几何法和向量法解决几何中证明问题导学案 - 2025届高三数学二轮复习

【二轮复习微专题】 几何法和向量法解决立体几何中证明问题 导学案 授课班级：G22xx班 授课老师：刘老师 1、 学习目标 1. 熟练运用几何法（判定定理+辅助线）和向量法（基底/坐标法）证明线面、面面关系； 2. 根据题目条件（几何特征/坐标已知）快速选择最优解法； 3. 通过对比分析，强化逻辑推理与空间想象，规范数学表达. 2、 重点难点 重点：几何法与向量法的核心技能（如几何判定定理、向量运算）及灵活转化; 难点：几何辅助线构造的逻辑推导与向量坐标系的规范建立，及两者结合时的条件转化. 3、 学习过程 1. 问题引入 思考：立体几何中常见的证明类型有哪些？ 2. 立体几何中证明平行于垂直的常见求法 （1）几何法证明平行、垂直 ① 直线、平面平行的判定及其性质 · 线面平行的判定定理： ⇒a∥α. · 线面平行的性质定理： ⇒a∥b. · 面面平行的判定定理： ⇒α∥β. · 面面平行的性质定理： ⇒a∥b. ② 直线、平面垂直的判定及其性质 · 线面垂直的判定定理： ⇒l⊥α. · 线面垂直的性质定理： ⇒a∥b. · 面面垂直的判定定理： ⇒α⊥β. · 面面垂直的性质定理： ⇒a⊥β. （2）向量法证明平行、垂直 ① 用向量证明空间中的平行关系 · 设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1∥l2(或l1与l2重合)⇔ . · 设直线l的方向向量为v，在平面α内的两个不共线向量v1和v2，则l∥α或l⊂α⇔存在两个实数x，y，使v＝ . · 设直线l的方向向量为v，平面α的法向量为u，则l∥α或l⊂α⇔ · 设平面α和β的法向量分别为u1，u2，则α∥β⇔ . ② 用向量证明空间中的垂直关系 · 设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1⊥l2⇔v1⊥v2⇔ . · 设直线l的方向向量为v，平面α的法向量为u，则l⊥α⇔ . · 设平面α和β的法向量分别为u1和u2，则α⊥β⇔ ⇔ . （3）平行关系及垂直关系的转化 1. 例题分析 角度一：直线、平面平行的判定和性质 例题1. 如图，在正方体中，为的中点． (1)求证：‖平面； (2)上是否存在一点，使得平面‖平面？若存在，请确定点的位置；若不存在，请说明理由． 角度二：直线、平面垂直的判定和性质 例题2. 如图1，在直角梯形ABCD中，，，，将沿AC折起（如图2）．在图2所示的几何体中： (1)若平面ACD⊥平面ABC，求证：AD⊥BC； (2)设P为BD的中点，记P到平面ACD的距离为，P到平面ABC的距离为，求证：为定值，并求出此定值． 角度三：平行与垂直的综合问题 例题3. 如图，在三棱锥中，，，，，，，，的中点分别为，，，点在上，. (1)证明：平面； (2)证明：平面平面； (3)求二面角的正弦值. 角度四：与平行、垂直有关的探索性问题 例题4. 如图，已知四棱锥的底面是平行四边形，侧面PAB是等边三角形，，，． (1)求证：面面ABCD； (2)设Q为侧棱PD上一点，四边形BEQF是过B，Q两点的截面，且 平面BEQF，是否存在点Q，使得平面平面PAD？若存在，确定点Q的位置；若不存在，说明理由． 2. 提升练习 1. 如图，已知平面，，，，，E和F分别为和的中点． (1)求证：平面； (2)求证：平面平面； 2. （2018·北京·高考真题）如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面平面，，，、分别为、的中点. （Ⅰ）求证：； （Ⅱ）求证：平面平面； （Ⅲ）求证：平面. 3. 如图，在三棱柱中，平面，，，，是棱的中点，在棱上，且. (1)证明：平面； (2)若四棱锥的体积等于1，判断平面与平面是否垂直，并说明理由. 4. 如图，过四棱柱形木块上底面内的一点和下底面的对角线将木块锯开，得到截面. (1)请在木块的上表面作出过的锯线，并说明理由； (2)若该四棱柱的底面为菱形，四边形时矩形，试证明：平面平面. 5. 如图，四棱锥中，底面，，，. (1)若G点为的重心，求； (2)若，证明：平面； (3)若，且二面角的正弦值为，求. 6. 已知四棱柱中，底面为梯形，，平面，，其中，.是的中点，是的中点. (1)求证平面； (2)求平面与平面的夹角余弦值； (3)棱上是否存在点，使其到平面的距离为？若存在，求出点的位置，若不存在，请说明理由. 4、 课堂小结 5、 课后作业 作业一：更正、总结今天课堂上的例题和练习题 作业二：完成配套的《几何法和向量法解决立体几何中证明问题作业小卷》 第 1 页 共 3 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【二轮复习微专题】 几何法和向量法解决立体几何中证明问题 导学案 授课班级：G22xx班 授课老师：刘老师 1、 学习目标 1. 熟练运用几何法（判定定理+辅助线）和向量法（基底/坐标法）证明线面、面面关系； 2. 根据题目条件（几何特征/坐标已知）快速选择最优解法； 3. 通过对比分析，强化逻辑推理与空间想象，规范数学表达. 2、 重点难点 重点：几何法与向量法的核心技能（如几何判定定理、向量运算）及灵活转化; 难点：几何辅助线构造的逻辑推导与向量坐标系的规范建立，及两者结合时的条件转化. 3、 学习过程 1. 问题引入 思考：立体几何中常见的证明类型有哪些？ 常见的：线线平行与垂直、线面平行与垂直、面面平行于垂直 少见的：四点共面、三线共点 2. 立体几何中证明平行于垂直的常见求法 （1）几何法证明平行、垂直 ① 直线、平面平行的判定及其性质 · 线面平行的判定定理：a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α. · 线面平行的性质定理：a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b. · 面面平行的判定定理：a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，a∥α，b∥α⇒α∥β. · 面面平行的性质定理：α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b. ② 直线、平面垂直的判定及其性质 · 线面垂直的判定定理：m⊂α，n⊂α，m∩n＝P，l⊥m，l⊥n⇒l⊥α. · 线面垂直的性质定理：a⊥α，b⊥α⇒a∥b. · 面面垂直的判定定理：a⊂β，a⊥α⇒α⊥β. · 面面垂直的性质定理：α⊥β，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l⇒a⊥β. （2）向量法证明平行、垂直 ① 用向量证明空间中的平行关系 · 设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1∥l2(或l1与l2重合)⇔v1∥v2. · 设直线l的方向向量为v，在平面α内的两个不共线向量v1和v2，则l∥α或l⊂α⇔存在两个实数x，y，使v＝xv1＋yv2. · 设直线l的方向向量为v，平面α的法向量为u，则l∥α或l⊂α⇔v⊥u. · 设平面α和β的法向量分别为u1，u2，则α∥β⇔u1∥u2. ② 用向量证明空间中的垂直关系 · 设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1⊥l2⇔v1⊥v2⇔v1·v2＝0. · 设直线l的方向向量为v，平面α的法向量为u，则l⊥α⇔v∥u. · 设平面α和β的法向量分别为u1和u2，则α⊥β⇔u1⊥u2⇔u1·u2＝0. （3）平行关系及垂直关系的转化 1. 例题分析 角度一：直线、平面平行的判定和性质 例题1. 如图，在正方体中，为的中点． (1)求证：‖平面； (2)上是否存在一点，使得平面‖平面？若存在，请确定点的位置；若不存在，请说明理由． 【解析】（1）证明：如图，连接交于，连接． 正方体，底面为正方形，， 为的中点，又为的中点， 是的中位线，‖， 又平面，平面， ‖平面． （2）当点为的中点时，即满足平面‖平面，理由如下： 连接，， 为的中点，为的中点，‖，， 四边形为平行四边形，‖， 又平面，平面， ‖平面． 由（1）知‖平面， 又，，平面， 平面‖平面． 角度二：直线、平面垂直的判定和性质 例题2. 如图1，在直角梯形ABCD中，，，，将沿AC折起（如图2）．在图2所示的几何体中： (1)若平面ACD⊥平面ABC，求证：AD⊥BC； (2)设P为BD的中点，记P到平面ACD的距离为，P到平面ABC的距离为，求证：为定值，并求出此定值． 【解析】（1）记，在中，，， 在中，，由余弦定理得， 所以，所以AC⊥BC， 因为平面ACD⊥平面ABC，平面平面ABC=AC，BC平面ABC， 所以BC⊥平面ACD，又平面ACD，所以； （2）由题意，， 因为P为BD的中点，， 所以，即. 角度三：平行与垂直的综合问题 例题3. 如图，在三棱锥中，，，，，，，，的中点分别为，，，点在上，. (1)证明：平面； (2)证明：平面平面； (3)求二面角的正弦值. 【解析】（1） 连接，，设，所以， 则， ， 又因为，所以，所以： ， 解得，则为的中点， 由，，，分别为，，，的中点， 于是，，，， 即，，则四边形为平行四边形， ，，又平面，平面， 所以平面. （2） 因为，过点作轴平面，建立如图所示的空间直角坐标系， ，，， 在中，， 在中， ， 设，所以由可得：， 可得：，，，所以， 根据中点坐标公式可得：，所以，，， ， 设平面的法向量为， 则，得， 令，则，，所以， ，， 设平面的法向量为， 则，得， 令，则，，所以， ， 所以平面平面； （3）平面的法向量为， 平面的法向量为， 所以， 因为，所以， 故二面角的正弦值为. 角度四：与平行、垂直有关的探索性问题 例题4. 如图，已知四棱锥的底面是平行四边形，侧面PAB是等边三角形，，，． (1)求证：面面ABCD； (2)设Q为侧棱PD上一点，四边形BEQF是过B，Q两点的截面，且 平面BEQF，是否存在点Q，使得平面平面PAD？若存在，确定点Q的位置；若不存在，说明理由． 【解析】（1）在中，因为，， 所以，， 所以，则，即， 又，，面PAB， 所以面PAB，又面ABCD， 所以面面ABCD； （2）假设存在点Q，使得平面平面PAD； 如图，以A为原点，分别以，为x，y轴的正方向建立空间直角坐标系， 设，则，，，， ，，，， 设是平面PAD的法向量，则，取， 设，其中． 则 连接EF，因 平面BEQF，平面PAC，平面平面，故， 取与同向的单位向量， 设是平面BEQF的法向量， 则，取． 由平面平面PAD，知，有，解得． 故在侧棱PD上存在点Q且当时，使得平面平面PAD． 2. 提升练习 1. 如图，已知平面，，，，，E和F分别为和的中点． (1)求证：平面； (2)求证：平面平面； 【解析】（1）连接，由于分别是的中点，所以， 由于平面，平面， 所以平面. （2）由于平面，，所以平面， 由于平面，所以， 由于是的中点，所以， 由于平面，所以平面. 由于平面，所以平面平面. 2. （2018·北京·高考真题）如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面平面，，，、分别为、的中点. （Ⅰ）求证：； （Ⅱ）求证：平面平面； （Ⅲ）求证：平面. 【解析】（Ⅰ）∵，且为的中点，∴. ∵底面为矩形，∴，∴； （Ⅱ）∵底面为矩形，∴. ∵平面平面，平面平面，平面， ∴平面，又平面，∴. 又，，、平面，平面， ∵平面，∴平面平面； （Ⅲ）如图，取中点，连接.    ∵分别为和的中点，∴，且. ∵四边形为矩形，且为的中点，∴， ∴，且，∴四边形为平行四边形， ∴，又平面，平面，∴平面. 3. 如图，在三棱柱中，平面，，，，是棱的中点，在棱上，且. (1)证明：平面； (2)若四棱锥的体积等于1，判断平面与平面是否垂直，并说明理由. 【解析】（1）在三棱柱中， 平面，平面，则， 又，平面，于是平面， 而平面，则，又，平面， 因此平面，而平面，则， 在矩形中，由，， 得，即为棱的中点，令， 连接交于，连接， 显然， 在中，，而平面，平面， 所以平面.    （2）平面与平面垂直，理由如下： 设，由（1）知，平面， 则四棱锥的体积为，解得， 即有， 因此，令，连接，显然是的中点， 于是，，且平面，则平面， 又平面，所以平面平面.    4. （20-21高二·全国·课后作业）如图，正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，AD⊥CD，AB∥CD，AB＝AD＝2，CD＝4，M为CE的中点． （1）求证：BM∥平面ADEF； （2）求证：BC⊥平面BDE； （3）证明：平面BCE⊥平面BDE. 【详情】证明　∵平面ADEF⊥平面ABCD，平面ADEF∩平面ABCD＝AD，AD⊥ED，ED⊂平面ADEF， ∴ED⊥平面ABCD.    以D为坐标原点，分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系． 则D(0，0，0)，A(2，0，0)，B(2，2，0)，C(0，4，0)，E(0，0，2)，F(2，0，2)． （1）∵M为EC的中点，∴M(0，2，1)， 则，，， ，故共面． 又BM⊄平面ADEF，∴BM∥平面ADEF. （2），，， ，∴BC⊥DB. 又，∴BC⊥DE. 又DE∩DB＝D，DB，DE⊂平面BDE，∴BC⊥平面BDE. （3）证明　由（2）知BC⊥平面BDE，又BC⊂平面BCE，∴平面BCE⊥平面BDE. 5. 如图，过四棱柱形木块上底面内的一点和下底面的对角线将木块锯开，得到截面. (1)请在木块的上表面作出过的锯线，并说明理由； (2)若该四棱柱的底面为菱形，四边形时矩形，试证明：平面平面. 【解析】（1）在上底面内过点作的平行线分别交、于、两点，即即为所作的锯线.在四棱柱中，侧棱∥且，所以四边形是平行四边形，∥，又平面∥平面，平面平面，平面平面，所以∥，从而∥. （2）证明：由于四边形是矩形，所以，又∥，所以.又因为四棱柱的底面是菱形，所以.因为，平面，平面，所以平面，因为平面是，所以平面平面. 6. 如图，四棱锥中，底面，，，. (1)若G点为的重心，求； (2)若，证明：平面； (3)若，且二面角的正弦值为，求. 【详解】（1）设，，，则，， ，. 如图，连接并延长交于点,连接,则 两边取平方得. ∴，∴. （2）因为平面，而平面，所以， 又，，平面，所以平面， 而平面，所以. 因为，所以，在底面上，可知， 又平面，平面，所以平面. （3） 设，，则①，因，如图， 过点作的平行线，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系. 此时有 因设平面的法向量为， 则，故可取； 又设平面的法向量为， 则，故可取； 则， 由题意，，即② 联立① ② ，解得故 7. 已知四棱柱中，底面为梯形，，平面，，其中，.是的中点，是的中点. (1)求证平面； (2)求平面与平面的夹角余弦值； (3)棱上是否存在点，使其到平面的距离为？若存在，求出点的位置，若不存在，请说明理由. 【解析】（1）四棱柱中，取中点，连接，， 由是的中点，得，且， 由是的中点，得，且， 则、，于是四边形是平行四边形，， 又平面，平面， 所以平面. （2）四棱柱中，平面，，则直线两两垂直， 以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 有、、、、、， 则有、、， 设平面与平面的法向量分别为、， 则有，， 取，得、， 则， 所以平面与平面的夹角余弦值为. （3）假定在棱上存在点，使其到平面的距离为，设， 则，由（2）知，平面的法向量为， 则，解得，即点与点重合， 所以在棱上存在点与点重合，，使其到平面的距离为. 4、 课堂小结 5、 课后作业 作业一：更正、总结今天课堂上的例题和练习题 作业二：完成配套的《几何法和向量法解决立体几何中证明问题作业小卷》 第 1 页 共 3 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$