函数的基本性质【单调性.奇偶性.对称性.周期性14大题型】讲义-2025届高三数学一轮复习

高考一轮复习考点通关 【函数的单调性奇偶性对称性周期性】 总览 题型梳理 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：判断函数的单调性】 知识讲解 一、定义 设函数 在区间 内有定义，对任意 （）： 1. 若 ，则 在 上单调递增； 2. 若 ，则 在 上单调递减。 二、判定方法 1. 定义法（步骤） 设 ，作差 ； 变形差式，判断正负； 根据符号确定单调性（正为减，负为增）。 2. 导数法（快速） 若 ，则 在区间内单调递增； 若 ，则 在区间内单调递减。 例题精选 【例题1】【多选题】【只看C选项】已知函数的定义域为R，对任意实数满足．且，当时，，则下列结论不正确的是（ ） A． B． C．为增函数 D．为奇函数 【答案】B 【分析】先利用赋值值法可求解A、B选项，再利用抽象函数的关系是结合函数的奇偶性和单调性的定义可求解C、D. 【详解】函数的定义域为R，对任意实数满足， 令，可得，即有，故A正确；由，可得，，即，可得，故B错误；令，则，即，则函数为奇函数，故D正确； 令，可得即，当时，，即， 设，即，即有， 则在上递增，故C正确． 故选：B． 【例题2】已知函数的定义域是，若对于任意两个不相等的实数，，总有成立，则函数一定是（    ） A．奇函数 B．偶函数 C．增函数 D．减函数 【答案】C 【分析】利用函数单调性定义即可得到答案. 【详解】对于任意两个不相等的实数，，总有成立， 等价于对于任意两个不相等的实数，总有. 所以函数一定是增函数. 故选：C 【例题3】下列函数中，满足“”的单调递增函数是 A． B． C． D． 【答案】D 【详解】试题分析：由于，所以指数函数满足，且当时单调递增，时单调递减，所以满足题意，故选D． 考点：幂函数、指数函数的单调性． 相似练习 【相似题1】已知函数，则 A．是奇函数，且在R上是增函数 B．是偶函数，且在R上是增函数 C．是奇函数，且在R上是减函数 D．是偶函数，且在R上是减函数 【答案】A 【详解】分析：讨论函数的性质，可得答案. 详解：函数的定义域为，且 即函数 是奇函数， 又在都是单调递增函数，故函数 在R上是增函数． 故选A. 【相似题2】多选题【看C选项】设函数，则（    ） A．是周期函数 B．的图象有对称轴 C．在区间上单调递增 D．的图象关于点中心对称 【答案】ABD 【分析】A选项，，得到A正确；B选项， ，故B正确；C选项，先求出，计算出，故C错误；D选项，，D正确. 【详解】由题意得，故， 定义域为，关于原点对称； A选项，， 是函数的一个周期，故A正确； B选项，， 关于，故B正确； C选项，，；， 显然，故在区间上不单调递增，故C错误； D选项， ， 的图象关于点中心对称，D正确． 故选：ABD． 【相似题3】（多选）如果函数对定义域内的任意两实数（）都有，则称函数为“F函数”．下列函数不是“F函数”的是（　　） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】令，则结合题意根据单调性的定义可得，函数在定义域内是单调递增函数，称函数为“F函数”，利用导数法逐项验证可得答案． 【详解】令，对于定义域上的任意，当，恒有， 即，可得函数在定义域内是单调递增函数，称函数为“F函数”． 对于A，，，， 当时，，单调递增，当时，，单调递减， 不符合在定义域内是单调递增函数，则函数不是“F函数”．故A正确； 对于B，，，， 所以单调递增函数，则函数是“F函数”．故B错误； 对于C，，，， 当时，，单调递减，当时，，单调递增， 不符合在定义域内是单调递增函数，则函数不是“F函数”．故C正确； 对于D，，，， 当时，，单调递减，不符合在定义域内是单调递增函数， 则函数不是“F函数”．故D正确. 故选：ACD. 【相似题4】【多选】下列函数中，是偶函数，且在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】分别应用特殊值法或函数偶函数的定义及单调性定义判断各个选项即可. 【详解】对于A，，所以在区间上不是单调递增，A错误. 对于B，函数定义域为，因为，所以函数是偶函数. 设，则. 又，为增函数，所以，所以， 所以，所以函数在上单调递增，故B正确. 对于C，因为，所以函数不是偶函数，故C错误. 对于D，函数定义域为， ，所以函数是偶函数. 又时，，所以函数在上单调递增，故D正确， 故选：BD. 【题型2：求复合函数的单调性】 知识讲解 一、复合函数的定义 若函数 的定义域为 ，值域为 ，函数 的定义域为 ，值域为 ，且 ，则称 为 的复合函数，其中 为中间变量。 二、复合函数单调性的判定法则（同增异减） 设函数 （外层函数）在区间 上单调，函数 （内层函数）在区间 上单调，且 ，则： 1. 若外层函数 单调递增，内层函数 单调递增，则复合函数 单调递增（同增）； 2. 若外层函数 单调递增，内层函数 单调递减，则复合函数 单调递减（异减）； 3. 若外层函数 单调递减，内层函数 单调递增，则复合函数 单调递减（异减）； 4. 若外层函数 单调递减，内层函数 单调递减，则复合函数 单调递增（同增）。 简记：外层与内层函数单调性相同，则复合函数为增函数；单调性相反，则为减函数。 三、判断复合函数单调性的步骤 1. 分解函数：将复合函数分解为外层函数 和内层函数 ； 2. 求定义域：确定复合函数的定义域（需满足内层函数有意义且外层函数定义域包含内层函数值域）； 3. 判断单调性： 分别判断外层函数 在对应区间 上的单调性； 判断内层函数 在定义域内各子区间上的单调性； 4. 应用法则：根据“同增异减”法则，确定复合函数在各子区间上的单调性。 例题精选 【例题1】（2005·天津·高考真题）若函数（且）在区间内单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分和分析函数内外层的单调性，列不等式求解 【详解】函数在区间 内有意义， 则， 设则 ， ( 1 ) 当 时， 是增函数， 要使函数在区间内单调递增， 需使 在区间内内单调递增， 则需使，对任意恒成立 , 即对任意恒成立； 因为时，所以与矛盾，此时不成立. ( 2 ) 当时，是减函数， 要使函数在区间内单调递增， 需使在区间内内单调递减， 则需使 对任意恒成立， 即对任意恒成立， 因为， 所以， 又，所以. 综上，的取值范围是 故选：B 【例题2】（2025·江西·一模）函数的单调递增区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求函数的定义域，再利用复合函数的单调性即可求解. 【详解】由且，得，即或， 所以函数的定义域为， 因为在上单调递减，在上单调递增， 又函数为增函数， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 又函数为增函数， 所以函数的单调递增区间为. 故选：B. 【例题3】（2024·山西吕梁·二模）已知函数在区间上单调递减，则函数的解析式可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据复合函数单调性分析可知在区间上单调递减，进而逐项分析判断即可. 【详解】因为开口向下，对称轴为， 可知内层函数在区间上单调递增， 当，；当，； 可知， 又因为函数在区间上单调递减， 所以在区间上单调递减，即在区间上单调递减. 对于选项A：因为函数在区间上单调递减，故A正确； 对于选项B：因为，则在区间上单调递增，故B错误； 对于选项C：因为，则在区间上单调递增，故C错误； 对于选项D：因为在区间上单调递增，故D错误. 故选：A. 相似练习 【相似题1】（23-24高三上·河南·阶段练习）若函数在上单调递增，则实数a的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】依题意，函数在上单调递增，求出的单调递增区间，可求实数a的最大值. 【详解】函数在上单调递增，则函数在上单调递增. 由题意得，令，，则，， 所以在上单调递增. 易知，有，所以. 所以实数a的最大值为. 故选：A. 【相似题2】（2024·黑龙江大庆·模拟预测）函数在上单调递减，则t的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据复合函数的单调性可得的单调性，从而可求得t的取值范围. 【详解】因为函数在上单调递增，所以根据复合函数的单调性可得函数在上单调递减，则，解得. 故选：A 【相似题3】多选题（23-24高三下·湖北·开学考试）设函数且在区间上单调递减，则的取值可以为（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】利用导数可求得的单调性，由此可得的大致图象；分别在和的情况下，根据复合函数单调性可确定的单调性，结合的图象可构造不等式组求得的范围. 【详解】令，， ， 当时，；当时，； 在，上单调递增，在上单调递减； 令，解得：或， 的大致图象如下图所示，    当时，若在上单调递减，则在上单调递减， ，解得：； 当时，若在上单调递减，则在上单调递增， 或，解得：； 综上所述：实数的取值范围为，可能的取值为和. 故选：AC. 【相似题4】多选题（2023·全国·模拟预测）已知函数，则（    ） A．函数的图像关于直线对称 B．函数的图像关于点对称 C．函数在上单调递减 D．函数的值域是 【答案】AD 【分析】A选项，根据得到A正确；B选项，，故B错误；D选项，设，，得到，求导得到其单调性，结合函数奇偶性得到函数值域；C选项，由复合函数单调性可知在上不单调. 【详解】A选项， ， 故函数的图像关于直线对称，A正确.； B选项， ， 所以函数的图像不关于点对称，B错误； D选项，设，， 则，则， 所以. 设，则， 令，解得， 令，解得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 在上单调递增. 又定义域关于原点对称，且， 故为奇函数， 又，， 所以的值域为，即的值域是，D正确； C选项，当时，单调递增， 且时，不单调， 由复合函数单调性可知在上不单调，C错误. 故选：AD. 【点睛】结论点睛：函数的对称性： 若，则函数关于中心对称， 若，则函数关于对称， 【题型3：求分段函数的单调性】 知识讲解 一、分段函数单调性定义 分段函数在不同定义域区间有不同表达式，需分别讨论各分段区间内的单调性，并关注分段点处的连续性与单调性衔接。 二、判断步骤 1. 划分区间：按定义域明确各分段区间（如 、 等）。 2. 逐段判断：对每段函数用定义法或导数法判断单调性（增/减/常函数）。 3. 分析分段点： 若分段点两侧均单调，且函数值满足单调性连续（左段端点值 ≤/≥ 右段端点值），则可合并区间； 否则，分段点处单调性中断，区间需分开。 4. 综合结论：写出各单调区间，注意端点归属（连续可合并，间断或矛盾需分开）。 三、关键注意事项 1. 连续性非必需：分段点可间断，单调性仅需在各区间内成立。 2. 常函数处理：某段为常函数时，该区间无单调性，需单独说明。 3. 多层分段分析：若某段函数本身含分段（如二次函数分对称轴两侧），需进一步细分区间判断。 例题精选 【例题1】（2025高三·全国·专题练习）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】的部分利用导数转换成不等式恒成立问题；的部分利用二次函数的性质即可判定；分段点处也要满足递减的性质，然后取交集即可得出答案. 【详解】因为函数在上单调递减， 所以当时，恒成立，则； 当时，由在上递减， 若，，合题意， 若，则，故; 又分段点处也要满足递减的性质，所以，解得. 综上所述，， 故选：C． 【例题2】（2024·广东韶关·一模）已知函数在上是单调函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由表达式可知当时，是单调减函数，故在上单调递减，则需要时，单调递减，且在断开位置处也要满足减函数的定义. 【详解】因为时，是单调减函数， 又因为在上单调，所以，故时，单调递诚， 则只需满足，解得， 故选：B. 【例题3】（2024·陕西安康·模拟预测）已知函数是上的单调函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，结合分段函数的单调性的判定方法，结合对数函数的性质，列出关于的不等式，即可求解. 【详解】根据题意，当时，，可得在上递增， 要使得函数 是上的单调函数， 则满足，且，解可得， 所以实数的取值范围为. 故选：B. 相似练习 【相似题1】（2023·陕西商洛·一模）已知函数是定义在上的增函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可知函数在每一段上为增函数，且在时，一次函数的值不小于二次函数的值，然后解不等式组可求得结果. 【详解】因为是定义在上的增函数， 所以，解得. 故选：B 【相似题2】（23-24高一上·重庆九龙坡·阶段练习）已知函数在上是增函数，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的单调性列不等式，由此求得的取值范围. 【详解】由于在上是增函数， 所以，解得， 所以的取值范围是. 故选：D 【相似题3】（2024·江苏无锡·二模）已知函数满足对任意的，都有成立，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】运用分段函数单调性知识，结合一次函数和指数型函数单调性知识可解. 【详解】由题意，为定义在上的减函数，则各段为减函数，还要区间端点附近递减， 所以，解得，则. 故答案为：. 【题型4：根据函数单调性解不等式】 知识讲解 一、核心原理 若函数 在区间 上单调递增，则： （）； 若函数 在区间 上单调递减，则： （）。 本质：利用单调性将函数值的大小关系转化为自变量的大小关系，简化不等式求解。 二、解题步骤 1. 构造函数：将不等式变形为 的形式，其中 为已知或可判定单调性的函数。 2. 判定单调性： 用定义法、导数法或已知函数性质（如一次函数、指数函数等）确定 在对应区间的单调性。 3. 利用单调性转化： 若 单调递增，则 ； 若 单调递减，则 。 4. 结合定义域求解：转化后的不等式需满足 的定义域要求，最终解集为转化后的不等式与定义域的交集。 三、常见类型与解法 1. 简单函数不等式 形式：，其中 单调性已知。 例：解不等式 构造函数 ，在 上单调递增； 转化为： 且 ，解得 。 2. 复合函数不等式 形式：，需先判断外层函数 的单调性，再结合内层函数定义域。 例：解不等式 构造函数 ，在 上单调递增； 转化为：，解得 。 3. 分段函数不等式 形式：，其中 为分段函数，需按分段区间分别求解。 步骤： 1. 对每个分段区间，解 ； 2. 合并各区间解集，注意分段点处的函数值是否满足不等式。 四、注意事项 1. 定义域优先：转化不等式前必须确保 和 有意义（如对数函数中真数大于0，根号下非负等）。 2. 单调性区间限制：若 在不同区间单调性不同，需分段讨论。 例： 在 递减，在 递增，解 时需分两段讨论。 3. 奇偶性结合单调性：若 为奇函数，可利用 简化不等式（如 结合单调性转化）。 五、易错点提醒 忽略单调性区间：直接转化不等式而不考虑 的单调区间，导致解集扩大或缩小。 未验证分段点：分段函数不等式中，未检查分段点处是否满足不等式，可能漏解或多解。 复合函数单调性误判：未正确应用“同增异减”法则，导致转化方向错误。 例题精选 【例题1】 （2025·山东济南·一模）已知函数则的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先判断函数为奇函数，再根据函数单调性解抽象不等式即可. 【详解】当时，，，； 当时，，，； 且当时，， 所以为奇函数， 易知为上的递减函数， 则， 所以原不等式的解集为. 故选：A 【例题2】（2025·河南·三模）已知为定义在上的奇函数，若在上单调递减，则满足不等式的实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据奇函数的性质得在上单调递减，再根据奇函数性质将化为，结合定义域利用单调性得，解不等式组即可解答. 【详解】因为是奇函数，则可化为． 又在上单调递减且是定义在上的奇函数，所以在上单调递减． 则，解得或， 即实数a的取值范围是． 故选：C 【例题3】（2025·河北石家庄·一模）已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由函数奇偶性、单调性即可求解. 【详解】易知函数定义域为， 又，故为偶函数， 当时，，所以， 令，结合对勾函数在单调递增，在单调递增， 由复合函数的单调性可知：在上单调递增， 又在上单调递增， 故在上单调递增， 易知在上单调递增， 结合函数为偶函数， 所以由可得， 平方得：， 解得或， 所以不等式的解集为， 故选：D 相似练习 【相似题1】（2025·湖南·模拟预测）设函数，则使得成立的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】易得函数关于对称，且在上单调递减，在单调递增，将原不等式转化为求解即可. 【详解】因为，所以， 即函数关于对称， 当时，单调递增， 所以函数在上单调递减，在单调递增， 因为，所以，解得， 即的取值范围是， 故选：B. 【相似题2】（2025·河南·二模）已知函数，则满足的实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据解析式得到，即的图象关于对称，导数研究函数的区间单调性，利用对称性、单调性解不等式求参数范围. 【详解】若，则，故， 所以的图象关于对称， 当，有，则， 所以在上单调递增，故在上单调递减， 对于，则，可得， 所以. 故选：B 【相似题3】（2025·辽宁·二模）已知函数，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求得函数的定义域，判断奇偶性，再单调性的定义判断函数的单调性，进而求解不等式. 【详解】由，解得，即函数的定义域为， 由，则， 所以函数为偶函数，图象关于轴对称， 当时，函数， 由于函数在上单调递增， 且，则， 对于任意的、，且，即， 所以，，所以，，即, 所以函数在上单调递增，则函数在上单调递减， 由，则， 解得，即不等式的解集为. 故选：A. 【相似题4】（2025·四川攀枝花·模拟预测）已知函数，若不等式对任意恒成立，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【分析】求出得到，得到关于直线对称，对求导，判断当时的单调性，根据得到恒成立，即可求解. 【详解】因为，定义域为， ， 即，所以关于直线对称， 又， 当时，，，，所以， 所以在单调递增，在单调递减， 因为不等式对任意恒成立， 所以恒成立，即恒成立， 所以，即，解得， 所以实数a的取值范围是. 【题型5：利用函数的单调性比较大小】 知识讲解 一、核心原理 若函数 在区间 上单调递增，则： 当 时，； 当 时，（充要性）。 若函数 在区间 上单调递减，则： 当 时，； 当 时，（充要性）。 关键：通过构造单调函数，将数值大小比较转化为函数值对应自变量的大小关系，或利用自变量大小直接推导函数值大小。 二、解题步骤 1. 构造目标函数： 观察待比较的数值，提取共同结构，构造为同一函数的两个函数值 和 。 例：比较 和 ，构造 （单调递增）。 2. 判定函数单调性： 利用已知函数性质（如指数函数、对数函数、幂函数的单调性）或导数法判断 的单调性。 例： 在 上单调递增（导数 ）。 3. 比较自变量大小： 若自变量 和 在函数单调区间内，直接根据单调性得出函数值大小关系： 增函数：； 减函数：。 4. 结合定义域与单调区间： 确保 和 属于函数的同一单调区间，否则需分段讨论。 三、常见类型与解法 1. 直接利用基本函数单调性 适用场景：数值可直接表示为基本初等函数（如 ）的函数值。 例1：比较 和 构造 （指数函数，底数 ，单调递增）； 因 ，故 。 例2：比较 和 构造 （对数函数，底数 ，单调递减）； 因 ，故 。 2. 通过变形构造函数 适用场景：数值结构需变形后才能统一为同一函数的形式。 例：比较 和 变形：，构造 （需分析单调性）； 在 上，因 递增，故 递减； 比较自变量：，故 ，即 。 3. 利用复合函数单调性 步骤：先判断外层函数与内层函数的单调性，再根据“同增异减”法则确定复合函数单调性。 例：比较 和 构造 ，内层 ； 在 上单调递增，因 ，故 。 四、注意事项 1. 单调区间的准确性： 函数可能在不同区间有不同单调性，需确保比较的自变量在同一单调区间内。 例： 在 递减，在 递增，比较 和 时需分别判断（，，故 ）。 2. 函数定义域的限制： 确保自变量在函数定义域内。例如 中 ， 中 。 3. 间接比较的中间量法： 若无法直接构造单调函数，可引入中间量（如0、1）辅助比较。 例：比较 和 ，可通过中间量 过渡： 递减，故 ； 递增，故 ； 综上，。 五、易错点总结 忽略函数定义域：如比较 和 时，未先确保 且 。 错误判断复合函数单调性：如外层函数递减、内层函数递增时，误判复合函数为递增（应为递减）。 对分段函数单调性处理不当：未分段比较，直接套用整体单调性（如含绝对值的函数）。 例题精选 【例题1】（2023·全国甲卷·高考真题）已知函数．记，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用作差法比较自变量的大小，再根据指数函数的单调性及二次函数的性质判断即可. 【详解】令，则开口向下，对称轴为， 因为，而， 所以，即 由二次函数性质知， 因为，而， 即，所以， 综上，， 又为增函数，故，即. 故选：A. 【例题2】（2025·四川成都·三模）若，，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通过对已知等式进行变形，构造，利用函数单调性来比较变量之间的大小关系，结合特殊值法，逐个判断. 【详解】已知，将等式进行移项可得. 根据对数运算法则，进一步变形为. 因为，则， 所以， 令，对求导可得，所以在上单调递增. 因为，，， 所以， 根据的单调性可知，即， 再根据对数函数的性质，所以，C错，D对； 若，此时，且， 而， 所以，则，此时，排除A， 若，此时，且， 若时，，必有，排除B； 故选：D. 【例题3】（2025·福建泉州·二模）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对称性即可求解A,求导，代入，即可根据，根据正切函数的单调性即可求解B ，根据对称性将问题转化为的大小，构造函数，，即可求导判断单调性求解C，构造函数，利用导数求解单调性即可判断D. 【详解】令，解得， 故在上单调递减， 令，解得， 故的一条对称轴为， 故， 因为，， 所以，即，A错误； B，， 故，， 因为，所以， 故，而， 故， 则，其中，， 故，则， 由于在上单调递增，,故 ， 故， 故，B错误. C，的一条对称轴为， 故， 其中，故， 故， 而， 故，所以， 关于中心对称， 故，其中，则 ， 其中，. 下面证明. 令，，则， 令，则在上恒成立， 故在上单调递增， 又，故在上恒成立， 故在上单调递增，故， 故， 所以， 则， 两边取对数得， 故， 故， 又在上单调递减， 故， 故，C错误； D，，， 令，，则 ， 当时，，，故恒成立， 故在上单调递增， 故，所以， 故， 由于在上单调递减， 所以，D正确. 故选：D 相似练习 【相似题1】（2025·广西桂林·一模）函数.若，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分析函数的对称性和单调性，再利用函数性质比较函数值的大小. 【详解】， 关于对称. 当时：为增函数，也为增函数，所以在上为增函数， 关于对称在为减函数， ，， . 故选：A. 【相似题2】（2025·河南驻马店·模拟预测）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据不等式，以及函数，的单调性比较大小. 【详解】如图，在单位圆O中，，不妨设， 作于C点，则弧的长度， 由图易得，，即， 所以， 设，， 所以， 再令，， ， 当时，，，， 所以， 则，在单调递减， ，所以，即， 所以在上单调递减，且， 所以当时，， 所以当，，即， 因为， 所以即， 所以， 【相似题3】（2025·云南·一模）已知，，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】构造函数，利用导数求解单调性即可得解. 【详解】设，则， 当时，，故在单调递减， 因此，故， 故选：B. 【相似题4】（2025·安徽马鞍山·一模）已知函数，若，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】应用奇偶性定义及导数研究函数的奇偶性和区间单调性，再结合相关基本初等函数的性质及单调性判断函数值的大小关系. 【详解】函数定义域为R，且， 故函数为偶函数， 又在上，即在上单调递增， 因为，且， 所以，即. 故选：D 【题型6：判断函数的奇偶性】 知识讲解 一、定义与核心前提 1. 奇函数：，定义域关于原点对称。 2. 偶函数：，定义域关于原点对称。 重点：定义域不对称，函数必为非奇非偶。 二、判断步骤（最简流程） 1. 查定义域：是否关于原点对称（如 、）。 2. 算 ：代入 化简表达式。 3. 比关系： 等于 → 奇函数； 等于 → 偶函数； 均不满足 → 非奇非偶。 三、常见函数奇偶性速记 幂函数 ：奇次幂→奇函数，偶次幂→偶函数。 正比例/反比例：$kx$、→奇函数。 二次函数（无一次项）：→偶函数。 指数/对数函数：非奇非偶（定义域不对称或表达式不满足）。 四、关键性质 1. 运算规律： 奇±奇=奇，偶±偶=偶； 奇×奇=偶，偶×偶=偶，奇×偶=奇。 2. 图像特征：奇函数关于原点对称，偶函数关于y轴对称。 3. 零函数特殊性： 且定义域对称→既是奇又是偶。 五、避坑要点 定义域第一：先判对称，再看表达式。 化简必要性：如 需化简 后判断。 分段函数：逐段验证，全段满足才成立。 例题精选 【例题1】（2025·山东·模拟预测）函数的图象大致为（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】采用排除法进行判断，先根据函数的奇偶性进行排除，再结合特殊点的函数值进行选择. 【详解】首先：， 所以函数为偶函数，图象关于轴对称，故排除CD. 又，故排除B. 故选：A 【例题2】（2025·浙江绍兴·二模）已知函数，则（    ） A．当时，是偶函数，且在区间上单调递增 B．当时，是奇函数，且在区间上单调递减 C．当时，是偶函数，且在区间上单调递减 D．当时，是奇函数，且在区间上单调递增 【答案】D 【分析】根据函数奇偶性和单调性的判断方法，针对不同的取值，对函数进行分析，即可判断和选择. 【详解】对AB：当时，，其定义域为，，故为偶函数； 又，当时，令， 因为在单调递增，在单调递增，故在单调递增， 故在单调递减，故AB都错误； 对CD：当时，，其定义域为，，故为奇函数； 又，当时，均为减函数，故为上的减函数， 故为上的增函数，故C错误，D正确. 故选：D. 【例题3】（2025·四川雅安·二模）下列函数中为奇函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据奇函数的定义，逐一判断即可确定答案. 【详解】对于A，令，，而， 则，，所以是非奇非偶函数，故A错误； 对于B，令，，又， 所以是偶函数，故B错误； 对于C，令，，又， 所以是奇函数，故C正确； 对于D，因为的定义域为，所以是非奇非偶函数，故D错误. 故选：C. 相似练习 【相似题1】（2025·四川南充·三模）函数的图象如图所示，则的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依题意可得为奇函数，即可排除A、C，由函数在上的函数值的特征排除D，即可得解. 【详解】由图可知的图象关于原点对称，则为奇函数， 对于A ：定义域为，定义域关于原点对称，， 所以为偶函数，不符合题意，故A错误； 对于C：定义域为，定义域关于原点对称， ， 所以为偶函数，不符合题意，故C错误； 对于D：定义域为，定义域关于原点对称， ， 所以为奇函数， 当时，，，所以恒成立，不符合题意，故D错误； 故利用排除法可知选项B符合题意. 故选：B 【相似题2】（2025·北京西城·一模）下列函数中，图像关于轴对称的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性，综合可得答案. 【详解】A选项，由二次函数图像及性质可知，对称轴为，A选项错误； B选项，由指数函数图像及性质可知，函数没有对称轴，B选项错误； C选项，因为，所以函数为偶函数，图像关于轴对称，C选项正确； D选项，函数定义域为，不是偶函数，D选项错误. 故选：C. 【相似题3】（2025·天津·模拟预测）下列函数中既是奇函数，又是定义域上的增函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用奇偶性定义，结合指对数函数的性质及复合函数的单调性判断各项对应函数是否满足题设，即可得答案. 【详解】A：，定义域为R，是偶函数，不符； B：，定义域为，是奇函数， 根据复合函数的单调性，易知在上单调递减，不符； C：，定义域为R，是偶函数，不符； D：，定义域为R，是奇函数， 根据复合函数的单调性，易知在R上单调递增，符合. 故选：D 【相似题4】（2025·天津河西·一模）已知函数，则（   ） A．为奇函数 B．为偶函数 C．为奇函数 D．为偶函数 【答案】D 【分析】利用判断A；利用判断C；利用判断B；利用来判断D选项. 【详解】，则，即故A错误； ，故C错误； ，，则，故B错误； ，，则，故D正确. 故选择：D. 【题型7：由函数的奇偶性求解析式】 知识讲解 一、核心原理 1. 奇函数性质：，即 。 已知 时的解析式，可通过 时 ，利用 推导。 2. 偶函数性质：，即 。 已知 时的解析式，可通过 时 ，利用 推导。 3. 定义域对称是前提：需确保 和 均在定义域内。 二、解题步骤（分情况讨论） 情况1：已知函数在某半区间的解析式，求另一半区间 1. 设未知区间的自变量： 若已知 时的解析式，设 ，则 （ 单独处理）。 2. 代入已知区间表达式： 用 表示已知区间的函数值，即 （此时 属于已知区间）。 3. 利用奇偶性转化： 奇函数：； 偶函数：。 4. 合并解析式： 写出分段函数表达式，标注各区间定义域（注意 是否在定义域内，奇函数若在则 ）。 情况2：函数含参数，利用奇偶性求参数值 1. 根据奇偶性定义列方程： 对定义域内任意 ，奇函数满足 ，偶函数满足 。 2. 代入表达式化简： 通过整理方程，使等式恒成立的条件为系数对应为零，从而解出参数。 三、典型题型与解法 题型1：已知 解析式，求 的奇函数解析式 例：已知 是定义在 上的奇函数，当 时，，求 时的解析式。 1. 设 ，则 ，代入已知表达式：。 2. 利用奇函数性质：。 3. 结果：（若 ，由奇函数得 ）。 题型2：已知 解析式，求偶函数解析式 例：已知 是定义在 上的偶函数，当 时，，求 时的解析式。 1. 设 ，则 ，代入已知表达式：。 2. 利用偶函数性质：。 3. 结果：。 题型3：含参数的函数奇偶性求参数 例：若 是奇函数，求 $ a, b, c $ 的值。 1. 根据奇函数定义：。 2. 计算 。 3. 等式 恒成立，对比系数： ； $ a, c $ 无限制（但原式中 $ a, c $ 为任意实数时，仅 需满足）。 4. 结果：，$ a, c $ 为任意实数。 四、注意事项 1. 定义域的完整性： 若定义域不含 ，奇函数无需满足 （如 ）。 2. 奇偶性的逆向应用： 若 为奇函数且在 处有定义，则 （可用于快速求值或验证）。 3. 避免解析式遗漏： 分段函数需明确标注每段区间，尤其是 的归属（若在定义域内，需单独写出 的值）。 五、解题口诀 1. 设变量：求哪段设哪段（如求 ，设 ）。 2. 借已知：用 代入已知区间表达式。 3. 套性质：奇函数加负号，偶函数直接用。 4. 写分段：合并解析式，标注定义域。 例题精选 【例题1】（2024·福建·三模）定义在上的偶函数和奇函数满足，若函数的最小值为，则（    ） A．1 B．3 C． D． 【答案】C 【分析】先根据函数奇偶性得到，，从而得到，换元得到在上的最小值为，根据对称轴，分和两种情况，根据函数单调性得到最小值，从而得到方程，求出答案. 【详解】①，故， 因为为上的偶函数，为上的奇函数， 故，所以②， 式子①和②联立得，， ， 其中，当且仅当，即时，等号成立， 所以在上的最小值为， 由于的对称轴为， 故当时，在上单调递增， 故，解得，不合要求，舍去； 当时，在上单调递减，在上单调递增， 故，解得，负值舍去； 故选：C 【例题2】（2024·湖南益阳·一模）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则下列说法正确的是（    ） A．函数有两个零点 B．当时， C．的解集是 D．，都有 【答案】C 【分析】利用函数的奇偶性即可求解时函数的解析式，即可判断；分情况令即可求解函数的零点判断；令求出解集即可判断；分情况对函数求导，判断函数的单调区间即可求得函数的最值，用最大值减最小值即可判断. 【详解】设，则，所以， 因为是奇函数，所以， 所以，即， 所以函数的解析式为，故不正确； 因为函数是定义在上的奇函数，所以， 当时，令，解得， 当时，令，解得， 所以函数有三个零点，故不正确； 当时，令，解得， 当时，令，解得， 所以的解集为，故正确； 当时，， 所以当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， 所以当时，函数取得最小值， 当时，， 所以当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， 所以当时，函数取得最大值， 当时，， 所以，都有， 所以不正确. 故选：. 【点睛】关键点点睛：利用函数的奇偶性求出函数的解析式，分情况求解即可. 【例题3】（2024·山东济宁·三模）已知函数为偶函数，当时，，则曲线在点处的切线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用偶函数的性质求出的解析式，再利用导数的几何意义求出切线方程. 【详解】函数为偶函数，当时，， 则当时，，求导得，则，而， 所以曲线在点处的切线方程是，即. 故选：A 相似练习 【相似题1】（2025·云南昆明·模拟预测）已知函数是定义在上的奇函数，且当且仅当时，，则当时，的解析式为 . 【答案】. 【分析】利用奇函数的定义，将求时的解析式转化为时的情况，直接代入已知解析式即可. 【详解】解析：因为是奇函数，当时，， 所以当时，. 故答案为：. 【相似题2】（2025·福建·模拟预测）已知函数在上单调递增，函数是定义在上的奇函数，且，则可以是 ．（写出一个满足条件的函数即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】由得，得是上的增函数且是奇函数即可. 【详解】由， 所以是上的增函数且也是奇函数，构造， 所以满足条件， 故答案为：（答案不唯一）. 【相似题3】（2024·福建漳州·模拟预测）已知是奇函数，且当时，.若，则 【答案】 【分析】利用奇函数性质，结合题设求出时的函数的解析式，由代入方程求解即得 【详解】因为是奇函数，且当时,，则． 又因为，， 所以，将其化成对数式，，解得. 故答案为：. 【相似题4】（2024·全国·模拟预测）已知为奇函数，且当时，，其中为自然对数的底数，则曲线在点处的切线方程为 ． 【答案】 【分析】利用奇函数性质求时对应解析式，再由导数几何意义求切线方程. 【详解】由题设，当时，，故时，， 所以，而， 故切线方程为，即． 故答案为： 【题型8：由函数的奇偶性求参数】 知识讲解 一、核心原理 利用奇偶性定义列方程： 1. 奇函数：对定义域内任意 ，有 ，即 。 2. 偶函数：对定义域内任意 ，有 ，即 。 关键：方程需对定义域内所有 恒成立，通过整理等式两边系数求解参数。 二、解题步骤 1. 明确函数定义域： 确保定义域关于原点对称（否则函数非奇非偶，参数无需满足奇偶性条件）。 2. 代入 表达式： 将 替换为 ，化简 （含参数的项需保留参数）。 3. 根据奇偶性列方程： 奇函数：令 ； 偶函数：令 。 4. 整理方程并对比系数： 将方程整理为关于 的多项式或分式等式，令各次项系数或常数项分别为零，解方程组求参数。 5. 验证结果： 代入参数值，检查函数是否满足奇偶性定义（避免因定义域限制或特殊值漏解）。 三、常见题型与解法 题型1：多项式函数求参数 例：若 是奇函数，求 $ a, b, c, d $ 的值。 1. 定义域：（对称）。 2. 计算 ：。 3. 列奇函数方程：。 4. 对比系数： ； ； $ a, c $ 无约束（奇函数允许奇次项存在）。 5. 结果：，$ a, c $ 为任意实数。 题型2：分式函数求参数 例：若 是偶函数，求 $ a, b, c $ 的值（定义域为 ）。 1. 计算 ：。 2. 列偶函数方程：。 3. 方程恒成立条件：分子 对任意 成立 → ； $ b, c $ 无约束（分母 需恒不为零，隐含 ，但奇偶性不限制 $ b, c $）。 4. 结果：，$ b, c $ 满足 （定义域要求）。 题型3：含绝对值或分段函数求参数 例：若 是奇函数，求 $ a, b $ 的值。 1. 拆分绝对值：。 2. 利用奇函数定义：，重点验证 时 ： 当 ，； ； 等式：。 3. 验证 ：代入 后，，显然为奇函数（奇次项组合），故 任意实数。 4. 结果：， 为任意实数。 四、注意事项 1. 定义域隐含条件： 若函数为分式，需确保分母在 和 处均有意义（如 中 ）。 2. 参数的全局影响： 若参数同时影响奇偶次项，需通过方程整体求解（如 为偶函数时，奇次项系数 $ b, d $ 必须为零）。 3. 特殊点验证： 若定义域包含 ，奇函数需满足 （可快速检验参数是否正确）。 五、解题口诀 1. 代-x，写表达式：将 替换为 ，展开含参数的 。 2. 套定义，列方程：奇函数用 ，偶函数用 。 3. 整式子，比系数：整理方程为关于 的等式，令各次项系数为零。 4. 验结果，保对称：验证参数是否满足定义域对称及奇偶性定义。 例题精选 【例题1】（2025·四川泸州·模拟预测）已知函数，对满足恒成立，则的值为（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】A 【分析】根据，列式化简求出的值. 【详解】因为，， 所以， 即， 即， 即， 即， 即， 即， 即， 所以， 故选：A. 【例题2】（2025·四川自贡·二模）若是偶函数，则（   ） A．0 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据偶函数定义，列式运算得解. 【详解】由题，可得，即， ， ，即 因不恒为0，故. 故选：B. 【例题3】（24-25高三下·云南昭通·阶段练习）已知函数是偶函数，则（   ） A． B． C．0 D．1 【答案】D 【分析】由偶函数的定义构造等式求解即可. 【详解】由题意可得， 即， 整理得，恒成立， 即， 易得：， 故选：D. 相似练习 【相似题1】（2025·山东聊城·模拟预测）若是偶函数，则（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】由偶函数的定义域关于原点对称可求，再证明为奇函数，由此可得函数为奇函数，结合正弦函数性质可求，由此可得，再求结论即可. 【详解】因为是偶函数，所以它的定义域关于原点对称， 所以不等式的解集关于原点对称， 所以不等式的解集关于原点对称， 所以方程的根互为相反数， 所以，此时定义域为， 设，则函数的定义域为，定义域关于原点对称， 又，所以， 所以，所以函数为奇函数，又是偶函数， 所以恒成立， 所以是奇函数，于是 此时，于是或， 故选：D． 【相似题2】（2025·天津和平·一模）已知函数是偶函数，则实数（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数为偶函数，可得出，化简后即可得出实数的值. 【详解】对于函数，有，解得， 所以，函数的定义域为，且， 因为函数为偶函数，则，即， 可得对任意的恒成立，则. 故选：B. 【相似题3】（2025·福建泉州·一模）已知函数，若，则的值可以是（    ） A． B． C．3 D．5 【答案】B 【分析】根据得到，然后根据的范围求的范围即可. 【详解】由题意得，， 整理得， 因为，则，. 故选：B. 【相似题4】（2025·江苏·模拟预测）已知函数（且）是偶函数，则 . 【答案】 【分析】根据偶函数的定义可得，即可得结果. 【详解】因为对任意的恒成立，可知函数的定义域为， 因为函数是偶函数，则，即， 整理可得，即， 可得 ， 即，可知是偶函数，符合题意， 所以. 故答案为：. 【题型9：由函数的奇偶性单调性解不等式】 知识讲解 一、核心原理 1. 奇偶性的作用： 奇函数：图像关于原点对称，满足 ，单调性在对称区间上相同（如在 单调递增，则在 也单调递增）。 偶函数：图像关于 轴对称，满足 ，单调性在对称区间上相反（如在 单调递增，则在 单调递减）。 2. 单调性的作用： 若 在区间 上单调递增，则 ； 若单调递减，则 。 二、解题步骤 第1步：利用奇偶性化简不等式 目标：将不等式转化为仅含正数或负数的形式，便于利用单调性。 方法： 奇函数：，故不等式 可化为 。 偶函数：，故不等式 可化为 （利用偶函数在 的单调性）。 第2步：确定单调区间 关键：明确函数在正数区间（如 ）的单调性（题目通常已知或可通过分析得出）。 注意： 奇函数在对称区间单调性相同，只需分析 的情况； 偶函数在 和 单调性相反，需分别注意符号。 第3步：利用单调性脱去函数符号 转化规则： 若 在 单调递增： 对于奇函数，不等式 等价于 （需结合定义域判断 $ a, b $ 的符号）； 对于偶函数，不等式 等价于 。 若 在 单调递减，上述不等号方向反转。 第4步：解代数不等式 目标：求解转化后的代数不等式（如绝对值不等式、分式不等式等）。 方法： 绝对值不等式：； 含符号的不等式：结合定义域判断 的正负范围，分情况讨论。 第5步：验证定义域 确保不等式中 的取值在函数定义域内，排除无效解。 三、常见题型与解法 题型1：奇函数+单调递增 例：已知 是奇函数，在 上单调递增，解不等式 。 1. 利用奇函数性质：，原不等式化为 。 2. 利用单调性：因 单调递增，故 。 3. 解代数不等式：。 4. 结果：。 题型2：偶函数+单调递减（正数区间） 例：已知 是偶函数，在 单调递减，解不等式 。 1. 利用偶函数性质：，原不等式化为 。 2. 利用单调性：因 在 单调递减，故 。 3. 解绝对值不等式：。 4. 结果：。 题型3：分段函数+奇偶性 例：已知 是奇函数，当 时 ，且 在 单调递增，解不等式 。 1. 求 的解析式：。 2. 分情况讨论： 当 ：； 当 ：，成立； 当 ：（恒成立，因判别式 ）。 3. 结果：。 四、注意事项 1. 奇偶性与单调性的搭配： 奇函数在对称区间单调性相同，偶函数相反，需避免符号混淆。 2. 绝对值的处理： 偶函数问题中，优先将变量转化为绝对值形式，再利用正数区间的单调性。 3. 分段讨论的边界： 若函数在 处有定义，需单独验证 是否满足不等式。 4. 复合函数的单调性： 若不等式含复合函数（如 ），需先确定 的取值范围，再结合 的单调性求解。 五、解题口诀 1. 奇变号，偶变绝对值：奇函数利用 变号，偶函数利用 转化为绝对值。 2. 定区间，看增减：确定函数在正数区间的单调性，判断不等号方向。 3. 脱符号，解代数：利用单调性去掉函数符号，转化为常规不等式求解。 4. 验范围，保成立：检查解是否在定义域内，确保每一步推导等价。 例题精选 【例题1】（2025·贵州·二模）已知为偶函数，当时，，且，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据条件分类讨论，分别对情况解不等式即可. 【详解】当时，，若，则； 当时，，成立； 当时，因为为偶函数，所以，即，； 综上：， 故选：B. 【例题2】（2025·江西·模拟预测）已知函数，若，使成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先研究函数是奇函数，再求导，用均值不等式和余弦函数特点，知道函数在整个取值范围递增.利用奇函数性质变成，结合单调性得出. 参变分离，转化为求的最值即可. 【详解】因为，所以为奇函数， 又，故在上单调递增， 由，得，所以， 若，，即，只需， 令，由对勾函数的性质可知在上单调递增， 故，故. 故选：D. 【例题3】（2025·湖南邵阳·二模）已知函数，则满足的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用函数的单调性和奇偶性结合导数可得. 【详解】，定义域为， ，为奇函数， 又，所以在上单调递增， 所以即， 即的取值范围是. 故选：C 相似练习 【相似题1】（2025·山东·模拟预测）已知是定义在上的奇函数，当时，都有成立，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由题设结合函数单调性定义求得函数在上单调递增，接着研究函数的奇偶性和函数值，再将不等式等价变形为或即可求解. 【详解】因为当时，都有成立， 不妨令，则都有成立， 即对任意，且，都有成立， 所以函数在上单调递增， 因为是定义在上的奇函数， 所以，所以函数是偶函数， 所以函数在上单调递减， 又，则， 所以不等式或或， 解得或. 所以不等式的解集为. 故选：B 【相似题2】（2025·安徽六安·模拟预测）已知函数，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用导数确定函数在的单调性，再结合偶函数的性质求解不等式. 【详解】函数的定义域为R，， 函数是偶函数，求导得，令， 求导得，函数在上递增， 当时，，函数在上单调递增， 不等式， 则，令函数，求导得， 当时，，当时，，函数在上递减，在上递增， 当时，，令函数，求导得， 函数在上递增，当时，，成立， 当时，，不成立， 所以不等式的解集为. 故选：C 【相似题3】（2025·陕西西安·二模）已知函数是定义在上的偶函数，且在区间上单调递增．若实数满足，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先根据函数的性质推出函数的性质，再利用函数性质化简不等式，进而求解的取值范围. 【详解】由于函数是定义在上的偶函数， 所以的图象关于对称， 且在上的单调递增，在区间上单调递减. 由， 得， 所以， 所以，即， 所以. 故答案为： 【相似题4】（2025·江西上饶·一模）已知函数，则不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】先证明函数的对称中心，即，化简不等式得到，然后由导函数得到函数单调性，然后由单调性得到不等式，就不等式即可. 【详解】, 则，即， ∴， ∵， ∴， ∵， 即函数在上单调递增， ∴，即，∴， 即. 故答案为：. 【题型10：判断或证明函数的对称性】 知识讲解 一、函数对称性的分类 函数的对称性主要分为两类： 1. 关于坐标轴/原点的对称性（奇偶性）： 关于 轴对称（偶函数）：满足 。 关于原点对称（奇函数）：满足 。 2. 关于任意直线/点的对称性： 关于直线 对称：满足 或 。 关于点 对称：满足 或 。 二、判断对称性的核心方法 1. 判断关于坐标轴/原点对称（奇偶性） 步骤： 第1步：确定函数定义域是否关于原点对称（若不对称，直接排除奇偶性）。 第2步：计算 ，并与 比较： 若 ，则为偶函数（关于 轴对称）； 若 ，则为奇函数（关于原点对称）； 若均不满足，则非奇非偶。 例： ：，是偶函数。 ：，是奇函数。 2. 判断关于直线 对称 核心条件： 对任意 ，有 ，即函数在 左右等距处的函数值相等。 等价形式：（用 替换 可得）。 步骤： 第1步：假设对称轴为 （可通过函数形式猜测，如二次函数对称轴为 ）。 第2步：验证 是否等于 。 例： ：猜测对称轴为 ，验证 ，，相等，故关于 对称。 ：由三角函数性质知对称轴为 ，取 ，验证 ，，不相等，说明需重新判断（实际正弦函数对称轴为 ，需结合周期性）。 3. 判断关于点 对称 核心条件： 对任意 ，有 ，即函数在 左右等距处的函数值之和为 $2b$。 等价形式：。 步骤： 第1步：假设对称中心为 （可通过函数形式猜测，如奇函数对称中心为原点）。 第2步：验证 是否等于 $2b$。 例： ：猜测对称中心为 ，验证 ，成立，故关于原点对称（既是奇函数，也是关于原点对称的点对称函数）。 ：对称中心为 ，取 ，验证 ，成立，故关于原点对称。 三、常见函数的对称性结论 1. 多项式函数： 偶函数：仅含偶次项（如 ），关于 轴对称。 奇函数：仅含奇次项（如 ），关于原点对称。 二次函数 ：关于直线 对称（非坐标轴对称，除非 ）。 2. 分式函数： ：关于点 对称（由反比例函数平移得到）。 3. 三角函数： 、：关于原点对称（奇函数），且有周期性对称中心（如 对称中心为 ）。 ：关于 轴对称（偶函数）。 4. 指数与对数函数： 与 ：非奇非偶，无坐标轴对称性，但可能通过平移得到直线对称（如 关于 不对称，需具体验证）。 四、对称性的拓展应用 1. 利用对称性简化函数图像绘制： 若已知函数在对称轴一侧的图像，可通过对称性质画出另一侧。 2. 对称性与周期性的结合： 若函数同时具有对称轴 和对称中心 ，则可能具有周期性（如 关于 和 对称，则周期为 ）。 3. 对称性与方程求解： 若 关于 对称，则方程 的根关于 对称（如二次方程根的对称性）。 五、关键注意事项 1. 定义域的对称性： 判断奇偶性时，定义域需关于原点对称；判断直线/点对称时，定义域无强制对称要求，但需保证 和 均在定义域内。 2. 对称性的唯一性： 函数可能有多个对称轴或对称中心（如周期函数），需全面分析。 3. 区分奇偶性与对称轴/中心： 奇偶性是对称性的特殊情况（对称轴为 轴或对称中心为原点），但对称性更广泛（如关于 对称的函数不一定是偶函数）。 例题精选 【例题1】多选题（2025·四川成都·三模）已知函数，则（   ） A．的最小正周期为 B．是奇函数 C．关于直线对称 D．在上单调递减 【答案】ACD 【分析】利用周期函数的定义判断A；利用奇函数定义判断B；利用对称性定义判断C；由复合函数的单调性即可判断D. 【详解】对于A，设（是不为0的常数）是的周期， 则对于，有，可得，即 解得或. 由，可得， 若，因，即不是的周期， 又由，得， 若，因，故不是的周期， 同理不是的周期， 又因， 因此函数的最小正周期为，A正确； 对于B，，，函数不是奇函数，B错误； 对于C，，即关于直线对称，C正确； 对于D，，函数在上单调递增，且， 函数在上单调递减，因此在上单调递减，D正确. 故选：ACD 【例题2】多选题（2025·江西南昌·二模）已知.不等式的解集为且，则下列说法中正确的是（    ） A．函数的极大值点为1 B．函数的对称中心为 C．过点可作一条直线与曲线相切 D．当时， 【答案】BCD 【分析】根据不等式的解集与方程的解之间的联系求得，结合导数和极值点的概念即可判断A；根据函数的对称性验证即可判断B；根据导数的几何意义即可判断C；利用作差法计算即可判断D. 【详解】A：因为不等式的解集为且， 即不等式的解集为且， 所以方程的根为和（二重根）， 得，即， 所以，则，得， 令，或， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以是的极大值点，故A错误； B：由选项A知， 则， 所以， 即的一个对称中心为，故B正确； C：由选项A知， 设过点的切线方程为，设切点为， 则，，得， 整理得，即，解得， 此时切点为，不符题意， 所以过点只能作一条直线与曲线相切，故C正确； D：令，当时，则， 只需. 而，由， 得，即，所以，故D正确. 故选：BCD 【例题3】多选题（2025·贵州六盘水·一模）对于函数，和，，下列结论正确的有（   ） A．与在时有相同的函数值 B．与有相同的最小值 C．与的图象有相同的对称中心 D．与在区间都为增函数 【答案】AC 【分析】验证函数值可知A正确；利用正弦函数性质和导数分别求解最小值及单调性，可知BD错误；通过对称性定义可验证得到C正确. 【详解】对于A，，，，A正确； 对于B，当时，，，； ， 则，令，解得：， 则当时，；当时，； 在，上单调递增，在上单调递减， ， ，，， ，B错误； 对于C，， ， 与均关于点中心对称，C正确； 对于D，当时，， 在上单调递增，在上单调递增； 由B知：， 在上单调递减，在上单调递增，D错误. 故选：AC. 相似练习 【相似题1】多选题（22-23高一上·陕西西安·期末）已知函数，则（   ） A．函数的单调递增区间是 B．函数的值域是 C．函数的图象关于对称 D．不等式的解集是 【答案】BC 【分析】根据复合函数单调性的“同增异减”原则结合对数函数和一元二次函数性质可判断A选项；由真数部分函数的值域，结合对数函数的基本性质可判断B选项；利用函数对称性的定义可判断C选项；利用对数函数的单调性解不等式，可判断D选项. 【详解】对于A选项，由可得或， 所以函数的定义域为， 因为函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 且函数为增函数， 所以函数的单调递增区间是，故A错； 对于B选项，由A知函数的定义域为， 当或时，函数值域为， 所以函数的值域是，故B对； 对于C选项，因为， 所以函数的图象关于对称，故C对； 对于D选项，由可得， 解得或， 所以不等式的解集是，故D错. 故选：BC. 【相似题2】（2025·陕西西安·二模）已知函数． (1)讨论函数的单调性； (2)设函数． （ⅰ）求的值； （ⅱ）证明：存在实数，使得曲线关于直线对称． 【答案】(1)答案见解析 (2)（i）；（ii）证明见解析 【分析】（1）求出，求导，，分和两种情况讨论函数的单调性，即可求解； （2）（ⅰ）求出，直接计算，即可得结果；（ⅱ）根据的定义域，推断函数的对称轴为，验证即可. 【详解】（1）由题意可知，则的定义域为， ， 当时，在区间上恒成立，则在上单调递增， 当时，令，即，解得， 若，， 若，， 则在上单调递增，在上单调递减， 综上所述，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减． （2）（i）函数， 则，，故． （ii）函数的定义域为．若存在，使得曲线关于直线对称， 则关于直线对称，所以， 又 ． 可知曲线关于直线对称. 【相似题3】（2024·全国·模拟预测）设． (1)当，求函数的递减区间； (2)求证：函数的图象关于对称； (3)若当且仅当时，，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)． 【分析】（1）由可得函数递减区间； （2）证明即可； （3），注意到，可得成立的一个必要条件为，然后验证为成立的充分条件可得答案. 【详解】（1）函数的定义域为， 因为， 当时，；当时，， 所以函数在区间上递减． （2）由已知，定义域为， 设，则， 即，所以函数的图象关于对称； （3）由题设，则， 注意到，则成立的一个必要条件为； 下面说明也是成立的一个充分条件， 当时，因为，，则， 所以，得在上单调递减， 因为，所以当且仅当时，，即； 综上，满足题意的实数的范围为． 【点睛】关键点点睛：对于不便于分离参数的恒成立问题，常可根据已知条件找到命题成立的一个必要条件，再证明这个必要条件也是相应命题的充分条件即可，这种方法被称为“必要性探路”. 【相似题4】（2024·吉林长春·模拟预测）已知函数（其中，）. (1)当，时，证明：是增函数； (2)证明：曲线是中心对称图形； (3)已知，设函数，若对任意的恒成立，求的最小值. 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3). 【分析】（1）利用即可得证； （2）利用即可证明； （3）分和两种情况研究函数的最值情况，当时求出的最小值，从而将对任意的恒成立转化成恒成立，再构造函数求出的最小值即可求解. 【详解】（1）证明：当，时，， 所以恒成立， 所以函数是增函数. （2）证明：因为 ， 所以曲线关于点对称，即曲线是中心对称图形. （3）由题函数， 所以为增函数，因为， 所以当时，恒成立，所以在R上单调递增， 且当时，，故，不符合； 当时，令， 所以当时，，故函数在上单调递减， 当时，，故函数在上单调递增， 所以，因为对任意的恒成立， 所以只需即恒成立， 所以， 所以， 所以当时，；当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以.故，当且仅当时等号成立， 所以时的最小值为. 【点睛】思路点睛：不等式恒成立问题，一般采取参变分离，转化为不含参函数的最值问题，或者利用参数表示出函数最值，然后求解关于参数的不等式即可. 【题型11：由对称性求函数的解析式】 知识讲解 一、核心原理 函数的对称性（如关于直线对称、关于点对称）可转化为代数关系式，通过代入变量替换推导解析式。 直线对称：若关于对称，则，等价于。 点对称：若关于点对称，则，等价于。 二、解题步骤 （一）已知对称轴和一侧解析式，求另一侧 1. 设变量：设在未知区间，利用对称轴表示其对称点。若对称轴为，则关于的对称点为。 2. 利用对称性列等式：根据（因为在已知区间）建立联系。 3. 代入已知解析式：把代入已知表达式，从而得到的解析式。 例：已知关于对称，当时，，求时的解析式。 设，则其关于的对称点。 由对称性可知。 把代入中，。 所以。 （二）已知对称中心和一侧解析式，求另一侧 1. 设变量：设在未知区间，利用对称中心表示其对称点。若对称中心为，则关于的对称点为，且。 2. 代入已知解析式：将代入已知表达式，进而推导出的解析式。 例：已知关于点对称，当时，，求时的解析式。 设，则其关于点的对称点。 由点对称性质可得。 把代入中，。 所以，即 ，若，根据对称中心性质，则。 三、复杂对称性问题（含参数） 步骤 1. 根据对称性列方程： 若关于对称，则对任意成立。 若关于对称，则对任意成立。 2. 代入函数表达式：把和用含参数的式子表示出来。 3. 整理方程求参数：通过对比系数或恒等式条件，解出参数值，从而确定解析式。 例：已知关于对称，求的值。 由对称性可知。 计算。 计算。 因为对任意成立，所以，解得。 所以。 四、注意事项 1. 定义域的对称性：若对称轴为，要保证和都在定义域内；若对称中心为，要保证和在定义域内。 2. 参数的全局影响：含参数的函数需通过对称性建立恒等式，确保所有项系数匹配，如多项式函数需各次项系数相等。 3. 对称中心的特殊性：对称中心为时，函数可表示为，其中关于原点对称（可利用这种形式简化推导）。 例题精选 【例题1】（2021·全国·模拟预测）已知函数的图象与的图象关于点对称，且的图象与直线相切，则实数（ ） A．2 B． C．4 D． 【答案】C 【分析】先根据对称关系求出函数的解析式，再根据的图像与直线相切，利用方程根的判别式即可得实数的值． 【详解】设是函数的图象上任意一点，则其关于对称的点为， 因此点在的图象上，所以， 整理得，即， 又的图象与直线相切，所以方程， 即有两个相等的实数根， 则，可得． 故选：C 【点睛】关键点点睛：此题考查函数图象的对称性的应用，考查两函数图象的位置关系，解题的关键是由函数的图象与的图象关于点对称，求出，考查计算能力，属于中档题 【例题2】（2022·全国·模拟预测）写出一个同时满足下列条件①②③的函数 ． ①为偶函数；②的最大值为2；③不是二次函数． 【答案】（答案不唯一） 【分析】由①知，的图象关于直线对称，结合②和③可得符合条件的函数. 【详解】因为为偶函数，则，所以的图象关于直线对称， 又的最大值为2，所以可取． 故答案为：（答案不唯一）. 【例题3】（2022·江苏·三模）写出一个同时具有下列性质①②③的函数 .①是定义域为的奇函数；②；③. 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据满足的条件写出一个函数即可. 【详解】由条件①②③可知函数对称轴为，定义域为R的奇函数，可写出满足条件的函数. 故答案为：（答案不唯一） 相似练习 【相似题1】（2026高三·全国·专题练习）已知函数与的图象关于点对称，则 ． 【答案】 【分析】设是上一点，关于点的对称点为，得到，将其代入函数的解析式，即可求得的解析式. 【详解】设是图象上任意一点，且点关于点的对称点为， 可得，解得， 将其代入函数，可得，所以， 即. 故答案为：. 【相似题2】（2024·广东·一模）已知函数， (1)已知函数的图象与函数的图象关于直线 对称，试求； (2)证明； (3)设是的根，则证明：曲线在点处的切线也是曲线的切线. 【答案】(1). (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）由，得，再利用换元法求； （2）分区间讨论各因式的符号或利用导数证明； （3）取曲线 上的一点 ，设在处的切线即是 在处的切线，证明直线的斜率等于在处的切线斜率和在处的切线斜率即可. 【详解】（1）因为的图象与的图象关于直线 对称，所以 . 又因为 ， 所以， 令，则 ， 所以， 因此. （2）证明： 解法1：当 时，且 ，此时 ； 当时，且，此时 ， 故综上. 解法2：，令，在上恒成立， 故在上单调递增，即在上单调递增， 因此当时，； 当； 因此在上单调递减，在 上单调递增， 故. （3）证明：不妨取曲线 上的一点 ，设在处的切线即是 在处的切线， 则 ，得 ，则 的坐标 ， 由于，所以， 则有， 综上可知，直线的斜率等于在处的切线斜率和在处的切线斜率， 所以直线AB既是曲线在点处的切线也是曲线的切线. 【相似题3】（24-25高三上·宁夏吴忠·阶段练习）已知函数. (1)当时，，求实数的取值范围; (2)若函数与的图象关于点对称，求的解析式; (3)判断函数在的零点个数，并说明理由. 【答案】(1) (2) (3)零点个数为1，理由见解析 【分析】（1）利用导数求的最大值即可求解； （2）结合函数的对称中心求出函数解析式； （3）先把方程转化，再构造新函数，应用导函数得出单调性结合零点存在定理得出结果. 【详解】（1）    由题意得，，令，解得， 当时，，所以在上单调递增， 当时，，所以在上单调递减， 所以的最大值为， 由于时，，所以， 所以实数的取值范围为. （2）由题意得，． （3）令，则，整理得， 令，则， 当时，，所以在上单调递减， 又，， 所以由零点存在性定理得，在上存在唯一零点， 当时，，此时函数无零点， 综上所述，在上存在唯一零点，即函数在上的零点个数为． 【点睛】关键点点睛：本题第三问的解决关键是，将函数在零点个数的问题转化为零点个数问题，从而得解. 【相似题4】（24-25高三上·辽宁·期中）已知函数，函数的图象与的图象关于中心对称. (1)求函数的解析式； (2)证明：； (3)若在时恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3). 【分析】（1）利用两个函数互对称的性质求解即可； （2）分为两个不等式，然后求差构造函数，利用函数的单调性求最值，然后判断大小即可； （3）先将两个函数代入不等式，然后利用第二问的不等式放缩，去掉对数函数，然后化简求范围即可，因为有放缩，所以还需要验证，所求参数的范围的补集不符合题意. 【详解】（1） （2）的定义域为，设， ， ，得，得， 所以在单调递增，在单调递减， ，所以； 设， ，得，得， 所以在单调递减，在单调递增， ，所以； 综上所述，成立. （3）， 设 令，得 当时，，所以在单调递减， 当时，，所以在单调递减， 所以， 所以当时，在时恒成立， 下面证明当时，在时不恒成立， ， 设， 当时，在单调递减，值域是， 当时，，使得，此时，， 即在时不恒成立； 综上所述，实数的取值范围是. 【点睛】方法点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法： 一是分离参数法，使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件； 二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论； 三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图象确定条件. 【题型12：由函数的对称性求参数】 知识讲解 一、核心原理 利用函数对称性的代数表达式建立恒等式，通过对比系数或恒成立条件求解参数。 关于直线 对称：（对任意 成立）。 关于点 对称：（对任意 成立）。 二、解题步骤 1. 确定对称性类型及对应关系式 直线对称：若已知对称轴为 ，则关系式为 。 点对称：若已知对称中心为 ，则关系式为 。 2. 代入函数表达式并展开 将 和 分别用含参数的表达式表示，并展开化简。 例：若 关于 对称，则 ，。 3. 整理等式并对比系数 将展开后的等式整理为关于 的多项式（或其他形式），令对应项系数相等，建立方程组求解参数。 例：若 ，展开后得： 整理后对比 项系数：，从而解出参数关系。 4. 验证恒成立条件 确保所求参数使对称性关系式对任意 恒成立，避免漏解或错解。 三、常见题型与解法 题型1：直线对称求参数 例：已知 关于直线 对称，求 的值。 1. 列关系式：。 2. 代入展开： 左边： 右边： 3. 对比系数： 项系数：。 4. 结果：。 题型2：点对称求参数 例：已知 关于点 对称，求 $k, m$ 的值。 1. 列关系式：（因 ）。 2. 代入展开： 整理： 化简分式：。 3. 恒成立条件： 分式项 需为常数，唯一可能是系数为 0，但分母含 ，故只能 ，此时： 4. 结果：，。 题型3：含绝对值的对称问题 例：已知 关于 对称，求 的值。 1. 列关系式：。 2. 代入展开： 3. 绝对值对称性：等式成立当且仅当 。 4. 结果：。 四、注意事项 1. 区分直线对称与点对称的关系式： 直线对称用“相等”，点对称用“和为常数”，避免混淆。 2. 参数的全局约束： 若函数含多个参数，需确保所有参数满足同一对称性条件（如多项式函数需所有奇次项或偶次项系数对应为零）。 3. 定义域的隐含条件： 确保 和 在定义域内，尤其对分式、根式等函数需验证分母不为零或根号有意义。 五、解题口诀 1. 定类型，写关系：确定对称类型，写出对应代数关系式。 2. 代变量，展式子：代入 和 ，展开并化简表达式。 3. 比系数，解方程：对比各项系数，建立方程求解参数。 4. 验恒等，保成立：验证解是否使关系式对任意 恒成立。 例题精选 【例题1】（2025·河南·一模）已知曲线关于点中心对称，则（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】由题意可知，计算即可得出结果. 【详解】因为关于点中心对称， 所以， 所以，可得， 故选：C． 【例题2】（2025·福建厦门·一模）若函数的图象关于直线对称，则的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用特殊值结合对称性求出a的值，可得函数解析式，再利用基本不等式，即可求得答案. 【详解】依题意，，其图象关于直线对称， 则， 所以，所以，解得， 所以，此时，满足题意； 因为，当且仅当，即时等号成立， 所以， 故选：B． 【例题3】（24-25高一上·浙江衢州·期末）已知函数的图象关于点中心对称的充要条件是函数为奇函数，则函数图象的对称中心是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求得的定义域，从而得到，再利用奇函数的性质列式求得，从而得解. 【详解】对于，有，解得， 所以的定义域为， 而的图象的对称中心为，则， 所以为奇函数，则有， 即， 所以，故. 故选：C. 相似练习 【相似题1】（2025高三·全国·专题练习）若函数的图象关于点对称，则 . 【答案】 【分析】法一：设是的图象上一点，则也在的图象上，计算可得，再计算出即可得解；法二：利用对称性结合定义域可得，再借助的图象关于点对称，可得. 【详解】设是的图象上一点， 关于点的对称点为， 由题知点也在的图象上，则 ， 两式相加得， 所以恒成立，故， 且，整理得. 若，则，此时的图象不关于点对称，不符合要求； 若，则，符合要求，所以. 法二： 由的图象关于点对称，得函数的定义域关于对称， 即的解集关于对称，得，所以， 设， 则， 故的图象关于点对称， 故的图象关于点对称， 所以，所以. 故答案为：. 【相似题2】（24-25高一上·上海·期末）若函数的图像关于直线对称，则 【答案】120 【分析】利用图像的对称性列方程组求解即可. 【详解】由题意得函数的图像关于直线对称， 则， ， 解得：，. 故答案为：120. 【相似题3】（24-25高一上·上海·期末）若函数的对称中心是则 【答案】1 【分析】根据函数图象关于点对称，可得，整理可求出的值. 【详解】因为函数的对称中心是， 所以. 即. 整理得：， 所以，所以. 故答案为：1 【相似题4】（2025·江西九江·二模）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)是否存在常数，使的图象关于直线对称？若存在，求的值；若不存在，请说明理由； (3)若，函数在上单调递增，求的取值集合. （参考数据：） 【答案】(1) (2)存在， (3) 【分析】（1）根据导数的几何意义求解即可； （2）由定义域及的图象关于直线对称可求，进而，解方程可得到； （3）构造函数，利用导数研究的单调性，利用分类讨论的方法即可. 【详解】（1）当时，，得 曲线在点处的切线方程为，即 （2）的定义域是，且的图象关于直线对称， 对任意的成立， 即， 化简整理得， 解得.即存在，使的图象关于直线对称. （3）设，则. 在上单调递增，对任意的恒成立， 即，且. ①当时，，即在上单调递增，.由，得. ②当时，当时，单调递减；当时，单调递增， 设， 易知在上单调递减. 存在唯一的，使. 当时，单调递增，；当时，单调递减 存在唯一的，使. 令，解得 由①②，得的取值集合为. 【题型13：判断或证明函数的周期性】 知识讲解 一、定义 若存在非零常数 ，使 对定义域内任意 成立，则 为周期函数， 为周期（最小正周期为最小正数 ）。 二、判断方法 1. 定义法：假设 ，验证 是否恒成立。 2. 性质推导： 若 周期为 ，则 周期为 。 周期函数 ±/× 周期函数（周期有公倍数）仍为周期函数。 三、常用结论 1. 基本函数周期： : ；: 。 : 。 : ；: 。 2. 特殊函数： 常函数：任意非零常数为周期，无最小正周期。 狄利克雷函数：任意有理数为周期，无最小正周期。 3. 运算性质： 周期函数复合/伸缩后周期按比例变化（如 周期为原周期 ）。 四、注意事项 1. 周期需为非零常数，定义域需满足 有意义。 2. 周期可能有多个，最小正周期需单独判断（如 周期为 ）。 3. 周期函数的和若周期无公倍数（如 ），则非周期函数。 例题精选 【例题1】（2025·山东青岛·一模）已知函数的定义域为，若为偶函数，且，，则（    ） A．2026 B．2025 C．2024 D．2023 【答案】A 【分析】由已知条件推导出函数周期为4，，可求. 【详解】由为偶函数，得，即，则， 因此，即，则， 于是，函数是周期为4的周期函数， 由，得，因此， 所以． 故选：A 【点睛】关键点点睛：利用偶函数的性质，结合已知等式，探讨函数的周期性是求解问题的关键. 【例题2】多选题（2025·四川绵阳·模拟预测）函数满足，且，，下列说法正确的有（   ） A．为的一个周期 B．为奇函数 C． D． 【答案】ABC 【分析】由，通过代入，可求得周期为4，进而判定A；再结合，可判断B；再通过特值代入，可判断C；联想到正切函数的两角和公式和正切函数的性质，可以想到举例从而否定D. 【详解】对于A，当有意义，且，时， 则， 则， . 当时，(无意义)， 可得, 所以, 所以. 当时，, 可得, 综上，总有. 故为的一个周期，故A正确； 对于B，，即，函数关于点对称. 又由为的一个周期，所以， 所以，故为奇函数，故B正确； 对于C，为奇函数，但无法直接判定有意义. 但已知，可得有意义，故有意义，, 所以分母不为零，有意义，从而,即, 所以，故C正确； 对于D，. 因为， ，， 满足题设所有条件，但是不存在（），故D错误. 故选：ABC. 【例题3】多选题（24-25高一上·安徽合肥·期末）已知函数的定义域为，函数为奇函数，的图象关于直线对称，则（    ） A．的图象关于点中心对称 B．为偶函数 C．是周期为4的函数 D． 【答案】ABC 【分析】根据给定条件，利用奇函数的定义、函数对称性逐项分析判断. 【详解】函数的定义域为，由函数为奇函数，得， 由的图象关于直线对称，得， 对于A，由，得的图象关于点中心对称，A正确； 对于C，由，得，又， 则，，是周期为4的函数，C正确； 对于B，由选项C知，，则，又， 因此，为偶函数，B正确； 对于D，，D错误. 故选：ABC 【点睛】结论点睛：函数的定义域为D，， ①存在常数a，b使得，则函数图象关于点对称. ②存在常数a使得，则函数图象关于直线对称. 相似练习 【相似题1】多选题（24-25高三上·内蒙古赤峰·期末）已知定义在上的函数满足．若的图象关于点对称，则（   ） A．的图象关于点对称 B．是偶函数 C．是奇函数 D．的周期 【答案】AB 【分析】令，推导出，结合函数的对称性可判断A选项；利用函数奇偶性的定义可判断BC选项；利用特殊值法可判断D选项. 【详解】对于A选项，设，因为函数的图象关于点对称， 即函数的的图象关于点对称，则， 所以，令，可得， 可得，所以的图象关于点对称，则A正确． 对于B选项，由已知得， 设，则， 所以，所以是偶函数，则B正确； 对于C选项，若函数是奇函数，则，可得， 即函数的图象关于点对称， 但函数的图象关于点对称，题中条件无法推出函数的图象关于点对称，则C错误； 对于D选项，若函数的周期为，则， 事实上，在等式中，令，则，则，矛盾，故D错误. 故选：AB. 【点睛】结论点睛：本题考查函数的对称性的判断，可利用以下结论来转化： ①函数的图象关于点对称，则； ②函数的图象关于直线对称，则. 【相似题2】（24-25高三下·安徽·阶段练习）已知函数的定义域为为偶函数，为奇函数，则 ． 【答案】 【分析】根据奇偶性得到，进而推导出是周期为4的函数，利用周期性求函数值即可. 【详解】由为偶函数，，即， 由为奇函数，，即， 所以，即，即， 所以，即是周期为4的函数， 所以，又， 所以. 故答案为： 【相似题3】 （24-25高一上·天津河西·期末）已知定义在上的奇函数满足，且当时，，则函数的周期为 ： ． 【答案】 4 【分析】先由题设得可得函数周期，接着由函数的周期性和奇偶性即可计算求解函数值. 【详解】因为，所以， 所以函数的周期为4； 又因为函数为奇函数，且当时，， 所以. 故答案为：4；. 【题型14：抽象函数的对称性周期性奇偶性单调性综合题型】 知识讲解 一、核心知识点梳理 1. 奇偶性 定义： 奇函数：（定义域关于原点对称）。 偶函数：（定义域关于原点对称）。 性质： 奇函数图像关于原点对称，偶函数关于 轴对称。 奇 + 奇 = 奇，偶 + 偶 = 偶，奇 × 偶 = 奇（运算性质）。 2. 单调性 定义： 增函数：； 减函数：。 复合函数单调性：同增异减（外层与内层单调性相同则复合函数增，相反则减）。 3. 周期性 定义：存在非零常数 ，使得 。 常用结论： 若 ，则周期 ； 若 ，则周期 ； 若 ，则周期 。 4. 对称性 直线对称： 关于 对称； 点对称： 关于 对称； 奇偶性是对称性的特例：奇函数关于原点对称，偶函数关于 轴对称。 二、常用结论与公式 1. 奇偶性 + 周期性： 奇函数若在 有定义，则 ； 周期为 的奇函数满足 。 2. 单调性 + 对称性： 关于 对称的函数，在 和 单调性相反（如偶函数）； 关于点 对称的函数，在对称区间单调性相同（如奇函数）。 3. 周期性 + 对称性： 若 关于 和 对称（），则周期 ； 若 关于 和点 对称，则周期 。 4. 抽象函数常见模型： 奇函数 + 周期函数：（周期 ）； 偶函数 + 周期函数：（周期 ）； 双对称周期函数：（关于 对称，周期 ）。 三、综合题型解题思路 步骤1：利用奇偶性化简表达式 奇函数：，可将负变量转化为正变量； 偶函数：，可将问题限定在 区间求解。 步骤2：结合单调性脱去函数符号 若 单调递增，则 ； 若单调递减，则 。 步骤3：利用周期性转换变量范围 若已知 在 的性质，利用 将任意 转化到该区间。 步骤4：对称性与周期性结合 通过对称轴/中心推导周期（如双对称轴推出周期），再利用周期性简化问题。 步骤5：构造特殊值或模型 对抽象函数，可代入特殊值（如 ）或假设具体函数模型（如 ）辅助推导。 四、典型例题与解析 例1：已知 是奇函数，周期为 ，且在 $ [0, 2] $ 上单调递增，解不等式 。 1. 利用周期性：（奇函数）； 2. 不等式化简：； 3. 利用单调性： 在 上递增（奇函数对称区间单调性相同），故 ； 4. 结合周期：解集为 （），即 中满足 的部分，最终 。 例2：若 关于 对称，且 ，证明 是周期函数。 1. 对称性推导：; 2. 周期性条件：; 3. 结论：周期 。 五、解题关键技巧 1. 符号转换：奇偶性用于转换变量符号，周期性用于转换变量范围，对称性用于建立函数值关系。 2. 多性质联动：如“奇函数 + 对称轴 ”可推出周期 （因 ）。 3. 逆向思维：若题目给出 ，可视为周期 ；若 ，则 。 六、注意事项 1. 定义域约束：奇偶性要求定义域对称，周期性需保证 在定义域内。 2. 避免循环论证：推导周期时需确保每步均有定义或性质支撑，如从 直接得出周期 需验证 。 3. 抽象函数具体化：通过假设具体函数（如三角函数、一次函数）验证抽象结论，避免逻辑漏洞。 例题精选 【例题1】（24-25高三上·广东深圳·阶段练习）已知函数的定义域为为奇函数，，则（    ） A．为奇函数 B．的图象关于直线对称 C．的最小正周期为4 D．的图象关于点对称 【答案】D 【分析】根据为奇函数，得，从而可知的对称中心；根据题意令可知，从而，结合对称中心可判断的对称轴与奇偶性和最小正周期. 【详解】因为为奇函数，所以， 所以的图象关于点对称，则的图象关于点对称，项正确； 因为函数的定义域为，易知的定义域为， 因为为奇函数，所以， 则，所以， 根据的图象关于点对称，得， 所以，故为偶函数，项错误； 因为， 所以，所以的最小正周期为， 则的最小正周期为，项错误； 根据为偶函数，且关于点对称，最小正周期为， 易知的所有对称轴为直线，故项错误. 故选：. 【例题2】（2025·山西·二模）已知函数的定义域为，函数是奇函数，函数的图象关于直线对称，则（    ） A．是偶函数 B．是奇函数 C． D． 【答案】B 【分析】由题设奇偶性和对称性条件结合奇偶性定义公式和对称性公式进行分析函数的性质即可得解. 【详解】因为是奇函数，所以为偶函数， 所以，即，故的图象关于直线对称， 由的图象关于直线对称得， 即， 即，所以关于对称， 所以，所以， 故是奇函数，所以B选项正确； 因为，又，所以， 即，所以，故C选项错误； 不能得到的奇偶性与的值，故A，D选项错误. 故选：B 【例题3】（2026高三·全国·专题练习）已知函数及其导函数的定义域都为R，且为偶函数，为奇函数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，求得函数关于对称，且关于点对称，且的周期是4，再由，得到，求得，得到导函数关于点对称，且，进而得到，求得导函数的周期是4，结合，即可得到答案. 【详解】由函数为偶函数，可得，即， 可得函数关于对称，则， 又由是奇函数，可得， 所以函数关于点对称，则，且， 所以，即，即函数的周期是4， 则， 由，可得， 所以，则， 即，所以， 即导函数关于点对称，且， 又由，可得，即导函数的周期是4， 则，所以． 故选：D． 相似练习 【相似题1】多选题（2025·山西晋城·二模）设均是定义在上的函数，且，则下列说法正确的是（    ） A．若是偶函数，则的图象关于直线对称 B．若是最小正周期为1的函数，则是最小正周期为3的函数 C．若是偶函数，则的图象关于直线对称 D．若是奇函数，则 【答案】BCD 【分析】对于A，由是偶函数可得，由此可判断A；对于B，由题干可知是最小正周期为1的函数，由此可判断B；对于C，类似于A，由是偶函数可得，由此可判断C；对于D，由是奇函数可得，因此的图象关于点对称，由此可判断D. 【详解】对于A，因为是偶函数，所以， 所以，即的图象关于直线对称，故A错误； 对于B，因为是最小正周期为1的函数，所以是最小正周期为1的函数， 设的最小正周期为，由，得，故B正确； 对于C，由，得， 又是偶函数，所以， 所以，则的图象关于直线对称，故C正确； 对于D，由C项可知，， 因为是奇函数，所以，即， 则，所以， 因此的图象关于点对称，且， 所以 ，故D正确． 故选：BCD． 【相似题2】【多选】（2025高三·全国·专题练习）已知定义在上的函数，且，若，则（    ） A． B．是偶函数 C．是奇函数 D． 【答案】ABD 【分析】通过赋值令得到或，若，再令，，得出与矛盾，从而确定A正确；令，结合选项A的结论得到，即可判断B正确；令，得，进而得，得，由此判断C不正确；由得，由此，由此判断D正确. 【详解】令，得，所以或， 若，令，，得，即，与矛盾，所以，所以A正确； 令，得即，所以，所以B正确； 令，得，所以，所以，当时，，所以C错误； 因为，所以6是的一个周期，所以，所以D正确． 故选：ABD． 【相似题3】【多选】（2025·重庆·一模）已知函数是定义域为的奇函数，，若，，，则（   ） A． B．的图象关于点对称 C．是周期为的周期函数 D． 【答案】BCD 【分析】根据给定条件，结合函数对称性、周期性的定义探讨函数性质，再逐项计算判断得解. 【详解】因为函数是定义域为的奇函数，，且，， 对于A选项，因为，则，A错； 对于B选项，由可得， 整理可得， 当时，则有，即， 当时，，也满足， 所以，函数的图象关于点对称，B对； 对于C选项，因为是定义域为的奇函数， 且，所以，函数是周期为的周期函数，C对； 对于D选项，因为函数是定义域为的奇函数， 则，，，， ，所以，， 因为，则，D对. 故选：BCD. 【点睛】结论点睛：对称性与周期性之间的常用结论： （1）若函数的图象关于直线和对称，则函数的周期为； （2）若函数的图象关于点和点对称，则函数的周期为； （3）若函数的图象关于直线和点对称，则函数的周期为 【相似题4】（2025高三·全国·专题练习）定义在上的非常数函数满足①；②为奇函数．请写出符合上述条件的一个函数解析式： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】对于开放性填空题，根据条件，可选择一个三角函数型的解析式即可. 【详解】根据题意，不妨取，已知其定义域为． 满足①； 且，故为奇函数，满足②． 故答案为：（答案不唯一）． 【高考真题训练】课后针对训练 一、单选题 1．（2021·全国乙卷·高考真题）设函数，则下列函数中为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 2．（2021·全国甲卷·高考真题）设是定义域为R的奇函数，且.若，则（    ） A． B． C． D． 3．（2021·浙江·高考真题）已知函数，则图象为如图的函数可能是（    ） A． B． C． D． 4．（2022·全国甲卷·高考真题）函数在区间的图象大致为（    ） A． B． C． D． 5．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）若为偶函数，则（    ）． A． B．0 C． D．1 6．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（2023·天津·高考真题）已知函数的部分图象如下图所示，则的解析式可能为（    ）      A． B． C． D． 8．（2023·全国乙卷·高考真题）已知是偶函数，则（    ） A． B． C．1 D．2 9．（2023·北京·高考真题）下列函数中，在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 10．（2024·天津·高考真题）下列函数是偶函数的为（   ） A． B． C． D． 11．（2024·全国甲卷·高考真题）函数在区间的图象大致为（    ） A． B． C． D． 12．（2021·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则（    ） A． B． C． D． 13．（2013·新课标Ⅰ·高考真题）已知函数若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 14．（2022·全国乙卷·高考真题）如图是下列四个函数中的某个函数在区间的大致图像，则该函数是（    ） A． B． C． D． 15．（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）已知函数的定义域为R，且，则（    ） A． B． C．0 D．1 16．（2021·全国甲卷·高考真题）设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（    ） A． B． C． D． 17．（2022·全国乙卷·高考真题）已知函数的定义域均为R，且．若的图像关于直线对称，，则（    ） A． B． C． D． 18．（2024·广东江苏·高考真题）已知函数的定义域为R，，且当时，则下列结论中一定正确的是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 19．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数的定义域为，，则（    ）． A． B． C．是偶函数 D．为的极小值点 20．（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）已知函数及其导函数的定义域均为，记，若，均为偶函数，则（    ） A． B． C． D． 21．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）设函数，则（    ） A．当时，有三个零点 B．当时，是的极大值点 C．存在a，b，使得为曲线的对称轴 D．存在a，使得点为曲线的对称中心 三、填空题 22．（2021·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）写出一个同时具有下列性质①②③的函数 ． ①；②当时，；③是奇函数． 23．（2021·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）已知函数是偶函数，则 . 24．（2022·全国乙卷·高考真题）若是奇函数，则 ， ． 25．（2023·全国甲卷·高考真题）若为偶函数，则 ． 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C D A B D D D C B 题号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 答案 B B D A A D D B ABC BC 题号 21 答案 AD 1．B 【分析】分别求出选项的函数解析式，再利用奇函数的定义即可. 【详解】由题意可得， 对于A，不是奇函数； 对于B，是奇函数； 对于C，，定义域不关于原点对称，不是奇函数； 对于D，，定义域不关于原点对称，不是奇函数. 故选：B 【点睛】本题主要考查奇函数定义，考查学生对概念的理解，是一道容易题. 2．C 【分析】由题意利用函数的奇偶性和函数的递推关系即可求得的值. 【详解】由题意可得：， 而， 故. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查了函数的奇偶性和函数的递推关系式，灵活利用所给的条件进行转化是解决本题的关键. 3．D 【分析】由函数的奇偶性可排除A、B，结合导数判断函数的单调性可判断C，即可得解. 【详解】对于A，，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除A； 对于B，，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除B； 对于C，，则， 当时，，与图象不符，排除C. 故选：D. 4．A 【分析】由函数的奇偶性结合指数函数、三角函数的性质逐项排除即可得解. 【详解】令， 则， 所以为奇函数，排除BD； 又当时，，所以，排除C. 故选：A. 5．B 【分析】根据偶函数性质，利用特殊值法求出值，再检验即可. 【详解】因为 为偶函数，则 ，解得， 当时，，，解得或， 则其定义域为或，关于原点对称. ， 故此时为偶函数. 故选：B. 6．D 【分析】利用指数型复合函数单调性，判断列式计算作答. 【详解】函数在R上单调递增，而函数在区间上单调递减， 则有函数在区间上单调递减，因此，解得， 所以的取值范围是. 故选：D 7．D 【分析】由图知函数为偶函数，应用排除，先判断B中函数的奇偶性，再判断A、C中函数在上的函数符号排除选项，即得答案. 【详解】由图知：函数图象关于y轴对称，其为偶函数，且， 由且定义域为R，即B中函数为奇函数，排除； 当时、，即A、C中上函数值为正，排除； 故选：D 8．D 【分析】根据偶函数的定义运算求解. 【详解】因为为偶函数，则， 又因为不恒为0，可得，即， 则，即，解得. 故选：D. 9．C 【分析】利用基本初等函数的单调性，结合复合函数的单调性判断ABC，举反例排除D即可. 【详解】对于A，因为在上单调递增，在上单调递减， 所以在上单调递减，故A错误； 对于B，因为在上单调递增，在上单调递减， 所以在上单调递减，故B错误； 对于C，因为在上单调递减，在上单调递减， 所以在上单调递增，故C正确； 对于D，因为，， 显然在上不单调，D错误. 故选：C. 10．B 【分析】根据偶函数的判定方法一一判断即可. 【详解】对A，设，函数定义域为，但，，则，故A错误； 对B，设，函数定义域为， 且，则为偶函数，故B正确； 对C，设，， ，则不是偶函数，故C错误； 对D，设，函数定义域为， 因为，且不恒为0， 则不是偶函数，故D错误. 故选：B. 11．B 【分析】利用函数的奇偶性可排除A、C，代入可得，可排除D. 【详解】， 又函数定义域为，故该函数为偶函数，可排除A、C， 又， 故可排除D. 故选：B. 12．B 【分析】推导出函数是以为周期的周期函数，由已知条件得出，结合已知条件可得出结论. 【详解】因为函数为偶函数，则，可得， 因为函数为奇函数，则，所以，， 所以，，即， 故函数是以为周期的周期函数， 因为函数为奇函数，则， 故，其它三个选项未知. 故选：B. 13．D 【分析】作函数的图象，当时，结合图象确定的范围，当时，化简不等式求的范围，由此可得结论. 【详解】 由的图象（如图所示）知， ①当时，只有时才能满足. ②当时，. 故由，得. 当时，不等式为成立； 当时，不等式等价为. ，， 综上可知，. 故选：D. 14．A 【分析】由函数图像的特征结合函数的性质逐项排除即可得解. 【详解】设，则，故排除B; 设，当时，， 所以，故排除C; 设，则，故排除D. 故选：A. 15．A 【分析】法一：根据题意赋值即可知函数的一个周期为，求出函数一个周期中的的值，即可解出． 【详解】[方法一]：赋值加性质 因为，令可得，，所以，令可得，，即，所以函数为偶函数，令得，，即有，从而可知，，故，即，所以函数的一个周期为．因为，，，，，所以 一个周期内的．由于22除以6余4， 所以．故选：A． [方法二]：【最优解】构造特殊函数 由，联想到余弦函数和差化积公式 ，可设，则由方法一中知，解得，取， 所以，则 ，所以符合条件，因此的周期，，且，所以， 由于22除以6余4， 所以．故选：A． 【整体点评】法一：利用赋值法求出函数的周期，即可解出，是该题的通性通法； 法二：作为选择题，利用熟悉的函数使抽象问题具体化，简化推理过程，直接使用具体函数的性质解题，简单明了，是该题的最优解. 16．D 【分析】通过是奇函数和是偶函数条件，可以确定出函数解析式，进而利用定义或周期性结论，即可得到答案． 【详解】[方法一]： 因为是奇函数，所以①； 因为是偶函数，所以②． 令，由①得：，由②得：， 因为，所以， 令，由①得：，所以． 思路一：从定义入手． 所以． [方法二]： 因为是奇函数，所以①； 因为是偶函数，所以②． 令，由①得：，由②得：， 因为，所以， 令，由①得：，所以． 思路二：从周期性入手 由两个对称性可知，函数的周期． 所以． 故选：D． 【点睛】在解决函数性质类问题的时候，我们通常可以借助一些二级结论，求出其周期性进而达到简便计算的效果． 17．D 【分析】根据对称性和已知条件得到，从而得到，，然后根据条件得到的值，再由题意得到从而得到的值即可求解. 【详解】因为的图像关于直线对称， 所以， 因为，所以，即， 因为，所以， 代入得，即， 所以， . 因为，所以，即，所以. 因为，所以，又因为， 联立得，， 所以的图像关于点中心对称，因为函数的定义域为R， 所以 因为，所以. 所以. 故选：D 【点睛】含有对称轴或对称中心的问题往往条件比较隐蔽，考生需要根据已知条件进行恰当的转化，然后得到所需的一些数值或关系式从而解题. 18．B 【分析】代入得到，再利用函数性质和不等式的性质，逐渐递推即可判断. 【详解】因为当时，所以， 又因为， 则， ， ， ， ，则依次下去可知，则B正确； 且无证据表明ACD一定正确. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用，再利用题目所给的函数性质，代入函数值再结合不等式同向可加性，不断递推即可. 19．ABC 【分析】方法一：利用赋值法，结合函数奇偶性的判断方法可判断选项ABC，举反例即可排除选项D. 方法二：选项ABC的判断与方法一同，对于D，可构造特殊函数进行判断即可. 【详解】方法一： 因为， 对于A，令，，故正确. 对于B，令，，则，故B正确. 对于C，令，，则， 令， 又函数的定义域为，所以为偶函数，故正确， 对于D，不妨令，显然符合题设条件，此时无极值，故错误. 方法二： 因为， 对于A，令，，故正确. 对于B，令，，则，故B正确. 对于C，令，，则， 令， 又函数的定义域为，所以为偶函数，故正确， 对于D，当时，对两边同时除以，得到， 故可以设，则， 当肘，，则， 令，得；令，得； 故在上单调递减，在上单调递增， 因为为偶函数，所以在上单调递增，在上单调递减，    显然，此时是的极大值点，故D错误. 故选：. 20．BC 【分析】方法一：转化题设条件为函数的对称性，结合原函数与导函数图象的关系，根据函数的性质逐项判断即可得解. 【详解】[方法一]：对称性和周期性的关系研究 对于，因为为偶函数，所以即①，所以，所以关于对称，则，故C正确； 对于，因为为偶函数，，，所以关于对称，由①求导，和，得，所以，所以关于对称，因为其定义域为R，所以，结合关于对称，从而周期，所以，，故B正确，D错误； 若函数满足题设条件，则函数（C为常数）也满足题设条件，所以无法确定的函数值，故A错误. 故选：BC. [方法二]：【最优解】特殊值，构造函数法. 由方法一知周期为2，关于对称，故可设，则，显然A，D错误，选BC. 故选：BC. [方法三]： 因为，均为偶函数， 所以即，， 所以，，则，故C正确； 函数，的图象分别关于直线对称， 又，且函数可导， 所以， 所以，所以， 所以，，故B正确，D错误； 若函数满足题设条件，则函数（C为常数）也满足题设条件，所以无法确定的函数值，故A错误. 故选：BC. 【点评】方法一：根据题意赋值变换得到函数的性质，即可判断各选项的真假，转化难度较高，是该题的通性通法； 方法二：根据题意得出的性质构造特殊函数，再验证选项，简单明了，是该题的最优解． 21．AD 【分析】A选项，先分析出函数的极值点为，根据零点存在定理和极值的符号判断出在上各有一个零点；B选项，根据极值和导函数符号的关系进行分析；C选项，假设存在这样的，使得为的对称轴，则为恒等式，据此计算判断；D选项，若存在这样的，使得为的对称中心，则，据此进行计算判断，亦可利用拐点结论直接求解. 【详解】A选项，，由于， 故时，故在上单调递增， 时，，单调递减， 则在处取到极大值，在处取到极小值， 由，，则， 根据零点存在定理在上有一个零点， 又，，则， 则在上各有一个零点，于是时，有三个零点，A选项正确； B选项，，时，，单调递减， 时，单调递增， 此时在处取到极小值，B选项错误； C选项，假设存在这样的，使得为的对称轴， 即存在这样的使得， 即， 根据二项式定理，等式右边展开式含有的项为， 于是等式左右两边的系数都不相等，原等式不可能恒成立， 于是不存在这样的，使得为的对称轴，C选项错误； D选项， 方法一：利用对称中心的表达式化简 ，若存在这样的，使得为的对称中心， 则，事实上， ， 于是 即，解得，即存在使得是的对称中心，D选项正确. 方法二：直接利用拐点结论 任何三次函数都有对称中心，对称中心的横坐标是二阶导数的零点， ，，， 由，于是该三次函数的对称中心为， 由题意也是对称中心，故， 即存在使得是的对称中心，D选项正确. 故选：AD 【点睛】结论点睛：（1）的对称轴为；（2）关于对称；（3）任何三次函数都有对称中心，对称中心是三次函数的拐点，对称中心的横坐标是的解，即是三次函数的对称中心 22．（答案不唯一，均满足） 【分析】根据幂函数的性质可得所求的. 【详解】取，则，满足①， ，时有，满足②， 的定义域为， 又，故是奇函数，满足③. 故答案为：（答案不唯一，均满足） 23．1 【分析】利用偶函数的定义可求参数的值. 【详解】因为，故， 因为为偶函数，故， 时，整理得到， 故， 故答案为：1 24． ； ． 【分析】根据奇函数的定义即可求出． 【详解】[方法一]：奇函数定义域的对称性 若，则的定义域为，不关于原点对称 若奇函数的有意义，则且 且， 函数为奇函数，定义域关于原点对称， ，解得， 由得，， ， 故答案为：；． [方法二]：函数的奇偶性求参 函数为奇函数 [方法三]： 因为函数为奇函数，所以其定义域关于原点对称． 由可得，，所以，解得：，即函数的定义域为，再由可得，．即，在定义域内满足，符合题意． 故答案为：；． 25．2 【分析】利用偶函数的性质得到，从而求得，再检验即可得解. 【详解】因为为偶函数，定义域为， 所以，即， 则，故， 此时， 所以， 又定义域为，故为偶函数， 所以. 故答案为：2. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 1 学科网（北京）股份有限公司 $$高考一轮复习考点通关 【函数的单调性奇偶性对称性周期性】 总览 题型梳理 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：判断函数的单调性】 知识讲解 一、定义 设函数 在区间 内有定义，对任意 （）： 1. 若 ，则 在 上单调递增； 2. 若 ，则 在 上单调递减。 二、判定方法 1. 定义法（步骤） 设 ，作差 ； 变形差式，判断正负； 根据符号确定单调性（正为减，负为增）。 2. 导数法（快速） 若 ，则 在区间内单调递增； 若 ，则 在区间内单调递减。 例题精选 【例题1】【多选题】【只看C选项】已知函数的定义域为R，对任意实数满足．且，当时，，则下列结论不正确的是（ ） A． B． C．为增函数 D．为奇函数 【例题2】已知函数的定义域是，若对于任意两个不相等的实数，，总有成立，则函数一定是（    ） A．奇函数 B．偶函数 C．增函数 D．减函数 【例题3】下列函数中，满足“”的单调递增函数是 A． B． C． D． 相似练习 【相似题1】已知函数，则 A．是奇函数，且在R上是增函数 B．是偶函数，且在R上是增函数 C．是奇函数，且在R上是减函数 D．是偶函数，且在R上是减函数 【相似题2】多选题【看C选项】设函数，则（    ） A．是周期函数 B．的图象有对称轴 C．在区间上单调递增 D．的图象关于点中心对称 【相似题3】（多选）如果函数对定义域内的任意两实数（）都有，则称函数为“F函数”．下列函数不是“F函数”的是（　　） A． B． C． D． 【相似题4】【多选】下列函数中，是偶函数，且在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【题型2：求复合函数的单调性】 知识讲解 一、复合函数的定义 若函数 的定义域为 ，值域为 ，函数 的定义域为 ，值域为 ，且 ，则称 为 的复合函数，其中 为中间变量。 二、复合函数单调性的判定法则（同增异减） 设函数 （外层函数）在区间 上单调，函数 （内层函数）在区间 上单调，且 ，则： 1. 若外层函数 单调递增，内层函数 单调递增，则复合函数 单调递增（同增）； 2. 若外层函数 单调递增，内层函数 单调递减，则复合函数 单调递减（异减）； 3. 若外层函数 单调递减，内层函数 单调递增，则复合函数 单调递减（异减）； 4. 若外层函数 单调递减，内层函数 单调递减，则复合函数 单调递增（同增）。 简记：外层与内层函数单调性相同，则复合函数为增函数；单调性相反，则为减函数。 三、判断复合函数单调性的步骤 1. 分解函数：将复合函数分解为外层函数 和内层函数 ； 2. 求定义域：确定复合函数的定义域（需满足内层函数有意义且外层函数定义域包含内层函数值域）； 3. 判断单调性： 分别判断外层函数 在对应区间 上的单调性； 判断内层函数 在定义域内各子区间上的单调性； 4. 应用法则：根据“同增异减”法则，确定复合函数在各子区间上的单调性。 例题精选 【例题1】（2005·天津·高考真题）若函数（且）在区间内单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例题2】（2025·江西·一模）函数的单调递增区间为（   ） A． B． C． D． 【例题3】（2024·山西吕梁·二模）已知函数在区间上单调递减，则函数的解析式可以为（    ） A． B． C． D． 相似练习 【相似题1】（23-24高三上·河南·阶段练习）若函数在上单调递增，则实数a的最大值是（    ） A． B． C． D． 【相似题2】（2024·黑龙江大庆·模拟预测）函数在上单调递减，则t的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【相似题3】多选题（23-24高三下·湖北·开学考试）设函数且在区间上单调递减，则的取值可以为（   ） A． B． C． D． 【相似题4】多选题（2023·全国·模拟预测）已知函数，则（    ） A．函数的图像关于直线对称 B．函数的图像关于点对称 C．函数在上单调递减 D．函数的值域是 【题型3：求分段函数的单调性】 知识讲解 一、分段函数单调性定义 分段函数在不同定义域区间有不同表达式，需分别讨论各分段区间内的单调性，并关注分段点处的连续性与单调性衔接。 二、判断步骤 1. 划分区间：按定义域明确各分段区间（如 、 等）。 2. 逐段判断：对每段函数用定义法或导数法判断单调性（增/减/常函数）。 3. 分析分段点： 若分段点两侧均单调，且函数值满足单调性连续（左段端点值 ≤/≥ 右段端点值），则可合并区间； 否则，分段点处单调性中断，区间需分开。 4. 综合结论：写出各单调区间，注意端点归属（连续可合并，间断或矛盾需分开）。 三、关键注意事项 1. 连续性非必需：分段点可间断，单调性仅需在各区间内成立。 2. 常函数处理：某段为常函数时，该区间无单调性，需单独说明。 3. 多层分段分析：若某段函数本身含分段（如二次函数分对称轴两侧），需进一步细分区间判断。 例题精选 【例题1】（2025高三·全国·专题练习）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例题2】（2024·广东韶关·一模）已知函数在上是单调函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例题3】（2024·陕西安康·模拟预测）已知函数是上的单调函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 相似练习 【相似题1】（2023·陕西商洛·一模）已知函数是定义在上的增函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【相似题2】（23-24高一上·重庆九龙坡·阶段练习）已知函数在上是增函数，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【相似题3】（2024·江苏无锡·二模）已知函数满足对任意的，都有成立，则实数的取值范围为 . 【题型4：根据函数单调性解不等式】 知识讲解 一、核心原理 若函数 在区间 上单调递增，则： （）； 若函数 在区间 上单调递减，则： （）。 本质：利用单调性将函数值的大小关系转化为自变量的大小关系，简化不等式求解。 二、解题步骤 1. 构造函数：将不等式变形为 的形式，其中 为已知或可判定单调性的函数。 2. 判定单调性： 用定义法、导数法或已知函数性质（如一次函数、指数函数等）确定 在对应区间的单调性。 3. 利用单调性转化： 若 单调递增，则 ； 若 单调递减，则 。 4. 结合定义域求解：转化后的不等式需满足 的定义域要求，最终解集为转化后的不等式与定义域的交集。 三、常见类型与解法 1. 简单函数不等式 形式：，其中 单调性已知。 例：解不等式 构造函数 ，在 上单调递增； 转化为： 且 ，解得 。 2. 复合函数不等式 形式：，需先判断外层函数 的单调性，再结合内层函数定义域。 例：解不等式 构造函数 ，在 上单调递增； 转化为：，解得 。 3. 分段函数不等式 形式：，其中 为分段函数，需按分段区间分别求解。 步骤： 1. 对每个分段区间，解 ； 2. 合并各区间解集，注意分段点处的函数值是否满足不等式。 四、注意事项 1. 定义域优先：转化不等式前必须确保 和 有意义（如对数函数中真数大于0，根号下非负等）。 2. 单调性区间限制：若 在不同区间单调性不同，需分段讨论。 例： 在 递减，在 递增，解 时需分两段讨论。 3. 奇偶性结合单调性：若 为奇函数，可利用 简化不等式（如 结合单调性转化）。 五、易错点提醒 忽略单调性区间：直接转化不等式而不考虑 的单调区间，导致解集扩大或缩小。 未验证分段点：分段函数不等式中，未检查分段点处是否满足不等式，可能漏解或多解。 复合函数单调性误判：未正确应用“同增异减”法则，导致转化方向错误。 例题精选 【例题1】 （2025·山东济南·一模）已知函数则的解集是（    ） A． B． C． D． 【例题2】（2025·河南·三模）已知为定义在上的奇函数，若在上单调递减，则满足不等式的实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【例题3】（2025·河北石家庄·一模）已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 相似练习 【相似题1】（2025·湖南·模拟预测）设函数，则使得成立的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【相似题2】（2025·河南·二模）已知函数，则满足的实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【相似题3】（2025·辽宁·二模）已知函数，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【相似题4】（2025·四川攀枝花·模拟预测）已知函数，若不等式对任意恒成立，则实数a的取值范围是 . 【题型5：利用函数的单调性比较大小】 知识讲解 一、核心原理 若函数 在区间 上单调递增，则： 当 时，； 当 时，（充要性）。 若函数 在区间 上单调递减，则： 当 时，； 当 时，（充要性）。 关键：通过构造单调函数，将数值大小比较转化为函数值对应自变量的大小关系，或利用自变量大小直接推导函数值大小。 二、解题步骤 1. 构造目标函数： 观察待比较的数值，提取共同结构，构造为同一函数的两个函数值 和 。 例：比较 和 ，构造 （单调递增）。 2. 判定函数单调性： 利用已知函数性质（如指数函数、对数函数、幂函数的单调性）或导数法判断 的单调性。 例： 在 上单调递增（导数 ）。 3. 比较自变量大小： 若自变量 和 在函数单调区间内，直接根据单调性得出函数值大小关系： 增函数：； 减函数：。 4. 结合定义域与单调区间： 确保 和 属于函数的同一单调区间，否则需分段讨论。 三、常见类型与解法 1. 直接利用基本函数单调性 适用场景：数值可直接表示为基本初等函数（如 ）的函数值。 例1：比较 和 构造 （指数函数，底数 ，单调递增）； 因 ，故 。 例2：比较 和 构造 （对数函数，底数 ，单调递减）； 因 ，故 。 2. 通过变形构造函数 适用场景：数值结构需变形后才能统一为同一函数的形式。 例：比较 和 变形：，构造 （需分析单调性）； 在 上，因 递增，故 递减； 比较自变量：，故 ，即 。 3. 利用复合函数单调性 步骤：先判断外层函数与内层函数的单调性，再根据“同增异减”法则确定复合函数单调性。 例：比较 和 构造 ，内层 ； 在 上单调递增，因 ，故 。 四、注意事项 1. 单调区间的准确性： 函数可能在不同区间有不同单调性，需确保比较的自变量在同一单调区间内。 例： 在 递减，在 递增，比较 和 时需分别判断（，，故 ）。 2. 函数定义域的限制： 确保自变量在函数定义域内。例如 中 ， 中 。 3. 间接比较的中间量法： 若无法直接构造单调函数，可引入中间量（如0、1）辅助比较。 例：比较 和 ，可通过中间量 过渡： 递减，故 ； 递增，故 ； 综上，。 五、易错点总结 忽略函数定义域：如比较 和 时，未先确保 且 。 错误判断复合函数单调性：如外层函数递减、内层函数递增时，误判复合函数为递增（应为递减）。 对分段函数单调性处理不当：未分段比较，直接套用整体单调性（如含绝对值的函数）。 例题精选 【例题1】（2023·全国甲卷·高考真题）已知函数．记，则（    ） A． B． C． D． 【例题2】（2025·四川成都·三模）若，，且，则（   ） A． B． C． D． 【例题3】（2025·福建泉州·二模）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 相似练习 【相似题1】（2025·广西桂林·一模）函数.若，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【相似题2】（2025·河南驻马店·模拟预测）已知，则（   ） A． B． C． D． 【相似题3】（2025·云南·一模）已知，，，则（ ） A． B． C． D． 【相似题4】（2025·安徽马鞍山·一模）已知函数，若，，，则（   ） A． B． C． D． 【题型6：判断函数的奇偶性】 知识讲解 一、定义与核心前提 1. 奇函数：，定义域关于原点对称。 2. 偶函数：，定义域关于原点对称。 重点：定义域不对称，函数必为非奇非偶。 二、判断步骤（最简流程） 1. 查定义域：是否关于原点对称（如 、）。 2. 算 ：代入 化简表达式。 3. 比关系： 等于 → 奇函数； 等于 → 偶函数； 均不满足 → 非奇非偶。 三、常见函数奇偶性速记 幂函数 ：奇次幂→奇函数，偶次幂→偶函数。 正比例/反比例：$kx$、→奇函数。 二次函数（无一次项）：→偶函数。 指数/对数函数：非奇非偶（定义域不对称或表达式不满足）。 四、关键性质 1. 运算规律： 奇±奇=奇，偶±偶=偶； 奇×奇=偶，偶×偶=偶，奇×偶=奇。 2. 图像特征：奇函数关于原点对称，偶函数关于y轴对称。 3. 零函数特殊性： 且定义域对称→既是奇又是偶。 五、避坑要点 定义域第一：先判对称，再看表达式。 化简必要性：如 需化简 后判断。 分段函数：逐段验证，全段满足才成立。 例题精选 【例题1】（2025·山东·模拟预测）函数的图象大致为（   ） A．   B．   C．   D．   【例题2】（2025·浙江绍兴·二模）已知函数，则（    ） A．当时，是偶函数，且在区间上单调递增 B．当时，是奇函数，且在区间上单调递减 C．当时，是偶函数，且在区间上单调递减 D．当时，是奇函数，且在区间上单调递增 【例题3】（2025·四川雅安·二模）下列函数中为奇函数的是（   ） A． B． C． D． 相似练习 【相似题1】（2025·四川南充·三模）函数的图象如图所示，则的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 【相似题2】（2025·北京西城·一模）下列函数中，图像关于轴对称的是（   ） A． B． C． D． 【相似题3】（2025·天津·模拟预测）下列函数中既是奇函数，又是定义域上的增函数的是（   ） A． B． C． D． 【相似题4】（2025·天津河西·一模）已知函数，则（   ） A．为奇函数 B．为偶函数 C．为奇函数 D．为偶函数 【题型7：由函数的奇偶性求解析式】 知识讲解 一、核心原理 1. 奇函数性质：，即 。 已知 时的解析式，可通过 时 ，利用 推导。 2. 偶函数性质：，即 。 已知 时的解析式，可通过 时 ，利用 推导。 3. 定义域对称是前提：需确保 和 均在定义域内。 二、解题步骤（分情况讨论） 情况1：已知函数在某半区间的解析式，求另一半区间 1. 设未知区间的自变量： 若已知 时的解析式，设 ，则 （ 单独处理）。 2. 代入已知区间表达式： 用 表示已知区间的函数值，即 （此时 属于已知区间）。 3. 利用奇偶性转化： 奇函数：； 偶函数：。 4. 合并解析式： 写出分段函数表达式，标注各区间定义域（注意 是否在定义域内，奇函数若在则 ）。 情况2：函数含参数，利用奇偶性求参数值 1. 根据奇偶性定义列方程： 对定义域内任意 ，奇函数满足 ，偶函数满足 。 2. 代入表达式化简： 通过整理方程，使等式恒成立的条件为系数对应为零，从而解出参数。 三、典型题型与解法 题型1：已知 解析式，求 的奇函数解析式 例：已知 是定义在 上的奇函数，当 时，，求 时的解析式。 1. 设 ，则 ，代入已知表达式：。 2. 利用奇函数性质：。 3. 结果：（若 ，由奇函数得 ）。 题型2：已知 解析式，求偶函数解析式 例：已知 是定义在 上的偶函数，当 时，，求 时的解析式。 1. 设 ，则 ，代入已知表达式：。 2. 利用偶函数性质：。 3. 结果：。 题型3：含参数的函数奇偶性求参数 例：若 是奇函数，求 $ a, b, c $ 的值。 1. 根据奇函数定义：。 2. 计算 。 3. 等式 恒成立，对比系数： ； $ a, c $ 无限制（但原式中 $ a, c $ 为任意实数时，仅 需满足）。 4. 结果：，$ a, c $ 为任意实数。 四、注意事项 1. 定义域的完整性： 若定义域不含 ，奇函数无需满足 （如 ）。 2. 奇偶性的逆向应用： 若 为奇函数且在 处有定义，则 （可用于快速求值或验证）。 3. 避免解析式遗漏： 分段函数需明确标注每段区间，尤其是 的归属（若在定义域内，需单独写出 的值）。 五、解题口诀 1. 设变量：求哪段设哪段（如求 ，设 ）。 2. 借已知：用 代入已知区间表达式。 3. 套性质：奇函数加负号，偶函数直接用。 4. 写分段：合并解析式，标注定义域。 例题精选 【例题1】（2024·福建·三模）定义在上的偶函数和奇函数满足，若函数的最小值为，则（    ） A．1 B．3 C． D． 【例题2】（2024·湖南益阳·一模）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则下列说法正确的是（    ） A．函数有两个零点 B．当时， C．的解集是 D．，都有 【例题3】（2024·山东济宁·三模）已知函数为偶函数，当时，，则曲线在点处的切线方程是（    ） A． B． C． D． 相似练习 【相似题1】（2025·云南昆明·模拟预测）已知函数是定义在上的奇函数，且当且仅当时，，则当时，的解析式为 . 【相似题2】（2025·福建·模拟预测）已知函数在上单调递增，函数是定义在上的奇函数，且，则可以是 ．（写出一个满足条件的函数即可） 【相似题3】（2024·福建漳州·模拟预测）已知是奇函数，且当时，.若，则 【相似题4】（2024·全国·模拟预测）已知为奇函数，且当时，，其中为自然对数的底数，则曲线在点处的切线方程为 ． 【题型8：由函数的奇偶性求参数】 知识讲解 一、核心原理 利用奇偶性定义列方程： 1. 奇函数：对定义域内任意 ，有 ，即 。 2. 偶函数：对定义域内任意 ，有 ，即 。 关键：方程需对定义域内所有 恒成立，通过整理等式两边系数求解参数。 二、解题步骤 1. 明确函数定义域： 确保定义域关于原点对称（否则函数非奇非偶，参数无需满足奇偶性条件）。 2. 代入 表达式： 将 替换为 ，化简 （含参数的项需保留参数）。 3. 根据奇偶性列方程： 奇函数：令 ； 偶函数：令 。 4. 整理方程并对比系数： 将方程整理为关于 的多项式或分式等式，令各次项系数或常数项分别为零，解方程组求参数。 5. 验证结果： 代入参数值，检查函数是否满足奇偶性定义（避免因定义域限制或特殊值漏解）。 三、常见题型与解法 题型1：多项式函数求参数 例：若 是奇函数，求 $ a, b, c, d $ 的值。 1. 定义域：（对称）。 2. 计算 ：。 3. 列奇函数方程：。 4. 对比系数： ； ； $ a, c $ 无约束（奇函数允许奇次项存在）。 5. 结果：，$ a, c $ 为任意实数。 题型2：分式函数求参数 例：若 是偶函数，求 $ a, b, c $ 的值（定义域为 ）。 1. 计算 ：。 2. 列偶函数方程：。 3. 方程恒成立条件：分子 对任意 成立 → ； $ b, c $ 无约束（分母 需恒不为零，隐含 ，但奇偶性不限制 $ b, c $）。 4. 结果：，$ b, c $ 满足 （定义域要求）。 题型3：含绝对值或分段函数求参数 例：若 是奇函数，求 $ a, b $ 的值。 1. 拆分绝对值：。 2. 利用奇函数定义：，重点验证 时 ： 当 ，； ； 等式：。 3. 验证 ：代入 后，，显然为奇函数（奇次项组合），故 任意实数。 4. 结果：， 为任意实数。 四、注意事项 1. 定义域隐含条件： 若函数为分式，需确保分母在 和 处均有意义（如 中 ）。 2. 参数的全局影响： 若参数同时影响奇偶次项，需通过方程整体求解（如 为偶函数时，奇次项系数 $ b, d $ 必须为零）。 3. 特殊点验证： 若定义域包含 ，奇函数需满足 （可快速检验参数是否正确）。 五、解题口诀 1. 代-x，写表达式：将 替换为 ，展开含参数的 。 2. 套定义，列方程：奇函数用 ，偶函数用 。 3. 整式子，比系数：整理方程为关于 的等式，令各次项系数为零。 4. 验结果，保对称：验证参数是否满足定义域对称及奇偶性定义。 例题精选 【例题1】（2025·四川泸州·模拟预测）已知函数，对满足恒成立，则的值为（   ） A． B．1 C． D．2 【例题2】（2025·四川自贡·二模）若是偶函数，则（   ） A．0 B． C． D． 【例题3】（24-25高三下·云南昭通·阶段练习）已知函数是偶函数，则（   ） A． B． C．0 D．1 相似练习 【相似题1】（2025·山东聊城·模拟预测）若是偶函数，则（    ） A． B． C． D．或 【相似题2】（2025·天津和平·一模）已知函数是偶函数，则实数（    ） A． B． C． D． 【相似题3】（2025·福建泉州·一模）已知函数，若，则的值可以是（    ） A． B． C．3 D．5 【相似题4】（2025·江苏·模拟预测）已知函数（且）是偶函数，则 . 【题型9：由函数的奇偶性单调性解不等式】 知识讲解 一、核心原理 1. 奇偶性的作用： 奇函数：图像关于原点对称，满足 ，单调性在对称区间上相同（如在 单调递增，则在 也单调递增）。 偶函数：图像关于 轴对称，满足 ，单调性在对称区间上相反（如在 单调递增，则在 单调递减）。 2. 单调性的作用： 若 在区间 上单调递增，则 ； 若单调递减，则 。 二、解题步骤 第1步：利用奇偶性化简不等式 目标：将不等式转化为仅含正数或负数的形式，便于利用单调性。 方法： 奇函数：，故不等式 可化为 。 偶函数：，故不等式 可化为 （利用偶函数在 的单调性）。 第2步：确定单调区间 关键：明确函数在正数区间（如 ）的单调性（题目通常已知或可通过分析得出）。 注意： 奇函数在对称区间单调性相同，只需分析 的情况； 偶函数在 和 单调性相反，需分别注意符号。 第3步：利用单调性脱去函数符号 转化规则： 若 在 单调递增： 对于奇函数，不等式 等价于 （需结合定义域判断 $ a, b $ 的符号）； 对于偶函数，不等式 等价于 。 若 在 单调递减，上述不等号方向反转。 第4步：解代数不等式 目标：求解转化后的代数不等式（如绝对值不等式、分式不等式等）。 方法： 绝对值不等式：； 含符号的不等式：结合定义域判断 的正负范围，分情况讨论。 第5步：验证定义域 确保不等式中 的取值在函数定义域内，排除无效解。 三、常见题型与解法 题型1：奇函数+单调递增 例：已知 是奇函数，在 上单调递增，解不等式 。 1. 利用奇函数性质：，原不等式化为 。 2. 利用单调性：因 单调递增，故 。 3. 解代数不等式：。 4. 结果：。 题型2：偶函数+单调递减（正数区间） 例：已知 是偶函数，在 单调递减，解不等式 。 1. 利用偶函数性质：，原不等式化为 。 2. 利用单调性：因 在 单调递减，故 。 3. 解绝对值不等式：。 4. 结果：。 题型3：分段函数+奇偶性 例：已知 是奇函数，当 时 ，且 在 单调递增，解不等式 。 1. 求 的解析式：。 2. 分情况讨论： 当 ：； 当 ：，成立； 当 ：（恒成立，因判别式 ）。 3. 结果：。 四、注意事项 1. 奇偶性与单调性的搭配： 奇函数在对称区间单调性相同，偶函数相反，需避免符号混淆。 2. 绝对值的处理： 偶函数问题中，优先将变量转化为绝对值形式，再利用正数区间的单调性。 3. 分段讨论的边界： 若函数在 处有定义，需单独验证 是否满足不等式。 4. 复合函数的单调性： 若不等式含复合函数（如 ），需先确定 的取值范围，再结合 的单调性求解。 五、解题口诀 1. 奇变号，偶变绝对值：奇函数利用 变号，偶函数利用 转化为绝对值。 2. 定区间，看增减：确定函数在正数区间的单调性，判断不等号方向。 3. 脱符号，解代数：利用单调性去掉函数符号，转化为常规不等式求解。 4. 验范围，保成立：检查解是否在定义域内，确保每一步推导等价。 例题精选 【例题1】（2025·贵州·二模）已知为偶函数，当时，，且，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【例题2】（2025·江西·模拟预测）已知函数，若，使成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【例题3】（2025·湖南邵阳·二模）已知函数，则满足的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 相似练习 【相似题1】（2025·山东·模拟预测）已知是定义在上的奇函数，当时，都有成立，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【相似题2】（2025·安徽六安·模拟预测）已知函数，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【相似题3】（2025·陕西西安·二模）已知函数是定义在上的偶函数，且在区间上单调递增．若实数满足，则的取值范围是 ． 【相似题4】（2025·江西上饶·一模）已知函数，则不等式的解集为 ． 【题型10：判断或证明函数的对称性】 知识讲解 一、函数对称性的分类 函数的对称性主要分为两类： 1. 关于坐标轴/原点的对称性（奇偶性）： 关于 轴对称（偶函数）：满足 。 关于原点对称（奇函数）：满足 。 2. 关于任意直线/点的对称性： 关于直线 对称：满足 或 。 关于点 对称：满足 或 。 二、判断对称性的核心方法 1. 判断关于坐标轴/原点对称（奇偶性） 步骤： 第1步：确定函数定义域是否关于原点对称（若不对称，直接排除奇偶性）。 第2步：计算 ，并与 比较： 若 ，则为偶函数（关于 轴对称）； 若 ，则为奇函数（关于原点对称）； 若均不满足，则非奇非偶。 例： ：，是偶函数。 ：，是奇函数。 2. 判断关于直线 对称 核心条件： 对任意 ，有 ，即函数在 左右等距处的函数值相等。 等价形式：（用 替换 可得）。 步骤： 第1步：假设对称轴为 （可通过函数形式猜测，如二次函数对称轴为 ）。 第2步：验证 是否等于 。 例： ：猜测对称轴为 ，验证 ，，相等，故关于 对称。 ：由三角函数性质知对称轴为 ，取 ，验证 ，，不相等，说明需重新判断（实际正弦函数对称轴为 ，需结合周期性）。 3. 判断关于点 对称 核心条件： 对任意 ，有 ，即函数在 左右等距处的函数值之和为 $2b$。 等价形式：。 步骤： 第1步：假设对称中心为 （可通过函数形式猜测，如奇函数对称中心为原点）。 第2步：验证 是否等于 $2b$。 例： ：猜测对称中心为 ，验证 ，成立，故关于原点对称（既是奇函数，也是关于原点对称的点对称函数）。 ：对称中心为 ，取 ，验证 ，成立，故关于原点对称。 三、常见函数的对称性结论 1. 多项式函数： 偶函数：仅含偶次项（如 ），关于 轴对称。 奇函数：仅含奇次项（如 ），关于原点对称。 二次函数 ：关于直线 对称（非坐标轴对称，除非 ）。 2. 分式函数： ：关于点 对称（由反比例函数平移得到）。 3. 三角函数： 、：关于原点对称（奇函数），且有周期性对称中心（如 对称中心为 ）。 ：关于 轴对称（偶函数）。 4. 指数与对数函数： 与 ：非奇非偶，无坐标轴对称性，但可能通过平移得到直线对称（如 关于 不对称，需具体验证）。 四、对称性的拓展应用 1. 利用对称性简化函数图像绘制： 若已知函数在对称轴一侧的图像，可通过对称性质画出另一侧。 2. 对称性与周期性的结合： 若函数同时具有对称轴 和对称中心 ，则可能具有周期性（如 关于 和 对称，则周期为 ）。 3. 对称性与方程求解： 若 关于 对称，则方程 的根关于 对称（如二次方程根的对称性）。 五、关键注意事项 1. 定义域的对称性： 判断奇偶性时，定义域需关于原点对称；判断直线/点对称时，定义域无强制对称要求，但需保证 和 均在定义域内。 2. 对称性的唯一性： 函数可能有多个对称轴或对称中心（如周期函数），需全面分析。 3. 区分奇偶性与对称轴/中心： 奇偶性是对称性的特殊情况（对称轴为 轴或对称中心为原点），但对称性更广泛（如关于 对称的函数不一定是偶函数）。 例题精选 【例题1】多选题（2025·四川成都·三模）已知函数，则（   ） A．的最小正周期为 B．是奇函数 C．关于直线对称 D．在上单调递减 【例题2】多选题（2025·江西南昌·二模）已知.不等式的解集为且，则下列说法中正确的是（    ） A．函数的极大值点为1 B．函数的对称中心为 C．过点可作一条直线与曲线相切 D．当时， 【例题3】多选题（2025·贵州六盘水·一模）对于函数，和，，下列结论正确的有（   ） A．与在时有相同的函数值 B．与有相同的最小值 C．与的图象有相同的对称中心 D．与在区间都为增函数 相似练习 【相似题1】多选题（22-23高一上·陕西西安·期末）已知函数，则（   ） A．函数的单调递增区间是 B．函数的值域是 C．函数的图象关于对称 D．不等式的解集是 【相似题2】（2025·陕西西安·二模）已知函数． (1)讨论函数的单调性； (2)设函数． （ⅰ）求的值； （ⅱ）证明：存在实数，使得曲线关于直线对称． 【相似题3】（2024·全国·模拟预测）设． (1)当，求函数的递减区间； (2)求证：函数的图象关于对称； (3)若当且仅当时，，求实数的取值范围． 【相似题4】（2024·吉林长春·模拟预测）已知函数（其中，）. (1)当，时，证明：是增函数； (2)证明：曲线是中心对称图形； (3)已知，设函数，若对任意的恒成立，求的最小值. 【题型11：由对称性求函数的解析式】 知识讲解 一、核心原理 函数的对称性（如关于直线对称、关于点对称）可转化为代数关系式，通过代入变量替换推导解析式。 直线对称：若关于对称，则，等价于。 点对称：若关于点对称，则，等价于。 二、解题步骤 （一）已知对称轴和一侧解析式，求另一侧 1. 设变量：设在未知区间，利用对称轴表示其对称点。若对称轴为，则关于的对称点为。 2. 利用对称性列等式：根据（因为在已知区间）建立联系。 3. 代入已知解析式：把代入已知表达式，从而得到的解析式。 例：已知关于对称，当时，，求时的解析式。 设，则其关于的对称点。 由对称性可知。 把代入中，。 所以。 （二）已知对称中心和一侧解析式，求另一侧 1. 设变量：设在未知区间，利用对称中心表示其对称点。若对称中心为，则关于的对称点为，且。 2. 代入已知解析式：将代入已知表达式，进而推导出的解析式。 例：已知关于点对称，当时，，求时的解析式。 设，则其关于点的对称点。 由点对称性质可得。 把代入中，。 所以，即 ，若，根据对称中心性质，则。 三、复杂对称性问题（含参数） 步骤 1. 根据对称性列方程： 若关于对称，则对任意成立。 若关于对称，则对任意成立。 2. 代入函数表达式：把和用含参数的式子表示出来。 3. 整理方程求参数：通过对比系数或恒等式条件，解出参数值，从而确定解析式。 例：已知关于对称，求的值。 由对称性可知。 计算。 计算。 因为对任意成立，所以，解得。 所以。 四、注意事项 1. 定义域的对称性：若对称轴为，要保证和都在定义域内；若对称中心为，要保证和在定义域内。 2. 参数的全局影响：含参数的函数需通过对称性建立恒等式，确保所有项系数匹配，如多项式函数需各次项系数相等。 3. 对称中心的特殊性：对称中心为时，函数可表示为，其中关于原点对称（可利用这种形式简化推导）。 例题精选 【例题1】（2021·全国·模拟预测）已知函数的图象与的图象关于点对称，且的图象与直线相切，则实数（ ） A．2 B． C．4 D． 【例题2】（2022·全国·模拟预测）写出一个同时满足下列条件①②③的函数 ． ①为偶函数；②的最大值为2；③不是二次函数． 【例题3】（2022·江苏·三模）写出一个同时具有下列性质①②③的函数 .①是定义域为的奇函数；②；③. 相似练习 【相似题1】（2026高三·全国·专题练习）已知函数与的图象关于点对称，则 ． 【相似题2】（2024·广东·一模）已知函数， (1)已知函数的图象与函数的图象关于直线 对称，试求； (2)证明； (3)设是的根，则证明：曲线在点处的切线也是曲线的切线. 【相似题3】（24-25高三上·宁夏吴忠·阶段练习）已知函数. (1)当时，，求实数的取值范围; (2)若函数与的图象关于点对称，求的解析式; (3)判断函数在的零点个数，并说明理由. 【相似题4】（24-25高三上·辽宁·期中）已知函数，函数的图象与的图象关于中心对称. (1)求函数的解析式； (2)证明：； (3)若在时恒成立，求实数的取值范围. 【题型12：由函数的对称性求参数】 知识讲解 一、核心原理 利用函数对称性的代数表达式建立恒等式，通过对比系数或恒成立条件求解参数。 关于直线 对称：（对任意 成立）。 关于点 对称：（对任意 成立）。 二、解题步骤 1. 确定对称性类型及对应关系式 直线对称：若已知对称轴为 ，则关系式为 。 点对称：若已知对称中心为 ，则关系式为 。 2. 代入函数表达式并展开 将 和 分别用含参数的表达式表示，并展开化简。 例：若 关于 对称，则 ，。 3. 整理等式并对比系数 将展开后的等式整理为关于 的多项式（或其他形式），令对应项系数相等，建立方程组求解参数。 例：若 ，展开后得： 整理后对比 项系数：，从而解出参数关系。 4. 验证恒成立条件 确保所求参数使对称性关系式对任意 恒成立，避免漏解或错解。 三、常见题型与解法 题型1：直线对称求参数 例：已知 关于直线 对称，求 的值。 1. 列关系式：。 2. 代入展开： 左边： 右边： 3. 对比系数： 项系数：。 4. 结果：。 题型2：点对称求参数 例：已知 关于点 对称，求 $k, m$ 的值。 1. 列关系式：（因 ）。 2. 代入展开： 整理： 化简分式：。 3. 恒成立条件： 分式项 需为常数，唯一可能是系数为 0，但分母含 ，故只能 ，此时： 4. 结果：，。 题型3：含绝对值的对称问题 例：已知 关于 对称，求 的值。 1. 列关系式：。 2. 代入展开： 3. 绝对值对称性：等式成立当且仅当 。 4. 结果：。 四、注意事项 1. 区分直线对称与点对称的关系式： 直线对称用“相等”，点对称用“和为常数”，避免混淆。 2. 参数的全局约束： 若函数含多个参数，需确保所有参数满足同一对称性条件（如多项式函数需所有奇次项或偶次项系数对应为零）。 3. 定义域的隐含条件： 确保 和 在定义域内，尤其对分式、根式等函数需验证分母不为零或根号有意义。 五、解题口诀 1. 定类型，写关系：确定对称类型，写出对应代数关系式。 2. 代变量，展式子：代入 和 ，展开并化简表达式。 3. 比系数，解方程：对比各项系数，建立方程求解参数。 4. 验恒等，保成立：验证解是否使关系式对任意 恒成立。 例题精选 【例题1】（2025·河南·一模）已知曲线关于点中心对称，则（    ） A．2 B．1 C． D． 【例题2】（2025·福建厦门·一模）若函数的图象关于直线对称，则的值域为（   ） A． B． C． D． 【例题3】（24-25高一上·浙江衢州·期末）已知函数的图象关于点中心对称的充要条件是函数为奇函数，则函数图象的对称中心是（    ） A． B． C． D． 相似练习 【相似题1】（2025高三·全国·专题练习）若函数的图象关于点对称，则 . 【相似题2】（24-25高一上·上海·期末）若函数的图像关于直线对称，则 【相似题3】（24-25高一上·上海·期末）若函数的对称中心是则 【相似题4】（2025·江西九江·二模）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)是否存在常数，使的图象关于直线对称？若存在，求的值；若不存在，请说明理由； (3)若，函数在上单调递增，求的取值集合. （参考数据：） 【题型13：判断或证明函数的周期性】 知识讲解 一、定义 若存在非零常数 ，使 对定义域内任意 成立，则 为周期函数， 为周期（最小正周期为最小正数 ）。 二、判断方法 1. 定义法：假设 ，验证 是否恒成立。 2. 性质推导： 若 周期为 ，则 周期为 。 周期函数 ±/× 周期函数（周期有公倍数）仍为周期函数。 三、常用结论 1. 基本函数周期： : ；: 。 : 。 : ；: 。 2. 特殊函数： 常函数：任意非零常数为周期，无最小正周期。 狄利克雷函数：任意有理数为周期，无最小正周期。 3. 运算性质： 周期函数复合/伸缩后周期按比例变化（如 周期为原周期 ）。 四、注意事项 1. 周期需为非零常数，定义域需满足 有意义。 2. 周期可能有多个，最小正周期需单独判断（如 周期为 ）。 3. 周期函数的和若周期无公倍数（如 ），则非周期函数。 例题精选 【例题1】（2025·山东青岛·一模）已知函数的定义域为，若为偶函数，且，，则（    ） A．2026 B．2025 C．2024 D．2023 【例题2】多选题（2025·四川绵阳·模拟预测）函数满足，且，，下列说法正确的有（   ） A．为的一个周期 B．为奇函数 C． D． 【例题3】多选题（24-25高一上·安徽合肥·期末）已知函数的定义域为，函数为奇函数，的图象关于直线对称，则（    ） A．的图象关于点中心对称 B．为偶函数 C．是周期为4的函数 D． 相似练习 【相似题1】多选题（24-25高三上·内蒙古赤峰·期末）已知定义在上的函数满足．若的图象关于点对称，则（   ） A．的图象关于点对称 B．是偶函数 C．是奇函数 D．的周期 【相似题2】（24-25高三下·安徽·阶段练习）已知函数的定义域为为偶函数，为奇函数，则 ． 【相似题3】 （24-25高一上·天津河西·期末）已知定义在上的奇函数满足，且当时，，则函数的周期为 ： ． 【题型14：抽象函数的对称性周期性奇偶性单调性综合题型】 知识讲解 一、核心知识点梳理 1. 奇偶性 定义： 奇函数：（定义域关于原点对称）。 偶函数：（定义域关于原点对称）。 性质： 奇函数图像关于原点对称，偶函数关于 轴对称。 奇 + 奇 = 奇，偶 + 偶 = 偶，奇 × 偶 = 奇（运算性质）。 2. 单调性 定义： 增函数：； 减函数：。 复合函数单调性：同增异减（外层与内层单调性相同则复合函数增，相反则减）。 3. 周期性 定义：存在非零常数 ，使得 。 常用结论： 若 ，则周期 ； 若 ，则周期 ； 若 ，则周期 。 4. 对称性 直线对称： 关于 对称； 点对称： 关于 对称； 奇偶性是对称性的特例：奇函数关于原点对称，偶函数关于 轴对称。 二、常用结论与公式 1. 奇偶性 + 周期性： 奇函数若在 有定义，则 ； 周期为 的奇函数满足 。 2. 单调性 + 对称性： 关于 对称的函数，在 和 单调性相反（如偶函数）； 关于点 对称的函数，在对称区间单调性相同（如奇函数）。 3. 周期性 + 对称性： 若 关于 和 对称（），则周期 ； 若 关于 和点 对称，则周期 。 4. 抽象函数常见模型： 奇函数 + 周期函数：（周期 ）； 偶函数 + 周期函数：（周期 ）； 双对称周期函数：（关于 对称，周期 ）。 三、综合题型解题思路 步骤1：利用奇偶性化简表达式 奇函数：，可将负变量转化为正变量； 偶函数：，可将问题限定在 区间求解。 步骤2：结合单调性脱去函数符号 若 单调递增，则 ； 若单调递减，则 。 步骤3：利用周期性转换变量范围 若已知 在 的性质，利用 将任意 转化到该区间。 步骤4：对称性与周期性结合 通过对称轴/中心推导周期（如双对称轴推出周期），再利用周期性简化问题。 步骤5：构造特殊值或模型 对抽象函数，可代入特殊值（如 ）或假设具体函数模型（如 ）辅助推导。 四、典型例题与解析 例1：已知 是奇函数，周期为 ，且在 $ [0, 2] $ 上单调递增，解不等式 。 1. 利用周期性：（奇函数）； 2. 不等式化简：； 3. 利用单调性： 在 上递增（奇函数对称区间单调性相同），故 ； 4. 结合周期：解集为 （），即 中满足 的部分，最终 。 例2：若 关于 对称，且 ，证明 是周期函数。 1. 对称性推导：; 2. 周期性条件：; 3. 结论：周期 。 五、解题关键技巧 1. 符号转换：奇偶性用于转换变量符号，周期性用于转换变量范围，对称性用于建立函数值关系。 2. 多性质联动：如“奇函数 + 对称轴 ”可推出周期 （因 ）。 3. 逆向思维：若题目给出 ，可视为周期 ；若 ，则 。 六、注意事项 1. 定义域约束：奇偶性要求定义域对称，周期性需保证 在定义域内。 2. 避免循环论证：推导周期时需确保每步均有定义或性质支撑，如从 直接得出周期 需验证 。 3. 抽象函数具体化：通过假设具体函数（如三角函数、一次函数）验证抽象结论，避免逻辑漏洞。 例题精选 【例题1】（24-25高三上·广东深圳·阶段练习）已知函数的定义域为为奇函数，，则（    ） A．为奇函数 B．的图象关于直线对称 C．的最小正周期为4 D．的图象关于点对称 【例题2】（2025·山西·二模）已知函数的定义域为，函数是奇函数，函数的图象关于直线对称，则（    ） A．是偶函数 B．是奇函数 C． D． 【例题3】（2026高三·全国·专题练习）已知函数及其导函数的定义域都为R，且为偶函数，为奇函数，则（   ） A． B． C． D． 相似练习 【相似题1】多选题（2025·山西晋城·二模）设均是定义在上的函数，且，则下列说法正确的是（    ） A．若是偶函数，则的图象关于直线对称 B．若是最小正周期为1的函数，则是最小正周期为3的函数 C．若是偶函数，则的图象关于直线对称 D．若是奇函数，则 【相似题2】【多选】（2025高三·全国·专题练习）已知定义在上的函数，且，若，则（    ） A． B．是偶函数 C．是奇函数 D． 【相似题3】【多选】（2025·重庆·一模）已知函数是定义域为的奇函数，，若，，，则（   ） A． B．的图象关于点对称 C．是周期为的周期函数 D． 【相似题4】（2025高三·全国·专题练习）定义在上的非常数函数满足①；②为奇函数．请写出符合上述条件的一个函数解析式： ． 【高考真题训练】课后针对训练 一、单选题 1．（2021·全国乙卷·高考真题）设函数，则下列函数中为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 2．（2021·全国甲卷·高考真题）设是定义域为R的奇函数，且.若，则（    ） A． B． C． D． 3．（2021·浙江·高考真题）已知函数，则图象为如图的函数可能是（    ） A． B． C． D． 4．（2022·全国甲卷·高考真题）函数在区间的图象大致为（    ） A． B． C． D． 5．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）若为偶函数，则（    ）． A． B．0 C． D．1 6．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（2023·天津·高考真题）已知函数的部分图象如下图所示，则的解析式可能为（    ）      A． B． C． D． 8．（2023·全国乙卷·高考真题）已知是偶函数，则（    ） A． B． C．1 D．2 9．（2023·北京·高考真题）下列函数中，在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 10．（2024·天津·高考真题）下列函数是偶函数的为（   ） A． B． C． D． 11．（2024·全国甲卷·高考真题）函数在区间的图象大致为（    ） A． B． C． D． 12．（2021·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则（    ） A． B． C． D． 13．（2013·新课标Ⅰ·高考真题）已知函数若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 14．（2022·全国乙卷·高考真题）如图是下列四个函数中的某个函数在区间的大致图像，则该函数是（    ） A． B． C． D． 15．（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）已知函数的定义域为R，且，则（    ） A． B． C．0 D．1 16．（2021·全国甲卷·高考真题）设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（    ） A． B． C． D． 17．（2022·全国乙卷·高考真题）已知函数的定义域均为R，且．若的图像关于直线对称，，则（    ） A． B． C． D． 18．（2024·广东江苏·高考真题）已知函数的定义域为R，，且当时，则下列结论中一定正确的是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 19．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数的定义域为，，则（    ）． A． B． C．是偶函数 D．为的极小值点 20．（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）已知函数及其导函数的定义域均为，记，若，均为偶函数，则（    ） A． B． C． D． 21．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）设函数，则（    ） A．当时，有三个零点 B．当时，是的极大值点 C．存在a，b，使得为曲线的对称轴 D．存在a，使得点为曲线的对称中心 三、填空题 22．（2021·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）写出一个同时具有下列性质①②③的函数 ． ①；②当时，；③是奇函数． 23．（2021·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）已知函数是偶函数，则 . 24．（2022·全国乙卷·高考真题）若是奇函数，则 ， ． 25．（2023·全国甲卷·高考真题）若为偶函数，则 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$