精品解析：山西省晋中市平遥县2024-2025学年八年级下学期4月期中数学试题

平遥县2024—2025学年度第二学期期中八年级数学学业水平质量监测试题（卷） （满分：100分 时间：90分钟） 一、选择题（本大题10个小题，每小题3分，共30分） 1. 下列现象中是平移的是（ ） A. 将一张纸对折 B. 电梯的上下移动 C. 摩天轮的运动 D. 翻开书的封面 【答案】B 【解析】 【分析】根据平移的概念，依次判断即可得到答案； 【详解】解：根据平移的概念：把一个图形整体沿某一的方向移动，这种图形的平行移动，叫做平移变换，简称平移，判断： A、将一张纸对折，不符合平移定义，故本选项错误； B、电梯的上下移动，符合平移的定义，故本选项正确； C、摩天轮的运动，不符合平移定义，故本选项错误； D、翻开的封面，不符合平移的定义，故本选项错误． 故选B． 【点睛】本题考查平移的概念，在平面内，把一个图形整体沿某一的方向移动，这种图形的平行移动，叫做平移变换，简称平移． 2. 若x＞y，则下列各式正确的是（ ） A. x－6＜y－6 B. C. 2x＋1＞2y＋1 D. －x＞－y 【答案】C 【解析】 【分析】根据不等式的性质进行解答即可． 【详解】解：A、不等式两边都减去6，不等号的方向不变，即x-6＞y-6，原变形错误，故此选项不符合题意； B、不等式两边都除以3，不等号的方向不变，即，原变形错误，故此选项不符合题意； C、不等式两边都乘2，再加上1，不等号的方向不变，即2x+1＞2y+1，原变形正确，故此选项符合题意； D、不等式两边都乘-1，不等号的方向改变，即-x＜-y，原变形错误，故此选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了不等式的性质．解题的关键是熟练掌握不等式的性质：不等式两边都加上（或减去）一个数，不等号不改变方向；不等式两边都乘以（或除以）一个正数，不等号不改变方向；不等式两边都乘以（或除以）一个负数，不等号改变方向． 3. 《国家宝藏》节目立足于中华文化宝库资源，通过对文物的梳理与总结，演绎文物背后的故事，让更多的观众走进博物馆，让一个个馆藏文物鲜活起来．下面四幅图是我国一些博物馆的标志，可以看作是中心对称但不是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念，根据中心对称图形与轴对称图形的概念，进行判断即可．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 【详解】解：A、该图形既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项不合题意； B、该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意； C、该图形不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意； D、该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项符合题意； 故选：D． 4. 如图，在直角坐标系中，是等边三角形，若点的坐标是，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】过点A作AC⊥OB于C，根据等边三角形的定义及性质即可求出OA和OC，再利用勾股定理即可求出结论． 【详解】解：过点A作AC⊥OB于C， ∵是等边三角形，若点的坐标是， ∴OB=OA=4 ∴OC=2， ∴AC==， ∴A点的坐标是（2，）． 故选：B． 【点睛】此题考查的是等边三角形的性质和勾股定理，掌握三线合一、勾股定理和点的坐标求法是解题关键． 5. 已知点在第二象限，则的取值范围在数轴上表示正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中点的坐标特征、不等式组等知识点，根据各象限点的坐标特征列出不等式组是解题的关键． 根据平面直角坐标系中第二象限为得到不等式组，求出不等式组的解集并在数轴上表示出来，再结合选项即可解答． 【详解】解：∵点在第二象限， ∴得到不等式组， 解①得：， 解②得：， 在数轴上表示它们的解集如下： ． 故选：A． 6. 如图，是由绕点旋转得到，，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，三角形内角和定理等知识，利用旋转的性质得出，然后利用三角形内角和定理求出，利用等腰三角形的性质求出，即可求解． 【详解】解∶∵旋转， ∴， 又∵， ∴ ∴ ∴， 故选∶A． 7. 如图，一次函数的图象经过，两点，则解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查对一次函数与一元一次不等式的关系，用的数学思想是数形结合思想．由图象可知：，且当时，，即可得到不等式的解集 【详解】解：∵一次函数的图象经过， 根据图象得：当时，， 即：不等式的解集是． 故选D 8. 在平面直角坐标系中，线段AB的端点分别为，将线段AB平移到，且点的坐标为，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形变化-平移，根据点的坐标确定出平移规律，求出点的坐标即可，掌握平移规律是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴平移规律为向右平移个单位，向上平移个单位， ∵， ∴， 故选：B． 9. 如图，把一个含角的直角三角板放在一个直尺上，直角边，，斜边与直尺的两边分别交于点，，和.已知是等边三角形，，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据是等边三角形和,可推出，过点作,从而求得； 【详解】解：是等边三角形，， , 又， ， ， 过点作，，则， ， 故选择：D 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，解直接三角形，熟练掌握有关的性质和判定是解题的关键． 10. 城区某超市在双十一期间对顾客实行优惠，规定如右图：若张老师有两天去超市购物原价合计900元，若第一天购物的原价为a元，请你用含a的代数式表示张老师两天一共节省了（ ）元 一次性购物 优惠办法 少于200元 无优惠 低于500元但不低于200元 全部金额给予8折优惠 500元或超过500元 其中500元部分给予8折优惠；超过500元部分给予7折优惠 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了列代数式，整式加减的应用，根据题干提供的信息，分别表示出第一天和第二天的实际花费即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴张老师两天一共节省了： ； 故选：B． 二、填空题（本大题5个小题，每小题3分，共15分） 11. 甲种蔬菜保鲜适宜的温度是，乙种蔬菜适宜的温度是，将两种蔬菜放在一起同时保鲜，适宜的温度是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了不等式解集的应用，掌握相关知识是解题的关键．找出甲乙两种蔬菜保鲜适宜的温度范围的公共部分即可． 【详解】解：甲种蔬菜保鲜适宜的温度是，乙种蔬菜保鲜适宜的温度是， 将这两种蔬菜放在一起同时保鲜，适宜的温度是， 故答案为：． 12. 小军做了一个如图所示的风筝，其中EH=FH，ED=FD，小军说不用测量就知道DH是EF的垂直平分线．其中蕴含的道理是 _____ ． 【答案】与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线线上 【解析】 【分析】 【详解】解：其中蕴含的道理是：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上. 故答案为：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上. 13. 如图所示的是某公园里一处长方形风景欣赏区，长，宽，为方便游人观赏，公园特意修建了小路（图中非阴影部分），小路的宽均为．小明沿着小路的中间，从出口A到出口B所走的路线（图中虚线）长为_____________． 【答案】196 【解析】 【分析】本题考查了平移，熟练掌握平移的性质是解题关键．利用平移法可得横向距离等于的长，纵向距离等于，由此即可得． 【详解】解：由平移法得：小明所走的路线长为 ， 故答案为：196． 14. 在一次射击比赛中，某运动员前6次射击共中53环，如果他要打破89环(10次射击)的记录，那么第7次射击他至少要打出______环的成绩． 【答案】7 【解析】 【详解】分析：由题中的信息，要打破89环，则最少需要90环，设第7次成绩为x环，第8，9，10次的成绩都为10环，则可以列出不等式，从而得出答案． 详解：设他第7次射击的成绩为x环，得： 　53+x+30＞89， 解得：x＞6， 由于x是正整数且大于6，得：x≥7． 故运动员第7次射击不能少于7环． 故答案为7． 点睛：本题考查了一元一次不等式的应用，解决问题的关键是读懂题意，依题意列出不等式进行求解． 15. 如图，在中，，，，点P为上一点，将线段绕点P顺时针旋转得线段，点Q在射线上，当的垂直平分线经过一边中点时，的长为___． 【答案】2或3或5 【解析】 【分析】分三种情况，当分别经过、、的中点时，分别求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴，， 的垂直平分线经过一边中点，可分为以下三种情况：经过的中点D；经过的中点E；经过的中点F． 当经过的中点D时，交于点G，如图：， ∵绕点P顺时针旋转得线段， ∴， ∴， ∵是的外角， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴； 当经过的中点E时，交于点G，如图：， ∵，垂直， ∴， ∴， 在中，，设，则， 由题意可得：，即 ∴， ∴， ∵点G在上， ∴， ∴， ∵是的外角， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴由勾股定理得：； 当经过的中点F时，交于点F（G），如图：， 同理可证：， 在中，，， ∴． 综上：的长为：2或5或3． 故答案为：2或3或5． 【点睛】此题考查了旋转的性质，含直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，垂直平分线的性质，三角形外角的性质，综合性比较强，解题的关键是熟练掌握相关基本性质，利用分类讨论的思想求解． 三、解答题（本大题7个小题，共55分） 16. 计算： （1）解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来． （2）解不等式组： 【答案】（1） ，将不等式的解集表示在数轴为： （2） 【解析】 【分析】本题考查解一元一次不等式，解一元一次不等式组，在数轴上表示解集． （1）根据解一元一次不等式的步骤即可求解，再在数轴上表示即可； （2）分别解出每个不等式，再根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”的原则确定其解集即可． 【小问1详解】 解：去分母，得， 移项，得， 合并同类项，得， 【小问2详解】 解：， 解不等式①得， 解不等式②得， 故不等式组的解集为：． 17. 如图，已知，刘老师提出一个问题：能不能利用有刻度的直尺作出，的平分线？小明的思路是先将刻度尺如图所示摆放确定点，利用刻度尺在射线上量得，再使边与边重合，使确定点，连接，则如图所示射线即为的平分线．请你说明小明的思路有没有道理？说明理由． 【答案】 解：小明的思路有道理，理由如下： 由操作可知， ， ， ， ， 平分． 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，等腰三角形的性质，角平分线的定义，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 由操作可知，由等边对等角得，根据得，所以，即可得解． 【详解】略 18. 如图，已知点、、的坐标分别为、、． （1）将沿着轴向左平移5个单位后得到，请画出；并写出的对应点的坐标______ （2）将绕着O顺时针旋转90°后得到，请画出；并写出A的对应点坐标______ （3）将线段绕着某个定点旋转180°后得到（其中点的对应点为点，点的对应点为点），则这个定点的坐标是______ 【答案】（1） 如图，△即为所求； （2） 如图，△即为所求； （3） 【解析】 【分析】本题考查作图旋转变换，平移变换等知识，解题的关键是掌握旋转变换，平移变换的性质，属于中考常考题型． （1）利用平移变换的性质分别作出，，的对应点，，即可； （2）利用旋转变换的性质分别作出，，的对应点，，即可； （3）连接，交于点，点即为所求． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：将线段绕着某个定点旋转后得到（其中点的对应点为点，点的对应点为点，则这个定点的坐标． 故答案为：． 19. 唐代诗人李欣《古从军行》里有这样一句诗“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”．由此引申出一系列有趣的数学问题，后来人们通常称之为“将军饮马”问题． 【经典再现】如图，诗中将军在观望烽火之后从山脚下的点出发，走到河旁边的点饮马后再到点宿营．请问怎样走才能使总的路程最短？ 某课题组在探究这一问题时把这一情境抽象出数学模型：直线同旁有两个定点，，在直线上存在点，使得的值最小． 解法如下：如图，作点关于直线的对称点，连接，则与直线的交点即为，且的最小值为的长． 【数学思考】学习了三角形之后，我们发现有很多问题都可用类似的方法去思考解决． 任务一：如图，在等边三角形中，是边上的高，为的中点，为上一动点，若，求周长的最小值； 任务二：如图，在中，，是中线，点是上一动点，为上一动点，若的面积等于，则的最小值为_______． 【答案】任务一：；任务二： 【解析】 【分析】任务一：连接，则的长度即为的最小值，再加上的长即可求得周长的最小值； 任务二：作于，交于点，由的面积等于，求得，由等腰三角形的性质得，由点到直线的距离垂线段最短知：的最小值为，即可求解． 【详解】解：任务一：如图，连接，与交于点，此时最小， 是等边三角形，， ， ，即就是的最小值， ，为的中点，是等边三角形， ，，， ， 周长的最小值为：； 任务二：作于，交于点，如图， ，， ， ， 是中线，， 是边上的高线，即垂直平分， ， ， 的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了轴对称—最短问题，等腰三角形的性质，点到直线的距离垂线段最短，勾股定理，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 20. 为了响应我市政府发布的《城市污水处理提质三年行动方案》，环保部门委托我县某治污公司购买18台污水处理设备．现有A、B两种型号的设备，其中每台的价格、月处理污水量如表．经调查：购买一台A型设备比购买一台B型设备多4万元，购买一台A型设备和一台B型设备共用20万元． 污水处理设备型号 A型 B型 价格（万元/台） m n 处理污水量（吨/月） 300 250 （1）求m、n的值． （2）经我县审计局预算：该治污公司购买污水处理设备的资金不得超过156万元，若每月要求处理污水量不低于4600吨，为了节约资金，请你为治污公司设计一种最省钱的购买方案并求出该方案的购买资金． 【答案】（1） （2）应购买A型设备2台，B型设备16台，购买资金为万元 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次方程组的实际应用，正确理解题意列出方程组和不等式组是解题的关键． （1）根据购买一台A型设备比购买一台B型设备多4万元，购买一台A型设备和一台B型设备共用20万元列出方程组求解即可； （2）设购买A型设备x台，则购买B型设备台．根据购买污水处理设备的资金不得超过156万元，若每月要求处理污水量不低于4600吨列出不等式组求出x的值，再讨论不同x的值下的费用即可得到结论． 【小问1详解】 解；根据题意得， 解得：； 【小问2详解】 解：设购买A型设备x台，则购买B型设备台． 由题意得，， 解得：， ∵x取非负整数， 或， 当时，购买资金为（万元） 当时，购买资金为（万元） ∴为了结约资金，应购买A型设备2台，B型设备16台． 21. 【材料阅读】 我们知道：二元一次方程有无数组解，如：，，……如果我们将方程的解（x的值记为横坐标，y的值记为纵坐标）看成一组有序数对，例如是方程的一个解，用一个点来表示．探究发现：以方程的解为坐标的点落在同一条直线上，同时这条直线上的点的坐标全都是该方程的解．我们把这条直线称为该方程的图象．如图1所示． 【问题探究】 在平面直角坐标系中，方程的图象是图1中的直线m，也可表示为． （1）仿照材料完成下列各题： ①写出二元一次方程的解（写出三对整数解）：_______． ②在图1中的同一平面直角坐标系中找出以上三点（x的值记为横坐标，y的值记为纵坐标），并画出这个方程的图象，记为直线n，也可表示为；请你直接写出直线m与直线n的交点M的坐标_______；则方程组的解是_______． ③过点且垂直于x轴的直线与m，n的交点分别为A、B两点，求出的面积． 【问题拓展】 （2）已知关于x，y的二元一次方程组无解，由此你猜想直线与直线这两条直线_______．（填位置关系） （3）如果（2）中有存在符合题意的两条直线恰好相交，且交点坐标为，请你利用图2分析并直接写出不等式中x的取值范围_______． 【答案】（1）①，，； ②如图，直线即为所求，，； ③9； （2）平行； （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程的解，一次函数的图象和性质，方程组的解，解题的关键是理解题意，数形结合，熟练掌握一次函数与方程和不等式的关系． （1）①根据题意写出二元一次方程的三对整数解即可； ②先描出三个点，然后再连接即可得出直线，根据交点位置，得出交点坐标，即可得出方程组的解； ③先求出点的坐标，再求出的面积即可； （2）根据两条直线的交点坐标即为方程组的解，要使方程组无解，即两条直线无交点，根据同一平面内，不相交的两条直线平行，即可得出答案； （3）根据题意得出直线经过点，，画出两条直线，根据图象即可解答． 【详解】解：（1）①二元一次方程的三对整数解为：；（答案不唯一） ②根据图象可知：直线与直线的交点的坐标； 则方程组的解是； ③把代入得：，解得：， ， 把代入得：，解得：， ， ． （2）∵两条直线的交点坐标即为方程组的解， ∴要使方程组无解，则需要使两条直线无交点， ∵同一平面内，不相交的两条直线平行， ∴这两条直线平行； （3）∵直线与直线相交，且交点坐标为， 令，则，故直线经过点，， 画出图象如图： 根据图象可得不等式中x的取值范围是． 22. 综合与探究 把两个等腰直角和按如图1所示的位置摆放，，将绕点A按逆时针方向旋转，如图2，连接，，设旋转角为． （1）求证：． （2）如图3，在旋转过程中，当点D恰好在线段上时，此时测量得到，你能否求出的长． （3）请你探究并直接写出当旋转角_______时，的面积最大． 【答案】（1） 证明：∵，都是等腰直角三角形， ∴，，， 则， ∴， ∴； （2）7 （3）或 【解析】 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识． （1）由等腰直角三角形的性质可得，，，求得即可证明； （2）过点A作于H，由可得，由等腰三角形三线合一的性质可得，进而得，由求得，再由勾股定理求得即可解答； （3）根据D点轨迹可得当时，面积最大，由旋转的性质求得α即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，过点A作于H， 由（1）证明同理可得， ∴， ∵是等腰直角三角形，， ∴是斜边中线， ∴， ∴， 在中，，， ∴， 在中，， ∴， 解得（负值已舍去）； 【小问3详解】 解：∵D点轨迹在以A为圆心，为半径的圆上， ∴的长度为定值， ∵的长度为定值， ∴底边上的高， ∴当时，面积最大，即点D在直线上， 分以下两种情况： ①如图当时，，面积最大， ②如图3-2，当时，，面积最大， ∴当α为或时，面积最大． 故答案为：或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 平遥县2024—2025学年度第二学期期中八年级数学学业水平质量监测试题（卷） （满分：100分 时间：90分钟） 一、选择题（本大题10个小题，每小题3分，共30分） 1. 下列现象中是平移的是（ ） A. 将一张纸对折 B. 电梯的上下移动 C. 摩天轮的运动 D. 翻开书的封面 2. 若x＞y，则下列各式正确的是（ ） A. x－6＜y－6 B. C. 2x＋1＞2y＋1 D. －x＞－y 3. 《国家宝藏》节目立足于中华文化宝库资源，通过对文物的梳理与总结，演绎文物背后的故事，让更多的观众走进博物馆，让一个个馆藏文物鲜活起来．下面四幅图是我国一些博物馆的标志，可以看作是中心对称但不是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 4. 如图，在直角坐标系中，是等边三角形，若点的坐标是，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 5. 已知点在第二象限，则的取值范围在数轴上表示正确的是（　　） A. B. C. D. 6. 如图，是由绕点旋转得到，，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，一次函数的图象经过，两点，则解集是（ ） A. B. C. D. 8. 在平面直角坐标系中，线段AB的端点分别为，将线段AB平移到，且点的坐标为，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，把一个含角的直角三角板放在一个直尺上，直角边，，斜边与直尺的两边分别交于点，，和.已知是等边三角形，，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 10. 城区某超市在双十一期间对顾客实行优惠，规定如右图：若张老师有两天去超市购物原价合计900元，若第一天购物的原价为a元，请你用含a的代数式表示张老师两天一共节省了（ ）元 一次性购物 优惠办法 少于200元 无优惠 低于500元但不低于200元 全部金额给予8折优惠 500元或超过500元 其中500元部分给予8折优惠；超过500元部分给予7折优惠 A. B. C. D. 二、填空题（本大题5个小题，每小题3分，共15分） 11. 甲种蔬菜保鲜适宜的温度是，乙种蔬菜适宜的温度是，将两种蔬菜放在一起同时保鲜，适宜的温度是___________． 12. 小军做了一个如图所示的风筝，其中EH=FH，ED=FD，小军说不用测量就知道DH是EF的垂直平分线．其中蕴含的道理是 _____ ． 13. 如图所示的是某公园里一处长方形风景欣赏区，长，宽，为方便游人观赏，公园特意修建了小路（图中非阴影部分），小路的宽均为．小明沿着小路的中间，从出口A到出口B所走的路线（图中虚线）长为_____________． 14. 在一次射击比赛中，某运动员前6次射击共中53环，如果他要打破89环(10次射击)的记录，那么第7次射击他至少要打出______环的成绩． 15. 如图，在中，，，，点P为上一点，将线段绕点P顺时针旋转得线段，点Q在射线上，当的垂直平分线经过一边中点时，的长为___． 三、解答题（本大题7个小题，共55分） 16. 计算： （1）解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来． （2）解不等式组： 17. 如图，已知，刘老师提出一个问题：能不能利用有刻度的直尺作出，的平分线？小明的思路是先将刻度尺如图所示摆放确定点，利用刻度尺在射线上量得，再使边与边重合，使确定点，连接，则如图所示射线即为的平分线．请你说明小明的思路有没有道理？说明理由． 18. 如图，已知点、、的坐标分别为、、． （1）将沿着轴向左平移5个单位后得到，请画出；并写出的对应点的坐标______ （2）将绕着O顺时针旋转90°后得到，请画出；并写出A的对应点坐标______ （3）将线段绕着某个定点旋转180°后得到（其中点的对应点为点，点的对应点为点），则这个定点的坐标是______ 19. 唐代诗人李欣《古从军行》里有这样一句诗“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”．由此引申出一系列有趣的数学问题，后来人们通常称之为“将军饮马”问题． 【经典再现】如图，诗中将军在观望烽火之后从山脚下的点出发，走到河旁边的点饮马后再到点宿营．请问怎样走才能使总的路程最短？ 某课题组在探究这一问题时把这一情境抽象出数学模型：直线同旁有两个定点，，在直线上存在点，使得的值最小． 解法如下：如图，作点关于直线的对称点，连接，则与直线的交点即为，且的最小值为的长． 【数学思考】学习了三角形之后，我们发现有很多问题都可用类似的方法去思考解决． 任务一：如图，在等边三角形中，是边上的高，为的中点，为上一动点，若，求周长的最小值； 任务二：如图，在中，，是中线，点是上一动点，为上一动点，若的面积等于，则的最小值为_______． 20. 为了响应我市政府发布的《城市污水处理提质三年行动方案》，环保部门委托我县某治污公司购买18台污水处理设备．现有A、B两种型号的设备，其中每台的价格、月处理污水量如表．经调查：购买一台A型设备比购买一台B型设备多4万元，购买一台A型设备和一台B型设备共用20万元． 污水处理设备型号 A型 B型 价格（万元/台） m n 处理污水量（吨/月） 300 250 （1）求m、n的值． （2）经我县审计局预算：该治污公司购买污水处理设备的资金不得超过156万元，若每月要求处理污水量不低于4600吨，为了节约资金，请你为治污公司设计一种最省钱的购买方案并求出该方案的购买资金． 21. 【材料阅读】 我们知道：二元一次方程有无数组解，如：，，……如果我们将方程的解（x的值记为横坐标，y的值记为纵坐标）看成一组有序数对，例如是方程的一个解，用一个点来表示．探究发现：以方程的解为坐标的点落在同一条直线上，同时这条直线上的点的坐标全都是该方程的解．我们把这条直线称为该方程的图象．如图1所示． 【问题探究】 在平面直角坐标系中，方程的图象是图1中的直线m，也可表示为． （1）仿照材料完成下列各题： ①写出二元一次方程的解（写出三对整数解）：_______． ②在图1中的同一平面直角坐标系中找出以上三点（x的值记为横坐标，y的值记为纵坐标），并画出这个方程的图象，记为直线n，也可表示为；请你直接写出直线m与直线n的交点M的坐标_______；则方程组的解是_______． ③过点且垂直于x轴的直线与m，n的交点分别为A、B两点，求出的面积． 【问题拓展】 （2）已知关于x，y的二元一次方程组无解，由此你猜想直线与直线这两条直线_______．（填位置关系） （3）如果（2）中有存在符合题意的两条直线恰好相交，且交点坐标为，请你利用图2分析并直接写出不等式中x的取值范围_______． 22. 综合与探究 把两个等腰直角和按如图1所示的位置摆放，，将绕点A按逆时针方向旋转，如图2，连接，，设旋转角为． （1）求证：． （2）如图3，在旋转过程中，当点D恰好在线段上时，此时测量得到，你能否求出的长． （3）请你探究并直接写出当旋转角_______时，的面积最大． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $