周测培优卷十七：空间点、直线、平面之间的位置关系-2024-2025学年高一下学期数学北师大版（2019）必修第二册

必修第二册·周测培优卷十七 测试内容：空间点、直线、平面之间的位置关系 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B C B D C A BC BD 1．B 【详解】对A，四点共面不一定得到三点共线，如平面四边形，故A错误， 对于B，若空间四点中有三点共线，则此四点必共面；故B正确， 对于C，若空间四点中任何三点不共线，则此四点可能共面；如平面四边形，故C错误， 对于D，空间四边形中，，E，F，分别为，的中点，G，H分别为，的中点，所以，所以， 同理，所以，则四边形为长方形，不能得出正方形，D选项错误； 故选：B 2．C 【详解】如图，连接， 对于A，因，故直线AB与AC相交，不异面，故A错误； 对于B，因， ，故得， 则有，故直线AC与不可能相交，故B错误； 对于C，因平面， 平面， 平面， 故直线与AC异面，即C正确； 对于D，因， ，故得， 则，而与相交，故直线与异面，故D错误. 故选：C. 3．B 【详解】对于A：因为已知，为异面直线，平面，平面， ，所以直线与共面于平面，与共面于平面， 如果与平行，则与必相交；如果与平行与必相交，故排除A； 对于B：直线不能与，都不相交，否则与，分别平行， 进而，与、为异面直线相矛盾，再结合A得到B正确 对于C：直线不能与，都不相交，否则与，分别平行， 进而，与、为异面直线相矛盾，由此能排除选项C； 对于D：如果与不平行只有相交，同理，与不平行必相交， 所以得直线可以同时与，都相交，但是交点不重合，由此排除选项D； 故选：B． 4．D 【详解】在A图中，分别连接， 由正方体可得四边形为矩形，则， 因为为中点，故，则，所以四点共面. 在B图中，设为所在棱的中点，分别连接， 由A的讨论可得，故四点共面， 同理可得，故，同理可得， 故平面，平面，所以六点共面. 在C图中，由为中点可得，同理， 故，所以四点共面. 在D图中，为异面直线， 故选：D. 5．C 【详解】将正四面体ABCD中置于正方体中，如图， 易得，，所以四边形为平行四边形，则， 则异面直线AN与CM所成角即为直线AN与NE所成角， 即为直线AN与CM所成角（或补角）， 设正方体的棱长为2，则，， 在中，由余弦定理可得，， 因此直线AN与CM所成角的余弦值为. 故选：C. 6．A 【详解】如图，取的中点，连接，则. 则在正方形中，，， 所以四边形是平行四边形，所以， 又，所以， 则四边形即为过三点截面， 因为正方体的棱长为2， 所以，，, 则其周长为.    故选：A. 7．BC 【详解】A选项正确，两两相交且不共点的三条直线确定一个平面，因为他们构成一个三角形，而三角形唯一确定一个平面； B选项不正确，四边形包括空间四边形，此类四边形不能确定一个平面； C选项不正确，经过同一直线上的3个点的平面有无数个，因为直线可以位于无数个平面； D选项正确，经过两条平行直线，有且只有一个平面. 故选：BC. 8．BD 【详解】对于A中，连接，因为分别为的中点，可得， 在正方体中，可得，所以， 所以直线与直线在同一个平面内，所以A不正确； 对于B中，因为分别为的中点，所以， 且， 在正方体中，可得且， 所以且，即四边形为梯形， 假设直线与直线交于一点， 因为平面，且，所以平面， 又因为平面，且，所以平面， 因为平面平面，所以， 所以直线和直线相交一点，所以B正确； 对于C中，在正方体中，可得， 所以异面直线与直线所成的角，即为直线与直线所成的角， 即为，在直角中，可得，所以C不正确； 对于D中，在正方体中，可得， 所以异面直线与直线所成的角，即为直线与直线所成的角， 即为，在直角中，可得，故D正确； 故选：BD.    9． 【详解】如右图所示：由正方体性质可得， 所以直线和直线所成的角等于， 又易知为等边三角形，所以. 故答案为： 10．或 【详解】如图所示，取的中点E，连接. 因为M，N分别是的中点， 所以且，且， 从而（或其补角）即为与所成的角． 又异面直线与所成的角为，所以或， 当时，由余弦定理可知 . 当时，由余弦定理可知 . 故答案为：或. 11．【详解】（1）因为，分别为，的中点，所以. 又因为，所以.所以， 所以E，F，G，H四点在同一平面内， 即E，F，G，H四点共面． （2）因为E，F分别为AB，BC的中点，所以，. 由题意知＝，，，所以四边形为梯形，直线和必相交，设交点为M，即， 因为平面，所以点平面， 同理可得点平面. 又因为平面平面， 所以点直线， 所以直线，，三线共点． 12．【详解】（1）在正方体中，画直线与的延长线分别交于点， 连接，分别与棱交于点，连接，如图1， 抹去和得过三点的正方体的截面五边形，如图2.      （2）在正方体中，，，分别为棱，的中点， 由（1）及图1知，，即，，则，， 等腰底边上的高， 的面积， 由，得，即有， 因此， 于是，同理， 所以截面五边形的面积. 13．【详解】（1）设，取中点，连接，， 为等边三角形，为中点， ， 在中，为中点，， 在中，， ， 在中，， . （2）设，取中点，连接，， 取中点，连接， 由（1）得，， 在中，为中点， 且， 故异面直线与所成角为与所成的角， 在中，, , 在中，， 故异面直线与所成角的余弦值为. （3）设,， 异面直线与所成角的余弦值为 由（2）可知， ，故， 在中，， ，故. 答案第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 必修第二册·周测培优卷十七 测试内容：空间点、直线、平面之间的位置关系 建议用时：60分钟 试卷满分：80分 一、选择题：本题共6小题，每小题5分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的. 1．（2025河北邢台月考）下列命题中正确的是（   ） A．若空间四点共面，则其中必有三点共线 B．若空间四点中有三点共线，则此四点必共面 C．若空间四点中任何三点不共线，则此四点不共面 D．空间四边形中，，E，F，G，H分别为，，，的中点，则四边形为正方形 2．（2025湖南娄底学业考试）在长方体中，下列直线位置关系判断正确的是（   ） A．直线AB与AC异面 B．直线AC与相交 C．直线与AC异面 D．直线与相交 3．（2025陕西咸阳月考）已知为异面直线，平面平面，则（    ） A．与都相交 B．与中至少一条相交 C．与都不相交 D．至多与中的一条相交 4．已知四个选项中的图形棱长都相等，且P，Q，R，S分别是所在棱的中点，则这四个点不共面的是（    ） A． B． C． D． 5．（2025黑龙江月考）在正四面体ABCD中，M，N分别是棱AB，CD的中点，则直线AN与CM所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 6．（2025四川成都月考）如图，已知正方体的棱长为2，若K为棱的中点，过A，C，K三点作正方体的截面，则截面的周长为（   ）． A． B．6 C． D． 二、选择题：本题共2小题，每小题6分，共12分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 7．（2025浙江嘉兴期中）下列命题错误的是（   ） A．两两相交且不共点的三条直线确定一个平面 B．四边形可以确定一个平面 C．经过同一直线上的3个点的平面有且仅有3个 D．经过两条平行直线，有且只有一个平面 8．（2024黑龙江哈尔滨期中）如图，在长方体中，，，分别为棱，的中点，则下列说法正确的是（    ） A．直线与直线异面直线 B．直线，直线，直线交于一点 C．直线与直线所成的角为 D．直线与直线所成的角的正切值为2 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分. 9．（2025广东深圳期末）在正方体中，直线和直线所成的角为 . 10．如图，在空间四边形中，，M，N分别是，的中点．若异面直线与所成的角为，则的长为 ． 四、解答题：本题共2小题，共28分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤. 11．（13分）如图，已知空间四边形，E，F分别是AB，BC的中点，G，H分别在CD和AD上，且满足. 求证： (1)，，，四点共面； (2)，，三线共点． 12．（15分）如图，棱长为2的正方体中，，分别为棱，的中点， (1)求作过，，三点的截面（写出作图过程）； (2)求截面图形的面积 【附加题】 13．（2024陕西榆林期末）如图，已知三棱锥，三角形为等边三角形，，. (1)若点为的中点，证明：； (2)当时，求异面直线与所成角的余弦值； (3)当异面直线与所成角的余弦值为 时，求的值. 解题笔记 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$