精品解析：广西壮族自治区河池市校联体2024-2025学年高二下学期4月联考数学试题

2025年春季学期高二年级校联体第一次联考 数 学 （本试卷满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．答题前，务必将自己的姓名、班级、准考证号填写在答题卡规定的位置上. 2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号. 3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上. 4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 书架上有5本不同的理科类书籍，4本不同的文科类书籍，现从书架上取一本书，不同的取法总数有（ ） A. 9种 B. 45种 C. 种 D. 20种 【答案】A 【解析】 【分析】由分类加法计数原理可得. 【详解】由分类加法计数原理，可知不同的取法有种． 故选：A 2. 若，则（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】根据可以直接求解. 【详解】由，得，解得（舍去） 故选：D． 3. 的展开式中含项的系数为（ ） A. 60 B. 40 C. 20 D. 15 【答案】C 【解析】 【分析】根据二项式通项及所求项，可知，求出组合数即可得解. 【详解】因为， 令，， 所以的展开式中含的项的系数为. 故选：C． 4. 已知函数在点处的切线的斜率为2，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据导数的几何意义即可求解. 【详解】依题意有，. 故选：C. 5. 设随机变量X的概率分布列为 则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据随机变量的概率和为，即可求得的值，再将的概率相加，即可得解. 【详解】， 则. 故选：B． 6. 三条生产线生产同一型号产品，若A、B、C三条生产线生产该类产品的次品率依次为0.05，0.1，0.1，A、B、C三条生产线生产的产品分别占总数的，任取一个产品，则取得的产品是次品的概率为（ ） A. 0.08 B. 0.075 C. 0.07 D. 0.06 【答案】A 【解析】 【分析】先由题意确定各条件概率，然后由全概率公式计算即可. 【详解】根据题意，设任取一个产品，分别来自A，B，C生产线的事件分别为A，B，C，设任取一个产品为次品为事件D， 则，，，，，， 所以 ， 故选：A． 7. 从1，2，3，4，5，6中任取2个不同的数，事件“取到的2个数之和为偶数”，事件“取到两个数均为奇数”，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分别写出和，再利用条件概率公式计算即可. 【详解】依题意，事件“取到的2个数之和为偶数”，则取到的2个数都是偶数或都是奇数， 所以，， 所以. 故选：D. 8. 已知函数及其导数，若存在使得，则称是一个“巧值点”，给出下列四个函数： （1） （2） （3） （4） 其中有“巧值点”的函数的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意利用“巧值点”的定义及方程解的情况判断即可. 【详解】（1）因为，不存在使得，没有巧值点； （2）由，令，即，得或2，有巧值点； （3）因为，如图， 由图象知有解，有巧值点； （4）因为，满足，有巧值点. 所以有巧值点函数有3个. 故选：C． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列函数求导正确的是（ ） A. 已知，则 B. 已知，则 C. 已知，则 D. 已知，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】应用基本函数的导数公式及加法和乘法法则、复合函数的导数运算求各项函数的导函数. 【详解】对于A，已知，则，故正确； 对于B，已知，则，故正确； 对于C，已知，则，故错误； 对于D，已知，则，故正确． 故选：ABD 10. 的展开式中，下列结论正确的是（ ） A. 第3项的二项式系数为 B. 常数项为160 C. 所有项的系数之和为 D. 所有项的二项式系数之和为64 【答案】BCD 【解析】 【分析】由二项式展开式的性质可得A错误，B正确；令可得C正确；由二项式系数和的性质可得D正确. 【详解】对于A，第3项的二项式系数为，故A不正确； 对于B，展开式的常数项为，故B正确； 对于C，取得展开式的所有项的系数之和为，故C正确； 对于D，由二项式系数的性质得展开式的所有项的二项式系数之和为，故D正确． 故选：BCD 11. 已知，函数有两个极值点，，下列说法中正确的是（ ） A. B. C. D. 若存在，使得，则 【答案】BC 【解析】 【分析】由题设有两个变号的零点，进而得、，依次判断A、B、C；问题化为能成立，应用分类讨论求参数范围判断D. 【详解】，由函数有两个极值点，， 故有两个变号的零点，当时不符， 所以，则、， 由，故、异号，故，即，故A错误、B正确; ， 由，故，故C正确; ， 即存在，使得， 即存在，使得且， 由，故必存在使能成立， 对于，有， 即，则，故，D错误． 故选：BC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数，其在点处的切线斜率为_________． 【答案】7 【解析】 【分析】应用导数的几何意义求切线斜率. 【详解】由题意，则. 故答案为：7 13. 已知函数，则的最小值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】利用导数求出函数的单调性，易知函数的极小值即为函数的最小值，代入数值即可得解. 详解】由题意， 令得，得， 所以的单调递增区间是，单调递减区间是， 所以函数的最小值为. 故答案为：. 14. 某银行贷款年利率为r，按月计息利率为，小王计划向银行贷款p元，已知贷款利息按复利计算（即每期的利息并入本金，在下一期中一起计息），设按年计息与按月计息两种贷款方式一年后的还款总额（本金、利息之和）分别为a,b，则a,b的大小关系是_________． 【答案】 【解析】 【分析】按年计息：按月计息：，做差比较即可. 【详解】由题按年计息：按月计息：，则令故 故答案为. 【点睛】本题考查函数导数的应用，关键是写出a,b的表达式，做差，求导判正负. 四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 现有3名男生、3名女生站成一排照相.（用数字作答） （1）6人一起排，有多少种不同的站法？ （2）三名女生不相邻，有多少种不同的站法？ （3）男生甲不在左端，男生乙不在右端，有多少种不同的站法？ 【答案】（1）720； （2）144； （3）504. 【解析】 【分析】（1）将6人作全排列即可得； （2）应用插空法，先排男生，再排女生即可得； （3）应用间接法，分别求出甲在左端、乙在右端、甲在左端且乙在右端，结合（1）结果作差即可得. 【小问1详解】 将6个人作全排列有种站法； 【小问2详解】 将3名男生先排成一排，再把3名女生插入其中的4个空有种站法； 【小问3详解】 甲在左端共有种，乙在右端共有种，其中甲在左端且乙在右端有种， 所以种站法 16. 已知函数在和处取得极值． （1）求、的值； （2）若对任意，不等式恒成立，求的取值范围． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）由题意可得，，可得出关于实数、的方程组，即可解得这两个未知数的值； （2）分析函数在区间上的单调性，根据题意可得出，可得出关于实数的不等式，即可得出实数的取值范围. 【小问1详解】 因为，则， 函数在和处取得极值． ，，联立解得：，． 且当，，，则， 由可得，列表如下： 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 所以，函数在处取得极大值，在处取得极小值，合乎题意. 因此，，． 【小问2详解】 由（1）知在单调递增，在单调递减， 故当时，， 要使得对任意，不等式恒成立，则需， 故，即，解得或， 的取值范围是． 17. 已知函数． （1）若，求函数的极值； （2）讨论函数的单调性． 【答案】（1）极小值为，无极大值. （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）求导后分析单调性可得； （2）求导后分参数和讨论可得. 【小问1详解】 若，，定义域为，， 当时，函数在上单调递减， 当时 ，函数 在上单调递增， 所以函数的极小值为，无极大值. 【小问2详解】 函数，定义域为，． ①当时，，函数在上单调递增; ②当时，令，得，所以函数在上单调递减， 令，得，所以函数在上单调递增． 综上所述，当时，函数在上单调递增; 当时，函数在 上单调递减，在上单调递增． 18. 某校运动会4*100接力赛分为预赛、半决赛和决赛，只有预赛、半决赛都获胜才能进入决赛．已知1班在预赛和半决赛中获胜的概率分别为和；2班在预赛和半决赛中获胜的概率分别为和；3班在预赛和半决赛中获胜的概率分别为和． （1）1班，2班，3班中哪个班级进入决赛的可能性最大？ （2）设三个班中进入决赛的班级数为，求的分布列． 【答案】（1）3班进入决赛可能性最大 （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）根据概率乘法公式分别求出1班，2班，3班进入决赛的概率，比较大小确定结论； （2）先确定的可能取值，再求取各值的概率，由此可得其分布列. 【小问1详解】 1班进入决赛的概率为， 2班进入决赛的概率为， 3班进入决赛的概率为， 因为， 所以3班进入决赛的概率最大，所以3班进入决赛的可能性最大. 【小问2详解】 由（1）可知：1班、2班、3班进入决赛的概率分别为，，， 的可能取值为0，1，2，3， ， ， ， ， 所以的分布列为： 0 1 2 3 P 19. 已知函数，． （1）当时，证明：在上是增函数； （2）若，当时， （i）证明：； （ii）证明：，． 【答案】（1）证明见解析 （2）（i）证明见解析；（ii）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求导后构造函数，再求导分析单调性和极值可得； （2）（i）求导后分析单调性可得； （ii）令，由对数的运算结合（i）可得，再运用累加法可得. 【小问1详解】 当时，，， 所以， 设，则， 当时，有，所以在区间上单调递减， 当时，有，所以在区间上单调递增， 所以，即对任意的恒成立， 所以在为增函数． 【小问2详解】 （i）因为，所以，， ，有，所以， 所以在单调递增，故，得证; （ii）由（i）可知，，即 令，则，， ， ， ， 累加得． 得证. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年春季学期高二年级校联体第一次联考 数 学 （本试卷满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．答题前，务必将自己的姓名、班级、准考证号填写在答题卡规定的位置上. 2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号. 3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上. 4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 书架上有5本不同的理科类书籍，4本不同的文科类书籍，现从书架上取一本书，不同的取法总数有（ ） A. 9种 B. 45种 C. 种 D. 20种 2. 若，则（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 3. 的展开式中含项的系数为（ ） A. 60 B. 40 C. 20 D. 15 4. 已知函数在点处的切线的斜率为2，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 5. 设随机变量X的概率分布列为 则（ ） A. B. C. D. 6. 三条生产线生产同一型号产品，若A、B、C三条生产线生产该类产品的次品率依次为0.05，0.1，0.1，A、B、C三条生产线生产的产品分别占总数的，任取一个产品，则取得的产品是次品的概率为（ ） A. 0.08 B. 0.075 C. 0.07 D. 0.06 7. 从1，2，3，4，5，6中任取2个不同的数，事件“取到的2个数之和为偶数”，事件“取到两个数均为奇数”，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数及其导数，若存在使得，则称是的一个“巧值点”，给出下列四个函数： （1） （2） （3） （4） 其中有“巧值点”的函数的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列函数求导正确是（ ） A. 已知，则 B. 已知，则 C 已知，则 D. 已知，则 10. 的展开式中，下列结论正确的是（ ） A. 第3项二项式系数为 B. 常数项为160 C. 所有项的系数之和为 D. 所有项的二项式系数之和为64 11. 已知，函数有两个极值点，，下列说法中正确的是（ ） A. B. C D. 若存，使得，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数，其在点处的切线斜率为_________． 13. 已知函数，则的最小值为_________． 14. 某银行贷款年利率为r，按月计息利率为，小王计划向银行贷款p元，已知贷款利息按复利计算（即每期的利息并入本金，在下一期中一起计息），设按年计息与按月计息两种贷款方式一年后的还款总额（本金、利息之和）分别为a,b，则a,b的大小关系是_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 现有3名男生、3名女生站成一排照相.（用数字作答） （1）6人一起排，有多少种不同的站法？ （2）三名女生不相邻，有多少种不同的站法？ （3）男生甲不在左端，男生乙不在右端，有多少种不同的站法？ 16. 已知函数在和处取得极值． （1）求、的值； （2）若对任意，不等式恒成立，求的取值范围． 17. 已知函数． （1）若，求函数的极值； （2）讨论函数的单调性． 18. 某校运动会4*100接力赛分为预赛、半决赛和决赛，只有预赛、半决赛都获胜才能进入决赛．已知1班在预赛和半决赛中获胜的概率分别为和；2班在预赛和半决赛中获胜的概率分别为和；3班在预赛和半决赛中获胜的概率分别为和． （1）1班，2班，3班中哪个班级进入决赛的可能性最大？ （2）设三个班中进入决赛的班级数为，求的分布列． 19. 已知函数，． （1）当时，证明：在上是增函数； （2）若，当时， （i）证明：； （ii）证明：，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$