专题19 空间直线、平面的垂直13题型分类（讲+练）-2024-2025学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第二册）

2024-2025学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第二册） 专题19 空间直线、平面的垂直13题型分类 一、回顾两直线的位置关系 1.异面直线 (1)定义：不同在任何一个平面内的两条直线. (2)画法： 2.两条直线的位置关系 3.两个定理 (1)平行线的传递性 ①文字语言：平行于同一条直线的两条直线平行. ②符号语言：直线a，b，c，a∥b，c∥b⇒a∥c. ③作用：证明空间两条直线平行. (2)等角定理 ①内容：如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补. ②作用：证明两个角相等或互补. 4.平面内两直线的夹角 (1)定义：平面内两条直线相交成4个角，其中不大于90°的角称为这两条直线所成的角(或夹角)；规定两直线平行时夹角为0°，垂直时夹角为90°. (2)范围：两条直线夹角α的取值范围是0°≤α≤90°. 二、异面直线所成的角 1.定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任意一点O分别作直线a′∥a，b′∥b，则异面直线a与b所成的角(或夹角)就是直线a′与b′所成的锐角(或直角). 2.范围：0°<θ≤90°.特别地，当θ＝90°时，a与b互相垂直，记作a⊥b. 三、直线与平面垂直的定义 定义 如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直 记法 l⊥α 有关概念 直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面，它们唯一的公共点P叫做垂足 画法 画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直 图示 四、直线与平面垂直的判定定理 文字语言 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直 符号语言 l⊥a，l⊥b，a⊂α，b⊂α，a∩b＝P⇒l⊥α 图形语言 五、直线与平面所成的角 有关概念 对应图形 斜线 一条直线与平面α相交，但不与这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，如图中直线PA 斜足 斜线和平面的交点，图中点A 射影 过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影，图中斜线PA在平面α上的射影为直线AO 直线与平面所成的角 定义：一条斜线和它在平面上的射影所成的角，图中∠PAO 规定：一条直线垂直于平面，它们所成的角是90°；一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是0° 取值范围 设直线与平面所成的角为θ，0°≤θ≤90° 六、直线与平面垂直的性质定理 文字语言 垂直于同一个平面的两条直线平行 符号语言 ⇒a∥b 图形语言 七、二面角的概念 1.定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形. 2.相关概念： (1)这条直线叫做二面角的棱； (2)两个半平面叫做二面角的面. 3.画法： 　　　　 4.记法：二面角α－l－β或二面角α－AB－β或二面角P－l－Q或二面角P－AB－Q. 5.二面角的平面角： (1)若有①O∈l；②OA⊂α，OB⊂β；③OA⊥l，OB⊥l，则二面角α－l－β的平面角是∠AOB. (2)二面角的平面角α的取值范围是0°≤α≤180°.平面角是直角的二面角叫做直二面角. 八、平面与平面垂直 1.平面与平面垂直的定义 (1)定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直. (2)画法： (3)记作：α⊥β. 2.平面与平面垂直的判定定理 文字语言 如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直 符号语言 l⊥α，l⊂β⇒α⊥β 图形语言 九、平面与平面垂直的性质定理 文字语言 两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直 符号语言 α⊥β，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l⇒a⊥β 图形语言 （一） 两直线的位置关系 熟记两直线的位置关系：相交、平行、异面. 题型1：异面直线的判断 1．（2025高二·上海浦东新·期末）已知三条直线，，满足且，则与（    ） A．平行 B．垂直 C．共面 D．异面 2．（2025高一·全国月考）正方体中，与对角线成异面直线的棱有（    ） A．3条 B．4条 C．6条 D．8条 3．（2025高二·上海浦东新·期末）如图所示，长方体中，，P是线段上的动点，则下列直线中，始终与直线BP异面的是（    ） A． B． C． D． （二） 异面直线所成的角 求两异面直线所成角的三个步骤 (1)作：根据所成角的定义，用平移法作出异面直线所成的角. (2)证：证明作出的角就是要求的角. (3)计算：求角的值，常利用解三角形得出. 可用“一作二证三计算”来概括.同时注意异面直线所成角的范围是0°<θ≤90°. 题型2：异面直线所成的角 4．（2025高二·江苏无锡·期中）在正方体 中，、分别是面和的中心， 则和所成的角是 ． 5．（2025高一·全国月考）空间四边形的两对边，、分别是、上的点，且，，则与所成角大小为（    ） A．30° B．45° C．60° D．90° 6．（2025·河南·模拟预测）如图，已知正三棱柱的棱长都相等，为棱的中点，则与所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 7．（2025高二·上海月考）在长方体AC1中，已知AB=a，BC=b，AA1=c (a>b)，用含a、b、c的代数式表示异面直线D1B和AC所成角的余弦值为 . 8．（2025高三·辽宁沈阳月考）如图，在直三棱柱中，，，D，E，F分别是棱，BC，的中点，则异面直线AD与EF所成角的余弦值为 ． 9．（2025高二·江苏南京·期末）已知，是正四面体棱，的中点，则异面直线，所成角的余弦值为 . 10．（2025高二·广西玉林月考）如图，在四棱锥中，底面，底面为正方形，,为的中点，为的中点，则异面直线与所成角的正弦值为（    ）    A． B． C． D． 11．（2025高二·上海月考）空间四边形分别为的中点，若异面直线和成的角，则 . 题型3：由异面直线所成的角求其他量 12．（2025高二·上海·期中）在空间四边形中，对角线的长分别为6和8，异面直线与所成的角为60°，则连接各边中点所得四边形的面积为 . 13．（2024高三·全国月考）如图，在直三棱柱中，底面是边长为2的等边三角形，异面直线与所成角的余弦值为，则该三棱柱的高为 . 14．（2025高一·全国月考）已知在正四棱台中，．若异面直线与所成角的余弦值为，则正四棱台的体积为 ． （三） 直线与直线垂直 要证明两异面直线垂直，应先构造两异面直线所成的角.若能证明这个角是直角，即得到两直线垂直． 题型4：证直线与直线垂直 15．（2025高一·全国月考）如图所示，在空间四边形ABCD中，AD=BC=2，E，F分别是AB，CD的中点，EF=．求证：AD⊥BC． 16．（2025高一·全国月考）空间四边形，，，分别是，，的中点，，，.求证：. 17．（2025高一·全国月考）如图，在正三棱柱中，E为棱AC的中点，.求证：. 18．（2025高一·全国月考）如图，在正三棱柱中，E为棱AC的中点，.求证：. 19．（2025高一·全国月考）如图，在正方体中，为底面的中心.求证 （四） 直线与平面垂直的定义以及判定定理的理解 1.直线与平面垂直的定义:如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直. 2.直线与平面垂直的判定定理:如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直. 注：对于线面垂直的定义要注意“直线垂直于平面内的所有直线”说法与“直线垂直于平面内无数条直线”不是一回事. 题型5：直线与平面垂直的定义以及判定定理的理解 20．（2025·上海浦东新·模拟预测）已知直线，与平面，其中，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 21．（2025高二·吉林长春月考）如果直线l，m与平面，，满足：，，和，那么必有（    ） A． B． C． D． （五） 直线与平面垂直的判定 利用线面垂直的判定定理证明线面垂直的步骤 (1)在这个平面内找两条直线，使它们和这条直线垂直. (2)确定这个平面内的两条直线是相交的直线. (3)根据判定定理得出结论. 题型6：直线与平面垂直的判定 22．（2025高三·全国月考）如图，在五面体中，四边形的对角线交于点，为等边三角形，，，. (1)证明：平面； (2)若，求五面体的体积. 23．（2025高二·上海月考）如图，为⊙O的直径，垂直于⊙O所在的平面，M为圆周上任意一点，⊥，N为垂足. 求证：⊥平面； 24．（2025高一·全国月考）如图，在三棱锥中，，是的中点，且.    (1)求证：平面； (2)若，求证：平面. 25．（2025高二·北京月考）如图，在四棱锥中，平面，底面是矩形．    (1)求证：平面； (2)求证：平面． 26．（2025高三·全国月考）如图，多面体ABCDEF中，底面ABCD为正方形，EAFC，且EA=CF=AB=4，△EBD､△FBD都是正三角形，证明：平面. 27．（2025高一·全国月考）如图，在圆柱中，是圆柱的母线，是圆柱的底面的直径，是底面圆周上异于、的点．求证：平面． （六） 直线与平面垂直的性质 直线与平面垂直的性质:垂直于同一个平面的两条直线平行. 题型7：直线与平面垂直的性质 28．（2025高一·全国月考）在正方体中，直线l（与直线不重合）平面，则有（    ） A． B． C．与l异面 D．与l相交 29．（2025高一·全国月考）如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，AB⊥平面PAD，AD＝AP，E是PD的中点，M，N分别在AB，PC上，且MN⊥AB，MN⊥PC.证明：AE∥MN. 30．（2025高一·河北衡水·期中）三棱锥的侧棱上分别有E，F，G，且，则三棱锥的体积与三棱锥的体积之比是（    ） A． B． C． D． 31．（2025高一·全国月考）如图，直三棱柱，.证明： 32．（2025高一·全国月考）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP=AB=2，BC=2，E，F分别是AD，PC的中点.证明:PC⊥BE. （七） 求直线与平面所成角的步骤 (1)寻找过斜线上一点与平面垂直的直线. (2)连接垂足和斜足得到斜线在平面上的射影，斜线与其射影所成的锐角或直角即为所求的角. (3)把该角归结在某个三角形中，通过解三角形，求出该角. 题型8：直线与平面所成的角 33．（2025高二·广东佛山·期中）如图，在平行六面体中，底面是边长为1的正方形，若，且，则与底面所成角的正弦值为（    ）    A． B． C． D． 34．（2025高一·四川成都·期末）如图，三棱锥中，平面ABC，，，，点C到PA的距离，若BH和平面CDH所成角的正弦值为，则BC长度为（    ）    A．1 B． C． D．2 35．（2025高三·江西月考）如图，在三棱台中，上底面是边长为的等边三角形，下底面是边长为的等边三角形，侧棱长都为1，则直线与平面所成角的余弦值为（    ）    A． B． C． D． 题型9：由直线与平面所成的角求其他量 36．（2025高二·贵州月考）在长方体中，，与平面所成的角为，则四棱锥的体积为（   ） A． B． C． D． 37．（2025·黑龙江吉林·模拟预测）已知圆台的母线与下底面所成角的正弦值为，则此圆台的表面积与其内切球（与圆台的上下底面及每条母线都相切的球）的表面积之比为（   ） A． B． C． D． 38．（2025高一·江苏无锡·期末）已知正三棱台的上底面边长，下底面边长，侧棱与底面所成角的正切值为3，则该三棱台的体积为（    ） A． B． C． D． （八） 平面与平面垂直的判定 证明平面与平面垂直的方法 (1)利用定义：证明二面角的平面角为直角. (2)利用面面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直. 题型10：平面与平面垂直的判定 39．（新疆伊宁县第二中学2024-2025学年高二学期期中考试数学（理）试题）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（    ） A．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥n B．若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β C．若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥β D．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n 40．（2025高一·河南商丘·期末）m，n是空间中不同的直线，，是不同的平面，则下列说法不正确的是（    ） A．若且，则 B．若，，，则直线m与n相交或异面 C．若，，，则直线m与n一定垂直 D．若，，，则m与n异面或平行 41．（2025高一·湖北黄冈·期末）已知直线与平面，则能使成立的一个充分条件是（     ） A． B． C． D．∥， 42．（2025高一·四川宜宾·期末），是空间两条直线，，是空间两个平面，则（    ） A．，，，则 B．，，，则 C．，，，则 D．，，，则 43．（2025高一·全国月考）在三棱锥中，平面，，，F为棱PC上一点，满足于F．求证：平面平面； 44．（2025高一·全国月考）如图所示，圆锥的高，底面圆O的半径为R，延长直径AB到点C，使得，分别过点A，C作底面圆O的切线，两切线相交于点E，点D是切线CE与圆O的切点．证明：平面平面； 45．（2025高三·四川成都月考）如图，在四面体 中， ， ，点分别是的中点． (1)求证：平面平面； (2)求证：若平面平面，且，求三棱锥的体积． 46．（2025高三·全国月考）如图，在圆锥中，是底面的直径，且， 是的中点．求证：平面平面；    47．（2025高一·河南洛阳月考）在四棱锥中，底面是正方形，平面．    (1)求证：平面⊥平面； (2)求证：平面⊥平面． （九） 平面与平面垂直的性质定理 利用面面垂直的性质定理证明线面垂直的问题时，要注意以下三点： (1)两个平面垂直； (2)直线必须在其中一个平面内； (3)直线必须垂直于它们的交线. 题型11：平面与平面垂直的性质定理 48．（2025·广东·模拟预测）如图，在四面体中，，平面平面为线段的中点，则下列判断错误的是（    ）    A． B．平面 C． D．平面 49．（2025·河南·模拟预测）等边的边长为2，D，E分别为AB，AC的中点，将沿DE折起，使点A到达点的位置.若平面平面BCED，则线段的长为（    ）. A． B． C． D． 50．（2025·全国·模拟预测）如图，在长方形ABCD中，，，为的中点，为线段（端点除外）上的动点．现将沿AF折起，使平面平面ABC，在平面ABD内过点D作，K为垂足．设，则t的取值范围是（    ） A． B． C． D． 51．（2025高二·辽宁大连月考）如图，在等腰直角三角形中， ，、分别是线段、上异于端点的动点，且，现将沿直线折起至，使平面平面，当从滑动到A的过程中，的大小变化是（    ）    A．由小变大 B．由大变小 C．先变小后变大 D．大小不变 （十） 二面角的求法 在二面角棱上找一特殊点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线，即两射线夹角为所求二面角的平面角. 题型12：二面角求解 52．（2025高二·北京西城·期末）在长方体中，，则二面角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 53．（2025高三·广东佛山月考）如图，棱长都相等的平行六面体中，，则二面角的余弦值为（    ）． A． B． C． D． 54．（2025高一·陕西咸阳月考）如图，边长为2的两个等边三角形，若点到平面的距离为，则二面角的大小为（    ）    A． B． C． D． 55．（2025高二·湖北武汉·期中）在四面体中，已知为等边三角形，为等腰直角三角形，斜边，，则二面角的大小为（    ） A． B． C． D． 题型13：由二面角求求其他量 56．（2025高三·陕西·期中）如图，二面角的平面角的大小为，，，，则（    ） A． B． C． D．2 57．（2025高三·湖北荆门·期末）已知二面角为，点、分别在、内且，到的距离为，到的距离为, 则两点之间的距离为 （    ） A． B． C． D． 58．（2025高二·山东东营·期中）如图，已知大小为的二面角棱上有两点A，B，，，若，则AB的长度（ ） A．22 B．40 C． D． 59．（2025高一·四川绵阳·期末）如图，在三棱锥中，和均为正三角形，，二面角的大小为，则异面直线与所成角的余弦值是（    ）    A． B． C． D． 60．（2025高三·吉林长春月考）如图，已知在矩形和矩形中，，，且二面角为，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 一、单选题 1．（2025高二·山西·期末）已知、表示两条不同的直线，表示平面，则下面四个命题正确的是（    ） ①若，，则； ②若，，则； ③若，，则； ④若，，则． A．①② B．②③ C．①③ D．③④ 2．（2025高二·山西·期末）如图，在三棱锥中，平面，，，为的中点，则下列结论正确的有（    ） ①平面；②；③平面；④平面. A．个 B．个 C．个 D．个 3．（2025高一·河南安阳·期末）菱形ABCD在平面α内，PC⊥α，则PA与BD的位置关系是（    ） A．平行 B．相交但不垂直 C．垂直相交 D．异面且垂直 4．（2025高一·全国月考）如果一条直线垂直于一个平面内的：①三角形的两边；②梯形的两边；③圆的两条直径；④正六边形的两条边.则能保证该直线与平面垂直的序号有（    ） A．①③ B．①② C．②④ D．①④ 5．（2025高一·全国·单元测试）若斜线段的长是它在平面内射影长的2倍，则与平面所成角的大小为（    ） A． B． C． D． 6．（2025高二·上海·单元测试）在正方形中，、分别是及的中点，是的中点．现在沿、及把这个正方形折成一个空间四边形，使、、三点重合，重合后的点记为，那么，在空间四边形中必有（       ） A．所在平面 B．所在平面 C．所在平面 D．所在平面 7．（2025高二·四川成都·期中）如图，在三棱锥S－ABC中，SA⊥平面ABC，SA＝2，AC＝2，BC＝1，∠ACB＝90°，则直线SB与平面SAC所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 8．（2025高一·河北石家庄·期中）在正方体中，分别为，的中点，则异面直线所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 9．（2025高二·浙江·期中）如图1，直线将矩形分为两个直角梯形和，将梯形沿边翻折，如图2，在翻折过程中（平面和平面不重合），下列说法正确的是（    ） A．在翻折过程中，恒有直线平面 B．存在某一位置，使得平面 C．存在某一位置，使得 D．存在某一位置，使得平面 10．（2025·河南·模拟预测）在四棱锥中，底面为正方形，且平面，，则直线与直线所成角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 11．（2025·全国·模拟预测）如图所示，直三棱柱中，分别是的中点，，则与所成角的余弦值为（    ）    A． B． C． D． 二、多选题 12．（西南名校联盟2025届“3 3 3”高考备考诊断性联考（三）数学试卷）如图，平面四边形满足，与交于点，若将沿翻折，得到三棱锥，已知二面角的平面角为，直线与平面所成的角为，，则下列说法正确的是（   ） A．在翻折过程中，与始终垂直 B．在翻折过程中，始终成立 C．在翻折过程中，的最大值为 D．当平面平面，则三棱锥为正三棱锥 13．（2025·广东清远·模拟预测）如图，在直棱柱中，底面是边长为2的菱形，，，点为的中点，动点在侧面内（包含边界），则下列结论正确的是（   ） A． B．平面与平面所成角的余弦值为 C．若，则点轨迹的长度为 D．若点在直线上，则的最小值为 14．（2025高一·湖南长沙·期中）如图，在棱长为4的正方体中，，，分别为棱，，的中点，点为线段上的动点，则（    ） A．两条异面直线和所成的角为 B．存在点，使得平面 C．对任意点，平面平面 D．点到直线的距离为4 15．（2025·河南·模拟预测）如图，在五面体ABCDE中，是边长为4的等边三角形，四边形BCDE是等腰梯形，，则（    ） A．平面ABC B．平面ABE C．存在这样的五面体ABCDE，满足平面平面BCD D．存在这样的五面体ABCDE，满足平面平面ACD 三、填空题 16．（2025高一·全国月考）如图，已知长方体中，，，，则异面直线和的夹角为 . 17．（2025高一·全国月考）如图所示，已知AF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，且，则 . 18．（2025高一·全国月考）如图所示，已知平面平面，，垂足为，，垂足为，直线,，则直线与直线的位置关系是 . 19．（2025高二·上海徐汇·期末）已知所在平面外一点，且两两垂直，则点在平面内的射影应为的 心. 20．（2025高一·全国月考）如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，与AD1垂直的平面是 . 21．（2025高一·全国·单元测试）如图，在正方体中，直线与面所成的角正切值为 . 22．（2025·全国·模拟预测）在正三棱柱中，D为棱AB的中点，与交于点E，若，则CD与所成角的余弦值为 ． 23．（2025高一·湖南长沙·期中）如图，在直三棱柱中，是等边三角形，，D，E，F分别是棱，，的中点，则异面直线与所成角的余弦值是 . 24．（2025高一·北京海淀·期中）如图所示，在长方体中，，点E是棱上的一个动点，若平面交棱于点，给出下列命题：.   ① 四棱锥的体积恒为定值； ②存在点，使得平面；   ③存在唯一的点，使得截面四边形的周长取得最小值； ④存在无数个点，在棱上均有相应的点，使得平面，也存在无数个点，对棱上任意的点， 直线与平面均相交. 其中真命题的是 ．（填出所有正确答案的序号） 四、解答题 25．（2025高二·上海·单元测试）空间四边形中，平面平面，，，且，求与平面所成的角的大小. 26．（2025高一·陕西延安·期末）如图，已知正方体中，与相交于点． （1）判断与平面的位置关系，并证明； （2）求直线与平面所成的角． 27．（2025高一·全国月考）如图，三棱锥的高为PH，若三个侧面两两垂直，证明：为的垂心    28．（2025高一·全国月考）如图所示，在四棱锥中，底面是矩形，侧棱平面，E、F分别是、的中点，.求证：平面.    29．（2025高二·上海月考）在长方体中，，与所成的角为．求与平面所成角的大小． 30．（2025高一·上海宝山·期中）如图，在中，，且，，将绕直角边旋转到处，得到圆锥的一部分，点是底面圆弧（不含端点）上的一个动点．    (1)是否存在点，使得？若存在，求出的大小；若不存在，请说明理由； (2)当四棱锥体积最大时，求沿圆锥侧面到达点的最短距离． 31．（2025高二·河北衡水·期末）如图：PA⊥平面ABCD，ABCD是矩形,PA=AB=1，AD=，点F是PB的中点，点E在边BC上移动 （Ⅰ）求三棱锥E-PAD的体积; （Ⅱ）当点E为BC的中点时，试判断EF与平面PAC的位置关系，并说明理由； （Ⅲ）证明：无论点E在边BC的何处，都有PE⊥AF 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$2024-2025学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第二册） 专题19 空间直线、平面的垂直13题型分类 一、回顾两直线的位置关系 1.异面直线 (1)定义：不同在任何一个平面内的两条直线. (2)画法： 2.两条直线的位置关系 3.两个定理 (1)平行线的传递性 ①文字语言：平行于同一条直线的两条直线平行. ②符号语言：直线a，b，c，a∥b，c∥b⇒a∥c. ③作用：证明空间两条直线平行. (2)等角定理 ①内容：如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补. ②作用：证明两个角相等或互补. 4.平面内两直线的夹角 (1)定义：平面内两条直线相交成4个角，其中不大于90°的角称为这两条直线所成的角(或夹角)；规定两直线平行时夹角为0°，垂直时夹角为90°. (2)范围：两条直线夹角α的取值范围是0°≤α≤90°. 二、异面直线所成的角 1.定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任意一点O分别作直线a′∥a，b′∥b，则异面直线a与b所成的角(或夹角)就是直线a′与b′所成的锐角(或直角). 2.范围：0°<θ≤90°.特别地，当θ＝90°时，a与b互相垂直，记作a⊥b. 三、直线与平面垂直的定义 定义 如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直 记法 l⊥α 有关概念 直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面，它们唯一的公共点P叫做垂足 画法 画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直 图示 四、直线与平面垂直的判定定理 文字语言 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直 符号语言 l⊥a，l⊥b，a⊂α，b⊂α，a∩b＝P⇒l⊥α 图形语言 五、直线与平面所成的角 有关概念 对应图形 斜线 一条直线与平面α相交，但不与这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，如图中直线PA 斜足 斜线和平面的交点，图中点A 射影 过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影，图中斜线PA在平面α上的射影为直线AO 直线与平面所成的角 定义：一条斜线和它在平面上的射影所成的角，图中∠PAO 规定：一条直线垂直于平面，它们所成的角是90°；一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是0° 取值范围 设直线与平面所成的角为θ，0°≤θ≤90° 六、直线与平面垂直的性质定理 文字语言 垂直于同一个平面的两条直线平行 符号语言 ⇒a∥b 图形语言 七、二面角的概念 1.定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形. 2.相关概念： (1)这条直线叫做二面角的棱； (2)两个半平面叫做二面角的面. 3.画法： 　　　　 4.记法：二面角α－l－β或二面角α－AB－β或二面角P－l－Q或二面角P－AB－Q. 5.二面角的平面角： (1)若有①O∈l；②OA⊂α，OB⊂β；③OA⊥l，OB⊥l，则二面角α－l－β的平面角是∠AOB. (2)二面角的平面角α的取值范围是0°≤α≤180°.平面角是直角的二面角叫做直二面角. 八、平面与平面垂直 1.平面与平面垂直的定义 (1)定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直. (2)画法： (3)记作：α⊥β. 2.平面与平面垂直的判定定理 文字语言 如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直 符号语言 l⊥α，l⊂β⇒α⊥β 图形语言 九、平面与平面垂直的性质定理 文字语言 两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直 符号语言 α⊥β，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l⇒a⊥β 图形语言 （一） 两直线的位置关系 熟记两直线的位置关系：相交、平行、异面. 题型1：异面直线的判断 1．（2025高二·上海浦东新·期末）已知三条直线，，满足且，则与（    ） A．平行 B．垂直 C．共面 D．异面 【答案】B 【分析】根据空间直线平行垂直的定义，结合等角定理进行判定. 【解析】若且，根据空间直线垂直的定义，可得，不平行，有可能共面，也有可能异面. 故选：B. 2．（2025高一·全国月考）正方体中，与对角线成异面直线的棱有（    ） A．3条 B．4条 C．6条 D．8条 【答案】C 【分析】由异面直线的定义即可得出答案. 【解析】解：由图可知与直线为异面直线的棱分别是、、、、、共条. 故选：C 3．（2025高二·上海浦东新·期末）如图所示，长方体中，，P是线段上的动点，则下列直线中，始终与直线BP异面的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，结合长方体的结构特征及异面直线的意义，逐项判断作答. 【解析】在长方体中， ，当是与的交点时，平面，与相交，A不是； 当点与重合时，平面，与相交，B不是； 当点与重合时，因为长方体的对角面是矩形，此时，C不是； 因为平面，平面，而平面，因此与是异面直线，D是. 故选：D （二） 异面直线所成的角 求两异面直线所成角的三个步骤 (1)作：根据所成角的定义，用平移法作出异面直线所成的角. (2)证：证明作出的角就是要求的角. (3)计算：求角的值，常利用解三角形得出. 可用“一作二证三计算”来概括.同时注意异面直线所成角的范围是0°<θ≤90°. 题型2：异面直线所成的角 4．（2025高二·江苏无锡·期中）在正方体 中，、分别是面和的中心， 则和所成的角是 ． 【答案】/ 【分析】连接、，则点为的中点，利用中位线的性质可得出，从而可知和所成的角为，即为所求. 【解析】连接、，则点为的中点，如下图所示： 易知点为的中点，又因为为的中点，所以，， 所以，和所成的角为. 故答案为：. 5．（2025高一·全国月考）空间四边形的两对边，、分别是、上的点，且，，则与所成角大小为（    ） A．30° B．45° C．60° D．90° 【答案】C 【分析】根据题意，作交于，连接，可证得，得是与所成的角或其补角，由平行线性质求得，由余弦定理求得，从而得与所成的角． 【解析】 作交于，如图，连接， 则，又，所以，所以， 所以是与所成的角或其补角， ，，所以，， ，所以， 中，， 是三角形内角，所以， 所以与所成的角是， 故选：C． 6．（2025·河南·模拟预测）如图，已知正三棱柱的棱长都相等，为棱的中点，则与所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】取的中点，连接、、，设正三棱柱的棱长为，证明出，所以，与所成的角即为与所成的角，或其补角即为所求，推导出，即可计算出的正弦值，即为所求. 【解析】取的中点，连接、、，设正三棱柱的棱长为，如下图所示： 因为且，所以，四边形为平行四边形， 所以，且， 又因为、分别为、的中点，则且， 所以，四边形为平行四边形，则且， 又因为且，所以，且， 所以，四边形为平行四边形，所以，， 所以与所成的角即为与所成的角，或其补角即为所求． 在中，，，． 因为，所以为直角三角形，且， 所以． 故选：B． 7．（2025高二·上海月考）在长方体AC1中，已知AB=a，BC=b，AA1=c (a>b)，用含a、b、c的代数式表示异面直线D1B和AC所成角的余弦值为 . 【答案】. 【分析】根据题意，连接交于点，取的中点，连接，证得，得到即为异面直线和所成的角，在中，利用余弦定理，即可求解. 【解析】如图所示，连接交于点，取的中点，连接， 在中，因为分别为的中点，可得， 所以即为异面直线和所成的角， 因为， 在中，由余弦定理得， 所以异面直线D1B和AC所成角的余弦值为. 故答案为：. 8．（2025高三·辽宁沈阳月考）如图，在直三棱柱中，，，D，E，F分别是棱，BC，的中点，则异面直线AD与EF所成角的余弦值为 ． 【答案】/ 【分析】把直三棱柱补成一个底面为菱形的直四棱柱，利用平移法找到异面直线与所成的角，再结合余弦定理求解即可. 【解析】把直三棱柱补成一个底面为菱形的直四棱柱，如图所示：    因为，且， 所以四边形为平行四边形，所以， 所以异面直线AD与EF所成的角为或其补角， 不妨设， 因为，所以， 所以为等边三角形，所以，， 所以， 因为为边长为的等边三角形，所以， 又因为， 所以在中，由余弦定理可得， 故异面直线与所成角的余弦值为. 故答案为：. 9．（2025高二·江苏南京·期末）已知，是正四面体棱，的中点，则异面直线，所成角的余弦值为 . 【答案】 【分析】取中点，利用几何法，结合余弦定理求出异面直线夹角的余弦. 【解析】取中点，连接，由是的中点，得， 则是直线，所成的角或其补角，令正四面体的棱长为4， 由是的中点，得，， 在中，， 在中，. 故答案为： 10．（2025高二·广西玉林月考）如图，在四棱锥中，底面，底面为正方形，,为的中点，为的中点，则异面直线与所成角的正弦值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 取CE中点为G，连接FG，BG，则异面直线与所成角即为或其补角，后由题意结合余弦定理可得答案. 【解析】取CE中点为G，连接FG，BG，注意到，则异面直线与所成角即为或其补角. 连接AE，则，又底面， 平面，则，故，. 注意到底面，平面，则， 故.. 底面，平面，则，. 注意到，由余弦定理可得： . 又，由余弦定理， ， 则. 故选：D    11．（2025高二·上海月考）空间四边形分别为的中点，若异面直线和成的角，则 . 【答案】或 【分析】根据已知条件，可得或其补角就是异面直线和所成的角，由异面直线和成的角，可得. 【解析】 分别为的中点，连接， 所以，， 所以或其补角就是异面直线和所成的角， 因为异面直线和成的角， 或. 故答案为：或. 题型3：由异面直线所成的角求其他量 12．（2025高二·上海·期中）在空间四边形中，对角线的长分别为6和8，异面直线与所成的角为60°，则连接各边中点所得四边形的面积为 . 【答案】 【分析】根据中位线可证得四边形为平行四边形，求可得四边形边长和内角的大小，进而可得四边形的面积． 【解析】设的中点分别为，连接,,,， 由题意可得，，且， 所以四边形为平行四边形， 因为异面直线与所成的角为， 所以直线与所成的角等于， 所以． 故答案为：． 13．（2024高三·全国月考）如图，在直三棱柱中，底面是边长为2的等边三角形，异面直线与所成角的余弦值为，则该三棱柱的高为 . 【答案】2 【分析】连接，可得是异面直线与所成的角，设三棱柱的高为，在中利用等腰三角形的性质列方程可求出. 【解析】连接，如图， 在直三棱柱中，， 则（或其补角）是异面直线与所成的角，所以， 设三棱柱的高为，在和中，， 所以是等腰三角形. 因为，所以， 所以，所以该三棱柱的高为2. 故答案为：2. 14．（2025高一·全国月考）已知在正四棱台中，．若异面直线与所成角的余弦值为，则正四棱台的体积为 ． 【答案】 【分析】由正棱台的性质可知为异面直线与所成角，即可求出，再连接，过点作交于点，过点作交于点，求出即为棱台的高，再由台体的体积公式计算可得. 【解析】如图，在正四棱台中，， 所以为异面直线与所成角，又， 所以，且，所以． 连接，过点作交于点，过点作交于点， 则平面且， 所以，则， 即正四棱台的高， 所以棱台的体积． 故答案为： （三） 直线与直线垂直 要证明两异面直线垂直，应先构造两异面直线所成的角.若能证明这个角是直角，即得到两直线垂直． 题型4：证直线与直线垂直 15．（2025高一·全国月考）如图所示，在空间四边形ABCD中，AD=BC=2，E，F分别是AB，CD的中点，EF=．求证：AD⊥BC． 【答案】证明见解析 【分析】通过平移后再解三角形即可获得证明. 【解析】证明：如图所示，取BD的中点H，连接EH，FH． 因为E是AB的中点，且AD=2， 所以EH∥AD，EH=1．同理FH∥BC，FH=1． 所以∠EHF(或其补角)是异面直线AD，BC所成的角． 因为EF=，所以EH2+FH2=EF2， 所以EFH是等腰直角三角形，EF是斜边， 所以∠EHF=90°，即AD与BC所成的角是90°， 所以AD⊥BC． 16．（2025高一·全国月考）空间四边形，，，分别是，，的中点，，，.求证：. 【答案】证明见解析 【分析】利用平行关系，证明，转化为证明. 【解析】∵点G，E分别是CD，BC的中点，∴GEBD，同理GFAC.∴∠FGE或∠FGE的补角是异面直线AC与BD所成的角． 在△EFG中，∵FG＝2，GE＝，EF＝3，满足FG2＋GE2＝EF2，∴∠FGE＝90°.即异面直线AC与BD所成的角是90°. ∴AC⊥BD. 17．（2025高一·全国月考）如图，在正三棱柱中，E为棱AC的中点，.求证：. 【答案】证明见解析 【分析】 根据异面直线的夹角结合勾股定理分析证明. 【解析】 如图，取的中点F，连接EF，BF， ∵E为AC的中点，F为的中点， ∴，∴BE和EF所成角为， 即为异面直线BE与所成角，且. 在正三棱柱中，，. 在等边三角形ABC中，， 在Rt△BCF中，. 在△BEF中，， ∴，∴. 18．（2025高一·全国月考）如图，在正三棱柱中，E为棱AC的中点，.求证：. 【答案】证明见解析 【分析】取的中点F，勾股定理证明，可得. 【解析】证明：取的中点F，连，， 因为E为AC的中点，F为的中点， 所以，且. 在正三棱柱中，，所以， 在等边中，， 在中，. 则在中，， 所以，则有. 19．（2025高一·全国月考）如图，在正方体中，为底面的中心.求证 【答案】见解析 【分析】如图所示，连接，，确定直线与所成的角即为直线与所成的角，证明得到答案。 【解析】如图所示：连接，是正方体. ∴四边形是平行四边形. ∴直线与所成的角即为直线与所成的角. 连接，易证.又为底面的中心， 为的中点 . 【点睛】本题考查了直线垂直，转化为异面直线夹角是解题的关键。 （四） 直线与平面垂直的定义以及判定定理的理解 1.直线与平面垂直的定义:如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直. 2.直线与平面垂直的判定定理:如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直. 注：对于线面垂直的定义要注意“直线垂直于平面内的所有直线”说法与“直线垂直于平面内无数条直线”不是一回事. 题型5：直线与平面垂直的定义以及判定定理的理解 20．（2025·上海浦东新·模拟预测）已知直线，与平面，其中，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】以正方体为例，举例可说明充分性不成立，根据线面垂直的性质定理可说明必要性成立.即可得出答案. 【解析】 如图，正方体中. ，平面，显然与平面不垂直，故“”不是“”的充分条件； 若，根据线面垂直的性质定理，可知成立，所以“”是“”的必要条件. 所以，“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 21．（2025高二·吉林长春月考）如果直线l，m与平面，，满足：，，和，那么必有（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由线面垂直得到线线垂直，即可得出结论. 【解析】，且，，A正确，D错误. 直线和平面没有确定关系. 故选：A． （五） 直线与平面垂直的判定 利用线面垂直的判定定理证明线面垂直的步骤 (1)在这个平面内找两条直线，使它们和这条直线垂直. (2)确定这个平面内的两条直线是相交的直线. (3)根据判定定理得出结论. 题型6：直线与平面垂直的判定 22．（2025高三·全国月考）如图，在五面体中，四边形的对角线交于点，为等边三角形，，，. (1)证明：平面； (2)若，求五面体的体积. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）首先证明和，然后利用线面垂直的判定即可证明. （2）首先证明平面，然后利用锥体的体积公式可得. 【解析】（1）连接EF， 在和中，， 所以， 所以， 又，，所以≌， 则为的中点，所以． 在中，，又为的中点， 所以， 因为平面，平面，，，， 平面 （2）取的中点，连结，与交于点，连结． 因为平面，平面，所以， 又，，，所以平面， 又平面，所以， 又所以平面． 因为，为等边三角形， 因为，所以 而， 在中，， 在等边中，BF是AC的中线，CM是AB的中线， 所以G是等边的重心， 所以 在中，， 则四边形的面积为． 故五面体的体积为． 23．（2025高二·上海月考）如图，为⊙O的直径，垂直于⊙O所在的平面，M为圆周上任意一点，⊥，N为垂足. 求证：⊥平面； 【答案】证明见解析 【分析】由题目条件得到⊥平面，故⊥，结合⊥得到线面垂直. 【解析】∵为⊙O的直径， ∴⊥. 又⊥平面，平面， ∴⊥. 又∵，平面， ∴⊥平面. 又平面， ∴⊥. 又⊥，且，平面， ∴⊥平面. 24．（2025高一·全国月考）如图，在三棱锥中，，是的中点，且.    (1)求证：平面； (2)若，求证：平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据线面垂直的判定定理求证； （2）根据线线垂直，利用线面垂直定理证明. 【解析】（1）因为，是的中点，所以. 在中，， 由已知，所以，所以. 又平面， 所以平面. （2）因为，是的中点， 所以. 由(1)知. 又因为平面， 所以平面. 25．（2025高二·北京月考）如图，在四棱锥中，平面，底面是矩形．    (1)求证：平面； (2)求证：平面． 【答案】(1)证明见详解 (2)证明见详解 【分析】（1）因为，由线面平行判定定理得证； （2）由题意得，，根据线面垂直的判定定理得证. 【解析】（1）由题意，底面是矩形，即， 平面，平面，所以平面； （2）由题意，平面，平面， 所以， 又底面是矩形，即， 平面，平面， 所以平面． 26．（2025高三·全国月考）如图，多面体ABCDEF中，底面ABCD为正方形，EAFC，且EA=CF=AB=4，△EBD､△FBD都是正三角形，证明：平面. 【答案】证明见解析 【分析】通过证明来证得平面. 【解析】依题意，都是等边三角形，四边形为正方形，， 所以，所以. ∴， ∴， ∵BC∩CD=C，BC､CD⊂平面ABCD， ∴平面. 27．（2025高一·全国月考）如图，在圆柱中，是圆柱的母线，是圆柱的底面的直径，是底面圆周上异于、的点．求证：平面． 【答案】证明见解析 【分析】由已知，根据是圆柱的母线，可得平面，然后利用线面垂直的性质定理可得，是圆柱的底面的直径，可知，然后利用线面垂直的判定定理可得平面． 【解析】证明：由已知可知，是圆柱的母线，所以平面， 平面，∴． ∵点是上异于、的点，是的直径，所以． 又，平面 ∴平面． 得知. （六） 直线与平面垂直的性质 直线与平面垂直的性质:垂直于同一个平面的两条直线平行. 题型7：直线与平面垂直的性质 28．（2025高一·全国月考）在正方体中，直线l（与直线不重合）平面，则有（    ） A． B． C．与l异面 D．与l相交 【答案】B 【分析】根据线面垂直的性质即可得出答案. 【解析】解：因为平面，且平面，直线l与直线不重合， 所以． 故选：B. 29．（2025高一·全国月考）如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，AB⊥平面PAD，AD＝AP，E是PD的中点，M，N分别在AB，PC上，且MN⊥AB，MN⊥PC.证明：AE∥MN. 【答案】证明见解析 【分析】根据线面垂直的判定定理可证AE⊥平面PCD，MN⊥平面PCD，则可得AE∥MN． 【解析】因为AB⊥平面PAD，AE⊂平面PAD，所以AE⊥AB， 又AB∥CD，所以AE⊥CD. 因为AD＝AP，E是PD的中点，所以AE⊥PD. 又CD∩PD＝D，CD，PD⊂平面PCD， 所以AE⊥平面PCD. 因为MN⊥AB，AB∥CD，所以MN⊥CD. 又因为MN⊥PC，PC∩CD＝C，PC，CD⊂平面PCD， 所以MN⊥平面PCD， 所以AE∥MN. 30．（2025高一·河北衡水·期中）三棱锥的侧棱上分别有E，F，G，且，则三棱锥的体积与三棱锥的体积之比是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据体积公式计算三棱锥的体积与三棱锥的体积表达式，再求其比值. 【解析】设的面积为，设的面积为， 则，，又， ， ∴  ， 过点作平面，过点作平面， 则，∴ 与相似， 又，∴ ， ∵  ，， ∴ ， ∴ 三棱锥的体积与三棱锥的体积之比是. 故选：A.    31．（2025高一·全国月考）如图，直三棱柱，.证明： 【答案】证明见解析 【分析】利用线面垂直的判定定理和性质定理求解即可. 【解析】因为直三棱柱， 所以平面，并且平面 所以， 又因为，且，平面， 所以平面， 又因为平面， 所以. 32．（2025高一·全国月考）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP=AB=2，BC=2，E，F分别是AD，PC的中点.证明:PC⊥BE. 【答案】证明见解析 【分析】由题可证明△PEC是等腰三角形，得到EF⊥PC，进而证明BF⊥PC即可证明PC⊥平面BEF，即得. 【解析】如图，连接PE，EC，在Rt△PAE和Rt△CDE中，PA=AB=CD，AE=DE， 所以PE=CE，即△PEC是等腰三角形. 又F是PC的中点，所以EF⊥PC. 又BP==2=BC， F是PC的中点， 所以BF⊥PC. 又BF∩EF=F， 所以PC⊥平面BEF. 因为BE⊂平面BEF， 所以PC⊥BE. （七） 求直线与平面所成角的步骤 (1)寻找过斜线上一点与平面垂直的直线. (2)连接垂足和斜足得到斜线在平面上的射影，斜线与其射影所成的锐角或直角即为所求的角. (3)把该角归结在某个三角形中，通过解三角形，求出该角. 题型8：直线与平面所成的角 33．（2025高二·广东佛山·期中）如图，在平行六面体中，底面是边长为1的正方形，若，且，则与底面所成角的正弦值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用向量的线性运算先算出，连接，作,交延长线于M，可证面,得到,即可证面,故可得与面所成角为，即可得到答案. 【解析】因为平行六面体中，底面是边长为1的正方形, ,,又,, ,，, 所以 ,即， 连接，作,交延长线于M，易知,, 因为, 所以,又面,面, 所以面，又面,所以, 因为与相交，所以面， 所以与面所成角为， 在中，, 因为,所以, 故选：B.      34．（2025高一·四川成都·期末）如图，三棱锥中，平面ABC，，，，点C到PA的距离，若BH和平面CDH所成角的正弦值为，则BC长度为（    ）    A．1 B． C． D．2 【答案】A 【分析】利用线面垂直的判定定理证明平面，再由，进而证明平面，进而可证明为和平面所成的角，则，求出，设，由，解方程即可得出答案. 【解析】因为平面，则平面，所以， 又因为，且，平面， 所以平面，因为平面，所以， 因为，且,平面， 所以平面，平面，所以， 因为，，，所以点是的中点， 又因为，所以是等腰直角三角形， 由平面，所以平面， 所以为和平面所成的角，因为 则， 所以，则， 因为是等腰直角三角形，所以， 设，所以，又， 又因为，所以， 解得：. 故选：A. 35．（2025高三·江西月考）如图，在三棱台中，上底面是边长为的等边三角形，下底面是边长为的等边三角形，侧棱长都为1，则直线与平面所成角的余弦值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】延长三棱台的侧棱，可证得几何体为正三棱锥，根据正三棱锥的结构确定直线与平面的夹角，进而求解. 【解析】    延长，，交于点， 设，的中点分别为，，连接，并交于点，连接， 在中，，所以， ，，， 所以，， 因为平面， 所以为直线与平面所成的角. 易知，，， 所以， 所以直线与平面所成角的余弦值为. 故选：C 题型9：由直线与平面所成的角求其他量 36．（2025高二·贵州月考）在长方体中，，与平面所成的角为，则四棱锥的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合长方体性质，利用线面角的定义，从而得到角与边之间的关系，然后利用棱锥的体积公式即可求得结果． 【解析】    在长方体中， 利用长方体的性质可知，平面， 则与平面所成的角为，从而， 因为平面，平面，所以， 在直角中，根据，，可得， 再由勾股定理，可以确定， 利用长方体的性质可知， 平面， 所以该四棱锥的体积为， 故选：B． 37．（2025·黑龙江吉林·模拟预测）已知圆台的母线与下底面所成角的正弦值为，则此圆台的表面积与其内切球（与圆台的上下底面及每条母线都相切的球）的表面积之比为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设上底面半径为，下底面半径为，根据圆台的内切球的性质以及线面角可得，且母线长为，以及内切球的半径，再结合圆台和球的面积公式运算求解. 【解析】设上底面半径为，下底面半径为， 如图，取圆台的轴截面，作，垂足为， 设内切球与梯形两腰分别切于点， 可知，， 由题意可知：母线与底面所成角为， 则，可得， 即，，可得， 可知内切球的半径， 可得，， 所以. 故选：D. 38．（2025高一·江苏无锡·期末）已知正三棱台的上底面边长，下底面边长，侧棱与底面所成角的正切值为3，则该三棱台的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将正三棱台补成正三棱锥，得到即为棱与底面所成的角，再由棱台的体积公式求解即可. 【解析】如图，将正三棱台补成正三棱锥， 则与平面所成角即为与平面所成角， 设点在平面上的射影为，在平面上的射影为， 则为的中心，为的中心， 则即为棱与底面所成的角，而， 设的高为，由等面积公式得， 解得，由等边三角形的性质得， 同理可得，故， 故， 所以棱台的高，因为正三棱台的上底面边长， 下底面边长，所以， 同理可得， 则上，下底面的面积分别为和， 则棱台的体积，故B正确. 故选：B （八） 平面与平面垂直的判定 证明平面与平面垂直的方法 (1)利用定义：证明二面角的平面角为直角. (2)利用面面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直. 题型10：平面与平面垂直的判定 39．（新疆伊宁县第二中学2024-2025学年高二学期期中考试数学（理）试题）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（    ） A．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥n B．若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β C．若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥β D．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n 【答案】B 【分析】由已知条件，利用直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，即可求出结果． 【解析】对于A，若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m与n相交、平行或异面，故A错误； 对于B，因为m⊥α，m∥n，所以n⊥α，又因为n∥β，由面面垂直判定定理得α⊥β，故B正确； 对于C，若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α∥β或α与β相交，故C错误； 对于D.若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n或m与n异面，故D错误． 故选：B． 40．（2025高一·河南商丘·期末）m，n是空间中不同的直线，，是不同的平面，则下列说法不正确的是（    ） A．若且，则 B．若，，，则直线m与n相交或异面 C．若，，，则直线m与n一定垂直 D．若，，，则m与n异面或平行 【答案】C 【分析】利用面面垂直判定定理即可得到选项A判断正确；利用面面垂直的性质求得直线m与n的位置关系判断选项B、C；利用面面平行的性质求得直线m与n的位置关系判断选项D. 【解析】对于A，若且，则，判断正确； 对于B，若，，，则直线m与n相交垂直或异面垂直，故B正确； 对于C，若，，，则直线m与n相交､平行或异面，故C错误； 对于D，若，，，则m与n异面或平行，故D正确. 故选：C 41．（2025高一·湖北黄冈·期末）已知直线与平面，则能使成立的一个充分条件是（     ） A． B． C． D．∥， 【答案】D 【分析】根据充分条件的定义结合面面垂直的判定分析判断即可 【解析】解：对于，平面间的垂直关系，不具有传递性，故A错误； 对于B，，但与可能垂直，也可能不垂直，无法判断垂直关系，故B错误； 对于C，，同样的与可能垂直，也可能不垂直，依然无法判断空间中的位置关系，C错误； 对于D，若，则必在中存在直线，因为，则，故，故D正确； 故选：D． 42．（2025高一·四川宜宾·期末），是空间两条直线，，是空间两个平面，则（    ） A．，，，则 B．，，，则 C．，，，则 D．，，，则 【答案】D 【分析】根据线面平行或垂直的有关定理逐一判断即可. 【解析】A中：，，，则或与相交，故A错误； B中：，，，则或或与相交，故B错误；， C中：，，，则或相交或平行或异面，故C错误； D中：，，则，又，则，故D正确. 故选：D. 43．（2025高一·全国月考）在三棱锥中，平面，，，F为棱PC上一点，满足于F．求证：平面平面； 【答案】证明见解析 【分析】由题可得，利用线面垂直的性质及判定定理可得平面，进而平面，然后根据面面垂直的判定定理即得； 【解析】因为，， 由余弦定理，， 解得，，所以， 又平面，平面，所以， 又，平面，平面， 所以平面，又平面，所以， 又，，平面，平面， 所以平面，又平面， 所以平面平面； 44．（2025高一·全国月考）如图所示，圆锥的高，底面圆O的半径为R，延长直径AB到点C，使得，分别过点A，C作底面圆O的切线，两切线相交于点E，点D是切线CE与圆O的切点．证明：平面平面； 【答案】证明见解析 【分析】由线面垂直、切线的性质可得、，再根据线面垂直及面面垂直的判定即可证得． 【解析】由题设，平面，又是切线与圆的切点， ∴平面，则，且， 又，平面，∴平面， 又平面，所以平面平面. 45．（2025高三·四川成都月考）如图，在四面体 中， ， ，点分别是的中点． (1)求证：平面平面； (2)求证：若平面平面，且，求三棱锥的体积． 【答案】(1)证明详见解析 (2) 【分析】 （1）通过证明平面来证得平面平面； （2）根据锥体体积计算公式求得三棱锥的体积． 【解析】（1）由于，是的中点，所以， 由于点分别是的中点，所以， 由于，所以， 由于，平面， 所以平面，由于平面，所以平面平面； （2）由于平面平面，且交线为， 平面，所以平面， ，， 所以. 46．（2025高三·全国月考）如图，在圆锥中，是底面的直径，且， 是的中点．求证：平面平面；    【答案】证明见解析 【分析】易得，证明，可得，再根据线面垂直的性质得到，则可证得平面，再根据面面垂直的判定定理即可得证. 【解析】因为是底面圆的直径，所以， 因为为的中点，为的中点，所以， 所以， 又因平面平面， 所以， 又，平面， 所以平面， 又平面， 所以平面平面. 47．（2025高一·河南洛阳月考）在四棱锥中，底面是正方形，平面．    (1)求证：平面⊥平面； (2)求证：平面⊥平面． 【答案】(1)证明过程见解析 (2)证明过程见解析 【分析】（1）由线面垂直性质、正方形性质得，，结合线面垂直、面面垂直的判定定理即可得证. （2）由线面垂直性质、正方形性质得，，结合线面垂直、面面垂直的判定定理即可得证. 【解析】（1）因为平面，平面， 所以， 又因为底面是正方形，所以， 又因为平面， 所以平面， 又平面， 所以平面⊥平面. （2）因为平面，平面， 所以， 又因为底面是正方形，所以， 又因为平面， 所以平面， 又平面， 所以平面⊥平面. （九） 平面与平面垂直的性质定理 利用面面垂直的性质定理证明线面垂直的问题时，要注意以下三点： (1)两个平面垂直； (2)直线必须在其中一个平面内； (3)直线必须垂直于它们的交线. 题型11：平面与平面垂直的性质定理 48．（2025·广东·模拟预测）如图，在四面体中，，平面平面为线段的中点，则下列判断错误的是（    ）    A． B．平面 C． D．平面 【答案】C 【分析】利用面面垂直的性质可判定线面垂直，从而得出线线垂直，即可判定A、B、D三项正确. 【解析】因为平面平面，平面平面， 所以平面，即B项正确； 因为平面，所以，即A正确； 因为为线段的中点， 所以，同理可得平面，即D正确； 因为平面，平面，所以， 平面，若，则平面， 显然不重合，故C错误. 故选：C 49．（2025·河南·模拟预测）等边的边长为2，D，E分别为AB，AC的中点，将沿DE折起，使点A到达点的位置.若平面平面BCED，则线段的长为（    ）. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由面面垂直可得线面垂直，利用勾股定理求解. 【解析】如图，易知是边长为1的等边三角形，过作DE的垂线，垂足为H，    由平面平面BCED，交线为，, 则平面BCED，且H为线段DE的中点，， 连接BH，则，取BC的中点F，则，且， 所以， 所以. 故选：C 50．（2025·全国·模拟预测）如图，在长方形ABCD中，，，为的中点，为线段（端点除外）上的动点．现将沿AF折起，使平面平面ABC，在平面ABD内过点D作，K为垂足．设，则t的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，求得关于的表达式，根据的取值范围求得的取值范围. 【解析】如图，在平面ADF内过点D作，垂足为，连接． 过点作，交于点． 设，，所以．    设，则． 因为平面平面ABC，平面平面， ，平面ABD，所以平面ABC， 又平面，所以． 又因为，，，平面DKH，所以平面，所以，即． 在中，，， 因为和都是直角三角形，， 所以，． 因为，， 所以，得． 因为，所以，所以． 故选：C 【点睛】方法点睛：线面垂直、面面垂直转化的过程中，要从线面垂直得到面面垂直，需要“经过一个平面的垂线”；要从面面垂直得到线面垂直，则需要“在一个平面内，垂直于交线”，在答题过程中，要注意使用正确的符号语言. 51．（2025高二·辽宁大连月考）如图，在等腰直角三角形中， ，、分别是线段、上异于端点的动点，且，现将沿直线折起至，使平面平面，当从滑动到A的过程中，的大小变化是（    ）    A．由小变大 B．由大变小 C．先变小后变大 D．大小不变 【答案】D 【分析】不妨设，根据面面垂直可得平面，进而可得，可求，在中，利用余弦定理运算求解. 【解析】不妨设，则， 可得， 连接， 因为，，则，即， 平面平面，平面平面，平面， 可得平面， 且平面，所以， 可得， 在中，， 且，则，所以的大小不变. 故选：D.    （十） 二面角的求法 在二面角棱上找一特殊点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线，即两射线夹角为所求二面角的平面角. 题型12：二面角求解 52．（2025高二·北京西城·期末）在长方体中，，则二面角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】画出长方体，为二面角所成的平面角，求出的值即可得出答案. 【解析】长方体中，，， ，平面,平面,, 又平面平面， 为二面角所成的平面角， ， 所以二面角的余弦值为. 故选：D. 53．（2025高三·广东佛山月考）如图，棱长都相等的平行六面体中，，则二面角的余弦值为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】判断四面体为正四面体，取的中点，连接，，由等腰三角形“三线合一”的性质，易得即为二面角的平面角，再由余弦定理计算可得． 【解析】解：棱长都相等的平行六面体中，，则四面体为正四面体． 连接、，，连接，，设四面体的棱长为，则， 且，，则为二面角的平面角， 在中，， 故二面角的余弦值为． 故选：A． 54．（2025高一·陕西咸阳月考）如图，边长为2的两个等边三角形，若点到平面的距离为，则二面角的大小为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设的中点为E，过点A作，说明为二面角的平面角；证明平面，从而证明平面，解直角三角形，即可求得答案. 【解析】设的中点为E，连接，过点A作，垂足为F， 因为均为等边三角形，故， 故为二面角的平面角；    又平面，故平面， 而平面，故， 又，平面， 故平面，则点A到平面的距离为， 又为等边三角形，边长为2，故， 故在中，，则，即， 故二面角的大小为， 故选：A 55．（2025高二·湖北武汉·期中）在四面体中，已知为等边三角形，为等腰直角三角形，斜边，，则二面角的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，作出二面角的平面角，再利用余弦定理求解即得. 【解析】在四面体中，取的中点，连接，如图，    由，得， 因此是二面角的平面角， 在中，， 由余弦定理得， 而，则，所以二面角的大小为. 故选：A 题型13：由二面角求求其他量 56．（2025高三·陕西·期中）如图，二面角的平面角的大小为，，，，则（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】作点在平面的投影，作，得是二面角的平面角，然后根据垂直进行计算可得． 【解析】如图，作点在平面的投影，作，垂足为，连接， 平面，则，同理， 又，平面，， 所以平面，又平面，所以， 所以是二面角的平面角，所以， 所以， 又是矩形，所以，， 从而，所以. 故选：A． 57．（2025高三·湖北荆门·期末）已知二面角为，点、分别在、内且，到的距离为，到的距离为, 则两点之间的距离为 （    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意作交于，连接，作，，证明为二面角的平面角，以及，；在，中分别求出，，再在中，利用余弦定理求解即可. 【解析】如图，作交于，连接，作，， 因为，，，平面，平面， 所以平面， 因为平面，所以，所以为二面角的平面角， 即， 因为平面，平面，所以， 又，， ，，所以， 所以， 同理，所以， 在中，，，所以， 在中，，，所以， 在中，， 所以. 故选：. 58．（2025高二·山东东营·期中）如图，已知大小为的二面角棱上有两点A，B，，，若，则AB的长度（ ） A．22 B．40 C． D． 【答案】C 【分析】过作且，连接，易得，通过线面垂直的判定定理可得平面，继而得到，由勾股定理即可求出答案. 【解析】解：过作且，连接，则四边形是平行四边形， 因为，所以平行四边形是矩形，因为，即， 而，则是二面角的平面角，即， 因为，即为正三角形，所以， 因为，即，平面， 所以平面，因为平面，所以， 所以在中，，所以， 故选：C 59．（2025高一·四川绵阳·期末）如图，在三棱锥中，和均为正三角形，，二面角的大小为，则异面直线与所成角的余弦值是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二面角的大小可得长度关系，利用线线平行得异面直线所成角，根据余弦定理即可求解. 【解析】取中点为连接，由于和均为等边三角形，所以故为二面角的平面角，即， 由于为等边三角形，故，进而, 又, 由余弦定理可得, 由于,所以即为直线与所成角或其补角， 所以直线与所成角的余弦值为， 故选：B    60．（2025高三·吉林长春月考）如图，已知在矩形和矩形中，，，且二面角为，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】取中点，根据二面角平面角定义可知，得到为等边三角形；根据三角形中位线性质和异面直线所成角定义可知或其补角即为所求角，结合长度关系，利用余弦定理可求得，进而得到结果. 【解析】连接，，取中点，连接， 四边形为矩形，，， 即为二面角的平面角，， 又，，，为等边三角形，； 分别为中点，，， 或其补角即为异面直线与所成角， ，， ， 即异面直线与所成角的余弦值为. 故选：D. 一、单选题 1．（2025高二·山西·期末）已知、表示两条不同的直线，表示平面，则下面四个命题正确的是（    ） ①若，，则； ②若，，则； ③若，，则； ④若，，则． A．①② B．②③ C．①③ D．③④ 【答案】D 【分析】举例说明判断①②；利用线线、线面垂直的判定、性质推理判断③④作答. 【解析】长方体中，平面为平面，直线BC为直线b，如图， 当直线AD为直线a时，满足，，而，①不正确； 当直线为直线a时，满足，，而，②不正确； 在平面内取两条相交直线m，n，如图，因，则， 而，则，又，m，n是相交直线，∴，③正确； 因，过直线b作平面，如图， 则有，又，，于是得，从而得，④正确， ∴给定命题正确的是③④. 故选：D. 2．（2025高二·山西·期末）如图，在三棱锥中，平面，，，为的中点，则下列结论正确的有（    ） ①平面；②；③平面；④平面. A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】由线面垂直定义和判定定理进行辨析即可. 【解析】对于①，∵平面，平面，∴， 又∵，，平面，平面， ∴平面，故①正确； 对于②，③，由①，∵平面，平面，∴， 又∵，为的中点，∴， 又∵，平面，平面，∴平面， 又∵平面，∴，故②，③正确； 对于④，假设平面，则∵平面，∴， 又∵为的中点，∴， ∵平面，平面，∴，∴中，， 又∵，∴中，，∴，， ∴假设不成立，故④错误. ∴正确的有①②③，共个. 故选：D. 3．（2025高一·河南安阳·期末）菱形ABCD在平面α内，PC⊥α，则PA与BD的位置关系是（    ） A．平行 B．相交但不垂直 C．垂直相交 D．异面且垂直 【答案】D 【分析】由菱形ABCD在平面内,则对角线,又, 可得平面,进而可得,又显然，PA与BD不在同一平面内，可判断其位置关系. 【解析】假设PA与BD共面，根据条件点和菱形ABCD都在平面内， 这与条件相矛盾. 故假设不成立，即PA与BD异面. 又在菱形ABCD中，对角线， ，，则且， 所以平面,平面. 则, 所以PA与BD异面且垂直. 故选：D 【点睛】本题考查异面直线的判定和垂直关系的证明,属于基础题. 4．（2025高一·全国月考）如果一条直线垂直于一个平面内的：①三角形的两边；②梯形的两边；③圆的两条直径；④正六边形的两条边.则能保证该直线与平面垂直的序号有（    ） A．①③ B．①② C．②④ D．①④ 【答案】A 【分析】根据线面垂直的判定定理，只要能证明和平面内两条相交直线垂直，即可证明线面垂直． 【解析】解：因为三角形的任意两边是相交的，所以①可证明线面垂直； 因为梯形的上下两边是平行的，此时不相交，所以②不一定能保证线面垂直； 因为圆的任意两条直径必相交，所以③可以证明线面垂直； 若直线垂直于正六边形的两个对边，此时两个对边是平行的，所以④不一定能保证线面垂直； 故选：A． 5．（2025高一·全国·单元测试）若斜线段的长是它在平面内射影长的2倍，则与平面所成角的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】如图，为斜线段在平面内的射影，即为与平面所成角的平面角，即可得解. 【解析】如图，为斜线段在平面内的射影， 则即为与平面所成角的平面角，， 则，又，所以， 即与平面所成角的大小为. 故选：A.    6．（2025高二·上海·单元测试）在正方形中，、分别是及的中点，是的中点．现在沿、及把这个正方形折成一个空间四边形，使、、三点重合，重合后的点记为，那么，在空间四边形中必有（       ） A．所在平面 B．所在平面 C．所在平面 D．所在平面 【答案】A 【分析】注意翻折前后的角度的变与不变，根据线面垂直的判定定理得到平面，A正确； 假设平面，推出，矛盾，B错误； 由平面得到，结合证明出平面，假设平面，则平面平面，推出矛盾，C错误； 由面得到，假设平面，则，结合三线在同一平面可推出，矛盾，D错误. 【解析】对于A，在正方形中，，， 所以在四面体中，，， 又平面，，所以平面，故选项A正确； 对于B，若平面，结合选项A，则，显然矛盾，故选项B错误； 对于C，因为面，面，所以， 又，平面，，所以平面， 假设平面，则平面平面，显然矛盾，故选项C错误； 对于D，因为面，面，所以， 若平面，平面，则， 平面，故，显然矛盾，故D错误； 故选：A. 7．（2025高二·四川成都·期中）如图，在三棱锥S－ABC中，SA⊥平面ABC，SA＝2，AC＝2，BC＝1，∠ACB＝90°，则直线SB与平面SAC所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据已知条件，利用线面垂直的判定与性质，得到为直线与平面所成的角的平面角，进而计算求解. 【解析】解：SA⊥平面平面又所以， 又平面，平面平面, 所以是在平面内的射影，所以为直线与平面所成的角的平面角， 又，所以， 所以, 故选：A. 【点睛】关键点点睛：作出线面所成的角的平面角是关键，要做线面垂直，或证明线面垂直是常用的思路. 8．（2025高一·河北石家庄·期中）在正方体中，分别为，的中点，则异面直线所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作出正方体，取的中点，连接，可得为异面直线所成的角，再利用余弦定理，即可得答案； 【解析】如图所示，取的中点，连接， ，为异面直线所成的角， ， 故选：D. 【点睛】本题考查异面直线所成角的余弦值，考查转化与化归思想，考查空间想象能力、运算求解能力，求解时注意余弦定理的应用. 9．（2025高二·浙江·期中）如图1，直线将矩形分为两个直角梯形和，将梯形沿边翻折，如图2，在翻折过程中（平面和平面不重合），下列说法正确的是（    ） A．在翻折过程中，恒有直线平面 B．存在某一位置，使得平面 C．存在某一位置，使得 D．存在某一位置，使得平面 【答案】A 【分析】根据翻折过程中，始终，，利用面面平行的判定定理及性质，即可判定A正确；根据题中条件，得到与相交，可判断B错；根据题中条件，判定直线与平面相交，即可判定C错；根据题中条件，得到与不垂直，即可判定D错. 【解析】对于，由题意得：，， ∵，，∴平面平面， ∵平面，∴在翻折过程中，恒有直线平面，故A正确； 对于B，∵直线将矩形分为两个直角梯形和， ∴与相交， ∴不存在某一位置，使得平面，故B错误； 对于C，∵平面平面，平面，，所以直线与平面相交；∴不存在某一位置，使得，故C错误； 对于D，∵四边形是梯形，， ∴与不垂直， ∴不存在某一位置，使得平面，故D错误． 故选：A． 【点睛】思路点睛： 判断线线、线面位置关系时，一般需要结合相关概念，以及判定定理与性质定理，由题中条件，进行判断即可. 10．（2025·河南·模拟预测）在四棱锥中，底面为正方形，且平面，，则直线与直线所成角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接交于点，取的中点，易得，从而直线与直线所成角，即为（或其补角），然后分别在和中，求得AE和OE，然后在中，利用余弦定理求解. 【解析】解：如图所示： 连接交于点，取的中点，连接，．不妨设． 因为四边形是正方形，所以是的中点， 又是的中点，所以． 所以直线与直线所成角，即为（或其补角）． 因为平面，又，平面， 所以，． 在中，，，， 所以； 在中，，，， 所以，所以； 在中，，，， 所以， 即直线与直线所成角的余弦值是． 故选：A． 11．（2025·全国·模拟预测）如图所示，直三棱柱中，分别是的中点，，则与所成角的余弦值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别取的中点，则，，所以与所成角的大小等于，不妨设，解三角形即可. 【解析】如下图所示：    分别取的中点，连接，由题意有，， 所以与所成角的大小等于，不妨设，则，所以， 又因为且，所以，； 由余弦定理可得，所以与所成角的余弦值为. 故选：A. 二、多选题 12．（西南名校联盟2025届“3 3 3”高考备考诊断性联考（三）数学试卷）如图，平面四边形满足，与交于点，若将沿翻折，得到三棱锥，已知二面角的平面角为，直线与平面所成的角为，，则下列说法正确的是（   ） A．在翻折过程中，与始终垂直 B．在翻折过程中，始终成立 C．在翻折过程中，的最大值为 D．当平面平面，则三棱锥为正三棱锥 【答案】ACD 【分析】结合线面垂直的判定和性质数形可判断A；由二面角的平面角、线面角的定义，找到相关角后表达对应的正弦值，即可推导分析B；由角的函数值的最值关系可判断分析C；由垂直关系判断边长关系，结合正三棱锥的定义可判断D. 【解析】对于A，在平面四边形中，由于，所以，， 如图1，在翻折过程中，始终满足，，面，所以面，所以，A正确； 对于B，如图2，作，连接，由题意得在翻折过程中，始终满足，又， 所以二面角的平面角为，即，则，又面，所以， 所以直线与平面所成的角为，所以，又，所以， 则，B错误； 对于C，由B知，，，当，即时，的最大值为，此时，C正确； 对于D，如图3，由A知，，由于平面平面，平面平面， 所以平面，则，由于， 所以，则三棱锥为正三棱锥，正确，故选ACD. 故选：. 13．（2025·广东清远·模拟预测）如图，在直棱柱中，底面是边长为2的菱形，，，点为的中点，动点在侧面内（包含边界），则下列结论正确的是（   ） A． B．平面与平面所成角的余弦值为 C．若，则点轨迹的长度为 D．若点在直线上，则的最小值为 【答案】ABC 【分析】通过线面垂直可判断线线垂直，判断A的真假；利用投影面积法求二面角的余弦，判断B的真假；弄清点的轨迹，再求其长度，可判断C的真假；利用表面展开，转化为两点之间，直线段最短求的最小值，判断D的真假. 【解析】如图1，连接，由菱形可得． 再由直棱柱，可得底面． 又因为底面，所以， 而平面，所以平面， 又因为平面，所以，故A正确； ，，，所以为直角三角形，且， 其在底面投影的三角形的面积为， 由投影面积法可得平面和平面所成角的余弦值为，故B正确； 如图2，动点在侧面内（包含边界），过作，垂足为， 由直棱柱， 所以平面平面，平面平面，平面， 且，所以平面. 而侧面，即有，由菱形边长为2，，可得， 再由勾股定理得：，则点的轨迹是以为圆心， 以为半径的圆弧（如图3中），则由侧面正方形， 可知，，可得，所以点轨迹的长度为，故C正确； 由为直角三角形，且为等腰直角三角形， 将与展开成一个平面图，如图4，则； 由余弦定理得：， 即，故的最小值为，故D错误． 故选：ABC 14．（2025高一·湖南长沙·期中）如图，在棱长为4的正方体中，，，分别为棱，，的中点，点为线段上的动点，则（    ） A．两条异面直线和所成的角为 B．存在点，使得平面 C．对任意点，平面平面 D．点到直线的距离为4 【答案】BCD 【分析】由正方体的结构特征及异面直线所成角的定义判断A；当点P与点重合时，可得平面，即可判断B；连接CF，推导出，从而得平面，进一步得平面平面即可判断C；由余弦定理求出，由此能求出点到直线的距离判断D． 【解析】对于A，由正方体的性质可知， 两条异面直线和所成的角即为，所以A错误； 对于B，当点P与点重合时， 由题可知， 所以，四边形为平行四边形，故， 又平面，平面，则平面，所以B正确； 对于C，连接，由于平面，平面，故， 又，故， 故，即，故， 又相交，平面，故平面， 又平面，故对任意点，平面平面，所以C正确； 对于D，由正方体的性质可得， ， 所以， 又，所以， 所以点到直线的距离，所以D正确． 故选：BCD． 【点睛】关键点点睛：对于选项D，由余弦定理求出，由此能求出点到直线的距离． 15．（2025·河南·模拟预测）如图，在五面体ABCDE中，是边长为4的等边三角形，四边形BCDE是等腰梯形，，则（    ） A．平面ABC B．平面ABE C．存在这样的五面体ABCDE，满足平面平面BCD D．存在这样的五面体ABCDE，满足平面平面ACD 【答案】ACD 【分析】应用线面平行的判定定理判断A；延长CD，BE交于点F，由线面垂直的性质有，而根据平面几何知识有即可判断B；取DE的中点G，BC的中点H，连接AG、GH、AH，则为平面ADE与平面BCD所成角的平面角，判断是否存在为直角的情况，即可判断C；取AF的中点I，连接BI、CI，则为平面ABE与平面ACD所成角的平面角，判断D. 【解析】由题设，平面沿翻转与平面形成一定夹角构成五面体ABCDE， 由题意，又平面ABC，平面ABC，所以平面ABC，A正确； 延长CD，BE交于点F，若平面ABE，平面ABE，则， 由平面几何知识易知，故CD不垂直于平面ABE，B错误； 取DE的中点G，BC的中点H，连接AG、GH、AH，则为平面ADE与平面BCD所成角的平面角， 由题意，点G可看作在平面AGH内以H为圆心，GH为半径的圆上的一点， 由于，必存在直线AG与该圆相切，存在， 显然为等腰三角形，则，都在平面内， 所以平面，平面，则平面平面BCD，故存在这样的五面体ABCDE，C正确； 取AF的中点I，连接BI、CI，则为平面ABE与平面ACD所成角的平面角， 当，即时，，即，又， 都在平面内，则平面，平面， 所以平面平面ACD，此时，故存在这样的五面体ABCDE，D正确． 故选：ACD 三、填空题 16．（2025高一·全国月考）如图，已知长方体中，，，，则异面直线和的夹角为 . 【答案】 【分析】利用，异面直线和的夹角可转化为直线和的夹角，最后代入数据即可求出答案。 【解析】如图，连接， 因为直线，则异面直线和的夹角可转化为直线和的夹角， 又因为，，所以，，即, 所以异面直线和的夹角. 故答案为： 17．（2025高一·全国月考）如图所示，已知AF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，且，则 . 【答案】6 【分析】根据题意结合线面垂直的性质分析求解. 【解析】∵AF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，则AF//DE， 又∵，则四边形AFED为平行四边形， ∴. 故答案为：6. 18．（2025高一·全国月考）如图所示，已知平面平面，，垂足为，，垂足为，直线,，则直线与直线的位置关系是 . 【答案】平行. 【分析】根据线面垂直的判定定理，分别证明平面，平面；再由线面垂直的性质，即可得出. 【解析】∵平面平面，， 又，. 同理. 又,平面. ，. 又，， 平面，. 故答案为平行 【点睛】本题主要考查线面垂直，熟记线面垂直的判定定理与性质定理即可，属于常考题型. 19．（2025高二·上海徐汇·期末）已知所在平面外一点，且两两垂直，则点在平面内的射影应为的 心. 【答案】垂 【分析】设点在平面内的射影为，由已知可证明，，根据线面垂直的判定以及性质可得.同理可得，，即可得出答案. 【解析】设点在平面内的射影为，则平面. 又平面，所以. 因为，，，平面，平面， 所以平面.又平面，所以. 因为，平面，平面，所以平面. 又平面，所以. 同理可证，，，所以是的垂心. 所以，点在平面内的射影应为的垂心. 故答案为：垂. 20．（2025高一·全国月考）如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，与AD1垂直的平面是 . 【答案】平面A1DB1 【分析】根据线面垂直的判定即可求出答案. 【解析】∵AD1⊥A1D，AD1⊥A1B1，A1D∩A1B1＝A1，A1D，A1B1⊂平面A1DB1， ∴AD1⊥平面A1DB1. 故答案为：平面A1DB1 21．（2025高一·全国·单元测试）如图，在正方体中，直线与面所成的角正切值为 . 【答案】 【分析】根据线面垂直得线面角的几何角，即可由边角关系求解. 【解析】连接相交于， 由于， 又平面，平面,所以, 平面, 所以平面， 设直线与面相交于点，可知是的中点， 故为直线与面所成的角，设正方体的棱长为2， 故， 故答案为： 22．（2025·全国·模拟预测）在正三棱柱中，D为棱AB的中点，与交于点E，若，则CD与所成角的余弦值为 ． 【答案】 【分析】作出辅助线，找到CD与所成的角，证出线面垂直，得到，设出，利用余弦定理求出，，求出余弦值. 【解析】连接，取中点F，连接，EF，则， 所以为CD与所成的角（或其补角）． 因为在正三棱柱中，D为棱AB的中点， 所以⊥，⊥平面， 因为平面，所以⊥， 因为，平面， 所以CD⊥平面， 可得EF⊥平面，又平面， 所以． 不妨设，则，，所以， 又， 所以， 所以， 所以＝． 故答案为： 23．（2025高一·湖南长沙·期中）如图，在直三棱柱中，是等边三角形，，D，E，F分别是棱，，的中点，则异面直线与所成角的余弦值是 . 【答案】 【分析】通过构造平行线将异面直线所成角转化为相交线的夹角，解三角形即可. 【解析】如图，在棱上取一点，使得，取的中点，连接，，，由于，分别是棱，的中点，所以，， 故四边形为平行四边形，进而， 又因为，分别是，的中点，所以，所以，则或其补角是异面直线与所成的角. 设，则，，. 从而，， ，， 故， 故异面直线与所成角的余弦值是. 故答案为：. 24．（2025高一·北京海淀·期中）如图所示，在长方体中，，点E是棱上的一个动点，若平面交棱于点，给出下列命题：.   ① 四棱锥的体积恒为定值； ②存在点，使得平面；   ③存在唯一的点，使得截面四边形的周长取得最小值； ④存在无数个点，在棱上均有相应的点，使得平面，也存在无数个点，对棱上任意的点， 直线与平面均相交. 其中真命题的是 ．（填出所有正确答案的序号） 【答案】①②③④ 【分析】根据线面平行的判定定理和面面平行的性质定理，以及锥体的体积公式，即可求解. 【解析】由题意，可知①中，四棱锥的体积为： ，则和都为定值，所以四棱锥的体积恒为定值； ②中，连接和，当时，利用三垂线定理可得,又由，所以，利用线面垂直的判定定理，即可得到平面，所以是正确的； ③中，根据棱柱的结构特质，可知四边形为平行四边形，设， 则，令，则， 所以四边形的周长为 ， 当时，周长有最小值，即当为的中点时，周长取得最小值，所以正确； ④中，在AD任取一点G，过点G作，可证得,利用线面平行的判定定理可得平面平面，所以平面，所以是正确的. 故正确的命题序号为①②③④. 【点睛】本题主要考查了空间几何体的结构特征，以及线面位置关系的判定及应用，其中解答中熟练运用空间几何体的结构特征，以及熟记线面位置关系的判定与性质是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及空间想象能力，属于中档试题. 四、解答题 25．（2025高二·上海·单元测试）空间四边形中，平面平面，，，且，求与平面所成的角的大小. 【答案】 【分析】根据面面垂直性质定理，结合直角三角形的性质，利用线面角的定义，可得答案. 【解析】如图所示，取的中点，连接，.    因为，所以，又平面平面， 平面平面，平面，所以平面. 因此，即为与平面所成的角. 由于，为斜边的中点，所以， 因为平面，且平面，所以，故. 26．（2025高一·陕西延安·期末）如图，已知正方体中，与相交于点． （1）判断与平面的位置关系，并证明； （2）求直线与平面所成的角． 【答案】（1）见解析（2）30° 【分析】1）由正方体的性质可得AD1⊥A1D，①A1B1⊥AD1②，结合①②由线面垂直的判定定理即可得到证明；（2）由（1）可知AO为平面A1B1CD的垂线，连接B1O，故可得∠AB1O即为所求的角，在直角三角形AB1O中求解即可. 【解析】（1）AD1⊥平面A1B1CD． 证明：∵在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，A1B1⊥AD1， AD1⊥A1D，A1D∩A1B1＝A1， ∴AD1⊥平面A1B1CD． （2）连接B1O．∵AD1⊥平面A1B1CD于点O， ∴直线B1O是直线AB1在平面A1B1CD上的射影． ∴∠AB1O为直线AB1与平面A1B1CD所成的角． 又∵AB1＝2AO， ∴． ∴∠AB1O＝30°． 即直线与平面所成的角30°. 【点睛】本题考查直线与平面垂直的判定定理的运用，考查直线与平面所成角，及学生的空间想象能力． 27．（2025高一·全国月考）如图，三棱锥的高为PH，若三个侧面两两垂直，证明：为的垂心    【答案】证明见解析 【分析】首先用反证法证明平面PBC，再由面面垂直和线面垂直的判定和性质定理证明,同理可证，，即可得证. 【解析】证明：首先证明平面PBC． 若不然，在平面PAB中，过作于， 因为平面平面PBC，平面平面PBC,平面， 所以，平面PBC．（AM不同于AP） 在平面PAC中，过作于， 因为平面平面PBC，平面平面PBC，平面， 所以，平面PBC．（AN不同于AP） 这样，过点A有两条不同直线AM，AN垂直于平面PBC，这是不可能的． 所以，假设不成立，平面PBC得证．    同理，由三个侧面两两垂直，得平面，平面PAB， 因为平面，平面ABC，所以．① 因为平面，平面PBC，所以，．② 由①②及，，平面APH，所以，平面APH． 又平面APH，所以，． 同理可证，， 所以，为的垂心． 28．（2025高一·全国月考）如图所示，在四棱锥中，底面是矩形，侧棱平面，E、F分别是、的中点，.求证：平面.    【答案】证明见解析. 【分析】取的中点，利用平行四边形性质、平行公理证得，再利用线面垂直的性质、判定推理证明平面即可. 【解析】如图，取的中点，连接、，如图，F为的中点，则，    矩形中，点E为的中点，有，即， 于是四边形是平行四边形，有， 因为平面，平面，则，又， 平面，于是平面，而平面， 则有，由，得，而平面， 因此平面，又，所以平面. 29．（2025高二·上海月考）在长方体中，，与所成的角为．求与平面所成角的大小． 【答案】 【分析】根据题意可得这是一个棱长为2的正方体，连接，连接，证明平面，得出为直线与平面所成角，求解即可. 【解析】因为在长方体中，，所以上下底面为正方形， 连接，因为，所以四边形是平行四边形， 所以，又因为与所形成的角为， 所以与所成的角为，所以四边形为正方形， 为正方体， 连接，则， 因为平面，平面，所以， 又，平面，所以平面， 连接，则为直线与平面所成角， ， 因为，所以.    30．（2025高一·上海宝山·期中）如图，在中，，且，，将绕直角边旋转到处，得到圆锥的一部分，点是底面圆弧（不含端点）上的一个动点．    (1)是否存在点，使得？若存在，求出的大小；若不存在，请说明理由； (2)当四棱锥体积最大时，求沿圆锥侧面到达点的最短距离． 【答案】(1)存在， (2) 【分析】（1）面即为所求，即BC⊥AD，此时易知D为圆弧BC的中点； （2）易知当四边形ABDC面积最大时，四棱锥的体积最大，设，根据可求四边形ABDC面积最大时的大小，并利用扇形展开图，求点到达点的最小值. 【解析】（1）当为圆弧的中点，即时，， 证明如下：∵为圆弧的中点，∴，即为的平分线， ∵，∴为等腰的高线，即， ∵平面， ∴平面，平面，∴， ∵，平面， ∴面，平面, ∴． （2）由（1）得，为四棱锥的高，∵， ∴当底面积取最大值时，四棱锥体积最大. 设，则， ， ∵， ∴时，取最大值， ∴当四棱锥体积最大时，， 此时，，， 如图，是扇形表面部分的展开图，此时展开图中，   ， 所以点沿圆锥侧面到达点的最短距离为. 31．（2025高二·河北衡水·期末）如图：PA⊥平面ABCD，ABCD是矩形,PA=AB=1，AD=，点F是PB的中点，点E在边BC上移动 （Ⅰ）求三棱锥E-PAD的体积; （Ⅱ）当点E为BC的中点时，试判断EF与平面PAC的位置关系，并说明理由； （Ⅲ）证明：无论点E在边BC的何处，都有PE⊥AF 【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）平行，（Ⅲ）详见解析 【解析】试题分析： (1)三棱锥的体积＝＝·＝. (2)当点为的中点时，与平面平行． ∵在中，分别为、的中点， ∴，又平面，平面， ∴平面 (3)证明：∵⊥平面，平面， ∴，又，，平面， 平面.又平面，∴. 又，点是的中点，∴， 又,平面， ∴⊥平面. ∵平面，∴. 考点：本小题主要考查三棱锥体积的计算、线面平行、线面垂直等的证明，考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力. 点评：计算三棱锥体积时，注意可以根据需要让任何一个面作底面，还经常利用等体积法求三棱锥 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$