专题09 全等三角形模型之截长补短模型与一线三等角-【常考压轴题】2024-2025学年七年级数学下册压轴题攻略（北师大版2024）

专题09 全等三角形模型之截长补短模型与一线三等角 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 类型一、全等三角形模型之截长补短模型 2 类型二、全等三角形模型之一线三等角模型 7 压轴能力测评（8题） 12 解题知识必备 1. 全等三角形模型之截长补短模型 【模型解读】 截长补短的方法适用于求证线段的和差倍分关系。该类题目中常出现等腰三角形、角平分线等关键词句，可以采用截长补短法构造全等三角形来完成证明过程，截长补短法（往往需证2次全等）。 截长：指在长线段中截取一段等于已知线段；补短：指将短线段延长，延长部分等于已知线段。 【常见模型及证法】 （1）截长：在较长线段上截取一段等于某一短线段，再证剩下的那一段等于另一短线段。 例：如图，求证BE+DC=AD 方法：①在AD上取一点F，使得AF=BE，证DF=DC；②在AD上取一点F，使DF=DC，证AF=BE （2）补短：将短线段延长，证与长线段相等 2. 全等三角形模型之一线三等角模型 【常见模型及证法】 1）一线三等角（K型图）模型（同侧型） 锐角一线三等角 直角一线三等角（“K型图”） 钝角一线三等角 条件：，AE=DE； 结论：，AB+CD=BC。 2）一线三等角（K型图）模型（异侧型） 锐角一线三等角 直角一线三等角 钝角一线三等角 条件：，AE=DE； 结论：，AB-CD=BC。 1）（同侧型）证明：∵∠AEC=∠B+∠BAE，∠B=∠AED，∴∠AEC=∠AED+∠BAE， ∵∠AEC=∠AED+∠CED，∴∠BAE=∠CED。 在△ABE和△ECD中，∠B=∠C，∠BAE=∠CED，AE=ED；∴， ∴，，∵BC=BE+EC，∴AB+CD=BC。 2）（异侧型）证明：∵，∴∠ECD=∠ABE， ∵，∠AED=∠AEB+∠CED，， ∴∠AEB+∠A=∠AEB+∠CED，∴∠A=∠CED， 在△ABE和△ECD中，∠A=∠CED，∠ECD=∠ABE，AE=ED；∴， ∴，，∵BC=EC-BE，∴AB-CD=BC。 压轴题型讲练 类型一、全等三角形模型之截长补短模型 例题：如图，在RtABC中，∠BAC=90°，∠ABC=60°，AD，CE分别平分∠BAC，∠ACB． (1)求∠AOE的度数； (2)求证：AC=AE+CD． 【变式训练】 1．如图，，、分别平分、，与交于点O． （1）求的度数； （2）说明的理由． 2．如图1，在四边形中，，点，点分别在边，上，已知，． (1)求证：； (2)如图2，若点，点分别在边，的延长线上，其它条件不变，（1）中的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请写出新的结论，并说明理由． 类型二、全等三角形模型之一线三等角模型 例题：（1）如图1，已知中，90°，，直线经过点直线，直线，垂足分别为点．求证：． （2）如图2，将（1）中的条件改为：在中，三点都在直线上，并且有．请写出三条线段的数量关系，并说明理由． 【变式训练】 1．“一线三等角”模型是平面几何图形中的重要模型之一，“一线三等角”指的是图形中出现同一条直线上有3个相等的角的情况，在学习过程中，我们发现“一线三等角”模型的出现，还经常会伴随着出现全等三角形．   　　   根据对材料的理解解决以下问题： (1)如图，，． ①求证：； ②猜想，，之间的数量关系，并说明理由； (2)如图2，在中，点为上一点，，，四边形的周长为，的周长为，请求出的长． 2．通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： (1)如图1，，，过点B作于点C，过点D作于点E．由，得．又，可以推理得到_________，推理依据是___________．进而得到_________，_________．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型； (2)如图2，，，，连接，，且于点F，与直线交于点G．求证：点G是的中点； (3)如图3，已知四边形和为正方形，的面积为，的面积为，试猜想和的数量关系，并说明理由． 压轴能力测评（8题） 一、解答题 1．如图所示，，，分别是，的平分线，点E在上，求证：．    2．如图，已知，的平分线与的平分线相交于点，连接并延长交于点，试说明：． 3．在四边形中，点C是边的中点． (1)如图①，平分，，写出线段，，间的数量关系及理由； (2)如图②，平分，平分，，写出线段，，，间的数量关系及理由． 4．如图，在中，，，点D在线段上运动（D不与B、C重合），连接，作，交线段于E．    (1)当时，　　°，　　°；点D从B向C运动时，逐渐变　　（填“大”或“小”）； (2)当等于多少时，，请说明理由； (3)在点D的运动过程中，的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出的度数．若不可以，请说明理由． 5．在数学活动课上，数学老师出示了如下题目： 如图①在四边形中，E是边的中点，是的平分线，，求证； 小聪同学发现以下两种方法： 方法1：如图②，延长、交于点F； 方法2：如图③，在上取一点G，使，连接、； (1)请你任选一种方法写出这道题的完整证明过程； (2)如图④，在四边形中，是的平分线，E是边的中点，，，求证． 6．通过对数学模型“K字”模型或“一线三等角”模型的研究学习，解决下列问题：    【模型呈现】 （1）如图1，，，过点B作于点C，过点D作于点E．求证：，． 【模型应用】 （2）如图2，，，，于点于点H，于点P，请按图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积为________． 【深入探究】 （3）如图3，，，，连接，且于点与直线交于点G． ①求证：； ②若，，则的面积为________． 7．把两个全等的直角三角板的斜边重合，组成一个四边形，以为顶点作，交边、于、． (1)若，，当绕点旋转时， 、、三条线段之间有何种数量关系？证明你的结论； (2)当时，、、三条线段之间有何数量关系？证明你的结论； (3)如图③，在（2）的条件下，若将、改在、的延长线上，完成图③，其余条件不变，则、、之间有何数量关系？（直接写出结论，不必证明) 8．通过对如图数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】 （1）如图1，，，过点B作于点C，过点D作于点E．由，得．又，可以推理得到．进而得到 ，．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型； 【模型应用】 （2）如图2，且，且，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积为 ． A．68 B．70 C．98 D．168 【深入探究】 （3）如图3，在中，，，点D在边上，点E，F在线段上，， ①试证明． ②若，的面积为1，的面积为12，则的面积为 ． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题09 全等三角形模型之截长补短模型与一线三等角 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 类型一、全等三角形模型之截长补短模型 2 类型二、全等三角形模型之一线三等角模型 7 压轴能力测评（8题） 12 解题知识必备 1. 全等三角形模型之截长补短模型 【模型解读】 截长补短的方法适用于求证线段的和差倍分关系。该类题目中常出现等腰三角形、角平分线等关键词句，可以采用截长补短法构造全等三角形来完成证明过程，截长补短法（往往需证2次全等）。 截长：指在长线段中截取一段等于已知线段；补短：指将短线段延长，延长部分等于已知线段。 【常见模型及证法】 （1）截长：在较长线段上截取一段等于某一短线段，再证剩下的那一段等于另一短线段。 例：如图，求证BE+DC=AD 方法：①在AD上取一点F，使得AF=BE，证DF=DC；②在AD上取一点F，使DF=DC，证AF=BE （2）补短：将短线段延长，证与长线段相等 2. 全等三角形模型之一线三等角模型 【常见模型及证法】 1）一线三等角（K型图）模型（同侧型） 锐角一线三等角 直角一线三等角（“K型图”） 钝角一线三等角 条件：，AE=DE； 结论：，AB+CD=BC。 2）一线三等角（K型图）模型（异侧型） 锐角一线三等角 直角一线三等角 钝角一线三等角 条件：，AE=DE； 结论：，AB-CD=BC。 1）（同侧型）证明：∵∠AEC=∠B+∠BAE，∠B=∠AED，∴∠AEC=∠AED+∠BAE， ∵∠AEC=∠AED+∠CED，∴∠BAE=∠CED。 在△ABE和△ECD中，∠B=∠C，∠BAE=∠CED，AE=ED；∴， ∴，，∵BC=BE+EC，∴AB+CD=BC。 2）（异侧型）证明：∵，∴∠ECD=∠ABE， ∵，∠AED=∠AEB+∠CED，， ∴∠AEB+∠A=∠AEB+∠CED，∴∠A=∠CED， 在△ABE和△ECD中，∠A=∠CED，∠ECD=∠ABE，AE=ED；∴， ∴，，∵BC=EC-BE，∴AB-CD=BC。 压轴题型讲练 类型一、全等三角形模型之截长补短模型 例题：如图，在RtABC中，∠BAC=90°，∠ABC=60°，AD，CE分别平分∠BAC，∠ACB． (1)求∠AOE的度数； (2)求证：AC=AE+CD． 【答案】(1) (2)见解析 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题、证一条线段等于两条线段和差（全等三角形的辅助线问题）、三角形的外角的定义及性质 【分析】（1）利用三角形的内角和求出的度数，再利用角平分线得到、的大小，最后求出外角的度数； （2）在上，构造，再利用条件证明，从而得到解题． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分，平分， ∴,， ∵是的外角， ∴； （2）证明：在上截取，连接， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴ ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 在和中 ，     ∴ ， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查角平分线的定义、全等三角形的判定和性质，证明线段的和差常用“截长或补短”的方法． 【变式训练】 1．如图，，、分别平分、，与交于点O． （1）求的度数； （2）说明的理由． 【答案】（1）120°；（2）见解析 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、证一条线段等于两条线段和差（全等三角形的辅助线问题） 【分析】（1）根据角平分线的定义可得∠OAB+∠OBA=60°，从而得到∠AOB； （2）在AB上截取AE=AC，证明△AOC≌△AOE，得到∠C=∠AEO，再证明∠C+∠D=180°，从而推出∠BEO=∠D，证明△OBE≌△OBD，可得BD=BE，即可证明AC+BD= AB． 【详解】解：（1）∵AD，BC分别平分∠CAB和∠ABD，∠CAB+∠ABD=120°， ∴∠OAB+∠OBA=60°， ∴∠AOB=180°-60°=120°； （2）在AB上截取AE=AC， ∵∠CAO=∠EAO，AO=AO， ∴△AOC≌△AOE（SAS）， ∴∠C=∠AEO， ∵∠C+∠D=（180°-∠CAB-∠ABC）+（180°-∠ABD-∠BAD）=180°， ∴∠AEO+∠D=180°， ∵∠AEO+∠BEO=180°， ∴∠BEO=∠D， 又∠EBO=∠DBO，BO=BO， ∴△OBE≌△OBD（AAS）， ∴BD=BE，又AC=AE， ∴AC+BD=AE+BE=AB． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，三角形内角和，全等三角形的判定和性质，解题的关键是截取AE=AC，利用全等三角形的性质证明结论． 2．如图1，在四边形中，，点，点分别在边，上，已知，． (1)求证：； (2)如图2，若点，点分别在边，的延长线上，其它条件不变，（1）中的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请写出新的结论，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)不成立，，理由见解析 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、证一条线段等于两条线段和差（全等三角形的辅助线问题） 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握利用半角模型去截长补短是解题的关键． （1）延长至点，使，构造，得出，，再利用，得出，证明，得出，再利用线段的和差即可证明； （2）在上截取，构造，得出，，再利用，得出，证明，得出，再利用线段的和差即可证明． 【详解】（1）证明：如图，延长至点，使， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：如图，在上截取， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 即：． 类型二、全等三角形模型之一线三等角模型 例题：（1）如图1，已知中，90°，，直线经过点直线，直线，垂足分别为点．求证：． （2）如图2，将（1）中的条件改为：在中，三点都在直线上，并且有．请写出三条线段的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）证明见解析；（2），证明见解析 【知识点】垂线模型(全等三角形的辅助线问题)、证一条线段等于两条线段和差（全等三角形的辅助线问题） 【分析】（1）利用已知得出∠CAE=∠ABD，进而利用AAS得出则△ABD≌△CAE，即可得出DE=BD+CE； （2）根据∠BDA=∠AEC=∠BAC，得出∠CAE=∠ABD，在△ADB和△CEA中，根据AAS证出△ADB≌△CEA，从而得出AE=BD，AD=CE，即可证出DE=BD+CE； 【详解】（1）DE=BD+CE．理由如下： ∵BD⊥，CE⊥， ∴∠BDA=∠AEC=90° 又∵∠BAC=90°， ∴∠BAD+∠CAE=90°，∠BAD+∠ABD=90°， ∴∠CAE=∠ABD 在△ABD和△CAE中， ， ∴△ABD≌△CAE（AAS） ∴BD=AE，AD=CE， ∵DE=AD+AE， ∴DE=CE+BD； （2），理由如下： ∵∠BDA=∠AEC=∠BAC， ∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE， ∴∠CAE=∠ABD， 在△ADB和△CEA中， ， ∴△ADB≌△CEA（AAS）， ∴AE=BD，AD=CE， ∴BD+CE=AE+AD=DE； 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质综合中的“一线三等角”模型：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的对应边相等．也考查了等边三角形的判定与性质． 【变式训练】 1．“一线三等角”模型是平面几何图形中的重要模型之一，“一线三等角”指的是图形中出现同一条直线上有3个相等的角的情况，在学习过程中，我们发现“一线三等角”模型的出现，还经常会伴随着出现全等三角形．   　　   根据对材料的理解解决以下问题： (1)如图，，． ①求证：； ②猜想，，之间的数量关系，并说明理由； (2)如图2，在中，点为上一点，，，四边形的周长为，的周长为，请求出的长． 【答案】(1)①见解析；②，见解析 (2) 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】（1）①根据已知可求得，，得到，证明；②由（1）可知，得到，从而得出； （2）首先证明，得到，，结合已知可得到，根据的周长为得到，得到，即可得出最后结果． 【详解】（1）解：①， ，， ， 在与中， ， ； ②猜想：， 理由：由（1）得：， ，， ； （2），且， ， 在和中， ， ， ，， 四边形的周长为， ， ， 又的周长为， ， ，， ， ， 即． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是正确寻找全等三角形． 2．通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： (1)如图1，，，过点B作于点C，过点D作于点E．由，得．又，可以推理得到_________，推理依据是___________．进而得到_________，_________．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型； (2)如图2，，，，连接，，且于点F，与直线交于点G．求证：点G是的中点； (3)如图3，已知四边形和为正方形，的面积为，的面积为，试猜想和的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)，，， (2)见解析 (3)，理由见解析 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，理解“一线三等角”的全等模型以及该模型的构成条件、证明过程及结论是解题关键． （1）通过证明，再根据全等三角形的判定与性质逐步分析即可解答； （2）作，利用“K字模型”的结论可得，故可推出，再证即可证明结论； （3）作，利用“K字模型”的结论可得，进一步可证即可求解． 【详解】（1）解：∵过点B作于点C，过点D作于点E． ∴， ∵，， ∴， ∴． 故答案为：，，，． （2）证明：如图：作， 由“K字模型”可得： ∴， ， ∵， ∴， ∴，即：点G是的中点． （3）解：，理由如下： 如图：作， ∵四边形和为正方形， ∴， 由“K字模型”可得：， ，， ， ∴ ， ∴∴． 压轴能力测评（8题） 一、解答题 1．如图所示，，，分别是，的平分线，点E在上，求证：．    【答案】见解析 【知识点】全等三角形综合问题、两直线平行同旁内角互补 【分析】本题主要考查了角平分线的性质的运用，全等三角形的判定及全等二角形的性质的运用，解答时运用截取法正确作辅助线是解决本题关键所在． 在上取点，使，连接，由角平分线的性质可以得出，，从而可以得出，可以得出，进而可以得出，就可以得出，即可得出结论． 【详解】解：在上取点F，使，连接，    ∵，分别是，的平分线， ∴，， ∵， ∴， 在和中 ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴． 2．如图，已知，的平分线与的平分线相交于点，连接并延长交于点，试说明：． 【答案】证明见解析 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、角平分线的有关计算、两直线平行同旁内角互补 【分析】在上截取，连接，由平分可得，利用可证得，于是可得，由两直线平行同旁内角互补可得，结合，进而可得，由平分可得，利用可证得，于是可得，然后利用等量代换即可得出结论． 【详解】证明：如图，在上截取，连接， 平分， ， 又， ， ， ， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了角平分线的有关计算，全等三角形的判定与性质，两直线平行同旁内角互补，线段的和与差等知识点，添加适当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 3．在四边形中，点C是边的中点． (1)如图①，平分，，写出线段，，间的数量关系及理由； (2)如图②，平分，平分，，写出线段，，，间的数量关系及理由． 【答案】(1)，见解析 (2)，理由见解析 【知识点】全等三角形综合问题、等边三角形的判定和性质 【分析】（1）在上取一点F，使，可以得出，就可以得出，，就可以得出．就可以得出结论； （2）在上取点F，使，连接，在上取点G，使，连接．可以求得，是等边三角形，就有，进而得出结论； 【详解】（1），理由如下： 在上取一点F，使，连接． ∵平分， ∴， 在和中 ∴． ∴ ，， ∵C是边的中点． ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 在和中 ∴． ∴ ． ∵， ∴． （2），理由如下： 在上取，，连接，． 与（1）同理，可得，． ∴，，，． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴为等边三角形． ∴． ∵， ∴．    【点睛】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定及性质的运用，等边三角形的性质的运用，解答时证明三角形全等是关键． 4．如图，在中，，，点D在线段上运动（D不与B、C重合），连接，作，交线段于E．    (1)当时，　　°，　　°；点D从B向C运动时，逐渐变　　（填“大”或“小”）； (2)当等于多少时，，请说明理由； (3)在点D的运动过程中，的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出的度数．若不可以，请说明理由． 【答案】(1)；；小 (2)当时， (3)可以；的度数为或 【知识点】等腰三角形的性质和判定、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）由已知平角的性质可得，再利用三角形内角和定理进而求得，即可判断点从向运动过程中，逐渐变小； （2）当时，由已知和三角形内角和定理可得，，等量代换得，又由，可得； （3）根据等腰三角形的判定定理，利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】（1）解：， ， 点D从B向C运动时，逐渐变小， 故答案为：；；小； （2）解：当时，， 理由：， ， 又， ∴， ， 又，， ； （3）解：当的度数为或时，的形状是等腰三角形； 理由：时， ， ， ，， ， 是等腰三角形； 时， ， ， ， ， 的形状是等腰三角形． 5．在数学活动课上，数学老师出示了如下题目： 如图①在四边形中，E是边的中点，是的平分线，，求证； 小聪同学发现以下两种方法： 方法1：如图②，延长、交于点F； 方法2：如图③，在上取一点G，使，连接、； (1)请你任选一种方法写出这道题的完整证明过程； (2)如图④，在四边形中，是的平分线，E是边的中点，，，求证． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、角平分线的有关计算、等腰三角形的性质和判定、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】（1）方法一根据平行线的性质易证，结合角平分线的性质可知是等腰三角形，从而可证；方法二根据角平分线的性质易证，从而可知是等腰三角形，再结合平行线的性质可求得也是等腰三角形，从而可证； （2）过点作的平行线交于点，交的延长线于点，根据方法一可得是等腰三角形，结合等腰三角形性质，，，可证得，从而可得． 【详解】（1）方法一：证明：延长交于点F，如图②； 是边的中点， ， ， ， ， ， ， 是的平分线， ， ； 方法二：证明：在上取一点G，使，连接，如图③； 是的平分线， ， ，， ， ，， 是边的中点， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）证明：如图，过点作的平行线交于点，交的延长线于点，连接， 由方法一同理可知：， ，， ∵平分， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了角平分线的定义、平行线的性质、三角形全等的判定定理与性质、等腰三角形的性质与判定等知识点，解题关键在于作辅助线构造全等三角形． 6．通过对数学模型“K字”模型或“一线三等角”模型的研究学习，解决下列问题：    【模型呈现】 （1）如图1，，，过点B作于点C，过点D作于点E．求证：，． 【模型应用】 （2）如图2，，，，于点于点H，于点P，请按图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积为________． 【深入探究】 （3）如图3，，，，连接，且于点与直线交于点G． ①求证：； ②若，，则的面积为________． 【答案】（1）见解析；（2）50；（3）①见解析，②40 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、同(等)角的余(补)角相等的应用 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质： （1）证明，即可得证； （2）同（1）法得到，，分割法求出图形面积即可； （3）①过点作于，过点作交的延长线于，易证，，得到，，再证明，即可得出结论； ②根据全等三角形的性质，求出的长，进而利用面积公式进行求解即可． 【详解】解：（1）证明：， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ． （2）由模型呈现可知，，， ，，，， 则 ． （3）①过点作于，过点作交的延长线于．    由【模型呈现】可知，，， ，， ， ， ， 在和中， ， ． ②由①可知，，， ， ， ， ， 由①得 ， ， ， ， ． 7．把两个全等的直角三角板的斜边重合，组成一个四边形，以为顶点作，交边、于、． (1)若，，当绕点旋转时， 、、三条线段之间有何种数量关系？证明你的结论； (2)当时，、、三条线段之间有何数量关系？证明你的结论； (3)如图③，在（2）的条件下，若将、改在、的延长线上，完成图③，其余条件不变，则、、之间有何数量关系？（直接写出结论，不必证明) 【答案】(1)；证明见解析 (2)，证明见解析 (3) 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、全等三角形综合问题 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生运用性质进行推理的能力，运用了类比推理的方法． （1）延长到，使，证，推出，，证，推出即可； （2）延长到，使，证，推出，，证，推出即可； （3）在上截取，连接，证，推出，，证，推出即可； 【详解】（1）解：， 证明：延长到，使， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ； （2）解：， 证明：延长到，使，连接， ， ， ，， ， ， ，， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ； （3）解：， 证明：在上截取，连接， ，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ， ． 8．通过对如图数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】 （1）如图1，，，过点B作于点C，过点D作于点E．由，得．又，可以推理得到．进而得到 ，．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型； 【模型应用】 （2）如图2，且，且，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积为 ． A．68 B．70 C．98 D．168 【深入探究】 （3）如图3，在中，，，点D在边上，点E，F在线段上，， ①试证明． ②若，的面积为1，的面积为12，则的面积为 ． 【答案】[模型呈现] ；[模型应用]C； [深入探究] ①见详解，②5． 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、三角形的外角的定义及性质 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质， [模型呈现]根据全等三角形的性质即可知，即可； [模型应用]由“K字”模型可知，，，则，，，，即可求得，结合图中实线所围成的图形的面积为； [深入探究] ①根据题意得，，则，即可证明；②利用三角形面积公式得，，由①知，则，结合求解即可． 【详解】解：[模型呈现]：， ∴， 故答案为：； [模型应用] 由“K字”模型可知，，， ∴，，，， ∴， ∴图中实线所围成的图形的面积 ， 故选：C； [深入探究] ①证明：∵， ∴，， ∴， ∵， ∴； ②设点B到线段的距离为h， ∵，的面积为1， ∴，， 由①知，则 ∵的面积为12， ∴ ， 故答案为：5． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$