第1章 第2节 第2课时 带电粒子在匀强磁场中的运动-（课件PPT+Word教案）【步步高】2024-2025学年高二物理选择性必修第二册教师用书（鲁科版2019）

DIYIZHANG 第1章 第2课时　带电粒子在匀强 磁场中的运动 1 1.会分析带电粒子在匀强磁场中的运动。 2.会根据洛伦兹力提供向心力推导半径和周期公式(重点)。 3.会分析带电粒子在匀强磁场中运动的基本问题(重难点)。 学习目标 2 一、带电粒子在匀强磁场中的运动 二、带电粒子在匀强磁场中做圆周运动的半径和周期 课时对点练 三、带电粒子在匀强磁场中运动的基本问题 内容索引 3 带电粒子在匀强磁场中的运动 一 4 如图甲所示的装置为洛伦兹力演示仪。玻璃泡内的电子枪(即阴极)发射出阴极射线(电子流)，使泡内的低压惰性气体发出辉光，这样就可以显示出电子的轨迹。 (1)当没有磁场作用时，电子的运动轨迹是直线，如图甲所示。 (2)当外加一磁场，让电子垂直射入磁场时，电子的轨迹是圆，如图乙所示。 (3)当外加一磁场，让电子不垂直射入磁场时，电子的轨迹是螺旋形，如图丙所示。 1.没磁场时，电子的运动轨迹是直线，有磁场时，电子的运动轨迹能否为直线？为什么？ 思考与讨论 答案　能。当B∥v时，f=0，电子做匀速直线运动。 2.当电子垂直进入磁场时，电子的运动轨迹为什么会是圆？ 答案　洛伦兹力充当向心力，只改变速度方向，不改变速度大小。 3.当电子不垂直射入磁场时，电子的运动轨迹为什么会是螺旋线？ 答案　如图所示，电子以某一角度θ斜射入匀强磁场时，在垂直于磁场的方向上以分速度v1做匀速圆周运动，在平行于磁场的方向上以分速度v2做匀速直线运动，因此电子沿着磁感线方向做螺旋形运动。 　关于带电粒子在匀强磁场中的运动，下列说法正确的是 A.带电粒子飞入匀强磁场后，一定做匀速圆周运动 B.静止的带电粒子在匀强磁场中将会做匀加速直线运动 C.带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动时，洛伦兹力的方向总是和运 　动方向垂直 D.当洛伦兹力方向和运动方向垂直时，带电粒子在匀强磁场中的运动一 　定是匀速圆周运动 例1 √ 若带电粒子的速度方向与磁场方向平行(同向或反向)，此时粒子所受洛伦兹力为零，带电粒子做匀速直线运动，A错误； 静止的带电粒子不受洛伦兹力，仍静止，B错误； 带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动时，洛伦兹力的方向总跟速度方向垂直，即和运动方向垂直，C正确； 如果带电粒子以与磁场方向成某一角度进入匀强磁场，洛伦兹力方向虽与运动方向垂直，但带电粒子不是做匀速圆周运动，D错误。 返回 二 带电粒子在匀强磁场中做圆周运动的半径和周期 10 如图所示，一质量为m、电荷量为q的带正电粒子，以速率v垂直射入一磁感应强度为B的匀强磁场中。根据洛伦兹力提供向心力，求出带电粒子做匀速圆周运动的半径和周期。 答案　根据Bqv=m得r=，T== 一质量为m，电荷量为q的带电粒子以速度v在匀强磁场中做匀速圆周运动 (1)轨道半径与粒子的 、粒子的 成正比，与 、 ____________成反比，即r=。 (2)带电粒子的运动周期与粒子的 成正比，与 、 成 反比，与 和 无关，即T=。 梳理与总结 运动速率 质量 电荷量 磁感应强度 质量 电荷量 磁感应强度 轨道半径 运动速率 (1)运动电荷进入磁场后(无其他场)可能做类平抛运动。(　　) (2)带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动时，轨道半径跟粒子的速率成正比。(　　) (3)带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的周期与轨道半径成正比。 (　　) (4)带电粒子在匀强磁场中做圆周运动的周期随速度的增大而减小。 (　　) × √ × × 易错辨析 　(多选)两个粒子A和B带有等量的同种电荷，粒子A和B以垂直于磁场的方向射入同一匀强磁场，不计重力，则下列说法正确的是 A.如果两粒子的速度vA=vB，则两粒子的半径RA=RB B.如果两粒子的动能EkA=EkB，则两粒子的周期TA=TB C.如果两粒子的质量mA=mB，则两粒子的周期TA=TB D.如果两粒子的质量与速度的乘积mAvA=mBvB，则两粒子的半径RA=RB 例2 √ √ 因为粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的半径r=、周期T=，又粒子电荷量相等且在同一磁场中，所以q、B相等，r与m、v有关，T只与m有关，所以A、B错误，C、D正确. 　(2023·南京市金陵中学高二期中)带电粒子进入云室会使云室中的气体电离，从而显示其运动轨迹。如图所示，在垂直纸面向里的匀强磁场中观察到某带电粒子的轨迹，其中a和b是运动轨迹上的两点。该粒子使云室中的气体电离时，其本身的动能在减少，而其质量和电荷量不变，重力忽略不计。下列说法正确的是 A.粒子带负电 B.粒子先经过a点，再经过b点 C.粒子动能减小是由于洛伦兹力对其做负功 D.粒子运动过程中所受洛伦兹力大小不变 例3 √ 由题意可知该粒子本身的动能在减少，而其质量和电荷量不变，可知速度大小在减小，根据洛伦兹力提供向心力有qvB=m，可得r=，所以粒子半径减小，粒子先经过b点，再经过a点，则根据左手定则可知粒子带负电，A正确，B错误； 由于运动过程中洛伦兹力一直和速度方向垂直， 洛伦兹力不做功，C错误； 根据f= qvB可知粒子运动过程中所受洛伦兹力逐 渐减小，D错误。 返回 带电粒子在匀强磁场中运动的基本问题 三 18 研究带电粒子在匀强磁场中做圆周运动的问题，应按照“一找圆心，二求半径，三求周期或时间”的基本思路分析。问题的关键是作出粒子的运动轨迹图。 1.定圆心 (1)洛伦兹力的方向一定过圆心。 如图甲所示，已知进磁场的入射方向和出磁场的出射方向，如何确定圆心的位置。 思考与讨论 答案　两洛伦兹力方向的交点即为圆心的位置，故通过入射点和出射点作垂直于入射方向和出射方向的直线，两条直线的交点就是圆心，如图所示。 (2)圆的弦的中垂线必过圆心。 如图乙所示，已知进磁场的入射方向和出磁场的位置时， 如何确定圆心的位置。 答案　通过入射点作入射方向的垂线，连接入射点和出射点，作其中垂线，这两条垂线的交点就是圆心(如图所示)。 (3)圆的任意两条弦的中垂线的支点为圆心。 如图丙所示，带电粒子在匀强磁场中分别经过AOB 三点时，如何确定圆心的位置。 答案　连接OA、OB，分别作OA、OB的中垂线，交点即为圆心的位置，如图所示。 2.求半径r。 如图甲，确定好圆心的位置。如何求带电粒子轨迹的 半径(已知磁场的宽度为d)。 答案　作出粒子的轨迹如图所示，由圆的半径和d构成直角三角形，再根据边角关系得r=。 3.求时间t。 求第2问中带电粒子在匀强磁场中的运动时间。(已知带电粒子在匀强磁场中运动一周的时间为T) 答案　= t=T=T=T 4.圆心角与偏向角、弦切角的关系如图丁所示，带电粒子射出磁场时的速度方向与射入磁场时的速度方向之间的夹角φ叫作偏向角，轨迹圆弧对应的角叫作圆心角，弦PM与入射速度(即轨迹切线)的夹角叫作弦切角θ，请写出φ、α、θ三者的关系。 答案　φ=α=2θ 　(2023·武汉市高二期中)如图，一个重力不计的带 电粒子，以大小为v的速度从坐标(0，L)的a点，平 行于x轴射入磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向 外的圆形匀强磁场区域，并从x轴上b点射出磁场， 射出速度方向与x轴正方向夹角为60°，求： (1)带电粒子在磁场中运动的轨道半径(请认真作图画轨迹)； 例4 答案　2L 画出带电粒子在磁场中的运动轨迹如图 由几何知识得Rsin 30°+L=R 解得R=2L。 (2)带电粒子的比荷； 答案　　 由洛伦兹力提供向心力，得qBv=m 解得== (3)粒子从a点运动到b点的时间。 答案　 粒子在磁场中运动的周期为T== 粒子从a点运动到b点的时间为t=T=。 　如图所示，空间存在范围足够大的垂直xOy平面 向里的匀强磁场(图中未画出)，一质量为m、带电 荷量为+q(q>0)的带电粒子(不计重力)从坐标原点O 沿x轴正方向以速度v0射出，带电粒子恰好经过点A(h，h)，求： (1)匀强磁场的磁感应强度大小B； 例5 答案　　 画出粒子的运动轨迹如图，有qv0B= h)2+(h-R)2=R2 解得R=h，B= (2)粒子从O点运动到A点所用的时间t。 答案　 由几何关系知粒子从O到A轨迹所对应的圆心角为120°，设带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的周期为T，则有T=，t=T 解得t=。 返回 课时对点练 四 34 考点一　带电粒子在匀强磁场中做圆周运动的半径和周期 1.(2023·漳州市高二期中)薄铝板将垂直纸面向外的匀强磁场分成Ⅰ、Ⅱ两个区域，一高速带电粒子穿过铝板后速度减小，所带电荷量保持不变，一段时间内带电粒子穿过铝板前后在两个区域运动的轨迹均为圆弧，如图中虚线所示。已知区域Ⅰ的圆弧半径小于区域Ⅱ的圆弧半径，粒子重力忽略不计。则该粒子 A.带正电，从区域Ⅰ穿过铝板到达区域Ⅱ B.带正电，从区域Ⅱ穿过铝板到达区域Ⅰ C.带负电，从区域Ⅰ穿过铝板到达区域Ⅱ D.带负电，从区域Ⅱ穿过铝板到达区域Ⅰ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 基础对点练 √ 粒子穿过铝板后，速度减小，根据r=可知，轨迹半径减小，由题图可知粒子一定是从区域Ⅱ穿过铝板到达区域Ⅰ；根据左手定则可知该粒子带负电。故选D。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2.(2023·北京市房山区高二期中)如图所示，在垂直纸面向里的匀强磁场中，有a、b两个电子从同一处沿垂直磁感线方向开始运动，a的初速度为v，b的初速度为2v，则 A.a做圆周运动的轨道半径大 B.b做圆周运动的周期大 C.a、b同时回到出发点 D.a、b在纸面内做逆时针方向的圆周运动 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 根据evB=m得r=，a的初速度为v，b的初速 度为2v，则a做圆周运动的轨道半径小，A错误； 根据T=，两个电子运动周期相同，同时回到 出发点，B错误，C正确； 根据左手定则，a、b在纸面内做顺时针方向的圆周运动，D错误。 3.(多选)(2023·漳州市高二月考)和N以相同的速度在同一匀强磁场中做匀速圆周运动(不计重力及两粒子之间的作用力)。则下列说法中正确的是 A.两粒子半径之比为1∶1 B.两粒子半径之比为6∶7 C.相同时间内转过的圆心角之比为1∶1 D.相同时间内转过的圆心角之比为7∶6 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 依题意，根据洛伦兹力提供向心力，有qvB=m得R=，则两粒子半径之比为RC∶RN=∶=∶=1∶1，故A正确，B错误； 依题意，根据T=可知，两粒子在磁场中运动的周期相同 由ω=知ω相同 由θ=ωt可知两粒子在相同时间内转过的圆心角之比为1∶1，故C正确，D错误。 考点二　带电粒子在匀强磁场中的基本问题 4.(2023·开滦市第二中学高二期末)如图，一个质量为m、电荷量为q的带负电的粒子，不计重力，从x轴上的P点以速度v射入第一象限内的匀强磁场中，并恰好垂直于y轴射出第一象限。已知v与x轴成45°角，OP=a。则下列说法错误的是 A.带电粒子运动轨迹的半径为a B.磁场的磁感应强度为 C.OQ的长度为a D.粒子在第一象限内运动的时间为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 带电粒子做匀速圆周运动的圆心和轨迹如图，设带 电粒子运动轨迹的半径为R，根据几何知识可得= sin 45°，解得R=a，故A正确； 根据洛伦兹力提供向心力可得Bqv=，解得B= ，故B正确； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 根据几何知识可得O'Q=R=a，O'O=a，故OQ= O'Q+O'O=(+1)a，故C错误； 带电粒子做匀速圆周运动的周期为T=，由几何 知识可得∠QO'P=135°，故粒子在第一象限内运 动的时间为t=·T=，故D正确。 5.(2023·广州大学附属中学高二期末)如图，边长为l的正方形abcd内存在匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面(abcd所在平面)向外。ab边中点有一电子发射源O，可沿纸面向磁场内垂直于ab边的方向发射电子。已知电子的比荷为k。则从a、d两点射出的电子的速度大小分别为 A.kBl，kBl B.kBl，kBl C.kBl，kBl D.kBl，kBl √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 电子从a点射出时，其运动轨迹如图线①， 轨迹半径为ra=，由洛伦兹力提供向心力， 有evaB=m， 又=k，解得va=；电子从d点射出时，运动轨迹如图线②，由几何关系有=l2+(rd-)2，解得：rd=，由洛伦兹力提供向心力，有evdB=m=k，解得vd=，选项B正确，A、C、D错误。 6.如图所示，匀强磁场方向竖直向下、磁感应强度大小为B。一带电粒子质量为m、电荷量为+q，此粒子以某水平速度经过P点，方向如图，经过一段时间粒子经过Q点，已知P、Q在同一水平面内，P、Q间距离为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 L，P、Q连线与过P点时的速度的反向延长线夹角为θ，不计重力，求： (1)粒子的运动速度大小； 答案　　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 如图所示，作PQ的中垂线，过P作初速度方向的垂 线，交点为O，则OP等于带电粒子做圆周运动的半 径r，由几何知识可知r=，带电粒子受到的洛伦 兹力提供向心力，有qv0B=，解得v0=。 (2)粒子从P第一次到Q所用的时间。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案　 粒子轨迹对应的圆心角α=2π-2θ T=，t=T 联立解得t=。 7.(2024·陕西部分学校高二月考)粒子甲的质量与电荷量分别是粒子乙的4倍与2倍，两粒子均带正电。让它们在匀强磁场中同一点以大小相等、方向相反的速度开始运动。已知磁场方向垂直纸面向里。以下四幅图中，能正确表示两粒子运动轨迹的是 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 根据洛伦兹力提供向心力有qvB=m，得r=，由于粒子甲的质量与电荷量分别是粒子乙的4倍与2倍，可知甲的轨迹半径是乙的轨迹半径的2倍，A、C错误； 由于两粒子均带正电，由左手定则可知，B正确，D错误。 8.(2023·福州市高二期中)云室中存在磁感应强度大小为B的匀强磁场，一个质量为m、速度为v的电中性粒子在A点分裂成带等量异号电荷的粒子a和b，如图所示，a、b在磁场中的径迹是两条相切的圆弧，半径之比ra∶rb=6∶1，相同时间内的径迹长度之比la∶lb=3∶1，不计重力及粒子间的相互作用力 A.粒子a电性为正 B.粒子a、b的质量之比ma∶mb=6∶1 C.粒子a、b在磁场中做圆周运动的周期之比Ta∶Tb=1∶2 D.粒子b的动量大小pb=mv 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 由题图中轨迹结合左手定则可知，粒子a电性为负，故A错误； 相同时间内的径迹长度之比la∶lb=3∶1，可知粒子a、b的速率之比为 va∶vb=la∶lb=3∶1 根据洛伦兹力提供向心力有 qvB=m，可得r= 由于粒子a、b的电荷量大小相等，半径之比 ra∶rb=6∶1，则有mava∶mbvb=ra∶rb=6∶1 联立可得ma∶mb=2∶1，故B错误； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 根据周期表达式T=可知a、b两粒子周期之比 Ta∶Tb=ma∶mb=2∶1，C错误； 根据动量守恒可得mv=mava+mbvb。 又mava∶mbvb=6∶1 联立可得pb=mbvb=mv，D正确。 9.(多选)(2023·厦门市外国语学校高二月考)测量比荷的方法很多，其中一种便是利用磁聚焦法测量。磁聚焦的原理如图甲所示，在磁感应强度为B的匀强磁场中，从A点处发射出一束很窄的同种带电粒子流，其速度大小均为v，且与磁场的夹角θ不同，但是都很小(cos θ≈1)，在磁场的作用下，粒子将沿不同半径螺旋线前进，该运动可分解为沿磁场方向的匀速直线运动和垂直于磁场方向的匀速圆周运动。之后会聚在A'，测得A与A'距离为h，沿磁感线方向轨迹截面如图乙 所示。这与光束经过透镜后聚焦现象类似， 所以叫磁聚焦现象，则下列说法正确的是 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A.这种粒子带正电 B.这种粒子带负电 C.这种粒子的比荷= D.这种粒子的比荷= √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 由题图乙中粒子的运动方向，根据 左手定则可判断出这种粒子带负电， 故A错误，B正确； 依题意，粒子从A点出发会聚在A'点，垂直于磁场方向的分运动恰好完成一个完整的圆周，即T==，又T==，故C正确，D错误。 10.如图，在坐标系的第一和第二象限内存在磁感应强度大小分别为B和B、方向均垂直于纸面向外的匀强磁场。一质量为m、电荷量为q(q>0)的粒子垂直于x轴射入第二象限，随后垂直于y轴进入第一象限，最后经过x轴离开第一象限。粒子在磁场中运动的时间为 A. B. C. D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 设带电粒子进入第二象限的速度为v，在第二象限和 第一象限中运动的轨迹如图所示，对应的轨迹半径分 别为R1和R2，由洛伦兹力提供向心力，有qvB=m、 T=，可得R1=、R2=、T1=、T2=，带电粒子在第二象限中运动的时间为t1=，在第一象限中运动的时间为t2=T2，又由几何关系有cos θ==，可得t2=，则粒子在磁场中运动的时间为t=t1+t2，联立以上各式解得t=，选项B正确，A、C、D错误。 11.如图所示，在矩形区域ACDE中有方向垂直于纸面向外的匀强磁场，从A点沿AC方向发射三个相同的带电粒子，三粒子分别从E、P、D点射出。已知AE=EP=PD，sin 53°=0.8，则下列说法正确的是 A.三粒子在匀强磁场中的速率之比为1∶2∶5 B.三粒子在匀强磁场中的速率之比为2∶3∶5 C.三粒子在匀强磁场中的运动时间之比为4∶2∶1 D.三粒子在匀强磁场中的运动时间之比为6∶3∶2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 粒子在磁场中由洛伦兹力提供向心力而做匀速圆 周运动，有qvB=m，可得v=，三个相同的带 电粒子分别从A点进入矩形磁场，从E、P、D点 射出，轨迹如图所示，设AE=EP=PD=l，则可得 r1=，r2=l，对从D点射出的粒子由几何关系可得(r3-l)2+(2l)2=，解得r3=，三粒子的电荷量q和质量m相同，则在匀强磁场中的速率之比为v1∶v2∶v3=r1∶r2∶r3=1∶2∶5，故选项A正确，B错误； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 从E、P两点射出的粒子运动轨迹对应的圆心角 分别为α1=π，α2=，从D点射出的粒子运动轨迹 对应的圆心角满足sin α3==，解得α3=53°=π， 而三个相同粒子做匀速圆周运动的时间为t=·T= ·=，故有t1∶t2∶t3=α1∶α2∶α3=180∶90∶53，故选项C、D错误。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 12.(2024·济宁市兖州区第一中学高二月考)如图，在直角三角形OPN区域内存在匀强磁场，磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向外。一带正电的粒子从静止开始经电压U加速后，沿平行于x轴的方向射入磁场；一段时间后，该粒子在OP边上某点以垂直于x轴的方向射出。已知O点为坐标原点，N点在y轴上，OP与x轴的夹角为30°， 粒子进入磁场的入射点与离开磁场的出射点之间 的距离为d，不计重力。求： (1)带电粒子的比荷； 答案　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 设带电粒子的质量为m，电荷量为q，加速后的速度大小为v。由动能定理有qU=mv2 粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹如图所示， 设粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的半径为r， 由洛伦兹力提供粒子做圆周运动的向心力有 qvB=m 由几何关系知d=r 解得= 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (2)带电粒子从射入磁场到运动至x轴的时间。 答案　+) 由几何关系知，带电粒子从射入磁场到运动至x轴经过的路程为 s=+rtan 30° 带电粒子从射入磁场到运动至x轴的时间为t= 解得t=+)。 返回 BENKEJIESHU 本课结束 $$ 第2课时　带电粒子在匀强磁场中的运动 ［学习目标］　1.会分析带电粒子在匀强磁场中的运动。2.会根据洛伦兹力提供向心力推导半径和周期公式(重点)。3.会分析带电粒子在匀强磁场中运动的基本问题(重难点)。 一、带电粒子在匀强磁场中的运动 如图甲所示的装置为洛伦兹力演示仪。玻璃泡内的电子枪(即阴极)发射出阴极射线(电子流)，使泡内的低压惰性气体发出辉光，这样就可以显示出电子的轨迹。 (1)当没有磁场作用时，电子的运动轨迹是直线，如图甲所示。 (2)当外加一磁场，让电子垂直射入磁场时，电子的轨迹是圆，如图乙所示。 (3)当外加一磁场，让电子不垂直射入磁场时，电子的轨迹是螺旋形，如图丙所示。 1.没磁场时，电子的运动轨迹是直线，有磁场时，电子的运动轨迹能否为直线？为什么？ 答案　能。当B∥v时，f=0，电子做匀速直线运动。 2.当电子垂直进入磁场时，电子的运动轨迹为什么会是圆？ 答案　洛伦兹力充当向心力，只改变速度方向，不改变速度大小。 3.当电子不垂直射入磁场时，电子的运动轨迹为什么会是螺旋线？ 答案　如图所示，电子以某一角度θ斜射入匀强磁场时，在垂直于磁场的方向上以分速度v1做匀速圆周运动，在平行于磁场的方向上以分速度v2做匀速直线运动，因此电子沿着磁感线方向做螺旋形运动。 例1　关于带电粒子在匀强磁场中的运动，下列说法正确的是(　　) A.带电粒子飞入匀强磁场后，一定做匀速圆周运动 B.静止的带电粒子在匀强磁场中将会做匀加速直线运动 C.带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动时，洛伦兹力的方向总是和运动方向垂直 D.当洛伦兹力方向和运动方向垂直时，带电粒子在匀强磁场中的运动一定是匀速圆周运动 答案　C 解析　若带电粒子的速度方向与磁场方向平行(同向或反向)，此时粒子所受洛伦兹力为零，带电粒子做匀速直线运动，A错误；静止的带电粒子不受洛伦兹力，仍静止，B错误；带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动时，洛伦兹力的方向总跟速度方向垂直，即和运动方向垂直，C正确；如果带电粒子以与磁场方向成某一角度进入匀强磁场，洛伦兹力方向虽与运动方向垂直，但带电粒子不是做匀速圆周运动，D错误。 二、带电粒子在匀强磁场中做圆周运动的半径和周期 如图所示，一质量为m、电荷量为q的带正电粒子，以速率v垂直射入一磁感应强度为B的匀强磁场中。根据洛伦兹力提供向心力，求出带电粒子做匀速圆周运动的半径和周期。 答案　根据Bqv=m得r=，T== 一质量为m，电荷量为q的带电粒子以速度v在匀强磁场中做匀速圆周运动 (1)轨道半径与粒子的运动速率、粒子的质量成正比，与电荷量、磁感应强度成反比，即r=。 (2)带电粒子的运动周期与粒子的质量成正比，与电荷量、磁感应强度成反比，与轨道半径和运动速率无关，即T=。 (1)运动电荷进入磁场后(无其他场)可能做类平抛运动。(　×　) (2)带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动时，轨道半径跟粒子的速率成正比。(　√　) (3)带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的周期与轨道半径成正比。(　×　) (4)带电粒子在匀强磁场中做圆周运动的周期随速度的增大而减小。(　×　) 例2　(多选)两个粒子A和B带有等量的同种电荷，粒子A和B以垂直于磁场的方向射入同一匀强磁场，不计重力，则下列说法正确的是(　　) A.如果两粒子的速度vA=vB，则两粒子的半径RA=RB B.如果两粒子的动能EkA=EkB，则两粒子的周期TA=TB C.如果两粒子的质量mA=mB，则两粒子的周期TA=TB D.如果两粒子的质量与速度的乘积mAvA=mBvB，则两粒子的半径RA=RB 答案　CD 解析　因为粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的半径r=、周期T=，又粒子电荷量相等且在同一磁场中，所以q、B相等，r与m、v有关，T只与m有关，所以A、B错误，C、D正确. 例3　(2023·南京市金陵中学高二期中)带电粒子进入云室会使云室中的气体电离，从而显示其运动轨迹。如图所示，在垂直纸面向里的匀强磁场中观察到某带电粒子的轨迹，其中a和b是运动轨迹上的两点。该粒子使云室中的气体电离时，其本身的动能在减少，而其质量和电荷量不变，重力忽略不计。下列说法正确的是(　　) A.粒子带负电 B.粒子先经过a点，再经过b点 C.粒子动能减小是由于洛伦兹力对其做负功 D.粒子运动过程中所受洛伦兹力大小不变 答案　A 解析　由题意可知该粒子本身的动能在减少，而其质量和电荷量不变，可知速度大小在减小，根据洛伦兹力提供向心力有qvB=m，可得r=，所以粒子半径减小，粒子先经过b点，再经过a点，则根据左手定则可知粒子带负电，A正确，B错误；由于运动过程中洛伦兹力一直和速度方向垂直，洛伦兹力不做功，C错误；根据f= qvB可知粒子运动过程中所受洛伦兹力逐渐减小，D错误。 三、带电粒子在匀强磁场中运动的基本问题 研究带电粒子在匀强磁场中做圆周运动的问题，应按照“一找圆心，二求半径，三求周期或时间”的基本思路分析。问题的关键是作出粒子的运动轨迹图。 1.定圆心 (1)洛伦兹力的方向一定过圆心。 如图甲所示，已知进磁场的入射方向和出磁场的出射方向，如何确定圆心的位置。 答案　两洛伦兹力方向的交点即为圆心的位置，故通过入射点和出射点作垂直于入射方向和出射方向的直线，两条直线的交点就是圆心，如图所示。 (2)圆的弦的中垂线必过圆心。 如图乙所示，已知进磁场的入射方向和出磁场的位置时，如何确定圆心的位置。 答案　通过入射点作入射方向的垂线，连接入射点和出射点，作其中垂线，这两条垂线的交点就是圆心(如图所示)。 (3)圆的任意两条弦的中垂线的支点为圆心。 如图丙所示，带电粒子在匀强磁场中分别经过AOB三点时，如何确定圆心的位置。 答案　连接OA、OB，分别作OA、OB的中垂线，交点即为圆心的位置，如图所示。 2.求半径r。 如图甲，确定好圆心的位置。如何求带电粒子轨迹的半径(已知磁场的宽度为d)。 答案　作出粒子的轨迹如图所示，由圆的半径和d构成直角三角形，再根据边角关系得r=。 3.求时间t。 求第2问中带电粒子在匀强磁场中的运动时间。(已知带电粒子在匀强磁场中运动一周的时间为T) 答案　= t=T=T=T 4.圆心角与偏向角、弦切角的关系如图丁所示，带电粒子射出磁场时的速度方向与射入磁场时的速度方向之间的夹角φ叫作偏向角，轨迹圆弧对应的角叫作圆心角，弦PM与入射速度(即轨迹切线)的夹角叫作弦切角θ，请写出φ、α、θ三者的关系。 答案　φ=α=2θ 例4　(2023·武汉市高二期中)如图，一个重力不计的带电粒子，以大小为v的速度从坐标(0，L)的a点，平行于x轴射入磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向外的圆形匀强磁场区域，并从x轴上b点射出磁场，射出速度方向与x轴正方向夹角为60°，求： (1)带电粒子在磁场中运动的轨道半径(请认真作图画轨迹)； (2)带电粒子的比荷； (3)粒子从a点运动到b点的时间。 答案　(1)2L　(2)　(3) 解析　(1)画出带电粒子在磁场中的运动轨迹如图 由几何知识得Rsin 30°+L=R 解得R=2L。 (2)由洛伦兹力提供向心力，得qBv=m 解得== (3)粒子在磁场中运动的周期为T== 粒子从a点运动到b点的时间为t=T=。 例5　如图所示，空间存在范围足够大的垂直xOy平面向里的匀强磁场(图中未画出)，一质量为m、带电荷量为+q(q>0)的带电粒子(不计重力)从坐标原点O沿x轴正方向以速度v0射出，带电粒子恰好经过点A(h，h)，求： (1)匀强磁场的磁感应强度大小B； (2)粒子从O点运动到A点所用的时间t。 答案　(1)　(2) 解析　(1)画出粒子的运动轨迹如图，有qv0B=，根据几何关系有(h)2+(h-R)2=R2 解得R=h，B= (2)由几何关系知粒子从O到A轨迹所对应的圆心角为120°，设带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的周期为T，则有T=，t=T 解得t=。 　　　　课时对点练　［分值：100分］ 1~5题每题6分，6题14分，共44分 考点一　带电粒子在匀强磁场中做圆周运动的半径和周期 1.(2023·漳州市高二期中)薄铝板将垂直纸面向外的匀强磁场分成Ⅰ、Ⅱ两个区域，一高速带电粒子穿过铝板后速度减小，所带电荷量保持不变，一段时间内带电粒子穿过铝板前后在两个区域运动的轨迹均为圆弧，如图中虚线所示。已知区域Ⅰ的圆弧半径小于区域Ⅱ的圆弧半径，粒子重力忽略不计。则该粒子(　　) A.带正电，从区域Ⅰ穿过铝板到达区域Ⅱ B.带正电，从区域Ⅱ穿过铝板到达区域Ⅰ C.带负电，从区域Ⅰ穿过铝板到达区域Ⅱ D.带负电，从区域Ⅱ穿过铝板到达区域Ⅰ 答案　D 解析　粒子穿过铝板后，速度减小，根据r=可知，轨迹半径减小，由题图可知粒子一定是从区域Ⅱ穿过铝板到达区域Ⅰ；根据左手定则可知该粒子带负电。故选D。 2.(2023·北京市房山区高二期中)如图所示，在垂直纸面向里的匀强磁场中，有a、b两个电子从同一处沿垂直磁感线方向开始运动，a的初速度为v，b的初速度为2v，则(　　) A.a做圆周运动的轨道半径大 B.b做圆周运动的周期大 C.a、b同时回到出发点 D.a、b在纸面内做逆时针方向的圆周运动 答案　C 解析　根据evB=m得r=，a的初速度为v，b的初速度为2v，则a做圆周运动的轨道半径小，A错误；根据T=，两个电子运动周期相同，同时回到出发点，B错误，C正确；根据左手定则，a、b在纸面内做顺时针方向的圆周运动，D错误。 3.(多选)(2023·漳州市高二月考)和N以相同的速度在同一匀强磁场中做匀速圆周运动(不计重力及两粒子之间的作用力)。则下列说法中正确的是(　　) A.两粒子半径之比为1∶1 B.两粒子半径之比为6∶7 C.相同时间内转过的圆心角之比为1∶1 D.相同时间内转过的圆心角之比为7∶6 答案　AC 解析　依题意，根据洛伦兹力提供向心力，有qvB=m得R=，则两粒子半径之比为RC∶RN=∶=∶=1∶1，故A正确，B错误； 依题意，根据T=可知，两粒子在磁场中运动的周期相同 由ω=知ω相同 由θ=ωt可知两粒子在相同时间内转过的圆心角之比为1∶1，故C正确，D错误。 考点二　带电粒子在匀强磁场中的基本问题 4.(2023·开滦市第二中学高二期末)如图，一个质量为m、电荷量为q的带负电的粒子，不计重力，从x轴上的P点以速度v射入第一象限内的匀强磁场中，并恰好垂直于y轴射出第一象限。已知v与x轴成45°角，OP=a。则下列说法错误的是(　　) A.带电粒子运动轨迹的半径为a B.磁场的磁感应强度为 C.OQ的长度为a D.粒子在第一象限内运动的时间为 答案　C 解析　带电粒子做匀速圆周运动的圆心和轨迹如图，设带电粒子运动轨迹的半径为R，根据几何知识可得=sin 45°，解得R=a，故A正确；根据洛伦兹力提供向心力可得Bqv=，解得B=，故B正确；根据几何知识可得O'Q=R=a，O'O=a，故OQ=O'Q+O'O=(+1)a，故C错误；带电粒子做匀速圆周运动的周期为T=，由几何知识可得∠QO'P=135°，故粒子在第一象限内运动的时间为t=·T=，故D正确。 5.(2023·广州大学附属中学高二期末)如图，边长为l的正方形abcd内存在匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面(abcd所在平面)向外。ab边中点有一电子发射源O，可沿纸面向磁场内垂直于ab边的方向发射电子。已知电子的比荷为k。则从a、d两点射出的电子的速度大小分别为(　　) A.kBl，kBl B.kBl，kBl C.kBl，kBl D.kBl，kBl 答案　B 解析　电子从a点射出时，其运动轨迹如图线①，轨迹半径为ra=，由洛伦兹力提供向心力，有evaB=m， 又=k，解得va=；电子从d点射出时，运动轨迹如图线②，由几何关系有=l2+(rd-)2，解得：rd=，由洛伦兹力提供向心力，有evdB=m，又=k，解得vd=，选项B正确，A、C、D错误。 6.(14分)如图所示，匀强磁场方向竖直向下、磁感应强度大小为B。一带电粒子质量为m、电荷量为+q，此粒子以某水平速度经过P点，方向如图，经过一段时间粒子经过Q点，已知P、Q在同一水平面内，P、Q间距离为L，P、Q连线与过P点时的速度的反向延长线夹角为θ，不计重力，求： (1)(7分)粒子的运动速度大小； (2)(7分)粒子从P第一次到Q所用的时间。 答案　(1)　(2) 解析　(1)如图所示，作PQ的中垂线，过P作初速度方向的垂线，交点为O，则OP等于带电粒子做圆周运动的半径r，由几何知识可知r=，带电粒子受到的洛伦兹力提供向心力，有qv0B=，解得v0=。 (2)粒子轨迹对应的圆心角α=2π-2θ T=，t=T 联立解得t=。 7~11题每题8分，12题16分，共56分 7.(2024·陕西部分学校高二月考)粒子甲的质量与电荷量分别是粒子乙的4倍与2倍，两粒子均带正电。让它们在匀强磁场中同一点以大小相等、方向相反的速度开始运动。已知磁场方向垂直纸面向里。以下四幅图中，能正确表示两粒子运动轨迹的是(　　) 答案　B 解析　根据洛伦兹力提供向心力有qvB=m，得r=，由于粒子甲的质量与电荷量分别是粒子乙的4倍与2倍，可知甲的轨迹半径是乙的轨迹半径的2倍，A、C错误；由于两粒子均带正电，由左手定则可知，B正确，D错误。 8.(2023·福州市高二期中)云室中存在磁感应强度大小为B的匀强磁场，一个质量为m、速度为v的电中性粒子在A点分裂成带等量异号电荷的粒子a和b，如图所示，a、b在磁场中的径迹是两条相切的圆弧，半径之比ra∶rb=6∶1，相同时间内的径迹长度之比la∶lb=3∶1，不计重力及粒子间的相互作用力(　　) A.粒子a电性为正 B.粒子a、b的质量之比ma∶mb=6∶1 C.粒子a、b在磁场中做圆周运动的周期之比Ta∶Tb=1∶2 D.粒子b的动量大小pb=mv 答案　D 解析　由题图中轨迹结合左手定则可知，粒子a电性为负，故A错误；相同时间内的径迹长度之比la∶lb=3∶1，可知粒子a、b的速率之比为 va∶vb=la∶lb=3∶1 根据洛伦兹力提供向心力有 qvB=m，可得r= 由于粒子a、b的电荷量大小相等，半径之比ra∶rb=6∶1，则有mava∶mbvb=ra∶rb=6∶1 联立可得ma∶mb=2∶1，故B错误； 根据周期表达式T=可知a、b两粒子周期之比Ta∶Tb=ma∶mb=2∶1，C错误； 根据动量守恒可得mv=mava+mbvb。 又mava∶mbvb=6∶1 联立可得pb=mbvb=mv，D正确。 9.(多选)(2023·厦门市外国语学校高二月考)测量比荷的方法很多，其中一种便是利用磁聚焦法测量。磁聚焦的原理如图甲所示，在磁感应强度为B的匀强磁场中，从A点处发射出一束很窄的同种带电粒子流，其速度大小均为v，且与磁场的夹角θ不同，但是都很小(cos θ≈1)，在磁场的作用下，粒子将沿不同半径螺旋线前进，该运动可分解为沿磁场方向的匀速直线运动和垂直于磁场方向的匀速圆周运动。之后会聚在A'，测得A与A'距离为h，沿磁感线方向轨迹截面如图乙所示。这与光束经过透镜后聚焦现象类似，所以叫磁聚焦现象，则下列说法正确的是(　　) A.这种粒子带正电 B.这种粒子带负电 C.这种粒子的比荷= D.这种粒子的比荷= 答案　BC 解析　由题图乙中粒子的运动方向，根据左手定则可判断出这种粒子带负电，故A错误，B正确；依题意，粒子从A点出发会聚在A'点，垂直于磁场方向的分运动恰好完成一个完整的圆周，即T==，又T=，联立可得=，故C正确，D错误。 10.如图，在坐标系的第一和第二象限内存在磁感应强度大小分别为B和B、方向均垂直于纸面向外的匀强磁场。一质量为m、电荷量为q(q>0)的粒子垂直于x轴射入第二象限，随后垂直于y轴进入第一象限，最后经过x轴离开第一象限。粒子在磁场中运动的时间为(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　设带电粒子进入第二象限的速度为v，在第二象限和第一象限中运动的轨迹如图所示，对应的轨迹半径分别为R1和R2，由洛伦兹力提供向心力，有qvB=m、T=，可得R1=、R2=、T1=、T2=，带电粒子在第二象限中运动的时间为t1=，在第一象限中运动的时间为t2=T2，又由几何关系有cos θ==，可得t2=，则粒子在磁场中运动的时间为t=t1+t2，联立以上各式解得t=，选项B正确，A、C、D错误。 11.如图所示，在矩形区域ACDE中有方向垂直于纸面向外的匀强磁场，从A点沿AC方向发射三个相同的带电粒子，三粒子分别从E、P、D点射出。已知AE=EP=PD，sin 53°=0.8，则下列说法正确的是(　　) A.三粒子在匀强磁场中的速率之比为1∶2∶5 B.三粒子在匀强磁场中的速率之比为2∶3∶5 C.三粒子在匀强磁场中的运动时间之比为4∶2∶1 D.三粒子在匀强磁场中的运动时间之比为6∶3∶2 答案　A 解析　粒子在磁场中由洛伦兹力提供向心力而做匀速圆周运动，有qvB=m，可得v=，三个相同的带电粒子分别从A点进入矩形磁场，从E、P、D点射出，轨迹如图所示，设AE=EP=PD=l，则可得r1=，r2=l，对从D点射出的粒子由几何关系可得(r3-l)2+(2l)2=，解得r3=，三粒子的电荷量q和质量m相同，则在匀强磁场中的速率之比为v1∶v2∶v3=r1∶r2∶r3=1∶2∶5，故选项A正确，B错误；从E、P两点射出的粒子运动轨迹对应的圆心角分别为α1=π，α2=，从D点射出的粒子运动轨迹对应的圆心角满足sin α3==，解得α3=53°=π，而三个相同粒子做匀速圆周运动的时间为t=·T=·=，故有t1∶t2∶t3=α1∶α2∶α3=180∶90∶53，故选项C、D错误。 12.(16分)(2024·济宁市兖州区第一中学高二月考)如图，在直角三角形OPN区域内存在匀强磁场，磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向外。一带正电的粒子从静止开始经电压U加速后，沿平行于x轴的方向射入磁场；一段时间后，该粒子在OP边上某点以垂直于x轴的方向射出。已知O点为坐标原点，N点在y轴上，OP与x轴的夹角为30°，粒子进入磁场的入射点与离开磁场的出射点之间的距离为d，不计重力。求： (1)(8分)带电粒子的比荷； (2)(8分)带电粒子从射入磁场到运动至x轴的时间。 答案　(1)　(2)+) 解析　(1)设带电粒子的质量为m，电荷量为q，加速后的速度大小为v。由动能定理有qU=mv2 粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹如图所示，设粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的半径为r，由洛伦兹力提供粒子做圆周运动的向心力有 qvB=m 由几何关系知d=r 解得= (2)由几何关系知，带电粒子从射入磁场到运动至x轴经过的路程为 s=+rtan 30° 带电粒子从射入磁场到运动至x轴的时间为 t= 解得t=+)。 学科网（北京）股份有限公司 $$