精品解析：河南省新乡市河南师范大学附属中学2024-2025学年七年级下学期4月期中数学试题

2024-2025学年第二学期七年级期中考试 《数学》试卷 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 下列数中是无理数的是（ ） A B. C. D. 2. 下列方程组中，属于二元一次方程组的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，已知点，，则点C的坐标为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，数轴上点A表示的数可能是（　　） A. 7的算术平方根 B. 6的立方根 C. 9的平方根 D. 8的立方根 5. 下列命题中，真命题是（ ） A. 若，则 B. 同位角相等 C. 垂直于同一条直线的两直线平行 D. 平行于同一条直线的两直线平行 6. 将一副三角板按如图所示方式摆放在一张对边平行的长方形纸片上，其中含角的直角三角板的斜边与纸片一边贴合，含角的直角三角板的一个顶点与含角的直角三角板的直角顶点重合，且两个直角三角板的一条直角边贴合，而含角的直角三角板的另一个顶点恰好落在纸片的另一边上，那么的度数是（ ）     A. B. C. D. 7. 如图，在下列给出的条件中，不能判定的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，若图①中点的坐标为，则它在图②中的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向平移，如，……，根据这个规律探索可得第个点的坐标是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 10. 如果的立方等于27，那么的算术平方根是__________． 11. 已知方程组的解为则被“○”和“△”遮盖的两个数的和为__________． 12. 点A的坐标为，点A到x轴和y轴距离相等，则点A的横坐标为__________． 13. 如图，将一张长方形纸片ABCD沿EF折叠，点D、C分别落在点D′、C′的位置处，若∠1＝58°，则∠EFB的度数是______． 14. 如图，在三角形中，，，，，将三角形沿方向平移得到三角形，且与相交于点G，连接，则阴影部分的周长为____． 三、解答题（共75分） 15 计算： （1） （2） 16. 解方程组： （1） （2） 17. 如图，在平面直角坐标系中，三角形的三个顶点均在格点（网格线的交点）上，若把三角形向上平移3个单位长度，再向左平移1个单位长度得到三角形，点，，的对应点分别为，，． （1）在图中画出平移后的三角形； （2）写出点，，的坐标； （3）三角形的面积为　　． 18. 科技改变世界，为提高快递包裹的分拣效率，物流公司引进了快递自动分拣流水线．如图①所示，图②是将部分流水线抽象而成的数学模型示意图． 如图②，，平分，平分．求证：．阅读下面的解答过程，并填空（理由或数学式）． 证明：∵（已知）， ___________（___________）， 平分（已知）， ___________（角平分线的定义）， 同理，___________， （等量代换）， ___________（___________）． （___________）． 19. 数学活动课上，数学兴趣小组的几名同学探究用个面积为的小正方形纸片剪拼成一个面积为的大正方形．下面是他们探究的部分结果： （1）如图1，当时，拼成大正方形的边长为___________； （2）如图2，当时，拼成的大正方形的边长为___________cm； （3）小李想沿着正方形纸片边的方向能否裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长宽之比为？他能裁出吗？请说明理由． 20. 如图，，与交于点P． （1）若，求的度数； （2）若，，求证：． 21. 规定：形如关于、的方程与的两个方程互为共轭二元一次方程，其中；由这两个方程组成的方程组叫做共轭方程组． （1）方程的共轭二元一次方程是 ； （2）若关于、的方程组为共轭方程组，则 ， ； （3）拓展：阅读下列解共轭方程组的方法，然后解答问题： 解共轭方程组时，可以采用下面的解法： ②+①得：，所以③ ③得：④ ①-④得：，从而得 所以原方程组解是 用上述方法求共轭方程组的解． 22. 如图1、图2，直线，被射线所截，且，是射线上的定点，点在射线上，连接，过点作，与直线交于点，且． （1）如图1，当点与点重合时，求的度数； （2）若点线段上（点不与点，重合）． ①依题意，在图2中补全图形； ②猜想与之间的数量关系，并证明； （3）当点在线段的延长线上，且时，求的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年第二学期七年级期中考试 《数学》试卷 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 下列数中是无理数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了无理数的定义，无理数是无限不循环小数，常见的无理数的表达方式有三种：开不尽方的数，例如；用特殊字母表示的数，例如；用特殊规律表示的数，例如(每两个之间依次多个)． 【详解】解：A选项：是开不尽方数，是无理数，故A选项符合题意； B选项：是整数，是有理数，故B选项不符合题意； C选项：是分数，是有理数，故C选项不符合题意； D选项：是分数，是有理数，故D选项不符合题意． 故选：A ． 2. 下列方程组中，属于二元一次方程组的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组定义，把含有相同未知数的两个二元一次方程联立在一起所组成的方程组叫作二元一次方程组．根据二元一次方程组的定义逐个判断即可得出结果． 【详解】解：A、不是整式方程，不是二元一次方程组，故本选项不符合题意； B、是二元一次方程组，故本选项符合题意． C、含未知数项的次数是2次，不是二元一次方程组，故本选项不符合题意． D、含未知数项次数是2次，不是二元一次方程组，故本选项不符合题意． 故选：B． 3. 如图，已知点，，则点C的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据点的坐标，建立坐标系，解答即可． 本题考查了坐标与坐标系，正确建立坐标系是解题的关键． 【详解】解：根据点，，建立坐标系如下： 故点C的坐标为． 故选：D． 4. 如图，数轴上点A表示的数可能是（　　） A. 7的算术平方根 B. 6的立方根 C. 9的平方根 D. 8的立方根 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了估算无理数的大小，先根据数轴判断点A对应的数的范围，再根据各选项分别判断各数的范围或求得其具体值，从而可得答案． 【详解】解：根据数轴可知点A的位置在1和2之间，且靠近2， 而，，，， ∴只有6的立方根符合题意． 故选：B． 5. 下列命题中，真命题是（ ） A. 若，则 B. 同位角相等 C. 垂直于同一条直线的两直线平行 D. 平行于同一条直线的两直线平行 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了命题与真理，根据平行线的判定与性质，有理数的乘方判断即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：A、若，则或，故选项不符合题意； B、两直线平行，同位角相等，故选项不符合题意； C、在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行，故选项不符合题意； D、平行于同一条直线的两直线平行，说法正确，故选项符合题意； 故选：D． 6. 将一副三角板按如图所示方式摆放在一张对边平行的长方形纸片上，其中含角的直角三角板的斜边与纸片一边贴合，含角的直角三角板的一个顶点与含角的直角三角板的直角顶点重合，且两个直角三角板的一条直角边贴合，而含角的直角三角板的另一个顶点恰好落在纸片的另一边上，那么的度数是（ ）     A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查三角板中角度的计算，平行线的性质，过点作，进而得到，根据平行线的性质，进行求解即可． 【详解】解：如图，过点作，由题意，得：， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选B． 7. 如图，在下列给出的条件中，不能判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键．根据平行线的判定解答即可． 【详解】解：∵， ∴（同位角相等，两直线平行） 故A正确，不符合题意； ∵， ∴（内错角相等，两直线平行） 故B正确，不符合题意； ∵， ∴（同位角相等，两直线平行） 故C不正确，符合题意； ∵， ∴（同旁内角互补，两直线平行） 故D正确，不符合题意； 故选：C． 8. 如图，若图①中点的坐标为，则它在图②中的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形性质，根据图形上点的平移规律：上加下减，左减右加，进行求解即可． 【详解】解：由图象可知，图2是由图1向右平移1个单位，再向下平移1个单位得到， ∵图1中点P的坐标为， ∴图2中点的坐标为， 故选：D． 9. 如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向平移，如，……，根据这个规律探索可得第个点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】AA 【解析】 【分析】本题考查了点的坐标规律探索，得出规律第列有个点，且第列最下面的点的坐标为，结合得出第个点的坐标为，第个点的坐标为，即可得解，正确得出规律是解此题的关键． 【详解】解：把第一个点作为第一列，点，作为第二列，点，，作为第三列，依次类推，第一列有1个点，第二列有2个点，第三列有3个点，…， 故第列有个点，且第列最下面的点的坐标为， ∵， ∴第个点的坐标为，第35个点的坐标为， ∵， ∴第个点的坐标是， 故选：A． 二、填空题（每小题3分，共15分） 10. 如果的立方等于27，那么的算术平方根是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了立方根与算术平方根的概念．利用立方根的概念，解出x的值，再利用算术平方根的概念即可解得． 【详解】解：∵ ∴ ∴的算术平方根是 故答案为：． 11. 已知方程组的解为则被“○”和“△”遮盖的两个数的和为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，牢记“一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解”是解题的关键．将方程组的解代入方程②，可求出的值，将方程组的解代入方程①，可求出的值，此题得解． 【详解】解：， 将代入方②得：， 解得：，即， 将代入①得：， 解得：， ∴被和遮盖的两个数分别为，． ∴被“”和“”遮盖的两个数的和为 故答案为：． 12. 点A的坐标为，点A到x轴和y轴距离相等，则点A的横坐标为__________． 【答案】或1 【解析】 【分析】本题主要考查了点的坐标，掌握点到x轴的距离是纵坐标的绝对值、点到y轴的距离是横坐标的绝对值是解题的关键．先根据题意可列式：，求解出m，即可得出答案． 【详解】解：由题意知：点到x轴和y轴的距离相等 ∴ 解得：或1 ∴点A的横坐标为或1， 故答案为：或1． 13. 如图，将一张长方形纸片ABCD沿EF折叠，点D、C分别落在点D′、C′的位置处，若∠1＝58°，则∠EFB的度数是______． 【答案】61° 【解析】 【分析】根据折叠性质得出∠DED′=2∠DEF，根据∠1的度数求出∠DED′，即可求出∠DEF的度数，进而得到答案． 【详解】解：由翻折的性质得：∠DED′=2∠DEF， ∵∠1=58°， ∴∠DED′=180°-∠1=122°， ∴∠DEF=61°， 又∵AD∥BC， ∴∠EFB=∠DEF=61°． 故答案为：61°． 【点睛】本题考查了平行线的性质，翻折变换的性质，邻补角定义的应用，熟记折叠的性质是解题的关键． 14. 如图，在三角形中，，，，，将三角形沿方向平移得到三角形，且与相交于点G，连接，则阴影部分的周长为____． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查的平移的性质，先利用平移的性质得到，，则，然后计算阴影部分的周长． 【详解】解：沿方向平移得到， ，， ， 阴影部分的周长为． 故本题答案为：12． 三、解答题（共75分） 15. 计算： （1） （2） 【答案】（1）0 （2） 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，二次根式的加减法运算，掌握相应的运算法则是解答本题的关键． （1）先算开方和绝对值，再算乘法，后算加减； （2）先算乘方、开方和绝对值，再算加减． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 16. 解方程组： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，掌握解方程组步骤，采用消元思想是解题的关键． （1）运用代入消元法求解； （2）运用加减消元法求解． 【小问1详解】 解：， 将②代入①，得：， 解得：； 把，代入②， 得：； ∴方程组的解为； 【小问2详解】 解：， ，得：， 解得：； 把，代入①，得：， 解得：； ∴方程组的解为：． 17. 如图，在平面直角坐标系中，三角形三个顶点均在格点（网格线的交点）上，若把三角形向上平移3个单位长度，再向左平移1个单位长度得到三角形，点，，的对应点分别为，，． （1）在图中画出平移后的三角形； （2）写出点，，的坐标； （3）三角形的面积为　　． 【答案】（1）见解析；（2），，；（3）7 【解析】 【分析】（1）根据平移规律画图即可； （2）利用点平移的坐标变换特征写出A′、B′、C′的坐标； （3）用一个矩形的面积分别减去三个直角三角形的面积去计算三角形A′B′C′的面积． 【详解】（1）如图，△为所作； （2），，； （3）三角形的面积． 故答案为7． 【点睛】本题考查了作图-平移变换：确定平移后图形的基本要素有两个：平移方向、平移距离．作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形． 18. 科技改变世界，为提高快递包裹的分拣效率，物流公司引进了快递自动分拣流水线．如图①所示，图②是将部分流水线抽象而成的数学模型示意图． 如图②，，平分，平分．求证：．阅读下面的解答过程，并填空（理由或数学式）． 证明：∵（已知）， ___________（___________）， 平分（已知）， ___________（角平分线的定义）， 同理，___________， （等量代换）， ___________（___________）． （___________）． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质和判定，角平分线的定义．根据推理过程逐一填空即可． 【详解】解：∵（已知）， ∴（两直线平行，内错角相等）， ∵平分（已知）， ∴（角平分线的定义）， 同理，． ∴（等量代换）， ∴（内错角相等，两直线平行）， ∴（两直线平行，同旁内角互补）． 19. 数学活动课上，数学兴趣小组的几名同学探究用个面积为的小正方形纸片剪拼成一个面积为的大正方形．下面是他们探究的部分结果： （1）如图1，当时，拼成的大正方形的边长为___________； （2）如图2，当时，拼成的大正方形的边长为___________cm； （3）小李想沿着正方形纸片边的方向能否裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长宽之比为？他能裁出吗？请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）能，理由见详解 【解析】 【分析】本题主要考查图形的探究、算术平方根等知识，解题关键是正确理解题意，灵活运用相关知识． （1）先得出时图形的面积，然后根据正方形的性质，求得边长； （2）先得出时图形的面积，然后根据正方形的性质，求得边长； （3）设长方形的长宽分别为，，，则根据面积可求得的值，易得，即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵， ∴即用2个面积为的小正方形纸片剪拼成一个面积为的大正方形， ∴大正方形的边长为； 故答案为：； 【小问2详解】 解：∵， ∴即用5个面积为的小正方形纸片剪拼成一个面积为的大正方形， ∴大正方形的边长为； 故答案为：； 【小问3详解】 解：能，理由如下： 设长方形纸片的长为，宽为， 则有：，解得，， ∵为长方形的长， ∴， ∴， 则长为， ∵， ∴能沿着正方形边的方向裁出一块面积为的长方形纸片，且它的长宽之比为． 20. 如图，，与交于点P． （1）若，求的度数； （2）若，，求证：． 【答案】（1） （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了垂直的定义，平行线的判定方法及性质等； （1）由同位角相等，两直线平行得，由两直线平行，同位角相等得，即可求解； （2）由两直线平行，同位角相等得，由平行线的性质得，即可得证； 掌握平行线的判定方法及性质是解题的关键． 【小问1详解】 解：， ， ， ， ； 【小问2详解】 证明：， ， ， ， ， 由（1）可知，， ， ． 21. 规定：形如关于、的方程与的两个方程互为共轭二元一次方程，其中；由这两个方程组成的方程组叫做共轭方程组． （1）方程的共轭二元一次方程是 ； （2）若关于、的方程组为共轭方程组，则 ， ； （3）拓展：阅读下列解共轭方程组的方法，然后解答问题： 解共轭方程组时，可以采用下面的解法： ②+①得：，所以③ ③得：④ ①-④得：，从而得 所以原方程组的解是 用上述方法求共轭方程组的解． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了新定义，解二元一次方程组，理解新定义是解题的关键． （1）根据共轭二元一次方程的定义即可求解； （2）根据共轭二元一次方程组的定义得到，，然后解方程组即可求解； （3）根据拓展的解法即可求解． 【小问1详解】 解：根据共轭二元一次方程的定义，方程的共轭二元一次方程是 故答案为：； 【小问2详解】 解：根据共轭二元一次方程组的定义，得，， 解得，， 故答案为：； 【小问3详解】 解： 得 ， ， ，得 ， ，得 ， 把代入③，得， ∴原方程组的解为． 22. 如图1、图2，直线，被射线所截，且，是射线上的定点，点在射线上，连接，过点作，与直线交于点，且． （1）如图1，当点与点重合时，求的度数； （2）若点线段上（点不与点，重合）． ①依题意，在图2中补全图形； ②猜想与之间的数量关系，并证明； （3）当点在线段的延长线上，且时，求的度数． 【答案】（1） （2）①答案见解答过程；②，证明见解答过程 （3）或 【解析】 【分析】此题主要考查了平行线的性质，垂直定义，角的计算，熟练掌握平行线的性质，垂直定义，角的计算是解决问题的关键，分类讨论是解决问题的难点，漏解是易错点． （1）根据得，再根据，得，然后根据可得出答案； （2）①依题意补全图形即可； ②过点作，想证明，则，，进而得，由此可得与之间的数量关系； （3）当点在线段的延长线上，且时，有以下两种情况：①当在点的右侧时，过点作，先求出，再证得，，然后根据可得出答案；②当点在点的左侧时，过点作，先求出，同理，，然后根据可得出答案，综上所述即可得出的度数． 【小问1详解】 解：， ， 又， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：①依题意补全图形如图2所示： ②与之间的数量关系是：． 证明如下：过点作，如图3所示： ， ， ，， ， ，， ， ， ； 【小问3详解】 当点在线段的延长线上，且时，有以下两种情况： ①当在点的右侧时，过点作，如图4所示： ， ， ， ， ，， ， ，， ， ， ； ②当点在点的左侧时，过点作，如图5所示： ， ， ， ， 同理：，， ， ． 综上所述：的度数为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$