , 又因为kCkn=k· n! k! (n-k)!=n · (n-1)!(k-1)! (n-k)! =nCk-1n-1, 所以Bn=(n-1)×C1n×2n-1+(n-3)×C3n×2n-3 +…+1×Cn-1n ×2 =n(C1n·2n-1+C3n·2n-3+…+Cn-1n ·2)-(C1n· 2n-1+3·C3n·2n-3+…+(n-1)·Cn-1n ·2) =nAn-n(C0n-1·2n-1+C2n-1·2n-3+…+Cn-2n-1· 2) =n· 3 n-1 2 - 3n-1+1 2 =n·(3n-1-1). 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —78—