第1章 专题强化2 带电粒子在匀强磁场中的运动-（课件PPT+Word教案）【步步高】2024-2025学年高二物理选择性必修第二册教师用书（粤教版2019）

专题强化2　带电粒子在匀强磁场中的运动 ［学习目标］　1.会解决带电粒子在匀强磁场中运动的基本问题（难点）。2.会分析带电粒子在有界匀强磁场中的运动（重点）。 一、带电粒子在匀强磁场中运动的基本分析思路 研究带电粒子在匀强磁场中做圆周运动的问题，应按照“一找圆心，二求半径，三求周期或时间”的基本思路分析。问题的关键是作出粒子的运动轨迹图。 1.定圆心 （1）洛伦兹力的方向一定过圆心。 如图甲所示，已知粒子进磁场的入射方向和出磁场的出射方向，试通过作图确定圆心的位置。 （2）圆的弦的中垂线必过圆心。 如图乙所示，已知进磁场的入射方向垂直于边界射出磁场的位置M点，试确定圆心的位置。 （3）圆的任意两条弦的中垂线的交点为圆心。 如图丙所示，带电粒子在匀强磁场中分别经过AOB三点时，试确定圆心的位置。 答案　（1）两洛伦兹力方向的交点即为圆心的位置，故通过入射点和出射点作垂直于入射方向和出射方向的直线，两条直线的交点就是圆心，如图（a）所示。 （2）通过入射点作入射方向的垂线，连接入射点和出射点，作其中垂线，这两条垂线的交点就是圆心（如图（b）所示）。 （3）连接OA、OB，分别作OA、OB的中垂线，交点即为圆心的位置，如图（c）所示。 2.求半径r 利用几何知识求半径（勾股定理、三角函数） 在1（1）图甲中，确定好圆心的位置。如何求带电粒子轨迹的半径（已知磁场的宽度为d，速度方向如图甲所示）。 答案　作出粒子的轨迹如图所示，由圆的半径和d构成直角三角形，再根据边角关系得r=。 3.求时间t 利用轨迹对应圆心角或轨迹长度求时间 方法一：周期一定时，由圆心角求：t=·T； 方法二：v一定时，由弧长求：t== 求1（1）中带电粒子在匀强磁场中的运动时间。（已知带电粒子在匀强磁场中运动一周的时间为T） 答案　t=T=T=T 4.圆心角与偏向角、弦切角的关系 如图丁所示，带电粒子射出磁场时的速度方向与射入磁场时的速度方向之间的夹角φ叫作偏向角，轨迹圆弧对应的角叫作圆心角，弦PM与入射速度（即轨迹切线）的夹角叫作弦切角θ，则写出φ、α、θ三者的关系为　　　　　　。  答案　φ=α=2θ 例1　（2023·广州市从化中学高二期末）一个重力不计的带电粒子以大小为v的速度从坐标为（0，L）的a点，平行于x轴射入磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向外的圆形匀强磁场区域，并从x轴上的b点射出磁场，射出磁场时的速度方向与x轴正方向的夹角为60°，如图所示。 （1）求带电粒子在磁场中运动的轨迹半径； （2）求粒子从a点运动到b点的时间； （3）其他条件不变，要使该粒子恰从O点射出磁场，求粒子的入射速度大小。 答案　（1）2L　（2）　（3）v 解析　（1）粒子在磁场中运动的轨迹如图所示 由几何知识可知 Rcos 60°+L=R 解得R=2L （2）粒子运动的周期为 T== 粒子从a点运动到b点的时间为t=T= （3）要使该粒子恰从O点射出磁场，则应满足 R'= 设粒子质量为m，由洛伦兹力提供向心力可得 qBv'= 对粒子原来在磁场中的运动有qBv= 联立解得v'=v。 例2　如图所示，空间存在范围足够大的垂直xOy平面向里的匀强磁场（图中未画出），一质量为m、带电荷量为+q的带电粒子（不计所受重力）从坐标原点O沿x轴正方向以速度v0射出，带电粒子恰好经过点A（h，h），求： （1）匀强磁场的磁感应强度大小B； （2）粒子从O点运动到A点所用的时间t。 答案　（1）　（2） 解析　（1）根据洛伦兹力提供向心力，运动轨迹如图，结合几何关系有qv0B=，（h）2+（h-R）2=R2 解得R=h，B= （2）设从O至A粒子做圆周运动的圆心角为α。sin ===，故α=120°，设带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的周期为T，则有T=，t=T 解得t=。 二、带电粒子在有界匀强磁场中的运动 1.直线边界 从某一直线边界射入的粒子，再从这一边界射出时，速度与边界的夹角相等，如图所示。 2.圆形边界 （1）在圆形磁场区域内，沿半径方向射入的粒子，必沿半径方向射出，如图甲所示。 （2）在圆形磁场区域内，不沿半径方向射入的粒子，入射速度方向与半径的夹角为θ，出射速度方向与半径的夹角也为θ，如图乙所示。 例3　如图所示，在边界PQ上方有垂直纸面向里的匀强磁场，一对比荷相同的正、负离子同时从边界上的O点沿与PQ成θ角的方向以相同的速度v射入磁场中，不计离子重力，则正、负离子（　　） A.在磁场中的运动时间相同 B.在磁场中运动的位移相同 C.出边界时两者的速度相同 D.正离子出边界点到O点的距离更大 答案　C 解析　粒子在磁场中运动周期为T= 则知两个离子圆周运动的周期相等。根据左手定则分析可知，正离子逆时针偏转，负离子顺时针偏转，作出两离子的运动轨迹，如图所示 两离子重新回到边界时，正离子的速度偏向角为2π-2θ，轨迹的圆心角也为2π-2θ，运动时间t1=T 同理，负离子运动时间t2=T 正、负离子在磁场中运动时间不相等，故A错误； 根据洛伦兹力提供向心力，则有qvB= 得r= 由题意知r相同，根据几何知识可得，重新回到边界的位置与O点距离s=2rsin θ， r、θ相同，则s相同，故两离子在磁场中运动的位移大小相同，方向不同，故B、D错误； 两离子在磁场中均做匀速圆周运动，速度沿轨迹的切线方向，根据圆的对称性可知，重新回到边界时速度大小与方向相同，故C正确。 例4　（多选）如图所示，半径为R的圆形区域中充满了垂直纸面向外的匀强磁场，O为圆心，AO与水平方向的夹角为30°。现有带正电粒子a从A点沿水平方向以大小为v0的速度垂直磁场射入，其离开磁场时，速度方向刚好改变了180°；另一带负电粒子b以大小相同的速度从C点沿CO方向垂直磁场射入。已知a、b两粒子的比荷之比为2∶1，不计粒子的重力和两粒子间的相互作用。下列说法正确的是（　　） A.a、b两粒子做圆周运动的半径之比为1∶2 B.b粒子竖直向下射出磁场 C.b粒子在磁场中运动的时间为 D.两粒子在圆形边界的射出点间的距离为R 答案　ABD 解析　a粒子离开磁场时，速度方向刚好改变了180°，表明粒子在磁场中转动了半周，其轨迹如图 由几何关系得r1=Rsin 30°= 根据牛顿第二定律得qv0B=m 解得r1==R b粒子进入磁场，有q'v0B=m'，= 解得r2==R 根据左手定则，可知b粒子竖直向下射出磁场且 r1∶r2=1∶2，故A、B正确。 b粒子在磁场中运动的时间为t2=T==，故C错误。 由A、B选项中的解析可知，b粒子在磁场圆的正下方射出磁场，a粒子离开磁场时的点和磁场圆心的连线与水平方向的夹角为30°，则几何关系可知两个出射点与圆心构成等边三角形，即两粒子在圆形边界的射出点间的距离为R，故D正确。 专题强化练　［分值：100分］ 1~6题每题7分，7题10分，共52分 1.如图，一个质量为m、电荷量为q的带负电的粒子，不计重力，从x轴上的P点以速度v垂直磁场方向射入第一象限内的匀强磁场中，并恰好垂直于y轴射出第一象限。已知射入磁场时v与x轴成45°角，OP=a。则下列说法错误的是（　　） A.带电粒子运动轨迹的半径为a B.磁场的磁感应强度为 C.OQ的长度为a D.粒子在第一象限内运动的时间为 答案　C 解析　带电粒子做匀速圆周运动的圆心和轨迹如图，设带电粒子运动轨迹的半径为R，根据几何知识可得=sin 45°，解得R=a，故A正确；根据洛伦兹力提供向心力可得Bqv=，解得B=，故B正确；O'Q=R=a，O'O=a，故OQ=O'Q+O'O=（+1）a，故C错误；带电粒子做匀速圆周运动的周期为T=，由几何知识可得∠QO'P=135°，故粒子在第一象限内运动的时间为t=·T=，故D正确。 2.如图所示，两个速度大小不同的同种带电粒子1、2沿水平方向从同一点垂直射入匀强磁场中，不计粒子重力，磁场方向垂直纸面向里，当它们从磁场下边界飞出时相对入射方向的偏向角分别为90°、60°，则粒子1、2在磁场中运动的（　　） A.轨迹半径之比为2∶1 B.速度之比为1∶2 C.时间之比为2∶3 D.周期之比为1∶2 答案　B 解析　带电粒子在匀强磁场中运动时，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律有qvB=m，可得r=，又T=，联立可得T=，故两粒子运动的周期相同，D错误；速度的偏向角等于轨迹所对的圆心角，故粒子1的运动时间t1=T=T，粒子2的运动时间t2=T=T，则时间之比为3∶2，C错误；粒子1和粒子2运动轨迹的圆心O1和O2如图所示，设粒子1的轨迹半径R1=d，对于粒子2，由几何关系可得R2sin 30°+d=R2，解得R2=2d，故轨迹半径之比为1∶2，A错误；由r=可知，速度之比为1∶2，B正确。 3.（多选）如图所示，直角三角形ABC区域内部存在一匀强磁场，比荷相同的两个带电粒子沿AB方向射入磁场，分别从AC边上的P、Q两点射出，不计粒子重力，则（　　） A.从P射出的粒子速度大 B.从Q射出的粒子速度大 C.从P射出的粒子在磁场中运动的时间长 D.两粒子在磁场中运动的时间一样长 答案　BD 解析　作出两带电粒子各自的运动轨迹，如图所示，根据圆周运动特点知，两粒子分别从P、Q点射出时，速度方向与AC边的夹角相等，故可判定两粒子从P、Q点射出时，半径RP<RQ，故由R=可知从Q点射出的粒子速度大，A错误，B正确；由T==得，两粒子在磁场中做圆周运动的周期相等，根据题图，可知两轨迹对应的圆心角相等，由t=T得两粒子在磁场中的运动时间相等，C错误，D正确。 4.（多选）（2023·广州市第七十五中学高二期中）如图所示，在纸面内半径为R的圆形区域中充满了垂直于纸面向里、磁感应强度大小为B的匀强磁场。一点电荷从图中A点以速度v0垂直磁场射入，经磁场偏转后恰能从点A'射出且速度方向刚好改变了90°。已知AA'为区域磁场的一条直径，不计电荷的重力，下列说法正确的是（　　） A.该点电荷带负电 B.该点电荷在磁场中做圆周运动的半径为R C.该点电荷的比荷为= D.该点电荷在磁场中的运动时间为t= 答案　AC 解析　由左手定则可知该电荷带负电，故A正确； 点电荷在磁场中做匀速圆周运动，根据几何关系作出轨迹，如图所示， 设轨迹圆的半径为r，可得r=2Rsin 45°=R，故B错误； 根据qv0B=m，联立解得=，故C正确；该点电荷在磁场中的运动时间为t==，故D错误。 5.如图，边长为l的正方形abcd内存在匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面（abcd所在平面）向外。ab边中点有一电子发射源O，可沿纸面向磁场内垂直于ab边的方向发射电子。已知电子的比荷为k。则从a、d两点射出的电子的速度大小分别为（　　） A.kBl，kBl B.kBl，kBl C.kBl，kBl D.kBl，kBl 答案　B 解析　电子从a点射出时，其运动轨迹如图线①，轨迹半径为ra=，由洛伦兹力提供向心力，有evaB=m，又=k，解得va=；电子从d点射出时，运动轨迹如图线②，由几何关系有=l2+（rd-）2，解得：rd=，由洛伦兹力提供向心力，有evdB=m，又=k，解得vd=，选项B正确，A、C、D错误。 6.如图所示，在x轴上方存在垂直于纸面向里的匀强磁场，磁场的磁感应强度为B，在xOy平面内，从原点O处与x轴正方向成θ角（0<θ<π），垂直磁场方向以速率v发射一个带正电的粒子（重力不计），则下列说法正确的是（　　） A.若v一定，θ越大，则粒子在磁场中运动的时间越短 B.若v一定，θ越大，则粒子离开磁场的位置距O点越近 C.若θ一定，v越大，则粒子在磁场中运动的时间越短 D.若θ一定，v越大，则粒子在磁场中运动的角速度变大 答案　A 解析　粒子在磁场中做圆周运动，运动轨迹如图所示： 由几何关系得：轨迹对应的圆心角α=2π-2θ 粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期T== 粒子在磁场中运动的时间t=T=×= 则粒子在磁场中的运动时间与粒子速率无关，若θ一定，则粒子在磁场中运动的时间相等；若v一定，θ越大，则粒子在磁场中运动的时间越短，故C错误，A正确； 洛伦兹力提供向心力得qvB=mωv， 解得ω=，粒子在磁场中运动的角速度与θ、v无关，故D错误； 由qvB=得r=， 由几何知识得AO=2rsin θ=。 v一定，若θ是锐角，θ越大，AO越大，若θ是钝角，θ越大，AO越小，故B错误。 7.（10分）如图所示，匀强磁场方向竖直向下、磁感应强度大小为B。一带电粒子质量为m、电荷量为+q，此粒子以某水平速度经过P点，方向如图，经过一段时间粒子经过Q点，已知P、Q在同一水平面内，P、Q间距离为L，P、Q连线与过P点时的速度的反向延长线夹角为θ，不计重力，求： （1）（5分）粒子的运动速度大小； （2）（5分）粒子从P第一次到Q所用的时间。 答案　（1）　（2） 解析　（1）作PQ的中垂线，过P作初速度方向的垂线，交点为圆心O，则OP等于带电粒子做圆周运动的半径r，轨迹如图，由几何知识可知r=，带电粒子受到的洛伦兹力提供向心力，有qv0B=，解得v0=。 （2）粒子轨迹对应的圆心角α=2π-2θ T=，t=T 联立解得t=。 8题8分，9题14分，10题16分，共38分 8.如图，在坐标系的第一和第二象限内存在磁感应强度大小分别为B和B、方向均垂直于纸面向外的匀强磁场。一质量为m、电荷量为q（q>0）的粒子垂直于x轴射入第二象限，随后垂直于y轴进入第一象限，最后经过x轴离开第一象限。粒子在磁场中运动的时间为（　　） A. B. C. D. 答案　B 解析　设带电粒子进入第二象限的速度为v，在第二象限和第一象限中运动的轨迹如图所示，对应的轨迹半径分别为R1和R2，由洛伦兹力提供向心力，有qvB=m、T=，可得R1=、R2=、T1=、T2=，带电粒子在第二象限中运动的时间为t1=，在第一象限中运动的时间为t2=T2，又由几何关系有cos θ==，可得t2=，则粒子在磁场中运动的时间为t=t1+t2，联立以上各式解得t=，选项B正确，A、C、D错误。 9.（14分）如图所示，长方形区域内存在垂直于纸面向里的匀强磁场，AB边长为l，AD边足够长，一质量为m、电荷量为+q的粒子从BC边上的O点以初速度v0沿垂直于BC方向射入磁场，粒子从A点离开磁场，速度方向与直线AB成30°角，不计粒子重力。求： （1）（4分）OB的长度； （2）（5分）磁场的磁感应强度大小； （3）（5分）粒子在磁场中经历的时间。 答案　（1）（2-）l　（2）　（3） 解析　（1）粒子运动轨迹如图 根据几何关系Rsin 30°=l 解得粒子在磁场中做圆周运动的半径为2l，所以OB=R-Rcos 30°=（2-）l （2）粒子在磁场中做圆周运动有qv0B= 解得B= （3）粒子在磁场中经历的时间 t=·=· 解得t=。 10.（16分）在以坐标原点O为圆心、半径为r的圆形区域内，存在磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向里的匀强磁场，如图所示。一个不计重力的带电粒子从磁场边界与x轴的交点A处以速度v沿-x方向射入磁场，它恰好从磁场边界与y轴的交点C处沿+y方向飞出。 （1）（6分）请判断该粒子带何种电荷，并求出其比荷； （2）（10分）若磁场的方向和所在空间范围不变，而磁感应强度的大小变为B'，该粒子仍从A处以相同的速度射入磁场，但飞出磁场时的速度方向相对于入射方向改变了60°，求磁感应强度B'的大小及此次粒子在磁场中运动所用时间t。 答案　（1）负电荷　　（2）B　 解析　（1）由粒子的运动轨迹（如图），利用左手定则可知，该粒子带负电荷。粒子由A点射入，由C点飞出，其速度方向改变了90°，则粒子轨迹半径R=r，又qvB=m，则粒子的比荷=。 （2）设粒子从D点飞出磁场，运动轨迹如图，速度方向改变了60°，故AD弧所对圆心角为60°，由几何知识可知，粒子做圆周运动的半径R'==r， 又R'=，所以B'=B，此次粒子在磁场中运动所用时间t=T=×=。 　（10分） 11.如图所示，ACD为一半圆形区域，其中O为圆心，AD为直径，∠AOC=90°，半圆形区域内存在着垂直该平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B。一带电粒子（不计重力）从圆弧的P点以速度v沿平行于直径AD方向射入磁场，经过一段时间从C点离开磁场时，速度方向偏转了60°，设P点到AD的距离为d。下列说法中正确的是（　　） A.该粒子带正电 B.该粒子的比荷为 C.该粒子在磁场中运动时间为 D.直径AD长度为3d 答案　B 解析　由左手定则可知，粒子带负电，选项A错误； 作出粒子运动轨迹如图 由几何知识可知四边形O1POC是菱形，粒子运动半径为R=2d，又因为qvB=m，解得=，选项B正确； 粒子在磁场中的运动时间为t=×=，选项C错误； 由几何知识可知直径AD长度为4d，选项D错误。 学科网（北京）股份有限公司 $$ DIYIZHANG 第一章 专题强化2　带电粒子在匀强磁场中的运动 1 1.会解决带电粒子在匀强磁场中运动的基本问题(难点)。 2.会分析带电粒子在有界匀强磁场中的运动(重点)。 学习目标 2 一、带电粒子在匀强磁场中运动的基本分析思路 二、带电粒子在有界匀强磁场中的运动 专题强化练 内容索引 3 带电粒子在匀强磁场中运动的基本分析思路 一 4 研究带电粒子在匀强磁场中做圆周运动的问题，应按照“一找圆心，二求半径，三求周期或时间”的基本思路分析。问题的关键是作出粒子的运动轨迹图。 1.定圆心 (1)洛伦兹力的方向一定过圆心。 如图甲所示，已知粒子进磁场的入射方向和出磁场的出射方向，试通过作图确定圆心的位置。 (2)圆的弦的中垂线必过圆心。 如图乙所示，已知进磁场的入射方向垂直于边界射出磁场 的位置M点，试确定圆心的位置。 (3)圆的任意两条弦的中垂线的交点为圆心。 如图丙所示，带电粒子在匀强磁场中分别经过AOB三点时，试确定圆心的位置。 答案　(1)两洛伦兹力方向的交点即为圆心的位置，故通过入射点和出射点作垂直于入射方向和出射方向的直线，两条直线的交点就是圆心，如图(a)所示。 (2)通过入射点作入射方向的垂线，连接入射点和出射点，作其中垂线，这两条垂线的交点就是圆心(如图(b)所示)。 (3)连接OA、OB，分别作OA、OB的中垂线，交点即为圆心的位置，如图(c)所示。 2.求半径r 利用几何知识求半径(勾股定理、三角函数) 在1(1)图甲中，确定好圆心的位置。如何求带电粒子轨迹的半径(已知磁场的宽度为d，速度方向如图甲所示)。 答案　作出粒子的轨迹如图所示，由圆的半径和d构成直角三角形，再根据边角关系得r=。 3.求时间t 利用轨迹对应圆心角或轨迹长度求时间 方法一：周期一定时，由圆心角求：t=·T； 方法二：v一定时，由弧长求：t== 求1(1)中带电粒子在匀强磁场中的运动时间。(已知带电粒子在匀强磁场中运动一周的时间为T) 答案　t=T=T=T 4.圆心角与偏向角、弦切角的关系 如图丁所示，带电粒子射出磁场时的速度方向与射入磁场时的速度方向之间的夹角φ叫作偏向角，轨迹圆弧对应的角叫作圆心角，弦PM与入射速度(即轨迹切线)的夹角叫作弦切角θ，则写出φ、α、θ三者的关系为　　　　 。 φ=α=2θ 　(2023·广州市从化中学高二期末)一个重力不计的带电粒子以大小为v的速度从坐标为(0，L)的a点，平行于x轴射入磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向外的圆形匀强磁场区域，并从x轴上的b点射出磁场，射出磁场时的速度方向与x轴正方向的夹角为60°，如图所示。 (1)求带电粒子在磁场中运动的轨迹半径； 例1 答案　2L　 粒子在磁场中运动的轨迹如图所示 由几何知识可知 Rcos 60°+L=R 解得R=2L (2)求粒子从a点运动到b点的时间； 答案　　 粒子运动的周期为 T== 粒子从a点运动到b点的时间为t=T= (3)其他条件不变，要使该粒子恰从O点射出磁场，求粒子的入射速度大小。 答案　v 要使该粒子恰从O点射出磁场，则应满足R'= 设粒子质量为m，由洛伦兹力提供向心力可得qBv'= 对粒子原来在磁场中的运动有qBv= 联立解得v'=v。 　如图所示，空间存在范围足够大的垂直xOy平面向里的 匀强磁场(图中未画出)，一质量为m、带电荷量为+q的带 电粒子(不计所受重力)从坐标原点O沿x轴正方向以速度v0 射出，带电粒子恰好经过点A(h，h)，求： (1)匀强磁场的磁感应强度大小B； 例2 答案　　 根据洛伦兹力提供向心力，运动轨迹如图， 结合几何关系有qv0B=h)2+(h-R)2=R2 解得R=h，B= (2)粒子从O点运动到A点所用的时间t。 答案　 设从O至A粒子做圆周运动的圆心角为α。sin ===，故 α=120°，设带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的周期为T，则 有T=，t=T 解得t=。 返回 带电粒子在有界匀强磁场中的运动 二 18 1.直线边界 从某一直线边界射入的粒子，再从这一边界射出时，速度与边界的夹角相等，如图所示。 2.圆形边界 (1)在圆形磁场区域内，沿半径方向射入的粒子，必沿半径方向射出，如图甲所示。 (2)在圆形磁场区域内，不沿半径方向射入的粒子，入射速度方向与半径的夹角为θ，出射速度方向与半径的夹角也为θ，如图乙所示。 　如图所示，在边界PQ上方有垂直纸面向里的匀强磁场，一对比荷相同的正、负离子同时从边界上的O点沿与PQ成θ角的方向以相同的速度v射入磁场中，不计离子重力，则正、负离子 A.在磁场中的运动时间相同 B.在磁场中运动的位移相同 C.出边界时两者的速度相同 D.正离子出边界点到O点的距离更大 例3 √ 粒子在磁场中运动周期为T= 则知两个离子圆周运动的周期相等。根据左手定则分析可知，正离子逆时针偏转，负离子顺时针偏转，作出两离子的运动轨迹，如图所示 两离子重新回到边界时，正离子的速度偏向角为2π-2θ，轨迹的圆心 角也为2π-2θ，运动时间t1=T 同理，负离子运动时间t2=T 正、负离子在磁场中运动时间不相等，故A错误； 根据洛伦兹力提供向心力，则有qvB= 得r= 由题意知r相同，根据几何知识可得，重新回到边界 的位置与O点距离s=2rsin θ， r、θ相同，则s相同，故两离子在磁场中运动的位移大小相同，方向不同，故B、D错误； 两离子在磁场中均做匀速圆周运动，速度沿轨迹的切线方向，根据圆的对称性可知，重新回到边界时速度大小与方向相同，故C正确。 　(多选)如图所示，半径为R的圆形区域中充满了垂直纸面向外的匀强磁场，O为圆心，AO与水平方向的夹角为30°。现有带正电粒子a从A点沿水平方向以大小为v0的速度垂直磁场射入，其离开磁场时，速度方向刚好改变了180°；另一带负电粒子b以大小相同的速度从C点沿CO方向垂直磁场射入。已知a、b两粒子的比荷之比为2∶1，不计粒子的重力和两粒子间的相互作用。下列说法正确的是 A.a、b两粒子做圆周运动的半径之比为1∶2 B.b粒子竖直向下射出磁场 C.b粒子在磁场中运动的时间为 D.两粒子在圆形边界的射出点间的距离为R 例4 √ √ √ a粒子离开磁场时，速度方向刚好改变了180°，表明粒子在磁场中转动了半周，其轨迹如图 由几何关系得r1=Rsin 30°= 根据牛顿第二定律得qv0B=m 解得r1==R b粒子进入磁场，有q'v0B=m'= 解得r2==R 根据左手定则，可知b粒子竖直向下射出磁场且r1∶r2=1∶2，故A、B正确。 b粒子在磁场中运动的时间为t2=T==， 故C错误。 由A、B选项中的解析可知，b粒子在磁场圆 的正下方射出磁场，a粒子离开磁场时的点和磁场圆心的连线与水平方向的夹角为30°，则几何关系可知两个出射点与圆心构成等边三角形，即两粒子在圆形边界的射出点间的距离为R，故D正确。 返回 专题强化练 三 27 1.如图，一个质量为m、电荷量为q的带负电的粒子，不计重力，从x轴上的P点以速度v垂直磁场方向射入第一象限内的匀强磁场中，并恰好垂直于y轴射出第一象限。已知射入磁场时v与x轴成45°角，OP=a。则下列说法错误的是 A.带电粒子运动轨迹的半径为a B.磁场的磁感应强度为 C.OQ的长度为a D.粒子在第一象限内运动的时间为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 基础强化练 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 带电粒子做匀速圆周运动的圆心和轨迹如图，设带电粒 子运动轨迹的半径为R，根据几何知识可得=sin 45°， 解得R=a，故A正确； 根据洛伦兹力提供向心力可得Bqv=，解得B=， 故B正确； O'Q=R=a，O'O=a，故OQ=O'Q+O'O=(+1)a，故C错误； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 带电粒子做匀速圆周运动的周期为T=，由几何知识可得∠QO'P=135°，故粒子在第一象限内运动的时间为t=·T=，故D正确。 2.如图所示，两个速度大小不同的同种带电粒子1、2沿水平方向从同一点垂直射入匀强磁场中，不计粒子重力，磁场方向垂直纸面向里，当它们从磁场下边界飞出时相对入射方向的偏向角分别为90°、60°，则粒子1、2在磁场中运动的 A.轨迹半径之比为2∶1 B.速度之比为1∶2 C.时间之比为2∶3 D.周期之比为1∶2 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 带电粒子在匀强磁场中运动时，洛伦兹力提供向 心力，由牛顿第二定律有qvB=m，可得r=， 又T=，联立可得T=，故两粒子运动的周 期相同，D错误； 速度的偏向角等于轨迹所对的圆心角，故粒子1的运动时间t1=T=T，粒子2的运动时间t2=T=T，则时间之比为3∶2，C错误； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 粒子1和粒子2运动轨迹的圆心O1和O2如图所示，设 粒子1的轨迹半径R1=d，对于粒子2，由几何关系可 得R2sin 30°+d=R2，解得R2=2d，故轨迹半径之比为 1∶2，A错误； 由r=可知，速度之比为1∶2，B正确。 3.(多选)如图所示，直角三角形ABC区域内部存在一匀强磁场，比荷相同的两个带电粒子沿AB方向射入磁场，分别从AC边上的P、Q两点射出，不计粒子重力，则 A.从P射出的粒子速度大 B.从Q射出的粒子速度大 C.从P射出的粒子在磁场中运动的时间长 D.两粒子在磁场中运动的时间一样长 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 作出两带电粒子各自的运动轨迹，如图所示，根据圆 周运动特点知，两粒子分别从P、Q点射出时，速度方 向与AC边的夹角相等，故可判定两粒子从P、Q点射出 时，半径RP<RQ，故由R=可知从Q点射出的粒子速度 大，A错误，B正确； 由T==得，两粒子在磁场中做圆周运动的周期相 等，根据题图，可知两轨迹对应的圆心角相等，由t= T得两粒子在磁场中的运动时间相等，C错误，D正确。 4.(多选)(2023·广州市第七十五中学高二期中)如图所示，在纸面内半径为R的圆形区域中充满了垂直于纸面向里、磁感应强度大小为B的匀强磁场。一点电荷从图中A点以速度v0垂直磁场射入，经磁场偏转后恰能从点A'射出且速度方向刚好改变了90°。已知AA'为区域磁场的一条直径，不计电荷的重力，下列说法正确的是 A.该点电荷带负电 B.该点电荷在磁场中做圆周运动的半径为R C.该点电荷的比荷为= D.该点电荷在磁场中的运动时间为t= √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 由左手定则可知该电荷带负电，故A正确； 点电荷在磁场中做匀速圆周运动，根据几何关系作 出轨迹，如图所示， 设轨迹圆的半径为r，可得r=2Rsin 45°=R，故B 错误； 根据qv0B=m=，故C正确；该点电荷在磁场中的运动时间为t==，故D错误。 5.如图，边长为l的正方形abcd内存在匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面(abcd所在平面)向外。ab边中点有一电子发射源O，可沿纸面向磁场内垂直于ab边的方向发射电子。已知电子的比荷为k。则从a、d两点射出的电子的速度大小分别为 A.kBl，kBl B.kBl，kBl C.kBl，kBl D.kBl，kBl 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 电子从a点射出时，其运动轨迹如图线①，轨迹半径 为ra=，由洛伦兹力提供向心力，有evaB=m =k，解得va=；电子从d点射出时，运动轨迹如图线②，由几何关系有=l2+(rd-)2，解得：rd=，由洛伦兹力提供向心力，有evdB= m=k，解得vd=，选项B正确，A、C、D错误。 6.如图所示，在x轴上方存在垂直于纸面向里的匀强磁场，磁场的磁感应强度为B，在xOy平面内，从原点O处与x轴正方向成θ角(0<θ<π)，垂直磁场方向以速率v发射一个带正电的粒子(重力不计)，则下列说法正确的是 A.若v一定，θ越大，则粒子在磁场中运动的时间越短 B.若v一定，θ越大，则粒子离开磁场的位置距O点越近 C.若θ一定，v越大，则粒子在磁场中运动的时间越短 D.若θ一定，v越大，则粒子在磁场中运动的角速度变大 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 粒子在磁场中做圆周运动，运动轨迹如图所示： 由几何关系得：轨迹对应的圆心角α=2π-2θ 粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期T== 粒子在磁场中运动的时间t=T=×= 则粒子在磁场中的运动时间与粒子速率无关，若θ一定，则粒子在磁场中运动的时间相等；若v一定，θ越大，则粒子在磁场中运动的时间越短，故C错误，A正确； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 洛伦兹力提供向心力得qvB=mωv， 解得ω=，粒子在磁场中运动的角速度与θ、 v无关，故D错误； 由qvB=得r=， 由几何知识得AO=2rsin θ=。 v一定，若θ是锐角，θ越大，AO越大，若θ是钝角，θ越大，AO越小，故B错误。 7.如图所示，匀强磁场方向竖直向下、磁感应强度大小为 B。一带电粒子质量为m、电荷量为+q，此粒子以某水平 速度经过P点，方向如图，经过一段时间粒子经过Q点， 已知P、Q在同一水平面内，P、Q间距离为L，P、Q连线与过P点时的速度的反向延长线夹角为θ，不计重力，求： (1)粒子的运动速度大小； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案　　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 作PQ的中垂线，过P作初速度方向的垂线，交点为圆心 O，则OP等于带电粒子做圆周运动的半径r，轨迹如图， 由几何知识可知r=，带电粒子受到的洛伦兹力提 供向心力，有qv0B=，解得v0=。 (2)粒子从P第一次到Q所用的时间。 答案　 粒子轨迹对应的圆心角α=2π-2θ T=，t=T 联立解得t=。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 8.如图，在坐标系的第一和第二象限内存在磁感应强度大小分别为B和B、方向均垂直于纸面向外的匀强磁场。一质量为m、电荷量为q(q>0)的粒子垂直于x轴射入第二象限，随后垂直于y轴进入第一象限，最后经过x轴离开第一象限。粒子在磁场中运动的时间为 A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 √ 能力综合练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 设带电粒子进入第二象限的速度为v，在第二象限和第 一象限中运动的轨迹如图所示，对应的轨迹半径分别 为R1和R2，由洛伦兹力提供向心力，有qvB=m、T= ，可得R1=、R2=、T1=、T2=，带电粒子在第二象限中运动的时间为t1=，在第一象限中运动的时间为t2=T2，又由几何关系有cos θ==，可得t2=，则粒子在磁场中运动的时间为t=t1+t2，联立以上各式解得t=，选项B正确，A、C、D错误。 9.如图所示，长方形区域内存在垂直于纸面向里的匀强磁场，AB边长为l，AD边足够长，一质量为m、电荷量为+q的粒子从BC边上的O点以初速度v0沿垂直于BC方向射入磁场，粒子从A点离开磁场，速度方向与直线AB成30°角，不计粒子重力。求： (1)OB的长度； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案　(2-)l　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 粒子运动轨迹如图 根据几何关系Rsin 30°=l 解得粒子在磁场中做圆周运动的半径为2l， 所以OB=R-Rcos 30°=(2-)l (2)磁场的磁感应强度大小； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案　　 粒子在磁场中做圆周运动有qv0B= 解得B= (3)粒子在磁场中经历的时间。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案　 粒子在磁场中经历的时间 t=·=· 解得t=。 10.在以坐标原点O为圆心、半径为r的圆形区域内，存在磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向里的匀强磁场，如图所示。一个不计重力的带电粒子从磁场边界与x轴的交点A处以速度v沿-x方向射入磁场，它恰好从磁场边界与y轴的交点C处沿+y方向飞出。 (1)请判断该粒子带何种电荷，并求出其比荷； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案　负电荷　　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 由粒子的运动轨迹(如图)，利用左手定则可知，该粒子带负电荷。粒子由A点射入，由C点飞出，其速度方向改变了90°，则粒子轨迹半径R=r，又qvB=m =。 (2)若磁场的方向和所在空间范围不变，而磁感应强度的大小变为B'，该粒子仍从A处以相同的速度射入磁场，但飞出磁场时的速度方向相对于入射方向改变了60°，求磁感应强度B'的大小及此次粒子在磁场中运动所用时间t。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案　B　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 设粒子从D点飞出磁场，运动轨迹如图，速度方向改变 了60°，故AD弧所对圆心角为60°，由几何知识可知， 粒子做圆周运动的半径R'==r， 又R'=，所以B'=B，此次粒子在磁场中运动所用时间t=T=× =。 11.如图所示，ACD为一半圆形区域，其中O为圆心，AD为直径，∠AOC=90°，半圆形区域内存在着垂直该平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B。一带电粒子(不计重力)从圆弧的P点以速度v沿平行于直径AD方向射入磁场，经过一段时间从C点离开磁场时，速度方向偏转了60°，设P点到AD的距离为d。下列说法中正确的是 A.该粒子带正电 B.该粒子的比荷为 C.该粒子在磁场中运动时间为 D.直径AD长度为3d 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 √ 尖子生选练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 由左手定则可知，粒子带负电，选项A错误； 作出粒子运动轨迹如图 由几何知识可知四边形O1POC是菱形，粒子运动 半径为R=2d，又因为qvB=m=，选项B正确； 粒子在磁场中的运动时间为t=×=，选项C错误； 由几何知识可知直径AD长度为4d，选项D错误。 返回 BENKEJIESHU 本课结束 $$