指数函数（3） - 知识点训练卷 内蒙古对口招生考试《数学考纲百套卷》第15卷（原卷版+解析版）

编写说明：内蒙古对口招生考试《数学考纲百套卷》，依据《内蒙古自治区高等职业院校对口招收中等职业学校毕业生数学考试指导纲要》编写。本套试卷共110份：第一部分是按照考试大纲编写的78份知识点训练卷。第二部分是函数、三角函数、数列等七个模块的22份专题训练卷。第三部分是参考近年考试真题编写的10份综合模拟卷。 本试卷是内蒙古对口招生考试《数学考纲百套卷》的第15卷，是知识点训练卷，试卷内容覆盖指数函数的最值及指数函数的应用等。 内蒙古对口招生考试《数学考纲百套卷》 第15卷 指数函数（3） 知识点训练卷 考试时间：60分钟 满分：100分 班级：___________姓名：___________学号：___________成绩:___________ 一、选择题：（本大题共10个小题．每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．函数在上的最大值与最小值之差是（    ） A． B．3 C． D．2 2．函数在区间上的最小值是（    ） A． B． C． D．2 3．某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长，要增长到原来的x倍，需经过y年，则函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 4．已知函数在上的最大值和最小值之和为3，则函数在上的最大值为（    ） A．6 B．1 C．3 D． 5．函数的值域是（    ） A． B． C． D． 6．设，且，则（    ） A． B． C． D． 7．已知函数的定义域和值域都是，则（    ） A． B． C．1 D． 8．已知函数且，则实数的值为（    ） A．3 B．1或3 C．1 D．或3 9．一辆价值20万元的汽车，按每年的折旧率折旧，设x年后汽车的价值为y万元，则y与x的函数解析式为（    ） A． B． C． D． 10．某商品提价后,若要恢复原价,则应由现价降低（    ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 11．函数的最大值是 . 12．已知函数在区间上的值域为，则实数的取值范围为 . 13．当时，函数的值域为 . 14．一种产品的年产量原来是500件，在今后的几年内，计划使年产量比上一年增加，则三年后该产品的年产量为 （列出式子即可）. 15．某种细菌在培养的过程中，每分裂一次（一个分裂为两个），经过，这样的细菌由一个分裂为 个． 三、解答题：（本大题共4个小题，共40分，解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤） 16．（本小题满分8分） 求函数的定义域． 17．（本小题满分8分） 某产品经过4次革新后，成本由原来的105元下降到60元．如果这种产品每次革新后成本下降的百分率相同，那么每次革新后成本下降的百分率是多少？（精确到） 18．（本小题满分12分） 已知函数且的图象过坐标原点． (1)求的值； (2)设在区间上的最大值为，最小值为，若，求的值． 19．（本小题满分12分） 已知函数的图象经过点和． (1)求函数的解析式； (2)若函数，求函数的值域． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 1 页 共 12 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 编写说明：内蒙古对口招生考试《数学考纲百套卷》，依据《内蒙古自治区高等职业院校对口招收中等职业学校毕业生数学考试指导纲要》编写。本套试卷共110份：第一部分是按照考试大纲编写的78份知识点训练卷。第二部分是函数、三角函数、数列等七个模块的22份专题训练卷。第三部分是参考近年考试真题编写的10份综合模拟卷。 本试卷是内蒙古对口招生考试《数学考纲百套卷》的第15卷，是知识点训练卷，试卷内容覆盖指数函数的最值及指数函数的应用等。 内蒙古对口招生考试《数学考纲百套卷》 第15卷 指数函数（3） 知识点训练卷 考试时间：60分钟 满分：100分 班级：___________姓名：___________学号：___________成绩:___________ 一、选择题：（本大题共10个小题．每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．函数在上的最大值与最小值之差是（    ） A． B．3 C． D．2 【答案】D 【分析】根据指数函数的单调性求解即可. 【详解】函数在上单调递减， 故最大值为，最小值为 故最大值与最小值之差是. 故选：D. 2．函数在区间上的最小值是（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】由指数函数的单调性求解即可. 【详解】函数在区间上单调递减， 故函数在区间上的最小值为. 故选：B. 3．某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长，要增长到原来的x倍，需经过y年，则函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题干列出解析式，根据解析式选择函数图像即可. 【详解】设原来森林蓄积量为a， ∵某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长， ∴一年后，森林蓄积量为， 两年后，森林蓄积量为， 经过y年，森林蓄积量为， ∵要增长到原来的x倍，需经过y年， ∴， ∴则； 由于函数是对数函数，，由对数函数图像可知， 函数的图象大致为D. 故选：D． 4．已知函数在上的最大值和最小值之和为3，则函数在上的最大值为（    ） A．6 B．1 C．3 D． 【答案】C 【分析】由于函数具有单调性，代入求出的值，再代入到中求出该函数的最大值. 【详解】由于函数在上具有单调性，两个端点分别对应最值， 所以，解得， 为，该函数在上单调递增， 故在处取得最大值，最大值为. 故选：C. 5．函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数函数的单调性求其在指定区间内的值域即可. 【详解】函数，其中， 所以时，为增函数， 则当时，， ， 所以函数的值域是， 故选：D. 6．设，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数函数的值域以及定义域求解. 【详解】，，，. 当时，，则，. 故选：B. 7．已知函数的定义域和值域都是，则（    ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】分类讨论，根据指数函数单调性和值域定义域列式即可解得. 【详解】当时，，方程组无解； 当时，，解得； . 故选：A. 8．已知函数且，则实数的值为（    ） A．3 B．1或3 C．1 D．或3 【答案】C 【分析】根据指数函数与分段函数，赋值，分类讨论，进而求解. 【详解】当时，，得，不符合前提条件，舍去； 当时，，解得，符合要求. 故选：C. 9．一辆价值20万元的汽车，按每年的折旧率折旧，设x年后汽车的价值为y万元，则y与x的函数解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分析每年的汽车价值，根据指数函数列出解析式即可. 【详解】一辆价值20万元的汽车，按每年的折旧率折旧，， 一年后的价值为， 两年后的价值为， ... 则年后汽车的价值； 故选：B. 10．某商品提价后,若要恢复原价,则应由现价降低（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由一元一次方程的应用即可得解. 【详解】设应降价的比例为,原价为. 故选:. 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 11．函数的最大值是 . 【答案】6 【分析】根据指数函数的单调性求解. 【详解】因为指数函数在上单调递减， 所以在上单调递减， 所以. 故答案为：6. 12．已知函数在区间上的值域为，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据指数函数单调性和值域求解即可解得. 【详解】， 则在上递减，在上递增， 所以当时，函数取得最小值0， 由，得或， 所以函数在区间上的值域为时，， 故答案为： 13．当时，函数的值域为 . 【答案】 【分析】利用换元法及二次函数的性质计算可得. 【详解】因为， 令，由于，则， 则原函数可化为，， 当时，取最小值，当时，取最大值， 故，即. 故答案为： 14．一种产品的年产量原来是500件，在今后的几年内，计划使年产量比上一年增加，则三年后该产品的年产量为 （列出式子即可）. 【答案】 【分析】根据题意，结合指数函数的应用，即可求解. 【详解】由题意，一年后的年产量为，两年后的年产量为， 三年后的产量为. 故答案为：. 15．某种细菌在培养的过程中，每分裂一次（一个分裂为两个），经过，这样的细菌由一个分裂为 个． 【答案】512 【分析】先计算内细菌分裂的次数，再根据每次分裂后细菌数量的变化规律求出最终的细菌数量. 【详解】已知细菌每分裂一次，则，即内分裂的次数为次. 由于细菌一个分裂为两个，即每次分裂后细菌的数量都是前一次的2倍. 那么经过1次分裂后细菌有个；经过2次分裂后细菌有个； 以此类推，经过9次分裂后细菌有个. 故答案为：512. 三、解答题：（本大题共4个小题，共40分，解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤） 16．（本小题满分8分） 求函数的定义域． 【答案】 【分析】根据根号以及指数函数的性质解答. 【详解】解：由题意得，即． ∵在R上是增函数，∴， 即，∴， ∴函数的定义域为． 17．（本小题满分8分） 某产品经过4次革新后，成本由原来的105元下降到60元．如果这种产品每次革新后成本下降的百分率相同，那么每次革新后成本下降的百分率是多少？（精确到） 【答案】 【分析】设出未知数，由题目条件得到方程，求出答案 【详解】设每次革新后成本下降的百分率为， 故，解得（负值舍去）， 故每次革新后成本下降的百分率是. 18．（本小题满分12分） 已知函数且的图象过坐标原点． (1)求的值； (2)设在区间上的最大值为，最小值为，若，求的值． 【答案】(1) (2)或3 【分析】（1）根据函数的解析式以及过原点求解即可. （2）根据指数函数的单调性分类讨论即可. 【详解】（1）的图象过坐标原点， ，即. （2）由（1）知，（且）， 若，则在上单调递减, . ，即, 或（舍去）； 若，则在上单调递增， , ，即. 解得或（舍去）； 综上所述：的值为或3． 19．（本小题满分12分） 已知函数的图象经过点和． (1)求函数的解析式； (2)若函数，求函数的值域． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将函数上的点代入解析式联立，即可解得函数关系式. （2）根据已知求出解析式，再根据二次函数值域即可解得. 【详解】（1）由题，函数且过点， 将两点分别代入得， 解得， ∴. （2）∵∴， 令， ∴，即. 又函数在定义域上单调递减， ∴，即. 即函数的值域为 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 1 页 共 12 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $$