实战模拟卷八-【创新教程】2024-2025学年高一下学期数学期末实战模拟卷

高一下学期期末实战模拟卷八　 　　　　命题范围:必修第二册 测试时间:１２０分钟,满分:１５０分 一、选择题:本题共８小题,每小题５分,共４０分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的． １．现有一组数据１,２,３,２,３,５,４,２,５,４,１,则这组数据的中位数为 (　　) A．２ B．３ C．４ D．５ ２．已知复数z的共轭复数在复平面内对应的点为(２,－２),则复数z的虚部为 (　　) A．－２ B．－２i C．２ D．２i ３．平面中两个向量a,b满足|a|＝１,a⊥b,则２a－b在a方向上的投影向量为 (　　) A．２ B．２a C．－２a D．－２ ４．已知力F的大小|F|＝１０,在F 的作用下产生的位移s的大小为|s|＝１４,F 与s的夹角 为６０°,则F做的功为 (　　) A．７ B．１０ C．１４ D．７０ ５．柳编技艺在我国已有上千年的历史,如今柳编产品已经入选国家非物质 文化遗产名录．如图所示;这是用柳条编织的圆台形米斗,上底直径 ３０cm,下底直径２０cm,高为３０cm,则该米斗的容积大概为 (　　) A．９升 B．１５升 C．１９升 D．２１升 ６．连续抛掷一枚质地均匀的骰子２次,记录每次朝上的点数,设事件A 为“第一次的点数是 ６”,事件B 为“第二次的点数小于４”,事件C为“两次的点数之和为偶数”,则 (　　) A．P(A)＝１３６ B．A 与B互斥 C．A与C互斥 D．A与C相互独立 ７．欧拉公式eiθ＝cosθ＋isinθ(e是自然对数的底数,i是虚数单位)是由瑞士著名数学家欧 拉提出的,它将指数函数的定义域扩大到复数,建立了三角函数与指数函数的关系．已知 z＝ieiθ,则|z|＝ (　　) A．１ B．２ C．２ D．２ ２ ８．纳斯卡线条是一种巨型的地上绘图,位于秘鲁南部的纳斯卡荒原上,它是存在了２０００年 的谜局:究竟是谁创造了它们并且为了什么而创造,至今仍无人能解,因此被列入“十大 谜团”,在这些图案中,有一只身长５０米的大蜘蛛(如图),现用视角为３０°的摄像头(注: 当摄像头和所拍摄的圆形区域构成一个圆锥时,该圆锥的轴截面的顶角称为该摄像头的 视角)在该蜘蛛图案的上方拍摄,使得整个蜘蛛图案落在边长为５０米的正方形区域内, 则该摄像头距地面的高度的最小值是 (　　) A．５０米 B．２５(２ ２＋ ６)米 C．５０(２＋ ３)米 D．５０(２ ２＋ ６)米 １Ｇ８ 二、选择题:本题共３小题,每小题６分,共１８分．在每小题给出的选项中,有多项符合题目 要求．全部选对的得６分,部分选对的得部分分,有选错的得０分． ９．已知正方体ABCD－A１B１C１D１ 中,M 为DD１ 的中点,则下列直线中与直线C１M 是异面 直线的有 (　　) A．DD１ B．CC１ C．BD１ D．CA１ １０．甲在一次面试活动中,７位考官给他打分分别为:６１、８３、８４、８７、９０、９１、９２．则下列说法正 确的有 (　　) A．这７个分数的第７０百分位数为８７ B．这７个分数的平均数小于中位数 C．去掉一个最低分和一个最高分后,分数的方差会变小 D．去掉一个最低分和一个最高分后,分数的平均数会变小 １１．已知向量a＝(cosθ,sinθ),b＝(－３,４),则 (　　) A．若a∥b,则tanθ＝－４３ B． 若a⊥b,则sinθ＝３５ C．|a－b|的最大值为６ D．若a􀅰(a－b)＝０,则|a－b|＝２ ６ 三、填空题:本题共３小题,每小题５分,共１５分． １２．已知i是虚数单位,若复数z满足(２＋i)z＝i,则 z２－i＝　　　． １３．网络评选出河南最值得去的５大景点:洛阳龙门石窟,郑州嵩山少林寺,开封清明上河 园,洛阳老君山,洛阳白云山,小张和小李打算从以上景点中各自随机选择一个去游玩, 则他们都去洛阳游玩,且不去同一景点的概率为　　　　　． １４．在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a＋２c＝bcosC＋ ３bsinC,则角 B＝　　　　　;若b＝３,D 为AC 的中点,求线段BD 长度的取值范围为　　　　　． 四、解答题:本题共５小题,共７７分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． １５．(本小题满分１３分)设实部为正数的复数为z,满足|z|＝ １０,且复数(１＋２i)z在复平面 上对应的点在第一、三象限的角平分线上． (１)求复数z; (２)若􀭵z＋m－i１＋i (m∈R)为纯虚数,求实数m 的值． ２Ｇ８ １６．(本小题满分１５分)如图,在△ABC中,点P 满足PC → ＝２BP → ,O是线段AP 的中点,过点 O的直线与边AB,AC分别交于点E,F． (１)若AF → ＝２３AC → ,求AE EB 的值; (２)若EB → ＝λAE → (λ＞０),FC → ＝μAF → (μ＞０),求 １ λ＋ １ μ＋１ 的最小值． １７．(本小题满分１５分)Matlab是一种数学软件,用于数据分析、无线通信、深度学习、图象 处理与计算机视觉、信号处理、量化金融与风险管理、人工智能机器人和控制系统等领 域,推动了人类基础教育和基础科学的发展．某学校举行了相关 Matlab专业知识考试, 试卷中只有两道题目,已知甲同学答对每题的概率都为p,乙同学答对每题的概率都为 q(p＞q),且在考试中每人各题答题结果互不影响．已知每题甲、乙同时答对的概率为 １ ２ ,恰有一人答对的概率为５ １２． (１)求p和q的值; (２)试求两人共答对３道题的概率． ３Ｇ８ １８．(本小题满分１７分)如图,在三棱柱ABC－A１B１C１ 中,A１ 在底面 ABC上的射影为线段BC 的中点,M 为线段B１C１ 的中点,且AA１ ＝２AB＝２AC＝４,∠BAC＝９０°． (１)求三棱锥 MＧA１BC的体积; (２)求 MC与平面MA１B 所成角的正弦值． １９．(本小题满分１７分)著名的费马问题是法国数学家皮埃尔􀅰德􀅰费马(１６０１－１６６５)于 １６４３年提出的平面几何极值问题:“已知一个三角形,求作一点,使其与此三角形的三个 顶点的距离之和最小”费马问题中的所求点称为费马点,已知对于每个给定的三角形, 都存在唯一的费马点,当△ABC 的三个内角均小于１２０°时,则使得∠APB＝∠BPC＝ ∠CPA＝１２０°的点P 即为费马点．在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且cosB ＝２acosAc － sinB tanC． 若P 是△ABC的“费马点”,a＝２ ３,b＜c． (１)求角 A; (２)若PA → 􀅰PB → ＋PB → 􀅰PC → ＋PC → 􀅰PA → ＝－４,求△ABC的周长; (３)在(２)的条件下,设f(x)＝４x－m􀅰２x＋|PA → |＋|PB → |＋|PC → |,若当x∈[０,１]时,不 等式f(x)≥０恒成立,求实数m 的取值范围． ４Ｇ８ 请 在 各 题 目 的 答 题 区 域 内 作 答 , 超 出 边 框 的 答 案 无 效 高一下学期期末实战模拟卷八 数学答题卡 选择题(共５８分) １A B C D ４ A B C D ７A B C D １０ A B C D 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ２ A B C D ５ A B C D ８ A B C D １１A B C D 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ３A B C D ６A B C D ９A B C D 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 非选择题　(需用０．５毫米黑色签字笔书写) 填空题(共１５分) １２．　　　　　　　　　　　　　　　　　１３．　　　　　　　　　　　　　　　　 １４．　　　　　　　　　　　　　　　　　 解答题(共７７分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) １５．(本小题满分１３分) 请在各题目的答题区域内作答,超出边框的答案无效 )页４共(　页１第　)八(卡题答学数 请在各题目的答题区域内作答,超出边框的答案无效 １６．(本小题满分１５分) １７．(本小题满分１５分) 请在各题目的答题区域内作答,超出边框的答案无效 　请 在 各 题 目 的 答 题 区 域 内 作 答 , 超 出 边 框 的 答 案 无 效 )页４共(　页２第　)八(卡题答学数 考生 必填 姓名　　　　座号 考生务必将姓名、座号用０．５毫米黑色签字笔认真填写在书写框内,座 号的每个书写框只能填写一个阿拉伯数字．填写样例:若座号０２,则填 写为０２ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 请在各题目的答题区域内作答,超出边框的答案无效 请 在 各 题 目 的 答 题 区 域 内 作 答 , 超 出 边 框 的 答 案 无 效 １８．(本小题满分１７分) 请在各题目的答题区域内作答,超出边框的答案无效 )页４共(　页３第　)八(卡题答学数 请在各题目的答题区域内作答,超出边框的答案无效 １９．(本小题满分１７分) 请在各题目的答题区域内作答,超出边框的答案无效 　请 在 各 题 目 的 答 题 区 域 内 作 答 , 超 出 边 框 的 答 案 无 效 )页４共(　页４第　)八(卡题答学数 又AC∩C１C＝C１,AC、C１C⊂平面ACC１A１, 所 以 BD ⊥ 平 面 ACC１A１,又 DC１ ⊂ 平 面ACC１A１, 所以BD⊥DC１; (２)如图,取A１C１ 的中点 F,连接B１F,AF,DF 则 DF∥B１B 且 DF ＝ B１B,AD ∥FC１ 且 AD ＝FC１, 所 以 四 边 形 BDFB１、 ADC１F 为 平 行 四 边 形, 得 B１F ∥ BD,AF ∥DC１, 又B１F⊄平面BC１D,BD ⊂平面BC１D,AF⊄平面 BC１D, C１D ⊂ 平 面BC１D, 所以B１F∥平面 BC１D, AF∥平面BC１D,又B１F ∩AF＝F,B１F、AF⊂平 面AB１F, 所以 平 面 AB１F∥ 平 面 BC１D, 又 AB１ ⊂ 平 面AB１F, 所以AB１∥平面BC１D． １８．解:(１)由于５×０．０１＋５ ×０．０７＜０．５;５×０．０１＋５×０．０７＋５×０．０６＞ ０．５, 所以这 ２０ 人 的 年 龄 的 中 位 数 为:３０＋５× ０．１ ５×０．０６＝ ９５ ３ , 众数为:２５＋３０ ２ ＝２７．５． (２)由频率分布直方图得各组人数之比为１∶７ ∶６∶４∶２, 故各组 中 采 用 分 层 随 机 抽 样 的 方 法 抽 取 ２０ 人,第四组和第五组分别抽取４人和２人, 设第四组、第五组的宣传使者的年龄的平均数 分别为􀭺x４,􀭺x５,方差分别为s２４,s２５, 则􀭺x４＝３７,􀭺x５＝４３,s２４＝ ５ ２ ,s２５＝１, 设第四组和第五组所有宣传使者的年龄平均 数为􀭵z,方差为s２, 则􀭵z＝ ４􀭵x４＋２􀭵x５ ６ ＝３９ ,s２＝１６ ４×[s２４＋(􀭵x４－􀭵z)２]＋２×[s２５＋(􀭵x５－􀭵z)２]{ }＝１０, 因此,第四组和第五组所有宣传使者的年龄方 差为１０, 据此,可估计这m 人中年龄在３５~４５岁的所 有人的年龄方差约为１０． １９．解:(１)因 为 平 面 PBD⊥ 平 面 ABCD,平 面 PBD∩平面 ABCD＝BD,PB⊥BD,PB⊂平 面PBD,∴PB⊥平面ABCD,又∵AB⊂平面 ABCD,∴PB⊥AB (２)∵ PA ∥ 平 面 BDN,PA ⊂ 平 面 PAC,平 面 PAC∩ 平 面BDN＝NO(其中点 O 是AC,BD 的交点亦 是中点),∴PA∥NO, 可知 N 为PC 中点, 而 PB⊥AB,AB＝１, PA＝ ５,所以PB＝２, 因为PD⊥CD,PB⊥BD,所以PC２＝PD２＋１ ＝２２＋BD２＋１＝BD２＋５, 因为PB⊥平面ABCD,BC⊂平面ABCD, 所以PB⊥BC,所以PC２＝２２＋BC２,所以BD２ ＋１＝BC２, 在三 角 形 BCD 中,CD＝AB＝１,∠BCD＝ ６０°,由余弦定理有BD２＝BC２＋１－BC, 结合BD２＋１＝BC２,解得BD＝ ３,BC＝２, VN－PAD＝ １ ２VC－PAD ＝ １ ２VP－ACD ＝ １ ２× １ ３×２× １ ２×２×１× ３ ２ æ è ç ö ø ÷＝ ３６． (３)由题意知 PB⊥ 平 面 ABCD,过 点 N 作 PB 平 行 线 交 BC 于 点H, ∴NH⊥平 面 ABCD, 再作 HK⊥BD(K 为 垂足), ∴ ∠NKH 为 二 面 角 N－BD－C 的平面角, ∠NKH＝π４ , 由(２)可知BC＝PB＝２,所以△PBC 是等腰直 角三角形,同理△NHC 也是等腰直角三角形, 从而PC＝２ ２, 在△BCD 中,BD２＋CD２＝(３)２＋１２＝４＝ BC２,所以∠BDC＝９０°, 而∠BCD＝６０°,所以∠CBD＝３０°,不妨设CH ＝NH＝x＝KH,NC＝ ２x, 则BH＝２－x且BH＝２KH,∴x＝２３＝NH , ∴PNNC＝ ２ ２－ ２x ２x ＝２． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 高一下学期期末实战模拟卷八 选择题答案速查 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ １１ 答案 B C B D B D A B CD BC ACD １．B　[将原数据按照从小到大的顺序排列为:１, １,２,２,２,３,３,４,４,５,５,所以这组数据的中位数 为３．] ２．C　[由题意得􀭵z＝２－２i,故z＝２＋２i,故虚部 为２．] ３．B　[由题意得:(２a－b)􀅰a＝２a２－b􀅰a＝２, 故２a－b在a 方向上的投影向量为 (２a－b)􀅰a |a| 􀅰 a |a|＝２a． ] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰９１􀅰 ４．D　[根据向量的数量积,F 做的功为F􀅰s＝ １０×１４×cos６０°＝１０×１４×１２＝７０． ] ５．B　[由题意可得,上底面面积S１＝π􀅰１５２＝ ２２５πcm２, 下底 面 面 积 S２＝π􀅰１０２＝１００πcm２,高h＝ ３０cm, 由圆 台 的 体 积 公 式 可 得 V ＝ １３ (S１ ＋S２ ＋ S１􀅰S２)h＝ １ ３ (２２５π＋１００π＋１５０π)×３０ ＝４７５０π≈１４９１５cm３≈１５升．] ６．D　[依题意得P(A)＝１６ ,故 A 错误． 因为A 与B 可能同时发生,如“第一次的点数 为６,第二次的点数为２”,故B错误． 因为A 与C 可能同时发生,如“第一次的点数为 ６,第二次的点数为２”,故C错误． 因为P(C)＝３×３＋３×３６×６ ＝ １８ ３６＝ １ ２ ,P(AC)＝ １×３ ６×６＝ ３ ３６＝ １ １２ , 因为P(A)􀅰P(C)＝１６× １ ２＝ １ １２＝P (AC),所 以A 与C 相互独立,故 D正确．] ７．A　[∵z＝ieiθ＝i(cosθ＋isinθ)＝－sinθ＋icosθ, ∴|z|＝ (－sinθ)２＋cos２θ＝１．] ８．B　[依题意,要使整个蜘蛛图案落在边长为５０ 米的正方形区域内, 则拍摄区域的圆的直径最小为２r＝５０ ２,若所 成圆锥的母线长为a, 此时由余弦定理得,２a２－２a２􀅰cos３０°＝５０００, 即a２＝５０００(２＋ ３), 所以该摄像头距地面的高度最小值h＝ a２－r２ ＝ ５０００(２＋ ３)－(２５ ２)２ ＝２５ １４＋８ ３＝２５ ８＋８ ３＋６＝２５(２ ２＋ ６)米．] ９．CD　[由题意可知 M 为DD１ 的中点,故DD１∩ C１M＝M,C１M∩CC１＝C１, 故DD１,CC１ 与C１M 均为相交直线,A,B错误; BD１ ∩ 平 面 CC１D１D ＝ D１,C１M ⊂ 平 面 CC１D１D,D１∉直线C１M, 故BD１ 与直线C１M 为异面直线,同理可说明 CA１ 与直线C１M 为异面直线,C,D正确．] １０．BC　[对于 A,由于７×７０％＝４．９,所以第７０ 百分位数是第５个数９０,故 A 错误; 对于B,这７个数的均值为 ６１＋８３＋８４＋８７＋９０＋９１＋９２ ７ ＝８４ 分, 中位数是第４个数为８７,所以平均数小于中位 数,故B正确; 对于C,去掉一个最低分和一个最高分后,分 数更加集中,故方差会变小,故C正确; 对 于 D,去 掉 ６１ 和 ９２ 后,平 均 数 为 ８３＋８４＋８７＋９０＋９１ ５ ＝８７ 分,因为８４＜８７,所 以分数的平均数会变大,故 D错误．] １１．ACD　[若a∥b,则４cosθ＝－３sinθ,解得tanθ＝ －４３ ,A 正确;若a⊥b,则－３cosθ＋４sinθ＝０, 解得tanθ＝３４ ,所以sinθ＝±３５ ,B错误; 因 为 |a| ＝ cos２θ＋sin２θ ＝ １,|b| ＝ (－３)２＋４２＝５,而|a－b|≤|a|＋|b|＝６, 当且仅当a,b反向时等号成立,在平面直角坐 标系中,设向量a,b的起点为坐标原点,向量a 的终点在以坐标原点为圆心,半径为 １ 的圆 上,向量b＝(－３,４) 终点在第二象限,当a,b反向,则向量a＝(cosθ, sinθ)的终点应在第四象限, 此时cosθ＝３５ ,sinθ＝－４５ ,所以C正确; 若a􀅰(a－b)＝０,则cosθ(cosθ＋３)＋sinθ (sinθ－４)＝０, 即cos２θ＋３cosθ＋sin２θ－４sinθ＝０,所以４sinθ－ ３cosθ＝１, |a－b|＝ (cosθ＋３)２＋(sinθ－４)２ ＝ ６cosθ－８sinθ＋２６, 所以|a－b|＝ ２４＝２ ６,D正确．] １２．解 析:(２＋i)z＝i⇒z＝ i２＋i ,故 z ２－i＝ i (２＋i)(２－i)＝ i ４－i２ ＝i５． 答案:i ５ １３．解析:小张和小李从 ５ 个景 点 中 各 自 选 择 １ 个,共有５×５＝２５种可能, ５个景点中有３个在洛阳,则他们都选择去洛 阳游 玩,且 不 去 同 一 景 点 的 情 况 有 ３×２＝ ６种, 故所求概率P＝６２５． 答案:６ ２５ /０．２４ １４．解析:因为a＋２c＝bcosC＋ ３bsinC, 所以sinA＋２sinC＝sinBcosC＋３sinBsinC,则 sin(B＋C)＋２sinC＝sinBcosC＋３sinBsinC, 即sinBcosC＋cosBsinC＋２sinC＝sinBcosC ＋ ３sinBsinC,所以２sinC＝ ３sinBsinC－ cosBsinC, 又C∈(０,π),则sinC≠０,所以 ３sinB－cosB ＝２,即sinB－π６ æ è ç ö ø ÷＝１, 由B∈(０,π),得B－π６∈ － π ６ ,５π ６ æ è ç ö ø ÷,所以B －π６＝ π ２ ,所以B＝２π３ ; 因为b２＝a２＋c２－２accosB,所以a２＋c２＋ac ＝９, 因为 D 为 AC 的 中 点,所 以BD → ＝ １２ (BA → ＋ BC →),则|BD → | ２ ＝１４ (BA →２ ＋BC →２ ＋２BA →􀅰BC →) ＝a ２＋c２－ac ４ ＝ ９－２ac ４ , 由基本不等式得a２＋c２＋ac＝９≥３ac,等号成 立,当且仅当a＝c＝ ３, 所以ac∈(０,３],９－２ac４ ∈ ３ ４ ,９ ４[ ö ø ÷． 答案:２π ３　 ３ ２ ,３ ２ é ë êê ö ø ÷ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰０２􀅰 １５．解:(１)设z＝a＋bi,a,b∈R,a＞０, 由题意:a２＋b２＝１０① 计算(１＋２i)z＝(１＋２i)(a＋bi)＝a－２b＋(２a ＋b)i,得a－２b＝２a＋b② ①②联立,解得a＝３,b＝－１得z＝３－i． (２)􀭵z＋m－i１＋i＝３＋i＋ (m－i)(１－i) ２ ＝３＋ m－１ ２ ＋ １－m＋１２ æ è ç ö ø ÷i, 所以３＋m－１２ ＝０ 且１－m＋１２ ≠０ ,解得m＝－５． １６．解:(１)因为PC → ＝２BP →, 所以AP → ＝AB → ＋BP → ＝AB → ＋ １３BC → ＝AB → ＋ １ ３ (BA → ＋AC →)＝２３AB → ＋１３AC →, 因为O 是线段AP 的中点,所以AO → ＝１２AP → ＝ １ ３AB → ＋１６AC →, 又因为AF → ＝２３AC →,设AB → ＝xAE →,则有AO → ＝ x ３AE → ＋１４AF →, 因为E,O,F 三点共线,所以x３＋ １ ４＝１ ,解得x ＝９４ ,即AE＝４９AB , 所以AE EB＝ ４ ５． (２)因为AB → ＝AE → ＋EB → ＝AE → ＋λAE → ＝(１＋λ) AE →,AC → ＝AF → ＋FC → ＝AF → ＋μAF → ＝(１＋μ)AF →, 由(１)可知,AO → ＝１２AP → ＝１３AB → ＋１６AC →,所以 AO → ＝１＋λ３ AE → ＋１＋μ６ AF →, 因为E,O,F 三点共线,所以１＋λ３ ＋ １＋μ ６ ＝１ , 即２λ＋μ＝３, 所以１ λ＋ １ μ＋１ ＝１４ １ λ＋ １ μ＋１ æ è ç ö ø ÷􀅰(２λ＋μ＋１) ≥１４ ３＋２ μ＋１ λ 􀅰 ２λ μ＋１ æ è ç ö ø ÷＝３＋２ ２４ , 当且仅当μ＋１＝ ２λ,即λ＝４－２ ２,μ＝４ ２ －５时取等号, 所以１ λ＋ １ μ＋１ 的最小值为３＋２ ２ ４ ． １７．解:(１)由题意可得 pq＝１２ , p(１－q)＋q(１－p)＝５１２ , ì î í ï ï ïï 即 pq＝１２ , p＋q＝１７１２． ì î í ï ï ïï 解得 p＝３４ , q＝２３ ì î í ï ï ïï 或 p＝２３ , q＝３４． ì î í ï ï ïï 由于p＞q,所以p＝３４ ,q＝２３． (２)设Ai＝{甲同学答对了i道题},Bi＝{乙同 学答对了i道题},i＝０,１,２． 由题 意 得,P(A１)＝ １ ４× ３ ４＋ ３ ４× １ ４＝ ３ ８ , P(A２)＝ ３ ４× ３ ４＝ ９ １６ ,P(B１)＝ ２ ３× １ ３＋ １ ３× ２ ３＝ ４ ９ ,P(B２)＝ ２ ３× ２ ３＝ ４ ９． 设E＝{甲、乙 二 人 共 答 对 ３ 道 题},则 E＝ A１B２＋A２B１． 由于Ai 和Bi 相互独立,A１B２ 与A２B１ 互斥, 所以P(E)＝P(A１B２)＋P(A２B１)＝P(A１)P(B２) ＋P(A２)P(B１)＝ ３ ８× ４ ９＋ ９ １６× ４ ９＝ ５ １２． 所以甲、乙两人共答对３道题的概率为５１２． １８．解:(１)取BC 的中点O,连接OA,OA１, 因为A１ 在底面ABC 上的射影为O, 所以OA１⊥平面ABC, 在三棱柱 ABC－A１B１C１ 中,平面 ABC∥ 平 面A１B１C１, 所以 OA１ ⊥ 平 面 A１B１C１．因 为 MA１ ⊂ 平 面A１B１C１, 所以OA１⊥MA１, 在△A１B１C１ 中,M 为线段B１C１ 的中点,B１C１ ⊥MA１, 因为BC∥B１C１, 所以BC⊥MA１, 因为OA１⊂平面A１BC,BC⊂平面A１BC,OA１ ∩BC＝O, 所以 MA１⊥平面A１BC, △ABC 中,AB＝AC＝２,∠BAC＝９０°, 所以BC＝２ ２,OA＝ ２, 所以VM－A１BC＝ １ ３S△A１BC 􀅰MA１＝ １ ３× １ ２BC 􀅰 OA１􀅰MA１＝ １ ３× １ ２BC 􀅰 AA２１－OA２􀅰MA１ ＝１３× １ ２×２ ２ 􀅰 １６－２􀅰 ２＝２ １４３ ; (２)设C 到平面MA１B 的距离为d,则 在 Rt△MA１B 中,MA１ ＝ ２,A１C＝A１B＝ OA２１＋OB２＝ １４＋２＝４, 所以S△MA１B ＝ １ ２MA１ 􀅰A１B＝ １ ２× ２×４＝ ２ ２, 所以d＝ ３VM－A１BC S△MA１B ＝ ７, 设 MC 与平面 MA１B 所成角为θ,则sinθ＝ d MC＝ d MA２１＋A１C２ ＝ ７ ２＋１６ ＝ １４６ , 所以 MC 与 平 面 MA１B 所 成 角 的 正 弦 值 为 １４ ６ ． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰１２􀅰 １９．解:(１)由已知,得cosB＝２acosAc － sinB tanC , 由正弦定理,得sinCcosB＝２sinAcosA－ sinCsinB tanC ＝２sinAcosA－sinBcosC , 即２sinAcosA＝sinBcosC＋cosBsinC, 即２sinAcosA＝sin(B＋C)＝sinA, 由于０＜A＜π,sinA＞０所以cosA＝１２ ,所以 A＝π３． (２)设|PA → |＝x,|PB → | ＝y,|PC → |＝z, 则PA →􀅰PB → ＋PB →􀅰PC → ＋PA → 􀅰PC → ＝xy 􀅰 －１２ æ è ç ö ø ÷ ＋ yz 􀅰 －１２ æ è ç ö ø ÷＋xz􀅰 －１２ æ è ç ö ø ÷＝－４． 所以 xy＋yz＋xz＝８,由 S△APB ＋S△BPC ＋ S△APC＝S△ABC得: １ ２xy 􀅰 ３ ２＋ １ ２yz 􀅰 ３ ２＋ １ ２xz 􀅰 ３ ２＝ １ ２bcsin π ３ , 即bc＝８, 由余弦定理得,a２＝c２＋b２－２bccosA, 即１２＝c２＋b２－２bc×１２＝c ２＋b２－８,即c２＋b２ ＝２０, 又b＜c,联立 c ２＋b２＝２０ bc＝８{ ,解得c＝４,b＝２． 所以△ABC 的周长为a＋b＋c＝６＋２ ３． (３)设|PA → |＝x,|PB → |＝y,|PC → |＝z, 由(２)在△PAB,△PBC,△PAC 中,由余弦定 理得 x２＋y２＋xy＝１６ x２＋z２＋xz＝４ y２＋z２＋yz＝１２ { , 联立xy＋yz＋xz＝８求解可得x２＋y２＋z２ ＝１２, 所以(x＋y＋z)２＝x２＋y２＋z２＋２(xy＋yz＋ xz)＝２８, 所以x＋y＋z＝２ ７,f(x)＝４x －m􀅰２x ＋ |PA → |＋|PB → |＋|PC → |＝４x－m􀅰２x＋２ ７≥０, 即m≤２x＋２ ７ ２x ,令t＝２x,t∈[１,２], 由对勾函数性质知y＝t＋２ ７t 在t∈[１,２]上 单调递减, 所以m≤ t＋２ ７t æ è ç ö ø ÷ min ＝２＋２ ７２ ＝２＋ ７． 即m 的取值范围为(－∞,２＋ ７]． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 高一下学期期末实战模拟卷九 选择题答案速查 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ １１ 答案 D C D A C D D A ABD ABD ACD １．D　[由(z＋２)i＝１－i,得zi＋２i＝１－i, ∴z＝１－３ii ＝ (１－３i)i i２ ＝－３－i, ∴􀭵z＝－３＋i,则|􀭵z|＝ (－３)２＋１＝ １０．] ２．C　[选项 A,由圆锥的母线 一定比底面半径大,可得圆 锥的侧面展开图是一个圆心 角不 超 过 ２π 的 扇 形,A 错 误;选项 B,底面是等边三角 形,三个侧面都是等腰三角 形的三棱锥的侧棱长不一定 相等,故不一定是正三棱锥,B 错误;一个西瓜 切３刀等价于一个正方体被三个平面切割,按 照如图的方法切割可得最多块数,故 C正确;当 两个点为球的两个极点,则过两点的大圆有无 数个,故 D错误．] ３．D　[由P(A)＝０．３,P(B)＝０．４,且A 与B 相 互独立,得P(AB)＝P(A)P(B)＝０．１２, 所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)＝０．５８．] ４．A　[因为m＝(４,６),n＝(－３,λ),所以m＋n＝ (１,６＋λ), ∵m＋n∥n,∴λ＝－３(６＋λ) 解得λ＝－９２ ] ５．C　[假设注水t(０＜t＜１０)s后,杯中水的水面 半径为xcm, 则杯中水的高度h＝８４x＝２xcm , 所以１ ３πx ２×２x＝８t,解得x＝ ３ １２t π ,故杯中水的 高度h＝２ ３ １２t πcm． ] ６．D　[因至少通过一个社团考核的概率为３４ ,则 三个社团都没有通过的概率为１ ４ , 依 题 意, １ ３mn＝ １ ２４ (１－m)１－１３ æ è ç ö ø ÷(１－n)＝１４ ì î í ï ï ïï , 即 mn＝１８ １－(m＋n)＋mn＝３８ ì î í ï ï ïï ,解得m＋n＝３４ , 所以m＋n＝３４． ] ７．D　[只拨动一粒珠子至梁上,因此数字只表示 １或５,四位数的个数是１６． 能被３整除的四位数,数字１和５各出现２个, 因此满足条件的四位数的个数是６,所以P(A) ＝６１６＝ ３ ８ ,①正确; 能被５整除的四位数,个位数为５,满足的个数 为８,P(B)＝８１６＝ １ ２ ,②不正确; 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰２２􀅰