专题17 一次函数与方程、不等式的六种考法-【常考压轴题】2024-2025学年八年级数学下册压轴题攻略（人教版）

专题17 一次函数与方程、不等式的六种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 类型一、由一元一次方程的解求直线与x轴的交点 2 类型二、利用图象法解一元一次方程 3 类型三、两条直线的交点与二元一次方程组的解 5 类型四、图象法解二元一次方程组 7 类型五、由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 10 类型六、根据两条直线的交点求不等式的解集 12 压轴能力测评（15题） 16 解题知识必备 1.一次函数与一元一次方程的关系 1）一元一次方程可转化为一般式：ax+b=0 2）一次函数为：y=kx+b的形式；当y=0时，一次函数x的值就是一元一次方程的解； y=0时x的值，即一次函数与x轴的交点横坐标，就是对应一元一次方程的解. 2.一次函数与二元一次方程的关系 1）每个二元一次方程组都对应两个一次函数，于是也对应两条直线.从“数”的角度看，解方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这时的函数为何值；从“形”的角度看，解方程组相当于确定两条直线交点的坐标. 2）两个一次函数图象的交点与二元一次方程组的解的联系是：在同一直角坐标系中，两个一次函数图象的交点坐标就是相应的二元一次方程组的解，反之也成立. 3）当二元一次方程组无解时，相应的两个一次函数在坐标系中的直线就没有交点，则两个一次函数的直线平行.反过来，当两个一次函数直线平行时，相应的二元一次方程组就无解. 4）当二元一次方程组有无数解时，则相应的两个一次函数在坐标系中重合，反之也成立. 3. 一次函数与不等式的关系 解不等式ax+b＞0(a，b是常数，a≠0) ． 从“数”的角度看，x为何值时函数y= ax+b的值大于0． 解不等式ax+b＞0(a，b是常数，a≠0) ． 从“形”的角度看，求直线y= ax+b在 x 轴上方的部分（射线）所对应的的横坐标的取值范围． 压轴题型讲练 类型一、由一元一次方程的解求直线与x轴的交点 例题：（23-24八年级下·河南南阳·阶段练习）若关于x的方程的解为，则直线一定经过点（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点 【分析】本题主要考查了一元一次方程解的定义，一次函数的性质，先把代入方程中得到，进而得到当时，，据此可得答案． 【详解】解：∵关于x的方程的解是， ∴， ∴， ∴直线解析式为， ∴当时，，即直线一定经过点， 故选：A． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·陕西西安·期中）若关于x的方程的解是，则直线一定经过点（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点 【分析】根据方程可知当，，从而可判断直线经过点即可． 【详解】解：由方程的解可知：当时，，即当，， ∴直线的图象一定经过点， 故选：C． 【点睛】本题主要考查的是一次函数与一元一次方程的关系，掌握一次函数与一元一次方程的关系是解题的关键． 2．（24-25八年级上·陕西·期中）已知关于x的方程的解为，则一次函数的图象与x轴的交点坐标为 ． 【答案】 【知识点】由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点 【分析】本题考查了一次函数和一元一次方程的关系，熟练掌握一次函数图象上点的坐标特征是解题的关键． 根据方程解的定义求得a的值，再令，即可求得一次函数与x轴的交点坐标． 【详解】解：∵关关于x的方程的解为， ∴， 解得：． ∴一次函数为， 令，得． 解得：， ∴一次函数与x轴交点的坐标为． 故答案为． 类型二、利用图象法解一元一次方程 例题：（24-25八年级上·河北保定·期中）一次函数的图象如图所示，则方程的解为（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】利用图象法解一元一次方程 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次方程的关系，解题的关键是知道通过图象怎么求方程的解． 关于的方程一元一次方程的解就是一次函数当函数值为时的值，据此可以直接得到答案． 【详解】解：从图象上可知，一次函数与轴交点的横坐标为， 关于的方程的解为：， 故选：C． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·福建漳州·期中）如图，直线经过点，则方程的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】利用图象法解一元一次方程 【分析】本题考查了根据一次函数图象求对应方程的解，理解一次函数中点的关系与方程的解的关系是解题的关键． 根据一次函数经过的点判定方程的解即可求解． 【详解】解：直线经过点，即当时，， ∴方程的解为， 故选：A ． 2．（24-25八年级上·陕西西安·期中）如图，直线过点和点，则方程的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】利用图象法解一元一次方程 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次方程的关系：一次函数与轴交点的横坐标即为一元一次方程的解．利用一次函数与轴交点的横坐标即为一元一次方程的解直接判断即可得出正确结果． 【详解】解：方程的解，即为函数图象与轴交点的横坐标， 直线过点， 方程的解是， 故选：C． 3．（2025·甘肃兰州·一模）如图，已知直线经过点，则关于x的方程的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】利用图象法解一元一次方程 【分析】本题考查根据图像法解一元一次方程．根据题意利用图像即可得到本题答案． 【详解】解：∵直线经过点， ∴关于x的方程的解为， 故选：B． 类型三、两条直线的交点与二元一次方程组的解 例题：（24-25八年级上·广东深圳·期中）已知一次函数与（是常数，且）的图象的交点坐标是，则方程组的解是 ． 【答案】 【知识点】两直线的交点与二元一次方程组的解 【分析】本题主要考查了一次函数的交点问题，理解交点的横纵坐标就是两个解析式联立的二元一次方程的解是解决问题的关键，根据题意得到答案即可； 【详解】解：∵一次函数与是常数，的图象的交点坐标是， ∴方程组的解是． 故答案为： 【变式训练】 1．（24-25八年级上·陕西汉中·期末）在同一平面直角坐标系中，直线与相交于点，则关于x、y的方程组的解是 ． 【答案】 【知识点】两直线的交点与二元一次方程组的解 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组，解题关键是掌握函数图象交点的坐标是对应方程组的解．将点代入直线上，求出的值，再根据交点坐标得到对应二元一次方程组的解即可． 【详解】解：将点代入直线上， 得， 即直线与相交于点， 则关于x、y的方程组的解是， 故答案为：． 2．（24-25七年级下·山东东营·阶段练习）如果函数与的图像的交点坐标是，那么方程组的解是 ． 【答案】 【知识点】两直线的交点与二元一次方程组的解 【分析】本题考查了一次函数和二元一次方程组．直接根据一次函数和二元一次方程组的关系求解． 【详解】解：∵一次函数与图像的交点的坐标是， ∴方程组的解为． 故答案为：． 3．（24-25八年级下·吉林长春·阶段练习）已知关于、的二元一次方程组的解是，则一次函数和的图象的交点坐标为 ． 【答案】 【知识点】两直线的交点与二元一次方程组的解 【分析】本题考查了两直线的交点与二元一次方程组的解．方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标． 【详解】解：把代入， 可得，， 方程组的解为：， 一次函数和的图象的交点坐标为：， 故答案为：． 类型四、图象法解二元一次方程组 例题：（24-25八年级下·北京顺义·阶段练习）如图，两个一次函数图象的交点坐标为，则关于，的方程组的解为 . 【答案】 【知识点】两直线的交点与二元一次方程组的解 【分析】根据方程组的解与函数交点坐标的关系求解．本题考查了一次函数与方程组的关系，正确理解这种关系是解题的关键． 【详解】解：依题意，方程组的解即为这两个一次函数图象的交点坐标， ∴关于，的方程组的解为， 故答案为：． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·四川成都·期末）如图，一次函数与的图象交于点，则关于x，y的方程组的解为 ． 【答案】 【知识点】求一次函数自变量或函数值、两直线的交点与二元一次方程组的解 【分析】本题主要考查了一次函数与一次函数的交点与二元一次方程组的解，把代入可得出，进而即可得出关于x，y的方程组的解． 【详解】解：把代入， ∴， ∴点， ∵一次函数与的图象交于点 ∴关于x，y的方程组的解为：， 故答案为： 2．（2025·山东聊城·一模）如图，直线与相交于点P，则关于x，y的方程组的解为 ． 【答案】 【知识点】两直线的交点与二元一次方程组的解 【分析】本题主要考查了根据直线的交点求出二元一次方程组的解， 将点代入求出a，进而得出点P的坐标，结合图象可得二元一次方程组的解. 【详解】解：将点代入， 得， 解得， ∴一次函数关系式为. 当时，. ∴方程组的解是. 故答案为：. 3．（2025·福建三明·一模）如图，一次函数与的图象交于，则关于，的方程组的解为 ． 【答案】 【知识点】一次函数图象平移问题、两直线的交点与二元一次方程组的解 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组，根据题意得出与为与的图象都向上平移2个单位长度，交点为，即可求解，熟练掌握基础知识是解题的关键． 【详解】解：∵与的图象交于， ∴与为与的图象都向上平移2个单位长度，交点为， ∴方程组的解为， 故答案为：． 类型五、由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 例题：（24-25八年级下·辽宁沈阳·阶段练习）若一次函数的图象如图所示，则关于的不等式的解集为 ． 【答案】 【知识点】由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点问题，解一元一次不等式，求得一次函数与坐标轴的交点是解题的关键． 由图象可知，经过点，然后求出，再代入得，最后解不等式即可． 【详解】解：由图象可知，，经过点， ∴， ∴， ∴，解得：， 故答案为：． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·广东梅州·期中）如图，一次函数的图象与y轴的交点为，则不等式的解集是 ． 【答案】 【知识点】由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式， 先求出，可得，再根据，可知，求出解集即可. 【详解】解：∵一次函数的图象与y轴的交点为， ∴. ∵， ∴. ∵， ∴， 解得. 故答案为：. 2．（24-25八年级下·四川成都·阶段练习）如图，直线与坐标轴的两个交点分别为，则不等式的解集为 ． 【答案】 【知识点】由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 【分析】本题考查了一次函数与不等式的关系，由直线与轴的交点分别为，得到当时，，再由函数随的增大而增大，即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵直线与轴的交点分别为， ∴当时，， 由图可知，函数随的增大而增大， ∴当时，， ∴不等式的解集是， 故答案为：． 3．（24-25八年级下·全国·单元测试）如图，直线交轴于点，交轴于点，则不等式的解集是 ． 【答案】 【知识点】由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 【分析】根据图象，得到直线交轴于点为，结合可得到． 本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，灵活运用数形结合思想解答是解题的关键． 【详解】解：根据图象，得到直线交轴于点为， 由， 故． 故答案为：． 类型六、根据两条直线的交点求不等式的解集 例题：（24-25八年级下·广东深圳·期中）如图，一次函数与的图象相交于点，与轴分别交于点，．请结合图象，写出当时的取值范围 ． 【答案】 【知识点】根据两条直线的交点求不等式的解集 【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式之间的关系，两直线交点坐标的求法，将两个函数表达式联立成方程组，解此方程组即可求出点的坐标，再根据函数图象和点的坐标即可得到结果．求出点的坐标是解题的关键． 【详解】解：由题意可得：， 解得：， ∴， 根据图象可知，当时，， ∴当时的取值范围是． 故答案为：． 【变式训练】 1．（24-25八年级下·福建漳州·阶段练习）一次函数与的图象如图所示，其交点为，则不等式的解集为 ． 【答案】 【知识点】判断一次函数的图象、根据两条直线的交点求不等式的解集 【分析】本题考查了一次函数的图象、一次函数与一元一次不等式，熟练掌握函数图象法是解题关键．先求出两个一次函数与轴的交点坐标，再根据不等式表示的是直线位于直线的下方，结合函数图象即可得． 【详解】解：将代入一次函数得：， ∴一次函数与轴的交点坐标为，位于轴的正半轴上， 将代入一次函数得：， ∴一次函数与轴的交点坐标为，位于轴的负半轴上， 如图，一次函数的图象为直线，一次函数的图象为直线， ∵不等式表示的是直线位于直线的下方，且两条直线的交点为， ∴结合函数图象可知，不等式的解集为， 故答案为：． 2．（24-25八年级下·重庆·阶段练习）如图，一次函数与相交于点，则关于的不等式的解集是 ． 【答案】 【知识点】根据两条直线的交点求不等式的解集 【分析】本题主要考查了一次函数的图象与性质，根据交点坐标求不等式的解集，掌握一次函数和一元一次不等式的关系是解题关键． 先对不等式移项，整理，可得，即，再根据图象可知，当时，，从而求出不等式的解集． 【详解】解：整理得：， 即，即， 由图象可知，一次函数与相交于点，在交点和交点的右侧，， 时，， 的解集是． 故答案为：． 3．（24-25八年级下·广东佛山·阶段练习）我们曾研究过“函数的图象上点的坐标的特征”，了解了一元一次不等式的解集与相应的一次函数图象上点的坐标的关系．发现一元一次不等式的解集是函数图象在x轴上方的点的横坐标的集合． 结论：一元一次不等式：（或）的解集，是函数图象在x轴上方（或x轴下方）部分的点的横坐标的集合． 【解决问题】： （1）如图1，观察图象，一次函数的图象经过点，则不等式的解集是__________． （2）如图2，观察图象，不等式的解集是__________． 【拓展延伸】： （3）如图3，一次函数和的图象相交于点A，分别与x轴相交于点B和点C． ①结合图象，直接写出关于x的不等式组的解集是__________． ②在x轴上是否存在点P，使得为等腰三角形，若存在，请直接写出点P坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）①；②P点坐标为或或或． 【知识点】由直线与坐标轴的交点求不等式的解集、根据两条直线的交点求不等式的解集、已知两点坐标求两点距离、等腰三角形的定义 【分析】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，等腰三角形的性质，分类讨论，数形结合是解题的关键． （1）结合图象即可求解； （2）通过观察图象求解即可； （3）①根据函数图象上点的特征，求函数与坐标轴的交点坐标，通过观察图象求解即可； ②分别求出，，，再由等腰三角形的边的关系，分三种情况讨论即可． 【详解】解：（1）∵的图象经过点， ∴观察图象，不等式的解集是， 故答案为：； （2）通过观察图象，可得两条直线的交点坐标为， ∵的解为两直线交点的横坐标， ∴由图象可得，当时，， ∴不等式的解是， 故答案为：； （3）①联立方程组， 解得， ∴， 当时，， ∴， ∴； 由的图象可知，当时，， 当时，， ∴关于x的不等式组的解集为， 故答案为：； ②存在点P，使得为等腰三角形，理由如下： 设点P的坐标为：， ∵，， ∴，， 当时，则， 解得或(舍去)， ∴P点坐标为； 当时，则， ∴或， ∴P点坐标为或； 当时，则， 解得， ∴P点坐标为； 综上所述：P点坐标为或或或． 压轴能力测评（15题） 一、单选题 1．（23-24八年级下·广东广州·期末）若是方程的解， 则直线的图象与x轴交点的坐标为 （   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次方程，关键是掌握方程的解就是一次函数与轴交点的横坐标值．根据一次函数与一元一次方程的关系：由于任何一元一次方程都可以转化为（，为常数，）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为时，求相应的自变量的值，从图象上看，这相当于已知直线确定它与轴交点的横坐标即可得答案． 【详解】解：一元一次方程的解是， 当时，， 故直线的图像与x轴的交点坐标是． 故选：A． 2．（24-25八年级上·江苏宿迁·期末）若函数和函数的图象如图所示，其交点为，则关于的不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求一元一次不等式的解集、根据两条直线的交点求不等式的解集 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，解题关键先求出交点坐标，进而确定a的值． 先根据交点在上，求出，从而确定交点坐标，把代入，算出，然后代入不等式，即可求解． 【详解】∵函数和函数的交点为， ， ，             ， 把A点的坐标代入得， ， 把代入得， 解得： 故选：A． 3．（24-25八年级上·安徽蚌埠·期中）一次函数与的图象如图所示，下列结论错误的是（    ） A．当时， B．当时， C．关于x，y的方程组的解为 D． 【答案】A 【知识点】由直线与坐标轴的交点求不等式的解集、根据两条直线的交点求不等式的解集、两直线的交点与二元一次方程组的解 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质、一次函数与方程、不等式的关系．根据一次函数与方程、不等式的关系，借助数形结合思想逐项判断，即可求解． 【详解】解：A、观察图象知，当时，直线在直线的上方，则，故结论错误； B、观察图象知，当时，，故结论正确； C、关于x，y的方程组的解是一次函数与的图象的交点坐标，由图象知，两直线交于点，则方程组的解为，故结论正确； D、由图象知，两直线与y轴交点在x轴正半轴上，即，所以，故结论正确； 故选：A． 4．（2024·山东临沂·模拟预测）在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示．则下列结论中：①随的增大而增大；②；③．当时，；④关于，的方程组的解为，正确的有（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、判断一次函数的增减性、由直线与坐标轴的交点求不等式的解集、图象法解二元一次方程组 【分析】根据一次函数的性质，结合图象，逐一进行判断即可． 【详解】解：①、随的增大而增大，故选项①正确； ②．由图象可知，一次函数的图象与轴的交点在的图象与轴的交点的下方，即，故选项②正确； ③．由图象可知：当时，，故选项③错误； ④．由图象可知，两条直线的交点为， ∴关于，的方程组的解为；故选项④正确； 故正确的有①②④共三个， 故选：C． 【点睛】本题考查一次函数的图象和性质，一次函数与二元一次方程组，一次函数与一元一次不等式．从函数图象中有效的获取信息，熟练掌握图象法解方程组和不等式，是解题的关键． 5．（24-25八年级上·安徽宿州·期末）如图，一次函数（是常数，且）与正比例函数（m是常数，且）的图象相交于点，下列判断不正确的是（　　） A．关于的方程的解是 B．当时， C．关于的方程组的解是 D．当时，函数的值比函数的值小 【答案】D 【知识点】根据两条直线的交点求不等式的解集、两直线的交点与二元一次方程组的解 【分析】本题主要考查了一次函数的图象和性质，解题的关键是掌握用图像法解一元一次方程和解二元一次方程组的方法和步骤．根据两直线的交点坐标即可判断A、C，根据图象即可判断B、D． 【详解】解：∵两直线相交于点， ∴方程的解是，方程组的解是， 故A、C正确，不符合题意； ∵当时，直线在x轴下方，即，故B正确，不符合题意； ∴当时，函数的值比函数的值大，故D不正确，符合题意； 故选：D． 二、填空题 6．（2025·天津·模拟预测）直线与轴的交点坐标为 ． 【答案】 【知识点】由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点 【分析】本题考查直线与轴交点坐标的求法，求直线与轴的交点坐标，令，然后解关于的方程，得到的值和组成的坐标就是直线与轴的交点坐标． 【详解】解：令，则， 解得， 所以直线与轴的交点坐标为． 故答案为：． 7．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）已知一次函数的图像如图所示，则不等式的解集为 ． 【答案】 【知识点】由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式，根据一次函数与坐标轴的交点，数形结合求出不等式的解集即可． 【详解】解：由图象可知，直线与x轴的交点的横坐标为3， 当时，直线在x轴的上方， ∴不等式的解集为， 故答案为：． 8．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线经过点，和，则关于x的方程的解为 ．    【答案】4 【知识点】利用图象法解一元一次方程 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次方程．根据题意，可知当时，，即可关于x的方程的解为． 【详解】解：∵直线经过点， ∴当时，， ∴关于x的方程的解为． 故答案为：4． 9．（24-25八年级上·江苏盐城·期末）如图，一次函数与的图象相交于点，则方程组的解为 ． 【答案】 【知识点】两直线的交点与二元一次方程组的解 【分析】本题主要考查了运用一次函数图象解方程组，利用方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标即可求得方程组的解，熟练掌握二元一次方程（组）与一次函数的关系及数形结合思想解题的关键． 【详解】解：∵一次函数过点， ∴，解得， ∴点， ∴方程组的解为， 故答案为：． 10．（22-23八年级上·江苏宿迁·期末）如图， 直线和直线分别与x轴交于和两点，则不等式组的解集为 【答案】 【知识点】由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，观察函数图象，写出直线在x轴下方和直线在x轴上方所对应的自变量的范围即可． 【详解】解：当时，， 则当时，，当时，， 当时，， 则当时，，当时，， 所以当时，，， 即不等式组的解集为， 故答案为：． 三、解答题 11．（24-25八年级上·江苏南京·期末）如图，一次函数与的图象相交于点A，与x轴分别交于点B，C． (1)求点A的坐标； (2)结合图象，直接写出当时x的取值范围． 【答案】(1)点A的坐标为 (2) 【知识点】根据两条直线的交点求不等式的解集、两直线的交点与二元一次方程组的解 【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式之间的关系，两直线交点坐标的求法，求出点A的坐标是解题的关键． （1）将两个函数表达式联立成方程组，解此方程组即可求出点A的坐标； （2）根据函数图象和点A的坐标即可得到结果． 【详解】（1）解：由题意可得：， 解得， 所以点A坐标为； （2）解：根据图象可知，时，x的取值范围是． 12．（24-25八年级下·全国·期末）在以下平面直角坐标系中， (1)画出函数与的图象； (2)根据图象写出方程组的解； (3)根据图象写出不等式的解集． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【知识点】画一次函数图象、根据两条直线的交点求不等式的解集、两直线的交点与二元一次方程组的解 【分析】本题主要考查了画一次函数图象、一次函数与方程组的关系、一次函数与不等式的关系等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键． （1）运用列表、描点、连线的步骤画出函数图象即可； （2）根据二元一次方程组的解为其对应函数交点的坐标，据此即可解答； （3）根据函数图象确定在上方部分所对应的自变量的取值范围即可． 【详解】（1）解：列表如下： 描点、连线、画图如下： （2）解：方程组可化为：， 由函数图象可知直线与直线的交点坐标为， 所以方程组的解为； （3）解：∵当时，函数的图象在函数的下方， ∴不等式的解集为． 13．（24-25八年级上·山东菏泽·期中）如图，直线与x轴､y轴分别交于A､B两点，在y轴上有一点，动点M从A点以每秒1个单位的速度沿x轴向左移动．    (1)求A､B两点的坐标； (2)求的面积S与M的移动时间t之间的函数关系式； (3)当t为何值时，并求此时M点的坐标． 【答案】(1)， (2) (3) 【知识点】函数解析式、由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点、求直线围成的图形面积 【分析】此题考查了一次函数与坐标轴的交点，动点问题的函数关系，三角形全等的性质，分情况讨论是解答本题的关键． （1）由直线l的函数解析式，令求A点坐标，求B点坐标； （2）由面积公式求出S与t之间的函数关系式； （3）由得，则t时间内移动了，可算出t值，并得到M点坐标． 【详解】（1）解：令得， ； 令得， ． （2）解：∵动点M从A点以每秒1个单位的速度沿x轴向左移动， ， ， 即的面积S与M的移动时间t之间的函数关系式为：．    （3）解：因为， ． 若，则， ， 解得或． 当； 当． 当或时， 此时M点的坐标． 14．（22-23八年级下·辽宁丹东·期中）观察图象填空： (1)如图1，一次函数的图象经过点，则不等式的解集是______． (2)如图2，两条直线的交点坐标为______，方程的解是______；不等式的解是______． (3)如图3，一次函数和的图象相交于点A，分别与轴相交于点和点．结合图象，直接写出关于的不等式组的解集是______． 【答案】(1) (2)，， (3) 【知识点】根据两条直线的交点求不等式的解集 【分析】本题主要考查了两条直线的交点与二元一次方程组解的关系，一次函数和不等式的关系，解题的关键是数形结合，注意直线与直线的交点，直线与坐标轴的交点． （1）根据函数图象求出不等式的解集即可； （2）根据函数图象得出两条直线的交点坐标即可；根据交点坐标得出的解即可；根据函数图象求出不等式的解集即可； （3）①令，求出，把代入求出即可得出点A的坐标为；把代入求出，即可得出点C的坐标为，进而根据函数图象求出不等式组的解集即可． 【详解】（1）解：∵根据函数图象可知，在点P下方的部分的函数值小于2， ∴不等式的解集是． 故答案为：． （2）解：观察图象，两条直线的交点坐标为； 方程的解是交点坐标的横坐标的值，因此方程的解为； ∵在交点的右侧，函数的图象在的上方， ∴不等式的解集为． 故答案为：；；． （3）解：令， 解得：， 把代入得：， ∴点A的坐标为； 把代入得：， 解得：， ∴点C的坐标为； ∴根据函数图象可知，在点A的右侧函数的图象在的上面，在点C的左侧函数的图象在x轴的下方， ∴不等式组的解集为． 故答案为：． 15．（23-24八年级下·广东惠州·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，与轴、轴分别交于两点． (1)若点的坐标分别为．直接写出下列各小题答案． 方程的解是______． 方程组的解是______． 不等式的解集是______． 不等式的解集是______． (2)若点的坐标分别为，直线的表达式为，求的面积； (3)在（）的基础上，点是轴上的一点，且使得是等腰三角形，直接写出所有符合条件条件的点的坐标． 【答案】(1)；；；； (2)； (3)或或或． 【知识点】已知直线与坐标轴交点求方程的解、根据两条直线的交点求不等式的解集、两直线的交点与二元一次方程组的解、求直线围成的图形面积 【分析】（）根据交点坐标及函数图象即可求解； （）利用待定系数法求出的解析式，再联立函数解析式求出点坐标，最后根据三角形面积公式计算即可求解； （）设点的坐标为，可得，分点分别为顶点三情况解答即可求解； 本题考查了一次函数与一元一次方程和不等式，一次函数的交点问题，勾股定理，等腰三角形的定义，坐标与图形，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】（1）解：∵直线与轴的交点为， ∴方程的解为， 故答案为：； ∵直线与直线的交点为， ∴方程组的解为， 故答案为：； 由图象可得，当时，， ∴不等式的解集是， 故答案为：； 由函数图象可得，当时，， ∴不等式的解集是， 故答案为：； （2）解：把代入得， ， 解得， ∴直线的函数解析式为， 由得，， ∴， ∴； （3）解：设点的坐标为 ∵， ∴， 当点为顶点时，， ∴， ∴或， ∴点的坐标为或； 当点为顶点时，， ∴点的坐标为； 当点为顶点时，则， ∴， 解得， ∴点的坐标为； 综上，点的坐标为或或或． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题17 一次函数与方程、不等式的六种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 类型一、由一元一次方程的解求直线与x轴的交点 2 类型二、利用图象法解一元一次方程 3 类型三、两条直线的交点与二元一次方程组的解 5 类型四、图象法解二元一次方程组 7 类型五、由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 10 类型六、根据两条直线的交点求不等式的解集 12 压轴能力测评（15题） 16 解题知识必备 1.一次函数与一元一次方程的关系 1）一元一次方程可转化为一般式：ax+b=0 2）一次函数为：y=kx+b的形式；当y=0时，一次函数x的值就是一元一次方程的解； y=0时x的值，即一次函数与x轴的交点横坐标，就是对应一元一次方程的解. 2.一次函数与二元一次方程的关系 1）每个二元一次方程组都对应两个一次函数，于是也对应两条直线.从“数”的角度看，解方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这时的函数为何值；从“形”的角度看，解方程组相当于确定两条直线交点的坐标. 2）两个一次函数图象的交点与二元一次方程组的解的联系是：在同一直角坐标系中，两个一次函数图象的交点坐标就是相应的二元一次方程组的解，反之也成立. 3）当二元一次方程组无解时，相应的两个一次函数在坐标系中的直线就没有交点，则两个一次函数的直线平行.反过来，当两个一次函数直线平行时，相应的二元一次方程组就无解. 4）当二元一次方程组有无数解时，则相应的两个一次函数在坐标系中重合，反之也成立. 3. 一次函数与不等式的关系 解不等式ax+b＞0(a，b是常数，a≠0) ． 从“数”的角度看，x为何值时函数y= ax+b的值大于0． 解不等式ax+b＞0(a，b是常数，a≠0) ． 从“形”的角度看，求直线y= ax+b在 x 轴上方的部分（射线）所对应的的横坐标的取值范围． 压轴题型讲练 类型一、由一元一次方程的解求直线与x轴的交点 例题：（23-24八年级下·河南南阳·阶段练习）若关于x的方程的解为，则直线一定经过点（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·陕西西安·期中）若关于x的方程的解是，则直线一定经过点（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·陕西·期中）已知关于x的方程的解为，则一次函数的图象与x轴的交点坐标为 ． 类型二、利用图象法解一元一次方程 例题：（24-25八年级上·河北保定·期中）一次函数的图象如图所示，则方程的解为（   ）． A． B． C． D． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·福建漳州·期中）如图，直线经过点，则方程的解为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·陕西西安·期中）如图，直线过点和点，则方程的解是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·甘肃兰州·一模）如图，已知直线经过点，则关于x的方程的解是（   ） A． B． C． D． 类型三、两条直线的交点与二元一次方程组的解 例题：（24-25八年级上·广东深圳·期中）已知一次函数与（是常数，且）的图象的交点坐标是，则方程组的解是 ． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·陕西汉中·期末）在同一平面直角坐标系中，直线与相交于点，则关于x、y的方程组的解是 ． 2．（24-25七年级下·山东东营·阶段练习）如果函数与的图像的交点坐标是，那么方程组的解是 ． 3．（24-25八年级下·吉林长春·阶段练习）已知关于、的二元一次方程组的解是，则一次函数和的图象的交点坐标为 ． 类型四、图象法解二元一次方程组 例题：（24-25八年级下·北京顺义·阶段练习）如图，两个一次函数图象的交点坐标为，则关于，的方程组的解为 . 【变式训练】 1．（24-25八年级上·四川成都·期末）如图，一次函数与的图象交于点，则关于x，y的方程组的解为 ． 2．（2025·山东聊城·一模）如图，直线与相交于点P，则关于x，y的方程组的解为 ． 3．（2025·福建三明·一模）如图，一次函数与的图象交于，则关于，的方程组的解为 ． 类型五、由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 例题：（24-25八年级下·辽宁沈阳·阶段练习）若一次函数的图象如图所示，则关于的不等式的解集为 ． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·广东梅州·期中）如图，一次函数的图象与y轴的交点为，则不等式的解集是 ． 2．（24-25八年级下·四川成都·阶段练习）如图，直线与坐标轴的两个交点分别为，则不等式的解集为 ． 3．（24-25八年级下·全国·单元测试）如图，直线交轴于点，交轴于点，则不等式的解集是 ． 类型六、根据两条直线的交点求不等式的解集 例题：（24-25八年级下·广东深圳·期中）如图，一次函数与的图象相交于点，与轴分别交于点，．请结合图象，写出当时的取值范围 ． 【变式训练】 1．（24-25八年级下·福建漳州·阶段练习）一次函数与的图象如图所示，其交点为，则不等式的解集为 ． 2．（24-25八年级下·重庆·阶段练习）如图，一次函数与相交于点，则关于的不等式的解集是 ． 3．（24-25八年级下·广东佛山·阶段练习）我们曾研究过“函数的图象上点的坐标的特征”，了解了一元一次不等式的解集与相应的一次函数图象上点的坐标的关系．发现一元一次不等式的解集是函数图象在x轴上方的点的横坐标的集合． 结论：一元一次不等式：（或）的解集，是函数图象在x轴上方（或x轴下方）部分的点的横坐标的集合． 【解决问题】： （1）如图1，观察图象，一次函数的图象经过点，则不等式的解集是__________． （2）如图2，观察图象，不等式的解集是__________． 【拓展延伸】： （3）如图3，一次函数和的图象相交于点A，分别与x轴相交于点B和点C． ①结合图象，直接写出关于x的不等式组的解集是__________． ②在x轴上是否存在点P，使得为等腰三角形，若存在，请直接写出点P坐标；若不存在，请说明理由． 压轴能力测评（15题） 一、单选题 1．（23-24八年级下·广东广州·期末）若是方程的解， 则直线的图象与x轴交点的坐标为 （   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·江苏宿迁·期末）若函数和函数的图象如图所示，其交点为，则关于的不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·安徽蚌埠·期中）一次函数与的图象如图所示，下列结论错误的是（    ） A．当时， B．当时， C．关于x，y的方程组的解为 D． 4．（2024·山东临沂·模拟预测）在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示．则下列结论中：①随的增大而增大；②；③．当时，；④关于，的方程组的解为，正确的有（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．（24-25八年级上·安徽宿州·期末）如图，一次函数（是常数，且）与正比例函数（m是常数，且）的图象相交于点，下列判断不正确的是（　　） A．关于的方程的解是 B．当时， C．关于的方程组的解是 D．当时，函数的值比函数的值小 二、填空题 6．（2025·天津·模拟预测）直线与轴的交点坐标为 ． 7．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）已知一次函数的图像如图所示，则不等式的解集为 ． 8．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线经过点，和，则关于x的方程的解为 ．    9．（24-25八年级上·江苏盐城·期末）如图，一次函数与的图象相交于点，则方程组的解为 ． 10．（22-23八年级上·江苏宿迁·期末）如图， 直线和直线分别与x轴交于和两点，则不等式组的解集为 三、解答题 11．（24-25八年级上·江苏南京·期末）如图，一次函数与的图象相交于点A，与x轴分别交于点B，C． (1)求点A的坐标； (2)结合图象，直接写出当时x的取值范围． 12．（24-25八年级下·全国·期末）在以下平面直角坐标系中， (1)画出函数与的图象； (2)根据图象写出方程组的解； (3)根据图象写出不等式的解集． 13．（24-25八年级上·山东菏泽·期中）如图，直线与x轴､y轴分别交于A､B两点，在y轴上有一点，动点M从A点以每秒1个单位的速度沿x轴向左移动．    (1)求A､B两点的坐标； (2)求的面积S与M的移动时间t之间的函数关系式； (3)当t为何值时，并求此时M点的坐标． 14．（22-23八年级下·辽宁丹东·期中）观察图象填空： (1)如图1，一次函数的图象经过点，则不等式的解集是______． (2)如图2，两条直线的交点坐标为______，方程的解是______；不等式的解是______． (3)如图3，一次函数和的图象相交于点A，分别与轴相交于点和点．结合图象，直接写出关于的不等式组的解集是______． 15．（23-24八年级下·广东惠州·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，与轴、轴分别交于两点． (1)若点的坐标分别为．直接写出下列各小题答案． 方程的解是______． 方程组的解是______． 不等式的解集是______． 不等式的解集是______． (2)若点的坐标分别为，直线的表达式为，求的面积； (3)在（）的基础上，点是轴上的一点，且使得是等腰三角形，直接写出所有符合条件条件的点的坐标． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$