2024-2025学年人教版八年级数学下册微专题系列第20章数据的分析微专题一 平均数、中位数、众数与方差综合应用

2024-2025学年人教版八年级数学下微专题系列 第20章数据的分析 微专题一 平均数、中位数、众数与方差综合应用 关于平均数、中位数、众数和方差的综合应用题型，可归纳为以下几种类型及典型应用场景： 类型一、平均数的应用 1.计算平均数 2.给定数据求算术平均数， 3.已知平均数求未知数据 通过平均数公式反推特定数据， 【例1-1】．小南同学在跨学科项目式学习活动中得知，心率（单位：次/分钟）与运动类型、性别、运动时间等因素有关．为了解跑步时的心率变化情况，他在班级展开实践活动． 跑步之前，测量了班级40名同学的心率，并绘制出如图所示的频数分布直方图，并通过查阅资料得知，跑步时心率与速度之间大致符合一次函数关系．在实验过程中，通过同学们佩戴的电子手环测得不同跑步速度（单位：）所对应的心率，当速度为时，通过计算得到这40名同学心率的平均值为162次/分钟．小南查看数据时发现，从起跑至最大速度时，自己的心率随着时间（单位：秒）的变化呈现均匀增大的规律，部分数据如表所示． （单位：秒） 0 5 10 15 20 （单位：次/分钟） 80 90 100 110 120 (1)根据上表数据，请求出小南起跑至最大速度时心率（单位：次/每分钟）与跑步时间（单位：秒）之间的函数关系式；（不要求写出自变量的取值范围） (2)已知小南在起跑45秒后速度达到最大， ①请估计小南跑步的最大速度； ②达到最大速度之后，小南坚持以此最大速度跑了一段时间，又经过1分钟将速度降至最大速度的四分之一时停下运动．休息15分钟后，小南的心率匀速降低至跑步前的状态．若此次实践活动中，小南的心率在100次/分钟以上的时间不低于15分钟，则他以最大速度跑步的时间至少是多少分钟？ 【例1-2】．某公司有名职员，公司食堂供应午餐．受新冠肺炎疫情影响，公司停工了一段时间．为了做好复工后职员取餐、用餐的防疫工作，食堂进行了准备，主要如下：①将过去的自主选餐改为提供统一的套餐；②调查了全体职员复工后的午餐意向，结果如图所示；③设置不交叉的取餐区和用餐区，并将用餐区按一定的间距要求调整为可同时容纳人用餐；④规定：排队取餐，要在食堂用餐的职员取餐后即进入用餐区用餐；⑤随机邀请了名要在食堂取餐的职员进行了取餐、用餐的模拟演练，这名职员取餐共用时，用餐时间（含用餐与回收餐具）如表所示．为节约时间，食堂决定将第一排用餐职员人的套餐先摆放在相应餐桌上，并在开始用餐，其他职员则需自行取餐．    用餐时间 人数 （1）食堂每天需要准备多少份午餐？ （2）食堂打算以参加演练的名职员用餐时间的平均数为依据进行规划：前一批职员用餐后，后一批在食堂用餐的职员开始取餐．为避免拥堵，需保证每位取餐后进入用餐区的职员都有座位用餐，则该规划是否可行？如果可行，请说明理由，并依此规划，根据调查统计的数据设计一个时间安排表，使得食堂不超过就可结束取餐、用餐服务，开始消杀工作；如果不可行，也请说明理由． 【变式1-1】．个体户王某经营一家饭馆，下面是饭馆所有工作人员在某个月份的工资；王某3000元，厨师甲450元，厨师乙400元，杂工320元，招待甲350元，招待乙320元，会计410元． 计算工作人员的平均工资； 计算出的平均工资能否反映帮工人员这个月收入的一般水平？ 去掉王某的工资后，再计算平均工资； 后一个平均工资能代表一般帮工人员的收入吗？ 根据以上计算，从统计的观点看，你对的结果有什么看法？ 【变式1-2】．下表是两个商场1至6月份销售“椰树牌天然椰子汁”的情况（单位：箱） 根据以上提供的信息回答下列问题： （1）甲、乙两个商场月平均销售量哪个大？ （2）甲、乙两个商场的销售哪个稳定？ 类型二、中位数的应用 1.数据排序与位置确定 对数据排序后，位于中间位置的数即为中位数，适用于数据分布偏态的情况， 2.决策依据 当数据存在极端值时，中位数比平均数更能反映“中间水平”。 【例2-1】．为庆祝党的二十大胜利召开，培养学生的爱国情怀，某校组织七、八年级学生参加了“学习二 十大，永远跟党走”主题知识竞赛，并对学生的成绩（满分100分）进行了抽样调查，将所收集的数据 进行整理和分析，过程如下： 【方案选择】有以下三种抽样方案： 方案一：从七、八年级中指定抽取合适数量的学生的成绩； 方案二：从七、八年级的住校生中随机抽取合适数量的学生的成绩； 方案三：从七、八年级各班中随机抽取合适数量的学生的成绩． 【收集数据】从七、八年级各随机抽取20名学生的成绩（单位：分）如下：七年级：95 75 80 90 70 80 95 75 100 90 80 60 80 95 65 100 90 85 85 80 ，八年级：85 80 95 100 90 95 85 65 75 85 90 90 70 90 100 80 80 90 95 75 【整理数据】整理以上数据，得到如下频数分布表：根据信息，回答下列问题；      成绩分 频数 年级 七年级 3 7 5 5 八年级 2 5 8 5 【分析数据】根据以上数据，得到以下统计量： 平均数 中位数 众数 七年级 83.5 82.5 a 八年级 85.75 b 90 (1)三个方案中抽取的样本最具有代表性和广泛性的是 （填写“方案一”“方案二”或“方案三”）． (2)表格中， ， (3)若该校七、八年级学生人数相同，这次竞赛中，甲、乙两名学生的成绩均为80分，但甲的成绩在其所在年级中排名更靠前，则甲是 年级的学生（填“七”或“八”）． (4)根据以上统计量回答：哪个年级的学生成绩较好？请说明理由． 【例2-2】．甲乙两校参加我县教育局举办的年学生汉字听写大赛，且两校参赛人数相等．比赛结束后，学生成绩分别为分、分、分、分满分为分，依据统计数据绘制了如下尚不完整的统计图表： 分数 分 分 分 分 人数 ______    (1)在图中，“分”所在扇形的圆心角等于______；请你将甲校成绩统计表和图的乙校成绩条形统计图补充完整； (2)经计算，乙校的平均分是分，中位数是分，请写出甲校的平均分、中位数；并从平均分和中位数的角度分析哪个学校成绩较好； (3)如果县教育局要组织一个人的代表队参加洛阳市汉字听写大赛，为了便于管理，决定从这两所学校中的一所挑选参赛选手，请你分析，应选哪所学校？ 【变式2-1】．为了了解学生对党的二十大精神的学习领会情况，某校团委从七，八年级各随机抽取20名学生进行测试，获得了他们的成绩(百分制)，并对数据(成绩)进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息： a．八年级学生成绩的频数分布直方图如下（数据分为4组：）．   b．八年级学生成绩在这一组的是： 81  83  84  84  84  86  89 c．七、八年级学生成绩的平均数、中位数、众数如下： 年级 平均数 中位数 众数 七 83.1 88 89 八 83.5 m 84 根据以上信息，回答下列问题： (1)写出表中m的值； (2)七年级学生小亮和八年级学生小宇的成绩都是86分，这两名学生在本年级成绩排名更靠前的是________（填“小亮”或“小宇”），理由是________； (3)成绩不低于85分的学生可获得优秀奖，假设该校八年级300名学生都参加测试，估计八年级获得优秀奖的学生人数． 【变式2-2】．“十年树木，百年树人”，教师的素养关系到国家的未来．我市某区招聘音乐教师采用笔试、专业技能测试、说课三种形式进行选拔，这三项的成绩满分均为100分，并按2：3：5的比例折合纳入总分，最后，按照成绩的排序从高到低依次录取．该区要招聘2名音乐教师，通过笔试、专业技能测试筛选出前6名选手进入说课环节，这6名选手的各项成绩见表： 序号 1 2 3 4 5 6 笔试成绩 66 90 86 64 65 84 专业技能测试成绩 95 92 93 80 88 92 说课成绩 85 78 86 88 94 85 （1）求出说课成绩的中位数、众数； （2）已知序号为1，2，3，4号选手的成绩分别为84.2分，84.6分，88.1分，80.8分，请你判断这六位选手中序号是多少的选手将被录用？为什么？ 【变式2-3】．某工艺品厂共有16名工人，调查每个工人的日均生产能力，获得如下数据： (1)求这16名工人日均生产件数的平均数、众数、中位数． (2)若要使75%的工人都能完成任务，应选什么统计量(平均数、众数、中位数)作为日生产件数的定额？ 类型三、众数的应用 1.频数分布分析  众数是出现次数最多的数据，用于描述数据的集中趋势。 2. 实际决策场景 【例3-1】．为了解学生对《哪吒之魔童闹海》和《唐探1900》这两部影片的评价，某调查小组从该校九年级学生中随机抽取了20名学生对这两部作品分别进行评级，等级分为一星、二星、三星、四星、五星，其中对应等级的得分依次记为2分、4分、6分、8分、10分．现将学生对电影的评级整理并绘制成统计图． 请你根据提供的信息解答下列问题： (1)求此次电影评级中，电影《唐探1900》评级在三星及以上的人数． (2)将下列表格补充完整： 平均数（分） 众数（分） 中位数（分） 对《哪吒之魔童闹海》 ______ 10 8 《唐探1900》 8 ______ (3)从相关统计量进行分析，你认为该校九年级学生对哪部作品的评价更高？请说明理由． 【例3-2】．学校开展了以“生活中的数学”为主题的知识竞赛活动，现从该校七、八年级中各随机抽取10名学生的竞赛成绩百分制进行整理、描述和分析成绩得分用x表示，共分为四组：，，，下面给出了部分信息． 七年级10名学生的竞赛成绩：80、96、99、99、90、99、89、82、86、 八年级10名学生的竞赛成绩：94、90、94部分数据被墨水污染 七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 92 93 a 52 八年级 92 b 100 根据以上信息，解答下列问题． (1)填空： ， ，并补全条形统计图． (2)若规定竞赛成绩在90分及以上为优秀，该校七、八年级参加此次活动的学生分别有800人和860人．估计在本次活动中七、八年级竞赛成绩为优秀的学生总人数． (3)分析上述信息，你认为该校七、八年级中哪个年级的学生对“生活中的数学”知识掌握得更好？请说明理由写一条即可 【变式3-1】．正月十五闹元宵，元宵节又称上元节或灯节，是中国的传统节日之一．某校以“弘扬传统文化，走进元宵佳节”为主题在七、八年级中开展了知识竞赛．本次竞赛的满分为100分，所有参赛学生的成绩都不低于75分． 【收集数据】从七、八年级中各随机抽取40名学生的成绩（成绩得分都是整数）． 【整理数据】将抽取的两个年级的成绩进行整理（用x表示成绩，分成五组：，，，，）． ①八年级抽取学生的成绩在这一组的具体数据是91，92，93，93，93，93，94，94． ②将八年级抽取学生的成绩整理并绘制成频数直方图（如下图）： 【分析数据】两个年级抽取学生的成绩的平均数、中位数、众数、方差如下表： 年级 平均数/分 中位数/分 众数/分 方差 七年级 91 90 98 八年级 91 m 100 根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：表中m的值为________． (2)若八年级有480名学生参加了此次竞赛，估计八年级参加此次竞赛的学生中成绩不低于90分的学生有多少名． (3)小明认为七、八年级竞赛成绩的平均数相等，因此两个年级成绩一样好．小颖认为小明的观点比较片面，请结合上述信息帮小颖说明理由（写出一条即可）． 【变式3-2】．某校为了解学生体质健康情况，分别从七、八年级随机抽取20名学生的体质测试成绩（满分100分），制作成如下统计图表： 【数据收集】 七年级：95 75 80 90 70 80 95 75 100 90 80 60 80 95 65 100 90 85 85 80 八年级：85 80 95 100 90 95 85 65 75 85 90 90 70 90 100 80 80 90 95 75 【整理数据】整理以上数据，得到如下频数分布表： 成绩/分 七年级（频数） 3 7 5 5 八年级（频数） 5 8 5 【分析数据】根据以上数据，得到以下统计量： 平均数 中位数 众数 七年级 83.5 82.5 八年级 85.75 87.5 90 根据信息，回答下列问题： (1)表格中，___________，___________ (2)根据以上统计量回答：哪个年级的学生成绩较好？请说明理由． (3)若该校七、八年级人数相同，这次测试中，甲、乙两名学生的成绩均为80分，但甲的成绩在其所在年级中排名更靠前，则甲更可能是___________年级的学生（填“七”或“八”）． 【变式3-3】．某校初一、初二年级各有600名学生，某一次月考后，教务处张老师为了了解本校学生数学成绩的大致情况，随机抽取了初一、初二各40名考生的数学成绩并将数据进行整理分析，给出了下面信息：数据分为A，B，C，D四个等级，A：，B：，C；，D；． 40名初一学生和40名初二学生数学成绩的平均数、中位数、众数如下： 年级 平均数 中位数 众数 初一 134 a 131 初二 134 134 132.5 初一学生成绩在B组的考生的分数为125，125，128，128，129，129，131，131，131，131，131，132，134，134，134； 根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：______，初二学生数学成绩为B等级对应的扇形的圆心角为______，并补全条形统计图； (2)根据以上数据，你认为在此次测试中，初一学生数学成绩好还是初二学生数学成绩好？请说明理由； (3)请估计该初一、初二年级所有参加考试的学生中，成绩为A等级的考生人数． 类型四、方差的应用 1.数据离散程度测量 方差反映数据与平均数的偏离程度，方差越小数据越稳定，如比较不同品牌手机价格的波动。 2.决策支持 【例4-1】．某校七年级甲班、乙班举行一分钟投篮比赛，每班派10名学生参赛，在规定时间内进球数不少于8个为优秀学生．比赛数据的统计图表如下（数据不完整）： 甲班乙班1分钟投篮测试成绩统计表 甲班 乙班 平均数 6.5 a 中位数 b 6 方差 3.45 4.65 优秀率 30% c 根据以上信息，解答下列问题： (1)直接写出a，b，c的值． (2)你认为哪个班的比赛成绩要好一些？请简要说明理由． 【例4-2】．甲、乙两名队员参加射击训练，每次射击的环数均为整数．其成绩分别被制成如下统计图表（乙队员射击训练成绩统计图部分被污染）： 平均成绩/环 中位数/环 众数/环 方差/环2 甲 7 7 12 乙 7 8 根据以上信息，解决下列问题： （1）求出的值； （2）直接写出乙队员第7次的射击环数及的值，并求出的值； （3）若要选派其中一名参赛，你认为应选哪名队员？请说明你的理由． 【变式4-1】．某校八年级（1）班甲、乙两男生在5次引体向上测试中有效次数如下： 甲：8，8，7，8，9；乙：5，9，7，10，9； 甲乙两同学引体向上的平均数、众数、中位数、方差如下： 平均数 众数 中位数 方差 甲 8 b 8 0.4 乙 a 9 c 3.2 根据以上信息，回答下列问题： （1）表格是a＝　　，b＝　　，c＝　　．（填数值） （2）体育老师根据这5次的成绩，决定选择甲同学代表班级参加年级引体向上比赛，选择甲的理由是　 ．班主任李老师根据去年比赛的成绩（至少9次才能获奖），决定选择乙同学代表班级参加年级引体向上比赛，选择乙的理由是　 ； （3）如果乙同学再做一次引体向上，有效次数为8，那么乙同学6次引体向上成绩的平均数　 　，中位数　 ，方差　 ．（填“变大”、“变小”或“不变”） 【变式4-2】．某学校举办“铭记一二·九，传承爱国情”大合唱团体赛和个人表演赛． (1)大合唱团体赛由10名教师评委和24名家长评委给每个班级打分（百分制）．对评委给某个班级的打分进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息． ．教师评委打分如下：                    ．家长评委打分的频数分布统计表如下： 组别 第1组 第2组 第3组 第4组 第5组 频数 2 3 9 5 第4组的数据是： 92，92，93，93，94，94，94，95，95． ．评委打分的平均数、中位数、众数如下： 平均数 中位数 众数 教师评委 家长评委 根据以上信息，回答下列问题： ①表中的值为_____________，的值为_____________． ②若去掉教师评委打分中的最高分和最低分，记其余8名教师评委打分的平均数为，则______92（填“”“”或“”）； (2)个人表演赛由5名专业评委给每位参赛同学打分（百分制）．对每位参赛同学，计算5名专业评委给其打分的平均数和方差．平均数较大的同学排名靠前，若平均数相同，则方差较小的同学排名靠前，5名专业评委给甲、乙、丙三位同学的打分如下： 评委1 评委2 评委3 评委4 评委5 甲 乙 丙 若甲同学在甲、乙、丙三位同学中的排名居中，则这三位同学中排名最靠前的是________，表中（为整数）的值为_________． 【变式4-3】．2月20日，北京冬奥会圆满落幕，在无与伦比的盛会背后，有着许多志愿者的辛勤付出．在志愿者招募之时，甲、乙两所大学积极开展了志愿者选拔活动，现从两所大学参加测试的志愿者中分别随机抽取了10名志愿者的测试成绩进行整理和分析（成绩得分用x表示，共分成四组：A．，B．，C．，D．），下面给出了部分信息： 甲校10名志愿者的成绩（分）为：． 乙校10名志愿者的成绩分布如扇形图所示，其中在C组中的数据为：． 甲、乙校抽取的志愿者成绩统计表 甲校 乙校 平均数 87 87 中位数 87.5 b 方差 79.4 众数 c 95 (1)由上表填空：_______，_______，______________； (2)你认为哪个学校的志愿者测试成绩的总体水平较好？请至少写出两条理由； (3)若甲校参加测试的志愿者有200名，请估计甲校成绩在90分及以上的约有多少人． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年人教版八年级数学下微专题系列 第20章数据的分析 微专题一 平均数、中位数、众数与方差综合应用（解析版） 关于平均数、中位数、众数和方差的综合应用题型，可归纳为以下几种类型及典型应用场景： 类型一、平均数的应用 1.计算平均数 2.给定数据求算术平均数， 3.已知平均数求未知数据 通过平均数公式反推特定数据， 【例1-1】．小南同学在跨学科项目式学习活动中得知，心率（单位：次/分钟）与运动类型、性别、运动时间等因素有关．为了解跑步时的心率变化情况，他在班级展开实践活动． 跑步之前，测量了班级40名同学的心率，并绘制出如图所示的频数分布直方图，并通过查阅资料得知，跑步时心率与速度之间大致符合一次函数关系．在实验过程中，通过同学们佩戴的电子手环测得不同跑步速度（单位：）所对应的心率，当速度为时，通过计算得到这40名同学心率的平均值为162次/分钟．小南查看数据时发现，从起跑至最大速度时，自己的心率随着时间（单位：秒）的变化呈现均匀增大的规律，部分数据如表所示． （单位：秒） 0 5 10 15 20 （单位：次/分钟） 80 90 100 110 120 (1)根据上表数据，请求出小南起跑至最大速度时心率（单位：次/每分钟）与跑步时间（单位：秒）之间的函数关系式；（不要求写出自变量的取值范围） (2)已知小南在起跑45秒后速度达到最大， ①请估计小南跑步的最大速度； ②达到最大速度之后，小南坚持以此最大速度跑了一段时间，又经过1分钟将速度降至最大速度的四分之一时停下运动．休息15分钟后，小南的心率匀速降低至跑步前的状态．若此次实践活动中，小南的心率在100次/分钟以上的时间不低于15分钟，则他以最大速度跑步的时间至少是多少分钟？ 【答案】(1) (2)①小南跑步的最大速度为8.8千米/小时②他以最大速度跑步的时间至少是 【分析】本题考查的是一次函数的应用及加权平均数的计算， （1）用待定系数法直接计算求出即可； （2）①用待定系数法求出，再将代入计算得出结论；②先求从起跑到速度达到最大这段时间内，心率保持在100次/分钟以上的时长为：，得出停下时，，再用待定系数法求出休息时段心率p与休息时间t的一次函数关系式，进而得出，设最大速度跑步的时间为，列不等式计算解决即可． 【详解】（1）解：由表格知，起跑至最大速度时心率（单位：次/每分钟）与跑步时间（单位：秒）之间为一次函数关系， 设小南起跑至最大速度时心率（单位：次/每分钟）与跑步时间（单位：秒）之间的函数关系式为， 把，分别代入， ， 解得：， 则小南起跑至最大速度时心率（单位：次/每分钟）与跑步时间（单位：秒）之间的函数关系式为， （2）①由题意得：， 设， 把，分别代入， ， 解得：， ， 当时，， 当时，， 解得：， 答：小南跑步的最大速度为8.8千米/小时； ②当时，， ， 又， 从起跑到速度达到最大这段时间内，小南的心率保持在100次/分钟以上的时长为： ， 当， 将代入得， 即停下时，， 由休息15分钟后，小南的心率匀速降低至跑步前的状态可知，休息时段心率p与休息时间t是一次函数关系，设休息时段， 把代入， ， 解得：， ， 当时，， ， 由于休息时心率匀速降低， 因此在休息这段时间小南的心率保持在100次/分钟以上的时长为， 设最大速度跑步的时间为， 则的时段：， ， 则他以最大速度跑步的时间至少是． 【例1-2】．某公司有名职员，公司食堂供应午餐．受新冠肺炎疫情影响，公司停工了一段时间．为了做好复工后职员取餐、用餐的防疫工作，食堂进行了准备，主要如下：①将过去的自主选餐改为提供统一的套餐；②调查了全体职员复工后的午餐意向，结果如图所示；③设置不交叉的取餐区和用餐区，并将用餐区按一定的间距要求调整为可同时容纳人用餐；④规定：排队取餐，要在食堂用餐的职员取餐后即进入用餐区用餐；⑤随机邀请了名要在食堂取餐的职员进行了取餐、用餐的模拟演练，这名职员取餐共用时，用餐时间（含用餐与回收餐具）如表所示．为节约时间，食堂决定将第一排用餐职员人的套餐先摆放在相应餐桌上，并在开始用餐，其他职员则需自行取餐．    用餐时间 人数 （1）食堂每天需要准备多少份午餐？ （2）食堂打算以参加演练的名职员用餐时间的平均数为依据进行规划：前一批职员用餐后，后一批在食堂用餐的职员开始取餐．为避免拥堵，需保证每位取餐后进入用餐区的职员都有座位用餐，则该规划是否可行？如果可行，请说明理由，并依此规划，根据调查统计的数据设计一个时间安排表，使得食堂不超过就可结束取餐、用餐服务，开始消杀工作；如果不可行，也请说明理由． 【答案】（1）460份；（2）可行，见解析， 【分析】（1）根据扇形图的数据，可以直接求出食堂需准备午餐份数； （2）先估计出参加演练的100名职员用餐时间的平均数为19min，取餐职员取餐时间平均为0.1 min，根据这个数据对第一批和第二批的排队取餐、用餐时间分别进行预估，即可解答本题． 【详解】（1）解法一：500×64%＋500×28%＝460（份） 答：食堂每天需要准备460份午餐； 解法二：500－500×8%＝460（份） 答：食堂每天需要准备460份午餐； （2）解：①可以估计参加演练的100名职员用餐时间的平均数为： =19（min）， 参加演练的100名职员取餐的人均时间：（min）； 可以估计：该公司用餐职员的用餐时间平均为19 min， 取餐职员取餐时间平均为0.1 min； 根据表格，可以估计第一批职员用餐19 min后， 空出的座位有：160×60%＝96（个）. 而第二批职员此时开始排队取餐， 取完餐坐满这96个空位所用的时间约为：96×0.1＝9.6（min）； 根据表格，可以估计：第一批职员用餐19 min后，剩下的职员在6 min后即可全部结束用餐， 因为9.6＞6， 所以第二批取餐进入用餐区的职员都能保证有座位； ②可以估计140名只取餐的职员，需要14min可取完餐； 可设计时间安排表如下： 时间 取餐、用餐安排 12:00—12:19 第一批160名在食堂用餐的职员用餐； 仅在食堂取餐的140名职员取餐 12:19—13:00 第二批160名在食堂用餐的职员取餐、用餐 13:00 食堂进行消杀工作 【点睛】本题主要考查的是数据的统计与分析，解题的关键是读准题意，认真分析每批次人取餐和用餐时间． 【变式1-1】．个体户王某经营一家饭馆，下面是饭馆所有工作人员在某个月份的工资；王某3000元，厨师甲450元，厨师乙400元，杂工320元，招待甲350元，招待乙320元，会计410元． 计算工作人员的平均工资； 计算出的平均工资能否反映帮工人员这个月收入的一般水平？ 去掉王某的工资后，再计算平均工资； 后一个平均工资能代表一般帮工人员的收入吗？ 根据以上计算，从统计的观点看，你对的结果有什么看法？ 【答案】工作人员的平均工资是750元； 不能反映工作人员这个月的月收入的一般水平； 去掉王某的工资后，他们的平均工资是375元； 能代表一般工作人员的收入； 个别特殊值对平均数具有很大的影响． 【详解】试题分析：（1）根据算术平均数的计算公式进行计算即可； （2）根据（1）得出的数据和实际情况进行分析即可； （3）去掉王某的工资，再根据算术平均数的计算公式进行计算即可得出答案； （4）根据（3）得出的数据再结合实际情况进行分析即可； （5）通过对（2）和（4）得出的数据，再结合实际进行分析即可． 试题解析：根据题意得： 元， 答：工作人员的平均工资是750元； 因为工作人员的工资都低于平均水平，所以不能反映工作人员这个月的月收入的一般水平． 根据题意得： 元， 答：去掉王某的工资后，他们的平均工资是375元； 由于该平均数接近于工作人员的月工资收入，故能代表一般工作人员的收入； 从本题的计算中可以看出，个别特殊值对平均数具有很大的影响． 点睛：此题考查了平均数，熟记平均数的计算公式是解决本题的关键，根据求出的数据再结合实际进行分析. 【变式1-2】．下表是两个商场1至6月份销售“椰树牌天然椰子汁”的情况（单位：箱） 根据以上提供的信息回答下列问题： （1）甲、乙两个商场月平均销售量哪个大？ （2）甲、乙两个商场的销售哪个稳定？ 【答案】（1）月平均销售量一样大；（2）乙． 【详解】试题分析：根据平均数的公式先计算甲和乙的月平均销售，再计算它们的方差，然后进行比较即可． 试题解析：解：（1），，所以甲、乙两个商场月平均销售量一样大； （2），，因为＞，所以乙商场的销售稳定． 5．2014年郑州市城镇民营企业就业人数突破20万，为了解城镇民营企业员工每月的收入状况，统计局对全市城镇企业民营员工2014年月平均收入随机抽样调查，将抽样的数据按“2000元以内”、“2000元～4000元”、“4000元～6000元”和“6000元以上”分为四组，进行整理，分别用A，B，C，D表示，得到下列两幅不完整的统计图． 由图中所给出的信息解答下列问题： （1）本次抽样调查的员工有_____人，在扇形统计图中x的值为_____，表示“月平均收入在2000元以内”的部分所对应扇形的圆心角的度数是_____； （2）将不完整的条形图补充完整，并估计我市2013年城镇民营企业20万员工中，每月的收入在“2000元～4000元”的约多少人？ （3）统计局根据抽样数据计算得到，2013年我市城镇民营企业员工月平均收入为4872元，请你结合上述统计的数据，谈一谈用平均数反映月收入情况是否合理？ 【答案】（1）500；14；21.6°；（2）见解析；（3）不合理； 【分析】（1）用B的人数除以所占的百分比，计算即可求出被调查的员工总人数，求出B所占的百分比得到x的值，再求出A所占的百分比，然后乘以360°计算即可得解； （2）求出C的人数，然后补全统计图即可，再用总人数乘以B所占的百分比计算即可得解； （3）不合理；因为2000元～4000元的最多，占60%. 【详解】（1）本次抽样调查的员工人数是：300÷60%=500（人）， D所占的百分比是：70÷500×100%=14%， 则在扇形统计图中x的值为14； “月平均收入在2000元以内”的部分所对应扇形的圆心角的度数是360°×=21.6°， 故答案为500，14，21.6°； （2）C的人数为：500×20%=100， 补全统计图如图所示， 补全统计图如图所示； “2000元～4000元”的约为： 20万×60%=12万（人）； （3）不合理； ∵2000元～4000元的最多，占60%， ∴用月平均收入为4872元反映月收入情况不合理． 类型二、中位数的应用 1.数据排序与位置确定 对数据排序后，位于中间位置的数即为中位数，适用于数据分布偏态的情况， 2.决策依据 当数据存在极端值时，中位数比平均数更能反映“中间水平”。 【例2-1】．为庆祝党的二十大胜利召开，培养学生的爱国情怀，某校组织七、八年级学生参加了“学习二 十大，永远跟党走”主题知识竞赛，并对学生的成绩（满分100分）进行了抽样调查，将所收集的数据 进行整理和分析，过程如下： 【方案选择】有以下三种抽样方案： 方案一：从七、八年级中指定抽取合适数量的学生的成绩； 方案二：从七、八年级的住校生中随机抽取合适数量的学生的成绩； 方案三：从七、八年级各班中随机抽取合适数量的学生的成绩． 【收集数据】从七、八年级各随机抽取20名学生的成绩（单位：分）如下：七年级：95 75 80 90 70 80 95 75 100 90 80 60 80 95 65 100 90 85 85 80 ，八年级：85 80 95 100 90 95 85 65 75 85 90 90 70 90 100 80 80 90 95 75 【整理数据】整理以上数据，得到如下频数分布表：根据信息，回答下列问题；      成绩分 频数 年级 七年级 3 7 5 5 八年级 2 5 8 5 【分析数据】根据以上数据，得到以下统计量： 平均数 中位数 众数 七年级 83.5 82.5 a 八年级 85.75 b 90 (1)三个方案中抽取的样本最具有代表性和广泛性的是 （填写“方案一”“方案二”或“方案三”）． (2)表格中， ， (3)若该校七、八年级学生人数相同，这次竞赛中，甲、乙两名学生的成绩均为80分，但甲的成绩在其所在年级中排名更靠前，则甲是 年级的学生（填“七”或“八”）． (4)根据以上统计量回答：哪个年级的学生成绩较好？请说明理由． 【答案】(1)方案三 (2)， (3)七 (4)八年级，理由见解析 【分析】（1）从总体中抽取部分单位作为样本进行调查，随机抽样具有代表性和广泛性，据此解答即可； （2）根据众数和中位数的定义求解即可； （3）根据中位数的意义进行判断即可； （4）根据平均数、中位数和众数的意义进行判断即可． 【详解】（1）解：方案一：指定抽取不具有代表性和广泛性， 方案二：住校生中随机抽取不具有代表性和广泛性， 方案三：从总体中随机抽取具有代表性和广泛性， 三个方案中抽取的样本最具有代表性和广泛性的是方案三， 故答案为：方案三； （2）解：从七年级随机抽取的名学生的成绩中，出现次数最多的是， 众数， 将从八年级随机抽取的名学生的成绩从小到大排列： 65 70 75 75 80 80 80 85 85 85 90 90 90 90 90 95 95 95 100 100 第个、第个数据分别为、， 中位数， 故答案为：，； （3）解：甲、乙两名学生的成绩均为80分，但甲的成绩在其所在年级中排名更靠前， 这说明：甲所在年级成绩的中位数更低， 甲是七年级的学生， 故答案为：七； （4）解：八年级的学生成绩较好，理由如下： 因为八年级学生成绩的平均数、中位数和众数均高于七年级，所以八年级的学生成绩较好（答案不唯一，合理即可）， 答：八年级的学生成绩较好． 【点睛】本题主要考查了抽样调查的可靠性，求众数，求中位数，利用平均数做决策，运用中位数做决策，运用众数做决策等知识点，熟练掌握平均数、中位数和众数的概念是解题的关键． 【例2-2】．甲乙两校参加我县教育局举办的年学生汉字听写大赛，且两校参赛人数相等．比赛结束后，学生成绩分别为分、分、分、分满分为分，依据统计数据绘制了如下尚不完整的统计图表： 分数 分 分 分 分 人数 ______    (1)在图中，“分”所在扇形的圆心角等于______；请你将甲校成绩统计表和图的乙校成绩条形统计图补充完整； (2)经计算，乙校的平均分是分，中位数是分，请写出甲校的平均分、中位数；并从平均分和中位数的角度分析哪个学校成绩较好； (3)如果县教育局要组织一个人的代表队参加洛阳市汉字听写大赛，为了便于管理，决定从这两所学校中的一所挑选参赛选手，请你分析，应选哪所学校？ 【答案】(1)；；；甲校成绩统计表和乙校条形统计图补充见解析 (2)平均分，中位数；乙校成绩较好 (3)甲校 【分析】（1）由得“分”的人数除以占的百分比求出乙校参赛的总人数，即可得出“分”的人数；由于两校参赛人数相等，用“分”的人数除以参赛的总人数再乘以即可得到“分”所在扇形的圆心角，根据总人数减去其他人数求出甲校得“分”的人数； （2）根据平均数求法得出甲的平均；把分数从小到大排列，利用中位数的定义解答． （3）根据得“分”的人数解答即可． 【详解】（1）解：参赛的总人数为：（人）， 图中，“分”所在扇形的圆心角为：， 图中，“分”的人数为：（人）， 甲校中，“分”的人数为：（人） 则甲校统计图表补充如下： 分数 分 分 分 分 人数 乙校统计图补充如下：    故答案为：；； （2）甲校的平均分为：（分）， 分数从低到高，第人与第人的成绩都是分， ∴中位数为：（分）， ∵两校平均分相等，乙校成绩的中位数大于甲校的中位数， ∴从平均分和中位数角度上判断，乙校的成绩较好． （3）∵要选名学生参加洛阳市汉字听写大赛，甲校得分的有人，众数为分，而乙校得分的只有人，众数为， ∴应选甲校． 【点睛】本题考查条形统计图和扇形统计图的综合运用，以及平均数、中位数和众数等知识，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小． 【变式2-1】．为了了解学生对党的二十大精神的学习领会情况，某校团委从七，八年级各随机抽取20名学生进行测试，获得了他们的成绩(百分制)，并对数据(成绩)进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息： a．八年级学生成绩的频数分布直方图如下（数据分为4组：）．   b．八年级学生成绩在这一组的是： 81  83  84  84  84  86  89 c．七、八年级学生成绩的平均数、中位数、众数如下： 年级 平均数 中位数 众数 七 83.1 88 89 八 83.5 m 84 根据以上信息，回答下列问题： (1)写出表中m的值； (2)七年级学生小亮和八年级学生小宇的成绩都是86分，这两名学生在本年级成绩排名更靠前的是________（填“小亮”或“小宇”），理由是________； (3)成绩不低于85分的学生可获得优秀奖，假设该校八年级300名学生都参加测试，估计八年级获得优秀奖的学生人数． 【答案】(1)83.5； (2)小宇，理由见解析； (3)105人． 【分析】（1）结合题意，根据中位数的意义解答即可； （2）根据中位数的意义，比较七、八年级的中位数即可得出答案； （3）先算出样本中成绩不低于85分的比例，再乘以300即可得到答案． 【详解】（1）八年级一共有20名同学，中位数是成绩数据由小到大排列后第10，11个数据分别为83、84 故中位数； （2）小宇； 理由：小亮的成绩为86分低于七年级学生成绩的中位数88分，故小亮的成绩低于七年级一半的学生成绩；小宇的成绩为86分高于八年级学生成绩的中位数83.5分，故小宇的成绩高于八年级一半的学生成绩，所以学生小宇的成绩在本年级排名更靠前； （3）（人）， 估计八年级获得优秀奖的学生有105人 【点睛】本题考查频数分布直方图，平均数，中位数众数的意义和用样本估计总体，准确理解这些概念是解题的关键． 【变式2-2】．“十年树木，百年树人”，教师的素养关系到国家的未来．我市某区招聘音乐教师采用笔试、专业技能测试、说课三种形式进行选拔，这三项的成绩满分均为100分，并按2：3：5的比例折合纳入总分，最后，按照成绩的排序从高到低依次录取．该区要招聘2名音乐教师，通过笔试、专业技能测试筛选出前6名选手进入说课环节，这6名选手的各项成绩见表： 序号 1 2 3 4 5 6 笔试成绩 66 90 86 64 65 84 专业技能测试成绩 95 92 93 80 88 92 说课成绩 85 78 86 88 94 85 （1）求出说课成绩的中位数、众数； （2）已知序号为1，2，3，4号选手的成绩分别为84.2分，84.6分，88.1分，80.8分，请你判断这六位选手中序号是多少的选手将被录用？为什么？ 【答案】（1）中位数:85.5；众数：85；（2）序号为3、6号的选手将被录用． 【分析】（1）利用中位数、众数的定义求解； （2）先求出序号为5号的选手成绩和序号为6号的选手成绩，再与序号为1、2、3、4号选手的成绩进行比较，即可得出答案． 【详解】解：（1）将说课的成绩按从小到大的顺序排列：78、85、85、86、88、94， ∴中位数是（85+86）÷2＝85.5， 85出现的次数最多， ∴众数是85． （2）这六位选手中序号是3、6的选手将被录用．原因如下： 序号为5号的选手成绩为： （分）； 序号为6号的选手成绩为：（分）． 因为88.1＞86.9＞86.4＞84.6＞84.2＞80.8， 所以序号为3、6号的选手将被录用． 【点睛】本题考查了中位数、众数与加权平均数，用到的知识点是极差公式与加权平均数公式，熟记各个公式是解题的关键． 【变式2-3】．某工艺品厂共有16名工人，调查每个工人的日均生产能力，获得如下数据： (1)求这16名工人日均生产件数的平均数、众数、中位数． (2)若要使75%的工人都能完成任务，应选什么统计量(平均数、众数、中位数)作为日生产件数的定额？ 【答案】（1）平均数为12.375，众数是12，中位数是12；（2）应选中位数或众数作为日生产件数的定额． 【分析】（1）平均数=加工零件总数÷总人数，中位数是将一组数据按照由小到大（或由大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数，如果数据的个数是偶数就是中间两个数的平均数，众数是指一组数据中出现次数最多的数据． （2）应根据平均数、中位数和众数和本题的75%可知选择哪个统计量比较合适． 【详解】解：(1)由表格可得， 平均数为：＝12.375， 众数是12，中位数是12； (2)由题意可得，若要使占75%的工人都能完成任务，应选中位数或众数作为日生产件数的定额． 【点睛】本题考查统计量的选择、平均数、中位数和众数，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 类型三、众数的应用 1.频数分布分析  众数是出现次数最多的数据，用于描述数据的集中趋势。 2. 实际决策场景 【例3-1】．为了解学生对《哪吒之魔童闹海》和《唐探1900》这两部影片的评价，某调查小组从该校九年级学生中随机抽取了20名学生对这两部作品分别进行评级，等级分为一星、二星、三星、四星、五星，其中对应等级的得分依次记为2分、4分、6分、8分、10分．现将学生对电影的评级整理并绘制成统计图． 请你根据提供的信息解答下列问题： (1)求此次电影评级中，电影《唐探1900》评级在三星及以上的人数． (2)将下列表格补充完整： 平均数（分） 众数（分） 中位数（分） 对《哪吒之魔童闹海》 ______ 10 8 《唐探1900》 8 ______ (3)从相关统计量进行分析，你认为该校九年级学生对哪部作品的评价更高？请说明理由． 【答案】(1)18人 (2)；8 (3)《哪吒之魔童闹海》；理由见解析 【分析】本题主要考查了求一组数据的中位数，平均数和众数，利用平均数，中位数和众数做决策，解题的关键是理解中位数，平均数和众数定义． （1）根据扇形统计图，得出等级在三星以上（包括三星）的人数的百分比，然后求出结果即可； （2）根据平均数计算公式求出即可；根据中位数的定义求出即可； （3）根据平均数、中位数和众数进行判断即可． 【详解】（1）解：（人） 答：此次电影评级中，电影《唐探1900》评级在三星及以上的人数为人； （2）《哪吒之魔童闹海》平均数（分）， 将《唐探1900》中学生的评价分从小到大进行排序，排在中间位置的2个数为8分， ∴中位数（分）， 故答案为：，； （3）该校九年级学生对《哪吒之魔童闹海》的评价更高． 理由：九年级学生对《哪吒之魔童闹海》的评价分的平均数和众数都比《唐探1900》高，对《哪吒之魔童闹海》和《唐探1900》评价分的中位数相同， 该校九年级学生对《哪吒之魔童闹海》的评价更高． 【例3-2】．学校开展了以“生活中的数学”为主题的知识竞赛活动，现从该校七、八年级中各随机抽取10名学生的竞赛成绩百分制进行整理、描述和分析成绩得分用x表示，共分为四组：，，，下面给出了部分信息． 七年级10名学生的竞赛成绩：80、96、99、99、90、99、89、82、86、 八年级10名学生的竞赛成绩：94、90、94部分数据被墨水污染 七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 92 93 a 52 八年级 92 b 100 根据以上信息，解答下列问题． (1)填空： ， ，并补全条形统计图． (2)若规定竞赛成绩在90分及以上为优秀，该校七、八年级参加此次活动的学生分别有800人和860人．估计在本次活动中七、八年级竞赛成绩为优秀的学生总人数． (3)分析上述信息，你认为该校七、八年级中哪个年级的学生对“生活中的数学”知识掌握得更好？请说明理由写一条即可 【答案】(1)99，94 ，图见解析 (2)1082人； (3)八年级的学生对“生活中的数学”知识掌握得更好，理由见解析 【分析】本题考查了频率分布直方图，中位数，众数，方差，用样本估计总体，掌握计算方法是解题关键． （1）找出七年级成绩出现次数最多的数即为七年级成绩的众数，找出八年级成绩处在中间位置的两个数的平均数即为中位数，根据各个组的频数之和为10，可求出的八年级B组的人数，补全统计图即可； （2）根据样本中七、八年级成绩的优秀率，估计总体的优秀率，进而计算七、八年级的优秀的人数即可； （3）从中位数、众数的角度得出八年级的成绩较好． 【详解】（1）解：七年级10名学生的竞赛成绩中出现次数最多的是99，共出现3次， 故众数为99，即， 八年级B组的人数为， 八年级10名学生的竞赛成绩的中位数应该是从小大大排列后的第5个和第6个学生竞赛成绩的平均数，即处在C组：，由题意可知，C组共三个数据，分别是94，90，94， 中位数是， 即， 补全统计图如下： 故答案为：99，94 （2）由题意可得，人， 答：估计在本次活动中七、八年级竞赛成绩为优秀的学生总人数有1082人； （3）八年级的学生对“生活中的数学”知识掌握得更好， 理由：虽然七、八年级竞赛成绩的平均数相同，但是八年级的竞赛成绩的中位数、众数都比七年级的高，因此八年级的学生对“生活中的数学”知识掌握得更好． 【变式3-1】．正月十五闹元宵，元宵节又称上元节或灯节，是中国的传统节日之一．某校以“弘扬传统文化，走进元宵佳节”为主题在七、八年级中开展了知识竞赛．本次竞赛的满分为100分，所有参赛学生的成绩都不低于75分． 【收集数据】从七、八年级中各随机抽取40名学生的成绩（成绩得分都是整数）． 【整理数据】将抽取的两个年级的成绩进行整理（用x表示成绩，分成五组：，，，，）． ①八年级抽取学生的成绩在这一组的具体数据是91，92，93，93，93，93，94，94． ②将八年级抽取学生的成绩整理并绘制成频数直方图（如下图）： 【分析数据】两个年级抽取学生的成绩的平均数、中位数、众数、方差如下表： 年级 平均数/分 中位数/分 众数/分 方差 七年级 91 90 98 八年级 91 m 100 根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：表中m的值为________． (2)若八年级有480名学生参加了此次竞赛，估计八年级参加此次竞赛的学生中成绩不低于90分的学生有多少名． (3)小明认为七、八年级竞赛成绩的平均数相等，因此两个年级成绩一样好．小颖认为小明的观点比较片面，请结合上述信息帮小颖说明理由（写出一条即可）． 【答案】(1) (2)264名 (3)见解析（答案不唯一） 【分析】本题考查频数分布直方图，中位数，众数，方差以及样本估计总体，掌握中位数的计算方法，理解样本估计总体的方法是解决问题的前提． （1）根据中位线定义求出结果即可； （2）用样本估计总体即可； （3）根据中位线和众数以及方差进行解答即可． 【详解】（1）解：将八年级学生成绩从小到大进行排序，排在第20的是92分，第21位的是93分， ∴中位数； （2）解：（人）， 答：估计八年级参加此次竞赛的学生中成绩不低于90分的学生有264名； （3）解：因为两个年级的平均数相同，但八年级学生的中位线和众数都比七年级大，因此不能说两个年级成绩一样好． 【变式3-2】．某校为了解学生体质健康情况，分别从七、八年级随机抽取20名学生的体质测试成绩（满分100分），制作成如下统计图表： 【数据收集】 七年级：95 75 80 90 70 80 95 75 100 90 80 60 80 95 65 100 90 85 85 80 八年级：85 80 95 100 90 95 85 65 75 85 90 90 70 90 100 80 80 90 95 75 【整理数据】整理以上数据，得到如下频数分布表： 成绩/分 七年级（频数） 3 7 5 5 八年级（频数） 5 8 5 【分析数据】根据以上数据，得到以下统计量： 平均数 中位数 众数 七年级 83.5 82.5 八年级 85.75 87.5 90 根据信息，回答下列问题： (1)表格中，___________，___________ (2)根据以上统计量回答：哪个年级的学生成绩较好？请说明理由． (3)若该校七、八年级人数相同，这次测试中，甲、乙两名学生的成绩均为80分，但甲的成绩在其所在年级中排名更靠前，则甲更可能是___________年级的学生（填“七”或“八”）． 【答案】(1)2，80 (2)八年级的测试成绩更好．理由见解析 (3)七 【分析】本题主要考查了频数分布表，中位数，平均数，众数． （1）根据七年级的总频数为20即可求出a的值，再根据众数的定义求出b即可； （2）由八年级的学生成绩的平均数、中位数、众数都高于七年级即可说明八年级的学生的成绩更好； （3）根据七、八年级的中位数结合“甲、乙两名学生的成绩均为80分，但甲的成绩在其所在年级中排名更靠前”即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，； ∵七年级成绩中，得分为80分的人数最多， ∴七年级的众数为80分，即， 故答案为：2，80； （2）解：八年级的学生成绩更好．理由如下： ∵，，， ∴八年级的学生成绩的平均数、中位数、众数都高于七年级， ∴八年级的学生成绩更好； （3）解：∵七年级的中位数为82.5分，八年级的中位数为87.5分，且甲、乙两名学生的成绩均为80分，但甲的成绩在其所在年级中排名更靠前， ∴甲更可能是七年级的学生， 故答案为：七． 【变式3-3】．某校初一、初二年级各有600名学生，某一次月考后，教务处张老师为了了解本校学生数学成绩的大致情况，随机抽取了初一、初二各40名考生的数学成绩并将数据进行整理分析，给出了下面信息：数据分为A，B，C，D四个等级，A：，B：，C；，D；． 40名初一学生和40名初二学生数学成绩的平均数、中位数、众数如下： 年级 平均数 中位数 众数 初一 134 a 131 初二 134 134 132.5 初一学生成绩在B组的考生的分数为125，125，128，128，129，129，131，131，131，131，131，132，134，134，134； 根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：______，初二学生数学成绩为B等级对应的扇形的圆心角为______，并补全条形统计图； (2)根据以上数据，你认为在此次测试中，初一学生数学成绩好还是初二学生数学成绩好？请说明理由； (3)请估计该初一、初二年级所有参加考试的学生中，成绩为A等级的考生人数． 【答案】(1)131.5，，图见解析 (2)初二的成绩较好，理由：初二的中位数、众数都比初一好 (3)成绩为A等级的考生人数为480人 【分析】本题考查了中位数的意义和求法，条形统计图和扇形统计图的意义和制作方法，掌握各个统计量的意义是解决问题的前提，理清扇形统计图中各个数量之间的关系是解决问题的关键，样本估计总体是统计中常用的方法． （1）初一体考成绩从小到大排列后处在第20、21位两个数的平均数，即为初一的成绩的中位数，确定a的值；根据扇形统计图计算出初二B类所占的百分比，可得圆心角；计算出初一A类的人数，即可补全条形图； （2）从平均数、众数上的分析得出结论． （3）先计算出初一A等占总人数的百分比，再结合已知条件即可求解． 【详解】（1）解：初一成绩处在第20、21位的两个数的平均数为， ， 初一A组有（人）， 补全条形统计图如图： 故答案为：131.5，； （2）解：初二的成绩较好，理由：初二的中位数、众数都比初一好； （3）解： （人）， 答：成绩为A等级的考生人数为480人． 类型四、方差的应用 1.数据离散程度测量 方差反映数据与平均数的偏离程度，方差越小数据越稳定，如比较不同品牌手机价格的波动。 2.决策支持 【例4-1】．某校七年级甲班、乙班举行一分钟投篮比赛，每班派10名学生参赛，在规定时间内进球数不少于8个为优秀学生．比赛数据的统计图表如下（数据不完整）： 甲班乙班1分钟投篮测试成绩统计表 甲班 乙班 平均数 6.5 a 中位数 b 6 方差 3.45 4.65 优秀率 30% c 根据以上信息，解答下列问题： (1)直接写出a，b，c的值． (2)你认为哪个班的比赛成绩要好一些？请简要说明理由． 【答案】(1)a＝6.5，b＝6.5，c＝30% (2)甲班的比赛成绩要好一些，理由见解析 【分析】（1）将甲乙两个班的3号学生进球数求出来后，再根据平均数、中位数、优秀率的计算方法进行计算即可得出a、b、c的值； （2）比较中位数、方差得出答案． 【详解】解：（1）由统计表可知：甲班进球数平均数为6.5， 因此甲班共进球数为6.5×10=65（个）， 所以甲班的3号同学进球的个数为：65﹣3﹣5﹣6﹣6﹣7﹣7﹣8﹣8﹣10＝5（个）， 由统计图可知，乙班3号同学进球个数也是5个， 所以a＝（3+4+5+6×3+7+9×2+10）＝6.5， 将甲班10名同学进球的个数从小到大排列为： 3，5，5，6，6，7，7，8，8，10； 处在中间位置的两个数的平均数为＝6.5，故中位数是6.5，即b＝6.5， 因为乙班进球8个及以上的人数为3人， ∴c＝3÷10＝30%， 故a＝6.5，b＝6.5，c＝30%； （2）甲班的比赛成绩要好一些； 理由：两个班的平均数相同，甲班的中位数略高于乙班，方差小于乙班． 【点睛】本题考查中位数、平均数、方差的意义及计算方法，考查了学生对教材概念的理解与掌握，因此，理解平均数、中位数、方差的意义是正确判断的前提，同时正确的计算是关键． 【例4-2】．甲、乙两名队员参加射击训练，每次射击的环数均为整数．其成绩分别被制成如下统计图表（乙队员射击训练成绩统计图部分被污染）： 平均成绩/环 中位数/环 众数/环 方差/环2 甲 7 7 12 乙 7 8 根据以上信息，解决下列问题： （1）求出的值； （2）直接写出乙队员第7次的射击环数及的值，并求出的值； （3）若要选派其中一名参赛，你认为应选哪名队员？请说明你的理由． 【答案】（1）7，（2）乙队员第7次的射击环数是7环或8环；7.5；4.2（3）乙，理由见解析． 【分析】（1）利用平均数的计算公式直接计算平均分即可； （2）根据众数可求乙队员第7次的射击环数,中位数是第5次和第6次射击环数的平均数；根据乙的平均数利用方差的公式计算即可； （3）结合平均数和中位数、众数、方差三方面的特点进行分析． 【详解】解：（1）甲的平均成绩a＝（环）； （2）∵已知的环数分别是： 3、4、6、7、8、8、9、10，平均数是7， 可知剩余两次的成绩和为：70-55=15（环），根据统计图可知不可能是9和6，只能是7和8，所以乙队员第7次的射击环数是7环或8环； 把乙的成绩从小到大排列：3、4、6、7、7、8、8、8、9、10， ∴乙射击成绩的中位数b＝＝7.5（环）， 其方差c＝×[（3﹣7）2+（4﹣7）2+（6﹣7）2+2×（7﹣7）2+3×（8﹣7）2+（9﹣7）2+（10﹣7）2] ＝×（16+9+1+3+4+9） ＝4.2； （3）从平均成绩看甲、乙二人的成绩相等均为7环，从中位数看甲射中7环以上的次数小于乙，从众数看甲射中7环的次数最多而乙射中8环的次数最多，从方差看乙的成绩比甲的成绩稳定；综合以上各因素，若选派一名队员参加比赛的话，可选择乙参赛，因为乙获得高分的可能更大． 【点睛】本题考查的是条形统计图和方差、平均数、中位数、众数的综合运用．熟练掌握平均数的计算，理解方差的概念，能够根据计算的数据进行综合分析． 【变式4-1】．某校八年级（1）班甲、乙两男生在5次引体向上测试中有效次数如下： 甲：8，8，7，8，9；乙：5，9，7，10，9； 甲乙两同学引体向上的平均数、众数、中位数、方差如下： 平均数 众数 中位数 方差 甲 8 b 8 0.4 乙 a 9 c 3.2 根据以上信息，回答下列问题： （1）表格是a＝　　，b＝　　，c＝　　．（填数值） （2）体育老师根据这5次的成绩，决定选择甲同学代表班级参加年级引体向上比赛，选择甲的理由是　 ．班主任李老师根据去年比赛的成绩（至少9次才能获奖），决定选择乙同学代表班级参加年级引体向上比赛，选择乙的理由是　 ； （3）如果乙同学再做一次引体向上，有效次数为8，那么乙同学6次引体向上成绩的平均数　 　，中位数　 ，方差　 ．（填“变大”、“变小”或“不变”） 【答案】（1）a、b、c的值分别是8、8、9；（2）甲的方差较小，比较稳定；乙的中位数是9，众数是9，获奖次数较多；（3）不变；变小；变小． 【分析】（1）根据平均数，中位数和方差的概念计算即可得出答案； （2）通过对比甲，乙两同学的方差，中位数和众数即可得出答案； （3）首先计算乙同学之后的平均数，中位数和方差，然后与之前的进行比较即可得出答案． 【详解】（1）， 因为甲中8共出现3次，次数最多，所以b=8 因为乙的有效次数中按顺序排列后处于中间位置的是9，所以中位数c=9； 故答案为a、b、c的值分别是8、8、9； （2）， ∴甲的方差较小，成绩比较稳定， ∴选择甲同学代表班级参加年级引体向上比赛； ∵乙的中位数是9，众数也是9， ∴获奖可能性较大， ∴根据去年比赛的成绩（至少9次才能获奖），决定选择乙同学代表班级参加年级引体向上比赛； （3）∵原来的平均数是8，增加一次也是8， ∴平均数不变． ∵六次成绩排序为5，7，8，9，9，10， ∴处于中间位置的数为8，9， ∴中位数为 ， ∴中位数变小． 后来的方差为， ∴方差变小． 【点睛】本题主要考查数据的分析，掌握平均数，中位数，众数和方差的概念是解题的关键． 【变式4-2】．某学校举办“铭记一二·九，传承爱国情”大合唱团体赛和个人表演赛． (1)大合唱团体赛由10名教师评委和24名家长评委给每个班级打分（百分制）．对评委给某个班级的打分进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息． ．教师评委打分如下：                    ．家长评委打分的频数分布统计表如下： 组别 第1组 第2组 第3组 第4组 第5组 频数 2 3 9 5 第4组的数据是： 92，92，93，93，94，94，94，95，95． ．评委打分的平均数、中位数、众数如下： 平均数 中位数 众数 教师评委 家长评委 根据以上信息，回答下列问题： ①表中的值为_____________，的值为_____________． ②若去掉教师评委打分中的最高分和最低分，记其余8名教师评委打分的平均数为，则______92（填“”“”或“”）； (2)个人表演赛由5名专业评委给每位参赛同学打分（百分制）．对每位参赛同学，计算5名专业评委给其打分的平均数和方差．平均数较大的同学排名靠前，若平均数相同，则方差较小的同学排名靠前，5名专业评委给甲、乙、丙三位同学的打分如下： 评委1 评委2 评委3 评委4 评委5 甲 乙 丙 若甲同学在甲、乙、丙三位同学中的排名居中，则这三位同学中排名最靠前的是________，表中（为整数）的值为_________． 【答案】(1)①；；② (2)乙； 【分析】本题考查条形统计图，平均数、众数、中位数、方差等知识，理解平均数、方差的意义和计算方法是正确解答的前提． （1）①根据频数分布表即可解决问题； ②根据平均数的定义即可判断； （2）根据题意得，根据平均数相同，方差越小，排名越靠前即可解决问题． 【详解】（1）解：①由题意， 共有名家长评委给每位选手打分， 家长评委打分的中位数为第个和第个数据的平均数， ∴中位数 故答案为：，； ②去掉教师评委打分中的最高分和最低分，其余8名教师评委打分分别为               平均数为： ∴， 故答案为：； （2）解：， ， 甲在甲、乙、丙三位选手中的排序居中， 依题意，当，则 解得：， ∵为整数，则或 当时， 此时 ∵，则甲在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，不合题意， 当时， 此时 ∵，则甲在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，这三位选手中排序最靠前的是乙 故答案为：乙；． 【变式4-3】．2月20日，北京冬奥会圆满落幕，在无与伦比的盛会背后，有着许多志愿者的辛勤付出．在志愿者招募之时，甲、乙两所大学积极开展了志愿者选拔活动，现从两所大学参加测试的志愿者中分别随机抽取了10名志愿者的测试成绩进行整理和分析（成绩得分用x表示，共分成四组：A．，B．，C．，D．），下面给出了部分信息： 甲校10名志愿者的成绩（分）为：． 乙校10名志愿者的成绩分布如扇形图所示，其中在C组中的数据为：． 甲、乙校抽取的志愿者成绩统计表 甲校 乙校 平均数 87 87 中位数 87.5 b 方差 79.4 众数 c 95 (1)由上表填空：_______，_______，______________； (2)你认为哪个学校的志愿者测试成绩的总体水平较好？请至少写出两条理由； (3)若甲校参加测试的志愿者有200名，请估计甲校成绩在90分及以上的约有多少人． 【答案】(1) (2)乙校较好，理由见解析 (3)甲校成绩在90分及以上的约有80人 【分析】（1）先通过扇形统计图求出各组数据的情况，即可求出a、b的值，再根据题目中给出的甲校的具体值，就可以算出c和的值； （2）可从中位数、众数和方差的角度进行分析即可； （3）算出甲校90分以上人数的占比，再用总人数200去乘即可； 【详解】（1）由扇形统计图数据可知，C组数据有三人，占比为30% A的圆心角度数为36° ∴A的占比为×100%=10% ∴B的占比=1-10%-30%-40%=20% ∴a=20 又∵乙校各档次的人数分别为1人、2人、3人、4人 ∴中位数是第五位和第六位数，分别是88和89 ∴b==88.5 根据方差的公式，可算出82.8 观察甲的数据，可发现众数c为87. （2）解：从中位数来看，乙校的中位数高于甲校的中位数，所以乙校志愿者的成绩的中等水平好于甲校； 从众数来看，乙校的众数高于甲校的众数，所以乙校大多数志愿者的成绩好于甲校大多数志愿者的成绩； 从方差来看，乙校的方差低于甲校的方差，乙校志愿者的成绩更加稳定，所以我认为乙校较好．（可以从平均数、中位数、方差、众数等角度分析，言之有理即可） （3）解：甲校成绩在90分以上的有4人，占比为40%； ∴（人） 答：甲校成绩在90分及以上的约有80人． 【点睛】本题考查扇形统计图和表格信息的综合，求平均数、中位数、众数和方差，以及用样本的数据估计总体，理解各统计图的信息并灵活运用是解决本题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$