广西壮族自治区玉林市2024-2025学年高三下学期4月份适应性测试数学试题

广西2025届高中毕业班4月份适应性测试 数学答案 第 1 页 共 7 页 广西 2025 届高中毕业班 4 月份适应性测试 数学答案 一、选择题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的．） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B C A D B C C D 1．【答案】B 2．【答案】C 设� = � + ��，则� = � − ��，∵ � + 2� = 9 + �，∴ � + �� + 2(� − ��) = 9 + �，即 3� − �� = 6 + �， ∴ 3� = 9−� = 1，解得� = 3，� =− 1，∴ � = 3 − �．故选：C． 3．【答案】A 因�� + �� = 2�3，所以� + � =6，且 x，y为正整数，则 1 �+ 4 � = 1 � + 4 � � + � × 1 6 = 1 6 5 + � � + 4� � ⩾ 1 6 5 + 2 � � · 4� � = 3 2，当且仅当 � � = 4� �，即� = 2� = 4时，等号成立，故选 A． 4．【答案】D 由 � = (1, − 2)，� = (2, �)，� ⊥ � ，得 1×2+（－2）×t＝0，解得� = 1 .所以 � = (2,1)，� + � = 3, − 1 ，所以 � + � ⋅ � = 3 × 2 + ( − 1) × 1 = 5 ， � = 5，所以 � + � 在 � 上的投影向 量为 |� + � |cos� ⋅ � |� | = (� +� )⋅� |� |2 ⋅ � = (2,1)，故选：D． 5．【答案】B 因为 1213log 2 3log 3 1ee 223 1ln3ln   cba ，， 所以只须比较 3 41 a ， 3log1 2b ， 21 c 的大小关系即可 由 9 16 3 4 2       ＜2 3 4  ＜ 2 ，有 1a ＜ 1c ；由 33 ＞ 42 32 3log ＞ 3log42log 2 4 2  ＞ 3 4 ， 有 1b ＞ 1a ； 又 23 ＞ 32 22 3log ＞ 3log32log 2 3 2  ＞ 2 3 ，而 4 9 2 3 2       ＞2，∴ 3log2 ＞ 2 3 ＞ 2 ， 即有 1b ＞ 1c ． 所以 1a ＜ 1c ＜ 1b ，即 a＜ c＜ b，故选 B． 6．【答案】C 按短跑场地安排人数分类：第 1 类，短跑场地安排 1 人，共�31�32�11�22 = 18种安排，第 2 类， 广西2025届高中毕业班4月份适应性测试 数学答案 第 2 页 共 7 页 短跑场地安排 2 人，共�32�22 = 6 种安排，由分类加法计数原理得 18+6=24 种．故选 C． 7．【答案】C 解：抛物线 21 : 2 ( 0)C x py p  的焦点为 (0, )2 pF ，双曲线 2 2 2 2 2: 1( 0, 0) y xC a b a b     经过 F ，可 得 2p a ， 已知△ AOB为等腰直角三角形，其中O为坐标原点，则可设 ( , )B m m ， B点代入抛物线方程， 可得 2m p ，所以 (2 ,2 )B p p 代入双曲线方程，可得 2 2 2 2 4 4 1p p a b   ，将 ap 2 代入化简可得 2 2 15 16 a b  ， 15 4 a b  ，所以双曲线的渐近线方程为： 15 4 y x  ． 故选：C． 8．【答案】D 设�1� ∩平面�1��1 = �，因为�1� = ��1 = �1�1 = 2 3， �1�1 = ��1 = �1�1，所以，三棱锥�1 − �1��1为正三棱锥， 因为�1� ⊥平面�1��1，则�为正△ �1��1的中心， 则�� = 2，所以，�1� = ��12 − ��2 = 2， ∵ �1� = 3 2，∴ �� = �1� − �1� = 2 2， ∵ �1� ⊥平面�1��1，�� ⊂平面�1��1，∴ �� ⊥ �1�， 即�1� ⊥ ��，�� ⊥ ��，因为�� + ��1 = 2 + 10，即 ��2 + 8 + ��2 + 2 = 2 + 10， ∵ �� > 0，解得�� = 2，故点�的轨迹是半径为 2的圆， 故点�的轨迹长度是 2 2 .故选 D． 二、多项选择题（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．） 题号 9 10 11 答案 BC ABD ACD 9．【答案】BC 根据题意得车厘子每日促销量从小到大排列得到数据为：80,83,138,155,157,165,179, 214,214,221,243,260,263,275．对于 A，每日促销量的盒数低于 200 的天数为 7，所占比例等于 50%，故 A 错误；对于 B，则每日促销量的众数是 214，故 B 正确；对于 C，每日促销量的极 差是 275-80=195，故 C 正确；对于 D，因为 14×0.3=4.2，所以每日促销量的第 30 百分位数为 第 5 个数据，即 157，故 D 错误．故选：BC． 10．【答案】ABD 选项 A，易知曲线 C 的轨迹为圆: (� − 1)2 + (� − 1)2 = 1，圆心坐标为�(1,1)，半径为� = 1， 直线� = 12 �，设 AB 中点为 M，则圆心�到直线的距离为� = �� = 5 5 ，则|��| = 2|��| = 2 �2 − �2 = 2 1 − 15 = 4 5 5，故 A正确； 对于选项 B，线段��中点�满足�� ⊥ ��，�的轨迹是以��为直径的圆(圆�内部部分)，所以 广西2025届高中毕业班4月份适应性测试 数学答案 第 3 页 共 7 页 轨迹长为1 2 ⋅ 2� ⋅ 2 2 = 2 2 �，故 B 正确； 选项 C，�� ⋅ �� = |��||��|cos∠��� = cos∠���，因为点�，�不重合，所以 cos∠��� < 1， 故 C不正确； 对于选项 D，|��||��| = (|��| + |��|)(|��| − |��|) = |��|2 − |��|2 = |��|2 − �2 − (�2 − �2) = |��|2 − �2 = 1，故 D 正确；故选：ABD. 11．【答案】ACD 因 2 1 2( ) 2n n n n na a a a a    可得 2 1 1 22n n n n n na a a a a a     ，两边同时除以为 2 1n n na a a  ，可 得 2 1 1 1 2 n n na a a    ，所以数列 1{ } na 为等差数列，A正确;设等差数列 1{ } na 的公差为�，显然� ≠ 0， 又因为�1 = 1，所以 1 �� = 1 + (� − 1)�，则�� = 1 1+(�−1)�，所以����+1 = 1 [1+(�−1)�](1+��) = 1 � [ 1 1+(�−1)� − 1 1+�� ]，所以�� = �1�2 + �2�3 + . . . + ����+1 = 1 � (1 − 1 1+�� )，则�8 = 1 � (1 − 1 1+8� ) = 8 9 ，所以� = 1，所以�� = 1 �， �� = � �+1，所以�2025 = 1 2025，B错误;由�� = � �+1 = 1 − 1 �+1 < 1，C正确;令� � = � − ln � + 1 � > 0 ，�' � = 1 − 1�+1 = � �+1 > 0，所以函数�(�)单调递增， 所以� � > � 0 = 0，即� > ln(� + 1)(� > 0)，所以 60 60 60 1 1 1 1 1 1ln(1 ) ln i i i i i i i         ，又因为 60 4 1 1 2 3 4 61ln ln ln ln ln ln 61 ln 4 1 2 3 60i i e i          L ，所以 60 1 4i i a   ，D 正确.故选 ACD． 三、填空题（本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．） 12. 3 3  13. 3 8   14. 3ln 2 4  12．【答案】 3 3  由题知该圆锥地面半径为 1，高为 3 ，故体积为 21 31 3 = 3 3 V     . 13．【答案】 3 8   函数 ( ) sin 2 cos 2 2 sin(2 ) 4 f x x x x     ， 由题意知 ( ) 2 sin(2 2 ) 4 f x x      为偶函数， 故 ( )f x  图像关于 y 轴对称，所以 2 , 4 2 k k Z      ， 即 , 8 2 k k Z     ，当 1k   时， 的最大负值是 3 8   ． 14．【答案】 3ln 2 4  由题知 21 2 1( ) 2 x axf x x a x x       ，故 1 2,x x 为方程 22 1 0x ax   的两个根，所以 1 2 2 ax x  ， 广西2025届高中毕业班4月份适应性测试 数学答案 第 4 页 共 7 页 1 2 1 2 x x  ，所以 2 1 1 2 x x  ，则 1 2 1 1 12( ) 2a x x x x     ， 所以 2 2 1 2 1 1 1 2 2 2( ) ( ) ln lnf x f x x x ax x x ax       2 1 1 2 1 12 ln ln 2 (0 1) 4 x x x x       ， 设 2 2 1( ) 2 ln ln 2 (0 1) 4 F x x x x x       ，则 <0， ( )F x 在（0,1]上单调递减，故 3( ) (1) ln 2 4 F x F   ，所以 1 2( ) ( )f x f x 的最小值是 3ln 2 4  . 四、解答题（本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（13 分）【答案】（1）（7 分） 3 C  ；（2）（6 分） 2 6c  ． 解：（1）由�cos� − �cos� = � − �， 则 sin�cos� − sin�cos� = sin� − sin�，sin�cos� − sin�cos� = sin� − sin(� + �)， ����cos� − sin�cos� = sin� − sin�cos� − cos�sin�，2sin�cos� = sin�， 在△ ���中，sin� > 0，则 cos� = 12，� ∈ (0, �)，所以� = � 3． 解：（2） 3 sin 2 1 abS ABC  ，则 4ab ， cos �3 = �2+�2−�2 2�� = (�+�)2−2��−�2 2�� = 28−�2 8 ，即可得28−� 2 8 = 1 2 ，则� = 2 6． 16．（15 分）【答案】（1）（6 分）见解析；（2）（9 分） 5 5 ． 解：（1）连接��交��于点�，连接��，因为四边形����是正方形，所以�是��中点，又�为线 段��的中点，所以��//��，又�� ⊂平面���，�� ⊄平面���，所以直线��//平面���． （2）因为底面����是边长为 2的正方形，所以�� ⊥ ��，又�� ⊥ ��，�� ∩ �� = �，��、 �� ⊂平面���，所以�� ⊥平面���，在平面���内作�� ⊥ ��，分别以��，��，��为�，�， �轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系� − ���，又底面����为边长为 2 的正方形，�� = 3��，则�� = 2 3，又 150P A D  ，得�(0,0,0)，�(0,2 3, 0)，�(1, − 3, 0)，�(1, − 3, 2)， �( 12 , 3 2 , 0)，�� = (1, − 3, 2)，�� = (0,2 3, 0)，�� = ( 12 , 3 2 , 0)，设平面���的一个法向量 为� = (�, �, �)，则 � ⋅ �� = 0 � ⋅ �� = 0 即 � − 3� + 2� = 0, 2 3� = 0, 取� =− 1，得� = (2,0, − 1)，设直线��与 平面���所成角为�，则 sin� = |cos < �� ，� > | = |�� ⋅� | |�� ||� | = 1 5 = 55 ，即直线��与平面��� 2 3F ( ) 2 xx x    （2 -1） 广西2025届高中毕业班4月份适应性测试 数学答案 第 5 页 共 7 页 所成角正弦值为 5 5 ． 17．（15 分）【答案】（1）（6 分）0 x a  ．即 ( )f x 在 (0, )a 上单调递增，在 ( , )a  上单调递减； （2）（9 分）实数 a的取值范围为[ 3, )  ． 解：（1）定义域为 (0, ) ， ( ) 1 a a xf x x x     ．当 0a 时，由 ( ) 0f x  ，解得：x a ，由 ( ) 0f x  ， 解得：0 x a  ．即 ( )f x 在 (0, )a 上单调递增，在 ( , )a  上单调递减． （2）由题知 2 11 2 1 2 1 2 1 [ ( ) ) 4 1 1( ] x xf x f x x x x x      ，故 1 2 1 2 4 4( ) ( )f x f x x x    ，移项整理可得：    1 2 1 2 4 4f x f x x x    ．令 4( ) ( )g x f x x   ，则可知函数 ( )g x 在 (0,1]上单调递增． 所以 2 2 4 4( ) ( ) 1 0ag x f x x x x        在 (0,1]上恒成立．即 4a x x   在 (0,1]上恒成立， 只需 max 4( )a x x   ，设 4y x x   ， 2 41 0y x     ， 4y x x   在 (0,1]单调递增． 所以 max 4( ) 1 4 3a x x       ．综上所述，实数 a的取值范围为 [ 3, )  ． 18．（17 分）【答案】（1）（4 分）方程为�2 + 2�2 = 2； （2）①（7 分）见解析；②（6 分） ) 4 6,0( ． 解：（1）设�(�, �)，由题|� − 2| = 2 (� − 1)2 + �2， 得�2 − 4� + 4 = 2�2 + 2�2 − 4� + 2， 整理得点�的轨迹曲线 E的方程为：�2 + 2�2 = 2． （2）设直线��的方程为� = �� + 2，则直线��的方程为� = �� + 1． 联立 �2 + 2�2 = 2, � = �� + 2, 得(� 2 + 2)�2 + 4�� + 2 = 0， 由� = (4�)2 − 4(�2 + 2) × 2 > 0，得�2 > 2． 设�(�1, �1)，�(�2, �2)，则 �1 + �2 = −4� �2+2 �1�2 = 2 �2+2 ． 联立 �2 + 2�2 = 2, � = �� + 1, 得 � 2 + 2 �2 + 2�� − 1 = 0，显然� = 8�2 + 8 > 0， 设�(�3, �3)，�(�4, �4)，则 �3 + �4 = −2� �2+2 �3�4 =− 1 �2+2 ． ①证明：因为��//��，所以|��||��||��||��| = 1+�2|�1|⋅ 1+�2|�2| 1+�2|�3|⋅ 1+�2|�4| = |�1�2||�3�4| = | 2 �2+2 − 1 �2+2 | =2，是定值. ②因为△ ���的面积� = �△�F� + �△��� = 1 2 |��| ⋅ |�3 − �4| = 1 2 |�3 − �4|， 广西2025届高中毕业班4月份适应性测试 数学答案 第 6 页 共 7 页 且|�3 − �4| = (�3 + �4)2 − 4�3�4 = ( −2� �2+2 ) 2 − 4 × −1�2+2 = 2 2 × �2+1 �2+2 ， 所以� = 12 |�3 − �4| = 2× �2+1 �2+2 ，�2 > 2． 设� = �2 + 1 > 3，则� = 2� �2+1 = 2 �+1� ． 因为函数�(�) = � + 1�在( 3, + ∞)上单调递增， 所以 4 3 6( ) 3 4 Sf t   （ ，+ ）， （0， ），故4 3 6( ) 3 4 Sf t   （ ，+ ）， （0， ） 19．【答案】（1）（3 分）相关系数为 0.75； （2）（14 分）① �(� = �) = 0.05 × 0. 95�−1; ② �(�) = 20． 解：（1）由题目所给条件带入公式，易得系数 75.0 40025 75 )()( ))(( 20 1 2 20 1 2 20 1           i i i i i ii yyxx yyxx r ； 解：（2）①依题意，�(� = 1) = �(� = � + 1|� > �) = 0.05， 又�(� = � + 1|� > �) = �(�=�+1)�(�>�) ，则�(� = � + 1) = 0.05�(� > �)， 当� ≥ 2时，把�换成� − 1，则�(� = �) = 0.05�(� > � − 1)， 两式相减，得�(� = �) − �(� = � + 1) = 0.05�(� = �)， 解 ：即 �(�=�+1) �(�=�) = 0.95(� ≥ 2)，�(� = 2) = 0.05�(� > 1) = 0.05 × (1 − �(� = 1)) = 0.95�(� = 1)， 解：于是 �(�=�+1) �(�=�) = 0.95对任意� ∈ � ∗都成立，从而{�(� = �)}是首项为 0.05， 解：公比为 0.95 的等比数列，所以�(� = �) = 0.05 × 0. 95�−1; ②由定义知，�(�) = �(� = 1) + 2�(� = 2) + 3�(� = 3) + ⋯ + ��(� = �) + ⋯， 而      k i i k i iiXiP 1 1 1 95.005.0)( ， 显然 1210 1 1 95.095.0)1(95.0295.0195.0     kk k i i kki ， 于是 kk k i i kki 95.095.0)1(95.0295.0195.095.0 12 1 1     ， 两式相减得     kk k i i ki 95.095.095.095.0195.005.0 121 1 1 广西2025届高中毕业班4月份适应性测试 数学答案 第 7 页 共 7 页 kk k kk 95.0)20(2095.0 95.01 )95.01(1    ， 因此 kk k i i k i kiiXiP 95.02095.02095.005.0)( 1 1 1      ，当 k足够大时， 095.0  kk ， 095.020  k ， 则   k i iXiP 1 20)( ，可认为 20)( XE ，所以白头叶猴寿命期望 )(XE 的值是 20． null 广西2025届高中毕业班4月份适应性测试 数学参考答案及评分细则 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的．） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B C A D B C C D 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 题号 9 10 11 答案 BC ABD ACD 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 13. 14. 说明：按照答案评分。 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（13分） 解：（1）（7分）由， 则，……………………1分（1分）（边化角或正弦定理） ，……………………1分（2分）（转化A=B+C） ，………1分（3分）（两角和公式展开） ，……………………………………………………1分（4分）（化简） 在中，，则，， 所以．……………………………………………………3分（7分）（结果错误扣1分） 解： （2）（6分），…………………………1分（1分）（三角形面积公式） 则，…………………………………………………1分（2分）（正确结果） ，……2分（4分）（余弦定理、化简正确各1分） 即可得，则．…………………2分（6分）（关于c的等式和正确结果个1分） 16．（15分） 解：（1）（6分）连接交于点，连接，…………………2分（2分）（做两条辅组线） 因为四边形是正方形，所以是中点，又为线段的中点， 所以，…………………2分（4分）（两条直线平行） 又平面，平面， 所以直线平面．…………2分（6分）（下结论，若不完整扣1分） （2）（9分） 因为底面是边长为的正方形，所以，………………1分（1分）（指出） 又，，、平面， 所以平面，…………………1分（2分）（指出平面） 在平面内作，分别以，，为，，轴的正方向 建立如图所示的空间直角坐标系，…………………1分（3分）（正确建系） 又底面为边长为2的正方形，，则，又， 得，，，，， ，，………………1分（4分）（写出至少1个正确非零向量） ，…………………………………………1分（5分）（正确的坐标才得1分） 设平面的一个法向量为，则即 …………………………………………………1分（6分）（法向量运算公式或计算方程得1分） 取，得，…………………………………1分（7分）（正确法向量得1分） 设直线与平面所成角为，则，， 即直线与平面所成角正弦值为． …………………………………………2分（9分）（线面角公式和正确结果各得1分） 17．（15分） 解：（1）（6分） 定义域为，．……………2分（2分）（定义域、求导正确各得1分） 当时， 由，解得：， 由，解得：． 即在上单调递增，在上单调递减． ……………………………4分（6分）（分别正确说明增区间和减区间，分别得2分） （2）（9分）由题知， 故，移项整理可得：． …………………………………………2分（2分）（分式化简，能正确整理表达式，2分） 令，则可知函数在上单调递增． ……………………………………2分（4分）（构造新函数、说明新函数单调性，各1分） 所以在上恒成立． 即在上恒成立， …………………2分（6分）（由，正确分离参数，2分） 只需，设，， 在单调递增．则ymax=1-4=-3. …………………2分（8分）（正确说出的单调性、的最大值，各1分） 所以．综上所述，实数的取值范围为． ……………………………………………………1分（9分）（正确说出的范围，1分） 18．（17分） 解：（1）（4分） 设， 由题得，……………1分（1分）（正确列出方程，1分） 得，………1分（2分）（去掉绝对值和根号，1分） 整理得点的轨迹曲线的方程为：．……2分（4分）（正确方程，2分） （2）设直线的方程为，则直线的方程为． ……………………………………………………1分（1分）（正确设其中一个直线方程，1分） 联立得， ………………………………………………1分（2分）（联立方程消其中一个未知数，1分） 由，得．…………1分（3分）（m2正确范围，1分） 设，，则． 联立 得，显然， 设，，则． ………………2分（5分）（只要写韦达定理给1分；正确写其中之一结果给1分） ①证明：因为，所以有： 2，是定值. ……………………………2分（7分）（对求解式子代入计算，2分） 说明：设直线方程、联立方程组、参数m的范围、韦达定理在（1）的第①小题给分， 第②小题这几个点不重复给分。 ②因为的面积， ………………………………………1分（1分）（三角形面积公式或分割方法列式子，1分） 且， 所以，． …………………………………………2分（3分）（三角形面积用含m的式子表示，2分） 设， …………………………1分（4分）（t或m2+1或的范围，1分，注意不是m2的范围） 则． 因为函数在上单调递增， ……………………………………1分（5分）（正确说出或面积表达式的单调性，1分） 所以， 故………………………1分（6分）（正确写出面积的范围，1分） 19．（17分） 解：（1）（3分）由题目所给条件带入公式，易得系数； 解：……………………………………………3分（代入数据1分，正确结果2分） （2）①（7分） 依题意，， 又，则，………………2分 当时，把换成，则，………………1分（3分） 两式相减，得， 解 ：即，………………1分（4分） ，…………1分（5分） 解：于是对任意都成立，从而是首项为0.05， 解：公比为0.95的等比数列，所以………………2分（7分） ②（7分） 由定义知，，………1分 而， 显然，………………1分（2分） 于是，………………1分（3分） 两式相减得 ，………………3分（6分，三个等号各1分） 因此，当足够大时， ，， 则，可认为，所以白头叶猴寿命期望的值是20．…1分（7分） 广西2025届高中毕业班4月份适应性测试　数学答案　第 1 页　共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 $$