8.2 立体图形的直观图 课件-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

第八章 立体几何初步 8.2 立体图形的直观图 请你说出下面几何体分别是什么几何体? 长方体 五棱锥 圆柱 圆锥 圆台 四棱台 球 课堂导入 为了将空间几何体画在纸上,用平面图形表示出来,这就需要学习直观图的有关知识. 直观图是观察者站在某一点观察一个空间几何体获得的图形,画立体图形的直观图,实际上是用同一平面内的点表示不完全在同一平面内的点. 因此,直观图往往与立体图形的真实形状不完全相同. 课堂导入 中心投影 平行投影 D C B A 斜投影 正投影 在一束平行光线照射下形成的投影,叫做平行投影. 平行投影的投影线是平行的. 在立体几何中,立体图形的直观图通常是在 平行投影下得到的平面图形. 课堂导入 观察 如图,矩形窗户在阳光照射下留在地面上的影子是什么形状? 眺望远处成块的农田,矩形的农田在我们眼里又是什么形状? 可能是矩形,也可能是平行四边形 课堂探究 要画立体图形的直观图,首先要学会画水平放置的平面图形的直观图. 一个物体的投影,不仅与这个物体的形状有关,而且还与投影的方式和物体与投影面的位置关系有关. 若一个矩形垂直于投影面,投影线不垂直于投影面时,矩形的平行投影则是一个平行四边形. 利用平行投影,人们获得了画直观图的方法,这种方法叫做斜二测画法. 利用这种画法我们可以画出水平放置的平面图形的直观图. 课堂探究 斜二测画法的步骤: ① 画轴:在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴,两轴相交于点O. 画直观图时,把它们画成对应的x' 轴与y' 轴,两轴相交两轴交于点O',且使∠x'O'y'=45 (或135 ),它们确定的平面表示水平面. x y x' y' O O' 课堂探究 x' y' O' ③取长度:已知图形中平行于x轴的线段,在直观图中保持原长度不变;平行于y轴的线段,在直观图中长度为原来的一半. ②画线:已知图形中平行于x轴或y轴的线段,在直观图中分别画成平行于x' 轴或y' 轴的线段. ④成图:连接线段,擦除辅助线. 横不变,竖减半,平行关系不变 课堂探究 例如,用斜二测画法画水平放置的正方形ABCD的直观图: x y A B C D x' y' A' D' C' ①画轴:以A为原点,直线AB,AD为 轴,轴,建立如图所示的坐标系. ②画出对应的轴,轴,交于A,使 ③画线、取长度: 画,; 作轴,使; 连接. B' 课堂探究 例1 用斜二测画法画水平放置的正六边形的直观图. A B C D F E O M N ①在正六边形中,取所在直线为轴,的垂直平分线为轴,两轴相交于点. 画相应的轴与轴,两轴相交于点,使. 典例精研 O' O M N A B C D F E ②以为中点, 在轴上取, 在轴上取. 以点为中点, 画//轴,=; 再以为中点, 画轴,=. B' C' A' D' F' E' M' N' 例1 用斜二测画法画水平放置的正六边形的直观图. 典例精研 O' O M N A B C D F E ③连接, ,,, 并擦去辅助线轴和轴,便获得正六边形水平放置的直观图. B' C' A' D' M' F' E' N' 例1 用斜二测画法画水平放置的正六边形的直观图. 典例精研 1. 在原图中选取适当的直角坐标系非常关键,一般可结合对称性,并且要使尽可能多的顶点在坐标轴上,以便于画点. 2. 画图的关键是确定多边形顶点的位置. 对于原图中不平行于坐标轴的线段可以通过作平行于坐标轴的线段来确定位置,确定它的两个端点,然后连接成线段. 斜二测画法的作图技巧: 总结提升 横不变,竖减半,平行关系不变 画轴——画顶点——画线段 画直观图时,除多边形外,还经常会遇到画圆的直观图的问题. 生活的经验告诉我们,水平放置的圆看起来非常像椭圆,因此我们一般用椭圆作为圆的直观图. 在实际画水平放置的圆的直观图时常用如图所示的椭圆模板. 课堂探究 牛刀小试1 用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时,下列结论是否正确? (1)相等的线段在直观图中仍然相等. ( ) (2)平行的线段在直观图中仍然平行. ( ) (3)一个角的直观图仍是一个角. ( ) (4)相等的角在直观图中仍然相等. ( ) √ √ 课堂探究 思考 任意平面图形,其直观图与原图的面积有何关系? 牛刀小试2 用斜二测画法画出∆ABC的直观图如图所示,则原∆ABC的面积为( ) 课堂探究 S直=S原 16 用斜二测画法画立体图形的直观图时,与画平面图形的直观图相比,只是在已有水平面内的x、y轴基础上, 增加竖向的z轴,竖向线段的方向和长度保持不变. 课堂探究 画出立体感、空间感 例2 已知一个长方体的长、宽、高分别是3cm,2cm,1.5cm,用斜二测画法画出它的直观图. 典例精研 解:① 画轴.如图,画轴、轴、轴, 三轴相交于点,使, =90 . ② 画底面.在轴正半轴上取,使; 在轴正半轴上取,使. 过作轴的平行线,过点作轴的平行线, 设它们的交点为,则 ABCD就是 长方体的底面的直观图. (A) D C B 例2 已知一个长方体的长、宽、高分别是3cm,2cm,1.5cm,用斜二测画法画出它的直观图. 典例精研 ③ 画侧棱.在轴正半轴上取线段,使=1.5cm,过,,各点分别作轴的平行线,在这些平行线上分别截取长的线段,,. ④ 成图.顺次连接,,,,并加以整理 (去掉辅助线,将被遮挡的部分改为虚线),就得到长方体的直观图了. (A) B D C A' B' C' D' 例2 已知一个长方体的长、宽、高分别是3cm,2cm,1.5cm,用斜二测画法画出它的直观图. 典例精研 1. 在已有水平面内的x、y轴基础上,增加了竖向的z轴,竖向线段的方向和长度保持不变. 2. 画图的关键是确定底面多边形顶点的位置. 斜二测画法作立体图形直观图: 总结提升 画轴——画底面——画侧棱 例3 已知圆柱底面半径为1cm,侧面母线长3cm,画出它的直观图. O. x z A B 解:①画轴.如图,画轴轴,使. ②画下底面.以为中点,在轴上取线段, 使 利用椭圆模板画椭圆, 使其经过两点.这个椭圆就是圆柱的下底面. 典例精研 O. x z A B A' B' .O' ③ 画上底面.在上截取点,使=3cm,过点作平行于轴的轴 类似下底面的作法作出圆柱的上底面. ④ 成图. 连接,,整理得到圆柱的直观图. O. 例3 已知圆柱底面半径为1cm,侧面母线长3cm,画出它的直观图. 典例精研 对于圆锥的直观图,一般先画圆锥的底面,再借助于圆锥的轴确定圆锥的顶点,最后画出两侧的两条母线. 课堂探究 画球的直观图,一般需要画出球的轮廓线,它是一个圆. 同时还经常画出经过球心的截面圆,它们的直观图是椭圆,用以衬托球的立体性. 课堂探究 例4 某简单几何体由上下两部分组成,下部是一个圆柱,上部是一个圆锥,圆锥的底面与圆柱的上底面重合.画出这个组合体的直观图. 分析:画组合体的直观图,先要分析它的结构特征,知道其中有哪些简单几何体以及它们的组合方式,然后再画直观图,本题中没有尺寸要求,画图时只需选择合适的大小,表达出该几何体的结构特征就可以了. 典例精研 x' x O O' z P B' B A' A “取轴、定点、成图” 解:如图,先画出圆柱的上下底面,再在圆柱和圆锥共同的轴线上确定圆锥的顶点,最后画出圆柱和圆锥的母线,并标注相关字母,就得到组合体的直观图. 典例精研 例4 某简单几何体由上下两部分组成,下部是一个圆柱,上部是一个圆锥,圆锥的底面与圆柱的上底面重合.画出这个组合体的直观图. 练习1 用斜二测画法画一个正六棱柱的直观图. x y O z A B C D E F A' B' C' D' E' F' 巩固训练 解:原平面图形ABCD如图示. y x O D C B A 由图可知,原四边形ABCD是直角梯形,并且上、下底边长分别为AB=2, CD=3 ,直角腰长为AD=2. 还原 巩固训练 x' x O O' z B' B A' A 练习3 一个简单组合体由上下两部分组成,下部是一个圆柱,上部是一个半球,并且半球的球心就是圆柱的上底面圆心.画出这个组合体的直观图. 巩固训练 练习4 一个几何体的三视图如图所示,画出这个几何体的直观图. O x z 巩固训练 1. 在原图中选取适当的直角坐标系非常关键,一般可结合对称性,并且要使尽可能多的顶点在坐标轴上,以便于画点. 2. 画图的关键是确定多边形顶点的位置. 3.画立体图形时,在已有水平面内的x、y轴基础上,增加了竖向的z轴,竖向线段的方向和长度保持不变. 斜二测画法作图 课堂小结 横不变,竖减半,平行关系不变 画轴——画顶点——画线段 画轴——画底面——画侧棱 练习2 如图所示,梯形A1B1C1D1是一平面图形ABCD 的直观图.若A1D1∥O′y′,A1B1∥C1D1,A1B1=eq \f(2,3)C1D1=2,A1D1=O′D1=1.试画出原四边形,并求原图形的面积. $$