3.3 多项式的乘法（讲练）（9大题型62题）-2024-2025学年七年级下册数学同步讲练（浙教版2024）

法则 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加，即 步骤 (1)用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项; (2)把各乘积相加; (3)有同类项要合并同类项； (4)通常把结果整理成按某一字母的降幂（或升幂）排列. 【基础练习】 【练习1-1】计算（2m+1）（3m﹣2），结果正确的是（　　） A．6m2﹣m﹣2 B．6m2+m﹣2 C．6m2﹣2 D．5m﹣1 【练习1-2】计算：（a-b）（a2+ab+b2）=　 　． 【练习1-3】计算： （1） （2） 整式的乘法运算与化简 整式的乘法运算与化简往往含有幂的运算、单项式与单项式相乘、单项式与多项式相乘、多项式与多项式相乘等多种运算，解题时，我们要厘清题目中有哪些运算，分别要运用哪些法则，先做哪种运算，后做哪种运算. 代数式求值 对于代数式的求值，通常应先化简，后代入求值.应根据题目特点灵活选择方法，如逆向运用法则、整体代入等. 【基础练习】 【练习2-1】先化简，再求值：，其中． 【练习2-2】先化简，再求值：，其中． 【练习2-3】化简求值：，其中． 【典例】下列各式中，计算结果是的是（　　） A． B． C． D． 【变式1-1】计算： (1)． (2)． 【变式1-2】计算： 注意：在运用多项式的乘法法则进行计算时，要注意“三数”： (1)项数——两个多项式相乘，在合并同类项之前，其积的项数应是这两个多项式项数的积，此方法可以检验是否“重乘”或“漏乘”. (2)次数——多项式的乘法的本质是单项式乘单项式，因此每一个单项式与单项式的乘法运算结果是否正确是整个整式运算是否正确的保证，故在单项式的乘法运算时一定要注意字母的次数; (3)系数——确定积中各项的符号时，要特别留心各项的系数一定要包括它前面的符号. 【典例】计算 的结果为　 　． 【变式2-1】计算： 【变式2-2】计算： （1）2x•（x2﹣4x）﹣（x2+1）（2x﹣3）； （2）（4a+3b）（a﹣2b）﹣（3a﹣2b）•a． 点拨：整式的运算顺序与有理数的运算顺序相同，即先乘方，后乘除，最后算加减，有括号的先算括号里面的. 【典例】小夏今天在课堂练习中做了以下5道题，其中做对的有（   ） ①；②；③；④；⑤． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【变式3-1】下列运算正确的是(    ) A. B. C. D. 【变式3-2】下列计算算式中：① ，② ，③ ，④ ，⑤ ，正确的是　 　.（填序号） 【典例】已知，，则_____． 【变式4-1】先化简，再求值：，其中， 【变式4-2】先化简，再求值．   其中． 【典例】如果，那么、的值分别是（    ）． A．， B．， C．， D．， 【变式5-1】计算（x﹣k）（x+3）的结果中不含x的一次项，则k的值是（　　） A．0 B．3 C．﹣3 D．﹣2 【变式5-2】小明的作业本上有一道题不小心被沾上了墨水：，通过计算，这道题的■处应是 ． 【典例】某地计划扩建一块边长为x米的正方形林地，将一边增加了7米、另一边增加了4米，那么扩建后这块林地的面积比原来增加了（   ） A．平方米 B．平方米 C．平方米 D．平方米 【变式6-1】公园里有一个长方形花坛，原来长为，宽为，现在要把花坛四周均向外扩展，扩展后的长方形花坛的长为，宽为，则扩展后的长方形花坛的面积比扩展前的长方形花坛的面积增加 ． 【变式6-2】某中学有一块长30m，宽20m的长方形空地，计划在这块空地上划分出部分区域种花，小明同学设计方案如图，设花带的宽度为x米． (1)请用含x的式子表示空白部分长方形的面积；（要化简） (2)当花带宽2米时，空白部分长方形面积能超过400m2吗？请说明理由． 【典例】计算下列各式，然后回答问题． ； ； ； ． （1）从上面的计算中总结规律，写出下式结果． ． （2）运用上述结果，写出下列各题结果． ① ； ② ． 【变式7-1】回答下列问题： （1）计算：①（x+2）（x+3）＝　 　； ②（x+7）（x﹣10）＝　 　； ③（x﹣5）（x﹣6）＝　 　． （2）由（1）的结果，直接写出下列计算的结果： ①（x+1）（x+3）＝　 　； ②（x﹣2）（x﹣3）＝　 ； ③（x+2）（x﹣5）＝　 ． （3）总结公式：（x+a）（x+b）＝　 　． （4）已知a，b，m均为整数，且（x+a）（x+b）＝x2+mx+6，求m的所有可能值：　 ． 【变式7-2】把几个图形拼成一个新的图形，再通过图形面积的计算，常常可以得到一些有用的式子．如图，是将几个面积不等的小正方形与小长方形拼成一个一组邻边长分别为，的长方形，若用不同的方法计算这个长方形面积，你能发现什么结论？ (1)用等式表示出来为______； (2)已知，求的值； (3)已知，，为正整数，求的值． 点拨：由多项式乘多项式的法则=可知，等式右边二次项的系数为1；一次项的系数是两个二项式中常数项的和；常数项是两个二项式中常数项的积. 【典例】如图，甲、乙、丙、丁四位同学给出了四种表示该长方形面积的多项式，你认为其中正确的有（　　） ①；②；③；④． A．①② B．③④ C．①②③ D．①②③④ 【变式8-1】图中阴影部分的面积用整式表示为 ． 【变式8-2】如图，长为50cm，宽为xcm的大长方形被分割为8小块，除阴影A、B外，其余6块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短一边长为acm． (1)从图可知，每个小长方形较长一边长是_____cm（用含a的代数式表示； (2)求图中两块阴影A、B的周长和（可以用x的代数式表示）； (3)若cm时用含x的代数式分别表示阴影A、B的面积，并比较A，B的面积大小． 【典例】我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形解释二项式的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”． …… …… ……1 …… …… …1   1 …… …… 1   2  1 …… … 1  3   3  1 ………1  4  6  4  1 … 1  5  10  10  5  1 … 根据“杨辉三角”请计算的展开式中从左起第四项的系数为（） A．84 B．56 C．35 D．28 【变式9-1】4个数a，b，c，d排列成，我们称之为二阶行列式．规定它的运算法则为：ad﹣bc．若13，则x＝ 　． 【变式9-2】已知x≠1，观察下列等式：（1﹣x）（1+x）＝1﹣x2；（1﹣x）（1+x+x2）＝1﹣x3；（1﹣x）（1+x+x2+x3）＝1﹣x4； … （1）猜想：（1﹣x）（1+x+x2+x3+⋯+xn﹣1）＝　 ； （2）应用：根据你的猜想请你计算下列式子的值： ①（1﹣2）（1+2+22+23+24+25+26）＝　 　； ②（x﹣1）（x2022+x2021+x2020+⋯+x2+x+1）＝　 ； （3）判断2100+299+298+⋯+22+2+1的值的个位数是几？并说明你的理由． 1．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 2．计算（a+1）（a﹣3）的结果是（　　） A．a2+2a﹣3 B．a2+2a+3 C．a2﹣2a﹣3 D．a2﹣4a﹣3 3．若M＝（x﹣3）（x﹣4），N＝（x﹣1）（x﹣6），则M与N的大小关系为（　　） A．M＞N B．M＝N C．M＜N D．由x的取值而定 4．如果（5﹣a）（6+a）＝12，那么﹣2a2﹣2a+8的值为（　　） A．﹣28 B．26 C．28 D．44 5．若，则m、n的值分别为（   ） A． B． C． D． 6．公园里有一个长方形花坛，原来长为，宽为，现在要把花坛四周均向外扩展，扩展后的长方形花坛的长为，宽为，则扩展后的长方形花坛的面积比扩展前的长方形花坛的面积增加（ ） A． B． C． D． 7．如图所示的正方形和长方形卡片各有若干张，若要拼成一个长为，宽为的长方形，则需要A类，B类，C类卡片各（　　）张 A．2，3，2 B．2，4，2 C．2，5，2 D．2，5，4 8．观察下列各式及其展开式： ， ， ， ， 请你猜想的展开式中含项的系数是（    ） A． B． C． D． 9．已知两个多项式A＝x2+x+1，B＝x2﹣x+1，x为实数，将A、B进行加减乘除运算： ①若A+B＝10，则x＝2； ②|A﹣B﹣2|+|A﹣B+4|＝6，则x需要满足的条件是﹣2≤x≤1； ③若A×B＝0，则关于x的方程无实数根； ④若x为正整数（x≠3），且为整数，则x＝1，2，4，5． 上面说法正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．【观察】①； ②； ③； …… 【归纳】由此可得：； 【应用】请运用上面的结论，计算：（   ） A． B． C． D． 11．若A＝3x﹣2，B＝1﹣2x，C＝﹣6x，则C•B+A•C＝　 　． 12．计算： （1）（﹣a3）3＝　 　； （2）（﹣a）4•（﹣a）3•a2＝　 ； （3）[（﹣a）4]4•（﹣a）3＝　 ； （4）（3a﹣1）（1﹣2a）＝　 　． 13．若且，则代数式 ． 14．若（x－1）（x2＋ax＋2）的展开式中不含x2项，则a的值是_______ 15．小明在计算时，不小心将第二个括号中的常数染黑了，小亮告诉他结果中的一次项系数为，则被染黑的常数为 ． 16．为了绿化校园，学校决定修建一块 长方形草坪，长30米，宽20米，并在草坪上修建如图所示的等宽的十字路，小路宽为x米，用代数式表示草坪的面积是　 　平方米(化成最简形式)． 17．如图：已知长方形纸片长为，宽为，裁去一个长为，宽为的长方形，则剩余部分面积为__________________． 18．4个数a，b，c，d排列成，我们称之为二阶行列式．规定它的运算法则为：ad﹣bc．若13，则x＝　　． 19．我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”（如图），此图揭示了（a+b）n（n为非负整数）展开式的项数及各项系数的相关规律． 例如：（a+b）0＝1，它只有一项，系数为1； （a+b）1＝a+b，它有两项，系数分别为1，1，系数和为2； （a+b）2＝a2+2ab+b2，它有三项，系数分别为1，2，1，系数和为4； 根据以上规律，解答下列问题： （1）（a+b）5展开式的系数和是　 　；（a+b）n展开式的系数和是　 　． （2）当a＝2时，（a+b）5展开式的系数和是　 　；（a+b）n展开式的系数和是　 　． 20．计算：（1）（x+1）（x2﹣x+1）； （2）（3x+1）（x2﹣2x+3）． 21．化简：． 22．先化简，再求值：（3x+2）（3x﹣2）﹣10x（x﹣1）+（x﹣1）2，其中x＝﹣1． 23．甲、乙两人共同计算一道整式乘法题：（2x+a）（3x+b）．甲由于把第一个多项式中的“+a”看成了“﹣a”，得到的结果为6x2+11x﹣10；乙由于漏抄了第二个多项式中x的系数，得到的结果为2x2﹣9x+10． （1）求正确的a、b的值． （2）计算这道乘法题的正确结果． 24．（1）某学校准备在一块长为米，宽为米的长方形空地上修建一块长为米，宽为米的长方形草地，四周铺设地砖（阴影部分），求铺设地砖的面积（用含a，b的式子表示，结果化为最简）． （2）已知，．求的值． 25．对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，例如图1可以得到，请解答下列问题： （1）写出图2中所表示的数学等式 ． （2）利用（1）中得到的结论，解决下面的问题：若，求的值． （3）小明同学用图中张边长为的正方形，张边长为的正方形张边长分别为的长方形纸片拼出一个面积为长方形，求的值． 26．（1）探究发现： 小明计算下面几个题目 ①；②；③；④ 后发现，形如的两个多项式相乘，计算结果具有一定的规律，请你帮助小明完善发现的规律： （2）面积说明： 上面规律是否正确呢？小明利用多项式乘法法则计算，发现这个规律是正确的．小明记得学习乘法公式时，除利用多项式乘法法则可以证明公式外，还可以利用图形面积说明乘法公式，于是画出右面图形说明他发现的规律，请你帮助小明补全图中括号的代数式． （3）逆用规律： 学过因式分解后，小明知道了因式分解与整式乘法是逆变形，他就逆用发现的规律对下面的多项式进行了因式分解，请你用小明发现的规律分解下面因式：. 27．在前面的学习中，我们通过对同一面积的不同表达和比较，利用图①和图②发现并验证了平方差公式和完全平方公式，不仅更清晰地“看到”公式的结构，同时感受到这样的抽象代数运算也有直观的背景．这种利用面积关系解决问题的方法，使抽象的数量关系因几何直观而形象化． 　　　　　　 请你利用上述方法解决下列问题： （1）请写出图（1）、图（2）、图（3）所表示的代数恒等式； 　　　 　　　 （2）试画出一个几何图形，使它的面积能表示（x+y）（x+3y）＝x2+4xy+3y2； （拓展应用） 提出问题：47×43，56×54，79×71，……是一些十位数字相同，且个位数字之和是10的两个两位数相乘的算式，是否可以找到一种速算方法？ 几何建模： 用矩形的面积表示两个正数的乘积，以47×43为例： （1）画长为47，宽为43的矩形，如图③，将这个47×43的矩形从右边切下长40，宽3的一条，拼接到原矩形的上面． （2）分析：几何建模步骤原矩形面积可以有两种不同的表达方式，47×43的矩形面积或（40+7+3）×40的矩形与右上角3×7的矩形面积之和，即47×43＝（40+10）×40+3×7＝5×4×100+3×7＝2021，用文字表述47×43的速算方法是：十位数字4加1的和与4相乘，再乘以100，加上个位数字3与7的积，构成运算结果． 请你参照上述几何建模步骤，计算57×53．要求画出示意图，写出几何建模步骤（标注有关线段） 归纳提炼： 两个十位数字相同，并且个位数字之和是10的两位数相乘的速算方法是（用文字表述）：　 ． 1．（2022·贵州六盘水·中考真题）已知，则的值是（    ） A．4 B．8 C．16 D．12 2．（2024•济宁·中考真题）先化简，再求值： ，其中，． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 法则 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加，即 步骤 (1)用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项; (2)把各乘积相加; (3)有同类项要合并同类项； (4)通常把结果整理成按某一字母的降幂（或升幂）排列. 【基础练习】 【练习1-1】计算（2m+1）（3m﹣2），结果正确的是（　　） A．6m2﹣m﹣2 B．6m2+m﹣2 C．6m2﹣2 D．5m﹣1 【答案】A 【解析】 【分析】式利用多项式乘以多项式法则计算，合并即可得到结果． 【详解】解：（2m+1）（3m﹣2）＝6m2﹣4m+3m﹣2＝6m2﹣m﹣2． 故选：A． 【练习1-2】计算：（a-b）（a2+ab+b2）=　 　． 【答案】a3-b3 【解析】 【分析】根据多项式乘以多项式法则进行计算即可求解． 【详解】 故答案为： 【练习1-3】计算： （1） （2） 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】按照多项式乘多项式的法则乘出来，再合并同类项即可． 【详解】解：（1） （2） 整式的乘法运算与化简 整式的乘法运算与化简往往含有幂的运算、单项式与单项式相乘、单项式与多项式相乘、多项式与多项式相乘等多种运算，解题时，我们要厘清题目中有哪些运算，分别要运用哪些法则，先做哪种运算，后做哪种运算. 代数式求值 对于代数式的求值，通常应先化简，后代入求值.应根据题目特点灵活选择方法，如逆向运用法则、整体代入等. 【基础练习】 【练习2-1】先化简，再求值：，其中． 【答案】，5 【解析】 【分析】先利用单项式乘以多项式去掉括号，再合并同类项即可化简，最后代入即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 【练习2-2】先化简，再求值：，其中． 【答案】，7 【解析】 【分析】先利用单项式乘多项式的法则，多项式乘多项式的法则进行运算，再合并同类项，最后代入相应的值运算即可． 【详解】解： ， 当时，原式 【练习2-3】化简求值：，其中． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了整式的化简求值，先算乘法，再合并同类项进行化简，再代入数值求解即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】原式 ， 当时，原式． 【典例】下列各式中，计算结果是的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】利用因式分解法求解即可。 【详解】解：A、，故本选项不符合题意； B、，故本选项不符合题意； C、，故本选项符合题意； D、，故本选项不符合题意； 故答案为：C． 【变式1-1】计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【解析】 【分析】（1）根据积的乘方公式和单项式乘单项式运算法则进行计算即可； （2）根据多项式乘多项式运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式1-2】计算： 【答案】 【解析】 【分析】根据多项式乘以多项式的法则，可表示为，计算即可．本题主要考查多项式乘以多项式的法则．注意不要漏项，漏字母，有同类项的合并同类项． 【详解】解： ． 注意：在运用多项式的乘法法则进行计算时，要注意“三数”： (1)项数——两个多项式相乘，在合并同类项之前，其积的项数应是这两个多项式项数的积，此方法可以检验是否“重乘”或“漏乘”. (2)次数——多项式的乘法的本质是单项式乘单项式，因此每一个单项式与单项式的乘法运算结果是否正确是整个整式运算是否正确的保证，故在单项式的乘法运算时一定要注意字母的次数; (3)系数——确定积中各项的符号时，要特别留心各项的系数一定要包括它前面的符号. 【典例】计算 的结果为　 　． 【答案】 x+x2 【解析】 【分析】利用多项式乘以多项式法则，单项式乘以多项式法则计算求解即可。 【详解】解： = = 故答案为： 【变式2-1】计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算，根据多项式乘以多项式的运算法则计算即可． 【详解】 ． 【变式2-2】计算： （1）2x•（x2﹣4x）﹣（x2+1）（2x﹣3）； （2）（4a+3b）（a﹣2b）﹣（3a﹣2b）•a． 【答案】（1）﹣5x2﹣2x+3（2）a2﹣3ab﹣6b2 【解析】 【分析】（1）根据多项式乘以多项式的法则分别进行计算，然后合并同类项即可得出答案； （2）根据多项式乘以多项式的法则和单项式乘多项式的法则分别进行计算，然后合并同类项即可． 【详解】解：（1）2x•（x2﹣4x）﹣（x2+1）（2x﹣3） ＝2x3﹣8x2﹣（2x3﹣3x2+2x﹣3） ＝2x3﹣8x2﹣2x3+3x2﹣2x+3 ＝﹣5x2﹣2x+3； （2）（4a+3b）（a﹣2b）﹣（3a﹣2b）•a ＝4a2﹣8ab+3ab﹣6b2﹣3a2+2ab ＝a2﹣3ab﹣6b2． 点拨：整式的运算顺序与有理数的运算顺序相同，即先乘方，后乘除，最后算加减，有括号的先算括号里面的. 【典例】小夏今天在课堂练习中做了以下5道题，其中做对的有（   ） ①；②；③；④；⑤． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了幂的计算，单项式乘以多项式，多项式乘以多项式，熟知相关计算法则是解题的关键． 【详解】解：，故①计算正确； ，故②计算错误； ，故③计算正确； ，故④计算错误； ，故⑤计算正确； ∴计算正确的有3个， 故选：D． 【变式3-1】下列运算正确的是(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】 【分析】根据运算法则计算验证即可 【详解】解：，故此选项不合题意；  ，故此选项不合题意； ，故此选项不合题意； ，故此选项符合题意； 故选：． 【变式3-2】下列计算算式中：① ，② ，③ ，④ ，⑤ ，正确的是　 　.（填序号） 【答案】③④ 【解析】 【分析】根据积的乘方，单项式乘多项式，多项式乘多项式，单项式乘单项式分别进行计算，然后判断即可. 【详解】① ，故①错误； ② ，故②错误； ③ ，故③正确； ④ ，故④正确； ⑤ ，故⑤错误. 故答案为：③④ 【典例】已知，，则_____． 【答案】1 【解析】 【分析】根据多项式乘以多项式的法则将原式展开，然后条件即可求出原式的值． 【详解】解：当m+n=2，mn=-2， (3−m)(3−n)=9+mn-3（m+n） =9-2-6 =1． 故答案为：1． 【变式4-1】先化简，再求值：，其中， 【答案】，1 【解析】 【分析】先利用整式乘法计算括号内的运算，然后合并同类项，得到最简整式，再把，代入计算，即可得到答案． 【详解】解： ； 当， 原式． 【变式4-2】先化简，再求值．   其中． 【答案】，20． 【解析】 【分析】根据多项式乘法的计算法则化简原式后再把x的值代入计算即可． 【详解】解： ∴当时，原式=． 【典例】如果，那么、的值分别是（    ）． A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【解析】 【分析】利用多项式乘多项式法则，得到等式左侧的结果，根据对应项，对应相等，求出、的值即可． 【详解】解：， ∴， ∴， 解得：； 故选C． 【变式5-1】计算（x﹣k）（x+3）的结果中不含x的一次项，则k的值是（　　） A．0 B．3 C．﹣3 D．﹣2 【答案】B 【解析】 【分析】把式子展开，合并同类项，令一次项系数为0，求出m的值即可． 【详解】解：（x﹣k）（x+3） ＝x2﹣kx+3x﹣3k ＝x2+（3﹣k）x﹣3k． ∵（x﹣k）（x+3）的结果中不含x的一次项， ∴3﹣k＝0． ∴k＝3． 故选：B． 【变式5-2】小明的作业本上有一道题不小心被沾上了墨水：，通过计算，这道题的■处应是 ． 【答案】 【解析】 【分析】根据整式的四则运算法则求解即可． 【详解】解：∵ ∴ ∴ ∴ 故答案为：． 【典例】某地计划扩建一块边长为x米的正方形林地，将一边增加了7米、另一边增加了4米，那么扩建后这块林地的面积比原来增加了（   ） A．平方米 B．平方米 C．平方米 D．平方米 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了代数式表示，以及多项式乘多项式与图形面积，解题的关键在于熟练掌握相关知识．根据“增加的面积现在的面积原来的面积”列式并计算，即可解题． 【详解】解：扩建后这块林地的面积比原来增加了：平方米， 故选：B． 【变式6-1】公园里有一个长方形花坛，原来长为，宽为，现在要把花坛四周均向外扩展，扩展后的长方形花坛的长为，宽为，则扩展后的长方形花坛的面积比扩展前的长方形花坛的面积增加 ． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查多项式乘多项式，单项式乘单项式的实际应用，用改变后的花坛的面积减去改变前的面积即可． 【详解】解：由题意得：改变后花坛的长，宽， ∴这个花坛的面积将增加：， 故答案为：． 【变式6-2】某中学有一块长30m，宽20m的长方形空地，计划在这块空地上划分出部分区域种花，小明同学设计方案如图，设花带的宽度为x米． (1)请用含x的式子表示空白部分长方形的面积；（要化简） (2)当花带宽2米时，空白部分长方形面积能超过400m2吗？请说明理由． 【答案】(1) (2)超过，理由见解析 【解析】 【分析】（1）空白部分长方形的两条边长分别是（30-2x）m，（20-x）m．得空白部分长方形的面积； （2）通过有理数的混合运算得结果与400进行比较． 【详解】解：(1)空白部分长方形的两条边长分别是（30-2x）m，（20-x）m． 空白部分长方形的面积：（30-2x）（20-x）=(2x2-70x+600) m2． (2)超过． ∵2×22-70×2+600=468（m2）， ∵468＞400， ∴空白部分长方形面积能超过400 m2． 【典例】计算下列各式，然后回答问题． ； ； ； ． （1）从上面的计算中总结规律，写出下式结果． ． （2）运用上述结果，写出下列各题结果． ① ； ② ． 【答案】；；；； （1）； （2）①；② 【解析】 【分析】本题考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解题的关键，对计算结果分析找出规律，再利用规律简便计算． 利用单项式与多项式相乘计算各个式子后，发现展开式的一次项系数是原来每个因式的第二项的和，常数项是它们的积．即．然后再计算所给的式子的结果． 【详解】解：； ； ； ． （1）． （2）①； ②． 【变式7-1】回答下列问题： （1）计算：①（x+2）（x+3）＝　 　； ②（x+7）（x﹣10）＝　 　； ③（x﹣5）（x﹣6）＝　 　． （2）由（1）的结果，直接写出下列计算的结果： ①（x+1）（x+3）＝　 　； ②（x﹣2）（x﹣3）＝　 ； ③（x+2）（x﹣5）＝　 ． （3）总结公式：（x+a）（x+b）＝　 　． （4）已知a，b，m均为整数，且（x+a）（x+b）＝x2+mx+6，求m的所有可能值：　 ． 【答案】（1）x2+5x+6；x2﹣3x﹣70；x2﹣11x+30（2）x2+4x+3；x2﹣5x+6；x2﹣3x﹣10；（3）x2+（a+b）x+ab．（4）7或﹣7或5或﹣5 【解析】 【分析】（1）利用多项式乘多项式的法则运算即可； （2）仿照（1）的解法计算即可； （3）总结上述计算得出公式； （4）将6分解成两个整数的乘积，即可得出a，b的值，利用公式（3）可得结论． 【详解】解：（1）①原式＝x2+2x+3x+6＝x2+5x+6； ②原式＝x2﹣10x+7x﹣70＝x2﹣3x﹣70； ③原式＝x2﹣6x﹣5x+30＝x2﹣11x+30． 故答案为：x2+5x+6；x2﹣3x﹣70；x2﹣11x+30． （2）①原式＝x2+4x+3； ②原式＝x2﹣5x+6； ③原式＝x2﹣3x﹣10； 故答案为：x2+4x+3；x2﹣5x+6；x2﹣3x﹣10； （3）由上面的计算可知：（x+a）（x+b）＝x2+（a+b）x+ab． 故答案为：x2+（a+b）x+ab． （4）由公式（3）可知（x+a）（x+b）＝x2+mx+6中，m＝a+b，6＝ab． ∵6＝1×6或（﹣1）×（﹣6）或2×3或（﹣2）×（﹣3） ∴m＝7或﹣7或5或﹣5． 故答案为：7或﹣7或5或﹣5． 【变式7-2】把几个图形拼成一个新的图形，再通过图形面积的计算，常常可以得到一些有用的式子．如图，是将几个面积不等的小正方形与小长方形拼成一个一组邻边长分别为，的长方形，若用不同的方法计算这个长方形面积，你能发现什么结论？ (1)用等式表示出来为______； (2)已知，求的值； (3)已知，，为正整数，求的值． 【答案】(1) (2)的值为； (3)的值为10或8． 【解析】 【分析】本题考查了多项式的乘法与几何图形，解题的关键是注意图形的分割与拼合，会用不同的方法表示同一图形的面积． （1）此题根据面积的不同求解方法，可得到不同的表示方法．一种可以是1个正方形的面积和3个矩形的面积，一种是大正方形的面积，可得等式； （2）由（1）的结论结合已知得到，则，，进一步计算即可求解； （3）将已知等式得到，，根据，为正整数，进一步计算即可求解． 【详解】（1）解：根据题意，这个等式可以为， 故答案为：； （2）解：由（1）的结论得， ∵， ∴， 即，， ∴，， ∴的值为； （3）解：由题意得， ∴，， ∵，为正整数， ∴，分别为2，8或4，4， ∴或， 综上，的值为10或8． 点拨：由多项式乘多项式的法则=可知，等式右边二次项的系数为1；一次项的系数是两个二项式中常数项的和；常数项是两个二项式中常数项的积. 【典例】如图，甲、乙、丙、丁四位同学给出了四种表示该长方形面积的多项式，你认为其中正确的有（　　） ①；②；③；④． A．①② B．③④ C．①②③ D．①②③④ 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了列代数式，根据最大长方形的面积的不同表示方式列出对应的代数式即可． 【详解】解：最大长方形的长为，宽为，则最大长方形的面积可以表示为，故①正确； 最大长方形面积可以表示为长为，宽为b的长方形面积加上2个长为，宽为a的长方形面积，则最大长方形的面积可以表示为，故②正确； 最大长方形面积可以表示为长为，宽为m的长方形面积加上长为，宽为n的长方形面积，则最大长方形的面积可以表示为，故③正确； 最大长方形面积可以表示为长为，宽为m的长方形面积加上长为，宽为n的长方形面积再加上2个长为a，宽为m的长方形面积再加上2个长a，宽为n的长方形面积，则最大长方形的面积可以表示为，故④正确； 故选D． 【变式8-1】图中阴影部分的面积用整式表示为 ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了整式的乘法在图形面积种的应用，根据阴影部分的面积大长方形的面积空白部分长方形的面积即可求解． 【详解】解：阴影部分的面积大长方形的面积空白部分长方形的面积 故答案为：． 【变式8-2】如图，长为50cm，宽为xcm的大长方形被分割为8小块，除阴影A、B外，其余6块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短一边长为acm． (1)从图可知，每个小长方形较长一边长是_____cm（用含a的代数式表示； (2)求图中两块阴影A、B的周长和（可以用x的代数式表示）； (3)若cm时用含x的代数式分别表示阴影A、B的面积，并比较A，B的面积大小． 【答案】(1) (2)4x (3)，， 【解析】 【分析】（1）从图可知，每个小长方形较长一边长是大长方形的长小长方形宽的3倍； （2）从图可知，的长的宽，的宽的长，依此求出两块阴影、的周长和； （3）根据长方形的面积长宽即可表示阴影、的面积，然后比较大小即可． 【详解】（1）解：由图可知：每个小长方形较长一边长是． 故答案为； （2）解：由图可知：的长的宽cm，的宽的长cm， ∴、的周长和（的长的宽） (的长的宽) （的长的宽） (的长的宽) cm； （3）解：， ， ， ， ． 【典例】我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形解释二项式的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”． …… …… ……1 …… …… …1   1 …… …… 1   2  1 …… … 1  3   3  1 ………1  4  6  4  1 … 1  5  10  10  5  1 … 根据“杨辉三角”请计算的展开式中从左起第四项的系数为（） A．84 B．56 C．35 D．28 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了多项式乘法中的规律探索，观察杨辉三角的排列规律，每行数字左右对称，由1开始逐渐变大，然后变小，回到1．第一个数字为1，第二个数字与次数相同，第三个数字等于它“肩”上的两个数之和，据此先求出的展开式的第3个数字为，第4个数字为20，进而求出的展开式的第3个数字为，第4个数字为，据此可得答案． 【详解】解：观察杨辉三角的排列规律，每行数字左右对称，由1开始逐渐变大，然后变小，回到1．第一个数字为1，第二个数字与次数相同，第三个数字等于它“肩”上的两个数之和， ∴的展开式的第3个数字为，第4个数字为， ∴的展开式的第3个数字为，第4个数字为， ∴的展开式的第4个数字为， 故选：B． 【变式9-1】4个数a，b，c，d排列成，我们称之为二阶行列式．规定它的运算法则为：ad﹣bc．若13，则x＝ 　． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可以将13转化为方程，从而可以求得x的值． 【详解】解：∵13， ∴（x﹣2）（x﹣2）﹣（x+3）（x+1）＝13， x2﹣4x+4﹣x2﹣4x﹣3＝13， ﹣8x＝12， 解得，x， 故答案为：． 【变式9-2】已知x≠1，观察下列等式：（1﹣x）（1+x）＝1﹣x2；（1﹣x）（1+x+x2）＝1﹣x3；（1﹣x）（1+x+x2+x3）＝1﹣x4； … （1）猜想：（1﹣x）（1+x+x2+x3+⋯+xn﹣1）＝　 ； （2）应用：根据你的猜想请你计算下列式子的值： ①（1﹣2）（1+2+22+23+24+25+26）＝　 　； ②（x﹣1）（x2022+x2021+x2020+⋯+x2+x+1）＝　 ； （3）判断2100+299+298+⋯+22+2+1的值的个位数是几？并说明你的理由． 【答案】（1）1﹣xn（2）﹣127；22023﹣1（3）见解析 【解析】 【分析】（1）根据所列等式所呈现的规律得出答案； （2）①由规律得出结果为1﹣27即可； ②将原式变为，再根据概率得出答案； （3）由（2）②可得2101﹣1，再根据尾数的规律得出答案． 【详解】解：（1）由所列等式的呈现规律可得，（1﹣x）（1+x+x2+x3+⋯+xn﹣1）＝1﹣xn， 故答案为：1﹣xn； （2）①由等式所呈现的规律可得， （1﹣2）（1+2+22+23+24+25+26）＝1﹣27＝﹣127， 故答案为：﹣127； ②原式＝﹣（1﹣x）（1+x+x2+…+x2020+x2021+x2022） ＝﹣（1﹣x2023） ＝22023﹣1， 故答案为：22023﹣1； （3）由（2）②可得， 原式＝2101﹣1， 由于21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，26＝64……而101÷4＝25……1， ∴2101的个位数字为2， ∴2101﹣1的个位数字为2﹣1＝1． 1．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查整式的混合运算，完全平方公式，以及平方差公式，熟练掌握公式以及运算法则是解本题的关键． 原式各项利用完全平方公式，平方差公式以及整式的乘法计算得到结果，即可做出判断． 【详解】解：A、，故本选项符合题意； B、，故本选项不符合题意； C、，故本选项不符合题意； D、，故本选项不符合题意． 故选：A． 2．计算（a+1）（a﹣3）的结果是（　　） A．a2+2a﹣3 B．a2+2a+3 C．a2﹣2a﹣3 D．a2﹣4a﹣3 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用多项式乘以多项式进而计算得出答案． 【详解】（a+1）（a﹣3） ＝a2﹣3a+a﹣3 ＝a2﹣2a﹣3． 故选：C． 3．若M＝（x﹣3）（x﹣4），N＝（x﹣1）（x﹣6），则M与N的大小关系为（　　） A．M＞N B．M＝N C．M＜N D．由x的取值而定 【答案】A 【解析】 【分析】求出M和N的展开式，计算M﹣N的正负性，即可判断M与N的大小关系． 【详解】解：M＝（x﹣3）（x﹣4）＝x2﹣7x+12； N＝（x﹣1）（x﹣6）＝x2﹣7x+6； ∵M﹣N＝6＞0； ∴M＞N； 故选：A． 4．如果（5﹣a）（6+a）＝12，那么﹣2a2﹣2a+8的值为（　　） A．﹣28 B．26 C．28 D．44 【答案】A 【解析】 【分析】根据多项式乘多项式法则将等式左边展开，可得﹣a2﹣a＝﹣18，再整理即可得出答案． 【详解】解：由（5﹣a）（6+a）＝12， 得﹣a2﹣a+30＝12， 即﹣a2﹣a＝﹣18， 则﹣2a2﹣2a＝﹣36， 所以﹣2a2﹣2a+8＝﹣28． 故选：A． 5．若，则m、n的值分别为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查多项式乘以多项式的法则，先根据多项式乘以多项式的法则计算，再根据多项式相等的条件即可求出、的值． 【详解】解：∵，， ∴， ∴，． 故选：B． 6．公园里有一个长方形花坛，原来长为，宽为，现在要把花坛四周均向外扩展，扩展后的长方形花坛的长为，宽为，则扩展后的长方形花坛的面积比扩展前的长方形花坛的面积增加（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查多项式乘多项式，单项式乘单项式的实际应用，用改变后的花坛的面积减去改变前的面积即可． 【详解】解：由题意得：改变后花坛的长，宽， ∴这个花坛的面积将增加：， 故选：A． 7．如图所示的正方形和长方形卡片各有若干张，若要拼成一个长为，宽为的长方形，则需要A类，B类，C类卡片各（　　）张 A．2，3，2 B．2，4，2 C．2，5，2 D．2，5，4 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式．熟练掌握多项式乘多项式的几何意义，是解决问题的关键． 利用长乘宽表示长方形面积，各类卡片组成此长方形，长方形面积等于各类卡片面积和，即可找出相应卡片的数量． 【详解】由图知（图形画法不唯一），长方形面积：， ∴需要A类卡片2张，B类卡片5张，C类卡片2张． 故选：C． 8．观察下列各式及其展开式： ， ， ， ， 请你猜想的展开式中含项的系数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】由材料可知，括号里的前项的指数从高到底的排列，括号里的后项的指数从低到高的排列，首位系数都是，中间数字分别为上一组数据相邻两数之和，由此即可求解． 【详解】解：根据材料可知，系数的关系如下， 二次幂时的系数：             三次幂时的系数：                   四次幂时的系数：                        五次幂时的系数：                             六次幂时的系数：                                 七次幂时的系数：                                      八次幂时的系数：                                          ∴含项的系数是， 故选：． 9．已知两个多项式A＝x2+x+1，B＝x2﹣x+1，x为实数，将A、B进行加减乘除运算： ①若A+B＝10，则x＝2； ②|A﹣B﹣2|+|A﹣B+4|＝6，则x需要满足的条件是﹣2≤x≤1； ③若A×B＝0，则关于x的方程无实数根； ④若x为正整数（x≠3），且为整数，则x＝1，2，4，5． 上面说法正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【解析】 【分析】①直接列方程求解即可； ②列绝对值方程即可直接求解； ③由A×B＝0，可得x2+2x+2＝0或x2﹣2x+2＝0，再验证这两个方程是否有实数根； ④列代数式，再化简，直接代数验证即可． 【详解】解：①∵A+B＝10， ∴x2+x+1+x2﹣x+1＝10， x2＝8， 解得：x，故①错误； ②∵|A﹣B﹣2|+|A﹣B+4|＝6， ∴|x2+x+1﹣（x2﹣x+1）﹣2|+|x2+x+1﹣（x2﹣x+1）+4|＝6， 整理得：|2x﹣2|+|2x+4|＝6， 当x＜﹣2时，2﹣2x﹣2x﹣4＝6，解得x＝﹣2（舍）， 当﹣2≤x≤1时，2﹣2x+2x+4＝6恒成立， 当x＞1时，2x﹣2+2x+4＝6，解得x＝1（舍）， 故②正确； ③∵A×B＝0， ∴（x2+x+1）（x2﹣x+1）＝0， 则x2+x+1＝0或x2﹣x+1＝0，两个方程无解， ∴关于x的方程无实数根， ∴③正确； ④∵ ＝1， 又∵为整数，x为正整数， ∴x＝1，2，4，5， 故④正确． 综上所述，正确的有②③④，共3个． 故选：C． 10．【观察】①； ②； ③； …… 【归纳】由此可得：； 【应用】请运用上面的结论，计算：（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】根据所给规律求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选：B． 11．若A＝3x﹣2，B＝1﹣2x，C＝﹣6x，则C•B+A•C＝　 　． 【答案】﹣6x2+6x 【解析】 【分析】先将A•C和C•B表达出来，最后代入求解即可． 【详解】解：∵A＝3x﹣2，B＝1﹣2x，C＝﹣6x， ∴C•B＝（﹣6x）（1﹣2x） ＝12x2﹣6x， A•C＝（3x﹣2）（﹣6x） ＝﹣18x2+12x， ∴C•B+A•C＝（12x2﹣6x）+（﹣18x2+12x） ＝12x2﹣6x﹣18x2+12x ＝﹣6x2+6x． 故答案为：﹣6x2+6x． 12．计算： （1）（﹣a3）3＝　 　； （2）（﹣a）4•（﹣a）3•a2＝　 ； （3）[（﹣a）4]4•（﹣a）3＝　 ； （4）（3a﹣1）（1﹣2a）＝　 　． 【答案】﹣a9；﹣a9；﹣a19；﹣6a2+5a﹣1． 【解析】 【分析】（1）根据幂的乘方的法则计算即可； （2）先利用幂的乘方法则计算，再利用同底数幂的乘法的法则计算即可； （3）先利用幂的乘方法则计算，再利用同底数幂的乘法的法则计算即可； （4）根据多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加计算即可． 【详解】解：（1）（﹣a3）3＝（﹣1）3a9＝﹣a9； （2）（﹣a）4•（﹣a）3•a2＝a4•（﹣a3）•a2＝﹣a9； （3）[（﹣a）4]4•（﹣a）3＝（a4）4•（﹣a3）＝a16•（﹣a3）＝﹣a19； （4）（3a﹣1）（1﹣2a） ＝3a﹣6a2﹣1+2a ＝﹣6a2+5a﹣1． 13．若且，则代数式 ． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了多项式乘以多项式和代数式的求值，先利用多项式乘以多项式法则展开，再整体代入即可． 【详解】解：∵且， ∴ 故答案为： 14．若（x－1）（x2＋ax＋2）的展开式中不含x2项，则a的值是_______ 【答案】1 【解析】 【分析】根据多项式乘多项式法则展开并合并同类项，然后根据展开式中不含x2项，可得x2项的系数等于0，即可求出a的值． 【详解】解：（x－1）（x2＋ax＋2） =x3+ax2+2x-x2-ax-2 =x3+（a-1）x2+（2-a）x-2， ∵展开式中不含x2项， ∴a-1=0， ∴a=1． 故答案为：1． 15．小明在计算时，不小心将第二个括号中的常数染黑了，小亮告诉他结果中的一次项系数为，则被染黑的常数为 ． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查多项式乘以多项式，设，根据多项式乘以多项式的运算法则将原式展开，使得一次项系数等于列方程求解即可． 【详解】解：设， 则原式， ∵结果中的一次项系数为， ∴，解得， 故答案为：5． 16．为了绿化校园，学校决定修建一块 长方形草坪，长30米，宽20米，并在草坪上修建如图所示的等宽的十字路，小路宽为x米，用代数式表示草坪的面积是　 　平方米(化成最简形式)． 【答案】 【解析】 【分析】利用平移将四块草坪化成一个矩形，求出矩形的长（30-x）米，宽(20-x）米，利用矩形的面积公式求解即可. 【详解】小路的面积=（30-x）(20-x）=600-50x+x2. 17．如图：已知长方形纸片长为，宽为，裁去一个长为，宽为的长方形，则剩余部分面积为__________________． 【答案】 【解析】 【分析】长方形纸片的面积减去长方形，即可作答． 【详解】根据题意，有： 长方形的面积：， 长方形的面积：， 则剩余部分的面积为：， 即有：． 故答案为：． 18．4个数a，b，c，d排列成，我们称之为二阶行列式．规定它的运算法则为：ad﹣bc．若13，则x＝　　． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可以将13转化为方程，从而可以求得x的值． 【详解】解：∵13， ∴（x﹣2）（x﹣2）﹣（x+3）（x+1）＝13， x2﹣4x+4﹣x2﹣4x﹣3＝13， ﹣8x＝12， 解得，x， 故答案为：． 19．我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”（如图），此图揭示了（a+b）n（n为非负整数）展开式的项数及各项系数的相关规律． 例如：（a+b）0＝1，它只有一项，系数为1； （a+b）1＝a+b，它有两项，系数分别为1，1，系数和为2； （a+b）2＝a2+2ab+b2，它有三项，系数分别为1，2，1，系数和为4； 根据以上规律，解答下列问题： （1）（a+b）5展开式的系数和是　 　；（a+b）n展开式的系数和是　 　． （2）当a＝2时，（a+b）5展开式的系数和是　 　；（a+b）n展开式的系数和是　 　． 【答案】（1）25； 2n；（2）35；3n． 【解析】 【分析】（1）经过求和计算和变形，观察发现展开式的各项系数之和为当a=1,b=1时的代数式的值，按此规律便可求解 （2）利用知识迁移，用a=2，b=1求和（a+b）5展开式的系数和（2+1）5计算即可，同样方法求（a+b）n展开式的系数和（2+1）n即可 【详解】解：（1）1=10=（1+1）0， 1，1，1+1=2=21=（1+1）1， 1，2，1，1+2+1=22=（1+1）2， 1，3，3，1，1+3+3+1=8=23=（1+1）3 1，4，6，4，1，1+4+6+4+1=16=24=（1+1）4 …… 当a=1,b=1时，(a+b)n展开式的系数和（1+1）n 展开式的系数和是25， ∴（a+b）5展开式的系数和是当a=1,b=1时（1+1）5=25； ∴（a+b）5展开式的系数和是25； 当a=1,b=1时，（a+b）n=（1+1）n=2n， （a+b）n展开式的系数和是2n， 故答案为：25； 2n； （2）当a＝2时，b=1,（a+b）5=（2+1）5=35 当a＝2时，（a+b）5展开式的系数和是35； 当a＝2时，b=1, （a+b）n=（2+1）n=3n （a+b）n展开式的系数和是3n． 故答案为：35；3n． 20．计算：（1）（x+1）（x2﹣x+1）； （2）（3x+1）（x2﹣2x+3）． 【答案】（1）x3+1（2）3x3﹣5x2+7x+3 【解析】 【分析】（1）根据多项式乘以多项式法则展开，再合并同类项即可； （2）根据多项式乘以多项式法则展开，再合并同类项即可． 【详解】解：（1）（x+1）（x2﹣x+1） ＝x3﹣x2+x+x2﹣x+1 ＝x3+1； （2）（3x+1）（x2﹣2x+3） ＝3x3﹣6x2+9x+x2﹣2x+3 ＝3x3﹣5x2+7x+3． 21．化简：． 【答案】 【解析】 【分析】先展开，后合并同类项． 【详解】 ． 22．先化简，再求值：（3x+2）（3x﹣2）﹣10x（x﹣1）+（x﹣1）2，其中x＝﹣1． 【答案】8x－3，－11 【解析】 【分析】利用整式乘法法则先计算化简，然后代入求值即可 【详解】原式=9x2-4-10x2+10x+x2+1-2x =8x-3 当x=-1时，原式＝-8-3=-11. 23．甲、乙两人共同计算一道整式乘法题：（2x+a）（3x+b）．甲由于把第一个多项式中的“+a”看成了“﹣a”，得到的结果为6x2+11x﹣10；乙由于漏抄了第二个多项式中x的系数，得到的结果为2x2﹣9x+10． （1）求正确的a、b的值． （2）计算这道乘法题的正确结果． 【答案】（1）（2）6x2﹣19x+10 【解析】 【分析】（1）按乙错误的说法得出的系数的数值求出a，b的值； （2）把a，b的值代入原式求出整式乘法的正确结果． 【详解】解：（1）（2x﹣a）（3x+b） ＝6x2+2bx﹣3ax﹣ab ＝6x2+（2b﹣3a）x﹣ab ＝6x2+11x﹣10． （2x+a）（x+b） ＝2x2+2bx+ax+ab ＝2x2+（2b+a）x+ab ＝2x2﹣9x+10． ∴， ∴； （2）（2x﹣5）（3x﹣2） ＝6x2﹣4x﹣15x+10 ＝6x2﹣19x+10． 24．（1）某学校准备在一块长为米，宽为米的长方形空地上修建一块长为米，宽为米的长方形草地，四周铺设地砖（阴影部分），求铺设地砖的面积（用含a，b的式子表示，结果化为最简）． （2）已知，．求的值． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】(1)首先根据题意和图形即可列出代数式，再进行整式的混合运算，即可求解； (2)首先由，可得，再把变形，代入数值，即可求得结果． 【详解】解：(1)根据题意得： = 所以，铺设地砖的面积为：； （2），， ， ， ； ． 25．对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，例如图1可以得到，请解答下列问题： （1）写出图2中所表示的数学等式 ． （2）利用（1）中得到的结论，解决下面的问题：若，求的值． （3）小明同学用图中张边长为的正方形，张边长为的正方形张边长分别为的长方形纸片拼出一个面积为长方形，求的值． 【答案】（1）；（2）14；（3）121 【解析】 【分析】（1）根据图形，利用面积的不同计算方法可以写出相应的等式； （2）根据（1）中的结果和，可以求得所求式子的值； （3）将展开，即可得到x、y、z的值，本题得以解决． 【详解】解：（1）由图可得，图2中所表示的数学等式是：， 故答案为：； （2）∵， ∴， ∴； （3）由题可知，所拼图形的面积为：， ∵＝， ∴， ∴． 26．（1）探究发现： 小明计算下面几个题目 ①；②；③；④ 后发现，形如的两个多项式相乘，计算结果具有一定的规律，请你帮助小明完善发现的规律： （2）面积说明： 上面规律是否正确呢？小明利用多项式乘法法则计算，发现这个规律是正确的．小明记得学习乘法公式时，除利用多项式乘法法则可以证明公式外，还可以利用图形面积说明乘法公式，于是画出右面图形说明他发现的规律，请你帮助小明补全图中括号的代数式． （3）逆用规律： 学过因式分解后，小明知道了因式分解与整式乘法是逆变形，他就逆用发现的规律对下面的多项式进行了因式分解，请你用小明发现的规律分解下面因式：. 【答案】（1）x，，pq；（2）如图见解析；（3） 【解析】 【分析】（1）利用多项式乘以多项式的法则相乘即可得到结论 （2）通过总结（1）的计算结果：在结合图形的面积，即可已得到答案． （3）观察运算结果发现，一次项系数是两个因式中常数项的和，常数项是两个因式中常数项的积，即可得到答案． 【详解】（1）， ， ， ， 总结规律为： （2）根据（1）中总结的规律： 结合图形的面积可知：为长方形的面积， 则为长方形的宽，为长方形的长， 所以答案如图： （3）按照小明发现的规律： 27．在前面的学习中，我们通过对同一面积的不同表达和比较，利用图①和图②发现并验证了平方差公式和完全平方公式，不仅更清晰地“看到”公式的结构，同时感受到这样的抽象代数运算也有直观的背景．这种利用面积关系解决问题的方法，使抽象的数量关系因几何直观而形象化． 　　　　　　 请你利用上述方法解决下列问题： （1）请写出图（1）、图（2）、图（3）所表示的代数恒等式； 　　　 　　　 （2）试画出一个几何图形，使它的面积能表示（x+y）（x+3y）＝x2+4xy+3y2； （拓展应用） 提出问题：47×43，56×54，79×71，……是一些十位数字相同，且个位数字之和是10的两个两位数相乘的算式，是否可以找到一种速算方法？ 几何建模： 用矩形的面积表示两个正数的乘积，以47×43为例： （1）画长为47，宽为43的矩形，如图③，将这个47×43的矩形从右边切下长40，宽3的一条，拼接到原矩形的上面． （2）分析：几何建模步骤原矩形面积可以有两种不同的表达方式，47×43的矩形面积或（40+7+3）×40的矩形与右上角3×7的矩形面积之和，即47×43＝（40+10）×40+3×7＝5×4×100+3×7＝2021，用文字表述47×43的速算方法是：十位数字4加1的和与4相乘，再乘以100，加上个位数字3与7的积，构成运算结果． 请你参照上述几何建模步骤，计算57×53．要求画出示意图，写出几何建模步骤（标注有关线段） 归纳提炼： 两个十位数字相同，并且个位数字之和是10的两位数相乘的速算方法是（用文字表述）：　 ． 【答案】（1）图（1）：（x+y）•2x＝2x2+2xy，图（2）：（x+y）（2x+y）＝2x2+3xy+y2，图（3）：（x+2y）（2x+y）＝2x2+5xy+2y2；（2）作图见解析；拓展应用：作图见解析，几何建模步骤见解析；归纳提炼：十位数字加1的和与十位数字相乘，再乘以100，加上两个个位数字的积，构成运算结果 【解析】 【分析】（1）结合题意，根据长方形和正方形面积、代数式的性质分析，即可得到答案； （2）结合题意，根据长方形和正方形面积、代数式的性质分析，即可得到答案； 拓展应用：根据题意，根据图形和数字规律的性质分析，即可得到答案； 归纳提炼：根据拓展运用的结论，根据数字规律的性质分析，即可得到答案． 【详解】（1）根据题意，图（1）所表示的代数恒等式：（x+y）•2x＝2x2+2xy， 图（2）所表示的代数恒等式：（x+y）（2x+y）＝2x2+3xy+y2 图（3）所表示的代数恒等式：（x+2y）（2x+y）＝2x2+5xy+2y2； （2）根据题意，几何图形如图所示： ； 拓展应用： 示意图如下： 用文字表述57×53的速算方法是：十位数字5加1的和与5相乘，再乘以100，加上个位数字3与7的积，构成运算结果，即57×53＝（50+10）×50+3×7＝6×5×100+3×7＝3021； 归纳提炼： 十位数字加1的和与十位数字相乘，再乘以100，加上两个个位数字的积，构成运算结果； 故答案为：十位数字加1的和与十位数字相乘，再乘以100，加上两个个位数字的积，构成运算结果． 1．（2022·贵州六盘水·中考真题）已知，则的值是（    ） A．4 B．8 C．16 D．12 【答案】C 【解析】 【详解】解：观察所求式子与已知等式的关系，令， 则， 故选：C． 2．（2024•济宁·中考真题）先化简，再求值： ，其中，． 【答案】 【解析】 【分析】先将原式利用多项式乘以多项式，以及平方差公式化简，去括号合并同类项得到最简结果，再把x与y的值代入计算即可求出结果． 此题考查了整式的混合运算及化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【详解】解： ， 当，时， 原式． 学科网（北京）股份有限公司 $$