专题10 全等三角形模型之倍长中线模型与手拉手模型-【常考压轴题】2024-2025学年七年级数学下册压轴题攻略（北师大版2024）

专题10 全等三角形模型之倍长中线模型与手拉手模型 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 3 类型一、全等三角形模型之倍长中线模型 3 类型二、全等三角形模型之手拉手模型 9 压轴能力测评（10题） 14 解题知识必备 1. 全等三角形模型之倍长中线模型 1）倍长中线模型（中线型） 条件：AD为△ABC的中线。 结论： 证明：延长AD至点E，使DE=AD，连结CE。 ∵AD为△ABC的中线，∴BD=CD，∵∠BDA=∠CDE，∴△ABD≌△ECD（SAS） 2）倍长类中线模型（中点型） 条件：△ABC中，D为BC边的中点，E为AB边上一点（不同于端点）。 结论：△EDB≌△FDC。 证明：延长ED，使DF=DE，连接CF。 ∵D为BC边的中点，∴BD=DC，∵∠BDE=∠CDF，∴△EDB≌△FDC（SAS） 2. 全等三角形模型之手拉手模型 1）双等边三角形型 条件：△ABC和△DCE均为等边三角形，C为公共点；连接BE，AD交于点F。 结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠AFM=∠BCM=60°；④CF平分∠BFD。 证明： ∵△ABC和△DCE均为等边三角形，∴BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD=60° ∴∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE，即：∠BCE=∠ACD，∴△ACD≌△BCE（SAS）， ∴BE=AD，∠CBE=∠CAD，又∵∠CMB=∠AMF，∴∠AFM=∠BCM=60°， 过点C作CP⊥AD,CQ⊥BE,则∠CQB=∠CPA=90°，又∵∠CBE=∠CAD，BC=AC，∴△BCQ≌△ACP（AAS） ∴CQ=CP，根据角平分线的判定可得：CF平分∠BFD。 2）双等腰直角三角形型 条件：△ABC和△DCE均为等腰直角三角形，C为公共点；连接BE，AD交于点N。 结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠ANM=∠BCM=90°；④CN平分∠BND。 证明： ∵△ABC和△DCE均为等腰直角三角形，∴BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD=90° ∴∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE，即∠BCE=∠ACD，∴△ACD≌△BCE（SAS）， ∴BE=AD，∠CBE=∠CAD，又∵∠CMB=∠AMN，∴∠ANM=∠BCM=90°， 过点C作CP⊥AD,CQ⊥BE,则∠CQB=∠CPA=90°，又∵∠CBE=∠CAD，BC=AC，∴△BCQ≌△ACP（AAS） ∴CQ=CP，根据角平分线的判定可得：CN平分∠BND。 3）双等腰三角形型 条件：BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD，C为公共点；连接BE，AD交于点F。 结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠BCM=∠AFM；④CF平分∠BFD。 证明： ∵∠BCA=∠ECD，∴∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE，即∠BCE=∠ACD， 又∵BC=AC，CE=CD，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴BE=AD，∠CBE=∠CAD， 又∵∠CMB=∠AMF，∴∠BCM=∠AFM，过点C作CP⊥AD,CQ⊥BE,则∠CQB=∠CPA=90°， 又∵∠CBE=∠CAD，BC=AC，∴△BCQ≌△ACP（AAS） ∴CQ=CP，根据角平分线的判定可得：CF平分∠BFD。 压轴题型讲练 类型一、全等三角形模型之倍长中线模型 例题：（24-25八年级上·湖北孝感·期中）【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点，使，请根据小明的方法思考： （1）选择：由已知和作图能得到的理由是（   ） A．    B．   C．   D． （2）填空：求得的取值范围是__________． 【方法感悟】 解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题解决】 （3）如图2，已知：，，是的中线，求证：． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·江西赣州·阶段练习）【特例感知】 如图1，在中，，求边上的中线的取值范围． （1）中线的取值范围是______． 【类比迁移】 （2）如图2，在四边形中，为的中点，点在上，，，求证：平分． 【拓展应用】 （3）如图3，在中，是边上的中线，E是上一点，连接并延长交于点F，，求证：． 2．（24-25八年级上·湖北襄阳·期末）【发现问题】 （1）数学活动课上，王老师提出了如下问题：如图1，，，中线的取值范围是多少？ 【探究方法】第一小组经过合作交流，得到了如下的解决方法： ①延长到，使得； ②连接，通过三角形全等把、、转化在中； ③利用三角形的三边关系可得的取值范围为，从而得到的取值范围是_____； 方法总结：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形 【问题拓展】 （2）如图2，，，与互补，连接、，是的中点，求证：： （3）如图3，在（2）的条件下，若，延长交于点，，．求的面积． 类型二、全等三角形模型之手拉手模型 例题：（24-25八年级上·安徽合肥·期末）如图，在中，是边上的一点，连接，以为边作，使，且，连接，若，求长． 【变式训练】 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，在中，，在中，，连接．试说明：． 2．（24-25八年级上·湖北咸宁·期末）如图，，，． (1)求证：； (2)若，的面积等于5，，求的面积． 3．（24-25八年级上·海南省直辖县级单位·期末）在中，，点D是射线上的一动点（不与点B，C重合），以为一边在的右侧作，使，连接． (1)如图1，当点D在线段上，且时求证：①；②． (2)如图2，，请你探究与之间的数量关系，并证明你的结论． 压轴能力测评（10题） 一、填空题 1．如图，是的边上的中线，若，，则的取值范围为 ． 2．如图，在中，，是线段上的一动点（不与点，重合），以为一边在的右侧作，使，，连接．当时，的度数为 ． 3．两个大小不同的等腰直角三角板按图1所示摆放，将两个三角板抽象成如图2所示的和，其中，点、、依次在同一条直线上，连结．若，，则的面积是 ． 二、解答题 4．如图，在和中，，，，连接，．试说明：． 5．如图，． (1)试说明：； (2)求的度数． 6．如图，已知，，是的中线． (1)若，，的取值范围为______； (2)求证：． 7．综合与实践： 【问题情境】课外数学社团开展活动时，辅导老师提出了如下问题：如图，中，若，点为边上的中点，试求中线的取值范围． 【探究方法】小明同学在组内和同学们合作交流后，得到了如下的解决方法：延长到E，使，连接，如图1.请根据小明同学的方法思考： （1）由已知条件和作辅助线，能得到，理由是 ． A．             B．             C．             D． （2）由“三角形的三边关系定理”，可以得到中线的取值范围为 ． 【方法提炼】在解决三角形相关问题时，题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【解决问题】 （3）如图2，在四边形中，与不平行，M是边的中点，已知平分，且，垂足为，若，试求的长度． 8．在通过构造全等三角形解决问题的过程中，有一种方法叫做倍长中线法． (1)如图（1），是的中线，且，延长至点E，使，连接，可证得，其中判定全等的依据为： ． (2)如图（2），是的中线，点E在的延长线上，，求证：． 9．已知中，，，点为直线上的一动点（点不与点，重合），以为边作，，．连接． (1)发现问题：如图1，当点在边上时， ①请写出和之间的数量关系式为_____，位置关系为_____； ②求证：； (2)尝试探究：如图2，当点在边的延长线上且其他条件不变时， ①中，，之间的数量关系式为_____． ②并进行证明． 10．已知在和中，，，，点D是直线上的一动点（点D不与点B，C重合），连接． (1)在图①中，当点D在边上时，求证：；（提示：证全等） (2)在图②中，当点D在边的延长线上时，结论是否成立？若不成立，请猜想，，之间存在的数量关系，并说明理由；猜想与的位置关系，并说明理由； (3)在图③中，当点D在边的反向延长线上时，补全图形，不需要写证明过程，直接写出，，间存在的数量关系． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题10 全等三角形模型之倍长中线模型与手拉手模型 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 3 类型一、全等三角形模型之倍长中线模型 3 类型二、全等三角形模型之手拉手模型 9 压轴能力测评（10题） 14 解题知识必备 1. 全等三角形模型之倍长中线模型 1）倍长中线模型（中线型） 条件：AD为△ABC的中线。 结论： 证明：延长AD至点E，使DE=AD，连结CE。 ∵AD为△ABC的中线，∴BD=CD，∵∠BDA=∠CDE，∴△ABD≌△ECD（SAS） 2）倍长类中线模型（中点型） 条件：△ABC中，D为BC边的中点，E为AB边上一点（不同于端点）。 结论：△EDB≌△FDC。 证明：延长ED，使DF=DE，连接CF。 ∵D为BC边的中点，∴BD=DC，∵∠BDE=∠CDF，∴△EDB≌△FDC（SAS） 2. 全等三角形模型之手拉手模型 1）双等边三角形型 条件：△ABC和△DCE均为等边三角形，C为公共点；连接BE，AD交于点F。 结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠AFM=∠BCM=60°；④CF平分∠BFD。 证明： ∵△ABC和△DCE均为等边三角形，∴BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD=60° ∴∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE，即：∠BCE=∠ACD，∴△ACD≌△BCE（SAS）， ∴BE=AD，∠CBE=∠CAD，又∵∠CMB=∠AMF，∴∠AFM=∠BCM=60°， 过点C作CP⊥AD,CQ⊥BE,则∠CQB=∠CPA=90°，又∵∠CBE=∠CAD，BC=AC，∴△BCQ≌△ACP（AAS） ∴CQ=CP，根据角平分线的判定可得：CF平分∠BFD。 2）双等腰直角三角形型 条件：△ABC和△DCE均为等腰直角三角形，C为公共点；连接BE，AD交于点N。 结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠ANM=∠BCM=90°；④CN平分∠BND。 证明： ∵△ABC和△DCE均为等腰直角三角形，∴BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD=90° ∴∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE，即∠BCE=∠ACD，∴△ACD≌△BCE（SAS）， ∴BE=AD，∠CBE=∠CAD，又∵∠CMB=∠AMN，∴∠ANM=∠BCM=90°， 过点C作CP⊥AD,CQ⊥BE,则∠CQB=∠CPA=90°，又∵∠CBE=∠CAD，BC=AC，∴△BCQ≌△ACP（AAS） ∴CQ=CP，根据角平分线的判定可得：CN平分∠BND。 3）双等腰三角形型 条件：BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD，C为公共点；连接BE，AD交于点F。 结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠BCM=∠AFM；④CF平分∠BFD。 证明： ∵∠BCA=∠ECD，∴∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE，即∠BCE=∠ACD， 又∵BC=AC，CE=CD，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴BE=AD，∠CBE=∠CAD， 又∵∠CMB=∠AMF，∴∠BCM=∠AFM，过点C作CP⊥AD,CQ⊥BE,则∠CQB=∠CPA=90°， 又∵∠CBE=∠CAD，BC=AC，∴△BCQ≌△ACP（AAS） ∴CQ=CP，根据角平分线的判定可得：CF平分∠BFD。 压轴题型讲练 类型一、全等三角形模型之倍长中线模型 例题：（24-25八年级上·湖北孝感·期中）【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点，使，请根据小明的方法思考： （1）选择：由已知和作图能得到的理由是（   ） A．    B．   C．   D． （2）填空：求得的取值范围是__________． 【方法感悟】 解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题解决】 （3）如图2，已知：，，是的中线，求证：． 【答案】（1）B；（2）；（3）见解析 【知识点】确定第三边的取值范围、全等的性质和SAS综合（SAS）、倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系等知识点， （1）由证明，即可求解； （2）在中，，即，即可求解； （3）证明、，得到，即可求解； 熟练掌握其性质，正确作出辅助线是解决此题的关键． 【详解】（1）解：是中线， ， ， ， 故答案为：； （2）解：由知，， 在中， ， ， ， 故答案为：； （3）证明：延长到，使，连接，如图所示， 是中线， ， 在与中， ， ， ，， ， ， ， ， ，，， ， 在与中 ， ， ， . 【变式训练】 1．（24-25八年级上·江西赣州·阶段练习）【特例感知】 如图1，在中，，求边上的中线的取值范围． （1）中线的取值范围是______． 【类比迁移】 （2）如图2，在四边形中，为的中点，点在上，，，求证：平分． 【拓展应用】 （3）如图3，在中，是边上的中线，E是上一点，连接并延长交于点F，，求证：． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）见解析 【知识点】确定第三边的取值范围、全等的性质和SAS综合（SAS）、倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题) 【分析】本题考查了三角形综合题和倍长中线问题，主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形三边关系等知识． （1）延长到，使得，连接，得出，根据三角形三边关系即可求解； （2）延长交延长线于，得到，得到，，进而求得，可证明结论； （3）延长到点，使得 ，连接，得出，从而得到，，进而得到从而证明． 【详解】（1）解：如图1，延长到点，使得，连接． 为边上的中线， ， 在和中， ， ， ， ， ， 即， ； 故答案为：； （2）证明：如图2，延长交的延长线于点， ， ， ，， 为的中点， ， ， ，， ， ， 即， 平分； （3）证明：如图3，延长到点，使，连接， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ． 2．（24-25八年级上·湖北襄阳·期末）【发现问题】 （1）数学活动课上，王老师提出了如下问题：如图1，，，中线的取值范围是多少？ 【探究方法】第一小组经过合作交流，得到了如下的解决方法： ①延长到，使得； ②连接，通过三角形全等把、、转化在中； ③利用三角形的三边关系可得的取值范围为，从而得到的取值范围是_____； 方法总结：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形 【问题拓展】 （2）如图2，，，与互补，连接、，是的中点，求证：： （3）如图3，在（2）的条件下，若，延长交于点，，．求的面积． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）18 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题) 【分析】本题考查了倍长中线型全等问题，正确作出辅助线是解题关键． （1）根据提示证即可求解； （2）延长至点，使得，连接，证得，，进而可得，再证即可； （3）由（2）可得：，，进一步得；根据题意可证，据此即可求解． 【详解】解：（1）∵是的中线． ∴， ∵，， ∴， ∴， 可得， 即：， ∴， 故答案为：； （2）延长至点，使得，连接，如图2： 由题意得：， ，， ， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ； （3）如图3， 由（2）可得：，，， ． ． ，， ． ， ， ， ． 类型二、全等三角形模型之手拉手模型 例题：（24-25八年级上·安徽合肥·期末）如图，在中，是边上的一点，连接，以为边作，使，且，连接，若，求长． 【答案】 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】根据得到，于是证明解答即可． 本题考查了三角形全等的判定和性质，熟练掌握三角形全等的判定是解题的关键． 【详解】解：， ， 在与中， ，， ∴， ． 【变式训练】 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，在中，，在中，，连接．试说明：． 【答案】见解析 【知识点】同(等)角的余(补)角相等的应用、用SAS证明三角形全等（SAS） 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，，，，，．先根据余角的性质得出，再根据“”证明三角形全等即可． 【详解】解：因为， 所以， 所以， 所以， 在与中， 所以． 2．（24-25八年级上·湖北咸宁·期末）如图，，，． (1)求证：； (2)若，的面积等于5，，求的面积． 【答案】(1)见解析； (2)7.5． 【知识点】根据三角形中线求面积、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】（1）根据题意可知，再根据SAS即可证明，即可解答． （2）根据题意得出，，再由三角形全等得到，即可解答． 本题考查了三角形全等的性质与判定，三角形的面积，熟练掌握三角形全等的性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：， ， ． 在和中， ， ， ． （2）解：，的面积等于5， ． ，，， ． ， ， ， ． 3．（24-25八年级上·海南省直辖县级单位·期末）在中，，点D是射线上的一动点（不与点B，C重合），以为一边在的右侧作，使，连接． (1)如图1，当点D在线段上，且时求证：①；②． (2)如图2，，请你探究与之间的数量关系，并证明你的结论． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2)或，理由见解析 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质；熟记全等三角形的判定方法是解本题的关键． （1） ①先证明，可得；②由可得，证明，从而可得结论； （2）①当点D在线段上时，如图2所示，证明，，可得，进一步可得结论；②当点D在线段的延长线上，如图所示，证明，，可得，再进一步可得结论． 【详解】（1）证明：①∵， ∴，    ∴ ，    在和中， ， ∴；          ②由得 ，        ∵， ∴ ，       ∴ ，         ∴； （2）解：或．理由如下： ①当点D在线段上时，如图2所示， ∵， ∴ ∴， 在和中， ， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴  ， ②当点D在线段的延长线上，如图所示， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 压轴能力测评（10题） 一、填空题 1．如图，是的边上的中线，若，，则的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题)、根据三角形中线求长度、确定第三边的取值范围 【分析】本题考查了倍长中线，全等三角形的判定和性质，三角形三边数量关系，掌握构造三角形全等，三角形三边数量关系是解题的关键． 如图所示，延长至点，使得，则，可证，得到，在中，运用三角形三边数量关系即可求解． 【详解】解：如图所示，延长至点，使得，则， ∵是的边上的中线， ∴，且， ∴， ∴， 在中，，即， ∴， 故答案为： ． 2．如图，在中，，是线段上的一动点（不与点，重合），以为一边在的右侧作，使，，连接．当时，的度数为 ． 【答案】/90度 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质以及直角三角形的性质等知识，证明三角形全等是解题的关键． 由，证明，再证明 ，得，即可解决问题． 【详解】解∶ ， ， 即， 在和中， ， ， ， ， ， ， 即的度数为． 故答案为： 3．两个大小不同的等腰直角三角板按图1所示摆放，将两个三角板抽象成如图2所示的和，其中，点、、依次在同一条直线上，连结．若，，则的面积是 ． 【答案】6 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等边对等角 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质等知识，根据证明，由全等三角形的性质得出，则可得出答案． 【详解】解：， ，即， 在和中， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， 故答案为：6． 二、解答题 4．如图，在和中，，，，连接，．试说明：． 【答案】见解析 【知识点】用SAS间接证明三角形全等（SAS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法（即、、、和）是解题的关键．先证明，然后根据可证． 【详解】解：因为， 所以， 所以． 在和中，， 所以． 5．如图，． (1)试说明：； (2)求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，熟练掌握全等三角形的性质和判定是解题的关键． （1）由得出，进而根据已知条件证明； （2）由（1）证得，根据全等三角形的性质得出，进而得出结果． 【详解】（1）证明：∵， ∴，即． 在和中， ， ∴． （2）解：由（1）证得， ∴ ∵， ∴°． 6．如图，已知，，是的中线． (1)若，，的取值范围为______； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【知识点】确定第三边的取值范围、全等的性质和SAS综合（SAS）、倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题) 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形三边之间的关系，三角形外角的性质； （1）延长至，使 ，连接，于是证得得，再根据三角形三边之间的关系得，由此可得AE的取值范围； （2）根据（1）证明，由此可证明和全等，然后根据全等三角形的性质可得出结论． 【详解】（1）延长至，使 ，连接． 则 是的中线， ， 在与中， ， ， ， 在中，， ， ， 故答案为：， （2）∵ ，， ，， ． 在与中， ， ， ． ， ． 7．综合与实践： 【问题情境】课外数学社团开展活动时，辅导老师提出了如下问题：如图，中，若，点为边上的中点，试求中线的取值范围． 【探究方法】小明同学在组内和同学们合作交流后，得到了如下的解决方法：延长到E，使，连接，如图1.请根据小明同学的方法思考： （1）由已知条件和作辅助线，能得到，理由是 ． A．             B．             C．             D． （2）由“三角形的三边关系定理”，可以得到中线的取值范围为 ． 【方法提炼】在解决三角形相关问题时，题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【解决问题】 （3）如图2，在四边形中，与不平行，M是边的中点，已知平分，且，垂足为，若，试求的长度． 【答案】（1）A；（2）；（3） 【知识点】确定第三边的取值范围、全等的性质和SAS综合（SAS）、倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题) 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形三边关系； （1）由全等三角形的判定定理解答即可； （2）根据三角形的三边关系计算； （3）延长，交于点，证明，得出，，由证得，得出，进而根据即可得出答案． 【详解】解：（1）∵是边上的中线， ∴， 在和中， ， ∴， 故选：A； （2）∵，即， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （3）延长，交于点， ∵平分， ∴， ∵， ∴ 在和中， ， ∴. ∴，. 在和中， ， ∴. ∴， ∴， ∵， ∴． 8．在通过构造全等三角形解决问题的过程中，有一种方法叫做倍长中线法． (1)如图（1），是的中线，且，延长至点E，使，连接，可证得，其中判定全等的依据为： ． (2)如图（2），是的中线，点E在的延长线上，，求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【知识点】根据三角形中线求长度、三角形的外角的定义及性质、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质，三角形中线的定义，三角形的外角性质． （1）由证明三角形全等可得出答案； （2）延长至M，使，先证明，进而得出，，即可得出，再证明，即可得出答案． 【详解】（1）解：是的中线 ， 在和中， ， ， ∴判断全等的依据为“”， 故答案为：； （2）证明：延长至，使，连接 是的中线， ，且， ， ，， ， ， ， ， ∵， 即，且，， . ， ， ． 9．已知中，，，点为直线上的一动点（点不与点，重合），以为边作，，．连接． (1)发现问题：如图1，当点在边上时， ①请写出和之间的数量关系式为_____，位置关系为_____； ②求证：； (2)尝试探究：如图2，当点在边的延长线上且其他条件不变时， ①中，，之间的数量关系式为_____． ②并进行证明． 【答案】(1)①，；②见解析 (2)①；②见解析 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解此题的关键． （1）①证明，得出，，再求出，即可得解；②由全等三角形的性质即可得解； （2）①结合图形进行猜想即可得解；②证明，得出即可得证． 【详解】（1）解：由题意可得：， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴； ②证明：由①可得：， ∴； （2）解：①中，，之间的数量关系式为； ②证明如下：由题意可得：， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 10．已知在和中，，，，点D是直线上的一动点（点D不与点B，C重合），连接． (1)在图①中，当点D在边上时，求证：；（提示：证全等） (2)在图②中，当点D在边的延长线上时，结论是否成立？若不成立，请猜想，，之间存在的数量关系，并说明理由；猜想与的位置关系，并说明理由； (3)在图③中，当点D在边的反向延长线上时，补全图形，不需要写证明过程，直接写出，，间存在的数量关系． 【答案】(1)见解析 (2)不成立，存在的数量关系为，位置关系为，理由见解析 (3)图见解析， 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等边对等角 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质． （1）求出，证明，根据全等三角形的性质可得结论； （2）求出，证明，根据全等三角形的性质可得，，即可得，然后由是等腰直角三角形可得，，进而求出即可得出结论； （3）如图3，求出，证明，根据全等三角形的性质可得出结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴； （2）解：不成立，存在的数量关系为，位置关系为，理由如下： ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：存在的数量关系为，理由如下： 如图3， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$