专题19.7 直角三角形斜边的中线【八大题型】-2024-2025学年八年级数学下册举一反三系列（沪科版）

专题19.7 直角三角形斜边的中线【八大题型】 【沪科版】 【题型1 由直角三角形斜边的中线求线段长度】 1 【题型2 由直角三角形斜边的中线求周长】 2 【题型3 由直角三角形斜边的中线求面积】 3 【题型4 由直角三角形斜边的中线求角度】 4 【题型5 由直角三角形斜边的中线求最值】 5 【题型6 由直角三角形斜边的中线进行证明】 6 【题型7 由直角三角形斜边的中线解决几何变换问题】 7 【题型8 由直角三角形斜边的中线解决坐标系中的求值问题】 9 知识点：直角三角形的性质定理 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 【题型1 由直角三角形斜边的中线求线段长度】 【例1】（24-25八年级·四川成都·期末）如图，在中，，为边上的高，为边上的中线，若的面积为，，则的长度为（  ） A． B． C． D． 【变式1-1】（24-25八年级·湖南岳阳·期中）如图，中，，点D为的中点，某同学用刻度尺测量长度时，点A、B对应的刻度分别为4、0，则的长为 ．    【变式1-2】（24-25八年级·广西河池·期末）如图，在中，，，垂足为D，E是的中点．若，则的长为（    ）    A．2.25 B．9 C．8.5 D．8 【变式1-3】（2024·辽宁·八年级期末）如图，在中，，的中垂线与交于点D，与交于点E，连接，F为的中点，若，则的长为 ． 【题型2 由直角三角形斜边的中线求周长】 【例2】（24-25八年级·四川广安·期中）如图，中，是高，E、F分别是的中点．若，则四边形的周长为 ． 【变式2-1】（24-25八年级·福建厦门·期中）如图，在中，，为边上的高，点为的中点，连接．若的周长为20，则的周长为（    ） A．10 B．12 C．14 D．16 【变式2-2】（24-25八年级·江苏扬州·期中）如图，、分别是的高，M为的中点，，，则的周长是 ． 【变式2-3】（2024·河南周口·八年级期末）如图，在中，与的平分线相交于点O，且分别交于点E，F.为的中线.已知，，则的周长为（    ）      A． B． C． D． 【题型3 由直角三角形斜边的中线求面积】 【例3】（24-25八年级·浙江绍兴·期末）在中，的度数之比为，边上的中线长是2，则的面积是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式3-1】（2024·浙江湖州·八年级期末）如图，已知在锐角△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，E是AD上一点，连结EB，EC．若∠EBC＝45°，BC＝6，则△EBC的面积是（  ） A．12 B．9 C．6 D． 【变式3-2】（24-25八年级·广东广州·期末）如果直角三角形斜边上的中线和高分别是6和5，那么它的面积是（    ） A．10 B．15 C．20 D．30 【变式3-3】（24-25八年级·黑龙江大庆·期末）如图，在一个等边三角形纸片中取三边中点，以虚线为折痕折叠纸片，若三角形纸片的面积是，则图中阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 【题型4 由直角三角形斜边的中线求角度】 【例4】（24-25八年级·河北秦皇岛·期末）如图，在中，，于点，，是斜边的中点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（2024·陕西西安·八年级期末）如图，在中，，平分，交于点，是边上的中线，与交于点．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（2024·浙江杭州·八年级期末）如图，，均为的高，且，连结交于点O，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】（24-25八年级·贵州安顺·期末）如图，是的高，是的中线，是的角平分线．若，则的度数为 ． 【题型5 由直角三角形斜边的中线求最值】 【例5】（24-25八年级·辽宁沈阳·阶段练习）如图，在△OAB中，∠AOB=90°，OB=OA=5，点C是线段AB上一动点，连接OC，以OC为直角边在OC左侧构造△OCD，使∠COD=90°，OC=OD，点M为DC的中点，连接AM，在点C运动过程中，线段AM的最小值为 . 【变式5-1】（24-25八年级·江苏·周测）如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，AB与CD不平行，AC=10，O为AC中点，则△OBD面积的最大值为 ． 【变式5-2】（24-25八年级·江苏南京·阶段练习）如图，中，，线段的两个端点D、E分别在边上滑动，且，若点M、N分别是的中点，则的最小值为（　　）    A．2 B．3 C． D．4 【变式5-3】（24-25八年级·山东淄博·期末）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，将△ABC绕顶点C顺时针旋转得到△，点M是BC的中点，点P是的中点，连接PM．若BC=2，∠A=30°，线段PM长度的最大值是 ． 【题型6 由直角三角形斜边的中线进行证明】 【例6】（24-25八年级·浙江舟山·期末）在中，是边上的高，、分别为、边上的中点，且． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【变式6-1】（24-25八年级·江苏扬州·期中）如图，已知中，，E是的中点，垂直平分． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【变式6-2】（24-25八年级·江苏·假期作业）如图，在中，于点F，于点E，M为的中点． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，，求的长度． 【变式6-3】（24-25八年级·江苏宿迁·期中）如图，在中，是的中点，点在上，点在上，且．    (1)求证：； (2)若，求四边形的面积． 【题型7 由直角三角形斜边的中线解决几何变换问题】 【例7】（24-25八年级·江苏苏州·阶段练习）如图，直角三角形纸片中，，，将其沿边上的中线折叠、使点A落在处，则的度数为 【变式7-1】（24-25八年级·山东菏泽·期末）如图，在中，，将绕点顺时针旋转到的位置，点恰好落在边的中点处，那么旋转角的度数为（    ） A．55° B．60° C．65° D．70° 【变式7-2】（24-25八年级·江苏淮安·阶段练习）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的中线，将△ADC沿AC边所在的直线折叠，使点D落在点E处，得四边形ABCE．求证：ECAB． 【变式7-3】（24-25八年级·河北·阶段练习）如图，在中，，，，将绕点顺时针旋转得到，取的中点，的中点．则在旋转过程中，线段的最小值 ． 【题型8 由直角三角形斜边的中线解决坐标系中的求值问题】 【例8】（24-25八年级·四川达州·期中）如图在平面直角坐标系中，已知、分别是轴上位于原点左右两侧的点，点在第一象限，直线交轴于点，直线交轴于点，且的面积为6. 若与的面积相等，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【变式8-1】（24-25八年级·吉林白城·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，，则点B的坐标为 【变式8-2】（24-25八年级·河北承德·期末）在平面直角坐标系中，点的坐标为，点与点关于轴对称，点在轴上，若三角形ABC为等腰直角三角形，则点的坐标为 ． 【变式8-3】（2024·吉林长春·八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形AOB的斜边OA在y轴上，，点B在第一象限．标记点B的位置后，将沿x轴正方向平移至的位置，使经过点B，再标记点的位置，继续平移至的位置，使经过点，此时点的坐标为 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题19.7 直角三角形斜边的中线【八大题型】 【沪科版】 【题型1 由直角三角形斜边的中线求线段长度】 1 【题型2 由直角三角形斜边的中线求周长】 4 【题型3 由直角三角形斜边的中线求面积】 7 【题型4 由直角三角形斜边的中线求角度】 10 【题型5 由直角三角形斜边的中线求最值】 13 【题型6 由直角三角形斜边的中线进行证明】 17 【题型7 由直角三角形斜边的中线解决几何变换问题】 22 【题型8 由直角三角形斜边的中线解决坐标系中的求值问题】 25 知识点：直角三角形的性质定理 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 【题型1 由直角三角形斜边的中线求线段长度】 【例1】（24-25八年级·四川成都·期末）如图，在中，，为边上的高，为边上的中线，若的面积为，，则的长度为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由直角三角形斜边中线的性质，求出，由三角形面积公式即可求出的长． 【详解】解：，为边上的中线， ， ， ， 的面积为， ， ． 故选：D． 【点睛】本题考查直角三角形斜边的中线，三角形的面积，关键是由直角三角形斜边中线的性质求出的长，由三角形面积公式即可求出的长． 【变式1-1】（24-25八年级·湖南岳阳·期中）如图，中，，点D为的中点，某同学用刻度尺测量长度时，点A、B对应的刻度分别为4、0，则的长为 ．    【答案】2 【分析】本题考查了直角三角形斜边中线的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．根据直角三角形斜边中线的性质可得答案． 【详解】解：∵点A、B对应的刻度分别为4、0， ∴， 在中，，为斜边的中点， ∴， 故答案为：2． 【变式1-2】（24-25八年级·广西河池·期末）如图，在中，，，垂足为D，E是的中点．若，则的长为（    ）    A．2.25 B．9 C．8.5 D．8 【答案】B 【分析】本题考查等腰三角形的定义，直角三角形斜边中线的性质， 利用直角三角形斜边的中线等于斜边一半求出即可解决问题． 【详解】解：∵， ∴， ∵E是的中点， ∴， ∴， 故选B． 【变式1-3】（2024·辽宁·八年级期末）如图，在中，，的中垂线与交于点D，与交于点E，连接，F为的中点，若，则的长为 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质．根据线段垂直平分线的性质可得，再由直角三角形的性质，可得，然后根据，可得，结合，可得，即可求解． 【详解】解：∵垂直平分， ∴， ∵F为的中点，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：4 【题型2 由直角三角形斜边的中线求周长】 【例2】（24-25八年级·四川广安·期中）如图，中，是高，E、F分别是的中点．若，则四边形的周长为 ． 【答案】21 【分析】本题考查的是直角三角形斜边上的中线的性质，熟记直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键． 根据直角三角形斜边上的中线的性质分别求出、，根据线段中点的概念分别求出、，进而求出四边形的周长． 【详解】解：∵是的高， ∴， ∵、分别是、的中点， ∴，， ∴四边形的周长， 故答案为：21． 【变式2-1】（24-25八年级·福建厦门·期中）如图，在中，，为边上的高，点为的中点，连接．若的周长为20，则的周长为（    ） A．10 B．12 C．14 D．16 【答案】A 【分析】本题考查的是直角三角形的性质、等腰三角形的性质，掌握直角三角形斜边上的中线是斜边的一半是解题的关键．根据等腰三角形的三线合一得到，根据直角三角形的性质得到，根据三角形的周长公式计算，得到答案． 【详解】解：，为边上的高， ， 的周长为20， ， ， 在中，点为的中点， ， 的周长， 故选：A 【变式2-2】（24-25八年级·江苏扬州·期中）如图，、分别是的高，M为的中点，，，则的周长是 ． 【答案】13 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，先求出，再求的周长即可．解题时主要利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质． 【详解】解：∵、分别是的高，M为的中点，， ∴在中，， 在中，， 又∵， ∴的周长． 故答案为：13． 【变式2-3】（2024·河南周口·八年级期末）如图，在中，与的平分线相交于点O，且分别交于点E，F.为的中线.已知，，则的周长为（    ）      A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质，角平分线的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等知识，根据，平分，平分，得，根据是的中线，得，根据平分，，得，根据平分，，得，即可求得，即可求的周长． 【详解】解：平行四边形， ， ， 平分，平分， ， ， 是的中线， ， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ， 的周长为， 故选：D． 【题型3 由直角三角形斜边的中线求面积】 【例3】（24-25八年级·浙江绍兴·期末）在中，的度数之比为，边上的中线长是2，则的面积是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】过点作，利用三角形内角和以及三个角的比求出各角的度数，再利用直角三角形中线定理求出的长，再根据含角的直角三角形的性质求出，最后利用面积公式求解即可． 【详解】解：如图所示： 过点作 ∵ 是边上的中线， 故选B． 【点睛】本题主要考查三角形内角和，直角三角形中线定理以及含角的直角三角形的性质，运用内角和求各角的度数以及中线性质求解面积是解决本题的关键． 【变式3-1】（2024·浙江湖州·八年级期末）如图，已知在锐角△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，E是AD上一点，连结EB，EC．若∠EBC＝45°，BC＝6，则△EBC的面积是（  ） A．12 B．9 C．6 D． 【答案】B 【分析】根据三线合一可得，根据垂直平分线的性质可得，进而根据∠EBC＝45°，可得为等腰直角三角形，根据斜边上的中线等于斜边的一半可得，然后根据三角形面积公式即可求解． 【详解】解： AB＝AC，AD是△ABC的角平分线， ， ， ∠EBC＝45°， ， 为等腰直角三角形， ， ， 则△EBC的面积是． 故选B． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质与判定，垂直平分线的性质，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，掌握等腰三角形的性质与判定是解题的关键． 【变式3-2】（24-25八年级·广东广州·期末）如果直角三角形斜边上的中线和高分别是6和5，那么它的面积是（    ） A．10 B．15 C．20 D．30 【答案】D 【分析】根据直角三角形斜边上的中线先求出斜边长，再利用三角形的面积进行计算即可解答． 【详解】∵直角三角形斜边上的中线是6， ∴斜边长= 2×6= 12， ∵直角三角形斜边上的高是5， ∴直角三角形的面积=×12×5=30， 故选：D． 【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线性质、三角形的面积，熟练掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键． 【变式3-3】（24-25八年级·黑龙江大庆·期末）如图，在一个等边三角形纸片中取三边中点，以虚线为折痕折叠纸片，若三角形纸片的面积是，则图中阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据中点和等边三角形的性质得到，，再求出，根据直角三角形斜边中线的性质和三线合一求出，从而可得结果． 【详解】解：如图，∵F分别为中点，是等边三角形， ∴，， ∵D为边中点， ∴，， ∵E为中点， ∴D，E关于对称， ∴垂直平分， ， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线，三角形面积，解题的关键是掌握基本定理，用边的关系找出面积的关系． 【题型4 由直角三角形斜边的中线求角度】 【例4】（24-25八年级·河北秦皇岛·期末）如图，在中，，于点，，是斜边的中点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，先得出的度数，根据直角三角形两锐角互余分别求出的度数，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半可得，算出的度数，根据即可求解． 【详解】解：∵是直角三角形，，， ∴， ∵， ∴在中，， 同理，在中，， ∵点是中点， ∴，即， ∴， ∴， 故选：D ． 【变式4-1】（2024·陕西西安·八年级期末）如图，在中，，平分，交于点，是边上的中线，与交于点．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查直角三角形斜边上的中线，等腰三角形的判定和性质，与角平分线有关的三角形内角和问题．根据三角形的内角和定理和角平分线平分角，求出的度数，根据斜边上的中线等于斜边的一半，结合等边对等角，求出的度数，再利用三角形的内角和定理求出的度数即可． 【详解】解：∵，，是边上的中线， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴； 故选B． 【变式4-2】（2024·浙江杭州·八年级期末）如图，，均为的高，且，连结交于点O，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了垂直平分线性质和判定，直角三角形性质，等腰三角形性质，根据题意得到垂直平分线段，得到，结合直角三角形性质得到，利用等腰三角形性质得到，再根据求解，即可解题． 【详解】解： 为的高，且， 垂直平分线段， ， 为的高，即， ， ， ， ， 故选：A． 【变式4-3】（24-25八年级·贵州安顺·期末）如图，是的高，是的中线，是的角平分线．若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是直角三角形的性质、三角形的中线、角平分线、高的概念、三角形的外角性质．根据三角形的高的概念得到，根据直角三角形、等腰三角形的性质得到，，再根据角平分线的定义、三角形的外角性质计算，得到答案． 【详解】解：是的高， ， ，是的中线， ，， ， ， 是的角平分线， ， ， 故答案为：． 【题型5 由直角三角形斜边的中线求最值】 【例5】（24-25八年级·辽宁沈阳·阶段练习）如图，在△OAB中，∠AOB=90°，OB=OA=5，点C是线段AB上一动点，连接OC，以OC为直角边在OC左侧构造△OCD，使∠COD=90°，OC=OD，点M为DC的中点，连接AM，在点C运动过程中，线段AM的最小值为 . 【答案】 【分析】可证得△AOD≌△BOC，然后易得∠DAC=90°，AM= CD，由直角三角形斜边上的中线证得AM=OM，由三角形三边关系AM+OM≥AO，进而得到答案 【详解】解：连接AD， ∵∠AOB=∠COD=90°，OB=OA=5，OC=OD，∠B=∠BAO=∠OCD=45°， ∴∠AOD=∠BOC， ∴△AOD≌△BOC(SAS)， ∴∠DAO=∠B=45°， ∴∠DAO+∠BAO=90°，即∠CAD=90°， ∵点M为DC的中点， ∴OM=AM=CD， ∵AM+OM≥AO，AO=5， ∴2AM≥5， 即AM≥， ∴AM的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质，证明△AOD≌△BOC是解题的关键． 【变式5-1】（24-25八年级·江苏·周测）如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，AB与CD不平行，AC=10，O为AC中点，则△OBD面积的最大值为 ． 【答案】/12.5 【分析】根据直角三角形的性质，可得，从而得到当OB⊥OD时，△OBD面积的最大，即可求解． 【详解】解：∵∠ABC=∠ADC=90°，AC=10，O为AC中点， ∴， ∴OB=OD， ∴当OB⊥OD时，△OBD面积的最大， ∴△OBD面积的最大值为． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形的斜边中线等于斜边的一半是解题的关键． 【变式5-2】（24-25八年级·江苏南京·阶段练习）如图，中，，线段的两个端点D、E分别在边上滑动，且，若点M、N分别是的中点，则的最小值为（　　）    A．2 B．3 C． D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查了直角三角形斜边中线的性质．如图，连接，则当C，M，N三点在同一条直线上时，取最小值，根据三角形斜边中线的性质求得，，即可求得的最小值． 【详解】解：如图，连接，则当C，M，N三点在同一条直线上时，取最小值，    ∵，，，点M、N分别是的中点， ∴， ∴的最小值为． 故选：B 【变式5-3】（24-25八年级·山东淄博·期末）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，将△ABC绕顶点C顺时针旋转得到△，点M是BC的中点，点P是的中点，连接PM．若BC=2，∠A=30°，线段PM长度的最大值是 ． 【答案】3 【分析】如图连接PC．思想求出PC=2，根据PM≤PC+CM，可得PM≤3，由此即可解决问题． 【详解】解：如图连接PC． 在Rt△ABC中，∵∠A=30°，BC=2， ∴AB=4， 根据旋转不变性可知，=AB=4， ∵点P是的中点， ∴PC= =2， ∵CM=BM=1， 又∵PM≤PC+CM，即PM≤3， ∴PM的最大值为3（此时P、C、M共线）． 故答案为：3． 【点睛】本题考查旋转变换、含30度角直角三角形的性质、直角三角形斜边上的中线定理，三角形的三边关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用三角形的三边关系解决最值问题． 【题型6 由直角三角形斜边的中线进行证明】 【例6】（24-25八年级·浙江舟山·期末）在中，是边上的高，、分别为、边上的中点，且． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线 （1）连接，根据垂直定义可得，再利用直角三角形斜边上的中线性质可得，从而可得，然后利用等腰三角形的三线合一性质，即可解答； （2）先利用直角三角形的两个锐角互余可得，然后利用等腰三角形的性质可得，从而利用平角定义可得，再利用等腰三角形的三线合一性质进行计算，即可解答． 【详解】（1）证明：连接， ， ， 是的中线， ， ， ， 点是的中点， ； （2）解：，， ， ， ， ， ，点是的中点， ， 的度数为． 【变式6-1】（24-25八年级·江苏扬州·期中）如图，已知中，，E是的中点，垂直平分． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质，等边对等角，三角形外角的性质等等，根据三角形直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半以及线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等推出是解题的关键. （1）三角形直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，根据线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等得到，由此得到； （2）根据等边对等角得到，，利用三角形外角的性质得到，则. 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵E是的中点， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴. 【变式6-2】（24-25八年级·江苏·假期作业）如图，在中，于点F，于点E，M为的中点． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）利用直角三角形斜边上的中线的性质即可得出结论； （2）利用直角三角形中三十度角所对的直角边等于斜边的一半即可得出． 【详解】（1）证明：∵，， ∴与都为直角三角形， ∵M为的中点， ∴、为斜边的中点， ∴，， ∴， ∴是等腰三角形； （2）解：在中，∵， ∴． 【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线的性质，等腰三角形的判定，含角的直角三角形的性质，熟练掌握各性质定理是解题的关键． 【变式6-3】（24-25八年级·江苏宿迁·期中）如图，在中，是的中点，点在上，点在上，且．    (1)求证：； (2)若，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)四边形的面积为 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质等知识点．掌握“斜中半定理”和“三线合一”是解题关键． （1）证即可求证； （2）由（1）可得，故，据此即可求解． 【详解】（1）证明：∵，是的中点， ∴ ∵，是的中点， ∴，， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 在和中 ∴ ∴ （2）解：∵， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴四边形的面积为． 【题型7 由直角三角形斜边的中线解决几何变换问题】 【例7】（24-25八年级·江苏苏州·阶段练习）如图，直角三角形纸片中，，，将其沿边上的中线折叠、使点A落在处，则的度数为 【答案】/20度 【分析】本题考查了折叠的性质，三角形的内角和定理，直角三角形的性质，解题的关键是掌握所学的知识，正确的求出角的度数． 由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，得到，从而，进而求出，由折叠可得，根据角的和差即可解答． 【详解】解：∵，是中线， ∴，， ∴， ∴， ∴， 由折叠可得， ∴． 故答案为：． 【变式7-1】（24-25八年级·山东菏泽·期末）如图，在中，，将绕点顺时针旋转到的位置，点恰好落在边的中点处，那么旋转角的度数为（    ） A．55° B．60° C．65° D．70° 【答案】B 【分析】直角三角形中斜边的中线等于斜边的一半，可证得△ 是等边三角形，即可求出旋转角度． 【详解】解：∵在Rt△ABC中， ∴ 又∵ ∴△ 是等边三角形 ∴∠=60° 故选：B． 【点睛】此题考查了图形旋转，解题的关键知道会用直角三角形斜边的中线是斜边的一半． 【变式7-2】（24-25八年级·江苏淮安·阶段练习）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的中线，将△ADC沿AC边所在的直线折叠，使点D落在点E处，得四边形ABCE．求证：ECAB． 【答案】证明见解析 【分析】根据直角三角形斜边上的中线、两直线平行的判定解答即可． 【详解】证明：∵CD是AB边上的中线，且∠ACB=90°， ∴CD=AD． ∴∠CAD=∠ACD． 又∵△ACE是由△ADC沿AC边所在的直线折叠而成的， ∴∠ECA=∠ACD． ∴∠ECA=∠CAD． ∴ECAB． 【点睛】本题考查了折叠问题，解决本题的关键是掌握直角三角形斜边上的中线的性质和两条直线平行的判定． 【变式7-3】（24-25八年级·河北·阶段练习）如图，在中，，，，将绕点顺时针旋转得到，取的中点，的中点．则在旋转过程中，线段的最小值 ． 【答案】2.5 【分析】本题主要考查旋转的性质，直角三角形斜边上的中线是斜边的一半，三角形的三边关系，解题的关键是掌握旋转的性质。 连接，根据将绕顶点顺时针旋转得到，可得，， 由为的中点，知，求出，当，，不能构成三角形，且在上时，取最小值，此时． 【详解】解：连接，如图：    将绕顶点顺时针旋转得到， ，， 为的中点， ， ，为中点， ， 在中，， 当，，不能构成三角形，且在上时，取最小值，此时，如图：    的最小值为． 【题型8 由直角三角形斜边的中线解决坐标系中的求值问题】 【例8】（24-25八年级·四川达州·期中）如图在平面直角坐标系中，已知、分别是轴上位于原点左右两侧的点，点在第一象限，直线交轴于点，直线交轴于点，且的面积为6. 若与的面积相等，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了两条直线相交与三角形的面积的综合应用，还考察了矩形的性质和等腰三角形的性质．过点作轴，作轴，则四边形为矩形，已知的横坐标，利用三角形的面积公式求出的面积，进而求得的面积，即可求得，利用的面积为6求得，由，得，即点为的中点，则，利用矩形的性质和等腰三角形的性质可得，，然后利用三角形面积公式即可求解．正确求得的坐标是关键． 【详解】解：过点作轴，作轴，则四边形为矩形， ∴， ∵，，则，． ∴， ∴ 则，即：， ∴，则的坐标是． ∵，即， ∴， ∴， ∵， ∴，即点为的中点， 则， ∵轴，轴， ∴，， 则，， ∴． 故选：B． 【变式8-1】（24-25八年级·吉林白城·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，，则点B的坐标为 【答案】 【分析】 如图，过作于， ，可得，再利用直角三角形斜边上的中线的性质可得答案． 【详解】解：如图，过作于， ， ∴， ∴， ∴ ． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是等腰直角三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，坐标与图形，作出适当的辅助线是解本题的关键． 【变式8-2】（24-25八年级·河北承德·期末）在平面直角坐标系中，点的坐标为，点与点关于轴对称，点在轴上，若三角形ABC为等腰直角三角形，则点的坐标为 ． 【答案】（3，0），（﹣3，0）． 【分析】先求出B点的坐标为0，-3）即可得到AB=6，再利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可得到OC=3，由此求解即可. 【详解】解：∵点A的坐标为（0，3），点B与点A关于x轴对称， ∴B（0，-3） ∴AB=6， ∵三角形ABC为等腰直角三角形，且C在x轴上， ∴AB只能是斜边， ∴AB=2OC， ∴OC=3， ∴C（3，0）或（-3，0）， 故答案为：（3，0）或（-3，0）. 【点睛】本题主要考查了坐标与图形，关于x对称的点的坐标关系，直角三角形的斜边中线，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解. 【变式8-3】（2024·吉林长春·八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形AOB的斜边OA在y轴上，，点B在第一象限．标记点B的位置后，将沿x轴正方向平移至的位置，使经过点B，再标记点的位置，继续平移至的位置，使经过点，此时点的坐标为 ． 【答案】 【分析】根据已知条件结合等腰直角三角形的性质先求出点B ，点 ，即可得出点向右每次平移个单位长度，而为点B向右平移2个单位后的点，根据点平移规律即可得到答案 【详解】如图过点B作， 为等腰直角三角形，斜边在轴上， ， 向右平移至，点B在上，同理可得点的坐标为 每次向右平移1个单位，即点向右每次平移个单位， 为点B向右平移2个单位后的点 点的坐标为 故答案为： 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，以及坐标与图像变换—平移，在平面直角坐标系中，图形的平移与图像上某点的平移相同，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减，纵坐标上移加，下移减． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$