第14讲 随机事件与概率（春季讲义）-2024-2025学年高一数学春季讲义（人教A版2019必修第二册）

第14讲 随机事件与概率 【人教A版2019】 模块一 有限样本空间与事件 1．有限样本空间 (1)随机试验 我们把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验，简称试验，常用字母E表示.我们感兴趣的是具 有以下特点的随机试验： ①试验可以在相同条件下重复进行； ②试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个； ③每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能确定出现哪一个结果. (2)有限样本空间 我们把随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点，全体样本点的集合称为试验E的样本空间. 一般地，我们用Ω表示样本空间，用ω表示样本点.如果一个随机试验有n个可能结果， 则称样本空间Ω={}为有限样本空间. 2．事件 (1)随机事件 一般地，随机试验中的每个随机事件都可以用这个试验的样本空间的子集来表示.为了叙述方便，我们 将样本空间Ω的子集称为随机事件，简称事件，并把只包含一个样本点的事件称为基本事件.随机事件一般用大写字母A，B，C，···表示.在每次试验中，当且仅当A中某个样本点出现时，称为事件A发生. (2)必然事件 A作为自身的子集，包含了所有的样本点，在每次试验中总有一个样本点发生，所以Ω总会发生，我们称Ω为必然事件. (3)不可能事件 空集∅不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，我们称∅为不可能事件. 3．事件的关系和运算 (1)两个事件的关系和运算 事件的关系或运算 含义 符号表示 图形表示 包含 A发生导致B发生 并事件 （和事件） A与B至少一个发生 或 交事件 （积事件） A与B同时发生 或 互斥 （互不相容） A与B不能同时发生 互为对立 A与B有且仅有一个发生 ， (2)多个事件的和事件、积事件 类似地，我们可以定义多个事件的和事件以及积事件.对于多个事件A，B，C，···，A∪B∪C∪··· (或 A+B+C+···)发生当且仅当A，B，C，···中至少一个发生，A∩B∩C∩··· (或ABC···)发生当且仅当A，B，C，···同时发生. 4．样本空间中样本点的求法 (1)列举法 列举法也称枚举法.对于一些情境比较简单，样本点个数不是很多的概率问题，计算时只需一一列举， 即可得出随机事件所包含的样本点.注意列举时必须按一定顺序，做到不重不漏. (2)列表法 对于样本点个数不是太多的情况，可以采用列表法.通常把对问题的思考分析归结为“有序实数对”，以 便更直接地得到样本点个数.列表法的优点是准确、全面、不易遗漏，其中最常用的方法是坐标系法. (3)树状图法 树状图法适用于按顺序排列的较复杂问题中样本点个数的求解，是一种常用的方法. 5．用集合观点看事件间的关系 符号 概率角度 集合角度 Ω 必然事件 全集 ∅ 不可能事件 空集 ω 试验的可能结果 Ω中的元素 A 事件 Ω的子集 的对立事件 A的补集 事件A包含于事件B 集合A是集合B的子集 事件A等于事件B 集合A等于集合B 或 事件A与事件B的并（和）事件 集合A与B的并集 或 事件A与事件B的交（积）事件 集合A与B的交集 事件A与事件B互斥 集合A与B的交集为空集 ，且 事件A与事件B对立 集合A与B互为补集 【题型1 事件的分类】 【例1.1】（2024高二下·安徽·学业考试）抛掷一枚质地均匀的骰子，设事件“点数不大于2”，事件“点数大于1”，则下列结论中正确的是（    ） A．M是不可能事件 B．N是必然事件 C．是不可能事件 D．是必然事件 【例1.2】（24-25高一·全国·课后作业）已知袋中有大小、形状完全相同的5张红色、2张蓝色卡片，从中任取3张卡片，则下列判断不正确的是（    ） A．事件“都是红色卡片”是随机事件 B．事件“都是蓝色卡片”是不可能事件 C．事件“至少有一张蓝色卡片”是必然事件 D．事件“有1张红色卡片和2张蓝色卡片”是随机事件 【变式1.1】（24-25高一·全国·课后作业）在10个学生中，男生有个，现从10个学生中任选6人去参加某项活动.①至少有一个女生;②5个男生，1个女生;③3个男生，3个女生.当为何值时，使得①为必然事件，②为不可能事件，③为随机事件? 【变式1.2】（23-24高一下·全国·课后作业）指出下列事件是必然事件、不可能事件还是随机事件： (1)某人购买福利彩票一注，中奖500万元； (2)三角形的两边之和大于第三边； (3)没有空气和水，人类可以生存下去； (4)从分别标有1，2，3，4的四张标签中任取一张，抽到1号标签； (5)科学技术达到一定水平后，不需任何能量的“永动机”将会出现． 【题型2 事件与样本空间】 【例2.1】（23-24高一上·全国·课后作业）高一(1)班计划从A，B，C，D，E这五名班干部中选两人代表班级参加一次活动，则样本空间中样本点的个数为（    ） A．5 B．10 C．15 D．20 【例2.2】（24-25高一下·全国·课后作业）试验：“任取一个两位数，观察个位数字与十位数字的和的情况”，则该试验的样本空间为（    ） A． B． C． D． 【变式2.1】（2025高一·全国·课后作业）做试验“从，1，2这3个数字中，不放回地取两次，每次取一个数字，构成有序数对，为第1次取到的数字，为第2次取到的数字”． (1)写出这个试验的样本空间； (2)写出这个试验样本点的总数； (3)写出“第1次取出的数字是2”这一事件包含的样本点． 【变式2.2】（24-25高二上·上海·课堂例题）同时掷红、蓝两颗骰子，用表示结果，其中x表示红色骰子出现的点数，y表示蓝色骰子出现的点数．写出： (1)这个试验的样本空间； (2)这个试验的样本点的个数； (3)指出所表示的事件； (4)写出“点数之和大于8”这一事件所对应的子集． 【题型3 事件的关系和运算】 【例3.1】（2024高二下·安徽·学业考试）抛掷一枚质地均匀的骰子，记随机事件：“点数为奇数”，“点数为偶数”，“点数大于2”，“点数小于2”，“点数为3”．则下列结论不正确的是（    ） A．为对立事件 B．为互斥不对立事件 C．不是互斥事件 D．是互斥事件 【例3.2】（24-25高二上·湖南长沙·阶段练习）甲、乙两人对同一个靶各射击一次，设事件“甲击中靶”，事件“乙击中靶”，事件“靶未被击中”，事件“靶被击中”，事件“恰一人击中靶”，对下列关系式（表示的对立事件，表示的对立事件）：①，②，③，④，⑤，⑥，⑦．其中正确的关系式的个数是（    ） A． B． C． D． 【变式3.1】（24-25高二上·上海·随堂练习）掷一枚质地均匀的正方体骰子，事件：“出现奇数点”，事件：“出现偶数点”，事件：“点数小于”，事件：“点数大于”，事件：“点数是的倍数”.求： (1)，； (2)，； (3)，，，. 【变式3.2】（2024高三·全国·专题练习）某城市有甲、乙两种报纸供市民订阅，记事件A为“只订甲报纸”，事件B为“至少订一种报纸”，事件C为“至多订一种报纸”，事件D为“不订甲报纸”，事件E为“一种报纸也不订”.试判断下列每对事件是不是互斥事件，如果是，判断它们是不是对立事件. （1）A与C；（2）B与E；（3）B与D；（4）B与C. 模块二 古典概型与概率的基本性质 1．古典概型 (1)事件的概率 对随机事件发生可能性大小的度量(数值)称为事件的概率，事件A的概率用P(A)表示. (2)古典概型的定义 我们将具有以下两个特征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型. ①有限性：样本空间的样本点只有有限个； ②等可能性：每个样本点发生的可能性相等. (3)古典概型的判断标准 一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特点：有限性和等可能性.并不是所 有的试验都是古典概型. 下列三类试验都不是古典概型： ①样本点(基本事件)个数有限，但非等可能; ②样本点(基本事件)个数无限，但等可能； ③样本点(基本事件)个数无限，也不等可能. 2．古典概型的概率计算公式 一般地，设试验E是古典概型，样本空间A包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义 事件A的概率P(A)==，其中，n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数. 3．求样本空间中样本点个数的方法 (1)枚举法：适合于给定的样本点个数较少且易一一列举出的问题. (2)树状图法：适合于较为复杂的问题，注意在确定样本点时(x, y)可看成是有序的，如(1,2)与(2,1)不同， 有时也可看成是无序的，如(1,2)与(2,1)相同. 4．概率的基本性质 性质1 对任意的事件A，都有P（A）≥0. 性质2 必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P（Ω）= 1，P(∅)=0. 性质3 如果事件A与事件B互斥，那么P（）=P（A）＋P（B）. 推广：如果事件A1，A2，···，Am．两两互斥，那么事件发生的概率等于这m个事件分别发生的概率之和，即P（）=P(A1)+P(A2)+···+P(Am). 性质4 如果事件A与事件B互为对立事件，那么P（B）=P（A）， P(A)=P(B). 性质5 如果，那么P（A）≤P（B）. 性质6 设A，B是一个随机试验中的两个事件，我们有P（）=P（A）＋P（B）. 5．复杂事件概率的求解策略 (1)对于一个较复杂的事件，一般将其分解成几个简单的事件，当这些事件彼此互斥时，原事件的概率就是这些简单事件的概率的和. (2)当求解的问题中有“至多”“至少”“最少”等关键词语时，常常考虑其对立事件，通过求其对立事件的概率，然后转化为所求问题. 【题型4 古典概型的判断及其概率的求解】 【例4.1】（24-25高一下·全国·课后作业）某汽车站每天均有3辆开往省城的分为上、中、下等级的客车，某天袁先生准备在该汽车站乘车前往省城办事，但他不知道客车的车况，也不知道发车顺序．为了尽可能乘坐上等车，他采取如下策略：先放过一辆，如果第二辆比第一辆好则上第二辆，否则上第三辆，则他乘坐上等车的概率为（    ） A． B． C． D． 【例4.2】（23-24高一下·天津西青·期末）从两名男生（记为和）、两名女生（记为和）中任意抽取两人，分别采取不放回简单随机抽样和有放回简单随机抽样．在以上两种抽样方式下，抽到的两人是一男生一女生的概率分别为（    ） A． B． C． D． 【变式4.1】（24-25高二上·内蒙古赤峰·阶段练习）—只不透明的袋子中装有2个白球，3个红球，这些球除颜色外都相同. (1)搅匀后从中任意摸出2个球，求这2个都球是白球的概率； (2)搅匀后从中任意摸出1个球，记录颜色后放回，搅匀，再从中任意摸出1个球，求2次摸到的球恰好是1个白球和1个红球的概率. 【变式4.2】（24-25高一下·全国·课后作业）新高考数学试题中有多项选择题，要求为：“在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．”已知某多项选择题的正确答案是BCD． (1)若甲同学不会做该题，但他想猜对得5分，就随机填写了一个答案，求他得5分的概率； (2)若乙同学也不会做该题，他只想得2分，就按单项选择题处理，随机填写了一个答案，求他得2分的概率． 【题型5 概率的基本性质及其应用】 【例5.1】（24-25高二上·浙江杭州·期中）设是一个随机试验中的两个事件，记为事件的对立事件，且，则（    ） A． B． C． D． 【例5.2】（23-24高二下·浙江舟山·期末）设A，B是一个随机试验中的两个事件，且，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式5.1】（2024高一下·全国·专题练习）在数学考试中，小明的成绩(取整数)不低于90分的概率是0.18，在[80,89]的概率是0.51，在[70,79]的概率是0.15，在[60,69]的概率是0.09，在60分以下的概率是0.07，计算： (1)小明在数学考试中成绩不低于70分的概率； (2)小明数学考试及格(60分及以上)的概率． 【变式5.2】（23-24高二上·贵州毕节·期中）为了备战第33届夏季奥林匹克运动会（2024法国巴黎奥运会），中国奥运健儿刻苦训练，成绩稳步提升．射击队的某一选手射击一次，其命中环数的概率如下表： 命中环数 10环 9环 8环 7环 概率 0.32 0.28 0.18 0.12 求该选手射击一次： (1)命中9环或10环的概率； (2)至少命中8环的概率； (3)命中不足8环的概率． 【题型6 游戏的公平性问题】 【例6.1】（24-25高一·全国·课后作业）下面有三个游戏，其中不公平的游戏是（    ） 取球方式 结果 游戏1 有3个黑球和1个白球，游戏时，不放回地依次取2个球 取出的2个球同色→甲胜；取出的2个球不同色→乙胜 游戏2 有1个黑球和1个白球，游戏时，任取1个球. 取出的球是黑球→甲胜；取出的球是白球→乙胜. 游戏3 有2个黑球和2个白球，游戏时，不放回地依次取2个球. 取出的2个球同色→甲胜；取出的2个球不同色→乙胜. A．游戏1和游戏3 B．游戏1 C．游戏2 D．游戏3 【例6.2】（23-24高一下·河南许昌·期末）小明与小华两人玩游戏，则下列游戏不公平的是（    ） A．抛掷一枚骰子，向上的点数为奇数，小明获胜，向上的点数为偶数，小华获胜 B．同时抛掷两枚硬币，恰有一枚正面向上，小明获胜，两枚都正面向上，小华获胜 C．从一副不含大小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红色，小明获胜，扑克牌是黑色，小华获胜 D．小明、小华两人各写一个数字6或8，如果两人写的数字相同，小明获胜，否则小华获胜 【变式6.1】（24-25高一·全国·课后作业）已知n是一个三位正整数，若n的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n为“三位递增数”（如135，256，345等） 现要从甲乙两名同学中，选出一个参加某市组织的数学竞赛，选取的规则如下：从由1，2，3，4，5，6组成的所有“三位递增数”中随机抽取1个数，且只抽取1次，若抽取的“三位递增数”是偶数，则甲参加数学竞赛；否则，乙参加数学竞赛. （1）由1，2，3，4，5，6可组成多少“三位递增数”？并一一列举出来. （2）这种选取规则对甲乙两名学生公平吗？并说明理由. 【变式6.2】（2024高三·全国·专题练习）口袋中有质地、大小完全相同的5个球，编号分别为1，2，3，4，5，甲、乙两人玩一种游戏：甲先摸出一个球，记下编号，放回后乙再摸一个球，记下编号，如果两个编号的和为偶数算甲赢，否则算乙赢. (1)求甲、乙两人摸出的两个球编号之和为6的概率； (2)这种游戏规则公平吗？试说明理由. 【题型7 概率综合】 【例7.1】（24-25高二上·河北保定·开学考试）某人忘记了一位同学电话号码的最后一个数字，但确定这个数字一定是奇数，随意拨号，则拨号不超过两次就拨对号码的概率为（    ） A． B． C． D． 【例7.2】（23-24高二下·辽宁·期中）某市医疗保险实行定点医疗制度，按照“就近就医、方便管理”的原则，参加保险人员可自主选择四家医疗保险定点医院和一家社区医院作为本人就诊的医疗机构，若甲、乙两名参加保险人员所在的地区附近有A，B，C三家社区医院，并且他们对社区医院的选择是相互独立的，则甲、乙两人不选择同一家社区医院的概率为（    ） A． B． C． D． 【变式7.1】（24-25高二上·广西柳州·开学考试）已知不透明的盒子中装有标号为1，2，3的小球各2个（小球除颜色､标号外均相同）. (1)若一次取出3个小球，求取出的3个小球上标号均不相同的概率； (2)若有放回地先后取出2个小球，求取出的2个小球上标号不相同的概率. 【变式7.2】（23-24高二上·上海·期末）在一只袋子中装有7个红玻璃球，3个绿玻璃球．从中无放回地任意抽取两次，每次只取一个．试求： (1)取得两个红球的概率； (2)取得两个同颜色的球的概率； (3)至少取得一个红球的概率． 【题型8 古典概型与其他知识的交汇问题】 【例8.1】（24-25高一下·江西·阶段练习）某企业以“庆祝春节，迎接新年”为主题的职工歌手大赛决赛如期举行，满分100分，共有100人参赛，将参赛歌手的成绩分成如下五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，得到如图所示的频率分布直方图. (1)根据频率分布直方图，求的值及参赛歌手的平均成绩（同一组数据用该组区间的中点值作代表）； (2)根据频率分布直方图，求参赛歌手成绩的分位数； (3)从参赛成绩在和的歌手中，采用分层随机抽样方法抽取6名歌手，再从抽取的这6名歌手中随机抽取2名歌手，求这2名歌手比赛成绩在和内各1人的概率. 【例8.2】（24-25高一下·安徽亳州·阶段练习）某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为，，，，． (1)求频率分布直方图中的值； (2)估计该企业的职工对该部门评分的分位数（保留一位小数）； (3)从评分在的受访职工中，随机抽取2人，求此2人评分都在的概率． 【变式8.1】（24-25高一下·辽宁葫芦岛·阶段练习）为了加强对数学文化的学习，某校高三年级特命制了一套与数学文化有关的专题训练卷（满分100分），并对整个高三年级的学生进行了测试.现从这些学生的成绩中随机抽取了50名学生的成绩（单位：分），按照，，…，分成5组，制成了如图所示的频率分布直方图.（假设每名学生的成绩均不低于50分）.    (1)求频率分布直方图中的值，并估计所抽取的50名学生成绩的平均数、中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）； (2)用样本估计总体，若高三年级共有2000名学生，试估计高三年级这次测试成绩不低于75分的人数； (3)若利用分层抽样的方法从样本中成绩不低于70分的学生中抽取6人，再从这6人中任意抽取3人参加这次考试的质量分析会，试求成绩在的学生至多有2人被抽到的概率. 【变式8.2】（24-25高一下·全国·单元测试）某新能源汽车销售部为了满足广大客户对新能源汽车性能的需求，随机抽取了500名用户进行问卷调查，根据统计情况，将他们的年龄按分组，并绘制出了部分频率分布直方图，如图所示． (1)请将频率分布直方图补充完整； (2)估计样本中所有用户的平均年龄（同一组中的数据用该组区间的中间值作代表）； (3)销售部从年龄在两组的样本中用分层抽样的方法抽取4人，再从这4人中随机抽取2人进行电话回访，求这2人取自不同年龄区间的概率． 一、单选题 1．（2025高一·全国·专题练习）从1，2，3，4这4个数中，任取2个数求和，若“这2个数的和大于4”为事件，“这2个数的和为偶数” 为事件，则和包含的样本点数分别为（   ） A．1，6 B．4，2 C．5，1 D．6，1 2．（24-25高一上·辽宁·阶段练习）对满足的非空集合，有下列四个命题： ①“若任取，则”是必然事件； ②“若，则”是不可能事件； ③“若任取，则”是随机事件； ④“若，则”是必然事件． 其中正确命题的个数为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 3．（23-24高一下·海南·期末）从分别写有的张卡片中随机一次取出张，设事件为“写有的卡片被取出”，为“写有的卡片被取出”，为“取出的卡片上的数都大于”，为“取出的卡片上的数之和小于”，则（   ） A．与是互斥事件 B．与是对立事件 C． D． 4．（23-24高一下·全国·阶段练习）已知事件、、两两互斥，若，则（    ） A． B． C． D． 5．（2024高一下·全国·专题练习）设为三个事件，分别表示它们的对立事件，表示“三个事件恰有一个发生”的表达式为（　　） A． B． C． D．＋＋ 6．（23-24高一下·江苏·期末）一场数字游戏在两个非常聪明的学生甲､乙之间进行，老师在黑板上写出，2024共2023个正整数，然后随意擦去一个数，接下来由乙､甲两人轮流擦去其中一个数（即乙先擦去其中一个数，然后甲再擦去一个数），如此下去，若最后剩下的两个数互为质数（如2和3），则判甲胜；否则（如2和4），判乙胜，按照这种游戏规则，甲获胜的概率是（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高一下·江西赣州·开学考试）新高考选科要求，语数外＋（物理，历史）二选一＋（政治，地理，化学，生物）四选二．针对高一某同学的选科组合有如下事件，事件A“选物理”，事件B选历史”，事件C选化学”，事件D“选政治”，则下列正确的是（   ） A．事件与事件互斥 B． C．事件与事件对立 D． 8．（24-25高一下·安徽·开学考试）若事件为两个互斥事件，且，有以下四个结论，其中正确的结论是（    ） ① ② ③ ④ A．①③④ B．②③④ C．①②④ D．①②③ 二、多选题 9．（23-24高一下·福建福州·期末）从装有3个红球和3个黑球的口袋内任取两个球，则下列说法正确的是（    ） A．“至少有一个黑球”与“都是黑球”是互斥而不对立的事件 B．“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”不是互斥事件 C．“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”是互斥而且是对立的事件 D．“至少有一个黑球”与“都是红球”是对立事件 10．（23-24高一下·江苏无锡·期末）已知事件A，B发生的概率分别为，，则（    ） A． B． C．若A与B互斥，则 D．一定有 11．（23-24高一下·江苏苏州·期末）抛掷一枚质地均匀的骰子一次，事件“出现点数为奇数”，事件“出现点数为3”，事件“出现点数为3的倍数”，事件“出现点数为偶数”，则以下选项正确的是（  ） A．B与D互斥 B．A与D互为对立事件 C． D． 三、填空题 12．（23-24高二上·广东清远·期中）设为三个随机事件，若A与是互斥事件，与是相互对立事件，且，则 . 13．（23-24高一下·天津滨海新·期末）《易·系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中国古代流传下来的两幅神秘图案．河图的排列结构如图所示，一与六共宗居下，二与七为朋居上，三与八同道居左，四与九为友居右，五与十相守居中，其中白圈为阳数，黑点为阴数．若从阳数和阴数中各取一数，则其差的绝对值为3的概率为 ．    14．（24-25高一上·辽宁·期末）算盘是我国古代一项伟大的发明，是一类重要的计算工具.现有一把初始状态的算盘如图所示，自右向左，分别表示个位、十位、百位、千位等，上面一粒珠子（简称上珠）代表，下面一粒珠子（简称下珠）代表，五粒下珠表示的数的大小等于同组一粒上珠表示的数的大小.例如，个位拨动一粒上珠，十位拨动一粒下珠至梁上，表示数字.现将算盘的个位、十位、百位、千位分别随机拨动一粒珠子至梁上，设事件“表示的四位数能被整除”，“表示的四位数能被整除”，则 . 四、解答题 15．（2024高一下·全国·专题练习）指出下列事件中，哪些是随机事件、必然事件或不可能事件： (1)从1个三角形的3个顶点处各任画1条射线，这3条射线交于一点； (2)把9写成两个实数的和，其中一定有1个数小于5； (3)实数a，b不都为0，但a2＋b2＝0； (4)汽车排放尾气会污染环境； (5)明天早晨有雾； (6)某地明年7月28日的最高气温高于今年8月10日的最高气温． 16．（23-24高一下·全国·课后作业）某商场有奖销售中，购满100元商品得一张奖券，多购多得，每1000张奖券为一个开奖单位.设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个.设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A，B，C，求： (1)； (2)抽取1张奖券中奖概率； (3)抽取1张奖券不中特等奖或一等奖的概率. 17．（2024高一下·全国·专题练习）设某人向一个目标射击3次，用事件表示随机事件“第次射击击中目标”（），指出下列事件的含义： (1)； (2)； (3). 18．（23-24高一下·四川攀枝花·期末）袋中有6个大小和质地相同的小球，分别为黑球、黄球、红球，从中任意取一个球，得到黑球或黄球的概率是，得到黄球或红球的概率是. (1)从中任取一个球，得到黑球、黄球、红球的概率各是多少？ (2)从中任取两个球，得到的两个球颜色不相同的概率是多少？ 19．（23-24高一下·江苏无锡·期末）为了解某市区高中学生的阅读时间，从该市区随机抽取了800名学生进行调查，得到了这800名学生一周的平均阅读时间(单位：小时)，并将样本数据分成九组，绘制成如图所示的频率分布直方图. (1)求a的值; (2)若周平均阅读时间的平均数和中位数均超过9小时，则认为该市区高中生阅读量达标.以样本估计总体试判断该市区高中生阅读量是否达标? (3)为进一步了解这800名学生阅读时间的分配情况，从周平均阅读时间在三组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了10人，现从这10人中随机抽取两人，求这两人周平均阅读时间均在内的概率. 第 1 页 共 28 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第14讲 随机事件与概率 【人教A版2019】 模块一 有限样本空间与事件 1．有限样本空间 (1)随机试验 我们把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验，简称试验，常用字母E表示.我们感兴趣的是具 有以下特点的随机试验： ①试验可以在相同条件下重复进行； ②试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个； ③每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能确定出现哪一个结果. (2)有限样本空间 我们把随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点，全体样本点的集合称为试验E的样本空间. 一般地，我们用Ω表示样本空间，用ω表示样本点.如果一个随机试验有n个可能结果， 则称样本空间Ω={}为有限样本空间. 2．事件 (1)随机事件 一般地，随机试验中的每个随机事件都可以用这个试验的样本空间的子集来表示.为了叙述方便，我们 将样本空间Ω的子集称为随机事件，简称事件，并把只包含一个样本点的事件称为基本事件.随机事件一般用大写字母A，B，C，···表示.在每次试验中，当且仅当A中某个样本点出现时，称为事件A发生. (2)必然事件 A作为自身的子集，包含了所有的样本点，在每次试验中总有一个样本点发生，所以Ω总会发生，我们称Ω为必然事件. (3)不可能事件 空集∅不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，我们称∅为不可能事件. 3．事件的关系和运算 (1)两个事件的关系和运算 事件的关系或运算 含义 符号表示 图形表示 包含 A发生导致B发生 并事件 （和事件） A与B至少一个发生 或 交事件 （积事件） A与B同时发生 或 互斥 （互不相容） A与B不能同时发生 互为对立 A与B有且仅有一个发生 ， (2)多个事件的和事件、积事件 类似地，我们可以定义多个事件的和事件以及积事件.对于多个事件A，B，C，···，A∪B∪C∪··· (或 A+B+C+···)发生当且仅当A，B，C，···中至少一个发生，A∩B∩C∩··· (或ABC···)发生当且仅当A，B，C，···同时发生. 4．样本空间中样本点的求法 (1)列举法 列举法也称枚举法.对于一些情境比较简单，样本点个数不是很多的概率问题，计算时只需一一列举， 即可得出随机事件所包含的样本点.注意列举时必须按一定顺序，做到不重不漏. (2)列表法 对于样本点个数不是太多的情况，可以采用列表法.通常把对问题的思考分析归结为“有序实数对”，以 便更直接地得到样本点个数.列表法的优点是准确、全面、不易遗漏，其中最常用的方法是坐标系法. (3)树状图法 树状图法适用于按顺序排列的较复杂问题中样本点个数的求解，是一种常用的方法. 5．用集合观点看事件间的关系 符号 概率角度 集合角度 Ω 必然事件 全集 ∅ 不可能事件 空集 ω 试验的可能结果 Ω中的元素 A 事件 Ω的子集 的对立事件 A的补集 事件A包含于事件B 集合A是集合B的子集 事件A等于事件B 集合A等于集合B 或 事件A与事件B的并（和）事件 集合A与B的并集 或 事件A与事件B的交（积）事件 集合A与B的交集 事件A与事件B互斥 集合A与B的交集为空集 ，且 事件A与事件B对立 集合A与B互为补集 【题型1 事件的分类】 【例1.1】（2024高二下·安徽·学业考试）抛掷一枚质地均匀的骰子，设事件“点数不大于2”，事件“点数大于1”，则下列结论中正确的是（    ） A．M是不可能事件 B．N是必然事件 C．是不可能事件 D．是必然事件 【解题思路】根据事件的定义判断． 【解答过程】事件是点数为1或2，事件是点数是2，3，4，5或6，它们都是随机事件， 是点为2，是随机事件，是可能发生的， 是点数为1，2，3，4，5或6，一定会发生，是必然事件， 故选：D． 【例1.2】（24-25高一·全国·课后作业）已知袋中有大小、形状完全相同的5张红色、2张蓝色卡片，从中任取3张卡片，则下列判断不正确的是（    ） A．事件“都是红色卡片”是随机事件 B．事件“都是蓝色卡片”是不可能事件 C．事件“至少有一张蓝色卡片”是必然事件 D．事件“有1张红色卡片和2张蓝色卡片”是随机事件 【解题思路】根据随机事件、必然事件、不可能事件的定义判断. 【解答过程】袋中有大小、形状完全相同的5张红色、2张蓝色卡片，从中任取3张卡片， 在A中，事件“都是红色卡片”是随机事件，故A正确； 在B中，事件“都是蓝色卡片”是不可能事件，故B正确； 在C中，事件“至少有一张蓝色卡片”是随机事件，故C错误； 在D中，事件“有1张红色卡片和2张蓝色卡片”是随机事件，故D正确． 故选：C． 【变式1.1】（24-25高一·全国·课后作业）在10个学生中，男生有个，现从10个学生中任选6人去参加某项活动.①至少有一个女生;②5个男生，1个女生;③3个男生，3个女生.当为何值时，使得①为必然事件，②为不可能事件，③为随机事件? 【解题思路】根据给定条件，利用必然事件、不可能事件、随机事件的意义分析即可作答. 【解答过程】“5个男生，1个女生”为不可能事件，则有或， “3个男生，3个女生”为随机事件，则有， 综上所述，又由，得或， 所以或. 【变式1.2】（23-24高一下·全国·课后作业）指出下列事件是必然事件、不可能事件还是随机事件： (1)某人购买福利彩票一注，中奖500万元； (2)三角形的两边之和大于第三边； (3)没有空气和水，人类可以生存下去； (4)从分别标有1，2，3，4的四张标签中任取一张，抽到1号标签； (5)科学技术达到一定水平后，不需任何能量的“永动机”将会出现． 【解题思路】（1）根据随机事件的定义可得 （2）根据必然事件定义可得 （3）根据不可能事件定义可得 （4）根据随机事件的定义可得 （5）根据不可能事件定义可得 【解答过程】（1）购买一注福利彩票，可能中奖，也可能不中奖，所以是随机事件. （2）所有三角形的两边之和大于第三边，所以是必然事件. （3）空气和水是人类生存的必要条件，没有空气和水，人类无法生存下去，所以是不可能事件. （4）任意抽取，可能得到1，2，3，4的四张标签中任一张，所以是随机事件. （5）由能量守恒定律可知，不需任何能量的“永动机”不会出现，所以是不可能事件. 【题型2 事件与样本空间】 【例2.1】（23-24高一上·全国·课后作业）高一(1)班计划从A，B，C，D，E这五名班干部中选两人代表班级参加一次活动，则样本空间中样本点的个数为（    ） A．5 B．10 C．15 D．20 【解题思路】根据题意结合列举法运算求解. 【解答过程】从A，B，C，D，E五人中选两人， 不同的选法有：， 所以样本空间中样本点的个数为10． 故选：B. 【例2.2】（24-25高一下·全国·课后作业）试验：“任取一个两位数，观察个位数字与十位数字的和的情况”，则该试验的样本空间为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据题意结合样本空间的概念即可求解． 【解答过程】由题意可知，考查的是个位数字与十位数字的和的情况， 因此样本空间中的样本点为和的结果，个位数字取值从0到9，十位数字取值从1到9， 所以该试验的样本空间为. 故选：B． 【变式2.1】（2025高一·全国·课后作业）做试验“从，1，2这3个数字中，不放回地取两次，每次取一个数字，构成有序数对，为第1次取到的数字，为第2次取到的数字”． (1)写出这个试验的样本空间； (2)写出这个试验样本点的总数； (3)写出“第1次取出的数字是2”这一事件包含的样本点． 【解题思路】（1）根据样本空间的定义求解； （2）直接计数可得； （3）由（1）可得． 【解答过程】（1）这个试验的样本空间． （2）易知这个试验的样本点的总数是6． （3）“第1次取出的数字是2”这一事件包含的样本点为：，. 【变式2.2】（24-25高二上·上海·课堂例题）同时掷红、蓝两颗骰子，用表示结果，其中x表示红色骰子出现的点数，y表示蓝色骰子出现的点数．写出： (1)这个试验的样本空间； (2)这个试验的样本点的个数； (3)指出所表示的事件； (4)写出“点数之和大于8”这一事件所对应的子集． 【解题思路】（1）因红、蓝骰子各有六面，故同时掷红、蓝两颗骰子，就有个样本点构成试验的样本空间； （2）由（1）分析即得； （3）观察每个样本点的组成不难看出，两颗骰子的点数之和都是7； （4）考虑两颗骰子的点数之和，大于8的情况共有9，10，11，12等四种，按顺序依次写出样本点即得. 【解答过程】（1）这个试验的样本空间为： ； （2）这个试验的样本点的个数为个； （3）因这个事件中，红蓝骰子的点数之和都是7， 且包括所有可能出现点数之和等于7的情况，故这个事件表示“点数之和等于7”的事件； （4）“点数之和大于8”这一事件包括点数之和分别为9，10，11，12等四种情况， 故其对应的子集为：. 【题型3 事件的关系和运算】 【例3.1】（2024高二下·安徽·学业考试）抛掷一枚质地均匀的骰子，记随机事件：“点数为奇数”，“点数为偶数”，“点数大于2”，“点数小于2”，“点数为3”．则下列结论不正确的是（    ） A．为对立事件 B．为互斥不对立事件 C．不是互斥事件 D．是互斥事件 【解题思路】根据事件之间的关系，可得答案. 【解答过程】点数为奇数与点数为偶数不可能同时发生，且必有一个发生，所以E，F是对立事件，选项A正确； 点数大于2与点数小于2不可能同时发生，且不是必有一个发生，G，H为互斥且不对立事件，选项B正确； 点数为奇数与点数大于2可能同时发生，E，G不互斥，选项C正确； 点数大于2与点数为3可能同时发生，G，R为不互斥事件，选项D不正确. 故选：D. 【例3.2】（24-25高二上·湖南长沙·阶段练习）甲、乙两人对同一个靶各射击一次，设事件“甲击中靶”，事件“乙击中靶”，事件“靶未被击中”，事件“靶被击中”，事件“恰一人击中靶”，对下列关系式（表示的对立事件，表示的对立事件）：①，②，③，④，⑤，⑥，⑦．其中正确的关系式的个数是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据事件关系，靶为被击中即甲乙均未击中；靶被击中即至少一人击中，分为恰有一人击中或两人都击中，依次判定即可. 【解答过程】由题可得：①，正确；②事件“靶被击中”，表示甲乙同时击中，，所以②错误； ③，正确，④表示靶被击中，所以④错误；⑤，正确；⑥互为对立事件，，正确；⑦，所以⑦不正确． 正确的是①③⑤⑥． 故选：B. 【变式3.1】（24-25高二上·上海·随堂练习）掷一枚质地均匀的正方体骰子，事件：“出现奇数点”，事件：“出现偶数点”，事件：“点数小于”，事件：“点数大于”，事件：“点数是的倍数”.求： (1)，； (2)，； (3)，，，. 【解题思路】（1）根据交事件（积事件）的概念求解即可； （2）根据并事件（和事件）的概念求解即可； （3）根据对立事件与交事件、并事件运算求解即可. 【解答过程】（1）掷一枚质地均匀的正方体骰子，样本空间为， 事件包含的样本点为,. 故,. （2）由（1）知，. （3）由（1）知，, 故. 【变式3.2】（2024高三·全国·专题练习）某城市有甲、乙两种报纸供市民订阅，记事件A为“只订甲报纸”，事件B为“至少订一种报纸”，事件C为“至多订一种报纸”，事件D为“不订甲报纸”，事件E为“一种报纸也不订”.试判断下列每对事件是不是互斥事件，如果是，判断它们是不是对立事件. （1）A与C；（2）B与E；（3）B与D；（4）B与C. 【解题思路】根据互斥事件与对立事件的概念可依次判断（1），（2），（3），（4）. 【解答过程】（1）由于事件C“至多订一种报纸”中，有可能“只订甲报”，即事件A与C有可能同时发生，故A与C不是互斥事件. （2）事件B“至少订一种报纸”与事件E“一种报纸也不订”是不可能同时发生的，故B与E是互斥事件，又因市民要么“至少订一种报纸”，要么“一种也不订”，故B与E是对立事件. （3）事件B“至少订一种报纸”中，有可能“只订乙报纸”，即有可能“不订甲报纸”，即事件B发生，事件D也可能发生，故B与D不是互斥事件. （4）事件B“至少订一种报纸”中，有这些可能：“只订甲报纸”“只订乙报纸”“订甲、乙两种报纸”；事件C“至多订一种报纸”中，有这些可能：“什么报纸也不订”“只订甲报纸”“只订乙报纸”， 由于这两个事件可能同时发生，故B与C不是互斥事件. 模块二 古典概型与概率的基本性质 1．古典概型 (1)事件的概率 对随机事件发生可能性大小的度量(数值)称为事件的概率，事件A的概率用P(A)表示. (2)古典概型的定义 我们将具有以下两个特征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型. ①有限性：样本空间的样本点只有有限个； ②等可能性：每个样本点发生的可能性相等. (3)古典概型的判断标准 一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特点：有限性和等可能性.并不是所 有的试验都是古典概型. 下列三类试验都不是古典概型： ①样本点(基本事件)个数有限，但非等可能; ②样本点(基本事件)个数无限，但等可能； ③样本点(基本事件)个数无限，也不等可能. 2．古典概型的概率计算公式 一般地，设试验E是古典概型，样本空间A包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义 事件A的概率P(A)==，其中，n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数. 3．求样本空间中样本点个数的方法 (1)枚举法：适合于给定的样本点个数较少且易一一列举出的问题. (2)树状图法：适合于较为复杂的问题，注意在确定样本点时(x, y)可看成是有序的，如(1,2)与(2,1)不同， 有时也可看成是无序的，如(1,2)与(2,1)相同. 4．概率的基本性质 性质1 对任意的事件A，都有P（A）≥0. 性质2 必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P（Ω）= 1，P(∅)=0. 性质3 如果事件A与事件B互斥，那么P（）=P（A）＋P（B）. 推广：如果事件A1，A2，···，Am．两两互斥，那么事件发生的概率等于这m个事件分别发生的概率之和，即P（）=P(A1)+P(A2)+···+P(Am). 性质4 如果事件A与事件B互为对立事件，那么P（B）=P（A）， P(A)=P(B). 性质5 如果，那么P（A）≤P（B）. 性质6 设A，B是一个随机试验中的两个事件，我们有P（）=P（A）＋P（B）. 5．复杂事件概率的求解策略 (1)对于一个较复杂的事件，一般将其分解成几个简单的事件，当这些事件彼此互斥时，原事件的概率就是这些简单事件的概率的和. (2)当求解的问题中有“至多”“至少”“最少”等关键词语时，常常考虑其对立事件，通过求其对立事件的概率，然后转化为所求问题. 【题型4 古典概型的判断及其概率的求解】 【例4.1】（24-25高一下·全国·课后作业）某汽车站每天均有3辆开往省城的分为上、中、下等级的客车，某天袁先生准备在该汽车站乘车前往省城办事，但他不知道客车的车况，也不知道发车顺序．为了尽可能乘坐上等车，他采取如下策略：先放过一辆，如果第二辆比第一辆好则上第二辆，否则上第三辆，则他乘坐上等车的概率为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据题意，由列举法可得所有可能的客车通过顺序的情况，分析可得该人可以乘上上等车的情况数目，由等可能事件的概率公式，计算可得答案． 【解答过程】根据题意，所有可能的客车通过顺序的情况为 （上，中，下），（上，下，中），（中，上，下）， （中，下，上），（下，中，上），（下，上，中），共6种， 其中该人可以乘坐上等车的情况有（中，上，下），（中，下，上），（下，上，中），共3种， 则其概率为． 故选：C. 【例4.2】（23-24高一下·天津西青·期末）从两名男生（记为和）、两名女生（记为和）中任意抽取两人，分别采取不放回简单随机抽样和有放回简单随机抽样．在以上两种抽样方式下，抽到的两人是一男生一女生的概率分别为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】分别写出样本空间，利用古典概型的概率计算公式求解. 【解答过程】从两名男生（记为和）、两名女生（记为和）中任意抽取两人， 记事件 “抽到的两人是一男生一女生”， 在无放回简单随机抽样方式下的样本空间为: 共12个样本点， 其中有8个样本点，所以. 在有放回简单随机抽样方式下的样本空间为: 共16个样本点， 其中有8个样本点，所以. 故选：A. 【变式4.1】（24-25高二上·内蒙古赤峰·阶段练习）—只不透明的袋子中装有2个白球，3个红球，这些球除颜色外都相同. (1)搅匀后从中任意摸出2个球，求这2个都球是白球的概率； (2)搅匀后从中任意摸出1个球，记录颜色后放回，搅匀，再从中任意摸出1个球，求2次摸到的球恰好是1个白球和1个红球的概率. 【解题思路】（1）将3个红球记为红1，红2，红3，2个白球记为白1，白2，用列举法写出摸出的2球的情形，再由古典概型概率公式即可计算概率； （2）用列表法表示出2次摸的情形，再由古典概型概率公式即可计算概率. 【解答过程】（1）将3个红球记为红1，红2，红3，2个白球记为白1，白2， 则任意摸出2个球的样本空间有：红1红2，红1红3，红1白1，红1白2，红2红3，红2白1，红2白2，红3白1，红3白2，白1白2共10个样本点， 其中2球均为白球事件的样本点只有1个，因此2个球都是白球概率为； （2）搅匀后从中任意摸出1个球，记录下颜色后放回袋子中并搅匀，再从中任意摸出1个球，将3个红球记为红1，红2，红3，2个白球记为白1，白2，列表如图所示： 第2次摸球第1次摸球 红1 红2 红3 白1 白2 红1 （红1，红1） （红1，红2） （红1，红3） （红1，白1） （红1，白2） 红2 （红2，红1） （红2，红2） （红2，红3） （红2，白1） （红2，白2） 红3 （红3，红1） （红3，红2） （红3，红3） （红3，白1） （红3，白2） 白1 （白1，红1） （白1，红2） （白1，红3） （白1,白1） （白1,白2） 白2 （白2，红1） （白2，红2） （白2，红3） （白2,白1） （白2,白2） 所以搅匀后从中任意摸出1个球，记录下颜色后放回袋子中并搅匀，再从中任意摸出1个球事件的样本空间共有25个样本点，它们出现的可能性相同， 其中满足事件“2次摸到的球恰好是1个白球和1个红球”的样本点有12个，所以. 【变式4.2】（24-25高一下·全国·课后作业）新高考数学试题中有多项选择题，要求为：“在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．”已知某多项选择题的正确答案是BCD． (1)若甲同学不会做该题，但他想猜对得5分，就随机填写了一个答案，求他得5分的概率； (2)若乙同学也不会做该题，他只想得2分，就按单项选择题处理，随机填写了一个答案，求他得2分的概率． 【解题思路】（1）列举事件的样本空间，记事件表示“甲同学得5分”，计算事件包含的样本点，由古典概型计算概率计算即可； （2）列举事件的样本空间，记事件表示“乙同学得2分”，计算事件包含的样本点，由古典概型计算概率计算即可. 【解答过程】（1）该事件的样本空间，共10个样本点， 且每个样本点的发生是等可能的， 故可以用古典概型计算概率． 记事件表示“甲同学得5分”，则，含有1个样本点， 所以． （2）该事件的样本空间，共4个样本点， 每个样本点的发生是等可能的，故可以用古典概型计算概率， 记事件表示“乙同学得2分”，则，含有3个样本点， 所以． 【题型5 概率的基本性质及其应用】 【例5.1】（24-25高二上·浙江杭州·期中）设是一个随机试验中的两个事件，记为事件的对立事件，且，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据已知条件求出和，再利用概率的性质求出. 【解答过程】因为，所以. 又 所以. 故. 故选：D. 【例5.2】（23-24高二下·浙江舟山·期末）设A，B是一个随机试验中的两个事件，且，，，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据对立事件的概率与互斥事件的概率及概率的加法公式计算求解即可. 【解答过程】因为，，故，， 因为与为互斥事件，故， 又， 所以有， 故，故. 故选：A. 【变式5.1】（2024高一下·全国·专题练习）在数学考试中，小明的成绩(取整数)不低于90分的概率是0.18，在[80,89]的概率是0.51，在[70,79]的概率是0.15，在[60,69]的概率是0.09，在60分以下的概率是0.07，计算： (1)小明在数学考试中成绩不低于70分的概率； (2)小明数学考试及格(60分及以上)的概率． 【解题思路】（1）小明的成绩不低于70分可以看作互斥事件“[70,79]”“[80,89]”“不低于90分”的并事件，结合互斥事件概率公式求解即可. （2）方法一：小明数学考试及格可以看作互斥事件“[60,69]”“[70,79]”“[80,89]”“不低于90分”的并事件，结合互斥事件概率公式求解即可. 方法二：小明数学考试及格可以看作“不及格(在60分以下)”这一事件的对立事件．结合对立事件概率公式求解即可. 【解答过程】（1）分别记小明的成绩“不低于90分”“[80,89]”“[70,79]”“[60,69]”为事件B，C，D，E，这四个事件彼此互斥． 则小明的成绩不低于70分的概率是. （2）解法一：小明数学考试及格的概率是. 解法二：小明数学考试不及格的概率是0.07，所以小明数学考试及格的概率是. 【变式5.2】（23-24高二上·贵州毕节·期中）为了备战第33届夏季奥林匹克运动会（2024法国巴黎奥运会），中国奥运健儿刻苦训练，成绩稳步提升．射击队的某一选手射击一次，其命中环数的概率如下表： 命中环数 10环 9环 8环 7环 概率 0.32 0.28 0.18 0.12 求该选手射击一次： (1)命中9环或10环的概率； (2)至少命中8环的概率； (3)命中不足8环的概率． 【解题思路】（1）根据互斥事件概率加法得结果； （2）根据互斥事件概率加法得结果； （3）根据对立事件概率关系求结果. 【解答过程】（1）记“射击一次，射中9环或10环”为事件A， 由互斥事件的加法公式得 . （2）设“射击一次，至少命中8环”的事件为B， 由互斥事件概率的加法公式得. （3）由于事件“射击一次，命中不足8环”是事件B：“射击一次，至少命中8环”的对立事件， 即表示事件“射击一次，命中不足8环”，根据对立事件的概率公式得 . 【题型6 游戏的公平性问题】 【例6.1】（24-25高一·全国·课后作业）下面有三个游戏，其中不公平的游戏是（    ） 取球方式 结果 游戏1 有3个黑球和1个白球，游戏时，不放回地依次取2个球 取出的2个球同色→甲胜；取出的2个球不同色→乙胜 游戏2 有1个黑球和1个白球，游戏时，任取1个球. 取出的球是黑球→甲胜；取出的球是白球→乙胜. 游戏3 有2个黑球和2个白球，游戏时，不放回地依次取2个球. 取出的2个球同色→甲胜；取出的2个球不同色→乙胜. A．游戏1和游戏3 B．游戏1 C．游戏2 D．游戏3 【解题思路】分别计算出每个游戏中所给事件的概率，若两事件的概率大小相同则说明此游戏是公平的，否则说明不公平. 【解答过程】对于游戏1，样本点共有12个，取出的2个球同色包含的样本点有6个，其概率是，取出的2个球不同色的概率也是，故游戏1公平； 对于游戏2，样本点共有2个，分析易知，取出的球是黑球和取出的球是白球的概率都是，故游戏2公平； 对于游戏3，样本点共有12个，取出的2个球同色的概率是，取出的2个球不同色的概率是，故此游戏不公平，乙胜的概率大. 故选D. 【例6.2】（23-24高一下·河南许昌·期末）小明与小华两人玩游戏，则下列游戏不公平的是（    ） A．抛掷一枚骰子，向上的点数为奇数，小明获胜，向上的点数为偶数，小华获胜 B．同时抛掷两枚硬币，恰有一枚正面向上，小明获胜，两枚都正面向上，小华获胜 C．从一副不含大小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红色，小明获胜，扑克牌是黑色，小华获胜 D．小明、小华两人各写一个数字6或8，如果两人写的数字相同，小明获胜，否则小华获胜 【解题思路】分别计算各选项中小明、小华获胜的概率，若二人获胜的概率相等，则公平，否则不公平，由此得到选项． 【解答过程】对于A，抛掷一枚骰子，一共6种情况，向上的点数为奇数的概率为，向上的点数为偶数的概率为，所以游戏公平； 对于B，同时抛掷两枚硬币，一共4种情况：（正，正），（正，反），（反，正），（反，反）， 恰有一枚正面向上的概率为，两枚都正面向上的概率为，所以游戏不公平； 对于C，从一副不含大小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红的概率为，扑克牌是黑色的概率为，所以游戏公平； 对于D，小明､小华两人各写一个数字6或8，共四种情况， 两人写的数字相同的概率为，两人写的数字不同的概率为，所以游戏公平． 故选：B． 【变式6.1】（24-25高一·全国·课后作业）已知n是一个三位正整数，若n的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n为“三位递增数”（如135，256，345等） 现要从甲乙两名同学中，选出一个参加某市组织的数学竞赛，选取的规则如下：从由1，2，3，4，5，6组成的所有“三位递增数”中随机抽取1个数，且只抽取1次，若抽取的“三位递增数”是偶数，则甲参加数学竞赛；否则，乙参加数学竞赛. （1）由1，2，3，4，5，6可组成多少“三位递增数”？并一一列举出来. （2）这种选取规则对甲乙两名学生公平吗？并说明理由. 【解题思路】（1）根据定义一一列举出即可； （2）由（1）根据古典概型的概率计算公式分别计算概率即可判断. 【解答过程】解：（1）由题意知，所有由1，2，3，4，5，6组成的“三位递增数共有20个. 分别是123，124，125，126，134，135，136，145，146，156，234，235，236，245，246，256，345，346，356，456. （2）不公平由（1）知，所有由1，2，3，4，5，6组成的“三位递增数”有20个，记“甲参加数学竞赛”为事件A，记“乙参加数学竞赛”为事件B.则事件A含有基本事件有：124，134，234，126，136，146，156，236，246，256，346，356，456共13个. 由古典概型计算公式，得 ， 又A与B对立，所以， 所以.故选取规则对甲、乙两名学生不公平. 【变式6.2】（2024高三·全国·专题练习）口袋中有质地、大小完全相同的5个球，编号分别为1，2，3，4，5，甲、乙两人玩一种游戏：甲先摸出一个球，记下编号，放回后乙再摸一个球，记下编号，如果两个编号的和为偶数算甲赢，否则算乙赢. (1)求甲、乙两人摸出的两个球编号之和为6的概率； (2)这种游戏规则公平吗？试说明理由. 【解题思路】（1）设“甲、乙两人摸出的两个球编号之和为6”为事件，然后列举出事件包含的基本事件，并得到数量，再计算出甲、乙二人取出的数字共有数量，然后得到事件的概率； （2）设“甲胜”为事件，“乙胜”为事件，然后列举出事件所包含的基本事件及数量，由此得到事件的概率，由对立事件求出事件的概率，从而判断游戏的公平性. 【解答过程】（1）设“甲、乙两人摸出的两个球编号之和为6”为事件A，事件A包含的基本事件为，，，，共5个，又甲、乙二人取出的数字共有（个）等可能的结果，所以； （2）这种游戏规则不公平. 设“甲胜”为事件，“乙胜”为事件， 则甲胜即两数字之和为偶数所包含的基本事件数为13个：，，，，，，，，，，，，. 所以甲胜的概率， 从而乙胜的概率， 由于，所以这种游戏规则不公平. 【题型7 概率综合】 【例7.1】（24-25高二上·河北保定·开学考试）某人忘记了一位同学电话号码的最后一个数字，但确定这个数字一定是奇数，随意拨号，则拨号不超过两次就拨对号码的概率为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据题意，事件可表示为第一次拨对和第一次没拨对第二次拨对的互斥事件的和，再由互斥事件概率加法公式及古典概型求解. 【解答过程】设第次拨号拨对号码. 拨号不超过两次就拨对号码可表示为， 所以拨号不超过两次就拨对号码的概率为. 故选：B. 【例7.2】（23-24高二下·辽宁·期中）某市医疗保险实行定点医疗制度，按照“就近就医、方便管理”的原则，参加保险人员可自主选择四家医疗保险定点医院和一家社区医院作为本人就诊的医疗机构，若甲、乙两名参加保险人员所在的地区附近有A，B，C三家社区医院，并且他们对社区医院的选择是相互独立的，则甲、乙两人不选择同一家社区医院的概率为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据古典概型结合对立事件的概率求法运算求解. 【解答过程】甲、乙均有3家社区医院可以选择，故共有个基本事件， 记“甲、乙两人选择同一家社区医院”为事件A，共有 3个基本事件，其概率， 所以甲、乙两人不选择同一家社区医院的概率. 故选：D. 【变式7.1】（24-25高二上·广西柳州·开学考试）已知不透明的盒子中装有标号为1，2，3的小球各2个（小球除颜色､标号外均相同）. (1)若一次取出3个小球，求取出的3个小球上标号均不相同的概率； (2)若有放回地先后取出2个小球，求取出的2个小球上标号不相同的概率. 【解题思路】（1）使用列举法，结合古典概型概率公式可得； （2）先求2个小球上标号相同的概率，然后由对立事件的概率关系可得. 【解答过程】（1）分别记6个小球为，从中任取3个小球有： ，共20种. 3个小球上标号均不相同的有： 共8种， 所以取出的3个小球上标号均不相同的概率为. （2）每次取球都有6种取法，所以总的取法有种取法. 2个小球上标号相同的取法有： 共12种取法， 所以2个小球上标号相同的概率为， 所以取出的2个小球上标号不相同的概率. 【变式7.2】（23-24高二上·上海·期末）在一只袋子中装有7个红玻璃球，3个绿玻璃球．从中无放回地任意抽取两次，每次只取一个．试求： (1)取得两个红球的概率； (2)取得两个同颜色的球的概率； (3)至少取得一个红球的概率． 【解题思路】（1）根据古典概率模型，先求出所有基本事件的总数，再求出满足事件条件的基本事件数，从而确定事件的概率； （2）根据题意取得两个同颜色的球分为取得两个红球和取得两个绿球两种情况，根据互斥事件概率计算公式，计算即可； （3）求出至少取得一个红球事件的对立事件即事件的概率，根据，为对立事件，有. 【解答过程】（1）设取得两个红球为事件，取得两个绿球为事件，至少取得一个红球为事件， 易知，为互斥事件，，为对立事件；7个红玻璃球，3个绿玻璃球， 从中无放回地任意抽取两次所有基本事件有（个）， 其中事件发生所包含的基本事件有（个）， 事件发生所包含的基本事件有（个）， 所以， 所以取得两个红球的概率为：. （2）取得两个同颜色的球的概率为：. （3）至少取得一个红球的概率为：. 【题型8 古典概型与其他知识的交汇问题】 【例8.1】（24-25高一下·江西·阶段练习）某企业以“庆祝春节，迎接新年”为主题的职工歌手大赛决赛如期举行，满分100分，共有100人参赛，将参赛歌手的成绩分成如下五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，得到如图所示的频率分布直方图. (1)根据频率分布直方图，求的值及参赛歌手的平均成绩（同一组数据用该组区间的中点值作代表）； (2)根据频率分布直方图，求参赛歌手成绩的分位数； (3)从参赛成绩在和的歌手中，采用分层随机抽样方法抽取6名歌手，再从抽取的这6名歌手中随机抽取2名歌手，求这2名歌手比赛成绩在和内各1人的概率. 【解题思路】（1）根据频率的性质求 ，再根据平均数运算求解； （2）分位数表示频率分布直方图中从第一组开始往后累加的矩形面积之和为0.4, 运算即可求解. （3）先根据分层抽样求参赛成绩在的人数，再结合古典概型运算求解. 【解答过程】（1）第一至第五组对应的频率分别为；； ；；， 所以，解得， 所以参赛歌手的平均成绩为分. （2）由，， 得参赛歌手成绩的分位数为分. （3）由，得这6人中参赛成绩在的人数为人，分别记为，，，； 在的人数为人，分别记为，. 在这6个人中抽取2个人，共，，，，，，，，，，，，，，，15个基本事件， 这2名歌手比赛成绩在和内各1人，共，，，，，，，，8个基本事件， 故这2名歌手比赛成绩在和内各1人的概率为. 【例8.2】（24-25高一下·安徽亳州·阶段练习）某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为，，，，． (1)求频率分布直方图中的值； (2)估计该企业的职工对该部门评分的分位数（保留一位小数）； (3)从评分在的受访职工中，随机抽取2人，求此2人评分都在的概率． 【解题思路】（1）根据频率分布直方图的性质可求的值. （2）根据频率分布直方图计算50%分位数即可. （3）根据频率分布直方图得出50名职工中评分在、分别有2人、3人，利用列举法结合古典概型的概率公式即可求. 【解答过程】（1）由题意： . （2）因为评分在的频率为：， 评分在的频率为：. 所以评分的第分位数在， 由. 所以估计该企业的职工对该部门评分的分位数为：. （3）受访职工中评分在的人数为：人，设为， 受访职工中评分在的人数为：人，设为， 从中任取两人的结果有：，，，，，，，，，，共10个，且每个结果出现的可能性相同. 2人评分都在的结果有：，，，共3个. 所以此2人评分都在的概率为：. 【变式8.1】（24-25高一下·辽宁葫芦岛·阶段练习）为了加强对数学文化的学习，某校高三年级特命制了一套与数学文化有关的专题训练卷（满分100分），并对整个高三年级的学生进行了测试.现从这些学生的成绩中随机抽取了50名学生的成绩（单位：分），按照，，…，分成5组，制成了如图所示的频率分布直方图.（假设每名学生的成绩均不低于50分）.    (1)求频率分布直方图中的值，并估计所抽取的50名学生成绩的平均数、中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）； (2)用样本估计总体，若高三年级共有2000名学生，试估计高三年级这次测试成绩不低于75分的人数； (3)若利用分层抽样的方法从样本中成绩不低于70分的学生中抽取6人，再从这6人中任意抽取3人参加这次考试的质量分析会，试求成绩在的学生至多有2人被抽到的概率. 【解题思路】（1）根据小矩形的面积之和等于1可求出的值，由小矩形底边中点横坐标乘以小矩形的面积之和可得平均数，根据中位数左右两边小矩形面积相等可得中位数； （2）由频率分布直方图求出不低于75分的频率再乘以2000即可求解； （3）分别求出成绩为，，应抽出的人数，求出基本事件的总数以及成绩在的学生至多有2人被抽包含的基本事件的个数，由古典概率公式即可求解. 【解答过程】（1）由频率分布直方图可得，第4组的频率为， 所以． 由频率分布直方图可估计所抽取的名学生成绩的平均数为： ． 由于前两组的频率之和为， 前三组的频率之和为，故中位数在第3组中． 设中位数为，则有，解得，即所求的中位数为． （2）由（1）可知，名学生中成绩不低于分的频率为 ，用样本估计总体， 可以估计高三年级名学生中成绩不低于75分的人数为． （3）由（1）可知，位于，，的人数分别为： ，，， 这三组中所抽取的人数分别为，，， 设事件 “成绩在的学生至多有2人被抽到”， 则=“成绩在的学生全都被抽到” 记成绩为的名学生分别为，，，成绩为的2名学生分别为，，成绩为的名学生为， 则从中随机抽取人的所有基本事件为，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共个， 成绩在的学生全都被抽到包含的基本事件为，有1个． 故． 【变式8.2】（24-25高一下·全国·单元测试）某新能源汽车销售部为了满足广大客户对新能源汽车性能的需求，随机抽取了500名用户进行问卷调查，根据统计情况，将他们的年龄按分组，并绘制出了部分频率分布直方图，如图所示． (1)请将频率分布直方图补充完整； (2)估计样本中所有用户的平均年龄（同一组中的数据用该组区间的中间值作代表）； (3)销售部从年龄在两组的样本中用分层抽样的方法抽取4人，再从这4人中随机抽取2人进行电话回访，求这2人取自不同年龄区间的概率． 【解题思路】（1）根据频率分布直方图计算缺少的部分的频率，再补充频率分布直方图即可； （2）利用频率分布直方图中平均数估计的计算公式计算即可； （3）根据分层抽样，计算年龄在内的有1人,记为A；年龄在内的有3人，分别记为，由列举法以及古典概型的概率计算公式计算可得答案. 【解答过程】（1）年龄在的频率为， 补充完整的频率分布直方图如图所示． （2）所有用户的平均年龄的估计值为 ， 故估计样本中所有用户的平均年龄为45岁． （3）由分层抽样的方法可知，抽取的4人中，年龄在内的有1人，记为A， 年龄在内的有3人，分别记为， 则从这4人中随机抽取2人的所有样本点有 ，共6种． 记这2人取自不同年龄区间为事件M，其样本点有，共3种， 故这2人取自不同年龄区间的概率为． 一、单选题 1．（2025高一·全国·专题练习）从1，2，3，4这4个数中，任取2个数求和，若“这2个数的和大于4”为事件，“这2个数的和为偶数” 为事件，则和包含的样本点数分别为（   ） A．1，6 B．4，2 C．5，1 D．6，1 【解题思路】首先列出样本空间，即可判断. 【解答过程】从1，2，3，4这4个数中，任取2个数求和，则试验的样本空间． 其中事件包含的样本点有：，，，共4个． 事件包含的样本点有：，共2个． 所以事件包含的样本点有：，，，，共5个； 事件包含的样本点有：共1个． 故选：C. 2．（24-25高一上·辽宁·阶段练习）对满足的非空集合，有下列四个命题： ①“若任取，则”是必然事件； ②“若，则”是不可能事件； ③“若任取，则”是随机事件； ④“若，则”是必然事件． 其中正确命题的个数为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【解题思路】根据必然事件、不可能事件、随机事件、子集的定义逐一判断即可. 【解答过程】解：因为满足的非空集合， 对于①②，当集合是集合的真子集时，显然存在一个元素在集合中，不在集合中，因此“若，则”是随机事件，故①②错误； 对于③，任取，当集合是集合的真子集时，有可能成立，也可能不成立，故③正确； 对于④，“若，则”是一定成立，是必然事件，故④正确. 故正确的命题个数为2个. 故选：C. 3．（23-24高一下·海南·期末）从分别写有的张卡片中随机一次取出张，设事件为“写有的卡片被取出”，为“写有的卡片被取出”，为“取出的卡片上的数都大于”，为“取出的卡片上的数之和小于”，则（   ） A．与是互斥事件 B．与是对立事件 C． D． 【解题思路】对于A，给出即可作为反例；对于B，给出即可作为反例；对于C，给出即可作为反例；对于D，论证发生等价于发生即可. 【解答过程】对于A，由于当同时取出时，与同时发生，所以它们不是互斥事件，故A错误； 对于B，由于当同时取出时，与都不发生，所以它们不是对立事件，故B错误； 对于C，由于当同时取出时，发生，不发生，所以它们不相等，故C错误； 对于D，由于发生当且仅当取出的卡片至少有一张是非正数，即至少有一个发生，故，故D正确. 故选：D. 4．（23-24高一下·全国·阶段练习）已知事件、、两两互斥，若，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据互斥事件的概率公式求出、. 【解答过程】因为事件、、两两互斥，， 所以， 所以. 故选：B. 5．（2024高一下·全国·专题练习）设为三个事件，分别表示它们的对立事件，表示“三个事件恰有一个发生”的表达式为（　　） A． B． C． D．＋＋ 【解题思路】根据事件的交和并即可得到答案. 【解答过程】选项A表示三个事件至少有一个发生； 选项B表示三个事件恰有一个发生； 选项C表示三个事件恰有一个不发生； 选项D表示三个事件至少有一个不发生． 故选：B. 6．（23-24高一下·江苏·期末）一场数字游戏在两个非常聪明的学生甲､乙之间进行，老师在黑板上写出，2024共2023个正整数，然后随意擦去一个数，接下来由乙､甲两人轮流擦去其中一个数（即乙先擦去其中一个数，然后甲再擦去一个数），如此下去，若最后剩下的两个数互为质数（如2和3），则判甲胜；否则（如2和4），判乙胜，按照这种游戏规则，甲获胜的概率是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】先根据裁判擦去的是奇数还是偶数分类考虑，分析得出若擦去的是奇数，则乙一定获胜；若擦去的是偶数，则甲一定获胜，由此根据古典概型概率公式计算即得. 【解答过程】由于甲、乙都非常聪明，他们获胜的关键是要看裁判擦去哪个数， 注意2，3，4，⋅⋅⋅，2024中有1011个奇数，1012个偶数. （1）若裁判擦去的是奇数，则乙一定获胜. 理由如下：乙不管甲擦去什么数，只要还有奇数，就擦去奇数，这样最后剩下两个数一定都是偶数， 从而所剩两数不互质，故乙胜. （2）若裁判擦去的是偶数，则甲一定获胜. 理由如下：设裁判擦去的是，则将余下的数配成1011对，每对数由一奇一偶的相邻两数组成： 这样，不管乙擦去什么数，甲只要擦去所配对中的另一个数，最后剩下两个相邻的整数，它们互质，故甲必获胜. 甲获胜的概率为. 故选:B. 7．（24-25高一下·江西赣州·开学考试）新高考选科要求，语数外＋（物理，历史）二选一＋（政治，地理，化学，生物）四选二．针对高一某同学的选科组合有如下事件，事件A“选物理”，事件B选历史”，事件C选化学”，事件D“选政治”，则下列正确的是（   ） A．事件与事件互斥 B． C．事件与事件对立 D． 【解题思路】根据互斥事件的概念判断A；根据对立事件的概念判断C；根据古典概型的概率公式判断BD. 【解答过程】由题意，用表示选择物理，用表示选择历史，用数字分别表示选择政治，地理，化学，生物， 则样本空间， 共有12个样本点，即，且每个样本点是等可能发生的，所以这是一个古典概型. 对于A，， 则事件，所以事件与事件不互斥，故A错误； 对于B，因为，所以， 则，故B错误； 对于C，， 则，且，所以事件与事件对立，故C正确； 对于D，，则，所以，故D错误， 故选：C. 8．（24-25高一下·安徽·开学考试）若事件为两个互斥事件，且，有以下四个结论，其中正确的结论是（    ） ① ② ③ ④ A．①③④ B．②③④ C．①②④ D．①②③ 【解题思路】根据互斥事件的含义可判断①；根据题意可知，从而判断②；根据概率的性质可判断③④． 【解答过程】事件为两个互斥事件，，，故①正确； 事件为两个互斥事件，则，，故②错误； ，故③正确； ，故④正确， 综上，①③④正确， 故选：A． 二、多选题 9．（23-24高一下·福建福州·期末）从装有3个红球和3个黑球的口袋内任取两个球，则下列说法正确的是（    ） A．“至少有一个黑球”与“都是黑球”是互斥而不对立的事件 B．“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”不是互斥事件 C．“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”是互斥而且是对立的事件 D．“至少有一个黑球”与“都是红球”是对立事件 【解题思路】由互斥事件及对立事件的定义进行依次判断． 【解答过程】“至少有一个黑球”等价于“一个黑球和一个红球或两个黑球”与“都是黑球”可以同时发生，不是互斥事件，故A错误； “至少有一个黑球”等价于“一个黑球和一个红球或两个黑球”，“至少有一个红球”等价于“一个黑球和一个红球或两个红球”，可以同时发生，故B正确； “恰好有一个黑球”等价于“一个黑球和一个红球”，与“恰好有两个黑球”，不同时发生，还有可能都是红球，不是对立事件，故C错误； “至少有一个黑球”等价于“一个黑球和一个红球或两个黑球”，与“都是红球”，不同时发生，但一定会有一个发生，是对立事件，故D正确． 故选：BD． 10．（23-24高一下·江苏无锡·期末）已知事件A，B发生的概率分别为，，则（    ） A． B． C．若A与B互斥，则 D．一定有 【解题思路】对于A，利用对立事件的概率公式即可判断；对于BC，利用和事件与交事件的概率公式，结合互斥事件的定义计算判断即可；对于D，举反例即可判断. 【解答过程】对于A，因为，所以，故A正确； 对于B，因为， 又且，则， 所以，即，故B正确； 对于C，因为A与B互斥，所以， 则，故C错误； 对于D，记事件“抛掷一枚骰子，向上的点数小于3”，事件“抛掷一枚骰子，向上的点数为4”， 则满足，，但不成立，故D错误； 故选：AB. 11．（23-24高一下·江苏苏州·期末）抛掷一枚质地均匀的骰子一次，事件“出现点数为奇数”，事件“出现点数为3”，事件“出现点数为3的倍数”，事件“出现点数为偶数”，则以下选项正确的是（  ） A．B与D互斥 B．A与D互为对立事件 C． D． 【解题思路】写出以及样本空间所包含的基本事件，逐一判断各个选项即可. 【解答过程】由题意，样本空间为， 对于A，，这意味着不可能同时发生，故A正确； 对于B，，这意味着中有且仅有一个事情发生，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，因为，所以，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题 12．（23-24高二上·广东清远·期中）设为三个随机事件，若A与是互斥事件，与是相互对立事件，且，则 . 【解题思路】先利用对立事件的概率公式求得的值，再利用互斥事件的概率公式即可求得的值. 【解答过程】由与是对立事件，可得 由与是互斥事件，可得 . 故答案为：. 13．（23-24高一下·天津滨海新·期末）《易·系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中国古代流传下来的两幅神秘图案．河图的排列结构如图所示，一与六共宗居下，二与七为朋居上，三与八同道居左，四与九为友居右，五与十相守居中，其中白圈为阳数，黑点为阴数．若从阳数和阴数中各取一数，则其差的绝对值为3的概率为 ．    【解题思路】根据阳数为1，3，5，7，9；阴数为2，4，6，8，10，利用古典概型的概率求法求解. 【解答过程】∵阳数为1，3，5，7，9；阴数为2，4，6，8，10， ∴从阳数和阴数中各取一数的所有组合共有个， 满足差的绝对值为3的有，，，， 共7个， 则其差的绝对值为5的概率为. 故答案为：. 14．（24-25高一上·辽宁·期末）算盘是我国古代一项伟大的发明，是一类重要的计算工具.现有一把初始状态的算盘如图所示，自右向左，分别表示个位、十位、百位、千位等，上面一粒珠子（简称上珠）代表，下面一粒珠子（简称下珠）代表，五粒下珠表示的数的大小等于同组一粒上珠表示的数的大小.例如，个位拨动一粒上珠，十位拨动一粒下珠至梁上，表示数字.现将算盘的个位、十位、百位、千位分别随机拨动一粒珠子至梁上，设事件“表示的四位数能被整除”，“表示的四位数能被整除”，则 . 【解题思路】利用古典概型的概率公式计算出、，即可求出的值. 【解答过程】因为只拨动一粒珠子至梁上，因此数字只表示或， 因为个位、十位、百位、千位分别随机拨动一粒珠子至梁上， 所以所得的四位数的个数为个， 能被整除的四位数，数字和各出现个，这样的四位数有：、、、、、，共个， 所以， 能被整除的四位数，个位数为，则这样的四位数为：、、、、、、、，共个， 所以， 所以，. 故答案为：. 四、解答题 15．（2024高一下·全国·专题练习）指出下列事件中，哪些是随机事件、必然事件或不可能事件： (1)从1个三角形的3个顶点处各任画1条射线，这3条射线交于一点； (2)把9写成两个实数的和，其中一定有1个数小于5； (3)实数a，b不都为0，但a2＋b2＝0； (4)汽车排放尾气会污染环境； (5)明天早晨有雾； (6)某地明年7月28日的最高气温高于今年8月10日的最高气温． 【解题思路】利用随机事件、必然事件、不可能事件概念的内涵进行判断. 【解答过程】（1）3条射线可以交于不同的点，具有随机性.故事件“从1个三角形的3个顶点处各任画1条射线，这3条射线交于一点.”为随机事件. （2）故事件“把9写成两个实数的和，其中一定有1个数小于5”为必然事件. （3）当时，且，则事件“实数a，b不都为0，但a2＋b2＝0”为不可能事件. （4）汽车排放尾气必然会污染环境，则事件“汽车排放尾气会污染环境”为必然事件. （5）明天早晨有雾与否具有不确定性. （6）某地明年7月28日的最高气温是否高于今年8月10日的最高气温具有不确定性．故事件“某地明年7月28日的最高气温高于今年8月10日的最高气温．”为随机事件. 16．（23-24高一下·全国·课后作业）某商场有奖销售中，购满100元商品得一张奖券，多购多得，每1000张奖券为一个开奖单位.设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个.设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A，B，C，求： (1)； (2)抽取1张奖券中奖概率； (3)抽取1张奖券不中特等奖或一等奖的概率. 【解题思路】（1）根据题意，结合古典摡型的概率计算公式，即可求解； （2）根据题意，结合互斥事件的概率加法公式，即可求解； （3）根据题意，结合对立事件的概率计算公式，即可求解. 【解答过程】（1）解：因为每1000张奖券中设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个， 所以. （2）解：设“抽取1张奖券中奖”为事件D， 则. （3）解：设“抽取1张奖券不中特等奖或一等奖”为事件E， 则. 17．（2024高一下·全国·专题练习）设某人向一个目标射击3次，用事件表示随机事件“第次射击击中目标”（），指出下列事件的含义： (1)； (2)； (3). 【解题思路】直接根据事件的交，并，对立事件求解. 【解答过程】（1）表示第1次和第2次射击都击中目标． （2）表示第1次和第2次射击都击中目标，而第3次没有击中目标． （3）表示第1次射击击中目标或第2次射击击中目标. 18．（23-24高一下·四川攀枝花·期末）袋中有6个大小和质地相同的小球，分别为黑球、黄球、红球，从中任意取一个球，得到黑球或黄球的概率是，得到黄球或红球的概率是. (1)从中任取一个球，得到黑球、黄球、红球的概率各是多少？ (2)从中任取两个球，得到的两个球颜色不相同的概率是多少？ 【解题思路】（1）从中任取一球，分别记得到黑球、黄球、红球为事件，，，由于，，为互斥事件，列出方程组，由此能求出从中任取一球，得到黑球、黄球、红球的概率． （2）黑球、黄球、红球个数分别为2，1，3，得到的两个球同色的可能有：两个黑球只有1种情况，两个红球共3种情况，而从6个球中取出2个球的情况共有15种，由此能求出得到的两个球颜色不相同的概率． 【解答过程】（1）从中任取一球，分别记得到黑球、黄球、红球为事件，，， 由于，，为互斥事件， 根据已知得， 解得， 从中任取一球，得到黑球、黄球、红球的概率分别是； （2）由（1）知黑球、黄球、红球个数分别为2，1，3， 得到的两个球同色的可能有：两个黑球只有1种情况，两个红球共3种情况， 而从6个球中取出2个球的情况共有15种， 所以所求概率为， 则得到的两个球颜色不相同的概率是． 19．（23-24高一下·江苏无锡·期末）为了解某市区高中学生的阅读时间，从该市区随机抽取了800名学生进行调查，得到了这800名学生一周的平均阅读时间(单位：小时)，并将样本数据分成九组，绘制成如图所示的频率分布直方图. (1)求a的值; (2)若周平均阅读时间的平均数和中位数均超过9小时，则认为该市区高中生阅读量达标.以样本估计总体试判断该市区高中生阅读量是否达标? (3)为进一步了解这800名学生阅读时间的分配情况，从周平均阅读时间在三组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了10人，现从这10人中随机抽取两人，求这两人周平均阅读时间均在内的概率. 【解题思路】（1）求各组频率，结合频率和为1列式求解即可； （2）根据频率分布直方图求平均数和中位数，结合题意分析判断即可； （3）根据分层抽样求各组人数，利用列表法结合古典概型运算求解. 【解答过程】（1）由题意可知：每组的频率依次为， 则，解得， 所以a的值为. （2）周平均阅读时间的平均数的估计值为 ， 且，， 可知周平均阅读时间的中位数的估计值， 则，解得， 因为，， 所以该市区高中生阅读量达标. （3）在抽取学生人数为，设为； 在三组中抽取学生人为，设为； 在三组中抽取学生人数为，设为； 设样本空间为，这两人周平均阅读时间均在内为事件M， 列表可得： 1 2 3 4 5 A B C D b 1 ╱ ╳ ╳ ╳ ╳ ╳ ╳ ╳ ╳ ╳ 2 ╱ ╱ ╳ ╳ ╳ ╳ ╳ ╳ ╳ ╳ 3 ╱ ╱ ╱ ╳ ╳ ╳ ╳ ╳ ╳ ╳ 4 ╱ ╱ ╱ ╱ ╳ ╳ ╳ ╳ ╳ ╳ 5 ╱ ╱ ╱ ╱ ╱ ╳ ╳ ╳ ╳ ╳ A ╱ ╱ ╱ ╱ ╱ ╱ √ √ √ ╳ B ╱ ╱ ╱ ╱ ╱ ╱ ╱ √ √ ╳ C ╱ ╱ ╱ ╱ ╱ ╱ ╱ ╱ √ ╳ D ╱ ╱ ╱ ╱ ╱ ╱ ╱ ╱ ╱ ╳ b ╱ ╱ ╱ ╱ ╱ ╱ ╱ ╱ ╱ ╱ 可知，, 所以. 第 1 页 共 28 页 学科网（北京）股份有限公司 $$