第1章 专题强化2 带电粒子在有界匀强磁场中的运动-（课件PPT+Word教案）【步步高】2024-2025学年高二物理选择性必修第二册教师用书（鲁科版2019）

DIYIZHANG 第1章 专题强化2　带电粒子在有界匀 强磁场中的运动 1 1.会分析带电粒子在有界匀强磁场中的运动(重点)。 2.会分析带电粒子在有界匀强磁场中运动的临界极值问题(重难点)。 3.会分析带电粒子在有界匀强磁场中运动的多解问题(重点)。 学习目标 2 一、带电粒子在有界匀强磁场中的运动 二、带电粒子在有界匀强磁场中的临界极值问题 专题强化练 三、带电粒子在匀强磁场中运动的多解问题 内容索引 3 带电粒子在有界匀强磁场中的运动 一 4 (1)从某一直线边界射入的粒子，再从这一边界射出时，速度方向与边界的夹角相等，如图甲所示。 (2)带电粒子在匀强磁场中运动的轨迹圆弧所对应的弦长d=2Rsin θ，其中R为轨迹半径，θ为弦切角，如图甲所示。 (3)在圆形磁场区域内，沿半径方向射入的粒子，必沿半径方向射出，如图乙所示。 (4)在圆形磁场区域内，不沿半径方向射入的粒子，入射速度方向与半径的夹角为θ，出射速度方向与半径的夹角也为θ，如图丙所示。 　(多选)(2023·龙岩市第一中学高二期末)如图所示，虚线上方空间分布着垂直纸面向里的匀强磁场，在纸面内沿不同的方向从粒子源O先后发射速率均为v的A和B两个粒子，A、B均带正电且电荷量相同，B的质量是A的质量的2倍，两个粒子同时到达P点。已知OP=L，B粒子沿与PO成30°角的方向发射，不计粒子的重力和粒子间的相互作用力，则下列说法正确的是 A.A粒子沿与PO成150°角的方向发射 B.A、B两个粒子在磁场中运动的半径之比为1∶2 C.A、B两粒子在磁场中运动的时间之比为3∶10 D.A粒子和B粒子发射的时间间隔为 例1 √ √ 粒子在磁场中运动，由洛伦兹力提供向心力qvB=m， 解得r= 由于A、B电荷量相同，B的质量是A的质量的2倍， 可知A、B两个粒子在磁场中运动的半径之比为==，如图所示，对于B粒子而言，根据其在磁场中运动的轨迹，结合几何关系得其轨迹对应的圆心角为300°，则B粒子做匀速圆周运动的轨迹半径为rB=L，则A粒子做圆周运动的轨迹半径为rA=rB=，可知OP为A粒子做匀速圆周运动的直径，A粒子沿与PO成90°角的方向发射，故A错误，B正确； A粒子做匀速圆周运动的时间为tA=TA=×=， B粒子做匀速圆周运动的时间为tB=TB=×=， A、B两粒子在磁场中运动的时间之比为==， A粒子和B粒子发射的时间间隔为Δt=tB-tA=-=，故C正确，D错误。 　如图所示，在圆形区域内存在垂直纸面向外的匀强磁场，ab是圆的直径。一带电粒子从a点射入磁场，速度大小为v1、方向与ab成30°角时，恰好从b点飞出磁场，且粒子在磁场中运动的时间为t；若同一带电粒子从a点沿ab方向射入磁场，也经时间t飞出磁场， 则其速度大小为 A.v1 B.v1 C.v1 D.v1 例2 √ 画出两种情况下带电粒子的运动轨迹如图所示，由题意，同一粒子在磁场中偏转时间均为t，则两种情况下带电粒子的偏转角均为60°；设圆的半径为R，由几何关系可以确定带电粒子在两种情况下做匀速圆周运动的半径分别为r1=2R，r2=Rtan 60°=R， 由洛伦兹力提供向心力有qvB=m，则v===，所以当粒子沿ab方向射入时，v2=v1，A、B、D错误，C正确。 返回 二 带电粒子在有界匀强磁场中的临界极值问题 12 1.如图所示，宽为d的带状区域内有垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B，一质量为m、电荷量为e的质子从A点出发，与边界成60°角进入匀强磁场。 (1)质子不同速度射入时，轨迹圆心位置； 答案　由于入射速度方向相同，所以轨迹圆心的位置在同一射线上，如图中虚线所示。 (2)当v=时，求出质子的轨迹半径，并画出轨迹图； 答案　由r=得r1=d 画出轨迹如图中①所示 (3)当v=时，求出质子的轨迹半径，并画出轨迹图； 答案　由r=得r2=d 画出轨迹如图中②所示 (4)当v=时，求出质子的轨迹半径，并画出轨迹图； 答案　由r=得r3=d 画出轨迹如图中③所示 (5)要使质子从左边界飞出磁场，则质子的速度范围为多少。 答案　从画出的轨迹发现，当v=时，轨迹恰好与右边界PQ相切，所以当v≤时，质子从左边界飞出。 2.如图所示，在平面直角坐标系xOy的第一、二象限内，存在垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B，大量质量为m、电荷量为q的相同粒子从y轴上的P(0，L)点，以相同的速率在纸面内沿不同方向先后射入磁场。若沿x轴正方向射入时，粒子垂直x轴离开磁场， 不计粒子的重力，则： (1)粒子运动的半径为多大？ 答案　沿x轴正方向射入时，垂直x轴离开磁场，故粒子带正电，轨迹圆心为O点，如图所示，则半径r=L (2)所有粒子的轨迹圆心位置特点是什么？ 答案　在P点以不同方向射入磁场的粒子轨迹的圆心必定处在以P为圆心、L为半径的圆上，如图所示 (3)尝试画出以不同速度方向射入磁场的粒子的轨迹， 找出粒子在磁场中运动时间最短的轨迹，并求出最 短时间。 答案　以O为圆心、L为半径从P点开始顺时针画出轨迹，如图所示，发现从O点射出磁场的粒子对应的弧长最短(弦长最短)，轨迹圆弧对应的圆心角最小，时间最短。 θ=60°= t=·= (4)通过画轨迹，找出粒子离开磁场的位置的范围，左边离O和右边离O的最远距离各为多少？ 答案　通过第(3)问画的轨迹图分析可知，O点右侧弦是直径时打到右侧离O点位置最远，O点左侧轨迹与x轴相切时，左侧位置离O点最远，如图所示。右侧最远距离OQ==L 左侧最远距离OM=L 所以离开磁场的位置范围为(-L，L)。 解决带电粒子在匀强磁场中运动的临界问题的关键，通常以题目中的“恰好”“最大”“至少”等为突破口，寻找临界点，确定临界状态，根据匀强磁场边界和题设条件画出轨迹，建立几何关系求解。 (1)刚好穿出或刚好不能穿出磁场的条件是带电粒子在匀强磁场中运动的轨迹与边界相切。 (2)当以一定的速率垂直射入匀强磁场时，运动的弧长越长、圆心角越大，则带电粒子在有界匀强磁场中运动时间越长。 (3)速度v不同、比荷相同的带电粒子在同一匀强磁场里运动的周期相同，运动的圆心角越大，运动时间越长。 提炼·总结 (4)在圆形匀强磁场中，当带电粒子运动轨迹的半径大于磁场的半径，且入射点和出射点为磁场直径的两个端点时，轨迹对应的偏转角最大(所有弦长中直径最长)。 　(多选)(2023·潍坊市高二期中)如图所示，直角三角形abc区域(包括边界)存在垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B，ab边长为2L，∠a=30°，一粒子源固定在ac边的中点d，粒子源垂直ac边向磁场中发射不同速率的带正电的粒子，粒子均从bc边界射出，已知粒子质量为m、电荷量为q，下列说法正确的是 A.粒子运动的速率可能为 B.粒子在磁场中运动的时间可能为 C.bc边界上有粒子射出的区域长度最大为L D.有粒子经过的磁场区域的面积最大为πL2 例3 √ √ 根据题意可知当粒子运动轨迹与ab边相切时，对应的速度最大，如图， 根据几何知识可得半径r1=Lcd=L，根据洛伦兹力提供向心力qBv1=m 解得v1= 同理若粒子从c点射出，运动半径r2=Lcd=L，则速度v2= 则粒子的速度不可能为，故A错误； 粒子在磁场中运动的周期为T== 当粒子垂直bc边射出时，粒子在磁场中运动的 时间为t==，故B正确； 根据题意可知当粒子运动轨迹与ab边相切时，打在bc上的点到c点的距离最大，即Lmax=r1=L，所以打在bc边界上有粒子射出的区域长度最大为L，有粒子经过的磁场区域的面积最大为S=-=，故C正确，D错误。 　(多选)(2023·济宁市高二期中)如图所示，在直角坐标系xOy第一象限内x轴上方存在磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场，在y轴上S处有一粒子源，它可向右侧纸面内各个方向射出速率相等的质量大小均为m、电荷量大小均为q的同种带电粒子，所有粒子射出磁场时离S最远的位置是x轴上的P点。已知OS=OP=4d，sin 53°=0.8，粒子带负电，粒子重力及粒子间的相互作用均不计，则 A.粒子的速度大小为 B.从O点射出的粒子在磁场中的运动时间为 C.沿平行x轴正方向射入的粒子离开磁场时的位置到 　O点的距离为2d D.从x轴上射出磁场的粒子在磁场中运动的最长时间与最短时间之比为233∶106 例4 √ √ √ 粒子运动轨迹如图所示。 由OS=OP=4d，可得SP=5d 由题知SP是其中一个轨迹的直径，由qvB=m 可得r==d 则v=，故A正确； 由几何知识可得从O点射出的粒子，轨迹所对应的圆心角为106°，在磁场中的运动时间为t=·=，故B错误； 假设沿平行x轴正方向射入的粒子，离开磁场时的位置到O点的距离为l，由几何知识可得r2=l2+(4d-r)2 代入r=d，解得l=2d，故C正确； 从x轴上射出磁场的粒子，从原点射出时在 磁场中运动时间最短，其运动时间为tmin=t= 运动轨迹与x轴相切时运动时间最长，由几何知识可得轨迹所对应的圆心角为233°，运动时间为tmax=·= 则tmax∶tmin=233∶106，故D正确。 返回 带电粒子在匀强磁场中运动的多解问题 三 32 多解的原因： (1)磁场方向不确定形成多解； (2)带电粒子电性不确定形成多解； (3)临界状态不唯一形成多解； (4)运动的往复性形成多解。 解决此类问题，首先应画出粒子的可能轨迹，然后找出圆心、半径的可能情况。 　(多选)如图所示，位于A点的离子源在纸面内沿垂直OQ的方向向上射出一束负离子，重力忽略不计。为把这束负离子约束在OP之下的区域，可加垂直纸面的匀强磁场。已知O、A两点间的距离为s，负离子的比荷为，速率为v，OP与OQ间的夹角为30°，则所加匀强磁场的磁感应强度B应满足 A.垂直纸面向里，B> B.垂直纸面向里，B> C.垂直纸面向外，B> D.垂直纸面向外，B> 例5 √ √ 当所加匀强磁场方向垂直纸面向里时，由左手定则可知负离子向右偏转，负离子被约束在OP之下的区域的临界条件是离子的运动轨迹与OP相切，如图(大圆弧)， 由几何知识知R2=OBsin 30°=OB，而OB =s+R2，故R2=s，所以当离子运动轨迹的半 径小于s时满足约束条件；由牛顿第二定律可得qvB=，所以应满足B>，选项A错误，B正确； 当所加匀强磁场方向垂直纸面向外时，由左 手定则可知负离子向左偏转，负离子被约束 在OP之下的区域的临界条件是离子的运动轨 迹与OP相切，如图(小圆弧)，由几何知识知R1= 时满足约束条件；由牛顿第二定律得qvB=，所以应满足B>，选项C正确，D错误。 　(多选)(2022·湖北卷)在如图所示的平面内，分界线SP将宽度为L的矩形区域分成两部分，一部分充满方向垂直纸面向外的匀强磁场，另一部分充满方向垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小均为B，SP与磁场左右边界垂直。离子源从S处射入速度大小不同的正离子，离子入射方向与磁场方向垂直且与SP成30°角。已知离子比荷为k，不计重力。若离子从P点射出，设出射方向与入射方向的夹角为θ， 则离子的入射速度和对应θ角的可能组合为 A.kBL，0° B.kBL，0° C.kBL，60° D.2kBL，60° 例6 √ √ 若离子通过下部分磁场直接到达P点，如图， 根据几何关系则有R=L，由qvB=m，可得v==kBL，根据对称性可知出射速度与SP成30°角向上，故出射方向与入射方向的夹角为θ=60°。当离子在两个磁场均运动一次时，如图， 因为两个磁场的磁感应强度大小均为B，则根据对称性有R=L，根据洛伦兹力提供向心力，有qvB=m，可得v==kBL，此时出射方向与入射方向相同，即出射方向与入射方向的夹角为θ=0°。通过以上分析可知当离子从下部分磁场射出时，需满足v==kBL(n=1，2，3，…)，此时出射方向与入射方向的夹角为θ=60°；当离子从上部分磁场射出时，需满足v==kBL(n=1，2，3，…)，此时出射方向与入射方向的夹角为θ=0°。故B、C正确，A、D错误。 返回 专题强化练 四 40 考点一　带电粒子在有界匀强磁场中的运动 1.(2023·宿迁市高二期末)如图所示，在边界PQ上方有垂直纸面向里的匀强磁场，一对比荷相同的正、负离子同时从边界上的O点沿与PQ成θ角的方向以相同的速度v射入磁场中，不计离子重力及离子间的相互作用，则正、负离子 A.在磁场中的运动时间相同 B.在磁场中运动的位移相同 C.出边界时两者的速度相同 D.正离子出边界点到O点的距离更大 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 基础对点练 √ 两离子在磁场中运动周期为T=，则知两个离子做圆周运动的周期相等。根据左手定则分析可知，正离子逆时针偏转，负离子顺时针偏转，作出两离子的运动轨迹，如图所示 两离子重新回到边界时，正离子的速度偏向角 为2π-2θ，轨迹的圆心角也为2π-2θ，运动时间t1 =T=T 同理，负离子运动时间t2=T=T 正、负离子在磁场中运动时间不相等，故A错误； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 根据洛伦兹力提供向心力，则有qvB= 得r= 由题意可知r相同，根据几何知识可得，重新 回到边界的位置与O点距离s=2rsin θ， r、θ相同，则s相同，故两离子在磁场中运动的位移大小相同，方向不同，故B、D错误； 两离子在磁场中均做匀速圆周运动，速度沿轨迹的切线方向，根据圆的对称性可知，重新回到边界时速度大小与方向相同，故C正确。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2.(多选)(2023·德化市第一中学高二阶段练习)如图所示，水平边界上方有垂直纸面向里、范围足够大的匀强磁场，带电粒子射入磁场后，仅在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，则下列说法正确的是 A.仅增大入射速度，粒子在磁场中的运动轨迹变长 B.仅增大入射速度，粒子在磁场中的运动时间变短 C.仅增大磁感应强度，粒子在磁场中的运动轨迹变长 D.仅增大磁感应强度，粒子在磁场中的运动时间变短 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 粒子在磁场中做圆周运动，洛伦兹力提供向心力， 则有qvB=m，解得R=，设粒子入射速度与磁 场边界夹角为θ，夹角的单位为弧度，则粒子在 磁场中的运动轨迹长为s=(2π-2θ)R，解得s=，可知，仅增大入射速度，粒子在磁场中的运动轨迹变长，A正确； 根据上述可知，粒子在磁场中的运动时间t==，则仅增大入射速度，粒子在磁场中的运动时间不变，B错误； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 根据上述可知，仅增大磁感应强度，粒子在磁 场中的运动轨迹变短，C错误； 根据上述可知，仅增大磁感应强度，粒子在磁 场中的运动时间变短，D正确。 3.(2024·海南国兴中学高二期中)如图所示，空间有一圆柱形匀强磁场区域，该区域的横截面的半径为R，磁场方向垂直于横截面。一质量为m、电荷量为q(q>0)的粒子以速率v0沿横截面的某直径射入磁场，离开磁场时速度方向偏离入射方向60°。不计粒子重力，该磁场的磁感应强度大小为 A. B. C. D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 粒子的运动轨迹如图所示， 粒子做圆周运动的轨道半径 r==R 根据洛伦兹力提供向心力得 qv0B=m，解得B=，故A正确。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 4.如图所示，ACD为一半圆形区域，其中O为圆心，AD为直径，∠AOC=90°，半圆形区域内存在着垂直该平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B。一带电粒子(不计重力)从圆弧的P点以速度v沿平行于直径AD方向射入磁场，运动一段时间从C点离开磁场时，速度方向偏转了60°，设P点到AD的距离为d。下列说法中正确的是 A.该粒子带正电 B.该粒子的比荷为 C.该粒子在磁场中运动时间为 D.直径AD长度为4d √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 由左手定则可判断，粒子带负电；过P点和C点作速度方向的垂线，交点即为轨迹圆圆心。如图，由几何关系可知， OCO'P为菱形，∠COP=∠CO'P=60°，=2d ==r 洛伦兹力提供向心力qvB=m，r==；粒子在磁场中运动时间为t==×==×=；直径AD的长度等于磁场区域半径的2倍，即4d，故选D。 考点二　带电粒子在有界匀强磁场中的临界极值问题 5.如图所示，△ABC为与匀强磁场垂直的边长为a的等边三角形，比荷为的电子以速度v0从A点沿AB边入射，欲使电子经过BC边，磁感应强度B的取值范围为 A.B> B.B< C.B> D.B< √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 由题意可知，电子正好经过C点时的运动轨迹如 图所示，此时圆周运动的半径R==a，要 想电子从BC边经过，电子做圆周运动的半径要 大于a，由带电粒子在磁场中做圆周运动的半 径r=a<，即B<，D项正确。 6.空间存在方向垂直于纸面向里的匀强磁场，图中的正方形为其边界。一细束由两种粒子组成的粒子流沿垂直于磁场的方向从O点入射。这两种粒子带同种电荷，它们的电荷量、质量均不同，但比荷相同，且都包含不同速率的粒子，不计重力及粒子间的相互作用。下列说法正确的是 A.入射速度不同的粒子在磁场中的运动时间一定不同 B.入射速度相同的粒子在磁场中的运动轨迹一定相同 C.在磁场中运动时间相同的粒子，其运动轨迹一定 　相同 D.在磁场中运动时间越长的粒子，其轨迹一定越长 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 根据qvB=m，周期T=，得r=，T=，这两种粒子带同种电荷，比荷相同，则周期相同，若不同速度粒子都从左边界离开磁场，圆心角均为180°，运动时间一定相同，但运动轨迹不同，故A、C错误； 根据r=可知，运动轨迹对应的半径与速率成正比，入射速度相同的粒子在磁场中的运动轨迹一定相同，故B正确； 如图，运动轨迹为1的粒子的运动时间较长，但轨迹 长度比2的短，故D错误。 7.(2024·德阳市德阳外国语学校高二开学考试)如 图所示，一足够长的矩形区域abcd内存在一方向 垂直纸面向里、磁感应强度大小为B的匀强磁场， 在ad边中点O，沿垂直磁场方向射入一速度方向与ad边夹角θ=30°、大小为v0(未知量)的带正电粒子，已知粒子质量为m、带电荷量为q，ad边长为L，ab边足够长，粒子重力不计。 (1)若粒子恰好不能从磁场下边界射出，求粒子的入射速度大小v01； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (1)和(2)两种临界情况的运动轨迹如图所示， 若粒子速度大小为v0，则 qv0B=m，解得：v0=。 设圆心在O1处对应圆弧与cd边相切，对应速度大小为v01 由几何关系得：R1sin θ=，解得R1=L 则有：v01==。 (2)若粒子恰好沿磁场上边界切线射出，求粒子 的入射速度大小v02； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案　　 设圆心在O2处对应圆弧与ab边相切，对应速度大小为v02 由几何关系得：R2+R2sin θ=，解得R2= 则有：v02==。 (3)若带电粒子的速度v0大小可取任意值，求粒 子在磁场中运动的最长时间。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 由t=T和T==可知，粒子在磁场中经过的圆弧所对的圆心角α越大，在磁场中运动的时间越长。当在磁场中运动的半径r<R2时，运动时间最长 则圆弧所对圆心角为α=2π-2θ= 所以最长时间为t=T=×=。 考点三　带电粒子在有界匀强磁场中的多解问题 8.(2024·汉中市西乡县第一中学高二月考)如图所示，在xOy平面内，y≥0的区域有垂直于xOy平面向里的匀强磁场，磁感应强度为B，一质量为m、带电荷量的绝对值为q的粒子从原点O沿与x轴正 方向成60°角方向以v0射入，粒子的重力不计， 求带电粒子在磁场中运动的时间和带电粒子离开 磁场时的位置坐标。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案　　或　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 由洛伦兹力提供向心力，有 qv0B=m=mR 解得R=，T= 当带电粒子带正电时，轨迹如图中OAC所示，故粒子在磁场中运动的时间 t1=T= 粒子在C点离开磁场 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 OC=2Rsin 60°= 故带电粒子离开磁场的位置坐标为 当带电粒子带负电时，轨迹如图中ODE所示， 故粒子在磁场中的运动时间t2=T= 粒子在E点离开磁场OE=2Rsin 60°= 故带电粒子离开磁场时的位置坐标为。 9.(多选)(2023·芜湖市统考)国际空间站上的阿尔法磁谱仪(AMS)是探究宇宙中的反物质和暗物质(即由反粒子构成的物质)的重要仪器，如氚核H)的反粒子(反氚核H。该磁谱仪核心部分的截面区域是半径为R的圆形匀强磁场区域，该区域磁场方向垂直纸面向外(未画出)，且粒子打到磁场边界就被吸收，如图所示，P为粒子的入射窗口，各粒子从P射入时的速度大小相同，且均沿直径方向，P、a、b、c、d、e为圆周上的等分点，若质子H)射入磁场区域后打在a点，则反氚核H)射入后， A.反氚核将打在d点 B.反氚核射入磁场后运动轨迹的半径为质子的 C.反氚核在磁场中运动轨迹的弧长为质子的 D.反氚核的磁场中运动的时间为质子的 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 √ 能力综合练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得qvB=m，解得r=，设质子的轨道半径为r，已知各粒子从P射入时速度大小相同，根据反氚核H)和质子H)的质量关系和电荷量关系，可知反氚核 H)的轨道半径应为r'=3r，质子H)射入磁场区域后打在a点，它转过的圆 心角θ1=180°-60°=120°，根据几何关系得tan=tan 60°==H)的几何关系应该为tan ==，则θ2=60°，由左手定则可知，质子刚 射入磁场时受到的洛伦兹力竖直向下，则反氚核应从d点射出磁场，故A正确，B错误； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 根据数学知识可知轨迹弧长为l=rθ，可知反氚核在磁场中运动的轨迹弧长为质子的，故C正确； 带电粒子在匀强磁场中做圆周运动的周期为T=， 质子与反氚核在磁场中运动的周期之比为1∶3，质子在磁场中运动轨迹的圆心角为θ1=120°，反氚核在磁场中运动轨迹的圆心角为θ2=60°，根据t=T，可知质子在磁场中运动的时间为反氚核在磁场中运动时间的，故D错误。 10.(2024·湖北卷)如图所示，在以O点为圆心、半径为R的圆形区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。圆形区域外有大小相等、方向相反、范围足够大的匀强磁场。一质量为m、电荷量为q(q>0)的带电粒子沿直径AC方向从A点射入圆形区域。不计重力，下列说法正确的是 A.粒子的运动轨迹可能经过O点 B.粒子射出圆形区域时的速度方向不一定沿该区域的 　半径方向 C.粒子连续两次由A点沿AC方向射入圆形区域的最小时间间隔为 D.若粒子从A点射入到从C点射出圆形区域用时最短，粒子运动的速度大小为 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 在圆形匀强磁场区域内，沿着径向射入的粒子，总是沿着径向射出的。根据圆的几何知识可知粒子的运动轨迹不可能经过O点，故A、B错误； 粒子连续两次由A点沿AC方向射入圆形区域， 则根据对称性可知时间最短的轨迹如图(a)所示，则最短时间为t=2T=，故C错误； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 若粒子从A点射入到从C点射出圆形区域用时最短，则轨迹如图(b)所示，设粒子在磁场中运动的半径为r，根据几何关系可知r=，根据洛伦兹力提供向心力有qvB=m，可得v=，故D正确。 11.(2023·扬州市高二期中)如图所示，垂直于纸面向里的匀强磁场的磁感应强度大小B=0.60 T，有一与磁场平行的足够大的感光板ab，其左侧处有一粒子源S向纸面内各个方向均匀发射速度大小都是v=6.0×106 m/s带正电的粒子，比荷均为=5.0×107 C/kg，粒子重力不计。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 已知SO垂直ab，其中沿与SO成30°角的方向发射的粒子刚好与ab相切于P，求： (1)粒子源距ab感光板O点的距离； 答案　10 cm 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 粒子在磁场中的运动轨迹如图甲所示 由洛伦兹力提供向心力可得 qvB=m 解得R==20 cm 当初速度方向与SO夹角为30°，轨迹与ab切于P点， 可知△SPO1为等边三角形，由几何关系可知粒子源距ab感光板O点的距离为SO=R-Rsin 30°=R=10 cm (2)从S垂直SO向下射出的粒子打在感光板上的位置离O点的距离； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案　10 cm 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 粒子在磁场中的轨迹如图乙所示 设从S垂直SO向下射出的粒子打在感光板 上的位置离O点的距离为x，根据几何关系 可得cos α== 则有x=Rsin α=10 cm (3)ab板上感光部分的长度。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案　10(+) cm 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 粒子在磁场中的轨迹如图丙所示 ab板上感光部分最上端与O点的距离为OP= Rsin 60°=10 cm ab板上感光部分最下端与O点的距离为OQ= =10 cm 故ab板上感光部分的长度为PQ=10(+) cm。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 尖子生选练 12.(2023·威海市高二期末)如图所示，直角三角形OPQ区域内有垂直纸面向里的匀强磁场(未画出)，磁感应强度大小为B，∠O=60°，边长OQ=2a。质量为m、电荷量为q的带负电粒子从O点沿OP方向射入磁场，从OQ边射出且半径最大，粒子重力不计，下列说法正确的是 A.粒子的速度大小为 B.粒子在磁场中的运动时间为 C.粒子在磁场中运动的圆弧对应的弦长为 D.粒子离开磁场的位置到Q点的距离为(2-)a √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 依题意，粒子的轨迹如图所示，与PQ边相切，可得 r=a，又qvB=m，联立解得v=，故A错误； 由几何关系可知，粒子在磁场中运动的轨迹圆弧所对 应圆心角为120°，有t=T，又T=，联立解得t= ，故B错误； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 设粒子在磁场中运动的圆弧对应的弦长为L， 由几何关系可得=rcos 30°，联立解得L=a， 故C错误； 粒子离开磁场的位置到Q点的距离为QQ'=OQ-L =(2-)a，故D正确。 返回 BENKEJIESHU 本课结束 $$ 专题强化2　带电粒子在有界匀强磁场中的运动 ［学习目标］　1.会分析带电粒子在有界匀强磁场中的运动(重点)。2.会分析带电粒子在有界匀强磁场中运动的临界极值问题(重难点)。3.会分析带电粒子在有界匀强磁场中运动的多解问题(重点)。 一、带电粒子在有界匀强磁场中的运动 (1)从某一直线边界射入的粒子，再从这一边界射出时，速度方向与边界的夹角相等，如图甲所示。 (2)带电粒子在匀强磁场中运动的轨迹圆弧所对应的弦长d=2Rsin θ，其中R为轨迹半径，θ为弦切角，如图甲所示。 (3)在圆形磁场区域内，沿半径方向射入的粒子，必沿半径方向射出，如图乙所示。 (4)在圆形磁场区域内，不沿半径方向射入的粒子，入射速度方向与半径的夹角为θ，出射速度方向与半径的夹角也为θ，如图丙所示。 例1　(多选)(2023·龙岩市第一中学高二期末)如图所示，虚线上方空间分布着垂直纸面向里的匀强磁场，在纸面内沿不同的方向从粒子源O先后发射速率均为v的A和B两个粒子，A、B均带正电且电荷量相同，B的质量是A的质量的2倍，两个粒子同时到达P点。已知OP=L，B粒子沿与PO成30°角的方向发射，不计粒子的重力和粒子间的相互作用力，则下列说法正确的是(　　) A.A粒子沿与PO成150°角的方向发射 B.A、B两个粒子在磁场中运动的半径之比为1∶2 C.A、B两粒子在磁场中运动的时间之比为3∶10 D.A粒子和B粒子发射的时间间隔为 答案　BC 解析　粒子在磁场中运动，由洛伦兹力提供向心力qvB=m，解得r= 由于A、B电荷量相同，B的质量是A的质量的2倍，可知A、B两个粒子在磁场中运动的半径之比为==，如图所示，对于B粒子而言，根据其在磁场中运动的轨迹，结合几何关系得其轨迹对应的圆心角为300°，则B粒子做匀速圆周运动的轨迹半径为rB=L，则A粒子做圆周运动的轨迹半径为rA=rB=，可知OP为A粒子做匀速圆周运动的直径，A粒子沿与PO成90°角的方向发射，故A错误，B正确；A粒子做匀速圆周运动的时间为tA=TA=×=，B粒子做匀速圆周运动的时间为tB=TB=×=，A、B两粒子在磁场中运动的时间之比为==，A粒子和B粒子发射的时间间隔为Δt=tB-tA=-=，故C正确，D错误。 例2　如图所示，在圆形区域内存在垂直纸面向外的匀强磁场，ab是圆的直径。一带电粒子从a点射入磁场，速度大小为v1、方向与ab成30°角时，恰好从b点飞出磁场，且粒子在磁场中运动的时间为t；若同一带电粒子从a点沿ab方向射入磁场，也经时间t飞出磁场，则其速度大小为(　　) A.v1 B.v1 C.v1 D.v1 答案　C 解析　画出两种情况下带电粒子的运动轨迹如图所示，由题意，同一粒子在磁场中偏转时间均为t，则两种情况下带电粒子的偏转角均为60°；设圆的半径为R，由几何关系可以确定带电粒子在两种情况下做匀速圆周运动的半径分别为r1=2R，r2=Rtan 60°=R，由洛伦兹力提供向心力有qvB=m，则v=，则==，所以当粒子沿ab方向射入时，v2=v1，A、B、D错误，C正确。 二、带电粒子在有界匀强磁场中的临界极值问题 1.如图所示，宽为d的带状区域内有垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B，一质量为m、电荷量为e的质子从A点出发，与边界成60°角进入匀强磁场。 (1)质子不同速度射入时，轨迹圆心位置； (2)当v=时，求出质子的轨迹半径，并画出轨迹图； (3)当v=时，求出质子的轨迹半径，并画出轨迹图； (4)当v=时，求出质子的轨迹半径，并画出轨迹图； (5)要使质子从左边界飞出磁场，则质子的速度范围为多少。 答案　(1)由于入射速度方向相同，所以轨迹圆心的位置在同一射线上，如图中虚线所示。 (2)由r=得r1=d 画出轨迹如图中①所示 (3)由r=得r2=d 画出轨迹如图中②所示 (4)由r=得r3=d 画出轨迹如图中③所示 (5)从画出的轨迹发现，当v=时，轨迹恰好与右边界PQ相切，所以当v≤时，质子从左边界飞出。 2.如图所示，在平面直角坐标系xOy的第一、二象限内，存在垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B，大量质量为m、电荷量为q的相同粒子从y轴上的P(0，L)点，以相同的速率在纸面内沿不同方向先后射入磁场。若沿x轴正方向射入时，粒子垂直x轴离开磁场，不计粒子的重力，则： (1)粒子运动的半径为多大？ (2)所有粒子的轨迹圆心位置特点是什么？ (3)尝试画出以不同速度方向射入磁场的粒子的轨迹，找出粒子在磁场中运动时间最短的轨迹，并求出最短时间。 (4)通过画轨迹，找出粒子离开磁场的位置的范围，左边离O和右边离O的最远距离各为多少？ 答案　(1)沿x轴正方向射入时，垂直x轴离开磁场，故粒子带正电，轨迹圆心为O点，如图所示，则半径r=L (2)在P点以不同方向射入磁场的粒子轨迹的圆心必定处在以P为圆心、L为半径的圆上，如图所示 (3)以O为圆心、L为半径从P点开始顺时针画出轨迹，如图所示，发现从O点射出磁场的粒子对应的弧长最短(弦长最短)，轨迹圆弧对应的圆心角最小，时间最短。 θ=60°= t=·= (4)通过第(3)问画的轨迹图分析可知，O点右侧弦是直径时打到右侧离O点位置最远，O点左侧轨迹与x轴相切时，左侧位置离O点最远，如图所示。右侧最远距离OQ==L 左侧最远距离OM=L 所以离开磁场的位置范围为(-L，L)。 解决带电粒子在匀强磁场中运动的临界问题的关键，通常以题目中的“恰好”“最大”“至少”等为突破口，寻找临界点，确定临界状态，根据匀强磁场边界和题设条件画出轨迹，建立几何关系求解。 (1)刚好穿出或刚好不能穿出磁场的条件是带电粒子在匀强磁场中运动的轨迹与边界相切。 (2)当以一定的速率垂直射入匀强磁场时，运动的弧长越长、圆心角越大，则带电粒子在有界匀强磁场中运动时间越长。 (3)速度v不同、比荷相同的带电粒子在同一匀强磁场里运动的周期相同，运动的圆心角越大，运动时间越长。 (4)在圆形匀强磁场中，当带电粒子运动轨迹的半径大于磁场的半径，且入射点和出射点为磁场直径的两个端点时，轨迹对应的偏转角最大(所有弦长中直径最长)。 例3　(多选)(2023·潍坊市高二期中)如图所示，直角三角形abc区域(包括边界)存在垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B，ab边长为2L，∠a=30°，一粒子源固定在ac边的中点d，粒子源垂直ac边向磁场中发射不同速率的带正电的粒子，粒子均从bc边界射出，已知粒子质量为m、电荷量为q，下列说法正确的是(　　) A.粒子运动的速率可能为 B.粒子在磁场中运动的时间可能为 C.bc边界上有粒子射出的区域长度最大为L D.有粒子经过的磁场区域的面积最大为πL2 答案　BC 解析　根据题意可知当粒子运动轨迹与ab边相切时，对应的速度最大，如图， 根据几何知识可得半径r1=Lcd=L，根据洛伦兹力提供向心力qBv1=m 解得v1= 同理若粒子从c点射出，运动半径r2=Lcd=L，则速度v2= 则粒子的速度不可能为，故A错误； 粒子在磁场中运动的周期为T== 当粒子垂直bc边射出时，粒子在磁场中运动的时间为t==，故B正确； 根据题意可知当粒子运动轨迹与ab边相切时，打在bc上的点到c点的距离最大，即Lmax=r1=L，所以打在bc边界上有粒子射出的区域长度最大为L，有粒子经过的磁场区域的面积最大为S=-=，故C正确，D错误。 例4　(多选)(2023·济宁市高二期中)如图所示，在直角坐标系xOy第一象限内x轴上方存在磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场，在y轴上S处有一粒子源，它可向右侧纸面内各个方向射出速率相等的质量大小均为m、电荷量大小均为q的同种带电粒子，所有粒子射出磁场时离S最远的位置是x轴上的P点。已知OS=OP=4d，sin 53°=0.8，粒子带负电，粒子重力及粒子间的相互作用均不计，则(　　) A.粒子的速度大小为 B.从O点射出的粒子在磁场中的运动时间为 C.沿平行x轴正方向射入的粒子离开磁场时的位置到O点的距离为2d D.从x轴上射出磁场的粒子在磁场中运动的最长时间与最短时间之比为233∶106 答案　ACD 解析　粒子运动轨迹如图所示。 由OS=OP=4d，可得SP=5d 由题知SP是其中一个轨迹的直径，由qvB=m 可得r==d 则v=，故A正确； 由几何知识可得从O点射出的粒子，轨迹所对应的圆心角为106°，在磁场中的运动时间为t=·=，故B错误； 假设沿平行x轴正方向射入的粒子，离开磁场时的位置到O点的距离为l，由几何知识可得r2=l2+(4d-r)2 代入r=d，解得l=2d，故C正确； 从x轴上射出磁场的粒子，从原点射出时在磁场中运动时间最短，其运动时间为tmin=t= 运动轨迹与x轴相切时运动时间最长，由几何知识可得轨迹所对应的圆心角为233°，运动时间为tmax=·= 则tmax∶tmin=233∶106，故D正确。 三、带电粒子在匀强磁场中运动的多解问题 多解的原因： (1)磁场方向不确定形成多解； (2)带电粒子电性不确定形成多解； (3)临界状态不唯一形成多解； (4)运动的往复性形成多解。 解决此类问题，首先应画出粒子的可能轨迹，然后找出圆心、半径的可能情况。 例5　(多选)如图所示，位于A点的离子源在纸面内沿垂直OQ的方向向上射出一束负离子，重力忽略不计。为把这束负离子约束在OP之下的区域，可加垂直纸面的匀强磁场。已知O、A两点间的距离为s，负离子的比荷为，速率为v，OP与OQ间的夹角为30°，则所加匀强磁场的磁感应强度B应满足(　　) A.垂直纸面向里，B> B.垂直纸面向里，B> C.垂直纸面向外，B> D.垂直纸面向外，B> 答案　BC 解析　当所加匀强磁场方向垂直纸面向里时，由左手定则可知负离子向右偏转，负离子被约束在OP之下的区域的临界条件是离子的运动轨迹与OP相切，如图(大圆弧)， 由几何知识知R2=OBsin 30°=OB，而OB=s+R2，故R2=s，所以当离子运动轨迹的半径小于s时满足约束条件；由牛顿第二定律可得qvB=，所以应满足B>，选项A错误，B正确；当所加匀强磁场方向垂直纸面向外时，由左手定则可知负离子向左偏转，负离子被约束在OP之下的区域的临界条件是离子的运动轨迹与OP相切，如图(小圆弧)，由几何知识知R1=，所以当离子运动轨迹的半径小于时满足约束条件；由牛顿第二定律得qvB=，所以应满足B>，选项C正确，D错误。 例6　(多选)(2022·湖北卷)在如图所示的平面内，分界线SP将宽度为L的矩形区域分成两部分，一部分充满方向垂直纸面向外的匀强磁场，另一部分充满方向垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小均为B，SP与磁场左右边界垂直。离子源从S处射入速度大小不同的正离子，离子入射方向与磁场方向垂直且与SP成30°角。已知离子比荷为k，不计重力。若离子从P点射出，设出射方向与入射方向的夹角为θ，则离子的入射速度和对应θ角的可能组合为(　　) A.kBL，0° B.kBL，0° C.kBL，60° D.2kBL，60° 答案　BC 解析　若离子通过下部分磁场直接到达P点，如图， 根据几何关系则有R=L，由qvB=m，可得v==kBL，根据对称性可知出射速度与SP成30°角向上，故出射方向与入射方向的夹角为θ=60°。当离子在两个磁场均运动一次时，如图， 因为两个磁场的磁感应强度大小均为B，则根据对称性有R=L，根据洛伦兹力提供向心力，有qvB=m，可得v==kBL，此时出射方向与入射方向相同，即出射方向与入射方向的夹角为θ=0°。通过以上分析可知当离子从下部分磁场射出时，需满足v==kBL(n=1，2，3，…)，此时出射方向与入射方向的夹角为θ=60°；当离子从上部分磁场射出时，需满足v==kBL(n=1，2，3，…)，此时出射方向与入射方向的夹角为θ=0°。故B、C正确，A、D错误。 　　　　专题强化练　［分值：100分］ 1~6题每题6分，7、8题每题12分，共60分 考点一　带电粒子在有界匀强磁场中的运动 1.(2023·宿迁市高二期末)如图所示，在边界PQ上方有垂直纸面向里的匀强磁场，一对比荷相同的正、负离子同时从边界上的O点沿与PQ成θ角的方向以相同的速度v射入磁场中，不计离子重力及离子间的相互作用，则正、负离子(　　) A.在磁场中的运动时间相同 B.在磁场中运动的位移相同 C.出边界时两者的速度相同 D.正离子出边界点到O点的距离更大 答案　C 解析　两离子在磁场中运动周期为T=，则知两个离子做圆周运动的周期相等。根据左手定则分析可知，正离子逆时针偏转，负离子顺时针偏转，作出两离子的运动轨迹，如图所示 两离子重新回到边界时，正离子的速度偏向角为2π-2θ，轨迹的圆心角也为2π-2θ，运动时间t1=T=T 同理，负离子运动时间t2=T=T 正、负离子在磁场中运动时间不相等，故A错误； 根据洛伦兹力提供向心力，则有qvB= 得r= 由题意可知r相同，根据几何知识可得，重新回到边界的位置与O点距离s=2rsin θ， r、θ相同，则s相同，故两离子在磁场中运动的位移大小相同，方向不同，故B、D错误； 两离子在磁场中均做匀速圆周运动，速度沿轨迹的切线方向，根据圆的对称性可知，重新回到边界时速度大小与方向相同，故C正确。 2.(多选)(2023·德化市第一中学高二阶段练习)如图所示，水平边界上方有垂直纸面向里、范围足够大的匀强磁场，带电粒子射入磁场后，仅在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，则下列说法正确的是(　　) A.仅增大入射速度，粒子在磁场中的运动轨迹变长 B.仅增大入射速度，粒子在磁场中的运动时间变短 C.仅增大磁感应强度，粒子在磁场中的运动轨迹变长 D.仅增大磁感应强度，粒子在磁场中的运动时间变短 答案　AD 解析　粒子在磁场中做圆周运动，洛伦兹力提供向心力，则有qvB=m，解得R=，设粒子入射速度与磁场边界夹角为θ，夹角的单位为弧度，则粒子在磁场中的运动轨迹长为s=(2π-2θ)R，解得s=，可知，仅增大入射速度，粒子在磁场中的运动轨迹变长，A正确；根据上述可知，粒子在磁场中的运动时间t==，则仅增大入射速度，粒子在磁场中的运动时间不变，B错误；根据上述可知，仅增大磁感应强度，粒子在磁场中的运动轨迹变短，C错误；根据上述可知，仅增大磁感应强度，粒子在磁场中的运动时间变短，D正确。 3.(2024·海南国兴中学高二期中)如图所示，空间有一圆柱形匀强磁场区域，该区域的横截面的半径为R，磁场方向垂直于横截面。一质量为m、电荷量为q(q>0)的粒子以速率v0沿横截面的某直径射入磁场，离开磁场时速度方向偏离入射方向60°。不计粒子重力，该磁场的磁感应强度大小为(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　粒子的运动轨迹如图所示， 粒子做圆周运动的轨道半径 r==R 根据洛伦兹力提供向心力得 qv0B=m，解得B=，故A正确。 4.如图所示，ACD为一半圆形区域，其中O为圆心，AD为直径，∠AOC=90°，半圆形区域内存在着垂直该平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B。一带电粒子(不计重力)从圆弧的P点以速度v沿平行于直径AD方向射入磁场，运动一段时间从C点离开磁场时，速度方向偏转了60°，设P点到AD的距离为d。下列说法中正确的是(　　) A.该粒子带正电 B.该粒子的比荷为 C.该粒子在磁场中运动时间为 D.直径AD长度为4d 答案　D 解析　由左手定则可判断，粒子带负电；过P点和C点作速度方向的垂线，交点即为轨迹圆圆心。如图，由几何关系可知， OCO'P为菱形，∠COP=∠CO'P=60°，=2d==r 洛伦兹力提供向心力qvB=m，r=，=；粒子在磁场中运动时间为t==×==×=；直径AD的长度等于磁场区域半径的2倍，即4d，故选D。 考点二　带电粒子在有界匀强磁场中的临界极值问题 5.如图所示，△ABC为与匀强磁场垂直的边长为a的等边三角形，比荷为的电子以速度v0从A点沿AB边入射，欲使电子经过BC边，磁感应强度B的取值范围为(　　) A.B> B.B< C.B> D.B< 答案　D 解析　由题意可知，电子正好经过C点时的运动轨迹如图所示，此时圆周运动的半径R==a，要想电子从BC边经过，电子做圆周运动的半径要大于a，由带电粒子在磁场中做圆周运动的半径r=，有a<，即B<，D项正确。 6.空间存在方向垂直于纸面向里的匀强磁场，图中的正方形为其边界。一细束由两种粒子组成的粒子流沿垂直于磁场的方向从O点入射。这两种粒子带同种电荷，它们的电荷量、质量均不同，但比荷相同，且都包含不同速率的粒子，不计重力及粒子间的相互作用。下列说法正确的是(　　) A.入射速度不同的粒子在磁场中的运动时间一定不同 B.入射速度相同的粒子在磁场中的运动轨迹一定相同 C.在磁场中运动时间相同的粒子，其运动轨迹一定相同 D.在磁场中运动时间越长的粒子，其轨迹一定越长 答案　B 解析　根据qvB=m，周期T=，得r=，T=，这两种粒子带同种电荷，比荷相同，则周期相同，若不同速度粒子都从左边界离开磁场，圆心角均为180°，运动时间一定相同，但运动轨迹不同，故A、C错误；根据r=可知，运动轨迹对应的半径与速率成正比，入射速度相同的粒子在磁场中的运动轨迹一定相同，故B正确；如图，运动轨迹为1的粒子的运动时间较长，但轨迹长度比2的短，故D错误。 7.(12分)(2024·德阳市德阳外国语学校高二开学考试)如图所示，一足够长的矩形区域abcd内存在一方向垂直纸面向里、磁感应强度大小为B的匀强磁场，在ad边中点O，沿垂直磁场方向射入一速度方向与ad边夹角θ=30°、大小为v0(未知量)的带正电粒子，已知粒子质量为m、带电荷量为q，ad边长为L，ab边足够长，粒子重力不计。 (1)(4分)若粒子恰好不能从磁场下边界射出，求粒子的入射速度大小v01； (2)(4分)若粒子恰好沿磁场上边界切线射出，求粒子的入射速度大小v02； (3)(4分)若带电粒子的速度v0大小可取任意值，求粒子在磁场中运动的最长时间。 答案　(1)　(2)　(3) 解析　(1)和(2)两种临界情况的运动轨迹如图所示， 若粒子速度大小为v0，则 qv0B=m，解得：v0=。 (1)设圆心在O1处对应圆弧与cd边相切，对应速度大小为v01 由几何关系得：R1sin θ=，解得R1=L 则有：v01==。 (2)设圆心在O2处对应圆弧与ab边相切，对应速度大小为v02 由几何关系得：R2+R2sin θ=，解得R2= 则有：v02==。 (3)由t=T和T==可知，粒子在磁场中经过的圆弧所对的圆心角α越大，在磁场中运动的时间越长。当在磁场中运动的半径r<R2时，运动时间最长 则圆弧所对圆心角为α=2π-2θ= 所以最长时间为t=T=×=。 考点三　带电粒子在有界匀强磁场中的多解问题 8.(12分)(2024·汉中市西乡县第一中学高二月考)如图所示，在xOy平面内，y≥0的区域有垂直于xOy平面向里的匀强磁场，磁感应强度为B，一质量为m、带电荷量的绝对值为q的粒子从原点O沿与x轴正方向成60°角方向以v0射入，粒子的重力不计，求带电粒子在磁场中运动的时间和带电粒子离开磁场时的位置坐标。 答案　　或　 解析　由洛伦兹力提供向心力，有 qv0B=m=mR 解得R=，T= 当带电粒子带正电时，轨迹如图中OAC所示，故粒子在磁场中运动的时间 t1=T= 粒子在C点离开磁场 OC=2Rsin 60°= 故带电粒子离开磁场的位置坐标为 当带电粒子带负电时，轨迹如图中ODE所示，故粒子在磁场中的运动时间t2=T= 粒子在E点离开磁场OE=2Rsin 60°= 故带电粒子离开磁场时的位置坐标为。 9、10题每题8分，11题14分，共30分 9.(多选)(2023·芜湖市统考)国际空间站上的阿尔法磁谱仪(AMS)是探究宇宙中的反物质和暗物质(即由反粒子构成的物质)的重要仪器，如氚核H)的反粒子(反氚核H。该磁谱仪核心部分的截面区域是半径为R的圆形匀强磁场区域，该区域磁场方向垂直纸面向外(未画出)，且粒子打到磁场边界就被吸收，如图所示，P为粒子的入射窗口，各粒子从P射入时的速度大小相同，且均沿直径方向，P、a、b、c、d、e为圆周上的等分点，若质子H)射入磁场区域后打在a点，则反氚核H)射入后，(　　) A.反氚核将打在d点 B.反氚核射入磁场后运动轨迹的半径为质子的 C.反氚核在磁场中运动轨迹的弧长为质子的 D.反氚核的磁场中运动的时间为质子的 答案　AC 解析　带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得qvB=m，解得r=，设质子的轨道半径为r，已知各粒子从P射入时速度大小相同，根据反氚核H)和质子H)的质量关系和电荷量关系，可知反氚核H)的轨道半径应为r'=3r，质子H)射入磁场区域后打在a点，它转过的圆心角θ1=180°-60°=120°，根据几何关系得tan=tan 60°==，同理反氚核H)的几何关系应该为tan ==，则θ2=60°，由左手定则可知，质子刚射入磁场时受到的洛伦兹力竖直向下，则反氚核应从d点射出磁场，故A正确，B错误；根据数学知识可知轨迹弧长为l=rθ，可知反氚核在磁场中运动的轨迹弧长为质子的，故C正确；带电粒子在匀强磁场中做圆周运动的周期为T=，质子与反氚核在磁场中运动的周期之比为1∶3，质子在磁场中运动轨迹的圆心角为θ1=120°，反氚核在磁场中运动轨迹的圆心角为θ2=60°，根据t=T，可知质子在磁场中运动的时间为反氚核在磁场中运动时间的，故D错误。 10.(2024·湖北卷)如图所示，在以O点为圆心、半径为R的圆形区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。圆形区域外有大小相等、方向相反、范围足够大的匀强磁场。一质量为m、电荷量为q(q>0)的带电粒子沿直径AC方向从A点射入圆形区域。不计重力，下列说法正确的是(　　) A.粒子的运动轨迹可能经过O点 B.粒子射出圆形区域时的速度方向不一定沿该区域的半径方向 C.粒子连续两次由A点沿AC方向射入圆形区域的最小时间间隔为 D.若粒子从A点射入到从C点射出圆形区域用时最短，粒子运动的速度大小为 答案　D 解析　在圆形匀强磁场区域内，沿着径向射入的粒子，总是沿着径向射出的。根据圆的几何知识可知粒子的运动轨迹不可能经过O点，故A、B错误； 粒子连续两次由A点沿AC方向射入圆形区域，则根据对称性可知时间最短的轨迹如图(a)所示，则最短时间为t=2T=，故C错误； 若粒子从A点射入到从C点射出圆形区域用时最短，则轨迹如图(b)所示，设粒子在磁场中运动的半径为r，根据几何关系可知r=，根据洛伦兹力提供向心力有qvB=m，可得v=，故D正确。 11.(14分)(2023·扬州市高二期中)如图所示，垂直于纸面向里的匀强磁场的磁感应强度大小B=0.60 T，有一与磁场平行的足够大的感光板ab，其左侧处有一粒子源S向纸面内各个方向均匀发射速度大小都是v=6.0×106 m/s带正电的粒子，比荷均为=5.0×107 C/kg，粒子重力不计。已知SO垂直ab，其中沿与SO成30°角的方向发射的粒子刚好与ab相切于P，求： (1)(5分)粒子源距ab感光板O点的距离； (2)(4分)从S垂直SO向下射出的粒子打在感光板上的位置离O点的距离； (3)(5分)ab板上感光部分的长度。 答案　(1)10 cm　(2)10 cm　(3)10(+) cm 解析　(1)粒子在磁场中的运动轨迹如图甲所示 由洛伦兹力提供向心力可得 qvB=m 解得R==20 cm 当初速度方向与SO夹角为30°，轨迹与ab切于P点，可知△SPO1为等边三角形，由几何关系可知粒子源距ab感光板O点的距离为 SO=R-Rsin 30°=R=10 cm (2)粒子在磁场中的轨迹如图乙所示 设从S垂直SO向下射出的粒子打在感光板上的位置离O点的距离为x，根据几何关系可得cos α== 则有x=Rsin α=10 cm (3)粒子在磁场中的轨迹如图丙所示 ab板上感光部分最上端与O点的距离为OP=Rsin 60°=10 cm ab板上感光部分最下端与O点的距离为OQ==10 cm 故ab板上感光部分的长度为PQ=10(+) cm。 (10分) 12.(2023·威海市高二期末)如图所示，直角三角形OPQ区域内有垂直纸面向里的匀强磁场(未画出)，磁感应强度大小为B，∠O=60°，边长OQ=2a。质量为m、电荷量为q的带负电粒子从O点沿OP方向射入磁场，从OQ边射出且半径最大，粒子重力不计，下列说法正确的是(　　) A.粒子的速度大小为 B.粒子在磁场中的运动时间为 C.粒子在磁场中运动的圆弧对应的弦长为 D.粒子离开磁场的位置到Q点的距离为(2-)a 答案　D 解析　依题意，粒子的轨迹如图所示，与PQ边相切，可得r=a，又qvB=m，联立解得v=，故A错误；由几何关系可知，粒子在磁场中运动的轨迹圆弧所对应圆心角为120°，有t=T，又T=，联立解得t=，故B错误；设粒子在磁场中运动的圆弧对应的弦长为L，由几何关系可得=rcos 30°，联立解得L=a，故C错误；粒子离开磁场的位置到Q点的距离为QQ'=OQ-L=(2-)a，故D正确。 学科网（北京）股份有限公司 $$