10.2 分式的基本性质-【拔尖特训】2024-2025学年八年级下册数学（苏科版）

68 10.2　分式的基本性质 第1课时 分式的基本性质 ▶ “答案与解析”见P35 1. 下列等式中,从左向右的变形正确的是 ( ) A. a-b a+b= b-a b+a B. 2 2a+b= 1 a+b C. ab ab-b2= a a-b D. a -a+b=- a a+b 2. 若5 x= 5(x-2) x(x-2) ,则x满足的条件是 ( ) A. x≠0 B. x≠2 C. x≠0且x≠2 D. x≠0或x≠2 3. 若n m=A (m≠n),则A 可以是 ( ) A. n-3 m-3 B. n+3 m+3 C. -n -m D. n2 m2 4. 填空: (1) 2y x= ( ) x3 . (2) ab a2= b ( ). (3) 1 mn= ( ) 4m3n . (4) a2 a2+ab= a ( ). 5. 不改变分式的值,使下列分式的分子、分母中 的首项的系数都不含“-”号. (1) 2x-1 -x+1. (2) -x2+2x-1 x-2 . (3) -x-1 -x2-3x+1. (4) - 2y-3-y2+2y-5 . 6. (易错题)要使分式x 2+y2 x 的值变为原来的 4倍,则应将 ( ) A. y的值变为原来的4倍,x的值保持不变 B. x的值变为原来的4倍,y的值保持不变 C. x、y的值都变为原来的4倍 D. x、y的值都变为原来的2倍 7. 下列式子中,从左到右的变形正确的是( ) A. a b= a-1 b-1 B. a(c2-1) b(c2-1)= a b C. 0.3x 0.1x-2y= 3x x-2y D. -x+y-x-y= x+y x-y 8. 下列分式中,与分式y 3x 相等的是 ( ) A. y2 3x2 B. xy 6x2 C. - -y-3x D. 2xy 6x2 9. 若等式1 2a= x+1 2a(x+1) 成立,则x的取值范围 是 . 10. 已知 x 2 x+y 的值为5.若分式 x 2 x+y 中的x、y均 变为原来的2倍,则 x 2 x+y 的值为 . 11. 已知x2=3,则 x+1x x-1x 的值为 . 12. (1) 填空: ① 1 2= 1+( ) 2+4 = 1+( ) 2+6 = 1+( ) 2+8 = 1+( ) 2+10 . 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(苏科版)八年级下 69 ② 4 7= 4+( ) 7+14 = 4+( ) 7+21 = 4+( ) 7+( )= 4+20 7+( ). (2) 从(1)中的两个等式中找规律:若a≠0, 则b a= b+( ) a+( ) 必然成立(用含n的式子 表示,n为正整数). 13. 不改变分式的值,把下列各分式的分子和分 母中各项的系数化为整数: (1) 0.02-0.2x 0.3x-0.03. (2) 1 2x- 1 3y 2 3x- 1 2y . (3) 0.2x-12y 1 4x- 2 3y . 14. 不改变分式的值,把下列分式的分子与分母 分别按x的次数从高到低的顺序排列,并分 别把最高次项的系数化为正数. (1) 2-x -x2+3. (2) -a3+a2-1 1-a2-a3 . 15. (1) 若x 2= y 3= z 4≠0 ,求 x-y-z 3x+2y-z 的值. (2) 已知1 a+ 1 b=6 ,求a-3ab+b a+12ab+b 的值. 答案讲解 16. (学科内综合)如图①所示为一个 边长为a(a>1)的正方形剪去一 个边长为1的小正方形后得到的 图形,如图②所示为一个边长为a-1的正 方形.记图①②中涂色部分的面积分别为 S1、S2,则 S1 S2 可化简为 . (第16题) 答案讲解 17. 阅读材料: 题目:已知 x a-b= y b-c= z c-a (a、 b、c互不相等),求x+y+z的值. 解:设 x a-b= y b-c= z c-a=k ,则x=k(a- b),y=k(b-c),z=k(c-a).∴ x+y+ z=k(a-b+b-c+c-a)=k·0=0. ∴ x+y+z=0. 依照材料解答问题: 已知y+z x = x+z y = x+y z ,其中x+y+ z≠0,求x+y-zx+y+z 的值. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第10章　分　式 70 第2课时 分式的约分 ▶ “答案与解析”见P35 1. 下列式子的化简结果一定为m n 的是 ( ) A. m2 n2 B. m+2 n+2 C. mn n2 D. m-1 n-1 2. (易错题)给出下列分式:① x2-y2 x+y ;② 3y -15x ; ③ x+1 x2+1 ;④ x+1 x2+2x+1. 其中,不能约分 的有 ( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 3. 要将分式5mn 20m2n 化成最简分式,应将分子、分 母同时约去它们的公因式,这个公因式为 . 4. 有下列分式:① a+3 a2+3 ;② x-y x2-y2 ;③ m 2m2n ; ④ 2 m+1. 其中,最简分式有 个. 5. 约分: (1) 12x5y2z4 -18x3z7. (2) m2-3m 9-m2 . (3) a2+ab a2+2ab+b2. (4) (b-a)2 2(a-b). 6. 下列约分结果正确的是 ( ) A. x2+y xy2 =x+y y2 B. 2bc ac= 2b a C. x+y x-y=-1 D. x2+y2 x2-y2 =x+yx-y 7. 对于分式a 2-b2 a+b ,小明和小华的化简过程 如下: 小明:a 2-b2 a+b = (a+b)(a-b) a+b =a-b. 小华:a 2-b2 a+b = (a2-b2)(a-b) (a+b)(a-b)= (a2-b2)(a-b) a2-b2 =a-b. 对于他们的化简过程,你的看法是 ( ) A. 都正确 B. 都不正确 C. 小华正确,小明不正确 D. 小明正确,小华不正确 8. 若m 为整数,则能使2m-2m2-1 也为整数的m 的 值有 ( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 9. 对于分式x 2-8x+16 2x-8 ,有下列说法:① 它的 值可以为正数;② 它的值可以为负数;③ 它 的值可以为0.其中,正确的是 (填 序号). 10. 先约分,再求值: a 3-4ab2 a3-4a2b+4ab2 ,其中a= 2,b=-12. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(苏科版)八年级下 71 答案讲解 11. ★已知2x+3y-5z=0,3x- 2y + 12z = 0 (z ≠ 0),求 2x2-3xy 4x2-12xy+9y2 的值. 12. 阅读材料: 现给出定义:在分式中,对于只含有一个字 母的分式,当分子的次数大于或等于分母的 次数时,我们称之为“假分式”;当分子的次 数小于分母的次数时,我们称之为“真分 式”.如x-1x+1 、x 2 x-1 就是“假分式”, 3 x+1 、 2x x2+1 就是“真分式”.类似地,“假分式”也可 以化为“带分式”(即整式与“真分式”的和的 形式),如x-1 x+1= (x+1)-2 x+1 =1- 2 x+1 , x2 x-1= x2-1+1 x-1 = (x+1)(x-1)+1 x-1 = x+1+ 1x-1. 根据上述材料,解答下列问题: (1) 分式2 x 是“ 分式”(填“真” 或“假”). (2) 请将“假分式”x-1 x+2 化为“带分式”. (3) 如果分式2x-1 x+1 的值为整数,求整数x 的值. 13. 设a+b+c=abc(abc≠0),化简:[a(1- b2)(1-c2)+b(1-c2)(1-a2)+c(1- a2)(1-b2)]·1abc= . 答案讲解 14. (2024·宿迁宿城期末)我们给出 定义:若一个分式约分后是一个整 式,则称这个分式为“巧分式”,约 分后的整式称为这个分式的“巧整式”.例 如:4x 2-8x x-2 = 4x(x-2) x-2 =4x ,则称分式 4x2-8x x-2 是“巧分式”,4x为它的“巧整式”. 根据上述定义,解答下列问题. (1) 有下列分式:① (x-1)(2x-3)(x+2) (x-1)(x+2) ; ② 2x+5 x+3 ;③ x2-y2 x+y . 其中,是“巧分式”的 有 (填序号). (2) 若分式x 2-4x+m x+n (m、n 为常数)是 “巧分式”,它的“巧整式”为x-7,求m、n 的值. (3) 若分式-2x 3+2x A 的“巧整式”为1- x,请判断2x 3+4x2+2x A 是否为“巧分式”, 并说明理由. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第10章　分　式 72 第3课时 分式的通分 ▶ “答案与解析”见P36 1. 把6c a2b 、c 3ab2 通分,下列计算中,正确的是 ( ) A. 6c a2b= 6bc a2b2 ,c 3ab2= ac 3a2b2 B. 6c a2b= 18bc 3a2b2 ,c 3ab2= ac 3a2b2 C. 6c a2b= 18bc 3a2b ,c 3ab2= ac 3a2b2 D. 6c a2b= 18bc 3a2b ,c 3ab2= c 3ab2 2. 若将分式 3m m+n 与 4n 2(m-n) 通分,则分式 3m m+n 的分子应变为 ( ) A. 6m2-6mn B. 6m-6n C. 2(m-n) D. 2(m-n)(m+n) 3. (1) 已知分式 2 a2b 、1 ab 、3 abc ,它们的最简公分 母是 . (2) 已知分式 x-2(x-1)2 、 5 2x-2 ,它们的最简公 分母是 . 4. 将分式 1 6xyz 、 1 8x2y2 通分时,需要将分式 1 6xyz 的分子与分母同乘 ,将分式 1 8x2y2 的分子与分母同乘 . 5. 通分: (1) 3 2x2y 和 1 3xy2 . (2) 2 x2-x 和 1 x2+x. (3) 1 x2-4 和 3 4-2x. 6. 将分式 1 a-b 、1 a+b 、 1 a2-b2 通分以后,1 a+b 的 结果是 ( ) A. a+b a2-b2 B. a-b a2-b2 C. a2-b2 (a+b)(a2-b2) D. (a+b)(a-b) (a2-b2)2 7. (易错题)把 -1 3a+6 、 2 a2+2a+1 、 a a2+3a+2 通 分后,各分式的分子之和为 ( ) A. 2a2+7a+11 B. a2+8a+10 C. 2a2+4a+4 D. 4a2+11a+13 8. 分式 x(x+y)2 与 2y mx2-my2 的最简公分母是 ( ) A. m(x+y)(x-y) B. m(x-y)(x2-y2) C. m(x+y)2(x2-y2) D. m(x+y)2(x-y) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(苏科版)八年级下 73 9. (1) 分 式 1 3x 与 1 2x2y 的 最 简 公 分 母 是 . (2) 分式x+6 x2-x 与 1 x2-2x+1 的最简公分母 是 . 10. 已知分式1 A 与- 1x-1 的最简公分母是 2(x2-1),则分母A 是 (A 中字母 系数为正). 11. 已知分式 2 x2-4 、 1 6-3x ,其中m 是这两个分 式中分母的公因式,n是这两个分式的最简 公分母,则n m= . 12. 通分: (1) b 3a2c2 、c -2ab 、a 5cb3. (2) 2 9-3a 、a-1 a2-9 、 a a2-6a+9. (3) b a2-ab 、a-b a2+ab. 答案讲解 13. 李大伯种植了x公顷的棉花,总产 量为y千克,小麦的种植面积比棉 花的种植面积少m 公顷,小麦的 总产量比棉花的总产量的3倍多n 千克. 写出表示棉花和小麦的单位面积产量(千 克/公顷)的式子.如果两式的分母不同,那 么请将两式通分. 答案讲解 14. ★已知a、b为实数,且ab=3,a+ b=4. (1) 通分:a-1 a+1 、b-1 b+1. (2) 求a-1 a+1 的值. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第10章　分　式 30%)a辆,即0.7a辆. (2) 由题意,得去年混动汽车的销量 是1 2a 辆, ∴ 去年的总销量为a+b+12a= 3 2a+b 辆. ∵ 今年计划燃油汽车的销量比去年 减少30%,新能源汽车的销量是去年 的2倍,混动汽车的销量保持不变, ∴ 今年的总销量为0.7a+2b+ 1 2a= (1.2a+2b)辆. 由 题 意,得 1.2a +2b = (1+ 20%)· 32a+b . ∴ a b= 4 3. 10.2　分式的基本性质 第1课时 分式的基本性质 1. C 2. C 3. C 4. (1) 2x2y (2) a (3) 4m2 (4) a+b 5. (1) 原式=-2x-1x-1. (2) 原式=-x 2-2x+1 x-2 . (3) 原式= x+1x2+3x-1. (4) 原式= 2y-3 y2-2y+5 . 6. C [解析] 对于 A,x 2+(4y)2 x = x2+16y2 x ,故A不符合题意;对于B, (4x)2+y2 4x = 16x2+y2 4x ,故B不符合 题 意;对 于 C, (4x)2+(4y)2 4x = 16x2+16y2 4x = 4x2+4y2 x ,故C符合 题 意;对 于 D, (2x)2+(2y)2 2x = 4x2+4y2 2x = 2x2+2y2 x ,故D不符合 题意. 7. B [解析] ∵ 当a≠b时,ab ≠ a-1 b-1 , ∴ A 不 符 合 题 意. ∵ a(c2-1) b(c2-1)= a b ,∴ B符合题意. ∵ 0.3x 0.1x-2y= 3x x-20y ,∴ C不符合 题意.∵ - x+y-x-y= x+y x+y ≠x+yx-y , ∴ D不符合题意. 8. D 9. x≠-1 10. 10 [解 析] ∵ x2 x+y =5 , ∴ (2x)2 2x+2y= 4x2 2x+2y= 2x2 x+y=2× 5=10. 11. 2 [解析] ∵ x2=3,∴ x≠0. ∴ x+1x x-1x = x x+1x x x-1x =x 2+1 x2-1= 3+1 3-1=2. 12. (1) ① 2 3 4 5 ② 8 12 16 28 35 (2) nb na 13. (1) 原式=2-20x30x-3. (2) 原式=3x-2y4x-3y. (3) 原式=12x-30y15x-40y. 14. (1) 原式=x-2x2-3. (2) 原式=a 3-a2+1 a3+a2-1. 15. (1) 设x 2= y 3= z 4=k≠0 ,则 x=2k,y=3k,z=4k. ∴ 原 式 = 2k-3k-4k3×2k+2×3k-4k = -5k 8k =- 5 8. (2) 由题意,知ab≠0,1a+ 1 b=6 , ∴ a+b=6ab. ∴ 原式=a+b-3aba+b+12ab= 6ab-3ab 6ab+12ab= 3ab 18ab= 1 6. 16. a+1 a-1 [解析] 根据题意,得S1= a2-1,S2=(a-1)2,a>1,则 S1 S2= a2-1 (a-1)2= (a-1)(a+1) (a-1)2 = a+1 a-1. 17. 由题意,得 x、y、z 均不为0. 设y+z x = x+z y = x+y z =k (k≠0), 则y+z=kx,x+z=ky,x+y=kz. ∴ (y+z)+(x+z)+(x+y)= 2(x+y+z)=k(x+y+z). 又∵ x+y+z≠0, ∴ k=2. ∴ x+y z =2 ,即x+y=2z. ∴ 原式=2z-z2z+z= z 3z= 1 3. 第2课时 分式的约分 1. C 2. A 3. 5mn 4. 2 5. (1) 12x5y2z4 -18x3z7=- 2x2y2 3z3 . (2) m2-3m 9-m2 =- m(m-3) (m+3)(m-3) = - mm+3. (3) a2+ab a2+2ab+b2= a(a+b) (a+b)2= a a+b. (4) (b-a)2 2(a-b)= a-b 2 . 6. B [解析] x2+y xy2 是最简分式,不 能约分,故A不符合题意;2bcac= 2b a , 故B符合题意;x+yx-y 是最简分式,不 能约分,故C不符合题意;x 2+y2 x2-y2 是 最简分式,不能约分,故 D不符合 题意. 7. D [解析] 小明先将分子分解因 式,再约分,是正确的;小华把分子、分 母同乘a-b,利用平方差公式约去 a2-b2,此时应注意a-b的值可能为 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 53 0,∴ 小华不正确. 8. C [解 析] ∵ 2m-2 m2-1 = 2(m-1) (m+1)(m-1)= 2 m+1 为整数,且m 为整数,∴ m+1=-1或1或-2或 2,且m2-1≠0.∴ 能使2m-2 m2-1 也为 整数的m 的值为0、-2、-3,共3个. 9. ①② [解析] x2-8x+16 2x-8 = (x-4)2 2(x-4)= x-4 2 .∴ 当x>4时,分式 的值为正数;当x<4时,分式的值为 负数;当x=4时,分式无意义.∴ 该 分式的值不可以为0.∴ 正确的是 ①②. 10. 原 式 = a (a2-4b2) a(a2-4ab+4b2)= a(a+2b)(a-2b) a(a-2b)2 = a+2b a-2b. 把a=2,b=-12 代入,可得原式= 2+2× -12 2-2× -12 =13. 11. 由题意,得 2x+3y-5z=0, 3x-2y+12z=0, 解 得 x=-2z, y=3z. ∴ 2x2-3xy 4x2-12xy+9y2 =x (2x-3y) (2x-3y)2 = x 2x-3y= -2z 2×(-2z)-3×3z= 2 13. 设立新的未知数解决问题 解决这类两个方程中含有三 个未知数的问题时,常常将其中的 两个字母看成是未知量,另外一个 字母看成是已知量,用这个已知量 分别表示另外两个未知量,进而将 待求的分式转化为只含有一个已 知量的分式,再运用约分将分式进 行化简求得结果. 12. (1) 真. (2) x-1 x+2= x+2-2-1 x+2 = x+2-3 x+2 = 1- 3x+2. (3) 2x-1 x+1 = 2x+2-2-1 x+1 =2- 3 x+1. ∵ 2- 3x+1 的值为整数, ∴ 3 x+1 的值为整数. ∵ x+1≠0, ∴ x≠-1. 又∵ x为整数, ∴ x+1=-1或-3或1或3. ∴ x=-2或-4或0或2. 13. 4 [解析] 设A=a(1-b2)(1- c2)+b(1-c2)(1-a2)+c(1-a2)· (1-b2)=a(1-b2-c2+b2c2)+ b(1-c2-a2+a2c2)+c(1-a2- b2+a2b2)=(a+b+c)-ab(a+ b)-bc(b+c)-ac(c+a)+abc(ab+ ac+bc).∵ a+b+c=abc,∴ A= abc-ab(abc-c)-bc(abc-a)- ac(abc-b)+abc(ab+ac+bc)= abc-abc(ab-1+bc-1+ac-1)+ abc(ab+ac+bc)=abc+3abc= 4abc.∴ 原式=4abc·1abc=4. 14. (1) ①③. [解析] ∵ (x-1)(2x-3)(x+2) (x-1)(x+2) = 2x-3,2x-3是整式,∴ ①是“巧分 式 ”.∵ 2x+5 x+3 = 2x+6-1 x+3 = 2(x+3)-1 x+3 =2- 1 x+3 ,2- 1x+3 不是 整 式,∴ ② 不 是 “巧 分 式”. ∵ x2-y2 x+y = (x-y)(x+y) x+y =x- y,x-y是整式,∴ ③是“巧分式”. (2) ∵ 分式x 2-4x+m x+n (m、n 为常 数)是“巧分式”,它的“巧整式”为 x-7, ∴ (x+n)(x-7)=x2-4x+m. ∴ x2+(n-7)x-7n=x2-4x+m. ∴ n-7=-4,m=-7n. ∴ n=3,m=-21. (3) 2x3+4x2+2x A 是“巧分式”. 理由:∵ 分式-2x 3+2x A 的“巧整式” 为1-x, ∴ A=-2x 3+2x 1-x = 2x(1-x2) 1-x = 2x(1-x)(1+x) 1-x =2x (1+x),即 A=2x2+2x. ∵ 2x3+4x2+2x 2x2+2x = 2x(x2+2x+1) 2x(x+1) = (x+1)2 x+1 =x+1 ,x+1是整式, ∴ 2x3+4x2+2x A 是“巧分式”. 第3课时 分式的通分 1. B 2. A 3. (1) a2bc (2) 2(x-1)2 4. 4xy 3z 5. (1) 3 2x2y = 9y6x2y2 ;1 3xy2 = 2x 6x2y2 . (2) 2 x2-x= 2(x+1) x(x+1)(x-1) ; 1 x2+x= x-1 x(x+1)(x-1). (3) 1 x2-4= 2 2(x+2)(x-2) ; 3 4-2x=- 3(x+2) 2(x+2)(x-2). 6. B 7. A 8. D [解 析] ∵ 2y mx2-my2 = 2y m(x-y)(x+y) ,∴ x (x+y)2 与 2y m(x-y)(x+y) 的 最 简 公 分 母 为 m(x+y)2(x-y). 9. (1) 6x2y (2) x(x-1)2 10. 2(x+1)或2(x+1)(x-1) [解析] ∵ 1 A 与- 1x-1 的最简公分母 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 63 是2(x2-1)=2(x+1)(x-1),∴ 分 母A=2(x+1)或2(x+1)(x-1). 11. 3x+6 [解析] ∵ 2 x2-4= 2 (x+2)(x-2)= 6 3(x+2)(x-2) , 1 6-3x=- 1 3(x-2)=- x+2 3(x-2)(x+2) , ∴ m=x-2,n=3(x+2)(x-2). ∴ n m= 3(x+2)(x-2) x-2 =3 (x+2)= 3x+6. 12. (1) b 3a2c2= 10b4 30a2b3c2 , c -2ab= -15ab 2c3 30a2b3c2 ,a 5cb3= 6a3c 30a2b3c2. (2) 2 9-3a=- 2(a+3)(a-3) 3(a+3)(a-3)2 , a-1 a2-9= 3(a-1)(a-3) 3(a+3)(a-3)2 , a a2-6a+9= 3a(a+3) 3(a+3)(a-3)2. (3) b a2-ab= b(a+b) a(a-b)(a+b) , a-b a2+ab= (a-b)2 a(a-b)(a+b). 13. 棉花的单位面积产量为y x = xy-my x2-mx (千克/公顷). 小麦的单 位 面 积 产 量 为3y+n x-m = 3xy+nx x2-mx (千克/公顷). 14. (1) a-1 a+1= (a-1)(b+1) (a+1)(b+1)= ab+a-b-1 ab+a+b+1 ,b-1 b+1= (b-1)(a+1) (b+1)(a+1)= ab-a+b-1 ab+a+b+1. (2) ∵ ab=3,a+b=4, ∴ (a-b)2=(a+b)2-4ab=4. ∴ a-b=2或-2. ∴ 当a-b=2,ab=3,a+b=4时, a-1 a+1= ab+a-b-1 ab+a+b+1= 3+2-1 3+4+1= 1 2 ; 当a-b=-2,ab=3,a+b=4时, a-1 a+1= ab+a-b-1 ab+a+b+1= 3-2-1 3+4+1=0. 综上所述,a-1 a+1 的值为1 2 或0. 通过整体运算解决 代数式求值的问题 解决这类与代数式的值有关 的问题时,常常需要对代数式进行 整体变形或化简.对于分式的变 形,一定要注意满足分式的基本性 质.解答的过程中,对于可能出现 的情形需要分情况加以讨论,再确 定是否满足条件,并求得所有可能 出现的结果. 10.3　分式的加减 1. A 2. C 3. (1) 1 (2) 1 4. 1 x+2 5. (1) 原式=32x- 2 2x= 1 2x. (2) 原 式 = (a-1)2 (a-1)(a+1)+ 4a (a-1)(a+1)= a2-2a+1+4a (a-1)(a+1)= (a+1)2 (a-1)(a+1)= a+1 a-1. 6. C [解析] ∵ 2 a+ 1 b=1 (a+b≠ 0),∴ 2b+a ab =1.∴ a+2b=ab. ∴ a+ab a+b= a+a+2b a+b = 2(a+b) a+b =2. 7. A [解 析] ∵ A xy+y2 - y x2+xy = x-yxy ,∴ A xy+y2 = x-y xy + y x2+xy .∴ A y(x+y)= x-y xy + y x(x+y).∴ Ax=(x-y)· (x+y)+y2.∴ Ax=x2.∴ A=x. 8. C [解析] ∵ ab=1,∴ P= 1 a+1+ 1 b+1 = b+1+a+1 (a+1)(b+1)= a+b+2 ab+a+b+1= a+b+2 a+b+2=1 ,Q = a a+1+ b b+1= a(b+1)+b(a+1) (a+1)(b+1) = 2ab+a+b ab+a+b+1 = a+b+2 a+b+2 = 1. ∴ P=Q. 9. 互为相反数 [解析] ∵ B= 1 x+2+ 1 2-x = 1 x+2- 1 x-2= x-2-x-2 x2-4 = -4 x2-4 ,而A= 4x2-4 , ∴ A 与B 之间的关系是互为相反数. 10. b-a a [解析] 被覆盖的部分是 b2 a(a+b)- a a+b = b2-a2 a(a+b)= (b+a)(b-a) a(a+b) = b-a a . 11. 一 [解析] 设小丽走第一条路 所用的时间为t1h,走第二条路所用 的时间为t2h.∴ t1= 3 2v ,t2= 1 v+ 2 3v= 5 3v.∴ t1-t2= 3 2v- 5 3v= 9 6v- 10 6v=- 1 6v.∵ v>0,∴ -16v<0 ,即 t1<t2.∴ 小丽走第一条路花费的时 间较少. 12. (1) 原式=2a-3-a+2a+1 = a-1 a+1. (2) 原 式 = x-1x2-1 + 1 x2-1 - x+1 x2-1=- 1 x2-1. (3) 原式= 2a(a-2)- a a(a-2)= 2-a a(a-2)=- 1 a. 13. (1) 1 n- 1 n+1. 1 n(n+1)= (n+1)-n n(n+1)= n+1 n(n+1)- n n(n+1)= 1 n- 1 n+1. (2) 原式= 1x+1- 1 x+2+ 1 x+2- 1 x+3 + 1 x+3 - 1 x+4 + … + 1 x+2024 - 1 x+2025 = 1 x+1 - 1 x+2025= 2024 (x+1)(x+2025). 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 73