第7章 随机变量及其分布 B卷 能力提升卷-【学而思·高中同步双测卷】2025-2026学年高二数学选择性必修第三册测试卷（人教A版2019）

(3)设“选到A 盒”为事件A1,“选到B 盒”为事件 A2,“摸 到 金 卡”为 事 件 B1,“摸 到 银 卡”为 事 件B2, 因为B1,B2 是对立事件,而P(B1)= 1 2× 9 10+ 1 2 ×210= 11 20 ,则P(B2)=1-P(B1)= 9 20. 由题意得P(A1)=P(A2)= 1 2 , 所以P(A1|B2)= P(A1B2) P(B2) = P(B2|A1)P(A1) P(B2) = 1 10× 1 2 9 20 =19 , 则P(A2|B2)=1-P(A1|B2)= 8 9. 故所求的概率P=89× 9 10+ 1 9× 2 10= 37 45. B卷 能力提升卷 1.B 由分布列的性质可得1-2q+q2+12=1 ,即 2q2-4q+1=0,解得q=4± 16-84 =1± 2 2. 又 0≤1-2q≤1 0≤q2+12≤1 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ,解得0≤q≤12 ,故q=1- 22. 故 选:B. 2.A 因为X~N(70,102),即μ=70,σ=10,所以P(60≤ X≤80)=0.6827,P(50≤X≤90)=0.9545,所以 P(80≤X≤90)=0.9545-0.68272 =0.1359 ,所 以抽测成绩在[80,90]的学生人数大约为10000× 0.1359=1359人.故选:A. 3.D 每 次 试 跳 他 能 成 功 越 过 这 个 高 度 的 概 率 为 0.8,则本次比赛他获得冠军的概率P=0.8+0.2 ×0.8+0.22×0.8=0.8+0.16+0.032=0.992. 故选:D. 4.D 设机器狗能够进入古墓的总尝试次数为 X,则 X 的所有可能取值为1,2,3,4,所以 P(X=1)= 1 4 ,P(X=2)= C13C11 A24 =14 ,P(X=3)= C13C12C11 A34 = 1 4 ,P(X=4)= C13C12C11C11 A44 =14 ,所以E(X)=1×14 +2×14+3× 1 4+4× 1 4= 5 2. 故选:D. 5.C 记事件E:在某次通电后C,D 有且只有一个需 要更换,事件F:C 需要更换,则P(E)=0.3×(1- 0.2)+(1-0.3)×0.2=0.38,P(EF)=0.3×(1- 0.2)=0.24,由 条 件 概 率 公 式 可 得 P(F|E)= P(EF) P(E)= 0.24 0.38= 12 19. 故选:C. 6.C 设A1=“第1天去甲餐厅”,B1=“第1天去乙 餐厅”,A2=“第2天去甲餐厅”,则Ω=A1∪B1,且 A1 与B1 互斥.由题意得,P A1 =P B1 =0.5, P A2 A1 =0.6,P A2 A1 =0.8.由全概率公式 得,P A2 =P A1 ·P A2 A1 +P B1 · P A2 B1 =0.5×0.6+0.5×0.8=0.7.故选:C. 7.C 对于 A,由题意知:E(ξ)=(-2)× 1 2+0× 2-p 4 +2× p 4= p 2-1 ,E(η)=3× 1 2+5× 2-p 4 +7 ×p4= p 2+4 ,所以A错误;对于B,因为D(ξ)= 1 2 × p2+1 2 +2-p4 × p 2-1 2 +p4× p 2-3 2 = -14p 2+2p+1,D(η)= 1 2× p 2+1 2 +2-p4 × p 2-1 2 +p4× p 2-3 2 =-14p 2+2p+1,即 D(ξ)=D(η),故B错误;对于C,E(ξ)=p2-1 ,所 以当p增大时,E(ξ)也增大,故C正确;对于D,由 D(η)=- 1 4p 2+2p+1=-14 (p-4)2+5(0≤p≤1), 因为0≤p≤1,所以当p增大时,D(η)增大,可知D 错误.故选:C. 8.D 设蚂蚁爬n次仍在上底面的概率为Pn,那么它 前一步只有两种情况:A:如果本来就在上底面,再 走一步 要 想 不 掉 下 去,只 有 两 条 路,其 概 率 是 2 3Pn-1 ;B:如果是上一步在下底面,则第n-1步 不在上底面的概率是1-Pn-1,如果爬上来,其概 率应是1 3 (1-Pn-1).A,B 事件互斥,因此,Pn= 2 3Pn-1+ 1 3 (1-Pn-1);整理得,Pn= 1 3Pn-1+ 1 3 ; 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —18— 即Pn- 1 2= 1 3 Pn-1-12 ;构造等比数列{Pn- 1 2 },公比为1 3 ,首项为P1- 1 2= 2 3- 1 2= 1 6 ,可得 Pn= 1 2 1 3 n +12. 因此第10次仍然在上底面的概 率P10= 1 2 1 3 10 +12. 故选:D. 9.ABD 对于 A,因 X~B 4,12 ,故 P(X=1)= C14 1 2 12 3 =14 ,故A正确;对于B,因X~B 4, 1 2 ,故E(X)=4×12=2,故B正确;对于C,因 X~B 4,12 ,故D(X)=4×12× 1-12 =1,故 C错 误;对 于 D,由 C 项 得 D(X)=1,则σ= D(X)= 1=1,故D正确.故选:ABD. 10.BD 易见A1,A2,A3 是两两互斥的事件,P(B)= P(B·A1)+P(B·A2)+P(B·A3)= 5 10× 5 11+ 2 10× 4 11+ 3 10× 4 11= 9 22. 故选:BD. 11.BD 由n次独立重复试验的概率计算公式可知, Pk=Ck6 2 3 k · 1-23 6-k ,所以 P1=C16 2 3 1 · 1 3 5 , P5=C56 2 3 5 · 1 3 1 ,显然P1<P5, 即选项A错误,选项B正确; 由必然事件的概率可知,􀰐 6 k=1 Pk=1, 而P0=C06 2 3 0 1 3 6 ≠0,即选项C错误; 设P0,P1,P2,…,P6 中的最大值为Pi(0≤i≤6,且 i∈N),则 Pi≥Pi+1, Pi≥Pi-1, 即 Ci6 2 3 i 1 3 6-i ≥Ci+16 2 3 i+1 1 3 5-i , Ci6 2 3 i 1 3 6-i ≥Ci-16 2 3 i-1 1 3 7-i , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 解得11 3≤i≤ 14 3 ,因为i∈N,所以i=4, 所以P0,P1,P2,…,P6 中最大的为P4,即选项D 正确. 故选:BD. 12.解析:在一次试验中,成功的概率为1-23× 2 3= 5 9. 依题意,ξ~B 8, 5 9 ,故E(ξ)=8×59=409. 故答案为:40 9. 答案:40 9 13.解析:设事件A=“产品经检验被认为是次品”,B =“产品确实为次品”, 由题意知,P(B)=0.04,P(B)=0.96,P(A|B)= 0.99,P(A|B)=0.005, 由贝叶斯公式得,所求概率为 P(B|A)= P (A|B)P(B) P(A|B)P(B)+P(A|B)P(B) = 0.99×0.040.99×0.04+0.005×0.96≈0.892. 故答案为:0.892. 答案:0.892 14.解析:由题意可知X 服从超几何分布,η也服从超 几何分布, ∴E(X)=2×35 = 6 5 ,E(η)= 3×3 5 = 9 5. 又X 的分布列为 X 0 1 2 P 110 3 5 3 10 ∴E(X2)=02×110+1 2×35+2 2×310= 9 5 , D(X)=E(X2)-[E(X)]2=95- 6 5 2 =925. η的分布列为 η 1 2 3 P 310 3 5 1 10 ∴E(η 2)=12×310+2 2×35+3 2×110= 18 5 , D(η)=E(η 2)-[E(η)] 2=185- 9 5 2 =925. ∴E(X2)=E(η),D(X)=D(η), ∴①②④正确. 故答案为:①②④. 答案:①②④ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —28— 15.解:(1)12.6×P0+(1-P0)×(-4.8)=5.4×P0+ (1-P0)×(-1.2),得P0= 1 3. (2)气温在[20,35)的频率为31+25+490 = 2 3 , 所以今年6月份天气好的概率23 , 因为2 3>P0= 1 3 ,所以应赴A 地施工. 期望获得的利润是12.62×23- 1 3×4.8=6.8 万元 所以该 企 业 应 赴 A 地 施 工,本 月 期 望 获 利6.8 万元. 16.解:(1)从该地区小学生中随机抽取1人,该生感 染甲型流感的概率为1 2 , 从该地区初中生中随机抽取1人,该生感染甲型 流感的概率为1 8 , 所以这2人中至多有一人感染甲型流感的概率为 1-12× 1 8= 15 16. (2)设事件A=“抽到小学生”,B=“抽到初中生”, C=“抽到高中生”,D=“该生感染甲型流感”, 则P(A)=512 ,P(B)=13 ,P(C)=14 , P(D|A)=12 ,P(D|B)=18 ,P(D|C)=112 , 所以P(D)=P(A)P(D|A)+P(B)P(D|B)+P(C) P(D|C) =512× 1 2+ 1 3× 1 8+ 1 4× 1 12= 13 48. 所以该生感染甲型流感的概率为13 48. 17.解:(1)若甲第1题选择A 类试题作答并且答错, 则第2题选择A 类试题作答的概率P1= 1 2× 1 2 ×13= 1 12 , 若甲第1题选择 A 类试题作答并且答对,则第2 题选择 A 类试题作答的概率P2= 1 2× 1 2× 2 3 =16 , 故甲2题均选择A 类试题作答的概率P=112+ 1 6 =14. (2)由题可知,X 的所有可能取值为0,1,2, 则P(X=0)=13× 1 3× 1 3+ 1 3× 2 3× 1 2= 4 27 , P(X=1)=23× 2 3× 1 3+ 2 3× 1 3× 1 2+ 1 3× 1 3× 2 3+ 1 3× 2 3× 1 2= 4 9 , P(X=2)=23× 2 3× 2 3+ 2 3× 1 3× 1 2= 11 27 , 故X 的分布列为: X 0 1 2 P 427 4 9 11 27 则E(X)=0×427+1× 4 9+2× 11 27= 34 27. 18.解:(1)由频率分布直方图得,2(0.02+0.03+ 0.05+0.05+0.15+a+0.05+0.04+0.01)=1, 解得a=0.10,0.10×2=0.20,所以日平均阅读 时间在(10,12]内的概率为0.20. (2)由频率分布直方图得,这500名学生中日平均 阅读时间在(12,14],(14,16],(16,18]三组内的 学生人数分别为500×0.10=50,500×0.08= 40,500×0.02=10. 若采用分层抽样的方法抽取了10人,则从日平均 阅读时间在(14,16]内的学生中抽取 4050+40+10 ×10=4人,现从这10人中随机抽取3人,则 X 的所有可能取值为0,1,2,3, P(X=0)= C36 C310 =20120= 1 6 ,P(X=1)= C14C26 C310 = 60 120= 1 2 , P(X=2)= C24C16 C310 =36120= 3 10 ,P(X=3)= C34 C310 = 4 120= 1 30 , 所以X 的分布列为 X 0 1 2 3 P 16 1 2 3 10 1 30 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —38— (3)k=5,理由如下: 由频率分布直方图得,抽取的学生中日平均阅读 时间在(8,12]内的概率为0.50,所以从该地区所 有高一学生中随机抽取10名学生,恰有k名学生日 平均阅读时间在(8,12]内的分布列大致服从二项分 布X~B(10,0.50),P(k)=Ck10 1 2 k 1-12 10-k = Ck10 1 2 10 ,由组合数的性质可得k=5时P(k)最大. 19.解:(1)从卡拉旺站上车的乘客到德卡鲁尔站下车 的概率P=2030= 2 3 , ∴根据频率估计概率,从卡拉旺站上车的乘客中 任选3人, 则这3人到德卡鲁尔站下车的人数X~B3,23 ,即 X 的可能取值为0,1,2,3, 所以P(X=0)=C03 2 3 0 1 3 3 =127 ,P(X=1)= C13 2 3 1 1 3 2 =627= 2 9 , P(X=2)=C23 2 3 2 1 3 =1227=49,P(X=3)= C33 2 3 3 1 3 0 =827 , 所以X 的分布列如下: X 0 1 2 3 P 127 2 9 4 9 8 27 则E(X)=3×23=2. (2)由表中数据可知,在高铁离开卡拉旺站时,在 哈利姆站上车的有35人,在卡拉旺站上车的有30 人. 记事件A:该乘客来自A 地;记事件B1:该乘客在 哈利姆 站 上 车;记 事 件 B2:该 乘 客 在 卡 拉 旺 站 上车; ∴P(B1)= 35 65= 7 13 ,P(B2)= 30 65= 6 13 ,P(B1|A)= 0.4,P(B2|A)=0.6, 从哈利姆站上车的乘客中是来自 A 地的概率为 P(A|B1),从卡拉旺站上车的乘客中是来自A 地的 概率为P(A|B2), ∵P(B1|A)P(A)=P(A|B1)P(B1),P(B2|A)P(A) =P(A|B2)P(B2), ∴ P(A|B1)P(B1) P(A|B2)P(B2) = P(B1|A)P(A) P(B2|A)P(A) , ∵P(A)>0, ∴ P(A|B1) P(A|B2) = P(B1|A)P(B2) P(B2|A)P(B1) = 0.4×613 0.6×713 =47 , ∴在高铁离开卡拉旺站时,所求概率的比值为47. 第二部分 月考滚动检测卷 第一次月考滚动检测卷 1.C 最高位是5的“凸数”,中间数分别为7,8,9,分 别有6,7,8个,共有21个;最高位是6的“凸数”, 中间数分别为7,8,9,分别有6,7,8个,共有21个; 最高位是7的“凸数”,中间数分别为8,9,分别有 7,8个,共有15个;最高位是8的“凸数”,中间数为 9,有8个,所以没有重复数字且大于564的三位数 中“凸数”的个数为21+21+15+8=65.故选:C. 2.B 依题意,μ=105,而120-105=105-90,由 P(X<120)=0.8可得,P(X≥120)=P(X≤90) =0.2,故P(90<X<105)=1-2×P (X≥120) 2 = 1-2×0.2 2 =0.3 ,即数学成绩落在区间(90,105)内 的概率为0.3.故选:B. 3.B 法1:令 A1=“玩手机超过1h的学生”,A2= “玩手机不超过1h的学生”,B=“任意调查一人, 此人近视”,则Ω=A1∪A2,且 A1,A2 互 斥;依 题 意,P(A1)=0.2,P(A2)=0.8,P(B|A1)=0.5, P(B)=0.4;由全概率公式P(B)=P(A1)P(B|A1)+ P(A2)P(B|A2);即0.4=0.2×0.5+0.8×P(B|A2); ∴P(B|A2)= 3 8. 故选:B. 4.B 由 题 x+ 1x-2 4 = x-2 x+1x 4 = (x-1) 2 x 􀭠 􀭡 􀪁 􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁 4 = (x-1)8 x2 ,又(x-1)8 的 展 开 式 Tr+1=Cr8(x)8-r(-1)r =(-1)rCr8x4- r 2,所 以 x+1 x -2 4 的 展 开 式 的 通 项 公 式 为 Tr+1 x2 = 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —48— B卷 能力提升卷 (时间:120分钟 分值:150分) 一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的. 1.设离散型随机变量X 的分布列如表所示,则q= ( ) A.12 B.1- 2 2 C.1+ 22 D.1± 2 2 X 1 2 P 1-2q q2+12 2.某市共10000人参加一次物理测试,满分100分,学生的抽测成绩 X 服从正态分布N(70, 102),则抽测成绩在[80,90]的学生人数大约为 ( ) (若ξ~N(μ,σ 2),则P(μ-σ≤ξ≤μ+σ)=0.6827,P(μ-2σ≤ξ≤μ+2σ)=0.9545) A.1359 B.2718 C.3414 D.4773 3.田径比赛跳高项目中,在横杆高度设定后,运动员有三次试跳机会,只要有一次试跳成功即完 成本轮比赛.在某学校运动会跳高决赛中,某跳高运动员成功越过现有高度即可成为本次比赛 的冠军,结合平时训练数据,每次试跳他能成功越过这个高度的概率为0.8(每次试跳之间互不 影响),则本次比赛他获得冠军的概率是 ( ) A.0.832 B.0.920 C.0.960 D.0.992 4.如图,某考古队在挖掘一古墓群,古墓外面是一个正方形复杂空间,且 有4个形状、大小均相同的入口1,2,3,4,其中只有1个入口可以打开, 其他的是关闭的.现让一个机器狗从点O出发探路,从4条路线中任选 一条寻找打开的入口,找到后直接进入古墓,若未找到,则沿原路返回 到出发点,继续重新寻找.若该机器狗是有记忆的,它在出发点选择各 条路线的尝试均不多于1次,且每次选哪条路线是等可能的,则它能够进入古墓的总尝试次数 的数学期望是 ( ) A.43 B.2 C. 7 3 D. 5 2 5.在某电路上有C,D 两个独立工作的元件,每次通电后,需要更换C 元件的概率为0.3,需要更 换D 元件的概率为0.2,则在某次通电后C,D 有且只有一个需要更换的条件下,C需要更换的 概率是 ( ) A.310 B. 9 13 C. 12 19 D. 3 4 6.某学校有甲、乙两家餐厅,学生张小明第1天午餐时随机选择一家餐厅用餐.如果他第1天去 甲餐厅,那么第2天去甲餐厅的概率为0.6;如果他第1天去乙餐厅,那么第2天去甲餐厅的概 率为0.8,则张小明第2天去甲餐厅的概率为 ( ) A.0.4 B.0.6 C.0.7 D.0.9 —52— 7.已知随机变量ξ的分布列是 随机变量η的分布列是 ξ -2 0 2 P 12 2-p 4 p 4 η 3 5 7 P 12 2-p 4 p 4 下列选项中正确的是 ( ) A.E(ξ)=E(η) B.D(ξ)>D(η) C.当p增大时,E(ξ)递增 D.当p增大时,D(η)递减 8.设一个正三棱柱ABC DEF,每条棱长都相等,一只蚂蚁从上底面ABC 的某顶点出发,每次 只沿着棱爬行并爬到另一个顶点,算一次爬行,若它选择三个方向爬行的概率相等,若蚂蚁爬 行10次,仍然在上底面的概率为P10,则P10为 ( ) A.14 · 1 3 10 +12 B. 1 3 11 +12 C. 1 3 11 -12 D. 1 2 · 1 3 10 +12 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求. 全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 9.若随机变量X~B4,12 ,则下列说法正确的是 ( ) A.P(X=1)=14 B.E (X)=2 C.D(X)=12 D.σ=1 10.甲罐中有5个红球,2个白球和3个黑球,乙罐中有4个红球,3个白球和3个黑球.先从甲罐 中随机取出一球放入乙罐,分别以A1,A2 和A3 表示由甲罐取出的球是红球,白球和黑球的 事件;再从乙罐中随机取出一球,以B 表示由乙罐取出的球是红球的事件,则下列结论中正确 的是 ( ) A.P(B)=25 B.P (B|A1)= 5 11 C.事件B 与事件A1 相互独立 D.A1,A2,A3 是两两互斥的事件 11.掷一个不均匀的硬币6次,每次掷出正面的概率均为23 ,恰好出现k次正面的概率记为Pk,则 下列说法正确的是 ( ) A.P1=P5 B.P1<P5 C.􀰐 6 k=1 Pk=1 D.P0,P1,P2,…,P6 中最大值为P4 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分. 12.抛掷两个骰子,至少有一个4点或5点出现时,就说这次试验成功,则在8次试验中,成功次 数ξ的均值是 . 13.有一台用来检验产品质量的仪器,已知一只次品经检验被认为是次品的概率为0.99,而一只 正品经检验被认为是次品的概率为0.005,已知产品的次品率为4%,若一产品经检验被认为 是次品,则它确实为次品的概率约为 (精确到小数点后三位). 14.盒中有2个白球,3个黑球,从中任取3个球,以X 表示取到白球的个数,η表示取到黑球的个 数.给出下列各项:①E(X)=65 ,E(η)= 9 5 ;②E(X2)=E(η);③E(η 2)=E(X);④D(X)= D(η)= 9 2. 其中正确的是 (填上所有正确结论的序号). —62— 四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)在企业风险决策中,当天气好的概率P 大于其临界概率P0 时,执行该方案好于改变 该方案,当天气好的概率P 等于P0 时,执行方案收益的数学期望等于改变该方案收益的数学 期望.某工程队签署一项赴A 地施工的合同,根据已有统计得到的数据提供如下方案:若赴A 地后一个月天气好,可以按期完工能盈利12.6万元;若赴A 地后一个月天气不好,则造成损 失4.8万元.改变方案则不赴A 地,留在B 地,若天气好可临时承包一些零星工程,盈利5.4 万元;若天气不好,则损失1.2万元. (1)试确定今后一个月赴A 地施工的天气好的临界概率P0(设AB 两地的天气状态相同). (2)若人力资源部获得了A 地近三年的6月份的最高气温数据,列出如下频率分布表. 最高气温(度) [10,15) [15,20) [20,25) [25,30) [30,35) [35,40) 天数 2 21 31 25 4 7 若最高气温在[20,35)内,则视为天气好.以频率作为概率,根据(1)中所得天气好的临界概率 判断,该企业今年6月份是赴A 施工,还是留在B 地? 本月期望获得的利润是多少? 16.(15分)流感病毒分为甲、乙、丙、丁4个家族,其中甲型流感最为常见,每年季节性流行.2023 年3月初,某地区甲型流感进入高发期,调查数据显示,该地区小学生、初中生、高中生感染甲 型流感的比例分别为1 2 ,1 8 ,1 12. (1)若从该地区小学生与初中生中各随机抽取1人,求这2人中至多有一人感染甲型流感的概率; (2)若该地区小学生、初中生、高中生人数之比为5∶4∶3,现从该地区小学生、初中生及高中 生中随机地抽取1人,求该生感染甲型流感的概率. 17.(15分)大学毕业生入职某国企需要笔试,笔试题目分为A,B 两种类型,且两种类型的题目数 量相同,每个笔试者选择2题作答,第1题从A,B 两类试题中随机选择1题作答,笔试者若答 对第1题,则第2题选择同一类试题作答的概率为23 ,若答错第1题,则第2题选择同一类试 题作答的概率为1 3 ,试题不重复选择.已知甲答对A 类试题的概率均为12 ,答对B 类试题的概 率均为2 3 ,且每道试题答对与否相互独立. —72— (1)求甲两题均选择A 类试题作答的概率; (2)若甲第1题选择B 类试题作答,设甲答对的试题数为X,求X 的分布列与期望. 18.(17分)4月23日是联合国教科文组织确定的“世界读书 日”.为了解某地区高一学生阅读时间的分配情况,从该地 区随机抽取500名高一学生进行在线调查,得到了这500名 学生的日平均阅读时间(单位:h),并将样本数据分成[0, 2],(2,4],(4,6],(6,8],(8,10],(10,12],(12,14],(14, 16],(16,18]九组,绘制成如图所示的频率分布直方图. (1)从这500名学生中随机抽取一人,求日平均阅读时间在(10,12]内的概率; (2)为进一步了解这500名学生数字媒体阅读时间和纸质图书阅读时间的分配情况,从日平均 阅读时间在(12,14],(14,16],(16,18]三组内的学生中,采用分层抽样的方法抽取了10人,现从 这10人中随机抽取3人,记日平均阅读时间在(14,16]内的学生人数为X,求X 的分布列; (3)以样本的频率估计概率,从该地区所有高一学生中随机抽取10名学生,用P(k)表示这10 名学生中恰有k名学生日平均阅读时间在(8,12]内的概率,其中k=0,1,2,…,10.当P(k)最 大时,写出k的值.(只需写出结论) 19.(17分)中国首个海外高铁项目———雅万高铁全线长142.3千米,共设有哈利姆站、卡拉旺站、 帕达拉朗站、德卡伯尔站4个车站.在运营期间,铁路公司随机选取了100名乘客的乘车记 录,统计分析,得到下表(单位:人): 下车站上车站 卡拉旺站 帕达拉朗站 德卡鲁尔站 总计 哈利姆站 5 20 15 40 卡拉旺站 10 20 30 帕达拉朗站 30 30 总计 5 30 65 100 用频率代替概率,根据上表解决下列问题: (1)在运营期间,从卡拉旺站上车的乘客中任选3人,设这3人到德卡鲁尔站下车的人数为随 机变量X,求X 的分布列及其数学期望; (2)已知A 地处在哈利姆站与卡拉旺站之间,A 地居民到哈利姆站乘车的概率为0.4,到卡拉 旺站乘车的概率为0.6(A 地居民不可能在卡拉旺站下车).在高铁离开卡拉旺站时,求从哈利 姆站上车的乘客来自A 地的概率与从卡拉旺站上车的乘客来自A 地的概率的比值. —82— ■ 请在各题目的答题区域内作答,超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 ■ B卷 能力提升卷 姓 名 准考证号 考生禁填:缺考考生由监考员填涂右边的缺考 标记 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 考生条形码粘贴处 填 涂 样 例 正确填涂 错误填涂 注 意 事 项 1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚,并认真检查监考员所粘 贴的条形码; 2.选择题必须用2B铅笔填涂,解答题必须用0.5毫米黑色签字笔书写,字体 工整,笔迹清楚; 3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无 效;在草稿纸、试题卷上答题无效。 一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分. 1.[A][B][C][D] 2.[A][B][C][D] 3.[A][B][C][D] 4.[A][B][C][D] 5.[A][B][C][D] 6.[A][B][C][D] 7.[A][B][C][D] 8.[A][B][C][D] 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分. 9.[A][B][C][D] 10.[A][B][C][D] 11.[A][B][C][D] 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分. 12. 13. 14. ■ 请在各题目的答题区域内作答,超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 ■ —92— ■ 请在各题目的答题区域内作答,超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 ■ 四、解答题:本题共5小题,共77分. 15.(13分) 16.(15分) ■ 请在各题目的答题区域内作答,超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 ■ —03— ■ 请在各题目的答题区域内作答,超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 ■ 17.(15分) 18.(17分) ■ 请在各题目的答题区域内作答,超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 ■ —13— ■ 请在各题目的答题区域内作答,超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 ■ 19.(17分) ■ 请在各题目的答题区域内作答,超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 ■ —23—