5.2.2 复数的乘法与除法 5.2.3 复数乘法几何意义初探-【金版教程】2024-2025学年高中数学必修第二册创新导学案word（北师大版2019）

2.2　复数的乘法与除法 *2.3　复数乘法几何意义初探 (教师独具内容) 课程标准：1.掌握复数的乘、除运算.2.了解复数乘法的几何意义． 教学重点：复数的乘、除运算． 教学难点：复数的乘除运算与i的乘方的周期性． 知识点一　复数的乘法 1．对任意两个复数a＋bi和c＋di(a，b，c，d∈R)，类比多项式乘法，并利用i2＝－1，有(a＋bi)(c＋di)＝ac＋adi＋bci＋bdi2＝ac＋adi＋bci－bd＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i.因此，定义复数的乘法如下： (a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i． 2．复数乘法的运算律 (1)复数的乘法满足交换律、结合律及乘法对加法的分配律，即对任意z1，z2，z3∈C，有 ①结合律：(z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3)； ②交换律：z1·z2＝z2·z1； ③乘法对加法的分配律：z1·(z2＋z3)＝z1·z2＋z1·z3． (2)实数范围内正整数指数幂的运算性质在复数范围内仍然成立，即对复数z，z1，z2和正整数m，n，有 ①zm·zn＝zm＋n； ②(zm)n＝zmn； ③(z1·z2)n＝z·z． 3．i的周期性 一般地，对任意自然数n，有 i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i． 4．互为共轭复数的两个复数的乘积是实数，等于这个复数(或其共轭复数)模的平方．即若z＝a＋bi(a，b∈R)，则z·＝|z|2＝||2＝a2＋b2． 知识点二　复数的除法 对任意的复数z1＝a＋bi(a，b∈R)和非零复数z2＝c＋di(c，d∈R)，规定复数的除法： ＝z1·，即除以一个复数，等于乘这个复数的倒数．在进行复数除法运算时，实际上是将分母“实数化”．因此＝＝＝－i. 知识点三　复数乘法的几何意义 设复数z1＝a＋bi(a，b∈R)所对应的向量为. 若z2＝(a＋bi)·c(c>0)所对应的向量为，则是与c的数乘，即是将沿原方向伸长(c>1)或压缩(0<c<1)c倍得到的． z3＝(a＋bi)·i所对应的向量为，则是将逆时针旋转得到的． 1．几个常用结论：(1±i)2＝±2i，＝－i，＝i，＝－i. 2．复数乘法的实质是向量的旋转和伸缩． 3．z＝z1·in，z，z1对应的向量分别为，，则是将逆时针旋转得到的． 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若复数z1＝1＋2i，z2＝3－i，则复数z1z2的虚部为5.(　　) (2)若z1，z2∈C，且z＋z＝0，则z1＝z2＝0.(　　) (3)两个共轭复数的积为实数．(　　) (4)把z＝2－i对应的向量，按顺时针方向旋转，所得向量对应的复数为－1－2i.(　　) 答案：(1)√　(2)×　(3)√　(4)√ 2．做一做 (1)复数＝________． (2)复平面内，复数z＝(i为虚数单位)的共轭复数对应的点位于第________象限． (3)复数2－的共轭复数是________． 答案：(1)－i　(2)四　(3)2－i 题型一　复数的乘法、除法运算 　(1)已知复数z满足(3＋4i)z＝25，则z＝(　　) A．3－4i B．3＋4i C．－3－4i D．－3＋4i [解析]　(3＋4i)z＝25⇒z＝＝＝3－4i，选A. [答案]　A (2)已知a，b∈R，i是虚数单位．若(a＋i)·(1＋i)＝bi，则a＋bi＝________． [解析]　(a＋i)(1＋i)＝a＋ai＋i＋i2＝(a－1)＋(a＋1)i.由已知(a＋i)(1＋i)＝bi，得解得a＝1，b＝2，所以a＋bi＝1＋2i. [答案]　1＋2i 【感悟提升】　复数乘除运算法则的理解 复数的乘法可以把i看作字母，按多项式乘法的法则进行，注意要把i2化为－1，进行最后结果的化简．复数的除法先写成分式的形式，再把分母实数化(方法是分母与分子同时乘以分母的共轭复数，若分母是纯虚数，则只需同时乘以i)． 【跟踪训练】 1．计算：(1)(－2＋3i)÷(1＋2i)； (2)(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i. 解：(1)原式＝＝ ＝＝＋i. (2)原式＝(3＋11i)(3－4i)＋2i＝53＋21i＋2i＝53＋23i. 题型二　复数in的周期性运算 　计算：(1)(4－i5)(6＋2i7)＋(7＋i11)·(4－3i)； (2)1＋i＋i2＋i3＋…＋i2024. [解]　(1)(4－i5)(6＋2i7)＋(7＋i11)(4－3i) ＝2(4－i)(3－i)＋(7－i)(4－3i) ＝2(12－3i－4i＋i2)＋(28－4i－21i＋3i2) ＝(24＋2i2＋28＋3i2)＋(－14i－4i－21i) ＝47－39i. (2)∵in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0，i4n＝1，n∈N， ∴1＋i＋i2＋i3＋…＋i2024＝1＋i＋i2＋i3＋(i4＋i5＋i6＋i7)＋(i8＋i9＋i10＋i11)＋…＋(i2020＋i2021＋i2022＋i2023)＋i2024＝(i4)506＝1. 【感悟提升】　in(n∈N)的性质 (1)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N)． (2)i－n＝(n∈N＋)． (3)i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0(n∈N)． 【跟踪训练】 2．(1)当z＝－时，z100＋z50＋1的值为(　　) A．1 B．－1 C．i D．－i 答案：D 解析：∵z2＝(－)2＝＝－i，∴z100＋z50＋1＝(－i)50＋(－i)25＋1＝[(－i)2]25＋(－i)＋1＝－1－i＋1＝－i. (2)计算＋的值为________． 答案：－1＋i 解析：原式＝＋＝i6＋＝－1＋i. 题型三　在复数范围内解一元二次方程 　在复数范围内解下列方程： (1)2x2＋6＝0； (2)x2＋x＋4＝0. [解]　(1)由2x2＋6＝0，得x2＝－3.因为(i)2＝(－i)2＝－3，所以方程2x2＋6＝0的根为x＝±i. (2)配方，得＝－， 因为＝＝－， 所以x＋＝±i， 所以原方程的根为x＝－±i. 【感悟提升】　实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a，b，c∈R，a≠0)在复数范围内定有两个根： (1)Δ>0，方程有两个不相等的实数根x1＝－＋，x2＝－－. (2)Δ＝0，方程有两个相等的实数根x1＝x2＝－. (3)Δ<0，方程有一对共轭虚根x1＝－＋i，x2＝－－i. 【跟踪训练】 3．在复数范围内解方程2x2＋4x＋15＝0. 解：配方，得(x＋1)2＝－， 因为＝＝－， 所以x＋1＝±i， 所以原方程的根为x＝－1±i. 题型四　复数乘法几何意义 　在复平面内，复数z1＝2＋i，z2＝z1·(－2i)，z3＝z1·(2i)2，它们对应的向量分别为，，，如何直观地理解与，与之间的位置关系呢？ [解]　根据复数的乘法运算法则，有 z2＝z1·(－2i)＝(2＋i)·(－2i)＝2×(－2i)＋i×(－2i)＝2－4i.z3＝z1·(2i)2＝(2＋i)·(2i)2＝2×(2i)2＋i×(2i)2＝－8－4i. 在复平面内标出复数z1，z2，z3分别对应的点Z1，Z2，Z3；然后分别过点Z1，Z2，Z3作垂直于x轴的线段，交点分别为点Z1′，Z2′，Z3′，再分别过点Z1，Z2，Z3作垂直于y轴的线段，交点分别为点Z1″，Z2″，Z3″，如图所示． 易知，z1＝2＋i中的2对应的向量为，i对应的向量为，所以＝＋. z2＝2－4i＝2×(－2i)＋i×(－2i)中的2对应的向量为，是由i对应的向量顺时针旋转，再沿其方向伸长2倍得到的；－4i对应的向量为，是由2对应的向量顺时针旋转，再沿其方向伸长2倍得到的． z3＝－8－4i＝2×(2i)2＋i×(2i)2中的－8对应的向量为，是由2对应的向量逆时针旋转π，再沿其方向伸长4倍得到的；－4i对应的向量为，是由i对应的向量逆时针旋转π，再沿其方向伸长4倍得到的． 因此，＝＋是由＋顺时针旋转，再沿其方向伸长2倍得到的，即是由顺时针旋转，再沿其方向伸长2倍得到的． ＝＋是由＋沿其方向伸长4倍，再逆时针旋转π得到的，即是由沿其方向伸长4倍，再逆时针旋转π得到的． 【感悟提升】　复数乘法运算的几何意义是数形结合的结合点之一．利用复数的几何意义解题是数形结合思想的重要体现． 【跟踪训练】 4．正方形ABCD的中心在坐标原点，点A对应的复数为zA＝2＋i，求点B，C，D对应的复数． 解：由题意，得点A的坐标为(2，1)． 设点C的坐标为(xC，yC)． ∵坐标原点O为正方形ABCD的中心， ∴解得 ∴点C(－2，－1)对应的复数为zC＝－2－i. ∵坐标原点O为正方形ABCD的中心， ∴OA⊥OB，OA⊥OD，OA＝OB＝OD. 若正方形四个顶点按逆时针方向依次为A，B，C，D. 则点B对应的复数为zB＝(2＋i)·i＝－1＋2i， 点D对应的复数为zD＝(2＋i)·(－i)＝1－2i. 若正方形四个顶点按逆时针方向依次为A，D，C，B， 则点B对应的复数为zB＝(2＋i)·(－i)＝1－2i， 点D对应的复数为zD＝(2＋i)·i＝－1＋2i. 综上，点B，C，D对应的复数分别为－1＋2i，－2－i，1－2i或1－2i，－2－i，－1＋2i. 1．(2024·北京高考)若复数z满足＝i－1，则z＝(　　) A．1－i B．－i C．－1－i D．1 答案：C 解析：由题意得z＝i(i－1)＝－1－i.故选C. 2．若i(x＋yi)＝3＋4i，x，y∈R，则复数x＋yi的模是(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 答案：D 解析：根据复数相等，知|x＋yi|＝＝5. 3．设i是虚数单位，复数i3＋＝(　　) A．－i B．i C．－1 D．1 答案：D 解析：i3＋＝－i＋i(1－i)＝1. 4．方程7x2＋1＝0的根为________． 答案：x＝±i 解析：7x2＋1＝0，整理得x2＝－，因为＝2＝－，所以7x2＋1＝0的根为x＝±i. 5．把复数z的共轭复数记作，已知i＝4＋3i，求. 解：由i＝4＋3i得＝＝3－4i， 所以z＝3＋4i. 所以＝＝＝. 课后课时精练 一、选择题 1．(2024·新课标Ⅰ卷)若＝1＋i，则z＝(　　) A．－1－i B．－1＋i C．1－i D．1＋i 答案：C 解析：因为＝＝1＋＝1＋i，所以z＝1＋＝1－i.故选C. 2．复数z1，z2在复平面内对应的点关于虚轴对称，且z1＝3＋2i，则z1z2＝(　　) A．12＋13i B．13＋12i C．－13 D．13i 答案：C 解析：因为复数z1＝3＋2i在复平面内对应的点关于虚轴对称的点对应的复数z2＝－3＋2i，所以z1z2＝(3＋2i)(－3＋2i)＝－13.故选C. 3．将复数z1＝－2＋i对应的向量绕点O逆时针旋转，得到向量，那么对应的复数z＝(　　) A．1－2i B．2－i C．1＋2i D．2＋i 答案：C 解析：由题意，得z＝z1·i11＝(－2＋i)·(－i)＝2i－i2＝1＋2i. 4.＝(　　) A．1＋i B．－1＋i C．1－i D．－1－i 答案：D 解析：＝＝－1－i，故选D. 5．(多选)下列关于复数z＝的说法正确的是(　　) A．|z|＝2 B．z2＝2i C．z的共轭复数为1＋i D．z的虚部为－1 答案：BD 解析：z＝＝＝－1－i.|z|＝，z2＝2i，z的共轭复数为－1＋i，z的虚部为－1.故选BD. 二、填空题 6．(2024·天津高考)已知i是虚数单位，复数(＋i)·(－2i)＝________． 答案：7－i 解析：(＋i)·(－2i)＝5＋i－2i＋2＝7－i. 7．定义运算＝ad－bc，则符合条件＝4＋2i的复数z＝________． 答案：3－i 解析：∵＝4＋2i，∴zi＋z＝4＋2i，即z(1＋i)＝4＋2i，∴z＝＝3－i. 8．若x，y为共轭复数，且(x＋y)2－3xyi＝4－6i，则|x|＋|y|＝________． 答案：2 解析：∵x，y为共轭复数，∴x＋y，xy∈R，由复数相等的条件有设x＝a＋bi(a，b∈R)，则y＝a－bi，∴∴|x|＋|y|＝2＝2. 三、解答题 9．已知复数z1＝(－1＋i)(1＋bi)，z2＝，其中a，b∈R.若z1与z2互为共轭复数，求a，b的值． 解：z1＝(－1＋i)(1＋bi)＝－1－bi＋i－b＝(－b－1)＋(1－b)i，z2＝＝＝＝＋i. 因为z1与z2互为共轭复数， 所以有解得 10．在复数范围内解下列方程： (1)9x2＋64＝0；(2)x2＋5x＋7＝0. 解：(1)移项，得9x2＝－64，二次项系数化为1，得x2＝－， 因为＝＝－， 所以原方程的根为x＝±i. (2)因为a＝1，b＝5，c＝7，Δ＝b2－4ac＝52－4×1×7＝－3<0， 所以应用求根公式得原方程的根为x＝ ＝＝. 11．设z＝＋i(i是虚数单位)，求z＋2z2＋3z3＋4z4＋5z5＋6z6. 解：z2＝－＋i，z3＝－1，z4＝－－i，z5＝－i，z6＝1，所以原式＝＋(－1＋i)＋(－3)＋(－2－2i)＋＋6＝3－3i. 12．已知复数z满足|z|＝，z2的虚部为2. (1)求复数z； (2)设z，z2，z－z2在复平面内对应的点分别为A，B，C，求△ABC的面积． 解：(1)设z＝a＋bi(a，b∈R)， 由已知条件得：a2＋b2＝2，z2＝a2－b2＋2abi， 所以2ab＝2.所以a＝b＝1或a＝b＝－1， 即z＝1＋i或z＝－1－i. (2)当z＝1＋i时，z2＝(1＋i)2＝2i，z－z2＝1－i，所以点A(1，1)，B(0，2)，C(1，－1)， 所以S△ABC＝|AC|×1＝×2×1＝1. 当z＝－1－i时，z2＝(－1－i)2＝2i，z－z2＝－1－3i. 所以点A(－1，－1)，B(0，2)，C(－1，－3)， 所以S△ABC＝|AC|×1＝×2×1＝1， 即△ABC的面积为1. 10 学科网（北京）股份有限公司 $$