好，同学们，大家好。今天我们这节课来学习模块九轴测图的内容。这一块的考纲要求，首先我们要了解轴测图的形成，理解轴测图的投影特性和分类，掌握正等轴测图的绘图方法和步骤。那么对于轴测图的形成以及轴测图的投影特性及分类这一块，通常以选择填空题的形式来考核。轴测图它的特点是立体感较强，是一种辅助图样，是对正投影图的一个补充。我们来看一下轴侧图，主要包括轴测图的基本概念，轴测投影的基本特性以及轴测图的分类这几部分。我们首先来看轴测图的基本概念，首先我们要掌握什么叫做轴侧，轴好在轴侧投影面上的坐标。也就是在我们前面绘制三视图的时候，我们知道三投影面体系有三个投影面，三根投影轴和一个圆点组成。三根投影轴。在这个轴侧图上面的投影，我们称为轴侧轴称为轴侧轴。第二轴间角，在轴侧投影中，任两轴之间的夹角称为轴间角。这是投影。3、轴向伸缩系数。物体上平行于坐标轴的线段，在轴侧图上的长度与实际长度的比值叫做轴向伸缩系数。注意是在轴侧图上的长度和实际长度的比值叫做轴向伸缩系数OXOOZ轴上它们的轴向伸缩系数分别用PQR来进行表示。这个我们要能对应起来，X轴上的是PY，Y轴上的是QZ轴上的是R。我们来看一下轴侧投影的基本特性。好这一块是重点内容。好，这一块是重点内容。一物体上相互平行的线段，在同一轴侧投影中一定互相平行。这是由于我们的轴侧图它的绘制采用的是平行投影法。好，平行投影法它的射线之间相互平行，所以它具有一个平行性的特性。物体上相互平行的线段在同一轴侧投影中也是相互平行的。二物体上平行于直角坐标轴的线段在同一轴侧投影中，B与相应的轴侧轴平行。好，其实这也是平行性的一个体现。因为直角坐标轴它在轴侧图里面的投影称为轴侧轴。这也是和我们第一题其实是相同的知识点。这个我们要知道三与轴侧轴平行的线段，按该轴的轴向伸缩系数来进行度量。好，这是注意前提是与轴侧轴平行的线段。那么轴向伸缩系数刚刚我们也讲了，指的是什么呢？指的是它在轴侧图里面的长度与它的实际长度的比值，叫做轴向伸缩系数。好，我们来看一下轴侧图的分类。首先我们知道轴侧图它采用的投影法是平行投影法，而平行投影法又根据射线是否与投影面垂直线分为了正投影和斜投影。那么按照正投影绘制出来的轴侧图，我们称为正轴侧图。按斜投影采用斜投影法绘制出来的轴侧图，我们叫做斜轴测图好再来按照轴向伸缩系数的不同，可以分为正等侧。好，正等侧指的是三个轴的轴向伸缩系数相等的话，称为正等侧。正二侧的话指的是三个轴，侧轴其中有两个，他们的轴向伸缩系数相等的话叫正二侧。那么斜二侧我们可以理解为，首先它采用的是斜投影法获得的，并且它是有两个轴的轴向伸缩系数相同。好，其中正等侧和斜二侧是我们常用的轴侧图。来看一下常用的轴侧图有哪些。第一个叫做正轴测图，射线和轴测投影面是相互垂直的关系。正等轴测图它的三个轴的轴向伸缩系数是相等的，P等于Q等于R斜轴测图指的采用的是斜投影，斜投影的话它的投射线和轴测投影面是倾斜的关系。斜二轴测图说明它有两个轴侧轴向伸缩系数是相等的，P等于Q不等于R其中P的话是X轴的轴向伸缩系数和Z轴的轴向伸缩系数是相等的，Y轴的轴向伸缩系数和它们不相等，这是斜二轴测图。这是常考的填空题。好，或者是双向选择题。常用的轴测图是谁？正等轴测图和斜二轴测图。下面我们来看一下正等轴测图它的基本概念。首先它的特征是射线垂直于轴测投影面。其实这里是正投影它的这个特征，简化的轴向伸缩系数，关键词是简化，简化的关键轴向伸缩系数。因为它们三个都是相等的，等于一轴间角。好，轴间角的话指的是我们的三根轴侧轴之间的夹角，正等轴侧图它的轴间角这是Z这是X轴，这是Y轴，这是原点。它们之间的夹角都是120度，这个要知道弧长120度，这也是一个常考的一个知识点。再来看正等轴测图的画法，画法的话我们需要知道有的时候可能会出多项选择题或者是填空题。坐标法指的是沿坐标轴来测量，按坐标画出各顶点的轴测图坐标法。第二个是切割法，先画出完整的形体。好，我们先来看一下，例如我们采用的是坐标法，它给了我们三个视图。好，假设我们这是一个正方体，它的长宽高是不是都是相等的？好，假设它的长和宽高都是10，那么我们要绘制它的正等轴侧图。首先我们需要把它的轴侧轴画出来，轴侧轴怎么画呢？户长120Z轴是竖直的，那么X轴和Y轴是分别和Z轴成120度的夹角，那么长度的话对应的是X轴的方向，在X轴上面量取十个毫米。好，量取十个毫米，那么Y轴代表的是宽度方向，在Y轴上面来量取十个毫米，为什么直接量十呢？由于它的轴向伸缩系数是一，所以它的实际的长度和我们在轴侧轴上面的轴侧图上的长度是一样的。那么就直接量10毫米。好，再根据它平行性的特性，因为。四棱柱正方体它的底边的话，它的这些棱是相互平行的。我们做Y轴的平行线，做X轴的平行线，好找到一个交点。那么这个正方形现在它是一个四边形，因为正方形它在投影的过程中变成了一个平行四边形，它就是我们这个正方体它的底面的投影。再来我们知道它的高度是10，在Z轴上量取10毫米，再根据它的平行线的特性，过它底面的每一个顶点做一个10毫米的竖直线。好，十毫米的竖直线。那么这些数直线的另外一个端点，实际上是不是就是我们的正方体的上面的顶点。连接起来我们是不是就可以得到这个正方体的轴测图了，正方体的轴侧图了。那么切割法是什么呢？就是假设我们现在要给它变一变，它的主视图变成一个什么样呢？它的主视图在它的左上方切掉一块，那么这在它的切，这是右好，右前方也给它切掉，右前方也给它切掉。那么这个从左向右看的话是不可见的，那么是虚线。那我们这里的时候用切割法就是先画出整体，再用切割的方法画出不完整的部分。来我们假设切的是多少呢？切了一个小正方体，正方体的边长是5毫米，那我们是不是来量5毫米阳2.5毫米在Y轴的方向好。那么它的高度是不是也是5毫米？好，这是5毫米来过它的每一个顶点向下来五个毫米。好，向下来五个毫米。那么连接起来。好，这些点给它连接起来，我们是不是就可以把它的这个绘制出来了，切割后的绘制出来了，这个效果有点不太好，我再重新画一个，假设我们先画一个。长方体现在我们来给它切割，切割的话我们就在它的基础上给它把上面这块前面给它切掉，前面给它切掉。好，这是我们。好，这叫切割法。看一下，我现在把这个多余的线给它擦掉，多余的线给它擦掉。好，多余的线给它擦掉，那么它的效果就出来了。那么擦掉之后是这样的，因为那个擦掉的话，它那个橡皮不太好用，所以说我就直接把擦掉过后的效果给它画出来，是不是就这样的？这是切割法。组合法的话就是按照相对位置逐个的画出各个形体。那么我们假设它你下面这个形体是这样的，那么我们要在它的这个基础上再给它上面再给它叠加一个什么呢？我们假设在这个位置在这个位置上面我们给它叠加一个四棱柱。好，叠加一个四棱柱。好，那么我们就在这里按照它的长度、宽度、高度的方向，把这个四棱柱给它画出来，是不是就可以了。当然这块线是不是要给它擦掉的，因为它前面是平齐的，平齐的话是没有交线的，包括这后面不可见的轮廓线，我们也可以给它擦掉。这个是组合法，这是组合法，这是常用的三种画法，分别是坐标法、切割法和组合法。我们再来看一下回转体正等轴测图的画法。例如这有一个圆，那么这个圆的正等轴测图怎么画呢？我们可以看，因为这个圆的话，它在正等轴测图里面的投影是一个椭圆。椭圆的话我们采用四心圆法，也就是我们用四段圆弧来代替这个椭圆。我们可以看到，我们首先把这个圆的外接正方形的投影给它画出来，怎么画呢？我们可以根据它的平行性特性，它们一个是平行于X轴，一个是平行于X轴，那么一个是平行于这是X轴。那么在轴侧图里面好。这个是X轴，这个是Y轴。我们可以看到过E点和F点做的是不是X轴的平行线，过A点和B点做的是Y轴的平行线。好。做完平行线之后，我们得到了一个平行四边形。接着我们来看一下。好，接着再过A点。因为这个AB和EF的话分别是这个圆和直线的切点。好，圆和直线的这一个切点，那么根据切点、直线、圆心，他们什么是什么关系呢？如果这一个圆它和这个直线相切，那么这个切点到圆心的这个连线是垂直于外面的这根直线的，是不是？我们只要来过这个A点来做对应的这个边的垂直线。好，就这个边的垂直线，那我们是不是就可以和中间的这一个对角线找到一个焦点。这个焦点的话实际上我们要找的这个左边的这个小圆，他的这么一个圆心的位置。好，根据这个椭圆是个左右对称的关系，我们是不是也可以找到对面的这个圆心的这么一个位置，找到对面的这个圆心的这个位置。好。下面我们再来可以看一下再过。延长好，把这根线给它延长好看一下。对角线有两个对角线，好一个对角线两个对角线。好，其实它这里就是我们的椭圆长轴和短轴所在的这个线。那么这四个圆心它分别一个是在这个长轴的直直线上，一个是在短轴的直线上，我们来过这个点来好做垂线延长。好，它和我们这个短轴所在直线的交点就是另外的一个圆心。好，再根据它对称性，我们可以在下面也找到一个圆心，那么这个圆心的话就是可以做E和B的这一段圆弧号，上面这个圆心可以做A和F的这么一段圆弧。好。确定四个圆心及半径。好，这个圆心和半径的话，实际上就是我们过什么？过它的这个切点ABEF做对应边的垂线，对应边的垂线做完垂线之后，这个垂线与谁呢？与我们刚刚做的平行四边形对角线和对角线的焦点，与我们这个对角线的这个交点，就是我们要找的这么一个圆心，就是我们要找的这个圆心。最后再分别画出4段圆弧，四段圆弧。好，我们可以看到第一段圆弧是A和E的这一段，第二段是E和B第三段是B和F第四段是F到A好，圆心知道了，那么起点和终点知道了，我们就可以把这一段圆弧给它绘制出来。好，我们再来看斜二轴测图。斜二轴测图它的特征是射线倾斜于轴测投影面。因为它采用的是斜投影，这一块也是常考的选择题或者填空题。它的简化的轴向伸缩系数看一下，P等于R等于一好Q等于0.5。好，P的话是X的，R的话是Z的，Q的话是Y的。这也就是说我们的XY和Z轴它们的轴向伸缩系数轴尖角哈轴尖角。我们来看一下Z轴，那么和X轴的话是90度，和X轴是90度，这也是常考的一个知识点。那么X和YZ和Y它们的夹角都是135度。好，都是135度，比较特殊。X赫兹和Z是90度。好，下面我们来看一下这道题。第一题绘制轴测图时量取尺寸的方法是什么？刚刚我们也讲到了，它是必须要沿着轴侧轴的方向来进行测量尺寸，是必须的是必须的。必须，而且是沿着轴侧轴的方向选第二个B选项。第二题空间互相平行的线段在同一轴侧投影怎么样？这是平行性的这个特性，它一定是互相平行的。选C选项好，选C选项。第三题，正等轴测图的轴向伸缩系数是什么？正等轴测图，那么它三个肯定是相等的。好，所以我们应该选A选项。好，选A选项。第四题斜二轴测图它的轴向伸缩系数是什么？好，携二，那么说明它有两个是相等的，我们排除掉A和D好，那么是谁和谁呢？我们刚刚讲过应该是P等于R不等于QP和R他们的简化的轴向伸缩系数是一，Q是多少呢？Q是0.5，Q是0.5。第五题，任意两根轴侧轴之间的夹角我们称为什么？这是考概念的，称为轴间角哈轴间角。我们刚刚讲的概念，一个是轴侧轴，一个是轴间角，一个是轴向伸缩系数。第六题，正等轴测图中画圆常见的方法是什么？我们讲在正等轴测图里面，圆的投影变成了一个椭圆，而椭圆的话我们常用的是四心圆法和4心圆法。第七题轴侧图是采用什么投影法获得的？好是平行投影法。注意它问的是轴测图，而没有问我们是正等轴测图或者是斜二轴测图。那么它用的是平行投影法，它如果问我们正等轴测图，那么采用的是正投影法。如果问我们斜二轴测图，那么它采用的是斜投影法。这个要注意区分，看清题干正等轴测图它的轴尖角是三个轴，侧轴之间互成120度。好，我们来看一下这道题，绘制正等轴侧图。好，那么我们可以看到它的基本体应该是一个什么？是一个四棱柱，被切割之后得到了这样的一种效果，而且这里还涉及到了一个什么？一个倾斜的这根线的绘制方法。好，我们来画一下。首先它让我们绘制的是正等轴测图，那么我们可以先把轴侧轴给它绘制出来，数值的是Z轴，X轴和Z轴是互成120度的，Y轴和Z轴也是成120度。我们把这个轴侧轴画出来，这个点是原点，我们在三视图里面来找到它的原点，我们把这个原点定在它的这个下方、右方、后方。那么我们的X轴的方向。Y轴的方向Z轴的方向实际上就已经确定了。下面我们采用切割法，先把它的基本体给它绘制出来。基本体怎么绘制呢？我们来看一下X轴的方向，这一块我们给它标上，这是长。Y轴的方向是什么呢？是宽，Z轴的方向是什么呢？是高。好，长宽高我们可以通过三视图里面得到。好，首先我们来沿着X轴，来在X轴上面来找一个点，这个点的距离是多少呢？就是它的长度，就是它的长度。我们可以直接拿圆规在这个主视图上面量，接着我们在Y轴上面来找一个点，这个点尺寸是多少呢？就是它的宽度，也可以拿着圆规在俯视图上量好，找到这两个点之后来分别做X轴和Y轴的平行线。好，来做X轴和Y轴的平行线。那么这个平行四边形实际上就是我们的这个四棱柱它的底面的投影。接下来我们再根据它的平行性特性，这个四棱柱它的四根棱是不是都是相互平行的？好，我们来做Z轴的，而且它们都是平行于Z轴。好，来做Z轴的什么？做Z轴的平行线。好，做Z轴的平行线。接着我们在每一根线上面来量取什么呢？量取它的高度，高度值从哪得到高度值？我们可以在主视图里面量取好，每一根线上面都来量取一下它的高度。好，找到4个点。实际上这四个点就是我们四棱柱的上底面的四个顶点。好，这个时候我们的这个四棱柱就绘制完成了，下面我们来进行切割。切割的话我们可以看到我们需要这是一根斜线，斜线的话是没有办法直接量的，我们需要沿着轴侧轴的方向来量。那我们是不是可以来确定这个点的位置？好，以及这个点的位置，这个点它在我们右前面的这根棱上，我们是不是可以来在左视图上面来量。我假设这个尺寸是A好，我们是不是可以来在这里找到A点。好，我们假设这个点是B好，AB的话它是平行于什么？是不是平行于我们的Y轴的？平行于我们的Y轴，那我们是不是可以来过A点来做Y轴的平行线。那么它的这个尺寸的话，因为它是平行于Y轴的，平行于轴侧轴的这些线呢，我们是可以按照它的轴向伸缩系数来进行量取，我们是不是可以找到B点。同样的话，我们来看一下它的这个左侧，左侧的话我们假设这个点是小C点好，这个点是小D点好，C和DC的话我们是不是要量取这个高度？好，假设这个点是A点，它的高度是C好，高度是C那我们来从底面向上来量，高度是C好，那么C和D的话是平行于Y轴的。我们是不是过C点来做？Y轴的平行线件尺寸是多少呢？尺寸就是C和D它的这一个尺寸。因为是沿着轴侧轴的方向，我们就可以按照它的实际尺寸，在我们的这个平行线上面来量取找到地点哈那现在这根斜线的两个端点我们找到了，A点和C点找到了，那这个时候我们就可以给它连起来。连起来之后我们是不是就得到了这根斜线，它的轴侧投影好斜线的话，我们不能直接连，我们需要通过轴侧轴的方向来确定它的两个端点再来画。好，那么我们再来看这里有一根竖直线，这边有一根竖直线，那我们就直接过B点来做Z轴的平行线，过D点来做Z轴的平行线。好，那么上面的这根线呢它是平行于X轴的，我们可以或者是这个直线的两个端点，我们已经知道了，我们是不是可以直接给它连接起来，直接给它连接起来，那么我们的这个图就绘制完成了。首先我们画的是一个四棱柱，按照切割的方法把它的这一个斜面给它绘制出来，绘制出来多余的部分给它擦掉，好像这个绿色的这个多余的线我们就可以给它擦掉了。还有里面这个红色的轴侧轴我们用不到了，也可以给它擦掉了。把这个最后或者一个留下的蓝色的这个线条留下来加粗一下，那我们这道题就绘制完成了好。看一下我们今天的课就到这里。好，谢谢大家。