第6章 计数原理 A卷 基础巩固卷-【学而思·高中同步双测卷】2025-2026学年高二数学选择性必修第三册测试卷（人教A版2019）

第一部分 章末过关检测卷 第六章 计数原理 A卷 基础巩固卷 (时间:120分钟 分值:150分) 一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的. 1.李芳有4件不同颜色的衬衣,3件不同花样的裙子,另有两套不同样式的连衣裙.“五一”节需选 择一套服装参加歌舞演出,则不同的选择方式有 ( ) A.24种 B.14种 C.10种 D.9种 2.若5名学生报名参加数学、物理、计算机、航模兴趣小组,每人选报1项,则不同的报名方式有( ) A.45 种 B.54 种 C.4×3×2种 D.5×4×3×2种 3.C0n·32n+C1n·32n-2+C2n·32n-4+…+Cn-1n ·32= ( ) A.42n B.4n-1 C.10n D.10n-1 4.已知Am3-C23+0! =4,则m= ( ) A.0 B.1 C.2或3 D.3 5.若(1-2x)5=a0+a1x+a2x2+…+a5x5,则a2+a3= ( ) A.10 B.0 C.-40 D.130 6.学校要安排一场文艺晚会的8个节目的演出顺序,学生的节目有6个,教师的节目有2个,如 果教师的节目既不排在第一个,也不排在最后一个,那么不同的排法数为 ( ) A.A88 B.A66A22 C.A26A66 D.A88-A22A66 7.有10只不同的实验产品,其中有4只次品,6只正品.现每次取一只测试,直到4只次品全测出 为止,则错误的是 ( ) A.最后一只次品正好在第四次测试时被发现的不同情形有24种 B.最后一只次品正好在第五次测试时被发现的不同情形有576种 C.所有次品正好是第六次测试时被全部查出的不同情形有7200种 D.4只次品全测出至多需要九次测试 8.已知某动点在平面直角坐标系第一象限的整点上运动(含x,y正半轴上的整点),其运动规律为 (m,n)→(m+1,n+1)或(m,n)→(m+1,n-1).若该动点从原点出发,经过6步运动到点(6,2),则不 同的运动轨迹有 ( ) A.15种 B.14种 C.9种 D.103种 —1— 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求. 全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 9.下列等式中,成立的有 ( ) A.Amn= n! m! B.C m-1 n +Cmn=Cmn+1 C.Cmn=Cn-mn D.Amn=nAm-1n-1 10.某学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理、技术这七门课程中选三门作为选考科目,下列 说法错误的是 ( ) A.若任意选择三门课程,选法总数为A37 B.若物理和化学至少选一门,选法总数为C12C25 C.若物理和历史不能同时选,选法总数为C37-C15 D.若物理和化学至少选一门,且物理和历史不能同时选,选法总数为C12C25-C15 11.已知 2x-1x2 n 展开式中各项二项式系数之和为128,则 ( ) A.n=7 B.展开式的各项系数之和是-1 C.展开式中第4项和第5项的二项式系数最大 D.展开式中无常数项 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分. 12.在 x+2x n 的二项展开式中,若常数项为60,则n等于 . 13.在2024年巴黎奥运会志愿者活动中,甲、乙、丙、丁4人要参与到A,B,C三个项目的志愿者 工作中,每个项目必须有志愿者参加,每个志愿者只能参加一个项目,若甲只能参加C项目, 那么不同的志愿者分配方案共有 种(用数字表示). 14.某学校要安排2名高二的同学、2名高一的同学和1名初三的同学去参加电视节目,有五个乡 村小镇A,B,C,D,E(每名同学选择一个小镇),由于某种原因高二的同学不去小镇A,高一的 同学不去小镇B,初三的同学不去小镇D 和E,则共有 种不同的安排方法. 四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)(1)解方程:A3n=16C2n; (2)计算:C44+C45+C46+…+C49; (3)解不等式An7<12An-27 (n≥3). —2— 16.(15分)已知(1-2x)7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7,求: (1)a1+a2+…+a7; (2)a1+a3+a5+a7; (3)a0+a2+a4+a6; (4)|a0|+|a1|+|a2|+…+|a7|. 17.(15分)有3名男生、4名女生,在下列不同条件下,求不同的排列方法总数. (1)选5人排成一排; (2)排成前后两排,前排4人,后排3人; (3)全体排成一排,甲不站排头也不站排尾; (4)全体排成一排,女生必须站在一起; (5)全体排成一排,男生互不相邻. —3— 18.(17分)已知(3x+x2)2n的展开式的二项式系数和比(3x-1)n 的展开式的二项式系数和大 992.求 2x-1x 2n 的展开式中: (1)二项式系数最大的项; (2)系数的绝对值最大的项. 19.(17分)每年的6月5日是世界环境日,某校计划在6月5日开展社区垃圾分类宣传活动,学 校现从12名志愿者中选调6名志愿者去某社区作宣传,其中这12名志愿者有2名教师、4名 高一学生、4名高二学生和2名高三学生.求: (1)若选调的志愿者中恰有1名教师,且不含高三学生,则不同选调方法有多少种? (2)若选调的志愿者中必有教师,则不同选调方法有多少种? (3)若选调的志愿者必含教师和各年级学生,且高一与高二学生选调人数相等,则不同选调方 法有多少种? —4— ■ 请在各题目的答题区域内作答,超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 ■ 第六章 计数原理 A卷 基础巩固卷 姓 名 准考证号 考生禁填:缺考考生由监考员填涂右边的缺考 标记 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 考生条形码粘贴处 填 涂 样 例 正确填涂 错误填涂 注 意 事 项 1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚,并认真检查监考员所粘 贴的条形码; 2.选择题必须用2B铅笔填涂,解答题必须用0.5毫米黑色签字笔书写,字体 工整,笔迹清楚; 3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无 效;在草稿纸、试题卷上答题无效。 一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分. 1.[A][B][C][D] 2.[A][B][C][D] 3.[A][B][C][D] 4.[A][B][C][D] 5.[A][B][C][D] 6.[A][B][C][D] 7.[A][B][C][D] 8.[A][B][C][D] 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分. 9.[A][B][C][D] 10.[A][B][C][D] 11.[A][B][C][D] 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分. 12. 13. 14. ■ 请在各题目的答题区域内作答,超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 ■ —5— ■ 请在各题目的答题区域内作答,超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 ■ 四、解答题:本题共5小题,共77分. 15.(13分) 16.(15分) ■ 请在各题目的答题区域内作答,超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 ■ —6— ■ 请在各题目的答题区域内作答,超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 ■ 17.(15分) 18.(17分) ■ 请在各题目的答题区域内作答,超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 ■ —7— ■ 请在各题目的答题区域内作答,超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 ■ 19.(17分) ■ 请在各题目的答题区域内作答,超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 ■ —8— 参考答案 第一部分 章末过关检测卷 第六章 计数原理 A卷 基础巩固卷 1.B 由题意可得李芳不同的选择方式有4×3+2= 14(种).故选:B. 2.A 依题意,每名学生有4种报名方式,由分步乘 法计数原理得不同的报名方式有45 种.故选:A. 3.D 因为C0n·32n+C1n·32n-2+C2n·32n-4+…+ Cn-1n ·32+Cnn·30=(32+1)n,所以C0n·32n+C1n· 32n-2+C2n·32n-4+…+Cn-1n ·32=(32+1)n-1= 10n-1.故选:D. 4.C ∵Am3-C23+0! =4,∴Am3=6.当 m=2时成 立;当m=3时也成立.故选:C. 5.C a2=C25(-2)2=40,a3=C35(-2)3=-80,所以 a2+a3=-40.故选:C. 6.C 先排两个学生节目在最前最后位置,然后排在 中间六个位置排剩下节目,运用分步乘法原理,总 排法数为A26A66.故选:C. 7.C 最后一只次品正好在第四次测试时被发现的不 同情形有A44=24种 ,故A正确;最后一只次品正 好在第五次测试时被发现的不同情形有C16C34A44= 576种,故B正确;所有次品正好是第六次测试时 被全部查出的不同情形有C26C34A55+A66=7920种, 故C错误;因为共有10只不同的实验产品,所以4 只次品全 测 出 至 多 需 要 九 次 测 试,故 D正 确.故 选:C. 8.C 由运动规律可知,每一步的横坐标都增加1,只 需考虑纵坐标的变化,而纵坐标每一步增加1(或 减少1),经过6步变化后,结果由0变到2,因此这 6步中有2步是按照(m,n)→(m+1,n-1)运动 的,有4步是按照(m,n)→(m+1,n+1)运动的,因 此,共有C26=15种,而此动点只能在第一象限的整 点上运动(含x,y正半轴上的整点),当第一步(m, n)→(m+1,n-1)时不符合要求,有C15 种;当第一 步(m,n)→(m+1,n+1),但第二、三两步为(m,n) →(m+1,n-1)时也不符合要求,有1种,故要减 去不符合 条 件 的 C15+1=6种,故 共 有15-6= 9种. 9.BCD Amn =n(n-1)…(n-m+1)= n! (n-m)! ,故 A错 误;根 据 组 合 数 性 质 知 B,C 正 确;Amn = n! (n-m)!= n·(n-1)! [(n-1)-(m-1)]!=nA m-1 n-1,故 D正 确.故选:BCD. 10.ABD 若任意选择三门课程,选法总数为C37,故 A错误;若物理和化学至少选一门,选法总数为 C12C25+C22C15,故B错误;若物理和历史不能同时 选,选法总数为C37-C22C15,故C正确;若物理和化 学至少选一门,且物理和历史不能同时选,选法总 数为C12C25+C22C15-C15,故D错误.故选:ABD. 11.ACD 由题意可知2n=127,则n=7,故A正确; 令x=1,则 2×1-112 7 =1,故B错误;因为n= 7,所以由二项式系数的性质可知中间两项系数最 大,即第4、5项二项式系数最大,分别为C37,C47, 故C正确;设 2x-1x2 7 展开式的通项为Tr+1= Cr7·(2x)7-r·(-x-2)r=Cr7·27-r·(-1)r· x7-3r(r∈Z,0≤r≤7),显然7-3r=0无整数解, 故D正确.故选:ACD. 12.解析:Tr+1=Crn(x)n-r 2 x r =2r·Crnx n-3r 2 ,n, r∈N*,得 n-3r=0, 2r·Crn=60, 解得n=6. 故答案为:6. 答案:6 13.解析:分两种情况:(1)只有甲参加C项目,则有 C13A22=6种分配方案; (2)甲与另外一人共同参与C项目,则有 A33=6 种分配方案. 综上:共有12种分配方案. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —37— 故答案为:12. 答案:12 14.解析:如果初三学生去 A,则高二学生选1人去 B,另 外 三 人 去 C,D,E,故 不 同 的 安 排 方 法 有 C12A33=12(种); 如果初三学生去B,则高一学生选1人去A,另外 三人去C,D,E,故不同的安排方法有C12A33=12 (种); 如果初三学生去C,则高二学生选1人去B,高一 学生选1人去A,另外两人去D,E,故不同的安排 方法有C12C12A22=8(种). 故共有不同的安排方法12+12+8=32(种). 故答案为:32. 答案:32 15.解:(1)因为A3n=16C2n,所以n(n-1)(n-2)=16 ×n (n-1) 2 . 又因为n≥3,所以n-2=8,解得n=10. (2)因为Cr-1n-1+Crn-1=Crn, 所以C44+C45+C46+…+C49 =C55+C45+C46+…+C49=C56+C46+…+C49=… =C510=252. (3)因为An7<12An-27 (n≥3),所以 7! (7-n)!<12× 7! (9-n)(8-n)(7-n)!. 因为3≤n≤7,所以(9-n)(8-n)<12, 即n2-17n+60<0,解得5<n<12, 所以5<n≤7,又n∈N*,所以n=6或n=7. 16.解:(1)根据所给的等式求得常数项a0=1. 令x=1,可得a0+a1+a2+…+a7=-1. 则a1+a2+…+a7=-2. (2)在所给的等式中,令x=1, 可得a0+a1+a2+…+a7=-1. ① 令x=-1,则a0-a1+a2-a3+…-a7=37. ② (①-②)÷2,可得a1+a3+a5+a7=-1094. (3)由(2),(①+②)÷2,可得a0+a2+a4+a6= 1093. (4)在所给的等式中,令x=-1, 可得|a0|+|a1|+|a2|+…+|a7|=a0-a1+a2- a3+…-a7=37=2187. 17.解:(1)根据题意,有3名男生、4名女生,共7人, 从中选出5人排成一排,有A57=2520种排法. (2)根据题意,前排4人,有A47 种排法,后排3人, 有A33 种排法, 则有A47×A33=5040种排法. (3)根 据 题 意,甲 不 站 排 头 也 不 站 排 尾,有5种 情况, 将剩下的6人全排列,有A66 种排法, 则有5×A66=3600种排法. (4)根据题意,将4名女生看成一个整体,有A44 种 排法, 将这个整体与3名男生全排列,有A44 种排法, 则有A44×A44=576种排法. (5)根据题意,先排4名女生,有A44 种排法, 排好后有5个空位,在5个人空位中任选3个,安 排3名男生,有A35 种排法, 则有A44×A35=1440种排法. 18.解:由题意22n-2n=992,解得n=5. (1) 2x-1x 10 的展开式中第6项的二项式系数 最大,即 T6=T5+1=C510·(2x)5· -1x 5 = -8064. (2)设第k+1项的系数的绝对值最大, Tk+1=Ck10·(2x)10-k· -1x k =(-1)k·Ck10·210-k·x10-2k, 则 Ck10·210-k≥Ck-110 ·210-k+1, Ck10·210-k≥Ck+110 ·210-k-1, 即 Ck10≥2Ck-110 , 2Ck10≥Ck+110 , 即 11-k≥2k, 2(k+1)≥10-k, 解得8 3≤k≤ 11 3 ,故k=3. 系数的绝对值最大的项为 T4=C310(2x)7 -1x 3 =-15360x4. 19.解:(1)选调的志愿者中恰有1名教师,先选1名 教师,再从高一高二选5人,共有C12C58=2×56= 112种选法. (2)选调的志愿者中必有教师,有两种情况,选1 名教师5名学生和2名教师4名学生,共有C12C510 +C22C410=2×252+210=714种选法. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —47— (3)选调的志愿者必含教师和各年级学生,且高一 与高二学生选调人数相等,有两种情况,教师和高 三学生各选1名,高一高二各选2名学生和教师 和高三学生各选2名,高一高二各选1名学生,共 有C12C12C24C24+C22C22C14C14=2×2×6×6+1×1×4 ×4=160种选法. B卷 能力提升卷 1.B 由甲同学不能报名足球,可得甲有2种报名方 式,乙、丙、丁三位同学所报项目都不相同,可得乙 有3种报名方式,丙有2种报名方式,丁只有1种 报名方式,共分步计数原理可得共有2×3×2×1 =12种.故选:B. 2.D 对 (x+y)6 有 Tr+1 =Cr6x6-ryr,则 T4 = C36x3y3,T6=C56xy5,则 y+ x2 y (x+y)6 中含x3y4 的项为yC36x3y3+ x2 yC 5 6xy5,则x3y4 的系数为C36+ C56=26.故选:D. 3.D 根据题意可知,1至5号的无人机颜色有4种 选择,当6、7号无人机颜色与1至5号的无人机颜 色相同时,8号无人机颜色有3种选择;当6、7号无 人机颜色与1至5号的无人机颜色不同时,6、7号 无人机颜色有3种选择,8号无人机颜色有2种选 择;再由分类加法和分步乘法计数原理计算可得共 有4×(1×3+3×2)=36种.故选:D. 4.D 分4步进行分析:①,对于区域 A,有5种颜色可 选;②,对于区域B,与A 区域相邻,有4种颜色可 选;③,对于区域C,与A、B 区域相邻,有3种颜色 可选;④,对于区域D、E,若D 与B 颜色相同,E 区 域有3种颜色可选,若D 与B 颜色不相同,D 区域 有2种颜色可选,E 区域有2种颜色可选,则区域 D、E 有3+2×2=7种选择,所以不同的涂色方案 有5×4×3×7=420种.故选:D. 5.B 由题意,在(2x+a)(3x-2)4 中,令x=1,得所 有项的系数和为(2+a)×1=3,解得a=1,故(2x +1)(3x-2)4=2x·(3x-2)4+(3x-2)4 的展开 式中,x2 的系数为2C34×3×(-2)3+C24×32× (-2)2=-192+216=24.故选:B. 6.A 把5人分组有两类情况:1∶1∶3和2∶2∶1. 先把5人按1∶1∶3分组,有C35 种分组方法,按 2∶2∶1分组,有 C25C23 A22 种分组方法,因此不同分组 方法数为C35+ C25C23 A22 ,再把三组人安排到三个城市, 有A33 种 方 法,所 以 不 同 分 配 方 法 种 数 是(C35+ C25C23 A22 )A33=(10+15)×6=150.故选:A. 7.B 因为a=C020+C120·2+C220·22+…+C2020·220 =(1+2)20=320=910=(10-1)10,又(10-1)10= C010·1010-C110·109+…-C910·10+C1010,故a≡ 1(mod10),又 2010÷10=201,2021÷10= 202……1,2019÷10=201……9,1997÷10= 199……7,结 合 选 项 可 知 只 有 B 符 合 题 意.故 选:B. 8.C a=20×19×18×…×2×1,b=10×10×10× …×10×10,均由20个数相乘组成,其中前两项和 最后一项比较20×19×1<10×10×10,其他项18 ×2<10×10,17×3<10×10直到11×9<10× 10,故a<b,c=40×39×38× …×22×21 20×19×18×…×2×1 <2×3 10 ×43×52×6×8×11×21,其中a=20×19×18× …×2×1里面前四项大于2×310×43×52×6×8 ×11×21中的后五项,即20×19×18×17>5×6 ×8×11×21,其他项均要对应大于或等于剩余2 ×310×43×5中的每一项,故c<a.故选:C. 9.BC 根据题意,四个不同的小球放入三个分别标 有1~3号的盒子中,且没有空盒,则三个盒子中有 1个中放2个球,剩下的2个盒子中各放1个, 有2种解法: (1)分2步进行分析: ①、先将四个不同的小球分成3组,有C24 种分组 方法; ②、将分好的3组全排列,对应放到3个盒子中,有 A33 种放法; 则没有空盒的放法有C24A33 种; (2)分2步进行分析: 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —57—