专题17 空间点、直线、平面之间的位置关系8题型分类（讲+练）-2024-2025学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第二册）

2024-2025学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第二册） 专题17 空间点、直线、平面之间的位置关系8题型分类 一、平面 1.平面的概念 几何中所说的“平面”，是从课桌面、黑板面、平静的水面等，这样的一些物体中抽象出来的.类似于直线向两端无限延伸，几何中的平面是向四周无限延展的. 2.平面的画法 我们常用矩形的直观图，即平行四边形表示平面，它的锐角通常画成45°，且横边长等于其邻边长的2倍，如图①. 如果一个平面的一部分被另一个平面遮挡住，为了增强它的立体感，把被遮挡部分用虚线画出来，如图②. 3.平面的表示法 图①的平面可表示为平面α、平面ABCD、平面AC或平面BD. 二、点、线、面之间的位置关系 1.直线在平面内的概念 如果直线l上的所有点都在平面α内，就说直线l在平面α内，或者说平面α经过直线l. 2.一些文字语言与符号语言的对应关系： 文字语言表达 符号语言表示 文字语言表达 符号语言表示 点A在直线l上 A∈l 点A在直线l外 A∉l 点A在平面α内 A∈α 点A在平面α外 A∉α l在平面α内 l⊂α 直线l在平面α外 l⊄α l，m相交于点A l∩m＝A 平面α，β相交于l α∩β＝l 三、平面的基本性质及作用 1. 基本事实 内容 图形 符号 作用 基本事实1 过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面 A，B，C三点不共线⇒存在唯一的平面α使A，B，C∈α 一是确定平面；二是证明点、线共面问题；三是判断两个平面重合的依据 基本事实2 如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内 A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α⇒l⊂α 既可判定直线和点是否在平面内，又能说明平面是无限延展的 基本事实3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 P∈α且P∈β⇒α∩β＝l，且P∈l ①判定两平面相交的依据 ②判定点在直线上 2.利用基本事实1和基本事实2，再结合“两点确定一条直线”，可以得到下面三个推论： 推论1　经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面. 推论2　经过两条相交直线，有且只有一个平面. 推论3　经过两条平行直线，有且只有一个平面. 四、空间两直线的位置关系 1.异面直线 (1)定义：不同在任何一个平面内的两条直线. (2)异面直线的画法(衬托平面法) 如图①②③所示，为了表示异面直线不共面的特点，作图时，通常用一个或两个平面来衬托. (3)判断两直线为异面直线的方法 ①定义法；②两直线既不平行也不相交. 2.空间两条直线的三种位置关系 五、直线与平面的位置关系 位置关系 直线a在平面α内 直线a在平面α外 直线a与平面α相交 直线a与平面α平行 公共点 有无数个公共点 只有1个公共点 没有公共点 符合表示 a⊂α a∩α＝A a∥α 图形表示 六、平面与平面的位置关系 位置关系 两平面平行 两平面相交 公共点 没有公共点 有无数个公共点(在一条直线上) 符号表示 α∥β α∩β＝l 图形表示 （一） 1.图形、文字、符号语言的相互转换 三种语言转换方法：用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面，几条直线及相互之间的位置关系，试着用文字语言表示，再用符号语言表示. 2.平面分空间的区域数量 解决平面分空间的区域数量问题，核心在于找规律递推。从简单情形入手，1个平面将空间分成2部分；2个平面最多分成4部分。每增加1个平面，让新平面与已有的平面都相交，且交线互不平行，这样新平面会被交线分割成多个区域，每个区域都会把原本空间的一部分一分为二，依此规律就能算出n个平面分空间的区域数量。 题型1：图形语言、文字语言、符号语言的相互转换 1．（2025高二·云南曲靖·期中）如图所示，用符号语言可表达为（    ） A．，， B．，， C．，，， D．，，， 2．（2025高一·全国月考）若点在直线上，在平面上，则点，直线，平面之间的关系可以记作（    ） A． B． C． D． 3．（2025高二·重庆合川月考）下面表述与结论都正确的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 4．（2025高二·全国月考）用符号语言改写下列语句： (1)点A在平面内，点B不在直线l上； (2)直线l在平面内，直线m与平面有且只有一个公共点M； (3)直线a和b相交于一点M． 题型2：平面分空间的区域数量 5．（2025高二·上海宝山·期中）有下列四个说法： ①不在同一直线上的三点确定一个平面； ②两组对边分别相等的四边形是平行四边形； ③三条直线两两相交则确定一个平面； ④两个相交平面把空间分成四个区域． 其中错误说法的序号是 ． 6．（2025高二·四川达州·期中）两个平面把空间最多分成 个部分. 7．（2025高二·上海月考）有下列四个说法：①过三点确定一个平面；②四边形是平面图形，③三条直线两两相交则确定一个平面，④两个相交平面把空间分成四个区域.其中错误说法的序号是 . 8．（2025高二·上海·课堂例题）1个平面把空间分成2部分，2个平面把空间分成3或4部分，3个平面把空间分成几部分？ 题型3：对基本事实及推论的理解 9．（2025高二·上海浦东新·期末）下列条件不能确定一个平面的是（    ） A．不共线三点 B．直线和直线上一点 C．两条平行直线 D．两条相交直线 10．（2025高三·内蒙古赤峰月考）已知直线l和平面，若，，则过点P且平行于l的直线（    ）． A．只有一条，不在平面内 B．只有一条，且在平面内 C．有无数条，一定在平面内 D．有无数条，不一定在平面内 11．（2025高一·全国月考）下列结论中正确的是（    ） A．若两个平面有一个公共点，则它们有无数个公共点 B．若已知四个点不共面，则其中任意三点不共线 C．若点既在平面内，又在平面内，则与相交于，且点在上 D．任意两条直线不能确定一个平面 12．（2025高一·全国月考）下面说法中正确的是（    ） A．任何一个平面图形都是一个平面 B．平静的太平洋面是平面 C．平面就是平行四边形 D．在几何体的直观图中，平面多边形和圆、椭圆都可以表示一个平面 13．（2025高一·黑龙江·期中）在空间中，下列命题不正确的是（    ） A．若两个平面有一个公共点，则它们有无数个公共点．且在一条直线上 B．若已知四个点不共面，则其中任意三点不共线 C．梯形可确定一个平面 D．任意三点能确定一个平面 14．（2025高二·上海静安·期末）下列命题中真命题是（    ） A．四边形一定是平面图形 B．相交于一点的三条直线只能确定一个平面 C．四边形四边上的中点可以确定一个平面 D．如果点，，平面，且，，平面，则平面与平面为同一平面 （二） 点、线共面问题 证明点、线共面问题的常用方法 (1)先由部分点、线确定一个面，再证其余的点、线都在这个平面内，即用“纳入法”. (2)先由其中一部分点、线确定一个平面α，其余点、线确定另一个平面β，再证平面α与β重合，即用“同一法”. 题型4：点共面与线共面问题 15．（2025高一·宁夏固原·期末）在正方体中，、、、分别是该点所在棱的中点，则下列图形中、、、四点共面的是（   ） A． B． C． D． 16．（2025高一·全国月考）以下四个命题中，不正确的命题是（    ） A．不共面的四点中，其中任意三点不共线 B．若点共面，点共面，则共面 C．若直线共面，直线共面，则直线共面 D．依次首尾相接的四条线段必共面 17．（2025高一·江苏月考）如图所示，在正方体中，为的中点，直线交平面于点，则下列结论正确的是（    ） A．，，三点共线 B．，，，四点共面 C．，，，四点共面 D．，，，四点共面 18．（2025高一·江苏月考）如图所示，，，．求证：直线，，在同一平面内． 19．（2025·宁夏固原·模拟预测）在正方体中，是的中点，直线交平面于点，则下列结论正确的是（    ） ①､､三点共线； ②､､､四点共面； ③､､､四点共面； ④､､､四点共面. A．①② B．①②③④ C．①②③ D．①③④ 题型5：线共点与点共线问题 20．（2025高一·山东聊城·期中）在三棱锥的边上分别取E、F、G、H四点，如果，则点P（    ） A．一定在直线上 B．一定在直线上 C．在直线或上 D．不在直线上，也不在直线上 21．（2025高二·内蒙古呼伦贝尔·期末）已知在平面外，三边、、所在的直线分别与平面交于．求证：共线． 22．（2025高二·四川乐山·期末）如图所示，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，A1C与截面DBC1交于O点，AC，BD交于M点，求证：C1，O，M三点共线． 23．（2025高一·全国月考）如图，已知平面，且，设在梯形中，，且.求证：共点． 24．（2025高一·全国月考）如图，在空间四边形中，，分别是，的中点，，分别是边，上的点，且．求证：直线，，相交于一点． 25．（2025高一·全国月考）如图所示，已知棱长为1正方体中，点分别是棱的中点．    求证：三条直线交于一点； 26．（2025高一·安徽合肥·期中）在四面体中，，分别是，的中点，，分别是边，上的点，且．求证：    (1)，，，四点共面； (2)直线，，相交于一点． （三） 两直线位置关系的判定 判断空间两条直线位置关系的决窍 (1)建立空间观念全面考虑两条直线平行、相交和异面三种位置关系，特别关注异面直线. (2)重视长方体、正方体等常见几何体模型的应用，会举例说明两条直线的位置关系. 题型6：两直线位置关系的判定 27．（2025高一·安徽合肥·期中）异面直线是指（    ） A．不同在任何一个平面内的两条直线 B．平面内的一条直线与平面外的一条直线 C．分别位于两个不同平面内的两条直线 D．空间中两条不相交的直线 28．（2025高一·全国月考）若a和b是异面直线，b和c是异面直线，则a和c的位置关系是（    ） A．平行 B．异面 C．相交 D．平行、相交或异面 29．（2025高一·全国月考）以下四个图中，表示直线与平行的是（    ） A．B． C．D． 30．（2025高一·全国月考）已知、是异面直线，是、外一点，经过点且与、都相交的直线有（    ） A．至少1条 B．最多1条 C．有且只有1条 D．可能为0条也有可能多于1条 31．（2025高二·上海·期末）如果直线a和b没有公共点，那么a与b（　　） A．共面 B．平行 C．可能平行，也可能是异面直线 D．是异面直线 32．（2025高一·山西运城·期中）已知空间中两个角，，且角与角的两边分别平行，若，则（    ） A．30° B．150° C．30°或150° D．60°或120° （四） 直线与平面的位置关系 在判断直线与平面的位置关系时，三种情形都要考虑到，避免疏忽或遗漏，另外，我们可以借助空间几何图形，把要判断关系的直线、平面放在某些具体的空间图形中，便于作出正确判断，避免凭空臆断． 题型7：直线与平面的位置关系 33．（2025高二·上海青浦·期末）若一直线上有两点到一个平面的距离都等于1，则该直线与这个平面的位置关系是（    ）． A．直线在平面内 B．直线与平面相交或平行 C．直线与平面相交 D．直线平行平面 34．（2025高三·浙江宁波·期末）如图， 在正方体中， 点分别为的中点， 设过点的平面为， 则下列说法正确的是（    ） A．在正方体中， 存在某条棱与平面平行 B．在正方体 中， 存在某条面对角线与平面平行 C．在正方体 中， 存在某条体对角线与平面平行 D．平面截正方体所得的截面为五边形 35．（2025高二·天津和平·期中）如果直线平面，直线平面，，则（    ） A． B． C． D． 36．（2025高一·辽宁沈阳月考）若一直线上有一点在已知平面外，则下列结论中正确的是（    ） A．直线与平面平行 B．直线与平面相交 C．直线上至少有一个点在平面内 D．直线上有无数多个点都在平面外 37．（2025高一·全国月考）如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是A1B1和BB1的中点，则下列直线与平面的位置关系是什么？ （1）AM所在的直线与平面ABCD； （2）CN所在的直线与平面ABCD； （3）AM所在的直线与平面CDD1C1； （4）CN所在的直线与平面A1B1C1D1. （五） 平面与平面的位置关系 利用正方体(或长方体)这个“百宝箱”能有效地判断与两个平面的位置关系有关命题的真假，另外先假设所给定的结论成立，看是否能推出矛盾，也是一种判断两平面位置关系的有效方法. 题型8：平面与平面的位置关系 38．（2025高一·全国月考）平面上有三个不共线点到平面距离相等，则平面与平面的位置关系是（    ） A．相交 B．平行 C．垂直 D．相交或平行 39．（2025高一·全国月考）已知点是平面外的两点,则过点与平行的平面有 个. 40．（2025高一·安徽马鞍山·期中）如图，已知分别是正方体的棱的中点，. (1)证明：直线交于同一点； (2)作出过三点的截面（写出作图过程，保留作图痕迹），并计算截面图形的周长. 41．（2025高三·山西月考）已知是两条不同的直线是两个不同的平面，，则（    ） A．不平行是不平行的充分条件 B．不相交是不相交的必要条件 C．垂直且相交是垂直的充分条件 D．平行或相交是异面的必要条件 一、单选题 1．（2023高二下·辽宁·学业考试）乒乓球是一项深受我国广大人民群众喜爱的体育运动，乒乓球台主要由乒乓球网和台面组成．如图所示，如果将乒乓球台的台面抽象成平面α，将乒乓球网的上边缘抽象成直线，则直线l与平面α的位置关系是（    ）． A． B． C． D．l与α相交 2．（2025高三·全国·专题练习）如图所示，在正方体中，点为线段上的动点，则下列直线中，始终与直线异面的是（ ） A． B． C． D． 3．（2025高三·全国·专题练习）已知点M是平行六面体的面对角线上的动点，则下列直线中与恒为异面直线的是（ ） A． B． C．CD D． 4．（24-25高一下·湖南·期中）下列说法正确的是（   ） A．三点确定一个平面 B．水平放置的矩形的直观图是平行四边形 C．若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都平行 D．以直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥 5．（2025高二下·湖南娄底·学业考试）在长方体中，下列直线位置关系判断正确的是（   ） A．直线AB与AC异面 B．直线AC与相交 C．直线与AC异面 D．直线与相交 6．（24-25高三下·辽宁沈阳·阶段练习）已知两个不同的平面和两条不同的直线满足，则“平行”是“不相交”的（    ） A．充要条件 B．充分非必要条件 C．必要非充分条件 D．既不充分也不必要条件 二、多选题 7．（23-24高一下·吉林·期中）如图，这是一个正方体的展开图，若将它还原为正方体，则（    ） A． B． C．直线与异面 D．直线与异面 8．（2025高三·全国·专题练习）如图是正方体或四面体，分别是所在棱的中点，则这四个点共面的图是（    ） A． B． C． D． 9．（24-25高二下·湖南娄底·阶段练习）正方体中，与棱异面的棱有（    ） A． B． C． D． 三、填空题 10．（23-24高二上·上海·阶段练习）在空间中，下列说法：（1）一条直线和两条平行直线中的一条相交，必和另一条也相交；（2）一条直线和两条平行直线中的一条确定一个平面，必和另一条也确定一个平面；（3）一条直线和两条平行直线中的任何一条都无公共点，当它和其中一条是异面直线时，它和另一条也必是异面直线；（4）一条直线和两条平行直线中的任何一条都无公共点，则这三条直线平行．其中正确的序号是 ． 11．（2024高三·全国·专题练习）如图，在正方体中，分别为B′C′，A′D′的中点，则平面与平面 ． 12．（21-22高一·江苏·课后作业）设分别是空间四边形的边，，，的中点，若，则四边形的形状是 . 13．（24-25高二上·上海·期中）已知，是两条直线，则“，没有公共点”是“，是异面直线”的 条件．（填“充分非必要”，“必要非充分”，“充要”或“既非充分又非必要”） 14．（24-25高二上·上海浦东新·期中）如图，正六棱柱中与直线异面的侧棱共有 条． 四、解答题 15．（23-24高二上·四川乐山·阶段练习）在空间四边形ABCD中，H，G分别是AD，CD的中点，E，F分别边AB，BC上的点，且．求证： (1)四边形EFGH为梯形； (2)直线EH，BD，FG相交于一点． 16．（24-25高二上·上海·阶段练习）如图，在正方体中，点、分别是、的中点．求证：    (1)直线和在同一平面上； (2)直线、和交于一点． 17．（24-25高二上·上海·阶段练习）如图，在四面体中，、分别是、的中点，、分别在、上，且． (1)求证：、、、四点共面； (2)设与交于点，求证：、、三点共线． 18．（24-25高一下·全国·课后作业）如图，已知：，，，，，求证：．    19．（24-25高二上·上海·阶段练习）如图，已知，，，分别是空间四边形的边，，，的中点. (1)若，判断四边形的形状： (2)证明：和是异面直线. 20．（24-25高一下·安徽马鞍山·期中）如图，已知分别是正方体的棱的中点，. (1)证明：直线交于同一点； (2)作出过三点的截面（写出作图过程，保留作图痕迹），并计算截面图形的周长. 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$2024-2025学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第二册） 专题17 空间点、直线、平面之间的位置关系8题型分类 一、平面 1.平面的概念 几何中所说的“平面”，是从课桌面、黑板面、平静的水面等，这样的一些物体中抽象出来的.类似于直线向两端无限延伸，几何中的平面是向四周无限延展的. 2.平面的画法 我们常用矩形的直观图，即平行四边形表示平面，它的锐角通常画成45°，且横边长等于其邻边长的2倍，如图①. 如果一个平面的一部分被另一个平面遮挡住，为了增强它的立体感，把被遮挡部分用虚线画出来，如图②. 3.平面的表示法 图①的平面可表示为平面α、平面ABCD、平面AC或平面BD. 二、点、线、面之间的位置关系 1.直线在平面内的概念 如果直线l上的所有点都在平面α内，就说直线l在平面α内，或者说平面α经过直线l. 2.一些文字语言与符号语言的对应关系： 文字语言表达 符号语言表示 文字语言表达 符号语言表示 点A在直线l上 A∈l 点A在直线l外 A∉l 点A在平面α内 A∈α 点A在平面α外 A∉α l在平面α内 l⊂α 直线l在平面α外 l⊄α l，m相交于点A l∩m＝A 平面α，β相交于l α∩β＝l 三、平面的基本性质及作用 1. 基本事实 内容 图形 符号 作用 基本事实1 过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面 A，B，C三点不共线⇒存在唯一的平面α使A，B，C∈α 一是确定平面；二是证明点、线共面问题；三是判断两个平面重合的依据 基本事实2 如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内 A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α⇒l⊂α 既可判定直线和点是否在平面内，又能说明平面是无限延展的 基本事实3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 P∈α且P∈β⇒α∩β＝l，且P∈l ①判定两平面相交的依据 ②判定点在直线上 2.利用基本事实1和基本事实2，再结合“两点确定一条直线”，可以得到下面三个推论： 推论1　经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面. 推论2　经过两条相交直线，有且只有一个平面. 推论3　经过两条平行直线，有且只有一个平面. 四、空间两直线的位置关系 1.异面直线 (1)定义：不同在任何一个平面内的两条直线. (2)异面直线的画法(衬托平面法) 如图①②③所示，为了表示异面直线不共面的特点，作图时，通常用一个或两个平面来衬托. (3)判断两直线为异面直线的方法 ①定义法；②两直线既不平行也不相交. 2.空间两条直线的三种位置关系 五、直线与平面的位置关系 位置关系 直线a在平面α内 直线a在平面α外 直线a与平面α相交 直线a与平面α平行 公共点 有无数个公共点 只有1个公共点 没有公共点 符合表示 a⊂α a∩α＝A a∥α 图形表示 六、平面与平面的位置关系 位置关系 两平面平行 两平面相交 公共点 没有公共点 有无数个公共点(在一条直线上) 符号表示 α∥β α∩β＝l 图形表示 （一） 1.图形、文字、符号语言的相互转换 三种语言转换方法：用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面，几条直线及相互之间的位置关系，试着用文字语言表示，再用符号语言表示. 2.平面分空间的区域数量 解决平面分空间的区域数量问题，核心在于找规律递推。从简单情形入手，1个平面将空间分成2部分；2个平面最多分成4部分。每增加1个平面，让新平面与已有的平面都相交，且交线互不平行，这样新平面会被交线分割成多个区域，每个区域都会把原本空间的一部分一分为二，依此规律就能算出n个平面分空间的区域数量。 题型1：图形语言、文字语言、符号语言的相互转换 1．（2025高二·云南曲靖·期中）如图所示，用符号语言可表达为（    ） A．，， B．，， C．，，， D．，，， 【答案】A 【分析】结合图形及点、线、面关系的表示方法判断即可． 【解析】如图所示，两个平面与相交于直线，直线在平面内，直线和直线相交于点， 故用符号语言可表达为，，， 故选：A 2．（2025高一·全国月考）若点在直线上，在平面上，则点，直线，平面之间的关系可以记作（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据空间点线面位置关系的符号语言判断即可. 【解析】点与直线的位置关于用表示 直线在平面内或不在平面内用表示 由题意可知 故选:B. 3．（2025高二·重庆合川月考）下面表述与结论都正确的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】根据点在线上，；线在平面内，；点在平面内，，和公理1依次判断可得答案． 【解析】解：对，，，所以直线在平面内，即，故错误； 对，直线在平面内，应为，故错误； 对，，，，故正确； 对，，，有可能，故错误． 故选：． 4．（2025高二·全国月考）用符号语言改写下列语句： (1)点A在平面内，点B不在直线l上； (2)直线l在平面内，直线m与平面有且只有一个公共点M； (3)直线a和b相交于一点M． 【答案】(1)，； (2)，，； (3). 【分析】（1）（2）（3）根据点、线、面的位置描述，应用数学语言表示出点、线、面的从属或包含关系，注意点属于或不属于线、面，而线包含于或不包含于面. 【解析】（1）由点A在平面内，即； 由点B不在直线l上，即. （2）由直线l在平面内，即； 由直线m与平面有且只有一个公共点M，即且. （3）由直线a和b相交于一点M，即. 题型2：平面分空间的区域数量 5．（2025高二·上海宝山·期中）有下列四个说法： ①不在同一直线上的三点确定一个平面； ②两组对边分别相等的四边形是平行四边形； ③三条直线两两相交则确定一个平面； ④两个相交平面把空间分成四个区域． 其中错误说法的序号是 ． 【答案】②③ 【分析】根据平面的基本性质和推论分析各个说法即可. 【解析】①：由基本事实可知说法正确； ②：四边形可能是空间四边形，所以说法错误； ③：三条直线两两相交可能确定一个平面也可能确定三个平面， 若三条直线在同一平面内两两相交，则确定一个平面； 若三条直线不在同一平面内，例如在三棱锥中，可确定出平面，平面，平面， 所以说法错误； ④：平面可以无限延展，如图所示，两个相交平面可将空间分为四个区域，所以说法正确； 故答案为：②③. 6．（2025高二·四川达州·期中）两个平面把空间最多分成 个部分. 【答案】4 【分析】两个平面分平行、相交两种情况讨论，从而可得结果. 【解析】空间中两个平面的位置关系是平行或相交， 若两个平面平行，则可将空间分成3部分， 若两个平面相交，可将空间分成4部分， 所以两个平面可以将空间最多分成 4个部分. 故答案为：4． 7．（2025高二·上海月考）有下列四个说法：①过三点确定一个平面；②四边形是平面图形，③三条直线两两相交则确定一个平面，④两个相交平面把空间分成四个区域.其中错误说法的序号是 . 【答案】①②③ 【分析】根据平面的基本性质和推论，对题目中的命题进行分析，或举反例判断即可. 【解析】①过不共线的三点有且只有一个平面. 若三点共线，则过三点的平面有无数个，不能确定平面，故①错误； ②四边形可能是平面图形也可能是空间图形.    如图三棱锥中，四边形不是平面图形，故②错误； ③三条直线两两相交可能确定一个平面也可能确定三个平面， 如图三棱锥中，三条直线两两相交，且交于一点， 可确定平面，平面，平面三个平面，故③错误； ④平面是无限延展的，如图，两个相交平面把空间分成四个区域，故④正确.    故答案为：①②③. 8．（2025高二·上海·课堂例题）1个平面把空间分成2部分，2个平面把空间分成3或4部分，3个平面把空间分成几部分？ 【答案】3个平面可将空间分成4、6、7、8部分 【分析】通过画图即可得答案. 【解析】当3个平面互相平行时，可将空间分为4个部分，如图， 当3个平面交于一条直线或第三个平面分别交两个平行平面时，可将空间分为6个部分，如图， 当3个平面两两相交且交线互相平行时，可将空间分为7个部分，如图， 当3个平面如上图所示的两两相交时，可将空间分为8部分，如图， 因此3个平面可将空间分为4、6、7、8个部分. 题型3：对基本事实及推论的理解 9．（2025高二·上海浦东新·期末）下列条件不能确定一个平面的是（    ） A．不共线三点 B．直线和直线上一点 C．两条平行直线 D．两条相交直线 【答案】B 【分析】根据确定平面的公理及其推论，即可判断． 【解析】经过不共线三点，有且只有一个平面，故A不符合题意； 经过直线和直线上一点，有无数个平面，故B符合题意； 经过两条平行直线，有且只有一个平面，故C不符合题意； 经过两条相交直线，有且只有一个平面，故D不符合题意． 故选：B． 10．（2025高三·内蒙古赤峰月考）已知直线l和平面，若，，则过点P且平行于l的直线（    ）． A．只有一条，不在平面内 B．只有一条，且在平面内 C．有无数条，一定在平面内 D．有无数条，不一定在平面内 【答案】B 【分析】过直线外一点作该直线的平行线有且只有一条，即可得到答案. 【解析】过直线外一点作该直线的平行线有且只有一条，因为点P在平面内，所以这条直线也应该在平面内. 故选：B. 11．（2025高一·全国月考）下列结论中正确的是（    ） A．若两个平面有一个公共点，则它们有无数个公共点 B．若已知四个点不共面，则其中任意三点不共线 C．若点既在平面内，又在平面内，则与相交于，且点在上 D．任意两条直线不能确定一个平面 【答案】ABC 【分析】由基本事实可判断选项A，B和选项C；由两条直线平行或相交，可以确定一个平面，判断出选项D． 【解析】由基本事实可知，若两个不重合的平面有一个公共点，则它们相交于过这一点的一条直线，有无数个公共点， 因此选项A正确；选项B正确；选项C符合基本事实，因此选项C正确； 若两条直线平行或相交，则可以确定一个平面，因此选项D错误． 故选：ABC 12．（2025高一·全国月考）下面说法中正确的是（    ） A．任何一个平面图形都是一个平面 B．平静的太平洋面是平面 C．平面就是平行四边形 D．在几何体的直观图中，平面多边形和圆、椭圆都可以表示一个平面 【答案】D 【分析】根据平面的概念，逐项判定，即可求解. 【解析】对于A中，平面是无限延展的，所以一个平面图形不是一个平面，所以A不正确； 对于B中，平静的太平洋面是个有边界的图形，不是平面，所以B不正确； 对于C中，平面可以用平行四边形表示，但平面不是是平行四边形，所以C不正确； 对于D中，在几何体的直观图中，平面多边形和圆、椭圆都可以表示一个平面，所以D正确. 故选：D. 13．（2025高一·黑龙江·期中）在空间中，下列命题不正确的是（    ） A．若两个平面有一个公共点，则它们有无数个公共点．且在一条直线上 B．若已知四个点不共面，则其中任意三点不共线 C．梯形可确定一个平面 D．任意三点能确定一个平面 【答案】D 【分析】利用平面的相关公理和推论逐项进行判断即可求解. 【解析】对于选项A，若两个平面有一个公共点，则它们有经过该公共点的一条直线，即两平面有无数个公共点，故选项A正确； 对于选项B，若已知四个点不共面，则其中任意三点不共线，否则，若存在三点共线，则问题转化为一条直线与直线外一点，则四点共面，故选项B正确； 对于选项C，因为两条平行直线确定一个平面，所以梯形可确定一个平面，故选项C正确； 对于选项D，共线的三点不能确定一个平面，故选项D错误； 故选：D. 14．（2025高二·上海静安·期末）下列命题中真命题是（    ） A．四边形一定是平面图形 B．相交于一点的三条直线只能确定一个平面 C．四边形四边上的中点可以确定一个平面 D．如果点，，平面，且，，平面，则平面与平面为同一平面 【答案】C 【分析】利用平面的基本性质逐一判断即可． 【解析】对于A，四边形有平面四边形和空间四边形，由不共面的四个点构成的四边形为空间四边形，故A错误； 对于B，三棱锥三条侧棱所在的直线相交于一点，但这三条直线不共面，故B错误； 对于C，由四边形四边上的中点连线为平行四边形，平行四边形对边平行，所以四边形四边上的中点可以确定一个平面，故C正确； 下面证明四边形四边上的中点连线为平行四边形． 证明：如图为四边形，其中，，，分别为，，，的中点， 连接，，， 由，为，，则，且，同理，且， 所以，且，所以四边形为平行四边形． 对于D，当点，，在一条直线上时，平面和与平面也可能相交，故D错误． 故选：C． （二） 点、线共面问题 证明点、线共面问题的常用方法 (1)先由部分点、线确定一个面，再证其余的点、线都在这个平面内，即用“纳入法”. (2)先由其中一部分点、线确定一个平面α，其余点、线确定另一个平面β，再证平面α与β重合，即用“同一法”. 题型4：点共面与线共面问题 15．（2025高一·宁夏固原·期末）在正方体中，、、、分别是该点所在棱的中点，则下列图形中、、、四点共面的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】对于B，证明即可；而对于BCD，首先通过辅助线找到其中三点所在的平面，然后说明另外一点不在该平面中即可. 【解析】对于选项，如下图，点、、、确定一个平面，该平面与底面交于，而点不在平面上，故、、、四点不共面； 对于选项，连结底面对角线，由中位线定理得，又，则，故、、、四点共面 对于选项C，显然、、所确定的平面为正方体的底面，而点不在该平面内，故、、、四点不共面； 对于选项D，如图，取部分棱的中点，顺次连接，得一个正六边形，即点、、确定的平面，该平面与正方体正面的交线为，而点不在直线上，故、、、四点不共面． 故选：B 16．（2025高一·全国月考）以下四个命题中，不正确的命题是（    ） A．不共面的四点中，其中任意三点不共线 B．若点共面，点共面，则共面 C．若直线共面，直线共面，则直线共面 D．依次首尾相接的四条线段必共面 【答案】BCD 【分析】利用反证法可知正确；直线与直线异面时，不共面，判断；中可为异面直线，判断；中四条线段可构成空间四边形，判断. 【解析】选项：若任意三点共线，则由该直线与第四个点可构成一个平面，则与四点不共面矛盾，则任意三点不共线，正确； 选项：若三点共线，直线与直线异面，此时不共面，错误； 选项：共面，共面，此时可为异面直线，错误； 选项：依次首尾相接的四条线段可构成空间四边形，错误. 故选：BCD 17．（2025高一·江苏月考）如图所示，在正方体中，为的中点，直线交平面于点，则下列结论正确的是（    ） A．，，三点共线 B．，，，四点共面 C．，，，四点共面 D．，，，四点共面 【答案】ABC 【分析】根据点与线、点与面、线与面的位置关系判断即可； 【解析】解：在正方体中，为的中点，直线交平面于点， 在选项中，直线交平面于点， 平面，直线，又平面，平面， 为的中点，平面，底面为正方形，所以为的中点， 平面，且平面， 又平面，且平面， ，，三点共线，故选项正确； 在选项中，，，三点共线，，，，四点共面，故正确； 在选项中，，，三点共线，，，，四点共面，故正确； 在选项中，直线，， ，，，四点不共面，故错误． 故选：． 18．（2025高一·江苏月考）如图所示，，，．求证：直线，，在同一平面内． 【答案】证明见解析 【分析】方法一：由，可得和确定一个平面，再由，，可得，，从而可得，进而可得结论， 方法二：由，可得和确定一个平面，由，可得，确定一个平面，然后证两平面重合即可 【解析】证明  方法一（纳入平面法） ∵，∴和确定一个平面． ∵，∴．又∵，∴．同理可证． ∵，，∴．∴直线，，在同一平面内． 方法二（辅助平面法） ∵，∴和确定一个平面． ∵，∴，确定一个平面． ∵，，∴．∵，，∴． 同理可证，，，． ∴不共线的三个点，，既在平面内，又在平面内， ∴平面和重合，即直线，，在同一平面内． 19．（2025·宁夏固原·模拟预测）在正方体中，是的中点，直线交平面于点，则下列结论正确的是（    ） ①､､三点共线； ②､､､四点共面； ③､､､四点共面； ④､､､四点共面. A．①② B．①②③④ C．①②③ D．①③④ 【答案】A 【分析】根据图示可得三点，，在平面与平面的交线上，可判断①； 根据公理可得，确定一个平面，可判断②； 根据异面直线的判定定理可得与为异面直线，故､､､四点不共面，可判断③； 根据异面直线的判定定理可得与异面直线，故､､､四点不共面，可判断④. 【解析】解：∵，平面，∴平面. ∵，平面，∴平面， ∴是平面和平面的公共点； 同理可得，点和都是平面和平面的公共点， ∴三点，，在平面与平面的交线上， 即，，三点共线.故①正确. ∵，，∴，，确定一个平面， 又，平面，∴平面，故②正确. 根据异面直线的判定定理可得与为异面直线，故､､､四点不共面，故③不正确. 根据异面直线的判定定理可得与异面直线，故､､､四点不共面，故④不正确. 故选：A. 题型5：线共点与点共线问题 20．（2025高一·山东聊城·期中）在三棱锥的边上分别取E、F、G、H四点，如果，则点P（    ） A．一定在直线上 B．一定在直线上 C．在直线或上 D．不在直线上，也不在直线上 【答案】A 【分析】根据点、线、面的位置关系，可得答案. 【解析】由，则平面，由，则平面， 同理可得平面，由平面平面，则. 故选：A. 21．（2025高二·内蒙古呼伦贝尔·期末）已知在平面外，三边、、所在的直线分别与平面交于．求证：共线． 【答案】证明见解析 【分析】推导出都在平面与平面的交线上，即可证明. 【解析】∵，∴，平面. 又平面，∴平面. ∴由基本事实3可知：点在平面与平面的交线上， 同理可证也在平面ABC与平面α的交线上, ∴共线. 22．（2025高二·四川乐山·期末）如图所示，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，A1C与截面DBC1交于O点，AC，BD交于M点，求证：C1，O，M三点共线． 【答案】证明见解析 【分析】欲证C1，O，M三点共线，只须证它们都在平面A1ACC1与平面DBC1的交线上，根据立体几何中的公理可知，只要说明C1，O，M三点是平面A1ACC1与平面DBC1的公共点即可． 【解析】证明：如图，因为C1∈平面A1ACC1，且C1∈平面DBC1 ∴C1是平面A1ACC1与平面DBC1的公共点，又因为M∈AC，所以M∈平面A1ACC1 ∵M∈BD，∴M∈平面DBC1，∴M也是平面A1ACC1与平面DBC1的公共点 ∴C1M是平面A1ACC1与平面DBC1交线 ∵O是A1C与平面DBC1的交点，∴O∈平面A1ACC1，O∈平面DBC1 ∴O也是平面A1ACC1与平面DBC1的公共点 ∴O∈直线C1M，即C1，O，M三点共线． 【点睛】关键点睛：解决本题的关键在于证明C1，O，M三点都在平面A1ACC1与平面DBC1的交线上，再结合公理三进行求解. 23．（2025高一·全国月考）如图，已知平面，且，设在梯形中，，且.求证：共点． 【答案】证明见解析 【分析】设交于点，再根据若两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线，即可得证. 【解析】如图，梯形中，因为， 所以与必交于一点， 设交于点，则， 又因为， 所以， 又因为，所以， 所以共点． 24．（2025高一·全国月考）如图，在空间四边形中，，分别是，的中点，，分别是边，上的点，且．求证：直线，，相交于一点． 【答案】证明见解析 【分析】先通过中点以及线段比例关系证明，然后说明与交于一点，结合点在两个平面内这一特点说明三线共点. 【解析】在空间四边形中，连接， ∵分别为的中点，则，且， 又由，则，且， 故，且，故四边形为梯形，与交于一点， 设与交于点，如图， 由于平面，故点在平面内，同理点在平面内， 又∵平面平面，∴点在直线上， 故直线相交于一点． 25．（2025高一·全国月考）如图所示，已知棱长为1正方体中，点分别是棱的中点．    求证：三条直线交于一点； 【答案】证明见解析 【分析】根据分别是棱的中点可得，利用等角定理可得三点共线，同理可得三点共线；即三条直线交于一点O． 【解析】延长交的延长线于点O，如下图所示：    易得． 在与中， ，所以 所以，由等角定理可知三点共线； 同理可得三点共线； ∴三条直线交于一点O． 26．（2025高一·安徽合肥·期中）在四面体中，，分别是，的中点，，分别是边，上的点，且．求证：    (1)，，，四点共面； (2)直线，，相交于一点． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据基本事实的推论证明即可； （2）根据基本事实3证明即可. 【解析】（1）    连接，， 在三角形中，，所以， ∵，分别是边，的中点， ∴， ∴，，，，四点共面. （2）∵，为中点， ∴与不平行， ∵平面， ∴与相交， 设， ∵，平面， ∴平面，同理平面， ∵平面平面， ∴， ∴直线，，相交于一点. （三） 两直线位置关系的判定 判断空间两条直线位置关系的决窍 (1)建立空间观念全面考虑两条直线平行、相交和异面三种位置关系，特别关注异面直线. (2)重视长方体、正方体等常见几何体模型的应用，会举例说明两条直线的位置关系. 题型6：两直线位置关系的判定 27．（2025高一·安徽合肥·期中）异面直线是指（    ） A．不同在任何一个平面内的两条直线 B．平面内的一条直线与平面外的一条直线 C．分别位于两个不同平面内的两条直线 D．空间中两条不相交的直线 【答案】A 【分析】利用定义可以判断选项A正确,借助空间想象力判断选项BCD错误. 【解析】解：A. 异面直线是指不同在任何一个平面内的两条直线，所以该选项正确； B. 平面内的一条直线与平面外的一条直线，可能平行、异面和相交，所以该选项错误； C. 分别位于两个不同平面内的两条直线，不一定是异面直线，也有可能平行、异面和相交，所以该选项错误； D. 空间中两条不相交的直线，可能异面或者平行，所以该选项错误. 故选：A 28．（2025高一·全国月考）若a和b是异面直线，b和c是异面直线，则a和c的位置关系是（    ） A．平行 B．异面 C．相交 D．平行、相交或异面 【答案】D 【分析】借助长方体中的棱长所在直线直接来判断关系. 【解析】如图，在长方体中，所在直线为a，AB所在直线为b， 已知a和b是异面直线，b和c是异面直线， 则c可以是长方体中的，，. 故a和c可以平行、相交或异面． 故选：D 29．（2025高一·全国月考）以下四个图中，表示直线与平行的是（    ） A．B． C．D． 【答案】C 【分析】根据两直线的位置关系的定义结合图形一一判断求解. 【解析】 对A，如图，若直线与平行，则共面，与图示矛盾，故A错误； 对B，根据图示，直线与异面，B错误； 对C，根据三角形的相似关系可得直线与平行，C正确； 对D，如图，若直线与平行，则共面，与图示矛盾，故D错误； 故选:C. 30．（2025高一·全国月考）已知、是异面直线，是、外一点，经过点且与、都相交的直线有（    ） A．至少1条 B．最多1条 C．有且只有1条 D．可能为0条也有可能多于1条 【答案】B 【分析】利用构造法说明可以存在条或条，利用反证法说明不存在条以上的直线符合题意，即可判断. 【解析】解：设与所确定的平面为，若与交于点，当不平行于时，与异面直线、都相交， 当或时，过点与异面直线、都相交的直线不存在； 假设有过点的两条直线、都与异面直线、相交，相交直线、共面， 则直线、上分别有两点在面上，所以直线、在面内，与、异面矛盾. 故选：B 31．（2025高二·上海·期末）如果直线a和b没有公共点，那么a与b（　　） A．共面 B．平行 C．可能平行，也可能是异面直线 D．是异面直线 【答案】C 【分析】根据直线a和b没有公共点，结合空间直线的位置关系进行判断． 【解析】∵直线a和b没有公共点， ∴直线a与b不是相交直线． ∴直线a与b可能是相交直线或异面直线． 故选：C． 32．（2025高一·山西运城·期中）已知空间中两个角，，且角与角的两边分别平行，若，则（    ） A．30° B．150° C．30°或150° D．60°或120° 【答案】C 【分析】由于角与角的两边分别平行，所以角与角相等或互补，从而可求得的值 【解析】∵角与角的两边分别平行， ∴与相等或互补，又，∴或150°. 故选：C （四） 直线与平面的位置关系 在判断直线与平面的位置关系时，三种情形都要考虑到，避免疏忽或遗漏，另外，我们可以借助空间几何图形，把要判断关系的直线、平面放在某些具体的空间图形中，便于作出正确判断，避免凭空臆断． 题型7：直线与平面的位置关系 33．（2025高二·上海青浦·期末）若一直线上有两点到一个平面的距离都等于1，则该直线与这个平面的位置关系是（    ）． A．直线在平面内 B．直线与平面相交或平行 C．直线与平面相交 D．直线平行平面 【答案】B 【分析】根据直线与平面的位置关系，结合题意，进行判断. 【解析】结合题意：要使一条直线的两点到一个平面的距离为1，则由线面位置关系可得： 当时，可满足题意； 当与相交时，在面的异侧各有一个点可满足题意； 当时，无法满足题意. 故直线与平面相交或平行. 故选：B. 34．（2025高三·浙江宁波·期末）如图， 在正方体中， 点分别为的中点， 设过点的平面为， 则下列说法正确的是（    ） A．在正方体中， 存在某条棱与平面平行 B．在正方体 中， 存在某条面对角线与平面平行 C．在正方体 中， 存在某条体对角线与平面平行 D．平面截正方体所得的截面为五边形 【答案】D 【分析】根据题意可得 交平面于点， 交平面于点， 交平面于点， 故不存在某条棱与平面平行，即可以判断选项A错误； 由六个面的12条面对角线与平面都相交，即可判断选项B错误； 体对角线全部与面相交，即可判断选项C错误； 补全图形可得平面截正方体所得的截面为五边形，即可以判断选项D正确. 【解析】对于选项A，交平面于点，平面， 都不与平面平行， 交平面于点，平面， 都不与平面平行，   交平面于点，平面， 都不与平面平行， 故A错误； 观察几何体可知六个面的12条面对角线与平面都相交， 故B错误； 四条体对角线全部与面都相交， 故C错误. 如下图，取中点为，易得， 取中点为，连接，易得， 再取中点为，连接，则， ， 是平面与正方体底面的交线， 延长，与的延长线交于，连接，交于， 则可得五边形即为平面交正方体的截面， 故D正确；            故选：D. 35．（2025高二·天津和平·期中）如果直线平面，直线平面，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据点线、线面关系可得，再结合已知即可判断的关系. 【解析】∵， ∴，同理，. 又，则. 故选：A. 36．（2025高一·辽宁沈阳月考）若一直线上有一点在已知平面外，则下列结论中正确的是（    ） A．直线与平面平行 B．直线与平面相交 C．直线上至少有一个点在平面内 D．直线上有无数多个点都在平面外 【答案】D 【分析】根据直线与平面、点与平面位置关系依次判断各个选项即可. 【解析】对于A，若直线与平面相交，此时除交点外，其余点都在平面外，A错误； 对于BC，若直线与平面平行，则所有点都在平面外，BC错误； 对于D，直线无论与平面相交还是平行，则都有无数个点在平面外，D正确. 故选：D. 37．（2025高一·全国月考）如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是A1B1和BB1的中点，则下列直线与平面的位置关系是什么？ （1）AM所在的直线与平面ABCD； （2）CN所在的直线与平面ABCD； （3）AM所在的直线与平面CDD1C1； （4）CN所在的直线与平面A1B1C1D1. 【答案】（1）相交；（2）相交；（3）平行；（4）相交. 【分析】根据线面位置关系的定义可判断. 【解析】（1）平面ABCD，平面ABCD，AM所在的直线与平面ABCD相交. （2）平面ABCD，平面ABCD，CN所在的直线与平面ABCD相交. （3）因为在正方体中，平面平面CDD1C1,平面,所以AM所在的直线与平面CDD1C1平行. （4）因为CN所在的直线与平面ABCD相交，平面平面，所以CN所在的直线与平面A1B1C1D1相交. （五） 平面与平面的位置关系 利用正方体(或长方体)这个“百宝箱”能有效地判断与两个平面的位置关系有关命题的真假，另外先假设所给定的结论成立，看是否能推出矛盾，也是一种判断两平面位置关系的有效方法. 题型8：平面与平面的位置关系 38．（2025高一·全国月考）平面上有三个不共线点到平面距离相等，则平面与平面的位置关系是（    ） A．相交 B．平行 C．垂直 D．相交或平行 【答案】D 【分析】根据面面关系结合图形来分析判断. 【解析】如图1，若，则平面上任一点到平面距离相等，故平面上一定存在三个不共线点到平面距离相等； 如图2，若与相交，则平面上一定存在位于异侧的三个不共线点到平面距离相等； 故平面与平面的位置关系是相交或平行. 故选：D. 39．（2025高一·全国月考）已知点是平面外的两点,则过点与平行的平面有 个. 【答案】0或1 【解析】分类讨论点与平面的位置关系,然后再判定是否存在与平行的平面. 【解析】当两点在平面两侧时,不存在这样的平面与平行; 当两点在平面同侧时,若直线面,则存在一个平面与平面平行;若两点在平面同侧时,直线与平面不平行,不存在这样的平面. 故答案为:或 【点睛】本题考查了点与面、面与面的位置关系,需要注意分类讨论,在不同情况下可能出现的情况不同,尤其是在同侧的情况. 40．（2025高一·安徽马鞍山·期中）如图，已知分别是正方体的棱的中点，. (1)证明：直线交于同一点； (2)作出过三点的截面（写出作图过程，保留作图痕迹），并计算截面图形的周长. 【答案】(1)证明见解析 (2)答案见解析， 【分析】（1）先证明，可推得相交于点，再证明即可； （2）依次连接，易证，可得四点共面，即得截面，求其各边长即得截面周长. 【解析】（1）证明:正方体中，如图连接， 因，则四边形是平行四边形，则， 因分别是的中点，则， 故，所以四点共面，因， 则相交，设交点为，则，而平面，则平面， 同理平面，而平面平面 故，即点在直线上，所以直线交于同一点. （2） 如图所示，依次连接， 易证，故四点共面. 则即为所求截面. 而， 所以的周长为. 41．（2025高三·山西月考）已知是两条不同的直线是两个不同的平面，，则（    ） A．不平行是不平行的充分条件 B．不相交是不相交的必要条件 C．垂直且相交是垂直的充分条件 D．平行或相交是异面的必要条件 【答案】BD 【分析】采用逐一验证法，根据线线、线面、面面的位置关系以及相关的判定定理和性质定理，直接判断可得结果. 【解析】不平行，有可能平行，故A错误； 若不相交，则不相交，故B正确； 若垂直相交，，可能不垂直，故C错误； 若异面，则平行或相交，故D正确. 故选：BD. 一、单选题 1．（2023高二下·辽宁·学业考试）乒乓球是一项深受我国广大人民群众喜爱的体育运动，乒乓球台主要由乒乓球网和台面组成．如图所示，如果将乒乓球台的台面抽象成平面α，将乒乓球网的上边缘抽象成直线，则直线l与平面α的位置关系是（    ）． A． B． C． D．l与α相交 【答案】C 【分析】利用线面平行的判定定理证明即可. 【详解】由题意得，且平行于乒乓球网的下边缘， 而乒乓球网的下边缘在平面内， 由线面平行的判定定理得成立，故C正确. 故选：C 2．（2025高三·全国·专题练习）如图所示，在正方体中，点为线段上的动点，则下列直线中，始终与直线异面的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据异面直线的定义一一判断即可. 【详解】由正方体的性质易知当为的中点时，为的中点， 而，所以共面，则、在平面上，故A不符题意； 因为，即共面， 易知平面，而平面，，， 故与异面，故B符合题意； 当、重合时，易知， 则四边形是平行四边形，则此时，故C不符合题意； 当、重合时，显然，相交，故D不符合题意. 故选：B. 3．（2025高三·全国·专题练习）已知点M是平行六面体的面对角线上的动点，则下列直线中与恒为异面直线的是（ ） A． B． C．CD D． 【答案】C 【分析】举反例，排除ABD，结合异面直线定义证明C正确. 【详解】对于A，当点位于位置时，直线与直线相交，故A错误； 对于D，当点位于位置时，直线与直线相交，故D错误； 对于B，当点位于的中点时，如图， 因为四边形为平行四边形，所以也为的中点， 因为，所以四点共面，所以与共面，故B错误； 对于C，直线平面，直线平面， 点不在直线上，所以直线与直线为异面直线，故C正确； 故选：C. 4．（24-25高一下·湖南·期中）下列说法正确的是（   ） A．三点确定一个平面 B．水平放置的矩形的直观图是平行四边形 C．若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都平行 D．以直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥 【答案】B 【分析】根据公理判定A的真假；根据斜二测画法的规则判断B的真假；根据线面平行的性质判断C的真假；根据圆锥的概念判断D的真假. 【详解】共线的三点不能确定一个平面，故A错误； 由斜二测画法规则知，B正确； 若直线与平面平行，则与平面内的直线有可能异面，故C错误； 以直角三角形的斜边为轴旋转一周所得的旋转体是两个圆锥的组合体，故D错误． 故选：B 5．（2025高二下·湖南娄底·学业考试）在长方体中，下列直线位置关系判断正确的是（   ） A．直线AB与AC异面 B．直线AC与相交 C．直线与AC异面 D．直线与相交 【答案】C 【分析】利用长方体中的线线位置关系，可逐一判断各选项. 【详解】 如图，连接， 对于A，因，故直线AB与AC相交，不异面，故A错误； 对于B，因， ，故得，则有， 故直线AC与不可能相交，故B错误； 对于C，因平面， 平面， 平面， 故直线与AC异面，即C正确； 对于D，因， ，故得，则， 而与相交，故直线与异面，故D错误. 故选：C. 6．（24-25高三下·辽宁沈阳·阶段练习）已知两个不同的平面和两条不同的直线满足，则“平行”是“不相交”的（    ） A．充要条件 B．充分非必要条件 C．必要非充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据两平面平行的定义，结合，可得判定充分性成立，结合反例图象，可判定必要性不成立，即可得到答案. 【详解】当，则平面与平面，没有公共点， 若，则直线没有公共点，所以不相交，即充分性成立； 如图所示，若不相交，且，则平面与平面不一定平行， 即必要性不成立， 所以“平行”是“和不相交”的充分非必要条件， 故选：B. 二、多选题 7．（23-24高一下·吉林·期中）如图，这是一个正方体的展开图，若将它还原为正方体，则（    ） A． B． C．直线与异面 D．直线与异面 【答案】AD 【分析】根据题意，画出该正方体的直观图，结合正方体的结构特征依次分析选项，综合可得答案. 【详解】根据题意，画出该正方体的直观图， 对于A，易得，A正确； 对于B，与异面，B错误； 对于C，直线与相交，C错误； 对于D，直线与异面，D正确. 故选：AD. 8．（2025高三·全国·专题练习）如图是正方体或四面体，分别是所在棱的中点，则这四个点共面的图是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据平面基本性质判断各个选项，根据线线平行得出四点共面，根据两直线异面得出四点不共面判断即可. 【详解】对于，故四点共面； 对于B,,故四点共面； 对于C,,故四点共面； 对于D,因为平面,平面,不过,所以与异面，所以四点不共面. 故选：ABC. 9．（24-25高二下·湖南娄底·阶段练习）正方体中，与棱异面的棱有（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】先作出符合题意的正方体，再利用正方体的性质求解即可. 【详解】如图，我们作出符合题意的正方体，    由正方体的性质得与棱异面的棱有，，，，共4条， 而本题中符合题意的有和，故C，D正确. 故选：CD 三、填空题 10．（23-24高二上·上海·阶段练习）在空间中，下列说法：（1）一条直线和两条平行直线中的一条相交，必和另一条也相交；（2）一条直线和两条平行直线中的一条确定一个平面，必和另一条也确定一个平面；（3）一条直线和两条平行直线中的任何一条都无公共点，当它和其中一条是异面直线时，它和另一条也必是异面直线；（4）一条直线和两条平行直线中的任何一条都无公共点，则这三条直线平行．其中正确的序号是 ． 【答案】（3） 【分析】由空间中直线与直线的位置关系，结合异面直线的定义逐一分析四个选项得答案． 【详解】对于（1），一条直线和两条平行直线中的一条相交， 则和另一条相交或异面，故（1）错误； 对于（2），一条直线和两条平行直线中的一条确定一个平面， 设，l与a确定一个平面，则l与a平行或相交， 如下图l与a相交的情况，l与b异面，故（2）错误； 对于（3），一条直线和两条平行直线中的任何一条都无公共点， 当它和其中一条是异面直线时，它和另一条如果不是异面直线，即与另一条平行， 由平行公理知：三条直线互相平行，与题设有矛盾，故（3）正确； 对于（4），一条直线和两条平行直线中的任何一条都无公共点， 则这三条直线平行或直线与两平行直线都异面，故（4）错误． 故答案为：（3）. 11．（2024高三·全国·专题练习）如图，在正方体中，分别为B′C′，A′D′的中点，则平面与平面 ． 【答案】相交 【分析】根据平面与平面的位置关系判断出正确答案. 【详解】在正方体中，E为的中点，所以与不平行， 则延长与BB′必相交于一点，设交点为H， 所以，， 又平面，平面， 所以平面，H∈平面， 故平面与平面相交． 故答案为：相交 12．（21-22高一·江苏·课后作业）设分别是空间四边形的边，，，的中点，若，则四边形的形状是 . 【答案】矩形 【分析】画出图形，根据中位线定理可得为平行四边形，再根据即可求解. 【详解】如图所示， 因为分别是空间四边形的边，，，的中点， 所以，且，，且， 所以四边形为平行四边形. 又，，， 所以, 则四边形的形状是矩形. 故答案为：矩形. 13．（24-25高二上·上海·期中）已知，是两条直线，则“，没有公共点”是“，是异面直线”的 条件．（填“充分非必要”，“必要非充分”，“充要”或“既非充分又非必要”） 【答案】必要非充分 【分析】，没有公共点，此时，平行，或，是异面直线，从而得到答案. 【详解】，没有公共点，故，平行，或，是异面直线， 故“，没有公共点”是“，是异面直线”的必要非充分条件. 故答案为：必要非充分 14．（24-25高二上·上海浦东新·期中）如图，正六棱柱中与直线异面的侧棱共有 条． 【答案】 【分析】分别写出与平行的侧棱，以及相交的侧棱，即可得出答案. 【详解】根据正六棱柱的性质结合图象可得， 侧棱中，没有与平行的直线； 与相交的有，共2条. 又正六棱柱的侧棱，共有6条， 所以与直线异面的侧棱共有条. 故答案为：4. 四、解答题 15．（23-24高二上·四川乐山·阶段练习）在空间四边形ABCD中，H，G分别是AD，CD的中点，E，F分别边AB，BC上的点，且．求证： (1)四边形EFGH为梯形； (2)直线EH，BD，FG相交于一点． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）作出辅助线，由中位线得到平行关系及比例关系，进而得到，且，故四边形为梯形； （2）由（1）得到相交于一点，因为平面，平面，而平面平面，所以，证明出结论. 【详解】（1）由题意，作图如下： 连接、，因为空间四边形中，分别是的中点， 所以，且， 又因为，所以，且， 所以，且， 故四边形为梯形. （2）由（1）知四边形为梯形，且是梯形的两腰， 所以相交于一点. 设交点为， 因为平面，所以平面， 同理平面，而平面平面，所以， 故点是直线的公共点，即直线相交于一点. 16．（24-25高二上·上海·阶段练习）如图，在正方体中，点、分别是、的中点．求证：    (1)直线和在同一平面上； (2)直线、和交于一点． 【答案】(1)证明见详解； (2)证明见详解. 【分析】（1）连结，根据点分别是的中点，利用平行关系的传递性得到∥即可; （2）易得与相交，设交点为P，则能得到平面，平面，结合平面平面，即可得证； 【详解】（1）如图，连结.    ∵点分别是的中点，∴. ∵四边形为平行四边形，∴， ∴， ∴四点共面，即和共面． （2）证明：正方体中， ∵点分别是的中点，∴且 ∵四边形为平行四边形，∴，且 ∴∥且 ∴与相交，设交点为P， ∵，平面，∴平面； 又∵，平面，∴平面， ∵平面平面，∴， ∴三线交于点P. 17．（24-25高二上·上海·阶段练习）如图，在四面体中，、分别是、的中点，、分别在、上，且． (1)求证：、、、四点共面； (2)设与交于点，求证：、、三点共线． 【答案】(1)证明过程见解析 (2)证明过程见解析 【分析】（1）根据三角形中位线定理、平行线的性质，结合基本事实进行证明即可； （2）根据面面交成线进行证明即可. 【详解】（1）因为、分别是、的中点， 所以， 又因为、分别在、上，且． 所以，于是有， 所以、、、四点共面； （2）∵EG与HF交于点P， ∴P在面ABC内， 同理P在面DAC内. 又∵面面， ∴P在直线AC上，∴P、A、C三点共线． 18．（24-25高一下·全国·课后作业）如图，已知：，，，，，求证：．    【答案】证明见解析 【分析】运用平面当中的点，线，面相关定理证明即可. 【详解】  ，与确定一个平面． 直线，点．，，． 又，与重合，． 19．（24-25高二上·上海·阶段练习）如图，已知，，，分别是空间四边形的边，，，的中点. (1)若，判断四边形的形状： (2)证明：和是异面直线. 【答案】(1)菱形； (2)证明见解析 【分析】（1）先证明四边形为平行四边形，再由证明它是菱形即得； （2）运用反证法思路，先假设和共面，即共面，与题设产生矛盾，得出假设不成立即可. 【详解】（1）因为，，，分别是空间四边形的边，，，的中点， 所以线段是的中位线，所以且， 同理可得且， 即，，所以四边形为平行四边形， 又同理可得且，且，所以， 故平行四边形为菱形； （2）假设和不是异面直线，则与平行或相交， 即与确定一个平面，则，，，， 这与四边形为空间四边形矛盾，故和是异面直线. 20．（24-25高一下·安徽马鞍山·期中）如图，已知分别是正方体的棱的中点，. (1)证明：直线交于同一点； (2)作出过三点的截面（写出作图过程，保留作图痕迹），并计算截面图形的周长. 【答案】(1)证明见解析 (2)答案见解析， 【分析】（1）先证明，可推得相交于点，再证明即可； （2）依次连接，易证，可得四点共面，即得截面，求其各边长即得截面周长. 【详解】（1）证明:正方体中，如图连接， 因，则四边形是平行四边形，则， 因分别是的中点，则， 故，所以四点共面，因， 则相交，设交点为，则，而平面，则平面， 同理平面，而平面平面 故，即点在直线上，所以直线交于同一点. （2） 如图所示，依次连接， 易证，故四点共面. 则即为所求截面. 而， 所以的周长为. 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$