高一数学月考卷03（新高考通用）【测试范围：人教A版2019必修二平面向量及其应用+复数+立体几何初步+统计】-学易金卷：2024-2025学年高中下学期第三次月考

学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2024-2025学年高一数学下学期第三次月考 答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分，其中14题第一空2分，第二空3分） 12．____________________ 13．____________________ 14．_________ _________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高一数学下学期第三次月考 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版2019必修第二册平面向量及其应用+复数+立体几何初步+统计。 5．难度系数：0.65。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若，则（    ） A．2 B． C． D． 2．在中，已知，则C＝（   ） A．60° B．30° C．30°或150° D．60°或120° 3．在中，在上且，设，则（    ） A． B． C． D． 4．巴黎奥运会在2024年7月27日至8月12日举行，在这期间，中国视听大数据（CVB）显示，直播总观看户次超46亿，分天观看户次（亿）分别为：1.88，2.25，2.21，2.35，2.74，2.24，2.59，5.53，4.39，4.22，3.55，2.74，3.64，2.88，2.03，1.62，0.08．则这组数据的第25百分位数为（    ） A．2.03 B．2.21 C．2.12 D．3.55 5．折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”.它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄、决胜千里、大智大勇的象征（如图1）.图2是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），若，，且圆台的表面积为，则该圆台的高为（    ） A． B． C．3 D． 6．在中，的对边分别为，且满足，则的面积（    ） A． B． C． D． 7．已知三棱锥的四个面均为直角三角形，平面，，，则三棱锥外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 8．在直角三角形中，，，是斜边上的两个动点，且，则取值范围为（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知数据的平均数为，方差为，由生成新数据，则（   ） A．新数据的平均数为 B．新数据的方差为 C．新数据的中位数一定比原数据的中位数大 D．新数据的极差一定比原数据的极差大 10．已知都是复数，下列选项中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 11．如图，正方体的棱长为1，点P是棱上的一个动点（包含端点），则下列说法不正确的是（    ） A．存在点P，使面 B．二面角的平面角为60° C．P到平面的距离最大值是 D．的最小值是 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，其中14题第一空2分，第二空3分． 12．已知一个利用斜二测画法画出直观图如图所示，其中，，，则原的面积为 . 13．已知向量.若，则向量在向量上的投影向量的坐标为 . 14．某校高一学生对学校附近的一段近似直线型高速公路进行实地测绘（如图），结合地形，他们选择了，两地作为测量点.通过测量得知：，两地相距300米，，分别位于地正东和东偏南方向上；，和分别位于地的北偏东，和南偏东方向上.则，两地之间的距离为 米；若一辆汽车通过高速公路段用时约50秒，则该辆汽车的车速约为 千米/小时. （参考数据：，，，）    四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 对任意非零向量，定义 (1)若向量，求的值 (2)若单位向量满足，求向量与的夹角的余弦值 16．（15分） 某小区物业公司为进一步提升服务质量，随机抽取了200名住户进行业主满意度问卷调查.把收集到的评分数据按，，依次分为第一至第六组（所有评分x满足）.统计各组频数并计算相应频率，绘制出如图所示的频率分布直方图. (1)求图中的a值； (2)求业主评分平均数的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； (3)从评分低于70分的业主中用分层随机抽样的方法抽取14人进行电话回访，则第一组，第二组和第三组被抽到的业主人数分别是多少? 17．（15分） 如图，在直三棱柱中，所有棱长均为4，D是AB的中点． (1)求证：平面； (2)求异面直线与所成角的正弦值． 18．（17分） 已知中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． (1)求B的大小； (2)若，，求外接圆的半径； (3)若点M在线段AC上，，，求的最小值． 19．（17分） 如图，四棱锥的底面是边长为的正方形，． (1)证明：平面平面； (2)若，且与平面的夹角为 （i）证明； （ii）求二面角的正弦值． ( 1 / 3 ) 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高一数学下学期第三次月考 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版2019必修第二册平面向量及其应用+复数+立体几何初步+统计。 5．难度系数：0.65。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若，则（    ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【详解】因，，则， 则，. 故选：A. 2．在中，已知，则C＝（   ） A．60° B．30° C．30°或150° D．60°或120° 【答案】D 【详解】由正弦定理可得，即，解得， 则或. 故选：D 3．在中，在上且，设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图，在中，在上且，所以. 则 . 又因为，所以. 故选：B 4．巴黎奥运会在2024年7月27日至8月12日举行，在这期间，中国视听大数据（CVB）显示，直播总观看户次超46亿，分天观看户次（亿）分别为：1.88，2.25，2.21，2.35，2.74，2.24，2.59，5.53，4.39，4.22，3.55，2.74，3.64，2.88，2.03，1.62，0.08．则这组数据的第25百分位数为（    ） A．2.03 B．2.21 C．2.12 D．3.55 【答案】B 【详解】将数据从小到大排列，0.08，1.62，1.88，2.03，2.21，2.24，2.25，2.35，2.59，2.74，2.74，2.88，3.55，3.64，4.22，4.39，5.53， ，取第五位数据2.21， 故选：B． 5．折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”.它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄、决胜千里、大智大勇的象征（如图1）.图2是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），若，，且圆台的表面积为，则该圆台的高为（    ） A． B． C．3 D． 【答案】D 弧长公式求得，，再用圆台的表面积公式解得，进而再得圆台的高为． 【详解】设，圆台高为，上下底面半径分别为：. 则，解得， 所以圆台的表面积为：， 解得，故圆台的高为：． 故选：D. 6．在中，的对边分别为，且满足，则的面积（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由余弦定理， 即，， . 故选：C. 7．已知三棱锥的四个面均为直角三角形，平面，，，则三棱锥外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】根据题意，构造如图所示的长方体，设其外接球的半径为， 易知三棱锥的外接球就是长方体的外接球， 则， 所以三棱锥的外接球的表面积为. 故选：D. 8．在直角三角形中，，，是斜边上的两个动点，且，则取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】如图，在中，，则，， 令，则， 于是得 当时，，当或时，， 所以取值范围为. 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知数据的平均数为，方差为，由生成新数据，则（   ） A．新数据的平均数为 B．新数据的方差为 C．新数据的中位数一定比原数据的中位数大 D．新数据的极差一定比原数据的极差大 【答案】AD 【详解】A.新数据的平均数为，故正确； B.新数据的方差为 ，故错误； C. 设原数据的中位数为m，则新数据的中位数为， 当时，；当时，；当时，，故错误； D. 原数据的极差为，新数据的极差，故正确； 故选：AD 10．已知都是复数，下列选项中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BD 【详解】对于选项A，取，，则，，满足，但，则A不正确； 对于选项B，设，， 因为，所以不同时为0，，则B正确； 对于选项C，取，，满足，则C不正确； 对于选项D，因为，所以，所以或，则，则D正确． 故选：BD． 11．如图，正方体的棱长为1，点P是棱上的一个动点（包含端点），则下列说法不正确的是（    ） A．存在点P，使面 B．二面角的平面角为60° C．P到平面的距离最大值是 D．的最小值是 【答案】BC 【详解】当与点重合时，，平面，不在面故面，A正确； 二面角即二面角，平面角为，B错误； ，得到平面，故，同理可得平面，设交平面于， 则，当与点重合时，P到平面的距离，C错误. 如图所示：，当共线时等号成立，D正确； 故选：BC. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，其中14题第一空2分，第二空3分。 12．已知一个利用斜二测画法画出直观图如图所示，其中，，，则原的面积为 . 【答案】21 【详解】由直观图还原原图形，如图，，， 则， 故答案为：21. 13．已知向量.若，则向量在向量上的投影向量的坐标为 . 【答案】 【详解】由，又， 所以，得， ， 则向量在向量上的投影向量的坐标为， 故答案为： 14．某校高一学生对学校附近的一段近似直线型高速公路进行实地测绘（如图），结合地形，他们选择了，两地作为测量点.通过测量得知：，两地相距300米，，分别位于地正东和东偏南方向上；，和分别位于地的北偏东，和南偏东方向上.则，两地之间的距离为 米；若一辆汽车通过高速公路段用时约50秒，则该辆汽车的车速约为 千米/小时. （参考数据：，，，）    【答案】 1000 72 【详解】    在中，，，米，， 由正弦定理得，即得米； 在中，米，，，， 由正弦定理得，即得米， 在中，，米，米， 由余弦定理得， 即，所以米千米， 秒小时，所以速度为千米/小时， 故答案为：1000；72. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 对任意非零向量，定义 (1)若向量，求的值 (2)若单位向量满足，求向量与的夹角的余弦值 【详解】（1）向量， 则；（5分） （2） ，（7分） 解得，（9分） 所以.（13分） 16．（15分） 某小区物业公司为进一步提升服务质量，随机抽取了200名住户进行业主满意度问卷调查.把收集到的评分数据按，，依次分为第一至第六组（所有评分x满足）.统计各组频数并计算相应频率，绘制出如图所示的频率分布直方图. (1)求图中的a值； (2)求业主评分平均数的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； (3)从评分低于70分的业主中用分层随机抽样的方法抽取14人进行电话回访，则第一组，第二组和第三组被抽到的业主人数分别是多少? 【详解】（1）由题意可得，（2分） 解得.（4分） （2）由题意可知：， 所以业主评分平均数的估计值为74.（10分，公式3分，结果3分） （3）评分低于70分的三组频率之比为，（12分，叙述有理即可） 故第一组抽到的人数为，第二组抽到的人数为，第三组抽到的人数为， 即第一组，第二组和第三组被抽到的业主人数分别是2，4，8.（15分） 17．（15分） 如图，在直三棱柱中，所有棱长均为4，D是AB的中点． (1)求证：平面； (2)求异面直线与所成角的正弦值． 【详解】（1）连接交于，（1分） 在直三棱柱中，所有棱长均为4， 因此四边形是正方形，所以是的中点，（2分） 而D是AB的中点， 因此有，（4分） 而平面，平面，（6分） 所以平面；（7分） （2）由（1）可知：， 因此异面直线与所成角为（或其补角），（8分） 因为是正方形，所以，（9分） 在直三棱柱中，所有棱长均为4， 因此四边形是正方形，因此有，（10分） 在直三棱柱中，侧棱垂直于底面，因此也就垂直底面中任何直线， 因此有，（11分） 由余弦定理可知：，（13分） 因此.（15分） 18．（17分） 已知中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． (1)求B的大小； (2)若，，求外接圆的半径； (3)若点M在线段AC上，，，求的最小值． 【详解】（1）在中，由及正弦定理，得，（1分） 则， 整理得，（2分） 而，则，（3分） 两边平方得，（4分） 又，，（5分） 于是，（6分） 解得，（7分） 所以.（8分）（用辅助角公式亦可） （2）由余弦定理得，（9分） 而，则，（10分） 解得，，（11分） 所以外接圆的半径为.（12分） （3）由，，得， 由，，得，（13分） 则，即，（14分） 因此，（15分） 当且仅当，即时等号成立，（16分） 所以的最小值为.（17分） 19．（17分） 如图，四棱锥的底面是边长为的正方形，． (1)证明：平面平面； (2)若，且与平面的夹角为 （i）证明； （ii）求二面角的正弦值． 【详解】（1）如图①所示，设，连接， 因为四边形为正方形，所以，（1分） 又因为为的中点，且， 所以，（2分） 又，，平面， 所以平面，（3分） 又平面， 所以平面平面；（4分） （2）（）如图②所示，在平面中过点作交于点， 因为平面，又平面， 所以，（5分） 又，，平面， 所以平面，（6分） 所以即为与平面所成的角，（7分） 即， 所以；（8分） （）因为，且， 所以，（9分） 如图②所示，过点作交于点，连接， 又平面，平面， 所以，（10分） 又，，平面， 所以平面， 又平面，所以，（11分） 所以即为二面角的平面角， 又， 所以 因为四边形为正方形，所以，（12分） 又因为，所以，所以，（13分） 即，，解得，，（14分） 又平面，平面，所以，（15分） 所以，（16分） 所以， 所以二面角的正弦值为．（17分） ( 1 / 14 ) 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ ( ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( 此卷只装订 不密封 ) ( ………………○……………… 内 ………………○………………装………………○………………订………………○……………… 线 ………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○……………… 线 ………………○……………… … 学校： ______________ 姓名： _____________ 班级： _______________ 考号： ______________________ ) 2024-2025学年高一数学下学期第三次月考 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版2019必修第二册平面向量及其应用+复数+立体几何初步+统计。 5．难度系数：0.65。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若，则（    ） A．2 B． C． D． 2．在中，已知，则C＝（   ） A．60° B．30° C．30°或150° D．60°或120° 3．在中，在上且，设，则（    ） A． B． C． D． 4．巴黎奥运会在2024年7月27日至8月12日举行，在这期间，中国视听大数据（CVB）显示，直播总观看户次超46亿，分天观看户次（亿）分别为：1.88，2.25，2.21，2.35，2.74，2.24，2.59，5.53，4.39，4.22，3.55，2.74，3.64，2.88，2.03，1.62，0.08．则这组数据的第25百分位数为（    ） A．2.03 B．2.21 C．2.12 D．3.55 5．折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”.它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄、决胜千里、大智大勇的象征（如图1）.图2是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），若，，且圆台的表面积为，则该圆台的高为（    ） A． B． C．3 D． 6．在中，的对边分别为，且满足，则的面积（    ） A． B． C． D． 7．已知三棱锥的四个面均为直角三角形，平面，，，则三棱锥外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 8．在直角三角形中，，，是斜边上的两个动点，且，则取值范围为（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知数据的平均数为，方差为，由生成新数据，则（   ） A．新数据的平均数为 B．新数据的方差为 C．新数据的中位数一定比原数据的中位数大 D．新数据的极差一定比原数据的极差大 10．已知都是复数，下列选项中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 11．如图，正方体的棱长为1，点P是棱上的一个动点（包含端点），则下列说法不正确的是（    ） A．存在点P，使面 B．二面角的平面角为60° C．P到平面的距离最大值是 D．的最小值是 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，其中14题第一空2分，第二空3分． 12．已知一个利用斜二测画法画出直观图如图所示，其中，，，则原的面积为 . 13．已知向量.若，则向量在向量上的投影向量的坐标为 . 14．某校高一学生对学校附近的一段近似直线型高速公路进行实地测绘（如图），结合地形，他们选择了，两地作为测量点.通过测量得知：，两地相距300米，，分别位于地正东和东偏南方向上；，和分别位于地的北偏东，和南偏东方向上.则，两地之间的距离为 米；若一辆汽车通过高速公路段用时约50秒，则该辆汽车的车速约为 千米/小时. （参考数据：，，，）    四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 对任意非零向量，定义 (1)若向量，求的值 (2)若单位向量满足，求向量与的夹角的余弦值 16．（15分） 某小区物业公司为进一步提升服务质量，随机抽取了200名住户进行业主满意度问卷调查.把收集到的评分数据按，，依次分为第一至第六组（所有评分x满足）.统计各组频数并计算相应频率，绘制出如图所示的频率分布直方图. (1)求图中的a值； (2)求业主评分平均数的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； (3)从评分低于70分的业主中用分层随机抽样的方法抽取14人进行电话回访，则第一组，第二组和第三组被抽到的业主人数分别是多少? 17．（15分） 如图，在直三棱柱中，所有棱长均为4，D是AB的中点． (1)求证：平面； (2)求异面直线与所成角的正弦值． 18．（17分） 已知中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． (1)求B的大小； (2)若，，求外接圆的半径； (3)若点M在线段AC上，，，求的最小值． 19．（17分） 如图，四棱锥的底面是边长为的正方形，． (1)证明：平面平面； (2)若，且与平面的夹角为 （i）证明； （ii）求二面角的正弦值． 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高一数学下学期第三次月考·参考答案 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 A D B B D C D A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 AD BD BC 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，其中14题第一空2分，第二空3分。 12．21 13． 14．1000 72 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 【详解】（1）向量， 则；（5分） （2） ，（7分） 解得，（9分） 所以.（13分） 16．（15分） 【详解】（1）由题意可得，（2分） 解得.（4分） （2）由题意可知：， 所以业主评分平均数的估计值为74.（10分，公式3分，结果3分） （3）评分低于70分的三组频率之比为，（12分，叙述有理即可） 故第一组抽到的人数为，第二组抽到的人数为，第三组抽到的人数为， 即第一组，第二组和第三组被抽到的业主人数分别是2，4，8.（15分） 17．（15分） 【详解】（1）连接交于，（1分） 在直三棱柱中，所有棱长均为4， 因此四边形是正方形，所以是的中点，（2分） 而D是AB的中点， 因此有，（4分） 而平面，平面，（6分） 所以平面；（7分） （2）由（1）可知：， 因此异面直线与所成角为（或其补角），（8分） 因为是正方形，所以，（9分） 在直三棱柱中，所有棱长均为4， 因此四边形是正方形，因此有，（10分） 在直三棱柱中，侧棱垂直于底面，因此也就垂直底面中任何直线， 因此有，（11分） 由余弦定理可知：，（13分） 因此.（15分） 18．（17分） 【详解】（1）在中，由及正弦定理，得，（1分） 则， 整理得，（2分） 而，则，（3分） 两边平方得，（4分） 又，，（5分） 于是，（6分） 解得，（7分） 所以.（8分）（用辅助角公式亦可） （2）由余弦定理得，（9分） 而，则，（10分） 解得，，（11分） 所以外接圆的半径为.（12分） （3）由，，得， 由，，得，（13分） 则，即，（14分） 因此，（15分） 当且仅当，即时等号成立，（16分） 所以的最小值为.（17分） 19．（17分） 【详解】（1）如图①所示，设，连接， 因为四边形为正方形，所以，（1分） 又因为为的中点，且， 所以，（2分） 又，，平面， 所以平面，（3分） 又平面， 所以平面平面；（4分） （2）（）如图②所示，在平面中过点作交于点， 因为平面，又平面， 所以，（5分） 又，，平面， 所以平面，（6分） 所以即为与平面所成的角，（7分） 即， 所以；（8分） （）因为，且， 所以，（9分） 如图②所示，过点作交于点，连接， 又平面，平面， 所以，（10分） 又，，平面， 所以平面， 又平面，所以，（11分） 所以即为二面角的平面角， 又， 所以 因为四边形为正方形，所以，（12分） 又因为，所以，所以，（13分） 即，，解得，，（14分） 又平面，平面，所以，（15分） 所以，（16分） 所以， 所以二面角的正弦值为．（17分） 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$