专题15 一次函数中含参数问题的五种考法-【常考压轴题】2024-2025学年八年级数学下册压轴题攻略（人教版）

专题15 一次函数中含参数问题的五种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 类型一、利用一次函数的定义求参数 2 类型二、根据一次函数的图象和性质求参数 3 类型三、含参数的一次函数的图象和性质 5 类型四、含参数的一次函数图象的共存问题 8 类型五、含参数的一次函数综合问题 11 压轴能力测评（16题） 16 解题知识必备 1. 一次函数的定义 1.正比例函数的概念： 一般地，形如y=kx(k为常数，且k≠0)的函数叫做正比例函数.其中k叫做比例系数。 2.一次函数的概念： 一般地，形如y=kx+b (k,b为常数，且k≠0)的函数叫做一次函数. 当b =0 时,y=kx+b 即为 y=kx,所以正比例函数，是一次函数的特例. 2.一次函数的图象和性质 1.正比例函数的图象与性质： （1)图象:正比例函数y= kx (k 是常数，k≠0)) 的图象是经过原点的一条直线，我们称它为直线y= kx 。 (2)性质:当k>0时,直线y= kx经过第一，三象限，从左向右上升，即随着x的增大y也增大； 当k<0时,直线y= kx经过二, 四象限，从左向右下降，即随着 x的增大y反而减小。 2.一次函数的图象与性质： 一次函数 [ y=kx+b（k、b是常数，k≠0 ] 概念 如果y=kx+b（k、b是常数，k≠0），那么y叫x的一次函数 .当b=0时，一次函数y=kx（k≠0）也叫正比例函数. 图像 一条直线 性质 k＞0时，y随x的增大(或减小)而增大(或减小)； k＜0时，y随x的增大(或减小)而减小(或增大). 直线y=kx+b（k≠0）的位置与k、b符号之间的关系. （1）k>0，b＞0图像经过一、二、三象限； （2）k>0，b＜0图像经过一、三、四象限； （3）k>0，b＝0 图像经过一、三象限； （4）k＜0，b＞0图像经过一、二、四象限； （5）k＜0，b＜0图像经过二、三、四象限； （6）k＜0，b＝0图像经过二、四象限。 3.用待定系数法求一次函数的表达式 1.求一次函数y=kx+b（k、b是常数，k≠0）时，需要由两个点来确定； 2.求正比例函数y=kx（k≠0）时，只需一个点即可. 压轴题型讲练 类型一、利用一次函数的定义求参数 例题：（24-25八年级下·湖南衡阳·阶段练习）若是关于的一次函数，则的值为 ． 【答案】 【知识点】根据一次函数的定义求参数 【分析】本题考查了一次函数的定义，形如（为常数，）的函数叫一次函数，根据一次函数的定义得出，，计算即可得解． 【详解】解：∵是关于的一次函数， ∴，， 解得：， 故答案为：． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·广东梅州·期中）已知函数是关于的一次函数，则的值为 ． 【答案】 【知识点】根据一次函数的定义求参数 【分析】本题主要考查了一次函数的定义，根据一次函数的定义条件可得且，即可求解． 【详解】解：根据题意，得且，解得． 故答案为：． 2．（24-25八年级上·宁夏银川·期中）若函数是关于的一次函数，则 ． 【答案】 【知识点】根据一次函数的定义求参数 【分析】本题考查一次函数的定义：形如的函数是一次函数．根据一次函数的定义得到且，进而解方程即可求解． 【详解】解：∵函数是关于的一次函数， ∴且， 解得， 故答案为：． 3．（24-25八年级上·全国·阶段练习）若函数是一次函数，则 ． 【答案】 【知识点】根据一次函数的定义求参数 【分析】本题考查了一次函数的定义，根据形如的函数叫做一次函数，由此即可得出，，求解即可得出答案，熟练掌握一次函数的定义是解此题的关键． 【详解】解：函数是一次函数， 且， ． 故答案为：． 类型二、根据一次函数的图象和性质求参数 例题：（24-25八年级下·上海·阶段练习）若关于x的一次函数不经过第二象限，则m的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】求不等式组的解集、已知函数经过的象限求参数范围 【分析】本题考查了一次函数图象与系数的关系，根据一次函数的图象不经过第二象限，可得且，进一步求解即可确定m的取值范围． 【详解】解：∵一次函数的图象不经过第二象限， ∴且， 解得． 故答案为：． 【变式训练】 1．（24-25八年级下·福建三明·阶段练习）一次函数的图象经过第一、二、四象限，则的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】已知函数经过的象限求参数范围 【分析】本题考查了一次函数图象的性质，对于一次函数（，k，b为常数），当，图象经过第一、三象限，y随x的增大而增大；当，图象经过第二、四象限，y随x的增大而减小，当，图象与y轴的交点在x轴的上方；当，图象过坐标原点；当，图象与y轴的交点在x轴的下方．根据题意可得出关于m的不等式组，求解即可． 【详解】解：由题意可得， ， 解得：， 故答案为：． 2．（24-25八年级下·吉林长春·阶段练习）一次函数的函数值随增大而减小，则的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】根据一次函数增减性求参数、求一元一次不等式的解集 【分析】本题考查了一次函数的性质，熟练掌握一次函数的增减性是解题关键．根据一次函数的函数值随的增大而减小得出，解不等式求解即可得答案． 【详解】解：∵一次函数的函数值随增大而减小， ∴， 解得：． 故答案为： 3．（24-25八年级下·上海·阶段练习）已知直线上两点，，当时，有，那么的取值范围是 ． 【答案】/ 【知识点】根据一次函数增减性求参数 【分析】本题考查一次函数的图象性质：当，随增大而增大；当时，将随的增大而减小．先根据当时，有，得到随的增大而减小，所以的比例系数小于0，那么，解不等式即可求解． 【详解】解：当时，有 随的增大而减小， ， ． 故答案是：． 类型三、含参数的一次函数的图象和性质 例题：（24-25八年级上·陕西宝鸡·期末）下列关于一次函数的判断，正确的是（   ） A．点，点在该函数的图象上，若，则 B．当时，该函数图象经过一、三、四象限 C．若关于x的方程的解是，则的图象恒过点 D．若该函数的图象向右平移2个单位后经过原点，则 【答案】C 【知识点】求一次函数解析式、根据一次函数解析式判断其经过的象限、一次函数图象平移问题、判断一次函数的增减性 【分析】本题主要考查了一次函数的增减性，一次函数图象经过的象限，一次函数的性质和一次函数图象的平移问题，根据增减性可判断A；根据一次函数图象与其系数的关系可判断B；先根据方程的解的定义得到，则解析式为，据此可判断C；求出平移后的解析式，再利用待定系数法求出b的值即可判断D． 【详解】解；∵在中，， ∴y随x增大而减小， ∵点，点在该函数的图象上，且， ∴，故A错误，不符合题意； 当时，该函数图象经过二、三、四象限，故B错误，不符合题意； 若关于x的方程的解是，则，则，则的图象恒过点，故C正确，符合题意； 该函数的图象向右平移2个单位后的解析式为， 把代入中得，解得，故D错误，不符合题意； 故选：C． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·陕西咸阳·期中）若直线（为常数且）经过点，将直线向上平移3个单位长度后得到直线（为常数且，则下列关于直线的说法正确的是（   ） A．与轴的交点坐标是 B．若两点在上，且，则 C．点在上 D．经过第一、二、三象限 【答案】D 【知识点】求一次函数解析式、根据一次函数解析式判断其经过的象限、一次函数图象与坐标轴的交点问题、一次函数图象平移问题 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，涉及平移问题，与坐标轴的交点问题，过象限的问题，熟练掌握知识点是解题的关键． 先求出正比例函数解析式，再求出平移后的一次函数解析式，即可求出与轴交点判断A，利用增减性分析B选项，将代入平移后的一次函数解析式判断C，根据解析式直接判断过象限问题． 【详解】解：∵直线（为常数且）经过点， ∴， 解得：， ∴ 则直线向上平移3个单位后得到， 当，则与轴的交点坐标是，故A错误，不符合题意； ∵，则随的增大的增大， 那么若两点在上，且，则，故B错误，不符合题意； 当时，，则点不在上，故C错误，不符合题意； 由于，则图象经过第一、二、三象限，故D正确，符合题意， 故选：D． 2．（24-25八年级下·福建漳州·期中）已知一次函数（，是常数），则下列结论正确的个数有（　　）个 ①若点在一次函数的图象上，则它的图象与两个坐标轴围成的三角形面积是； ②若，则一次函数图象上任意两点和满足：； ③若一次函数的图象不经过第四象限，则；     ④若对于一次函数（）和，无论取任何实数，总有，的取值范围是或． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、已知函数经过的象限求参数范围、求一次函数解析式 【分析】本题考查了一次函数图象的性质，掌握一次函数图象的增减性，函数图形经过的象限的判定方法，函数图象与坐标轴交点的计算等知识是解题的关键． 把点代入一次函数可得一次函数的解析式，由此得到一次函与坐标轴的交点，结合面积的计算可判定①；根据一次函数的增减性可判定②；根据函数经过象限的判定方法可得③；根据函数图象的中函数值的大小的判定，一次函数图象平行的性质可判定④；由此即可求解． 【详解】解：若点在一次函数的图象上， ∴， 解得，， ∴一次函数解析式为， 当时，，当时，， ∴一次函数图象与两个坐标轴围成的三角形面积是，故①错误，不符合题意； 若，则， ∴一次函数的图象经过第一、二、三象限，随的增大而增大， ∴图象上任意两点和， 当时，，则， ∴， 当时，，则， ∴， 综上所述，，故②错误，不符合题意； ∵一次函数， ∴当时，，即一次函数恒过， 若一次函数的图象不经过第四象限，则， ∴，故③错误，不符合题意； 若对于一次函数（）和，无论取任何实数，总有， ∴一次函数（）和平行， 当时，，则， 当时，，成立， ∴的取值范围是或，故④正确，符合题意； 综上所述，正确的有④，共1个， 故选：A ． 3．（24-25八年级下·吉林长春·阶段练习）关于一次函数，给出下列说法正确的是 ． ①若点，在该函数图象上，且，则； ②若该函数不经过第四象限，则； ③该函数可以看成正比例函数先向左平移一个单位，再向下平移2个单位得到： ④该函数恒过定点． 【答案】①③④ 【知识点】一次函数图象平移问题、已知函数经过的象限求参数范围、根据一次函数解析式判断其经过的象限 【分析】本题考查一次函数的定义、一次函数的图象与性质．根据一次函数的相关性质逐项分析求解即可． 【详解】解：若点，在该函数图象上，且， ， y随x的增大而增大，则，说法正确，故①符合题意； 若该函数不经过第四象限，则， ，原说法错误，故②不符合题意； 正比例函数先向左平移一个单位，再向下平移2个单位得到，即，说法正确，故③符合题意； 令，则该函数恒过定点，说法正确，故④符合题意； 故符合题意的有①③④， 故答案为：①③④． 类型四、含参数的一次函数图象的共存问题 例题：（24-25八年级上·福建漳州·期中）在同一坐标系中，函数与的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据一次函数解析式判断其经过的象限、正比例函数的图象 【分析】本题考查了正比例函数的图象和性质及一次函数图象与坐标轴交点的坐标特征，熟练掌握正比例函数及一次函数的图象和性质是解题关键． 分情况讨论的取值范围，根据正比例函数图象的性质及一次函数图象与坐标轴交点的坐标特征进行判断，即可得出答案． 【详解】解：当时，的图象过原点并经过第一、第三象限，的图象过第一、二、三象限且与轴交点的纵坐标大于0，选项均不符合； 当时，的图象过原点并经过第二、第四象限，的图象过第一、三、四象限且与轴交点的纵坐标小于0，选项A符合题意； 故选：A． 【变式训练】 1．（2025·四川德阳·一模）在同一平面直角坐标系中，函数和（为常数）的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据一次函数解析式判断其经过的象限 【分析】本题考查了正比例函数和一次函数的图象分布．根据“一次函数（）：当时，图象经过第一、三象限；当时，图象经过第二、四象限”即可判断． 【详解】解：对于直线， ∵， ∴直线经过第一、三象限，可以排除选项BC； 当时， ∴直线经过第一、三象限，直线与轴的交点在原点上方，选项A不符合题意； 当时， ∴直线经过第二、四象限，直线与轴的交点在原点下方，选项D不符合题意； 故选：D． 2．（23-24八年级下·安徽宣城·期末）两个一次函数与 ，它们在同一直角坐标系中的图象可能是（        ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】判断一次函数的图象 【分析】本题考查了一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质是解题的关键； 观察题中所给选项，根据图象逐项判断m、n的正负，如果通过两个一次函数图象所判断的m、n的正负一致，即为正确选项； 【详解】解：A、由的图象可知，，即；由的图象可知，，，两结论相矛盾，故本选项错误，不符合题意； B、由的图象可知，，即；由的图象可知，，，两结论一致，故本选项正确，符合题意； C、由的图象可知，，即；由的图象可知，，，两结论相矛盾，故本选项错误，不符合题意； D、由的图象可知，，即；由的图象可知，，，两结论相矛盾，故本选项错误，不符合题意； 故选：B． 3．（24-25九年级下·辽宁葫芦岛·阶段练习）在同一平面直角坐标系内，函数和的图像可能是（   ） A．B．C． D． 【答案】D 【知识点】已知函数经过的象限求参数范围 【分析】本题主要考查了一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题关键． 根据选项中的图象先判断函数中的取值范围，再根据函数的图象经过的象限判断、的取值范围即可求解． 【详解】解：A、图象中，函数：；函数：，；不一致，此选项不符合题意； B、图象中，函数：；函数：，；不一致，此选项不符合题意； C、图象中，函数：；函数：，；不一致，此选项不符合题意； D、图象中，函数：；函数：，，一致，此选项符合题意． 故选：D． 类型五、含参数的一次函数综合问题 例题：（24-25八年级上·浙江·期末）已知一次函数（k，b为常数，且）的图象经过点． (1)若，求一次函数的表达式． (2)当时，该一次函数的最大值为6，求k的值． (3)若该一次函数的图象经过第一象限，且，求S的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】根据一次函数增减性求参数、已知函数经过的象限求参数范围、求一次函数解析式 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，待定系数法求解析式，正确求出函数解析式是解题的关键． （1）一次函数（k，b为常数，且）的图象经过点，得到，再结合，解二元一次方程组求解即可； （2）根据题意可得一次函数y随x的增大而减小，可得当时，，结合一次函数（k，b为常数，且）的图象经过点，得到，解二元一次方程组求解即可； （3）根据，即，进而得到，再根据一次函数的图象经过第一象限，可得到，由不等式的性质即可解答． 【详解】（1）解：∵一次函数（k，b为常数，且）的图象经过点， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴一次函数的表达式为：； （2）解：∵， ∴一次函数y随x的增大而减小， ∵当时，该一次函数的最大值为6， ∴当时，， ∵一次函数（k，b为常数，且）的图象经过点， ∴， ∴， 解得：； （3）解：根据题意：，即， ∴， ∵一次函数的图象经过第一象限，且， ∴， ∴， ∴． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）已知一次函数． (1)为何值时，函数图象经过点？ (2)若一次函数的函数值随的增大而减小，求的取值范围； (3)直接写出一次函数的图象经过定点坐标． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【知识点】根据一次函数增减性求参数、求一次函数解析式 【分析】本题主要考查了求一次函数解析式、根据一次函数的增减性求参数、解一元一次方程和解一元一次不等式等知识，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题关键． （1）将点代入一次函数，可得关于的一元一次方程，求解即可获得答案； （2）根据该函数的增减性，可得，求解即可获得答案; （3）将解析式整理得，求得当时，，据此即可得解． 【详解】（1）解：将点代入一次函数， 可得， 解得， ∴当时，函数图象经过点； （2）解：若一次函数的函数值随的增大而减小， 则有， 解得， ∴的取值范围为； （3）解：， 当时，， ∴一次函数的图象经过定点． 2．（24-25八年级上·浙江金华·期末）一次函数的图象恒过定点． (1)若一次函数的图象还经过点， ①求该一次函数的表达式． ②将点向右平移1个单位，再向上平移个单位后恰好落在该一次函数的图象上，求m的值． (2)当时，一次函数的最大值和最小值的差是6，求b的值． 【答案】(1)①；② (2) 【知识点】求一次函数解析式、根据一次函数的增减性判断自变量的变化情况、比较一次函数值的大小、由平移方式确定点的坐标 【分析】本题考查的是求解一次函数的解析式，平移的性质，一次函数的性质； （1）把点，代入，再求解即可；②先得到平移后的，再代入即可得到答案； （2）先求解一次函数为，当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：①一次函数的图象经过点，， ∴， 解得：， ∴一次函数为； ②将点向右平移1个单位，再向上平移个单位后为， ∴， 解得：； （2）解：∵一次函数的图象恒过定点， ∴，即， ∴一次函数为， 当时，随的增大而增大， ∵， ∴当，函数最小值为：， 当，函数最大值为：， ∴，解得：， ∴， 当时，随的增大而减小， ∵， ∴当，函数最大值为：， 当，函数最小值为：， ∴，解得：， ∴， 综上：． 3．（24-25八年级上·浙江绍兴·期末）一次函数（k为常数，且）． (1)若点在一次函数的图象上， ①求k的值； ②设，则当时，求P的最大值． (2)若当时，函数有最大值M，最小值N，且，求此时一次函数y的表达式． 【答案】(1)①；②P的最大值为5； (2)一次函数解析式为或． 【知识点】求一次函数解析式、根据一次函数增减性求参数 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式：求一次函数，则需要两组x，y的值．也考查了一次函数的性质和一次函数图象上点的坐标特征． （1）①把已知点的坐标代入中即可得到k的值； ②用x表示P得到，根据一次函数的性质，时，P的值最大，然后计算自变量为5所对应的函数值即可； （2）当时，，，则，当时，，，则，然后分别解方程求出k，从而得到对应的一次函数解析式． 【详解】（1）解：①把代入得， 解得； ②当时，， ∴， ∵y随x的增大而增大， ∴当时，时，P的值最大， 当时，， 即P的最大值为5； （2）解：当时，，， ∵， ∴， 解得， 此时一次函数解析式为； 当时，，， ∵， ∴， 解得， 此时一次函数解析式为； 综上所述，一次函数解析式为或． 压轴能力测评（16题） 一、单选题 1．（24-25八年级下·全国·单元测试）规定：是一次函数（为实数，）的“特征数”．若“特征数”是的一次函数是正比例函数，则的值是（   ） A．4 B． C．2 D． 【答案】A 【知识点】根据一次函数的定义求参数、正比例函数的定义 【分析】本题考查了一次函数和正比例函数的定义，熟练掌握正比例函数的定义是解题的关键．根据正比例函数的定义即可求出m的值． 【详解】解：由题意得： ∵“特征数”是的一次函数是正比例函数， ∴， ∴． 故选A． 2．（24-25八年级上·安徽亳州·期中）关于的一次函数，若y随x的增大而增大，且图象与y轴的交点在x轴下方，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求不等式组的解集、根据一次函数增减性求参数 【分析】本题考查了一次函数的性质，解一元一次不等式组，根据一次函数的性质可得，再解一元一次不等式组即可得解，熟练掌握一次函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵关于的一次函数，y随x的增大而增大，且图象与y轴的交点在x轴下方， ∴， ∴， 故选：C． 3．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知点，直线与线段有交点，则k的取值范围为（ ） A． B．且 C．或 D． 【答案】C 【知识点】已知函数经过的象限求参数范围 【分析】本题考查了一次函数与线段相交求参数问题，理解经过两点求得的是的最值是解题的关键． 先确定直线过定点，要使直线与线段有交点，分别将代入，求得的值，即可求解． 【详解】解：∵当时，，即直线过定点， ∴当直线经过点，得：， 解得：， 当直线经过点，得：， 解得：， ∴当直线与线段有交点， ∴或， 故选：C． 4．（24-25八年级上·重庆奉节·期末）在同一坐标系中，一次函数与的大致图象是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】判断一次函数的图象、正比例函数的图象 【分析】本题考查一次函数图象及性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解答的关键．根据题意，利用图象与性质逐一对选项进行分析即可得到本题答案． 【详解】解：选项A中，由过原点的直线可得，由另一直线得， ∴两个函数的值一致，故A选项符合题意； 选项B中，两直线均不过原点，但直线必过原点，故B选项不符合题意． 选项C中，由过原点的直线得，由另一直线得， ∴两个函数的k值矛盾，故C选项不符合题意； 选项D中，两直线均不过原点，但直线必过原点，故D选项不符合题意． 故选：A． 5．（24-25八年级上·福建漳州·期末）已知直线，下列说法不正确的是（　　） A．直线必经过点 B．直线与函数的图象至少有1个交点 C．若点在直线上，，则 D．关于的方程的解为 【答案】D 【知识点】根据一次函数的增减性判断自变量的变化情况、一次函数与几何综合 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，根据一次函数的图象和性质逐一判断即可求解，掌握一次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】当时，， ∴直线l必经过点， 故A正确； ∵直线经过点，，画出大致图象如下： 由图象可知，直线l与函数的图象最少有1个交点，故B正确； ∴y随x的增大而减小， ， 故C正确； 当时， 解得： 这与相矛盾， 故D不正确 故选：D 二、填空题 6．（23-24八年级下·广东·阶段练习）若正比例函数的图象经过第一、第三象限，则的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】已知函数经过的象限求参数范围 【分析】本题考查了一次函数图象与系数的关系，由函数图象经过第一、三象限，即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出k的取值范围，牢记的图象在一、三象限是解题的关键． 【详解】解：正比例函数的图象经过原点和第一、第三象限 ， 故答案为：． 7．（24-25八年级上·浙江金华·期中）已知是关于x的一次函数，则 ． 【答案】 【知识点】根据一次函数的定义求参数 【分析】本题考查了一次函数的定义，形如(为常数)的函数为一次函数．根据定义得：且，求出m的值即可． 【详解】解：∵是y关于x的一次函数， ∴且， 解得且， ∴． 故答案为：． 8．（24-25八年级上·安徽池州·阶段练习）已知点，是函数图象上的两个点，若，则 （填“”“”或“”）． 【答案】 【知识点】比较一次函数值的大小 【分析】本题主要考查一次函数的性质，掌握一次函数的增减性，是解题的关键．先根据一次函数的解析式判断出函数的增减性，再根据，即可得出结论． 【详解】∵， ∴， ∴一次函数中，y随着x的增大而减小． ∵点，是函数图象上的两个点， ， ∴． ∴， 故答案为：． 9．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）已知点，，且，两点不重合，线段的长度随的增大而减小，则的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】根据一次函数增减性求参数 【分析】本题主要考查了坐标与图形性质，根据题意得出线段平行于轴，进而可表示出线段的长度，再利用分类讨论的数学思想即可解决问题． 【详解】解：因为点坐标为，点坐标为 ， 所以线段平行于轴， 则， 因为，两点不重合， 所以，即， 当时， ， 此时随的增大而增大，故不符合题意； 当时， ， 此时随的增大而减小， 所以的取值范围是． 故答案为：． 10．（24-25八年级上·安徽池州·阶段练习）已知直线与轴的正半轴相交，随的增大而增大，且为整数． （1） ； （2）若，则的取值范围为 ． 【答案】 2 【知识点】根据一次函数增减性求参数、一次函数图象与坐标轴的交点问题 【分析】本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，熟知一次函数的图象与系数的关系是解答此题的关键． （1）根据一次函数的图象与系数的关系得出关于的不等式组，求出的取值范围再根据是整数求出的值． （2）根据当时，直线的函数表达式为．所以随的增大而增大，再根据求出的范围． 【详解】解：（1）根据一次函数的性质，由题意可得 解得． 又因为是整数， 所以． 故答案为：2 （2）当时，直线的函数表达式为． ∵， ∴随的增大而增大， 当时，； 当时，， 故当时，的取值范围为． 故答案为： 三、解答题 11．（23-24八年级上·江西吉安·期末）已知函数是一次函数， (1)求的值； (2)该一次函数当时，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)． 【知识点】求一次函数自变量或函数值、根据一次函数的定义求参数 【分析】（）根据一次函数的定义即可求解； （）分别求出当时，当时的值，即可求出的取值范围； 此题考查了一次函数的应用，正确理解一次函数的定义及根据题意得出自变量的取值范围是解题的关键． 【详解】（1）因为是一次函数， 所以，解得， 因为，所以； （2）将代入得一次函数解析式为，当时，，当时，， 所以当时，的取值范围是． 12．（24-25八年级上·山西运城·期中）在平面直角坐标系中，已知一次函数． (1)若一次函数的图象经过原点，求k的值． (2)若一次函数的图象经过点，且y的值随x值的增大而减小，求k的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】根据一次函数增减性求参数、已知函数经过的象限求参数范围 【分析】本题主要考查的是一次函数的性质，一次函数的图象与系数的关系，掌握一次函数的图象与系数的关系是关键． （1）经过原点，则且，再进一步求解即可； （2）根据一次函数的图象经过点，且y的值随x的增大而减小，，且，从而可以求解； 【详解】（1）解：∵一次函数的图象经过原点， ∴且， ∴． （2）解：∵一次函数的图象经过点， ∴， ∴， 解得：， ∵y的值随x值的增大而减小， ∴， 解得：， ∴． 13．（2024·北京·模拟预测）如图，一次函数的图像与x轴交于点A，与y轴交于点B，且经过点， (1)当时，求一次函数的解析式及点A的坐标； (2)当时，对于x的每一个值，函数的值大于一次函数的值，求k的取值范围． 【答案】(1)；点A的坐标为 (2) 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、求一次函数解析式 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，利用函数图象解不等式，数学结合是解答本题的关键． （1）当时，把点C的坐标代入，即可求得的k值，得到一次函数表达式，再求出点A的坐标即可． （2）根据图象得到不等式，解不等式即可． 【详解】（1）解：∵ ∴把点C的坐标代入， 解得， ∴一次函数表达式为， 当时，， 解得， ∵一次函数的图象与x轴交于点A， ∴点A的坐标为． （2）作如图： ∵当时，对于x的每一个值，函数的值大于一次函数的值，结合函数图象可知， 当时，， 解得． ∴． 14．（24-25八年级上·安徽合肥·阶段练习）已知一次函数． (1)若随增大而减小，求的取值范围； (2)若其图象与直线的交点在轴上，求的值； (3)若其图象不经过第二象限，且为整数，求的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【知识点】求不等式组的解集、已知函数经过的象限求参数范围、一次函数图象与坐标轴的交点问题、根据一次函数增减性求参数 【分析】本题考查了一次函数图象与性质． （1）由一次函数随增大而减小，可知，解不等式即可得出结论； （2）先求出直线与x轴的交点，可得出关于m的一元一次方程，解方程即可得出结论； （3）由函数图象不经过第二象限，即函数图象经过第一、三、四象限或函数图象经过第一、三，当函数图象经过第一、三、四象限时可得出，解之即可得出结论，当函数图象经过第一、三时可得出，解之即可得出结论．综上即可得出结论． 【详解】（1）解：∵随增大而减小， ∴， 解得：； （2）解：∵时，， ∴直线与x轴的交点， 又∵一次函数与直线的交点在轴上， ∴一次函数过点， ∴， 解得：； （3）解：分两种情况考虑： 当函数图象经过第一、三、四象限时，， 解得：； 当函数图象经过第一、三象限时，， 解得：． 综上所述：的取值范围为， ∵为整数， ∴或． 15．（24-25九年级上·北京·期中）在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数图象平移得到，且经过． (1)求这个一次函数的解析式； (2)当时，对于x的每一个值，函数的值大于一次函数的值，直接写出m的取值范围． 【答案】(1)； (2) 【知识点】求一次函数解析式、一次函数图象平移问题、根据两条直线的交点求不等式的解集 【分析】本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数与系数的关系，数形结合是解题的关键． （1）先根据直线平移时k的值不变得出，再将点代入，求出b的值，即可得到一次函数的解析式； （2）当时，，根据点即可求得． 【详解】（1）解：由图象的平移可知，， 将代入得，， 解得，， ∴这个一次函数的解析式为； （2）当时，， 把点代入， 得， ∵当时，对于x的每一个值，函数的值大于一次函数的值， ∴． 16．（24-25八年级上·江西吉安·期末）定义：一次函数和（其中k、b为常数，，）互为“友好函数”，比如和互为“友好函数”． (1)已知点在的“友好函数”上，则______． (2)上的点Q也在它的“友好函数”上，求点Q的坐标． 【答案】(1) (2)． 【知识点】两直线的交点与二元一次方程组的解、求一次函数解析式 【分析】本题考查了一次函数的性质，两直线交点问题，三角形面积问题； （1）根据“友好函数”的定义，可找出的“友好函数”，再利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出的值； （2）联立两函数解析式组成方程组，解之即可得出点的坐标． 【详解】（1）解：的“友好函数”是， 点在一次函数的图象上， ， 解得：， 故答案为：； （2）解：的“友好函数”是， 联立， 解得：， ∴． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题15 一次函数中含参数问题的五种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 类型一、利用一次函数的定义求参数 2 类型二、根据一次函数的图象和性质求参数 3 类型三、含参数的一次函数的图象和性质 5 类型四、含参数的一次函数图象的共存问题 8 类型五、含参数的一次函数综合问题 11 压轴能力测评（16题） 16 解题知识必备 1. 一次函数的定义 1.正比例函数的概念： 一般地，形如y=kx(k为常数，且k≠0)的函数叫做正比例函数.其中k叫做比例系数。 2.一次函数的概念： 一般地，形如y=kx+b (k,b为常数，且k≠0)的函数叫做一次函数. 当b =0 时,y=kx+b 即为 y=kx,所以正比例函数，是一次函数的特例. 2.一次函数的图象和性质 1.正比例函数的图象与性质： （1)图象:正比例函数y= kx (k 是常数，k≠0)) 的图象是经过原点的一条直线，我们称它为直线y= kx 。 (2)性质:当k>0时,直线y= kx经过第一，三象限，从左向右上升，即随着x的增大y也增大； 当k<0时,直线y= kx经过二, 四象限，从左向右下降，即随着 x的增大y反而减小。 2.一次函数的图象与性质： 一次函数 [ y=kx+b（k、b是常数，k≠0 ] 概念 如果y=kx+b（k、b是常数，k≠0），那么y叫x的一次函数 .当b=0时，一次函数y=kx（k≠0）也叫正比例函数. 图像 一条直线 性质 k＞0时，y随x的增大(或减小)而增大(或减小)； k＜0时，y随x的增大(或减小)而减小(或增大). 直线y=kx+b（k≠0）的位置与k、b符号之间的关系. （1）k>0，b＞0图像经过一、二、三象限； （2）k>0，b＜0图像经过一、三、四象限； （3）k>0，b＝0 图像经过一、三象限； （4）k＜0，b＞0图像经过一、二、四象限； （5）k＜0，b＜0图像经过二、三、四象限； （6）k＜0，b＝0图像经过二、四象限。 3.用待定系数法求一次函数的表达式 1.求一次函数y=kx+b（k、b是常数，k≠0）时，需要由两个点来确定； 2.求正比例函数y=kx（k≠0）时，只需一个点即可. 压轴题型讲练 类型一、利用一次函数的定义求参数 例题：（24-25八年级下·湖南衡阳·阶段练习）若是关于的一次函数，则的值为 ． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·广东梅州·期中）已知函数是关于的一次函数，则的值为 ． 2．（24-25八年级上·宁夏银川·期中）若函数是关于的一次函数，则 ． 3．（24-25八年级上·全国·阶段练习）若函数是一次函数，则 ． 类型二、根据一次函数的图象和性质求参数 例题：（24-25八年级下·上海·阶段练习）若关于x的一次函数不经过第二象限，则m的取值范围是 ． 【变式训练】 1．（24-25八年级下·福建三明·阶段练习）一次函数的图象经过第一、二、四象限，则的取值范围是 ． 2．（24-25八年级下·吉林长春·阶段练习）一次函数的函数值随增大而减小，则的取值范围是 ． 3．（24-25八年级下·上海·阶段练习）已知直线上两点，，当时，有，那么的取值范围是 ． 类型三、含参数的一次函数的图象和性质 例题：（24-25八年级上·陕西宝鸡·期末）下列关于一次函数的判断，正确的是（   ） A．点，点在该函数的图象上，若，则 B．当时，该函数图象经过一、三、四象限 C．若关于x的方程的解是，则的图象恒过点 D．若该函数的图象向右平移2个单位后经过原点，则 【变式训练】 1．（24-25八年级上·陕西咸阳·期中）若直线（为常数且）经过点，将直线向上平移3个单位长度后得到直线（为常数且，则下列关于直线的说法正确的是（   ） A．与轴的交点坐标是 B．若两点在上，且，则 C．点在上 D．经过第一、二、三象限 2．（24-25八年级下·福建漳州·期中）已知一次函数（，是常数），则下列结论正确的个数有（　　）个 ①若点在一次函数的图象上，则它的图象与两个坐标轴围成的三角形面积是； ②若，则一次函数图象上任意两点和满足：； ③若一次函数的图象不经过第四象限，则；     ④若对于一次函数（）和，无论取任何实数，总有，的取值范围是或． A．1 B．2 C．3 D．4 3．（24-25八年级下·吉林长春·阶段练习）关于一次函数，给出下列说法正确的是 ． ①若点，在该函数图象上，且，则； ②若该函数不经过第四象限，则； ③该函数可以看成正比例函数先向左平移一个单位，再向下平移2个单位得到： ④该函数恒过定点． 类型四、含参数的一次函数图象的共存问题 例题：（24-25八年级上·福建漳州·期中）在同一坐标系中，函数与的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（2025·四川德阳·一模）在同一平面直角坐标系中，函数和（为常数）的图象可能是（　　） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·安徽宣城·期末）两个一次函数与 ，它们在同一直角坐标系中的图象可能是（        ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级下·辽宁葫芦岛·阶段练习）在同一平面直角坐标系内，函数和的图像可能是（   ） A．B．C． D． 类型五、含参数的一次函数综合问题 例题：（24-25八年级上·浙江·期末）已知一次函数（k，b为常数，且）的图象经过点． (1)若，求一次函数的表达式． (2)当时，该一次函数的最大值为6，求k的值． (3)若该一次函数的图象经过第一象限，且，求S的取值范围． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）已知一次函数． (1)为何值时，函数图象经过点？ (2)若一次函数的函数值随的增大而减小，求的取值范围； (3)直接写出一次函数的图象经过定点坐标． 2．（24-25八年级上·浙江金华·期末）一次函数的图象恒过定点． (1)若一次函数的图象还经过点， ①求该一次函数的表达式． ②将点向右平移1个单位，再向上平移个单位后恰好落在该一次函数的图象上，求m的值． (2)当时，一次函数的最大值和最小值的差是6，求b的值． 3．（24-25八年级上·浙江绍兴·期末）一次函数（k为常数，且）． (1)若点在一次函数的图象上， ①求k的值； ②设，则当时，求P的最大值． (2)若当时，函数有最大值M，最小值N，且，求此时一次函数y的表达式． 压轴能力测评（16题） 一、单选题 1．（24-25八年级下·全国·单元测试）规定：是一次函数（为实数，）的“特征数”．若“特征数”是的一次函数是正比例函数，则的值是（   ） A．4 B． C．2 D． 2．（24-25八年级上·安徽亳州·期中）关于的一次函数，若y随x的增大而增大，且图象与y轴的交点在x轴下方，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知点，直线与线段有交点，则k的取值范围为（ ） A． B．且 C．或 D． 4．（24-25八年级上·重庆奉节·期末）在同一坐标系中，一次函数与的大致图象是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·福建漳州·期末）已知直线，下列说法不正确的是（　　） A．直线必经过点 B．直线与函数的图象至少有1个交点 C．若点在直线上，，则 D．关于的方程的解为 二、填空题 6．（23-24八年级下·广东·阶段练习）若正比例函数的图象经过第一、第三象限，则的取值范围是 ． 7．（24-25八年级上·浙江金华·期中）已知是关于x的一次函数，则 ． 8．（24-25八年级上·安徽池州·阶段练习）已知点，是函数图象上的两个点，若，则 （填“”“”或“”）． 9．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）已知点，，且，两点不重合，线段的长度随的增大而减小，则的取值范围是 ． 10．（24-25八年级上·安徽池州·阶段练习）已知直线与轴的正半轴相交，随的增大而增大，且为整数． （1） ； （2）若，则的取值范围为 ． 三、解答题 11．（23-24八年级上·江西吉安·期末）已知函数是一次函数， (1)求的值； (2)该一次函数当时，求的取值范围． 12．（24-25八年级上·山西运城·期中）在平面直角坐标系中，已知一次函数． (1)若一次函数的图象经过原点，求k的值． (2)若一次函数的图象经过点，且y的值随x值的增大而减小，求k的值． 13．（2024·北京·模拟预测）如图，一次函数的图像与x轴交于点A，与y轴交于点B，且经过点， (1)当时，求一次函数的解析式及点A的坐标； (2)当时，对于x的每一个值，函数的值大于一次函数的值，求k的取值范围． 14．（24-25八年级上·安徽合肥·阶段练习）已知一次函数． (1)若随增大而减小，求的取值范围； (2)若其图象与直线的交点在轴上，求的值； (3)若其图象不经过第二象限，且为整数，求的值． 15．（24-25九年级上·北京·期中）在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数图象平移得到，且经过． (1)求这个一次函数的解析式； (2)当时，对于x的每一个值，函数的值大于一次函数的值，直接写出m的取值范围． 16．（24-25八年级上·江西吉安·期末）定义：一次函数和（其中k、b为常数，，）互为“友好函数”，比如和互为“友好函数”． (1)已知点在的“友好函数”上，则______． (2)上的点Q也在它的“友好函数”上，求点Q的坐标． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$