实战模拟卷十一-【创新教程】2024-2025学年高一下学期数学期末实战模拟卷

高一下学期期末实战模拟卷十一　 　　　　命题范围:必修第二册 测试时间:１２０分钟,满分:１５０分 一、选择题:本题共８小题,每小题５分,共４０分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的． １．若复数z满足(２＋i)z＝|２－ ２i|(i为虚数单位),则在复平面内z的共轭复数所对应的 点位于 (　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ２．一道竞赛题,A,B,C三人可解出的概率依次为１２ ,１ ３ ,１ ４ ,若三人独立解答,则仅有１人解 出的概率为 (　　) A．１２４ B． １１ ２４ C． １７ ２４ D．１ ３．第２４届冬季奥林匹克运动会是由中国举办的国际性奥林匹克赛事,某运动选手从男子 ５００米、男子１０００米、男子１５００米、男子５０００米接力、混合团体２０００米接力５项中等 可能的选３项参赛,则该选手没有选择男子５０００米接力的概率为 (　　) A．１４ B． １ ２ C． ２ ５ D． ２ ３ ４．已知a＝(３,６),b＝(－２,－４),|c|＝２ ５,(a＋b)􀅰c＝５,则a与c的夹角为 (　　) A．３０° B．６０° C．１２０° D．１５０° ５．球面几何是几何学的一个重要分支,在航海、航空、卫星定位等方面都有广泛的应用．球 面几何中,球面两点之间最短的距离为经过这两点的大圆的劣弧长,称为测地线．已知正 三棱锥S－ABC的侧棱长为２,底面边长为３,设球O 为其外接球,则球O 对应的球面上 经过S,A 两点的测地线长为 (　　) A．π３ B．２ C． ２π ３ D．４ ６．随机事件A 发生的概率为４５ ,随机事件B 发生的概率为２３ ,则事件A,B 同时发生的概率 的取值范围是 (　　) A．８１５ ,２ ３ é ë êê ù û úú B． ７ １５ ,４ ５ é ë êê ù û úú C． ７ １５ ,２ ３ é ë êê ù û úú D． ２ ３ ,４ ５ é ë êê ù û úú ７．在△ABC中,E 为AC 上一点,AC → ＝３AE → ,P 为BE 上任一点,若AP → ＝mAB → ＋nAC → (m＞ ０,n＞０),则３m＋ １ n 的最小值是 (　　) A．９ B．１０ C．１１ D．１２ ８．在锐角△ABC中,内角A,B,C对应的边分别为a,b,c,已知B＝６０°,c＝１,则△ABC面积 的取值范围为 (　　) A． ３ ８ ,３ ４ æ è ç ö ø ÷ B．１８ ,１ ４ æ è ç ö ø ÷ C．１４ ,１ ２ æ è ç ö ø ÷ D． ３ ８ ,３ ２ æ è ç ö ø ÷ １Ｇ１１ 二、选择题:本题共３小题,每小题６分,共１８分．在每小题给出的选项中,有多项符合题目 要求．全部选对的得６分,部分选对的得部分分,有选错的得０分． ９．某科技学校组织全体学生参加了主题为“创意之匠心,技 能动天下”的文创大赛,随机抽取了４００名学生进行成绩 统计,发现抽取的学生的成绩都在５０分至１００分之间,进 行适当分组后(每组的取值区间均为左闭右开),画出频 率分布直方图(如图),下列说法正确的是 (　　) A．在被抽取的学生中,成绩在区间[９０,１００)内的学生有 １６０人 B．图中x的值为０􀆰０２０ C．估计全校学生成绩的中位数约为８６􀆰７ D．估计全校学生成绩的８０％分位数为９５ １０．某校举行“永远跟党走、唱响青春梦”歌唱比赛,在歌 唱比赛中,由９名专业人士和９名观众代表各组成一 个评委小组,给参赛选手打分．根据两个评委小组(记 为小组A,小组B)对同一名选手打分的分值绘制成折 线图,如图,则 (　　) A．小组A 打分的分值的众数为４７ B．小组B 打分的分值第８０百分位数为６９ C．小组A 更像是由专业人士组成的 D．小组B 打分的分值的均值小于小组A 打分的分值的均值 １１．如图所示,正方体ABCD－A１B１C１D１ 的棱长为２,线段B１D１ 上有两 个动点E,F,且EF＝ ２,则下列结论正确的有 (　　) A．AC⊥BE B．△AEF的面积与△BEF的面积相等 C．异面直线AE,BF所成的角为定值 D．三棱锥A－BEF的体积是２３ 三、填空题:本题共３小题,每小题５分,共１５分． １２．已知等腰三角形ABC的顶角A＝１２０°,BC＝ ３,AB → ＝a,BC → ＝b,AC → ＝c,则a􀅰b＋b􀅰c ＋a􀅰c＝　　　　　． １３．如图,在四边形ABCD 中,△ABD,△BCD 分别是以AD 和BD 为底的等腰三角形,其 中AD＝１,BC＝４,∠ADB＝∠CDB,则AC＝　　　　． １４．已知三棱锥有一个面是边长为２的正三角形,两个面为等腰直角三角形,则该三棱锥的 体积可能为　　　　(只需要写出一个即可,不必全部写出) ２Ｇ１１ 四、解答题:本题共５小题,共７７分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． １５．(１３分)已知向量a＝(cosx,sinx),b＝(３,－ ３),x∈[０,π]． (１)若a∥b,求x的值; (２)记f(x)＝a􀅰b,求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值． １６．(１５分)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c．且满足b＝a＋１,c＝a＋２． (１)若２sinC＝３sinA,求△ABC的面积; (２)是否存在正整数a,使得△ABC 为钝角三角形? 若存在,求a;若不存在,请说明 理由． １７．(本小题满分１５分)(１)树人中学高一(１)班５０名同学期中考 试(１００分制)数学成绩的频率分布直方图如图所示,成绩分组 区间是[４０,５０),[５０,６０),[６０,７０),[７０,８０),[８０,９０),[９０, １００],试求数学成绩的８０％分位数(保留一位小数); (２)树人中学组建足球队备战全市高中生足球联赛．队员分别 来自高一、高二两个年级,且高一年级队员占队员总数的４ ５． 已知高一年级队员体重(单位:kg)的平均数为７０,方差为 ３００;高二年级队员体重的平均数为６０,方差为２００．求足球队全体队员体重的平均数及 方差． ３Ｇ１１ １８．(１７分)如图,在三棱锥P－ABC 中,PA⊥平面ABC,AB＝AC＝２, BC＝２ ３,M,N 分别为BC,AB 的中点． (１)求证:MN∥平面PAC; (２)求证:平面PBC⊥平面PAM; (３)在AC上是否存在点E,使得 ME⊥平面PAC? 若存在,求出 ME 的长;若不存在,请说明理由． １９．(１７分)某学校为了解高一新生的体质健康状况,对学生的体质进行了测试．现从男生、 女生中各随机抽取２０人,把他们的测试数据按照«国家学生体质健康标准»整理如表所 示．规定:数据≥６０时,体质健康为合格． 等级 数据范围 男生人数 男生平均分 女生人数 女生平均分 优秀 [９０,１００] ５ ９１．３ ２ ９１ 良好 [８０,８９] ４ ８３．９ ４ ８４．１ 及格 [６０,７９] ８ ７０ １１ ７０．２ 不及 格 ６０以下 ３ ４９．６ ３ ４９．１ 总计 ——— ２０ ７５．０ ２０ ７１．９ (１)从样本中随机选取一名学生,求这名学生体质健康合格的概率; (２)从男生和女生中各随机选取１人,求恰有１人的体质健康等级是优秀的概率; (３)表中优秀、良好、及格、不及格四个等级的男生、女生平均分都比较接近(二者之差的 绝对值不大于１),但男生的总平均分却明显高于女生的总平均分．研究发现,若去掉 四个等级中一个等级的数据,则男生、女生的总平均分也很接近,写出去掉的这个等 级．(只需写出结论) ４Ｇ１１ 请 在 各 题 目 的 答 题 区 域 内 作 答 , 超 出 边 框 的 答 案 无 效 高一下学期期末实战模拟卷十一 数学答题卡 选择题(共５８分) １A B C D ４ A B C D ７A B C D １０ A B C D 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ２ A B C D ５ A B C D ８ A B C D １１A B C D 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ３A B C D ６A B C D ９A B C D 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 非选择题　(需用０．５毫米黑色签字笔书写) 填空题(共１５分) １２．　　　　　　　　　　　　　　　　　１３．　　　　　　　　　　　　　　　　 １４．　　　　　　　　　　　　　　　　 解答题(共７７分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) １５．(本小题满分１３分) 请在各题目的答题区域内作答,超出边框的答案无效 )页４共(　页１第　)一十(卡题答学数 请在各题目的答题区域内作答,超出边框的答案无效 １６．(本小题满分１５分) １７．(本小题满分１５分) 请在各题目的答题区域内作答,超出边框的答案无效 　请 在 各 题 目 的 答 题 区 域 内 作 答 , 超 出 边 框 的 答 案 无 效 )页４共(　页２第　)一十(卡题答学数 考生 必填 姓名　　　　座号 考生务必将姓名、座号用０．５毫米黑色签字笔认真填写在书写框内,座 号的每个书写框只能填写一个阿拉伯数字．填写样例:若座号０２,则填 写为０２ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 请在各题目的答题区域内作答,超出边框的答案无效 请 在 各 题 目 的 答 题 区 域 内 作 答 , 超 出 边 框 的 答 案 无 效 １８．(本小题满分１７分) 请在各题目的答题区域内作答,超出边框的答案无效 )页４共(　页３第　)一十(卡题答学数 请在各题目的答题区域内作答,超出边框的答案无效 １９．(本小题满分１７分) 请在各题目的答题区域内作答,超出边框的答案无效 　请 在 各 题 目 的 答 题 区 域 内 作 答 , 超 出 边 框 的 答 案 无 效 )页４共(　页４第　)一十(卡题答学数 １ ２BC →, |BD → | ２ ＝１４BA →２ ＋１４BC →２ ＋１２BA →􀅰BC → ＝１４× ２２＋１４×４ ２＋１２×２×４× １ ２＝７ , 所以BD＝ ７． １８．解:(１)抽取小吃类商家个数为４０×(１－２５％ －１５％－１０％－５％－５％)＝１６, 抽取玩具类商家个数４０×１０％＝４． (２)(ⅰ)根据题意可得(０．００１×３＋a＋０．００３ ＋０．００５＋０．００７)×５０＝１,解得a＝０．００２, 设中位数为x,因为(０．００１＋０．００３)×５０＝ ０．２,(０．００１＋０．００３＋０．００７)×５０＝０．５５, 所以(x－３００)×０．００７＋０．２＝０．５,解得x≈ ３４２．９, 平均数为(２２５×０．００１＋２７５×０．００３＋３２５× ０．００７＋３７５×０．００５＋４２５×０．００２＋４７５× ０．００１＋５２５×０．００１)×５０＝３５２．５, 所以该直播平台商家平均日利润的中位数为 ３４２􀆰９,平均数为３５２􀆰５． (ⅱ)４５０－４２０５０ ×０．００２＋０．００１＋０．００１ æ è ç ö ø ÷ ×５０×８００＝１２８, 所以 估 计 该 直 播 平 台 “优 秀 商 家”的 个 数 为１２８． １９．解:(１)依上面剪拼方法,有V柱 ＞V锥 ． 推理如下:设给出正三角形纸片的边长为２,那 么,正三棱锥与正三棱柱的底面都是边长为１ 的正三角形,其面积为 ３ ４． 现在计算它们的高: 如图所示:在正四面体中, 高 DO ＝ BD２－BO２ ＝ １－ ２ ３× １ ２－ １２×１ æ è ç ö ø ÷ ２æ è ç ö ø ÷ ＝ ６３ , 在图２一顶处的四边形中,如 图所示: 直三棱柱高PN＝tan∠PMN􀅰 MN＝tanπ６× １ ２× (２－１)＝ ３３ ×１２＝ ３ ６ , V柱 －V锥 ＝(h柱 －１３h锥 )􀅰 ３ ４ ＝ ３ ６－ ６ ９ æ è ç ö ø ÷ 􀅰 ３ ４＝ ３－２ ２ ２４ ＞０ , ∴V柱 ＞V锥 ． (２)如 图,分 别 连 接 三 角形的内心与各顶点, 得三条线段,再以这三 条线段的中点为顶点作三角形． 以新作的三角形为直棱柱的底面,过新三角形 的三个顶点向原三角形三边作垂线,沿六条垂 线剪下三个四边形, 可以拼成直三棱柱的上底,余下部分按虚线折 起,成为一个缺上底的直三棱柱, 再将三个四边形拼成上底即可得到直三棱柱． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 高一下学期期末实战模拟卷十一 选择题答案速查 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ １１ 答案 A B C B C C D D ACD AC AD １．A　[因为(２＋i)z＝|２－ ２i|,即(２＋i)z＝２, 所以z＝ ２２＋i＝ ２(２－i) (２＋i)(２－i)＝ ４ ５－ ２ ５i , 所以􀭵z＝４５＋ ２ ５i ,其所对应的点为 ４ ５ ,２ ５ æ è ç ö ø ÷,位 于第一象限．] ２．B　[根据题意,只有１人解出,则分三类,①A 解出而其余两人没有解出,②B 解出而其余两 人没有解出,③C 解出而其余两人没有解出,每 一类用独立事件概率的乘法公式求解,然后这 三类用互斥事件概率的加法求解．P＝P(A􀭺B􀭺C) ＋P(􀭿AB􀭺C)＋P(􀭿A􀭺BC)＝１２× ２ ３× ３ ４＋ １ ２× １ ３ ×３４＋ １ ２× ２ ３× １ ４＝ １１ ２４． ３．C　[记男子５００米、男子１０００米、男子１５００ 米、男子５０００米接力、混合团体２０００米接力 分别为a、b、c、d、e,则从５项中选３项参赛的样 本空间为:Ω＝{(a,b,c),(a,b,d),(a,b,e),(a, c,d),(a,c,e),(a,d,e),(b,c,d),(b,c,e),(b, d,e),(c,d,e)}共１０个样本点,记“该选手没有选 择男子５０００米接力”为事件A,则A＝{(a,b,c), (a,b,e),(a,c,e),(b,c,e)}共４个样本点,由古典概 型的计算公式得P(A)＝４１０＝ ２ ５． 故选C．] ４．B　 [a＋b＝ (１,２),|c|＝２ ５,cosθ＝ (a＋b)􀅰c |a＋b||c|＝ ５ ５×２ ５ ＝１２ ,则a＋b与c的夹角 为６０°,而a与a＋b同向,所以a与c 的夹角为 ６０°．故选B．] ５．C　[如图,设点D 是点S 在平 面ABC 上的投影,则DA＝DB ＝DC,且点 O 在直线SD 上, 设球O 的半径为R, ∵AB＝BC＝AC＝３,SA＝２, ∴AD＝２３× ３ ２－ ３２ æ è ç ö ø ÷ ２ ＝ ３, 则SD＝ ２２－(３)２＝１, 在 Rt△AOD 中,R２＝(３)２＋(R－１)２,解得R ＝２． ∴OA＝OS＝２＝SA,可得∠AOS＝π３ , ∴球O 对应的球面上经过S,A 两点的测地线 长为π ３×２＝ ２π ３ ,故选C．] ６．C　[依题意,P(A)＝４５ ,P(B)＝２３ ,由P(A＋ B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)≤１, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰７２􀅰 得P(AB)≥P(A)＋P(B)－１＝４５＋ ２ ３－１＝ ７ １５ ,又P(A)＞P(B), 则当B⊂A 时,P(AB)＝P(B)＝２３ , 所以事 件 A,B 同 时 发 生 的 概 率 的 取 值 范 围 是 ７ １５ ,２ ３[ ]． ７．D　[根据题意得AP → ＝mAB → ＋nAC → ＝mAB → ＋ ３nAE → ,又因为P,B,E 三点共线,则m＋３n＝１． 所以３ m＋ １ n＝ ３ m＋ １ n æ è ç ö ø ÷(m＋３n)＝６＋９nm ＋ m n ≥６＋２ ９nm × m n ＝１２． 当且仅当 m＝１２ ,n＝１６ 时等号成立． 此时３ m＋ １ n 取最小值１２．故选 D．] ８．D　[由锐角△ABC,结合B＝π３ , 得 ０＜A＜π２ , A＋π３＞ π ２ , ì î í ï ï ïï 解 得 π ６＜A＜ π ２ ,由 正 弦 定 理 a sinA＝ b sinB＝ c sinC ,c＝１,B＝π３ ,C＝２π３－A , 得 a sinA＝ b sinπ３ ＝ １ sin２π３－A æ è ç ö ø ÷ , 所以a＝ sinA sin２π３－A æ è ç ö ø ÷ , b＝ sinπ３ sin２π３－A æ è ç ö ø ÷ ＝ ３ ２sin２π３－A æ è ç ö ø ÷ , 故S△ABC＝ １ ２absinC＝ ３ ４× sinA sin２π３－A æ è ç ö ø ÷ ＝ ３４× sinA ３ ２cosA＋ １ ２sinA ＝ ３４× １ １ ２＋ ３ ２× １ tanA , 因为π ６＜A＜ π ２ ,所以tanA＞１ ３ ,所以 １ tanA∈ (０,３),故１２＋ ３ ２× １ tanA∈ １ ２ ,２æ è ç ö ø ÷,故S△ABC ＝ ３４× １ １ ２＋ ３ ２× １ tanA ∈ ３ ８ ,３ ２ æ è ç ö ø ÷． 所以△ABC 面积的取值范围是 ３ ８ ,３ ２ æ è ç ö ø ÷．] ９．ACD　[由题意,成绩在区间[９０,１００)内的学生 人数为４００×０．０４０×１０＝１６０,故 A 正确;由 (０．００５＋０．０１０＋０．０１５＋x＋０．０４０)×１０＝１, 得x＝０．０３０,故 B错误;由于前３组的频率和 (０．００５＋０．０１０＋０．０１５)×１０＝０．３＜０．５,前４ 组的频率和(０．００５＋０．０１０＋０．０１５＋０．０３０)× １０＝０．６＞０．５,所以中位数在第４组,设中位数 为a,则(０．００５＋０．０１０＋０．０１５)×１０＋０．０３０(a －８０)＝０．５,得a≈８６．７,故 C正确;低于９０分 的频率为１－０．４＝０．６,设样本数据的８０％分 位数为n,则 n－９０１００－９０＝ ０．２ ０．４ ,解得n＝９５,故D正 确．] １０．AC　[由题图可知,小组A 打分的分值为４２, ４７,４５,４６,５０,４７,５５,５０,４７,则小组 A 打分的 分值的众数为４７,故选项 A 正确; 小组B打分的分值为５５,３６,７０,６６,７５,６８,６８,６２, ５８,从小到大排列为３６,５５,５８,６２,６６,６８,６８,７０, ７５,９×８０％＝７．２,故第８０百分位数应该排在 第８位,为７０,故选项B错误; 小组A打分的成绩比较均匀,波动更小,故小组 A更像是由专业人士组成的,故选项C正确; 小组A 打分的分值的均值小于５５,而小组B 打分的分值的均值大于５５,所以小组B 打分 的分值的均值大于小组A 打分的分值的均值, 故选项 D错误．] １１．AD　[对于 A,连接BD(图略),由正方体的性 质易证 AC⊥平面 BB１D１D．因为 BE⊂平面 BB１D１D,所以AC⊥BE,故 A 正确;对于B,由 题图可得A,B 到线段B１D１ 的距离不相等,故 △AEF 的面积与△BEF 的面积不相等．故 B 错误;对于C,当E 在D１ 处,F 为D１B１ 的中点 时,连接BC１(图略),由BC１∥AD１ 可知异面 直 线 AE,BF 所 成 的 角 是 ∠FBC１;当 E 为 D１B１ 的中点,F 在B１ 处时,由 AA１∥BB１ 可 知异面直线AE,BF 所成的角是∠EAA１,易知 两个角不相等,从而异面直线 AE,BF 所成的 角不为定值,故 C 错误;对于 D,V三棱锥A－BEF ＝ １ ３× １ ２×EF×BB１×ABsin４５°＝ １ ３× １ ２× ２ ×２×２× ２２＝ ２ ３ ,故 D正确．故选 AD．] １２．解 析:因 为 等 腰 三 角 形 ABC 的顶角A＝１２０°,BC ＝ ３,故 AC＝AB＝１,B ＝C＝３０°． 故a􀅰b＋b􀅰c＋a􀅰c＝１ × ３× － ３２ æ è ç ö ø ÷ ＋１× ３× ３２ ＋１×１× －１２ æ è ç ö ø ÷＝－１２． 答案:－１２ １３．解析:∵△ABD,△BCD 分别是以 AD 和BD 为底的等腰三角形,且∠ADB＝∠CDB, ∴△ABD∽△BCD,∴ADBD＝ BD CD ,∴ １BD＝ BD ４ , ∴BD＝２,在△BCD 中,cos∠CDB＝１４ , ∴cos∠ADC＝２cos２ ∠CDB－１＝ －７８． 在 △ACD 中,AC２ ＝AD２ ＋DC２ －２􀅰AD 􀅰 DCcos∠ADC＝１２＋４２＋２×１×４×７８＝２４ , ∴AC＝２ ６． 答案:２ ６ １４．解析:根据题意分类讨论． ①△BCD 是等边三角形,且BA ⊥AC,DA⊥AC,如图所示: 易知 DA＝AB＝ ２,DB＝２,因 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰８２􀅰 为DA２＋AB２＝DB２,所以DA⊥AB, 所以三棱锥A－BCD 的体积 V＝１３× １ ２× ２× ２× ２＝ ２ ３ ; ②△BCD 是 等 边 三 角 形,BA ⊥ BD,BA⊥BC,如图所示: 易知AB⊥平面BCD, 所以三棱锥体A－BCD 的体积 V＝１３× ３ ４×２ ２×２＝２ ３３ ; ③△BCD 是 等 边 三 角 形,BA ⊥ BD,DC⊥AC,如图所示: 取AD 的中点O,连接BO,CO,可 得 BO ＝CO ＝ １２AD ＝ ２ ,BO ⊥AD, 且 BO２ ＋CO２ ＝BC２,所 以 BO ⊥CO, 又AD∩CO＝O, 所以BO⊥平面ACD,所以三棱锥A－BCD 的 体积V＝１３× １ ２×２×２× ２＝ ２ ２ ３ ． 故该三棱锥的体积可能为 ２ ３ 或２ ３ ３ 或２ ２ ３ ． 答案:２ ３ 或２ ３ ３ 或２ ２ ３ (任填一个) １５．解:(１)因为a＝(cosx,sinx),b＝(３,－ ３), a∥b, 所以－ ３cosx＝３sinx． 若cosx＝０,则sinx＝０,与sin２x＋cos２x＝１ 矛盾,故cosx≠０． 于是tanx＝－ ３３． 又x∈[０,π],所以x＝５π６． (２)f(x)＝a􀅰b＝(cosx,sinx)􀅰(３,－ ３) ＝３cosx－ ３sinx＝２ ３cosx＋π６ æ è ç ö ø ÷． 因为x∈[０,π],所以x＋π６∈ π ６ ,７π ６[ ], 从而－１≤cosx＋π６ æ è ç ö ø ÷≤ ３２． 于是,当x＋π６＝ π ６ ,即x＝０时,f(x)取到最大值 ３; 当x＋π６＝π 时,即x＝５π６ 时,f(x)取到最小 值－２ ３． １６．解:(１)２sinC＝３sinA⇒２c＝３a,又∵c＝a＋２, ∴２(a＋２)＝３a,∴a＝４, ∴b＝a＋１＝５,c＝a＋２＝６, ∴cosA＝b ２＋c２－a２ ２bc ＝ ５２＋６２－４２ ２×５×６ ＝ ３ ４ , ∴sinA＝ １－cos２A＝ ７４ , ∴S△ABC＝ １ ２bcsinA＝ １ ２×５×６× ７ ４＝ １５ ７ ４ ． (２)由已知得c＞b＞a,若△ABC 为钝角三角 形,则角C 为钝角, ∴cosC＝a ２＋b２－c２ ２ab ＜０⇒a ２＋b２＜c２⇒a２＋ (a＋１)２＜(a＋２)２⇒a２－２a－３＜０⇒－１＜a ＜３, 又a＞０,∴a∈(０,３)． 同时还应考虑构成△ABC 的条件,即a＋b＞ c⇒ a＋(a＋１)＞a＋２⇒a＞１． 综上所述,当a∈(１,３)时,△ABC 为钝角三 角形． ∴存在正整数a＝２,使△ABC 为钝角三角形． １７．解:(１)由频率分布直方图可知: (０．００６×３＋０．０１０＋x＋０．０５４)×１０＝１,解 得:x＝０．０１８, 于是,[８０,９０)占 比 ０．０１８×１０＝０．１８,[９０, １００]占比０．００６×１０＝０．０６, [４０,８０)占比１－(０．１８＋０．０６)＝０．７６, 故数学成绩的８０％分位数为８０＋０．８－０．７６０．０１８ ≈８２．２; (２)由题意知: 高一队 员 在 所 有 队 员 中 所 占 权 重 为 ４ ５ ,􀭺x１ ＝７０, 高二年级队员在所有队员中所占权重为１ ５ ,􀭺x２ ＝６０, ∴全部队员体重的平均数为􀭺x＝１５×６０＋ ４ ５× ７０＝６８． ∴全部队员的体重的方差为: s２＝１５× ２００＋ (６０－６８)２[ ] ＋４５× [３００＋(７０ －６８)２]＝２９６． １８．解:(１)因为 M,N 分别为BC,AB 的中点, 所以 MN∥AC． 因为 MN⊄平面PAC,AC⊂平面PAC, 所以 MN∥平面PAC． (２)因为PA⊥平面ABC,BC⊂平面ABC, 所以PA⊥BC, 因为AB＝AC＝２,M 为BC 的中点,所以 AM ⊥BC． 因为AM∩PA＝A,所以BC⊥平面PAM． 因为 BC⊂ 平 面 PBC,所 以 平 面 PBC⊥ 平 面PAM． (３)假设存在满足条件的点 E,如图,过点 M 作 ME⊥ AC 交AC 于点E,因为PA ⊥ 平 面 ABC,ME⊂ 平 面 ABC,所以PA⊥ME．因为 ME⊥AC,AC∩PA＝A, 所以 ME⊥平面PAC． 因 为 在 △ABC 中,AB ＝ AC＝２,BC＝２ ３, 所以cos∠BCA＝BC ２＋AC２－AB２ ２BC􀅰AC ＝ ３ ２ , 因为 M 为BC 的中点,所以 MC＝ ３, 又 ME⊥AC,所 以 ME＝MC􀅰sin∠BCA ＝ ３２． １９．解:(１)样本中合格的学生数为５＋２＋４＋４＋８ ＋１１＝３４,样本总数为２０＋２０＝４０,故这名学 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰９２􀅰 生体质健康合格的概率为P＝３４４０＝ １７ ２０． (２)设事件A 为“从男生样本中随机选出的人 的体质健康等级是优秀”,P(A)＝５２０＝ １ ４． 事件B 为“从女生样本中随机选出的人的体质 健康等级是优秀”,P(B)＝２２０＝ １ １０． 因为事件A,B 为相互独立事件,所以所求概 率为 P(A􀭺B＋􀭿AB)＝P(A􀭺B)＋P(􀭿AB) ＝P(A)[１－P(B)]＋[１－P(A)]P(B) ＝１４× ９ １０＋ ３ ４× １ １０＝ ３ １０． (３)去掉的等级为优秀． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 高一下学期期末实战模拟卷十二 选择题答案速查 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ １１ 答案 D C D B C A C D ABD ABD AB １．D　[对原式两边同时乘以i得:z－１＝i,即z＝ １＋i,所以􀭵z＝１－i,即z＋􀭵z＝２,故选 D．] ２．C　[∵AD → ＝AB → ＋BD → ,AD → ＝AC → ＋CD → , ∴２AD → ＝AB → ＋AC → ＋３５CB → ＝AB → ＋AC → ＋３５ (CA → ＋AB → ) ＝８５AB → ＋ ２５AC → ,即AD → ＝ ４５AB → ＋ １５AC → ．故 选C．] ３．D　[因为事件A 和B 相互独立,事件A＋B 为 和事件,则P(A＋B)＝P(A)＋P(B)－P(AB) ＝P(A)＋P(B)－P(A)P(B), 所以４ ５＝ ３ ４ ＋P (B)－ ３４P (B),解 得 P(B) ＝１５． ] ４．B　[当高中矮者与矮中高者在同一列时,高中矮 者与矮中高者是同一个人,所以h(高中矮)＝h(矮 中高);当高中矮者与矮中高者不在同一列且在同 一行时,h(高中矮)＞h(矮中高);当高中矮者与矮 中高者不在同一列且不在同一行时,高中矮者身高 大于与高中矮者同行且与矮中高者同列的那个人 的身高,而矮中高者身高又小于与高中矮者同行且 与矮中高者同列的那个人的身高,所以h(高中矮) ＞h(矮中高);综上所述:h(高中矮)≥h(矮中高)．] ５．C　[设外接圆的圆心为O,半径为r,连接BD, OD(图略)．在 Rt△ABC 中,∠ABC＝π２ ,AC＝ ２AB,所 以 ∠BAC＝ π３ ,∠ACB＝ π６ ,AD 为 ∠BAC 的 平 分 线,所 以 ∠ACB ＝ ∠BAD ＝ ∠CAD＝π６ ,则根据圆的性质知BD＝AB．又因 为在 Rt△ABC 中,AB＝１２AC＝r＝OD＝OA , 所以四边形ABDO 为菱形,所以AD → ＝AB → ＋AO → ＝a＋１２b． 故选C．] ６．A　[设酒杯上部分(圆柱)的高为h．因为酒杯 下部分(半球)的半径为R,所以酒杯下部分(半 球)的表面积为２πR２,由酒杯内壁表面积为１４３ πR２,得酒杯上部分(圆柱)的侧面积为１４３πR ２－ ２πR２＝８３πR ２,即 ２πR×h＝８３πR ２,解 得h＝ ４ ３R ,所以酒杯下部分(半球)的体积V２＝ １ ２× ４ ３π ×R３＝２３πR ３,酒杯上部分(圆柱)的体积V１＝ πR２×４３R＝ ４ ３πR ３,所以V１ V２ ＝ ４ ３πR ３ ２ ３πR ３ ＝２．故选A．] ７．C　[如图,过 A１ 作 A１H⊥ AC,垂足为 H,连接DH．因 为 侧 面 AA１C１C ⊥ 底 面 ABC,且 侧 面 AA１C１C∩ 底 面ABC＝AC,所以 A１H⊥ 平面ABC,所以∠A１DH 为 直线A１D 与平面ABC 所成 的角．设 AB＝２a,因为侧面 AA１C１C 是菱形,且∠A１AC ＝π３ ,所以 AH＝a,A１H＝ ３a,又△ABC 为等边三角形,点D 是BC 的中 点,则DH＝１２AB＝a ,从而tan∠A１DH＝ A１H DH ＝ ３,故∠A１DH＝ π ３． 故选C．] ８．D　 [由 题 意 知 １－sin２A－ (１－sin２B)＋１ －sin２C ＝１＋sinAsinC,即sin２A＋sin２C－sin２B＝ －sinAsinC,由正弦定理得a ２＋c２－b２ ２ac ＝－ １ ２ ,由 余弦定理得cosB＝－１２ ,∵B∈(０,π),∴B＝２π３． ∵sinA＋sinC＝sinπ２ ,∴sinA＋sin π３－A æ è ç ö ø ÷＝ １,整理得sinA＋π３ æ è ç ö ø ÷＝１．又A∈ ０,π３ æ è ç ö ø ÷,∴A＝ π ６ ,∴C＝π６ ,故△ABC 是顶角为２π３ 的等腰三角 形,故选 D．] ９．ABD　[a􀅰b＝|a|􀅰|b|cosπ６＝ ３ ２ ,故 A 正 确;|a＋b|２＝a２＋２a􀅰b＋b２＝７,则|a＋b|＝ ７,故B正确;(３a＋b)􀅰(a－b)＝３a２－２a􀅰b －b２＝－３≠０,故C错误;由于a与b 的夹角为 π ６ ,则 ２a 与b 的 夹 角 也 为 π６ ,故 D 正 确．故 选 ABD．] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰０３􀅰