专题16 待定系数法求一次函数表达式的五种考法-【常考压轴题】2024-2025学年八年级数学下册压轴题攻略（人教版）

专题16 待定系数法求一次函数表达式的五种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 1 类型一、已知一点求正比例函数的表达式 1 类型二、已知一点求一次函数中K值或b值 3 类型三、已知两点求一次函数的表达式 5 类型四、两直线平移，求直线的表达式 9 类型五、已知含y与含x的多项式成正比例，求函数表达式 12 压轴能力测评（16题） 15 解题知识必备 1.用待定系数法求一次函数的表达式 1.求一次函数y=kx+b（k、b是常数，k≠0）时，需要由两个点来确定； 2.求正比例函数y=kx（k≠0）时，只需一个点即可. 压轴题型讲练 类型一、已知一点求正比例函数的表达式 例题：已知是关于的正比例函数，当时，． (1)求关于的函数表达式； (2)若点是该函数图象上的一点，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查正比例函数综合，涉及待定系数法确定函数关系式、点在图像上求参数等知识，熟练掌握正比例函数的图象与性质是解决问题的关键． （1）利用待定系数法确定函数关系式即可得到答案； （2）由（1）中所求表达式，将代入解析式即可得到答案． 【详解】（1）解：和x成正比例， 设， 当时，， ∴， ； （2）由（1）知， 点是该函数图象上的一点， 把点代入， 得，解得． 【变式训练】 1．已知正比例函数图像经过点． (1)求此正比例函数的解析式： (2)点是否在此函数图像上？请说明理由； 【答案】(1) (2)点不在此函数图像上，理由见解析 【分析】本题主要考查了求正比例函数图象的性质，求正比例函数值： （1）利用待定系数法求解即可； （2）求出当时y的值即可得到答案． 【详解】（1）解：设此正比例函数的解析式为， 把代入中得：， ∴此正比例函数的解析式为； （2）解：点不在此函数图像上，理由如下： 在中，当时，， ∴点不在此函数图像上． 2．已知正比例函数的图象经过点，求： (1)该函数的表达式； (2)若点在此函数图象上，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了待定系数法求正比例函数的解析式、正比例函数图象上的点的特征，熟练掌握以上知识点是解此题的关键． （1）将代入求出的值即可得出函数的表达式； （2）将代入得：，求出的值即可． 【详解】（1）解：将代入得：， 解得：， 该函数的表达式为：； （2）解：将代入得：， 解得：． 类型二、已知一点求一次函数中K值或b值 例题：已知直线经过点． (1)求a的值； (2)将该直线向下平移k个单位长度使其成为正比例函数，求k的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了求一次函数解析式和一次函数平移，解题关键是熟练运用待定系数法求出解析式； （1）把代入即可求出a的值； （2）根据正比例函数图象经过原点，确定k的值即可． 【详解】（1）解：把代入, 可得， 解得； （2）解：因为正比例函数图象经过原点， 所以，将该直线向下平移3个单位长度使其成为正比例函数， 所以，． 【变式训练】 1．已知一次函数的图象经过点． (1)求此一次函数的表达式． (2)判断点是否在该函数图象上，并说明理由． 【答案】(1)一次函数表达式为； (2)点在该函数图象上，理由见解析． 【分析】（）利用待定系数法解答即可求解； （）把代入（）得到的函数表达式中，求出的值，与点的纵坐标比较即可判断； 此题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数的图象，掌握待定系数法是解题的关键． 【详解】（1）解：把点代入得：， 解得， 故所求一次函数表达式为； （2）解：当时，， 故点在该函数图象上． 2．已知一次函数，当时，． (1)求一次函数的解析式； (2)求该一次函数与坐标轴围成的三角形的面积． 【答案】(1)； (2)16． 【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，求一次函数与坐标轴围成的图形面积． （1）利用待定系数法求解即可； （2）先求得直线与坐标轴的交点坐标，再利用三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：将时，代入得：， 解得 ∴一次函数的解析式为； （2）解：令，则，， 令，则， ． 3．已知一次函数，其中． (1)若点在y的图象上，求k的值． (2)当时，若函数有最大值9，求y的函数表达式． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了一次函数图象上的点，一次函数的性质； （1）将点代入关系式，求出，即可求解； （2）①当时，即：，利用一次函数的增减性得当时，，将此代入即可求解；②当时，即：，利用一次函数的增减性得当时，，将此代入即可求解； 掌握一次函数的性质中的增减性，并利用其确定取得最值的条件是解题的关键． 【详解】（1）解：点在的图象上， ， 解得：； 故答案为：； （2）解：①当时，即：， 当时，函数的最大值为9， 当时，， ， 解得：， 一次函数解析式为； ②当时，即：， 当时，函数的最大值为9， 当时，， ， 解得：， 一次函数解析式为； 综上所述：一次函数解析式为或； 类型三、已知两点求一次函数的表达式 例题：已知：一次函数，是常数，的图象过，两点． (1)求该函数的表达式； (2)试判断点是否在直线上？并说明理由． 【答案】(1)该函数的表达式为 (2)点在直线上，理由见详解． 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，以及一次函数图象上点的坐标特征． （1）把，分别代入，用待定系数法即可求出该函数的表达式； （2）通过计算自变量为所对应的函数值可判断点是否在直线上． 【详解】（1）解：把，分别代入 得∶， 解得， 该函数的表达式为； （2）点在直线上． 理由如下： 当时，， 点在直线上． 【变式训练】 1．已知一次函数的图象经过点，． (1)求此一次函数的解析式； (2)求此一次函数的图象与两坐标轴所围成的三角形面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查求一次函数解析式，一次函数与坐标轴的交点问题． （1）待定系数法求出函数解析式； （2）求出一次函数与坐标轴的两个交点，利用面积公式进行计算即可． 【详解】（1）解：设一次函数的解析式为， ∵一次函数的图象经过点， ∴，解得：， ∴； （2）∵， ∴当时，，当时，； ∴一次函数与坐标轴的两个交点为， ∴一次函数的图象与两坐标轴所围成的三角形面积为． 2．（23-24七年级上·浙江金华·期末）已知y是x的一次函数，且当时，；当时，．求： (1)这个一次函数的表达式． (2)当时，函数y的值． (3)当时，自变量x的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，以及求函数解析式的值，一次函数的性质． （1）设，利用待定系数法求解即可； （2）将代入一次函数解析式，即可求解； （3）根据的值，可知随的增大而减小，分别求出和对应的的取值，即可求解． 【详解】（1）解：设， ∵当时，；当时，， ∴， 解得， 函数解析式为； （2）解：将代入得，； （3）解：∵， ∴y随x的增大而减小， 把代入得，， 解得：， ∴当时，， ∴当时，自变量x的取值范围为． 3．一次函数的图象与x、y轴分别交于点，． (1)求该函数的解析式，并说明点是否在函数图象上； (2)O为坐标原点，设OB、AB的中点分别为C、D．P为OA上一动点，求的最小值．并求取得最小值时P点的坐标． 【答案】(1)，在 (2)存在，最小值为， 【分析】（1）用待定系数法求解即可；把横坐标的值代入函数解析式中，求出函数值，是否等于点的纵坐标，即可判断； （2）取点C关于x轴的对称点，连接，则的最小值为长度；求出直线的解析式，即可求得它与x轴的交点，此点即为点P的坐标；由勾股定理可求得的长度，从而求得的最小值． 【详解】（1）解：∵过， ∴将点A，B的坐标代入得，解得：， ∴解析式为：； 当时，，所以点在函数图象上 （2）解：存在一点P，使最小； ∵，，且C为BO的中点， ∴点C的坐标为， 如图，作C关于x轴对称点，则，连接， 则， 即当三点共线时，取得最小值，且最小值为长度； 又∵，且D为AB的中点， ∴点D的坐标为 连接，设的解析式为， 把点代入得， 把点代入，得， ∴是的解析式， ∵， ∴， 即， ∵的最小值， ∴由勾股定理得． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，最短距离，对称性，勾股定理，直线与坐标轴的交点等知识，正确求出函数解析式是关键． 类型四、两直线平移，求直线的表达式 例题：直线与轴交于点，且与直线平行，则直线的表达式为 【答案】/ 【分析】本题考查了两直线的平行问题，利用好平行直线的解析式中的值相等是解题的关键． 根据两平行直线的解析式中值相等，再把点代入进行计算求出值，即可得到解析式． 【详解】解：∵直线与直线平行， ∴， ∵直线与轴交于点， ∴ ∴这个一次函数的解析式为． 故答案为：． 【变式训练】 1．在平面直角坐标系中，点在直线上，分别过点A、B作x轴，y轴的平行线交于点C． (1) ， ； (2)求过点C且平行于的直线的解析式． 【答案】(1)， (2) 【分析】此题考查了一次函数的图象和性质、待定系数法求函数解析式等知识，求出，的值是解题的关键． （1）把点分别代入函数解析式即可得到答案； （2）写出点A和点B的坐标，根据题意求出点C的坐标，利用待定系数法求出直线的解析式即可． 【详解】（1）∵点在直线上， ∴，， 解得，， 故答案为：，， （2）由（1）可得，点， 分别过点A、B作x轴，y轴的平行线交于点C． ∴点C的坐标是， ∵直线平行于， ∴可设直线的解析式为， 把点代入得， 解得， ∴直线的解析式为， 2．根据下列条件，分别确定一次函数的解析式： (1)图象过，； (2)直线与直线平行，且过点； (3)在坐标系中画出以上两函数图象，与x轴交点分别为A、B，两直线的交点C，求的面积 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题考查了待定系数法求直线解析式，两直线平行的问题，根据两平行直线的解析式的值相等求解是解题的关键． （1）设直线解析式为，把点、的坐标代入解析式得到关于、的二元一次方程组，求解得到、的值，即可得解； （2）根据平行直线的解析式的值相等求出，然后把经过的点代入求出的值，即可得解； （3）根据题意画出图象，利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】（1）解：设直线解析式为， 图象过，， ， 解得， 故一次函数解析式为； （2）解：直线与直线平行， ， 直线过点， ， 解得， 故直线解析式为； （3）解：令，则，， 解得，， ∴，， 联立，解得， ∴， 画出图象如图， ∴． 3．在平面直角坐标系中，一次函数图象是由直线平移得到的，且经过点，交y轴于点B． (1)求此一次函数的表达式； (2)若点P为此一次函数图象上一点，且的面积为10，求点P的坐标． 【答案】(1)y＝－x＋5． (2)或． 【分析】（1）由该一次函数是由直线平移得到的可是此一次函数的表达式为，再根据点A的坐标利用待定系数法求出一次函数解析式即可； （2）设点P的坐标为，将代入一次函数解析式中求出y值，由此即可得出的长度，再根据三角形的面积公式结合的面积为10即可得出关于m的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出m值，将其代入点P的坐标中即可得出结论． 【详解】（1）设此一次函数的表达式为， 将代入， ， 解得：． ∴此一次函数的表达式为． （2）设点P的坐标为， 当时，， ∴点， ∴． ∴， 解得：或． ∴点P的坐标为或．    【点睛】本题考查了一次函数图象的平移，一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积以及待定系数法求一次函数解析式，解题的关键是：（1）根据点的坐标利用待定系数法求出一次函数解析式；（2）根据三角形的面积公式结合△POB的面积为10列出关于m的含绝对值符号的一元一次方程． 类型五、已知含y与含x的多项式成正比例，求函数表达式 例题：已知y与成正比例，且当时，． (1)求y与x之间的函数表达式； (2)当时，求x的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了正比例函数的定义，求自变量的值；掌握正比例函数定义是关键． （1）由题意设，把x与y的值代入即可求得k的值，从而求得函数解析式； （2）把代入所求函数式中，即可求得自变量的值． 【详解】（1）解：∵y与成正比例， ∴设， 当时，，则， 即， ∴， 即； （2）解：当时，即， 解得：． 【变式训练】 1．已知y是x的正比例函数，且当时，． (1)求这个正比例函数的解析式； (2)若点在该函数图象上，试比较，的大小． 【答案】(1)正比例函数的解析式是 (2) 【分析】（1）用待定系数法即可得； （2）由正比例函数性质可得答案． 【详解】（1）解：设正比例函数的解析式是， ∵当时，， ∴， 解得， ∴正比例函数的解析式是； （2）解：∵， ∴y随x的增大而减小， 又， ∴． 【点睛】本题考查待定系数法求正比例函数的解析式和正比例函数的性质，解题的关键是掌握待定系数法． 2．已知和成正比例，当时，． (1)求关于的函数表达式； (2)若点是该函数图象上的一点，求的值． 【答案】(1) (2)8 【分析】本题考查正比例函数综合，涉及待定系数法确定函数关系式、点在图像上求参数等知识，熟练掌握正比例函数的图象与性质是解决问题的关键． （1）利用待定系数法确定函数关系式即可得到答案； （2）由（1）中所求表达式，将代入解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：和成正比例， 设， 代入得，解得， ； （2）解：由（1）知， 点是该函数图象上的一点， 把点代入，得，解得． 3．已知与x成正比例，与成正比例，当时，；当时，． (1)求y与x的函数解析式； (2)当时，求y的值． 【答案】(1) (2)y的值为 【分析】（1）设，得到，待定系数法求出解析式即可； （2）将代入（1）中解析式，进行求解即可． 【详解】（1）解：设，则， 依题意，得：， 解得：， ∴， ∴； （2）把代入，得． ∴当时，y的值为． 【点睛】本题考查求函数解析式以及求函数值．熟练掌握正比例函数的定义，求出函数解析式，是解题的关键． 4．已知与成正比例，且当时，． (1)求y与x之间的函数解析式． (2)已知点在该函数的图像上，且，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意可得：，再将代入求解即可； （2）将点代入解析式，联立，求解二元一次方程组即可． 【详解】（1）解：由题意可得： 将代入得，，解得 即，化简得： 即 （2）将点代入得， 则，解得 即 【点睛】此题考查了一次函数，掌握正比例函数的定义是解题的关键，形如的函数为正比例函数． 压轴能力测评（16题） 一、单选题 1．（2025八年级下·全国·专题练习）将函数图象向下平移4个单位长度，所得图象对应的函数表达式是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】一次函数图象平移问题 【分析】本题主要考查了一次函数图象的平移问题，根据“上加下减”的平移规律解答即可． 【详解】解：将函数的图象向下平移4个单位长度，所得函数图象的表达式是， 故选：B． 2．（2025八年级下·全国·专题练习）平面直角坐标系第二象限内有一点，它到轴的距离为，到轴的距离为，则直线的表达式是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求点到坐标轴的距离、求一次函数解析式 【分析】本题考查正比例函数解析式的求法，直角坐标系内的点的坐标特征，熟练掌握平面内点的坐标特点，以及待定系数法求函数解析式是解题的关键．由已知可求，再用待定系数法求的解析式． 【详解】解：∵点到轴的距离为，到轴的距离为，在第二象限， ∴， 设直线的解析式为， 将点代入， 得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 故选：B． 3．（23-24八年级下·山东聊城·阶段练习）如图，一直线与两坐标轴的正半轴分别交于A，B两点，P是线段上任意一点（不包括端点），过P分别作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的矩形的周长为12，则该直线的函数表达式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求一次函数解析式 【分析】本题考查一次函数解析式的求解，首先设出函数图形上一点的坐标P为；根据矩形的周长公式得到，整理一下把y放到另一边即可解答． 【详解】解：设P点坐标为， ∵矩形的周长等于相邻两边的和， ∴， 整理得：． 故选：B． 二、填空题 4．（24-25八年级上·江苏南京·期末）一次函数的图象向下平移个单位长度，所得图象对应的函数表达式是 ． 【答案】/ 【知识点】一次函数图象平移问题 【分析】本题考查了一次函数图象的平移，根据“左加右减，上加下减”可进行求解，熟练掌握一次函数图象的平移是解题的关键． 【详解】解：∵一次函数的图象向下平移个单位长度， ∴根据“上加下减”可得图象对应的函数表达式是， 故答案为：． 5．（24-25九年级下·山东济宁·期中）已知直线与直线平行，且经过点，那么该直线的表达式是 ． 【答案】 【知识点】求一次函数解析式 【分析】本题考查了两条直线相交或平行问题以及一次函数图象上点的坐标特征，掌握两直线平行系数相等是解题关键．由平行可得，再将点代入求出，即可求解． 【详解】解：∵直线与直线平行， ∴，． ∵直线过点， ∴ ∴． 故答案为：． 6．（24-25八年级上·江苏盐城·阶段练习）在平面直角坐标系中，一次函数的图像与x轴、y轴分别交于点A、B，将直线绕点A逆时针旋转，交y轴于点C，则直线的函数表达式是 ． 【答案】 【知识点】求一次函数解析式、一次函数图象与坐标轴的交点问题、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查了一次函数图象与几何变换，待定系数法求一次函数的解析式，全等三角形的判定与性质．求得点、的坐标，求得的长，过作于点,过点作轴于点，过点作于点，设点的坐标为，证明，得到，，求出点D的坐标，然后根据待定系数法求得直线的函数表达式． 【详解】解:∵一次函数的图象与轴，轴分别交于点、, ∴, ∴, 过作于点,过点作轴于点，过点作于点，设点的坐标为， 则， ∴， ∴， 由旋转的性质可知, ∴，即， ∴， ∴，， 即， 解得，， ∴点D的坐标为， 设直线的函数表达式为： 解得 , ∴直线的函数表达式为：, 故答案为：． 三、解答题 7．（24-25八年级上·江西景德镇·期末）在平面直角坐标系中，某一次函数的图象与直线图象平行，且经过点，并与轴相交于点． (1)求此一次函数的表达式； (2)若点为此一次函数图象上一点，且的面积为，求点的坐标． 【答案】(1)一次函数的表达式为 (2)点P的坐标为或 【知识点】求一次函数解析式、求一次函数自变量或函数值、一次函数图象平移问题 【分析】本题主要考查了一次函数图象的平移，一次函数图象上点的坐标特征，以及待定系数法求一次函数解析式， （1）由该一次函数的图象与直线图象平行，可设此一次函数的表达式为，再根据点A的坐标利用待定系数法求出一次函数解析式即可； （2）设点的坐标为，将代入一次函数解析式中求出值，由此即可得出的长度，再根据三角形的面积为， 即可得出关于的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出值，将其代入点的坐标中即可得出结论． 【详解】（1）解：设此一次函数的表达式为：， 将代入， 得， 解得， ∴此一次函数的表达式为； （2）设点P的坐标为， 当时，， ∴点，   ∴， ∴， 解得或， 当时，， 当时，． ∴点P的坐标为或． 8．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）已知一次函数经过点和点． (1)求一次函数的表达式； (2)求一次函数的图像与两条坐标轴围成的三角形的面积． 【答案】(1) (2)3 【知识点】求一次函数解析式、一次函数图象与坐标轴的交点问题 【分析】本题考查待定系数法求一次函数解析式，一次函数性质，解题的关键是用待定系数法求出一次函数解析式．（1）用待定系数法即可求出一次函数即可； （2）求出一次函数的图象与轴交于，与轴交于，再根据三角形面积公式列式计算即可． 【详解】（1）解：把，代入得： ， 解得， 一次函数的表达式为； （2）在中，令得，令得， 如图： 一次函数的图象与轴交于，与轴交于， ， 一次函数的图象与两条坐标轴围成的三角形的面积为3． 9．（24-25八年级上·安徽宿州·期中）已知正比例函数的图象经过点． (1)求这个正比例函数的表达式； (2)若一次函数的图象与正比例函数的图象平行，且过点，将这个一次函数的图象向下平移4个单位，写出平移后函数表达式． 【答案】(1) (2) 【知识点】求一次函数解析式、正比例函数的性质、一次函数图象平移问题 【分析】本题主要考查了一次函数图像与几何变换，一次函数的性质，熟练掌握一次函数的图像和性质是解题的关键． （1）待定系数法求出正比例函数解析式即可； （2）先求出平移前的解析式，再根据平移法则得到新的解析式． 【详解】（1）解：设正比例函数解析式为，图象经过点， ， 得， 故正比例函数的表达式为； （2）解：一次函数的图象与正比例函数的图象平行， 一次函数，即， 一次函数图像经过点， 解得， 一次函数解析式为：， 将这个一次函数的图象向下平移4个单位，得到． 10．（24-25八年级上·广西百色·期末）已知正比例函数． (1)若点在它的图象上，求正比例函数的表达式； (2)若函数图象经过第二、四象限，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】正比例函数的定义、正比例函数的性质 【分析】本题考查了待定系数法求正比例函数解析式，解正比例函数图象的性质，熟练掌握正比例函数的图象性质是解题的关键； （1）把点的坐标代入即可计算． （2）根据正比例函数图象的性质，得，解不等式即可求得k的取值范围； 【详解】（1）解： 点在的图象上， ，             解得，             正比例函数的表达式为． （2）（2）的图象经过第二、四象限， ，             ． 11．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）一次函数（，都是常数，）的图象经过，两点． (1)求这个一次函数的表达式． (2)判断是否在直线上？ 【答案】(1) (2)是 【知识点】求一次函数解析式、求一次函数自变量或函数值 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握利用待定系数法求一次函数解析式的方法是解题的关键． （1）根据点A、B的坐标利用待定系数法即可求出一次函数的解析式； （2）把点的坐标代入解析式进行检验即可． 【详解】（1）解：把，代入得： ，解得， ∴一次函数的表达式为； （2）解：当时，， ∴在直线上． 12．（23-24八年级下·广东梅州·期末）已知一次函数，其中． (1)若点在的图象上，求的值； (2)当时，若函数有最大值2，求的函数表达式； 【答案】(1) (2)或 【知识点】求一次函数解析式、根据一次函数增减性求参数 【分析】本题考查了一次函数图象上的点，一次函数的性质； （1）将点代入关系式，求出，即可求解； （2）①当时，即：，利用一次函数的增减性得当时，，将此代入即可求解；②当时，即：，利用一次函数的增减性得当时，，将此代入即可求解； 掌握一次函数的性质，并利用其确定取得最值的条件是解题的关键． 【详解】（1）解：把代入得， 解得：； （2）当时，即随x的增大而增大， ∴当时，，即， 解得：， ∴函数表达式为； 当时，即随x的增大而减小， ∴当时，，即， 解得：， ∴函数表达式为； 综上所述，函数表达式为或． 13．（24-25八年级上·江苏盐城·阶段练习）已知与成正比例，当时，． (1)求出y与x的函数表达式； (2)设点在这个函数的图像上，求m的值． (3)试判断点是否在此函数图像上，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)不在，理由见解析 【知识点】正比例函数的定义、求一次函数解析式、求一次函数自变量或函数值 【分析】（1）可设，将x、y值代入求出k值即可求解； （2）将点代入（1）中函数关系式中求解即可； （3）根据一次函数图象上定的坐标特征进行判断即可． 本题考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上的点的坐标特征、解一元一次方程，熟练掌握相关知识的运用是解答的关键． 【详解】（1）解：根据题意，可设， ∵当时，， ∴ 解得：， ∴，即， ∴y与x的函数关系式为； （2）将点代入得： ， 解得：； （3）不在； 当时，， ∴点不在此函数的图象上． 14．（24-25八年级上·安徽六安·期中）如图，正比例函数与一次函数（k，b是常数且）交于点C，一次函数与x，y轴分别交于点A与点B，已知． (1)求一次函数的解析式； (2)求的面积； (3)已知过点C的直线将的面积分为，求该直线的表达式． 【答案】(1)； (2)6 (3)或． 【知识点】求一次函数解析式、一次函数图象与坐标轴的交点问题、求直线围成的图形面积 【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征、三角形的面积，解题时要熟练掌握并能灵活运用一次函数的性质是关键． （1）依据题意，由，从而，，利用待定系数法即可得解； （2）依据题意，联立方程组，求得C的坐标为，利用三角形面积公式计算可得解； （3）依据题意，得或，则或，进而可得D的坐标为或，利用待定系数法即可得解． 【详解】（1）解：由题意，， ∴，． ∴． ∴，． ∴一次函数的解析式为； （2）解：由题意，联立方程组， 解得， ∴C的坐标为． ∴； （3）解：由题意，如图， ∵过点C的直线将的面积分为， ∴或， ∴或， ∴D的坐标为或， 又∵C的坐标为， 同理，由待定系数法求得直线的解析式为或． 15．（23-24八年级下·四川泸州·阶段练习）已知一次函数的图象经过点和点． (1)求一次函数的表达式； (2)请在x轴上找一点P，使得最小，并求出P的坐标； (3)在y轴上是否存在点M，使得，若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)点P的坐标为 (3)点或 【知识点】二次根式的乘法、求一次函数解析式、已知两点坐标求两点距离、坐标与图形变化——轴对称 【分析】本题主要考查一次函数的性质和轴对称性的性质，以及两点之间线段最短、两点坐标距离公式， 利用待定系数法即可求得解析式； 作点A关于x轴的对称点C，则，由轴对称的性质得：，则，根据两点之间线段最短可知，的最小值为，设直线与x轴的交点即为所求的点P，求得直线的函数解析式为，当时解得即可； 设一次函数的表达式为与x轴和y轴的交点为点C和点D，过点O作于点E，则点，，求得和、，先求得，设点，利用等面积法求得h即可． 【详解】（1）解：由题意，将点和点，代入一次函数得： ，解得， 则一次函数的表达式为； （2）解：如图，作点A关于x轴的对称点C， 则， 由轴对称的性质得：，则， 由两点之间线段最短可知，的最小值为，则直线与x轴的交点即为所求的点P， 设直线的函数解析式为，将点和点，代入得：，解得， 则直线的函数解析式为， 当时，，解得， 故点P的坐标为． （3）解：设一次函数的表达式为与x轴和y轴的交点为点C和点D，过点O作于点E，如图， 则点，， ∴， ∵， ∴， ∵点和点， ∴， ∴， 设点，则， ∵ ∴，解得， 则点或． 16．（24-25八年级上·江苏宿迁·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点． (1)求直线的函数表达式； (2)将直线绕点逆时针旋转，交轴于点，求直线的函数表达式； (3)点是（2）中直线上一点，若，求点的坐标． 【答案】(1)； (2)； (3)点坐标为． 【知识点】求一次函数解析式、一次函数图象与坐标轴的交点问题、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据矩形的性质与判定求线段长 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）如图，作，垂足为，过点作轴，垂足为，作，垂足为．先证明（）得，，由可得，，从而得，，，进而利用待定系数法即可得解； （3）分在轴左侧，和在轴右侧，两种情况，利用解方程组求得交点坐标即可得解． 【详解】（1）解：将，代入得 ，解得， ∴直线的函数表达式为． （2）解：如图，作，垂足为，过点作轴，垂足为，作，垂足为．则四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴（） ∴，， 中，令，得，解得， 当时，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴ 设， 将，和，，分别代入得 ， 解得， ∴直线的函数表达式为． （3）解：若在轴左侧， ∵ ∴， ∵直线的函数表达式为． ∴ ∴， 解得， 即； 若在轴右侧，作出点关于轴对称点， 设直线为，把代入得， 解得， ∴， 联立和得 ， 解得， ∴，此时在轴左侧，不符合题意，应舍去， 综上所述，点坐标为． 【点睛】本题主要考查了求一次函数，一次函数的交点，全等三角形的判定及性质，矩形的判定及性质，熟练掌握一次函数的交点，全等三角形的判定及性质是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题16 待定系数法求一次函数表达式的五种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 1 类型一、已知一点求正比例函数的表达式 1 类型二、已知一点求一次函数中K值或b值 3 类型三、已知两点求一次函数的表达式 5 类型四、两直线平移，求直线的表达式 9 类型五、已知含y与含x的多项式成正比例，求函数表达式 12 压轴能力测评（16题） 15 解题知识必备 1.用待定系数法求一次函数的表达式 1.求一次函数y=kx+b（k、b是常数，k≠0）时，需要由两个点来确定； 2.求正比例函数y=kx（k≠0）时，只需一个点即可. 压轴题型讲练 类型一、已知一点求正比例函数的表达式 例题：已知是关于的正比例函数，当时，． (1)求关于的函数表达式； (2)若点是该函数图象上的一点，求的值． 【变式训练】 1．已知正比例函数图像经过点． (1)求此正比例函数的解析式： (2)点是否在此函数图像上？请说明理由； 2．已知正比例函数的图象经过点，求： (1)该函数的表达式； (2)若点在此函数图象上，求的值. 类型二、已知一点求一次函数中K值或b值 例题：已知直线经过点． (1)求a的值； (2)将该直线向下平移k个单位长度使其成为正比例函数，求k的值． 【变式训练】 1．已知一次函数的图象经过点． (1)求此一次函数的表达式． (2)判断点是否在该函数图象上，并说明理由． 2．已知一次函数，当时，． (1)求一次函数的解析式； (2)求该一次函数与坐标轴围成的三角形的面积． 3．已知一次函数，其中． (1)若点在y的图象上，求k的值． (2)当时，若函数有最大值9，求y的函数表达式． 类型三、已知两点求一次函数的表达式 例题：已知：一次函数，是常数，的图象过，两点． (1)求该函数的表达式； (2)试判断点是否在直线上？并说明理由． 【变式训练】 1．已知一次函数的图象经过点，． (1)求此一次函数的解析式； (2)求此一次函数的图象与两坐标轴所围成的三角形面积． 2．（23-24七年级上·浙江金华·期末）已知y是x的一次函数，且当时，；当时，．求： (1)这个一次函数的表达式． (2)当时，函数y的值． (3)当时，自变量x的取值范围． 3．一次函数的图象与x、y轴分别交于点，． (1)求该函数的解析式，并说明点是否在函数图象上； (2)O为坐标原点，设OB、AB的中点分别为C、D．P为OA上一动点，求的最小值．并求取得最小值时P点的坐标． 类型四、两直线平移，求直线的表达式 例题：直线与轴交于点，且与直线平行，则直线的表达式为 【变式训练】 1．在平面直角坐标系中，点在直线上，分别过点A、B作x轴，y轴的平行线交于点C． (1) ， ； (2)求过点C且平行于的直线的解析式． 2．根据下列条件，分别确定一次函数的解析式： (1)图象过，； (2)直线与直线平行，且过点； (3)在坐标系中画出以上两函数图象，与x轴交点分别为A、B，两直线的交点C，求的面积 3．在平面直角坐标系中，一次函数图象是由直线平移得到的，且经过点，交y轴于点B． (1)求此一次函数的表达式； (2)若点P为此一次函数图象上一点，且的面积为10，求点P的坐标． 类型五、已知含y与含x的多项式成正比例，求函数表达式 例题：已知y与成正比例，且当时，． (1)求y与x之间的函数表达式； (2)当时，求x的值． 【变式训练】 1．已知y是x的正比例函数，且当时，． (1)求这个正比例函数的解析式； (2)若点在该函数图象上，试比较，的大小． 2．已知和成正比例，当时，． (1)求关于的函数表达式； (2)若点是该函数图象上的一点，求的值． 3．已知与x成正比例，与成正比例，当时，；当时，． (1)求y与x的函数解析式； (2)当时，求y的值． 4．已知与成正比例，且当时，． (1)求y与x之间的函数解析式． (2)已知点在该函数的图像上，且，求点的坐标． 压轴能力测评（16题） 一、单选题 1．（2025八年级下·全国·专题练习）将函数图象向下平移4个单位长度，所得图象对应的函数表达式是（　　） A． B． C． D． 2．（2025八年级下·全国·专题练习）平面直角坐标系第二象限内有一点，它到轴的距离为，到轴的距离为，则直线的表达式是（　　） A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·山东聊城·阶段练习）如图，一直线与两坐标轴的正半轴分别交于A，B两点，P是线段上任意一点（不包括端点），过P分别作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的矩形的周长为12，则该直线的函数表达式是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 4．（24-25八年级上·江苏南京·期末）一次函数的图象向下平移个单位长度，所得图象对应的函数表达式是 ． 5．（24-25九年级下·山东济宁·期中）已知直线与直线平行，且经过点，那么该直线的表达式是 ． 6．（24-25八年级上·江苏盐城·阶段练习）在平面直角坐标系中，一次函数的图像与x轴、y轴分别交于点A、B，将直线绕点A逆时针旋转，交y轴于点C，则直线的函数表达式是 ． 三、解答题 7．（24-25八年级上·江西景德镇·期末）在平面直角坐标系中，某一次函数的图象与直线图象平行，且经过点，并与轴相交于点． (1)求此一次函数的表达式； (2)若点为此一次函数图象上一点，且的面积为，求点的坐标． 8．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）已知一次函数经过点和点． (1)求一次函数的表达式； (2)求一次函数的图像与两条坐标轴围成的三角形的面积． 9．（24-25八年级上·安徽宿州·期中）已知正比例函数的图象经过点． (1)求这个正比例函数的表达式； (2)若一次函数的图象与正比例函数的图象平行，且过点，将这个一次函数的图象向下平移4个单位，写出平移后函数表达式． 10．（24-25八年级上·广西百色·期末）已知正比例函数． (1)若点在它的图象上，求正比例函数的表达式； (2)若函数图象经过第二、四象限，求的取值范围． 11．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）一次函数（，都是常数，）的图象经过，两点． (1)求这个一次函数的表达式． (2)判断是否在直线上？ 12．（23-24八年级下·广东梅州·期末）已知一次函数，其中． (1)若点在的图象上，求的值； (2)当时，若函数有最大值2，求的函数表达式； 13．（24-25八年级上·江苏盐城·阶段练习）已知与成正比例，当时，． (1)求出y与x的函数表达式； (2)设点在这个函数的图像上，求m的值． (3)试判断点是否在此函数图像上，说明理由． 14．（24-25八年级上·安徽六安·期中）如图，正比例函数与一次函数（k，b是常数且）交于点C，一次函数与x，y轴分别交于点A与点B，已知． (1)求一次函数的解析式； (2)求的面积； (3)已知过点C的直线将的面积分为，求该直线的表达式． 15．（23-24八年级下·四川泸州·阶段练习）已知一次函数的图象经过点和点． (1)求一次函数的表达式； (2)请在x轴上找一点P，使得最小，并求出P的坐标； (3)在y轴上是否存在点M，使得，若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 16．（24-25八年级上·江苏宿迁·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点． (1)求直线的函数表达式； (2)将直线绕点逆时针旋转，交轴于点，求直线的函数表达式； (3)点是（2）中直线上一点，若，求点的坐标． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$