第八章 立体几何初步综合检测1（特色专题卷）-2024-2025学年高一数学特色专题卷（人教A版2019必修第二册）

第八章 立体几何初步综合检测1 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时150分钟，试卷紧扣教材，细分题组，精选一年好题，两年真题，练基础，提能力！ 1． 选择题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1．（2025高二上·重庆万州·阶段练习）下面四个条件中，能确定一个平面的是（    ） A．空间中任意三点 B．空间中两条直线 C．空间中两条相交直线 D．一条直线和一个点 2．（2025高一·全国·课后作业）一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，这个圆锥的侧面展开图扇形的圆心角是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·山东潍坊·期末）已知一个圆柱的侧面积等于其表面积的，且其轴截面的周长为24，则该圆柱的体积为（    ） A． B． C． D． 4．（2025高一下·安徽滁州·阶段练习）如图，正方形是用斜二测画法画出的水平放置的一个平面四边形的直观图，若，则四边形周长与面积的数值之比为（    ）    A． B． C． D． 5．（2025·湖南岳阳·一模）已知三棱锥的所有顶点都在球O的球面上，是球O的直径.若平面平面，，，球O的体积为，则三棱锥的体积为（    ） A．9 B．18 C．27 D．36 6．（24-25高三上·北京顺义·期末）已知过的平面与正方体相交，分别交棱，于，.则下列关于截面的说法中，不正确的是（ ） A．截面可能是矩形 B．截面可能是菱形 C．截面可能是梯形 D．截面不可能是正方形 7．（2025高一·全国·课后作业）如图，在四棱锥P-ABCD中，M，N分别为AC，PC上的点，且MN∥平面PAD，则（    ） A．MN∥PD B．MN∥PA C．MN∥AD D．以上均有可能 8．（2025高一·全国·课后作业）如图，在长方体中，，，则下列结论中正确的是（   ） A． B．平面 C． D．平面 2． 多选题（共3小题，满分18分，每小题6分） 9．（2025高二下·黑龙江大庆·开学考试）已知、是两个不同的平面，、是两条不同的直线，下列说法中正确的是（    ） A．若，，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，，，则 10．（24-25高一下·浙江·期末）在图中，G，N，M，H分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线，是异面直线的图形有（ ） A． B． C．D． 11．（2025高一下·吉林延边·阶段练习）如图，棱长为2的正方体中，在线段（含端点）上运动，则下列判断正确的是（   ） A． B．三棱锥的体积不变，为 C．平面 D．与所成角的范围是 3． 填空题（共3小题，满分15分，每小题5分） 12．（2025高一·全国·课后作业）已知三棱锥中，、、两两垂直，则点在底面内的射影是的 心． 13．（2025高一下·全国·课后作业）已知是球的直径上一点，，过点的平面截球所得截面圆的圆心为点，且截面圆的面积为，则球的表面积为 . 14．（2025高一·全国·课后作业）如图，在正方体中，，E为AD的中点，点F在CD上．若平面，则线段EF的长度等于 ，平面内与EF平行的线段是 ． 4． 解答题（共5小题，第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，满分77分） 15．（2025高二上·重庆万州·阶段练习）如图，已知在平面内有平行四边形，点是它的对角线的交点，点在外，且，.求证：. 16．（2025高一下·全国·课后作业）如图，四边形与都是直角梯形，，且，且，G，H分别为，的中点. （1）证明：四边形是平行四边形； （2）C，D，F，E四点是否共面？若共面，请给出证明过程；若不共面，请说明理由. 17．（2025高一上·江苏南通·阶段练习）如图，在四棱锥中，四边形ABCD是平行四边形，点E，F，G分别为线段BC，PB，AD的中点. (1)证明：EF//平面PGC； (2)在线段BD上找一点H，使得FH//平面PGC，并说明理由. 18．（2025高一·全国·课后作业）如图，平行六面体的底面是菱形，. （1）求证：； （2）当的值为多少时，可使平面？ 19．（2025高一下·广东·期中）如图，棱长为2的正方体中，P，Q分别是棱的中点． (1)平面与直线交于R点，求的值； (2)在线段上是否存在点M，使得面，若存在，请求出M点位置并证明；若不存在，请说明理由． 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第八章 立体几何初步综合检测1 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时150分钟，试卷紧扣教材，细分题组，精选一年好题，两年真题，练基础，提能力！ 1． 选择题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1．（2025高二上·重庆万州·阶段练习）下面四个条件中，能确定一个平面的是（    ） A．空间中任意三点 B．空间中两条直线 C．空间中两条相交直线 D．一条直线和一个点 【答案】C 【解析】根据每个选项，可举出相应的反例进而得到结果. 【详解】A,空间任意三点，当三点共线时能确定一条直线而不是平面，故不正确； B. 空间两条直线，当两条直线重合时，过这条直线的平面有无数个，故不正确； C. 空间两条平行直线，根据课本中的判定得到是正确的； D. 一条直线和一个点，当这个点在直线上时，过这条直线的平面有无数个，故不正确. 故选：C. 2．（2025高一·全国·课后作业）一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，这个圆锥的侧面展开图扇形的圆心角是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据侧面积与底面积的关系可以求出半径与母线长的关系，再利用底面周长与侧面弧长相等 可以建立方程求出圆心角. 【详解】设圆锥的底面半径为，母线长为， 因为侧面积是底面积的2倍， 所以， 又，解得. 故选：D. 3．（24-25高一下·山东潍坊·期末）已知一个圆柱的侧面积等于其表面积的，且其轴截面的周长为24，则该圆柱的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设圆柱的底面半径为，高为，则由题意得，，解方程组，再根据圆柱的体积公式求解即可． 【详解】设圆柱的底面半径为，高为， ∵圆柱的侧面积等于表面积的，且其轴截面的周长是24， ∴，解得， ∴圆柱的体积为， 故选:D． 【点睛】本题主要考查圆柱的表面积公式与体积公式，属于基础题． 4．（2025高一下·安徽滁州·阶段练习）如图，正方形是用斜二测画法画出的水平放置的一个平面四边形的直观图，若，则四边形周长与面积的数值之比为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直观图与原图的关系分析求解即可； 【详解】由图可知，所以四边形的面积为； 根据轴不变，轴减半的原则，的坐标为：    四边形周长为 所以四边形周长与面积的数值之比为, 故选：A. 5．（2025·湖南岳阳·一模）已知三棱锥的所有顶点都在球O的球面上，是球O的直径.若平面平面，，，球O的体积为，则三棱锥的体积为（    ） A．9 B．18 C．27 D．36 【答案】A 【分析】由题意可得，，进而说明平面，再求得球的半径，根据即可求得答案. 【详解】如图，三棱锥的所有顶点都在球O的球面上，是球O的直径 O为中点， ∴，， ∵平面平面，平面平面，平面， ∴平面， 设，由球O的体积为，可得， 则， ∴三棱锥的体积为9， 故选∶A． 6．（24-25高三上·北京顺义·期末）已知过的平面与正方体相交，分别交棱，于，.则下列关于截面的说法中，不正确的是（ ） A．截面可能是矩形 B．截面可能是菱形 C．截面可能是梯形 D．截面不可能是正方形 【答案】C 【分析】选过特殊点(中点、对角顶点)且含体对角线的平面截取正方体，根据正方体的性质及结构特征、勾股定理分析各选项的正误即可. 【详解】如下图，当分别与对角顶点重合时，显然是矩形； 如下图，当，为，的中点时，显然是菱形，由正方体的性质及勾股定理易知：不可能为正方形； 根据对称性，其它情况下为平行四边形； 综上，C不正确. 故选：C. 7．（2025高一·全国·课后作业）如图，在四棱锥P-ABCD中，M，N分别为AC，PC上的点，且MN∥平面PAD，则（    ） A．MN∥PD B．MN∥PA C．MN∥AD D．以上均有可能 【答案】B 【分析】直接利用线面平行的性质分析解答. 【详解】∵MN∥平面PAD，MN⊂平面PAC，平面PAD∩平面PAC=PA， ∴MN∥PA. 故选：B 8．（2025高一·全国·课后作业）如图，在长方体中，，，则下列结论中正确的是（   ） A． B．平面 C． D．平面 【答案】C 【分析】连接，由，，可证平面，利用线面垂直的性质即可证明． 【详解】解：如图，连接，在长方体中，平面，平面，所以， 又，即矩形为正方形， ， ，平面， 平面， 平面， ，故C正确． 对于A：与为异面直线，故A错误； 对于B：因为，显然与平面相交，故与平面相交，即B错误； 对于D：设，连接，不妨令， 所以，，，所以与不相似，故与不垂直，故与平面不垂直，故D错误. 故选：C． 2． 多选题（共3小题，满分18分，每小题6分） 9．（2025高二下·黑龙江大庆·开学考试）已知、是两个不同的平面，、是两条不同的直线，下列说法中正确的是（    ） A．若，，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，，，则 【答案】ABD 【分析】根据空间中线面的位置关系，逐一分析选项，即可得答案. 【详解】对于A：若，，则，，则，故A正确； 对于B：若，，，则，故B正确； 对于C：若，，，则m与n可异面，可平行，故C错误； 对于D：由面面垂直的性质定理可得，D正确. 故选：ABD 10．（24-25高一下·浙江·期末）在图中，G，N，M，H分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线，是异面直线的图形有（ ） A． B． C．D． 【答案】BD 【分析】根据异面直线的定义分别判断即可. 【详解】对A，连接，为中点，，又，，故直线，共面，故A错误； 对B，已知和是异面直线，故，是异面直线，故B正确； 对C，如图，连接，为中点，，又，，故直线，共面，故C错误； 对D，直线，既不平行又不相交，故直线，是异面直线，故D正确. 故选：BD. 11．（2025高一下·吉林延边·阶段练习）如图，棱长为2的正方体中，在线段（含端点）上运动，则下列判断正确的是（   ） A． B．三棱锥的体积不变，为 C．平面 D．与所成角的范围是 【答案】ACD 【分析】证明面可判断A；证明面，点到面的距离为定值，体积为定值，计算可判断B；证明面面可判断C；证明即为与所成的角，求角的范围可判断D，进而可得正确选项. 【详解】 对于A：连接，，，因为面，面，所以，因为，，所以面，因为面，所以，同理可证：，，所以面，因为面，所以，故选项A正确； 对于B：因为，面，面，所以面，所以点到面的距离为定值，是定值，所以三棱锥的体积为定值，，所以三棱锥的体积为定值，故选项B不正确； 对于C：因为，面，面，所以面，同理可证面，因为，所以面面，因为面 ，所以平面，故选项C正确； 对于D：在线段（含端点）上运动，，所以即为与所成的角，当点由点运动到点的过程中逐渐变大，当点与点重合时，，可知，此时与所成角为，当点与重合时是等边三角形，此时，所以与所成角范围是，故选项D正确； 故选：ACD. 3． 填空题（共3小题，满分15分，每小题5分） 12．（2025高一·全国·课后作业）已知三棱锥中，、、两两垂直，则点在底面内的射影是的 心． 【答案】垂 【分析】设点在底面的射影点为，连接并延长交于点，连接并延长交于点，连接、，证明，，由此可得出结论. 【详解】设点在底面的射影点为，连接并延长交于点，连接并延长交于点，连接、， ，，，平面， 平面，， 平面，平面，， ，平面， 平面，，同理可知，， 因此，为的垂心. 故答案为：垂． 【点睛】方法点睛：证明线面垂直的方法： 一是线面垂直的判定定理； 二是利用面面垂直的性质定理； 三是平行线法（若两条平行线中一条垂直于这个平面，则另一条也垂直于这个平面），解题时，注意线线、线面与面面关系的相互转化； 另外，在证明线线垂直时，要注意题中隐含的垂直关系，如等腰三角形的底边上的高、中线和顶角的角平分线三线合一、矩形的内角、直径所对的圆周角、菱形的对角线互相垂直、直角三角形（或给出线段长度，经计算满足勾股定理）、直角梯形等等． 13．（2025高一下·全国·课后作业）已知是球的直径上一点，，过点的平面截球所得截面圆的圆心为点，且截面圆的面积为，则球的表面积为 . 【答案】 【解析】设球的半径为，由平几知识得截面与球心的距离为，利用勾股定理求得的值，再代入面积公式，即可得答案. 【详解】设球的半径为. ∵，∴截面与球心的距离为. ∵截面圆的面积为，∴截面圆的半径， ∴，∴， ∴球的表面积. 故答案为：. 【点睛】本题考查球的面积、截面问题，考查空间想象能力和运算求解能力，求解时注意比例关系的应用. 14．（2025高一·全国·课后作业）如图，在正方体中，，E为AD的中点，点F在CD上．若平面，则线段EF的长度等于 ，平面内与EF平行的线段是 ． 【答案】 【分析】由线面平行的性质求解 【详解】在正方体中，，∴． 又E为AD的中点，平面，平面，平面平面， ∴，∴为的中点，∴． ∵，∴． 故答案为：，. 4． 解答题（共5小题，第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，满分77分） 15．（2025高二上·重庆万州·阶段练习）如图，已知在平面内有平行四边形，点是它的对角线的交点，点在外，且，.求证：. 【答案】证明见解析 【解析】根据已知条件证明，，利用线面垂直的判定定理即可求证. 【详解】因为四边形是平行四边形，点是它的对角线的交点 所以.，又因为，所以. 同理，因为，所以. 又因为，平面，平面， 所以. 16．（2025高一下·全国·课后作业）如图，四边形与都是直角梯形，，且，且，G，H分别为，的中点. （1）证明：四边形是平行四边形； （2）C，D，F，E四点是否共面？若共面，请给出证明过程；若不共面，请说明理由. 【答案】（1）证明见解析；（2）共面，证明见解析. 【分析】（1）由已知得，，又，故，，由此能证明四边形是平行四边形． （2）由，，是的中点知，，，从而得到四边形是平行四边形，由此能推导出，，，四点共面． 【详解】（1）证明：由题意知，， 所以，，又， 故且， 所以四边形是平行四边形． （2），，，四点共面．理由如下： 由，，是的中点知，，， 所以四边形是平行四边形， 所以 由（1）知，所以，故，共面． 又点在直线上 所以，，，四点共面． 17．（2025高一上·江苏南通·阶段练习）如图，在四棱锥中，四边形ABCD是平行四边形，点E，F，G分别为线段BC，PB，AD的中点. (1)证明：EF//平面PGC； (2)在线段BD上找一点H，使得FH//平面PGC，并说明理由. 【答案】(1)证明见解析； (2)H为BD的三等分点（靠近点B），理由见解析. 【分析】（1）根据给定条件，利用线面平行的判定推理作答. （2）连AE交BD于H，连FH，利用面面平行的性质推理得解. 【详解】（1）E、F分别是BC，BP中点，则，而PC平面PGC，EF平面PGC， 所以EF//平面PGC. （2）连接AE，与BD相交于H，则H为BD的三等分点（靠近点B），即为所求. 平行四边形ABCD中，因E、G分别是BC、AD中点，则， 即四边形是平行四边形，于是得，令，则， 而AE平面PCG，CG平面PCG，因此，AE//平面PCG，由（1）知EF//平面PCG，又，AE，EF平面AEF， 于是得平面AEF//平面PCG，又FH平面AEF， 所以FH//平面PCG，且H为BD的三等分点（靠近点B）. 18．（2025高一·全国·课后作业）如图，平行六面体的底面是菱形，. （1）求证：； （2）当的值为多少时，可使平面？ 【答案】（1）证明见解析 （2）时，平面 【分析】（1）证明线面垂直即：平面，即可得证； （2）当时，平行六面体的六个面是全等的菱形，结合（1）的结论同理可证，即可证得. 【详解】（1）证明：如图，连接，设和交于点，连接. ∵四边形是菱形. 又是公共边，. . 又，平面. 又平面，. （2）当时，可使平面. 理由如下： 由（1）知平面. 平面. 当时，平行六面体的六个面是全等的菱形. 同理，可证. 又平面. 故时，平面. 【点睛】此题考查证明线线垂直，通过线面垂直证明线线垂直，通过构造垂直关系解决探索性问题. 19．（2025高一下·广东·期中）如图，棱长为2的正方体中，P，Q分别是棱的中点． (1)平面与直线交于R点，求的值； (2)在线段上是否存在点M，使得面，若存在，请求出M点位置并证明；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，为线段上靠近点的四等分点 【分析】（1）根据题意，延长和交于，连接，交于，即可得到，从而得到结果； （2）根据题意，取中点，中点，连接，即可得到四边形为平行四边形，从而得到结果. 【详解】（1） 延长和交于，连接，交于， 即平面与直线交于点， 因为为中点， ，所以为中点， 于是， 所以. （2） 存在，当为线段上靠近点的四等分点时，面， 取中点，中点，连接，则，且， 所以，且，所以四边形为平行四边形， 所以，又因为平面，平面， 所以面. 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $$