水平、竖直、斜面上的圆周运动及其临界极值问题 讲义 - 2026届高三物理一轮大单元考点题型复习对点练

目录 第19课时　水平、竖直、斜面上的圆周运动及其临界极值问题 1 考点一　水平面内的圆周运动及其临界极值问题 1 题型1：水平面上汽车转弯（相对滑动）问题 2 题型2：水平面上火车转弯问题 3 题型3：圆锥摆的临界（分离）合极值问题 4 题型4：水平转盘上的圆周运动及其临界极值问题 5 考点二　竖直面的圆周运动 8 题型1：竖直面内的圆周运动绳模型 9 题型2：竖直面内的圆周运动杆模型 11 考点三　斜面上的圆周运动 14 题型1：静摩擦力左右下斜面上的圆周运动 15 题型2：轻绳作用下斜面上的圆周运动 16 题型3：轻杆作用下斜面上的圆周运动 17 巩固训练·提升能力 19 第19课时　水平、竖直、斜面上的圆周运动及其临界极值问题 考点一　水平面内的圆周运动及其临界极值问题 必备知识·回顾梳理 问题特点：物体做圆周运动时，若物体的速度、角速度发生变化，会引起某些力(如拉力、支持力、摩擦力)发生变化，进而出现某些物理量或运动状态的突变，即出现临界状态。 (1)物体在水平面内做匀速圆周运动 (2)当转速变化时，会出现绳子张紧、绳子突然断裂、静摩擦力随转速逐渐增大而达到最大值、弹簧弹力的大小及方向发生变化等，从而出现临界问题 关键能力·规律方法 分析圆周运动临界问题的方法是让角速度或线速度从小逐渐增大，分析各量的变化，找出临界状态。确定了物体运动的临界状态和临界条件后，选择研究对象进行受力分析，利用牛顿第二定律列方程求解。 常见 情境 （1）水平转盘上的物体恰好不发生相对滑动的临界条件：物体与转盘之间的摩擦力恰好达到最大静摩擦力。 （2）绳的拉力出现临界条件：绳恰好拉直（此时绳上无弹力）或绳上拉力恰好为最大承受力等。 （3）物体间恰好分离的临界条件：物体间的弹力恰好为零 解题 思路 （1）若题目中有“刚好”“恰好”“正好”等关键词，表明题述的过程存在临界状态。 （2）若题目中有“最大”“最小”“至多”“至少”等关键词，表明题述的过程存在着极值，这个极值点也往往是临界状态。 （3）当确定了物体运动的临界状态或极值条件后，要分别针对不同的运动过程或现象，选择相对应的物理规律，然后再列方程求解 例题分析·考点题型 题型1：水平面上汽车转弯（相对滑动）问题 1.在用高级沥青铺设的高速公路上．对汽车的设计限速是。汽车在这种路面上行驶时，它的轮胎与地面的最大静摩擦力等于车重的倍。 如果汽车在这种高速路的水平弯道上拐弯，假设弯道的路面是水平的，其弯道的最小半径为多大？ 如果弯道的路面设计为倾斜外高内低，弯道半径为，要使汽车以的速度通过此弯道时不产生侧向摩擦力，则弯道路面的倾斜角度正切为多大？ 【答案】汽车在水平路面上拐弯，可认为汽车做匀速圆周运动，由静摩擦力提供向心力可得 可得 可知其弯道的最小半径为。 设弯道路面的倾斜角度为  ，要使汽车通过此弯道时不产生侧向摩擦力，汽车受到的重力和支持力的合力提供向心力，则有 可得 题后反思 水平面上汽车转弯类问题的临界条件是静摩擦力达到最大值 题型2：水平面上火车转弯问题 2. （多选）铁路转弯处，为了减小火车对铁轨的损伤，内、外轨设计时高度略有不同。某段转弯处半径为，火车速度为时，恰好轮缘对内、外轨道无压力，轨道平面与水平地面间夹角为，如图所示。现有一质量为的火车沿该弯道做速度为的匀速圆周运动，重力加速度为。则(    ) A. 该转弯处的设计速度为 B. 该转弯处的设计速度为 C. 若，火车有向外轨道方向运动的趋势 D. 若，火车有向外轨道方向运动的趋势 【答案】AD  【解析】、火车做匀速圆周运动，当以规定速度行驶时，其重力和轨道的支持力提供向心力，根据牛顿第二定律，解得，故A正确，B错误； C、若，向心力小于重力和支持力的合力，火车有向内轨道方向运动的趋势，故 C错误； D、若，向心力大于重力和支持力的合力，火车有向外轨道方向运动的趋势，故D正确。 故选AD。 题型3：圆锥摆的临界（分离）合极值问题 3.如图所示，水平转台上点放有一个小物体，转台中心有一个立杆，长度为的细线一端系住小物体，小物体可看作质点，另一端系在立杆上的点，细线与立杆成角，转台不旋转时细线上没有拉力。小物体与转台之间的动摩擦因数为，重力加速度为，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。，，求： 细线上刚好产生拉力时，小物体随转台转动的角速度； 转台对小物体支持力刚好为零时，小物体转动的角速度； 当小物体转动的角速度为时烧断细线，小物体落在转台上的点，求、之间的距离。 【答案】解：细线上刚好产生拉力时，小物体随转台转动所需的向心力由最大静摩擦力提供，有 ， 代入相关已知数据，求得角速度 。 转台对小物体支持力刚好为零时，对小物体受力分析有 ，， 求得物体转动的角速度 。 小物体转动的角速度为 ，可知此时物体已经离开转台，设此时细线与立杆成  角， 未烧断细线时，对小物块有 ，求得 ， 此时小物块做匀速圆周运动的半径为 ， 线速度大小为 ， 烧断细线，小物体做平抛运动，有竖直方向上 ， 水平方向上 ， 落在转台上的点时，、之间的距离 ， 联立，代入数据求得 。 题后反思 圆锥摆的临界和极值问题，常常与弹力有关 (1)绳子松弛的临界条件是：绳恰好拉直且没有弹力；绳子断开的临界条件是：绳上的拉力恰好达最大值。 (2)两物体接触或脱离的临界条件是：两物体间的弹力恰好为零。 (3)对于半圆形碗内的水平圆周运动，有两类临界情况：①摩擦力的方向发生改变；②恰好发生相对滑动。 题型4：水平转盘上的圆周运动及其临界极值问题 4. （单选）如图所示，一距地面高为、半径为的水平圆盘上放置质量分别为、的和两个物体，用长为的轻绳连接，物体在转轴位置上，当圆盘绕其竖直轴以角速度转动时，、两物体刚好相对圆盘静止。两物体均看作质点，两物体与圆盘之间的动摩擦因数均为，取。某时刻轻绳突然断裂，下列说法正确的是(    ) A. 轻绳断裂前，圆盘转动的角速度为 B. 轻绳断裂前，轻绳拉力的大小为 C. 物体落到水平面的位置到竖直轴的距离为 D. 物体落地时的速度大小为 【答案】A  【解析】当圆盘绕其竖直轴以角速度转动时，有， 联立解得 ， ，故A正确，B错误； C.轻绳突然断裂，物体做平抛运动，有， 所以物体落到水平面的位置到竖直轴的距离为，故C错误； D.物体落地时的速度大小为，故D错误。 故选A。 题后反思 水平转盘上圆周运动的临界问题，主要涉及与摩擦力和弹力有关的临界极值问题。 (1)如果只有摩擦力提供向心力，物体间恰好不发生相对滑动的临界条件是物体间恰好达到最大静摩擦力，则最大静摩擦力Fm＝，方向指向圆心。 (2)如果水平方向除受摩擦力以外还有其他力，如绳两端连接物体在水平面上转动，其临界情况要根据题设条件进行判断，如判断某个力是否存在以及这个力存在时的方向(特别是一些接触力，如静摩擦力、绳的拉力等)。 (3)运动实例 变式训练·举一反三 5. （单选）如图所示，为了测量列车通过一圆弧形弯道在水平面内转弯的半径的大小，某人设计了如下方法：将一重物可视为质点用轻绳悬挂在列车车厢顶部，当列车以恒定速率通过该弯道时，发现轻绳与车厢侧壁保持平行。已知弯道路面与水平面间夹角为，空气阻力不计，重力加速度为。则列车在该弯道的转弯半径大小为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解答】 设重物、列车的质量分别为、，由于重物与列车运动状态一致，则分析重物受力可知 ，得，列车向心加速度大小与其相等，则对列车有， 解得，则C正确。 故选C。 6. （单选）如图所示、在匀速转动的水平盘上，沿半径方向放着用细线相连的两个物体和，它们分居圆心两侧，与圆心距离分别为，，与盘间的动摩擦因数相同。当圆盘转速加快到两物体刚好还未发生滑动时，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，下列说法正确的是(    ) A. 此时绳子张力为 B. 此时圆盘的角速度为 C. 此时所受摩擦力方向沿半径指向圆外 D. 此时烧断绳子，仍相对盘静止，将做离心运动 【答案】A  【解析】两物块和随着圆盘转动，角速度相同，当圆盘转速加快到两物体刚好还未发生滑动时，有向外滑动的趋势，所受最大静摩擦力指向圆心，有向内滑动的趋势，所受最大静摩擦力背离圆心，有 ，对有 ，又 ，联立解得  ， ，此时所受摩擦力方向沿半径指向圆内，故A正确， BC错误； D.若此时剪断绳子，的摩擦力不足以提供所需的向心力，将会做离心运动，此时所需要的向心力将角速度代入可求得 ，由此可知的摩擦力也不足以提供所需的向心力，也将会做离心运动，故D错误。 故选A。 7. （多选）如图所示，系在悬点的小球在水平面内做圆锥摆运动，当小球角速度为时，细绳与竖直方向夹角为，细绳对小球的拉力为；当小球角速度为时，细绳与竖直方向夹角为，细绳对小球的拉力为。则以下关系式正确的是(    ) A. B. C. D. 【答案】BD  【解析】细绳与竖直方向夹角为  时，在竖直方向，有 ，在水平方向，有 ， 细绳与竖直方向夹角为  时，在竖直方向，有 ，在水平方向，有 ， 联立可得  ， ，故选BD。 考点二　竖直面的圆周运动 必备知识·回顾梳理 在竖直平面内做圆周运动的物体，按运动到轨道最高点时的受力情况可分为两类：一是无支撑(如球与绳连接、物体沿内轨道运动等)，称为“绳(环)约束模型”；二是有支撑(如球与杆连接、物体在弯管内运动等)，称为“杆(管)约束模型”。 关键能力·规律方法 绳、杆模型涉及的临界问题 绳模型 杆模型 常见类型 均是没有支撑的小球 均是有支撑的小球 受力特征 除重力外，物体受到的弹力向下或等于零 除重力外，物体受到的弹力向下、等于零或向上 受力示意图 力学方程 mg＋FT＝m mg±FN＝m 过最高点的临界条件 由mg＝m得v临＝ 由小球恰能做完整的圆周运动得v临＝0 讨论分析 (1)过最高点时，v≥，FN＋mg＝m，绳、圆轨道对球产生弹力FN； (2)不能过最高点时，v<，在到达最高点前小球已经脱离了圆轨道 (1)当v＝0时，FN＝mg，FN为支持力，沿半径背离圆心； (2)当0<v<时，mg－FN＝m，FN背离圆心，随v的增大而减小； (3)当v＝时，FN＝0； (4)当v>时，FN＋mg＝m，FN指向圆心，并随v的增大而增大 例题分析·考点题型 题型1：竖直面内的圆周运动绳模型 8. （单选）如图所示是某同学制作的水流星，四根轻绳系在一轻质圆形木板的边缘四个等分点上，并将一个质量为的小水杯放在木板中心位置，然后在杯中倒入质量为的水，甩动绳子，使得木板和杯子在竖直平面绕点做圆周运动．若杯子和木板始终保持相对静止，木板中心到点距离为，圆形木板半径为，轻绳长为，重力加速度大小为，杯子大小相对于绳长和木板半径可忽略，若它们在最高处时的速度为，关于在最高处，下列说法正确的是 A. 杯中的水恰好不洒下来 B. 杯中的水具有向上的加速度 C. 木板对水杯的压力大小为 D. 每根轻绳的拉力大小为 【答案】C  【解析】A.对于杯中的水，当水恰好不洒下来时，在最高点水的重力提供向心力，则， 解得，A错误。 B.在最高点，整体木板、杯子和水做圆周运动，加速度方向指向圆心，是向下的， B错误。 C.对杯子和水整体进行受力分析，设木板对水杯的压力为， 根据向心力公式可知，解得，C正确。 D.对木板受力分析，四根绳子的拉力设每根绳子拉力为和杯子对木板的压力。 由牛顿第三定律可知 将绳子拉力沿水平和竖直方向分解，在竖直方向上有 解得，D错误。 故选：。 题后反思 竖直面内圆周运动问题的解题思路 题型2：竖直面内的圆周运动杆模型 9. （单选）如图所示，半径为的鼓形轮可绕固定的光滑水平轴转动。在轮上沿相互垂直的直径方向固定四根直杆，杆上分别固定有质量为的、、、个小球，球心与的距离均为。现让鼓形轮匀速转动，若某时刻，两球所在直杆恰好位于水平方向，小球的速度大小为，不计空气阻力，重力加速度为，下列说法正确的是(    ) A. 鼓形轮的角速度为 B. 杆对小球的作用力一定竖直向上 C. 杆对小球的作用力为 D. 杆对小球的作用力一定大于 【答案】D  【解析】A. 鼓形轮的角速度为，故A错误； B. 小球所需的向心力大小为 若，则杆对小球的作用力竖直向下，故B错误； C. 对小球，竖直方向有 水平方向有 则杆对小球的作用力为，故C错误； D. 对小球，根据牛顿第二定律可得 可知杆对小球的作用力一定大于，故D正确。 故选D。 变式训练·举一反三 10. （单选）如图所示，长为且不可伸长的轻绳一端固定在点，另一端系一小球，使小球在竖直面内做圆周运动。由于阻力的影响，小球每次通过最高点时速度大小不同。测量小球经过最高点时速度的大小、绳子拉力的大小，作出与的关系图线如图所示。下列说法中正确的是(    ) A. 根据图线可以得出小球的质量 B. 根据图线可以得出重力加速度 C. 绳长不变，用质量更小的球做实验，得到的图线斜率更大 D. 用更长的绳做实验，得到的图线与横轴交点的位置不变 【答案】A  【解析】根据牛顿第二定律可知 解得 由图像可知 可得小球的 质量 由 可得重力加速度 选项A正确，B错误； C. 图像的斜率为 则绳长不变，用质量更小的球做实验，得到的图线斜率更小，选项C错误； D. 图线与横轴交点的位置 可得 则用更长的绳做实验，得到的图线与横轴交点的位置距离原点的的距离变大，选项D错误。 故选A。 11. （单选）如图所示，长的轻杆的一端固定在水平转轴上，另一端固定一质量的小球，小球随轻杆绕转轴在竖直平面内做线速度的匀速圆周运动，重力加速度取，不计空气阻力。小球运动到水平位置时，轻杆对小球的作用力大小为(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】小球运动到水平位置时，水平方向：根据牛顿第二定律可得：，竖直方向：根据受力平衡可得：，合成可知轻杆对小球的作用力大小为，故选A。 12. （单选）如图所示，长为的轻杆一端固定一个小球，现让小球在竖直平面内绕轻杆的另一端做圆周运动，小球到达最高点时，受到杆的弹力为，速度大小为，其图像如图所示。则下列说法正确的是(    ) A. 当地的重力加速度大小为 B. 时，小球对杆的弹力方向竖直向上 C. 时，小球受到的弹力大小等于 D. 小球的质量为 【答案】C  【解析】A. 由图象可知，当时，，杆对小球无弹力，此时重力提供小球做圆周运动的向心力，有，得，故A错误； 由图象知，当时，，故有，即杆对小球的弹力大小等于小球的重力，方向竖直向上，解得，根据牛顿第三定律可知小球对杆的弹力方向竖直向下，故BD错误； C. 当时，有，所以，即小球受到的弹力大小等于，故C正确。 故选C。 考点三　斜面上的圆周运动 必备知识·回顾梳理 在斜面上做圆周运动的物体，因所受的控制因素不同，如静摩擦力控制(图甲)、轻绳控制(图乙)、轻杆控制(图丙)，物体的受力情况和临界条件也不相同。 由于重力沿斜面的分力，在斜面内做圆周运动的物体的速率不断变化，运动情况与竖直面内的圆周运动类似，所以通常分析物体在最高点和最低点的受力情况求临界状态。物体在斜面上运动时，若受摩擦力，还要参照水平面内圆周运动的临界问题分析摩擦力的突变问题，如静摩擦力的方向变化、静摩擦力变为滑动摩擦力。 关键能力·规律方法 解题关键——重力的分解和视图 物体在斜面上做圆周运动时，设斜面的倾角为θ，重力垂直斜面的分力与物体受到的支持力相等，解决此类问题时，可以按以下操作，把问题简化。 例题分析·考点题型 题型1：静摩擦力左右下斜面上的圆周运动 13. （单选）有一娱乐项目，人坐在半径为的倾斜圆盘边缘随着圆盘绕圆心处的转轴匀速转动转轴垂直于盘面，圆盘的倾角为，如图所示，图中人用方块代替。当人与圆盘间的动摩擦因数时，人恰好不从圆盘滑出去。人的质量为，为圆盘的最低点，为圆盘的最高点，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，以下正确的是(    ) A. 位置处受到的摩擦力方向沿斜面向上 B. 点与点人所受到的摩擦力大小之差为 C. 人在转动时的速度大小为 D. 人从到摩擦力做功为 【答案】D  【解答】 A.人做匀速圆周运动，恰好不从圆盘滑出去，由受力可知，在位置的摩擦力沿斜面向上，向心力为 则 假设位置摩擦力方向沿斜面向下，则向心力为 则 由以上分析可知 所以可得 则 可知 故可知位置处受到的摩擦力方向沿斜面向下，故A错误； B.点与点人所受到的摩擦力大小之差为，故B错误； C.在处由 可得人在转动时的速度大小为，故C错误； D.因为人做匀速圆周运动，所以有 所以，故D正确。 故选D。 题型2：轻绳作用下斜面上的圆周运动 14. （单选）如图，在倾角为的光滑斜面上，有一根长为的细绳，一端固定在点，另一端系一可视为质点的物体．当物体刚好在斜面上做完整的圆周运动，则物体在最高点的速度大小是取， A. B. C. D. 【答案】B  【解析】小球恰好能在斜面上做完整的圆周运动，则小球通过点时细线的拉力为零，根据圆周运动和牛顿第二定律有：， 解得：，故ACD错误，B正确。 故选：。 题型3：轻杆作用下斜面上的圆周运动 15. （多选）如图所示，内壁光滑的圆形细管固定在倾角为的斜面上，其半径为，、分别为细管的最高点和最低点，、为细管上与圆心处于同一水平高度的两点，细管内有一直径稍小于细管内径的质量为的小球，小球可视为质点。开始时小球静止在点，某时刻对小球施加轻微扰动，使小球自向沿着细管开始滑动。以过直线的水平面为重力势能的参考平面，重力加速度为，下列说法正确的是(    ) A. 小球不能返回到点 B. 小球自点到点的过程中，重力的瞬时功率一直增大 C. 小球在点时的机械能为 D. 小球到达点时，细管对小球的作用力大小为 【答案】BD  【解析】、根据机械能守恒，小球能返回到点，以过直线的水平面为重力势能的参考平面，则小球在点的机械能为，小球在点时的机械能也为，故AC错误； B、设小球速度方向与重力方向夹角为，根据，小球在点时的速度为，所以重力的瞬时功率也为，小球从到的过程中重力与瞬时速度的夹角逐渐减小，根据机械能守恒，小球的瞬时速度逐渐增大，可知重力的瞬时功率一直增大，故B正确； D、小球从到过程由机械能守恒得： 在点细管对小球沿方向的作用力提供向心力，根据牛顿第二定律得： 垂直于斜面方向 故细管对小球的作用力大小为。 故选：。 变式训练·举一反三 16. （单选）在一个倾角为的山岩斜面上，质量为、可视为质点的探险爱好者用长为、不可伸长的轻绳一端固定在斜面上的点，另一端系住自己。现探险爱好者将轻绳拉直，使轻绳水平且与斜面平行，然后爱好者沿半径为的圆周做初速度为零、切线方向加速度大小为的加速运动，如图所示。重力加速度大小为，不计空气阻力，爱好者运动到最低点时轻绳的拉力为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解答】爱好者沿半径为的圆周做切线方向加速度大小为的加速运动，爱好者完成四分之一圆周过程， ，化曲为直法，其速度大小的增量为，得：，爱好者到达最低点位置，合力提供向心力， ，解得：，故ABD错误，C正确。 故选C。 17. （单选）如图所示，在与水平地面夹角为的光滑斜面，上有一半径为的光滑圆轨道，一质量为的小球在圆轨道内沿轨道做圆周运动，，下列说法中正确的是(    ) A. 小球能通过圆轨道最高点的最小速度为 B. 小球能通过圆轨道最高点的最小速度为 C. 小球以的速度通过圆轨道最低点时对轨道的压力为 D. 在最低点给小球一水平初速度在小球向上运动的过程中小球的运动属于超重 【答案】C  【解析】小球做圆周运动，在最高点，根据牛顿第二定律有 当时，小球有最小速度，解得，故AB错误； C.小球以的速度通过圆轨道最低点时，根据牛顿第二定律有 解得，根据牛顿第三定律，球对轨道的压力大小为，故C正确； D.小球从最低点上升到最高点的过程加速度先有向上的分量后有向下的分量，可知小球是先超重后失重，选项D错误。 故选C。 巩固训练·提升能力 一、单选题。 1.为美观和经济，许多桥面建成拱形。汽车通过桥顶时，对桥面的压力会减小，过快的汽车将失去控制、无法转向，造成安全隐患，故拱形桥上都会有限速标志。设汽车对桥面的压力是其重力的倍时，其速度就是限速标志对应的速度，桥顶圆弧对应的半径为，则该限速标志所示速度约为取(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】在最高点对汽车受力分析，根据牛顿第二定律可知，根据牛顿第三定律知桥面对汽车的支持力与汽车对桥面的压力大小相等，即，联立解得该限速标志所示速度约为，故选C。 2.如图所示，一质量为的汽车在水平公路上行驶，路面对轮胎的径向最大静摩擦力为，当汽车经过半径为的弯道时，下列判断正确的是  (    ) A. 汽车转弯时所受的力有重力、弹力、摩擦力和向心力 B. 汽车转弯的速度为时所需的向心力为 C. 汽车转弯的速度为时汽车会发生侧滑 D. 汽车能安全转弯的向心加速度不超过 【答案】D  【解答】A.向心力是效果力，受力分析时不能加入向心力，A错误； 当汽车转弯的速度为时，需要的向心力为，而径向最大静摩擦力 ，则，所以汽车不会发生侧滑，、C错误； D.当径向最大静摩擦力提供向心力时，汽车安全转弯的向心加速度最大，根据牛顿第二定律可得，D正确． 3.铁路在弯道处的内、外轨高度是不同的，已知内、外轨所在平面与水平面的夹角为，如图所示，弯道处的圆弧半径为，若质量为的火车转弯时速度等于，则  (    ) A. 内轨对内侧车轮轮缘有挤压 B. 外轨对外侧车轮轮缘有挤压 C. 这时铁轨对火车的支持力等于 D. 这时铁轨对火车的支持力大于 【答案】C  【解答】火车转弯时需要的向心力，由受力分析可知，支持力与重力的合力正好等于向心力，故火车轮缘对内、外轨无挤压，选项A、B错误； 由竖直方向受力平衡知，，可知选项C正确，D错误。 故选C。 4.如图所示，三段细线长，、、三球质量相等，当它们绕点在光滑的水平桌面上以相同的角速度做匀速圆周运动时，则三段线的拉力：：为(    ) A. ：： B. ：： C. ：： D. ：： 【答案】B  【解析】根据牛顿第二定律得： 对球，有：， 对球，有：， 对球，有：， 联立解得：：：：：。 故选：。 5.如图所示，漏斗状容器绕竖直对称轴匀速转动，倾斜侧壁的倾角为。物块放在容器的倾斜侧壁上，在容器转动的角速度缓慢增大的过程中，物块始终能相对于容器静止。则在这一过程中，下列说法正确的是 A. 倾斜侧壁对物块的支持力大小一定保持不变 B. 倾斜侧壁对物块的支持力大小可能先增大后减小 C. 倾斜侧壁对物块的摩擦力大小一定一直减小 D. 倾斜侧壁对物块的摩擦力大小可能先减小后增大 【答案】D  【解析】对物体受力分析，当摩擦力为零时，竖直方向，水平方向，临界角速度， 当角速度，摩擦力方向沿斜面向上，即竖直方向，水平方向，随着角速度的增大，支持力变大，摩擦力变小，当角速度后继续增大，支持力继续增大，摩擦力反向增大，故D正确，ABC错误。 6.如图所示，为一辆越野车在比赛时经过一段起伏路段，、分别为该路段的最高点和最低点，已知在最高点附近汽车所走过的那一小段圆弧可认为是圆周运动的一部分，其对应半径为，在最低点附近对应圆周运动的半径为，假设汽车整个运动可近似认为速率不变，汽车经过最高点时对轨道的压力为汽车自重的倍，那么汽车经过最低点时对轨道的压力为自重的(    ) A. 倍 B. 倍 C. 倍 D. 倍 【答案】B  【解答】：在最高点对汽车分析可得，， 车经过最高点时对轨道的压力为汽车自重的倍，由牛顿第三定律知， 可解得：， 在最低点对汽车分析可得，， 所以，由牛顿第三定律知，汽车经过最低点时对轨道的压力为自重的倍   ，故ACD错误，B正确。 故选B。 二、多选题。 7.轻杆一端连着质量为的小球，另一端固定，使小球在竖直面内做半径为的圆周运动，如图所示，重力加速度为，下列说法正确的是(    ) A. 小球通过最高点时，轻杆中弹力不可以为 B. 小球恰好通过最高点时的速度是 C. 若小球通过最高点时速度，则小球此时受到轻杆的作用力为拉力 D. 小球通过最低点时，受到轻杆拉力必大于 【答案】CD  【解析】小球通过最高点时，若重力刚好提供向心力，则有，解得，可知小球通过最高点时，轻杆中弹力可以为；小球恰好通过最高点时的速度为；若小球通过最高点时速度  ，则重力不足以提供向心力，此时小球受到轻杆的作用力为拉力，故AB错误，C正确； D.小球通过最低点时，根据牛顿第二定律可得，可知小球受到轻杆拉力必大于 ，故D正确。 故选CD。 8.如图所示，一辆汽车正通过一段半径约为的圆弧形弯道公路，视汽车做匀速圆周运动，路面水平，晴天时路面对轮胎的径向最大静摩擦力为正压力的倍，取重力加速度，下列说法正确的是(    ) A. 汽车以的速率通过此圆弧形弯道时的向心加速度为 B. 汽车以的速率通过此圆弧形弯道时的角速度为 C. 晴天时汽车以的速率可以安全通过此圆弧形弯道 D. 雨天时汽车汽车若以速率通过此圆弧形弯道时将做离心运动 【答案】CD  【解答】C.以汽车为研究对象，当路面对轮胎的径向摩擦力指向内侧且达到径向最大静摩擦力时，此时汽车的速率为安全通过圆弧形弯道的最大速率，设汽车的质量为，在水平方向上根据牛顿第二定律得，在竖直方向上有，径向最大静摩擦力为正压力的倍，即， 以上三式联立解得，故C正确； 汽车通过此圆弧形弯道时做匀速圆周运动，轨道半径，运动速率，向心加速度为，角速度，故AB错误； D.若速率不变，汽车在同车道上行驶时所受的向心力大小不变，但由于雨天最大静摩擦力减小，所以容易出现离心现象，故D正确。 故选CD。 三、计算题。 9.如图所示，在足够大的转盘中心固定一个小物块，距离中心为处放置小物块，、质量均为，与转盘之间的动摩擦因数为，现在用原长为、劲度系数的轻质弹簧将两者拴接，重力加速度，假设弹簧始终处于弹性限度以内，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则： 缓慢增加转盘转动的角速度，求即将打滑时的角速度； 若转盘的角速度，可以放置在离中心距离不同的位置上，且始终不打滑，求满足条件的的转动半径的大小范围； 若小物块解除固定状态，和转盘间的动摩擦因数为，现将转盘角速度从开始缓慢增大，为了保证不打滑，求满足条件的转盘角速度的大小范围。 【答案】物块即将打滑时，有 代入数值解得 放置在离中心距离不同的位置上时弹簧拉力不同，由临界条件可得 由胡克定律可知 代入数值解得 ，  故满足条件的的转动半径的大小范围为 若小物块解除固定状态，则物块  刚好滑动时弹簧拉力为  ，则对  有 由胡克定律可知 可得 对  受力分析，为了保证不打滑，则有 可得 10.如图所示，一足够长光滑杆垂直圆盘固定在水平圆盘上，是过盘心的竖直轴。一原长为的轻质弹性绳遵循胡克定律一端固定在点，另一端与穿过杆的质量为的小球连接。初始时装置静止，小球在点，弹性绳与的夹角为、长为，重力加速度为。 求弹性绳的劲度系数及装置静止时球对杆的压力大小； 当圆盘绕 轴以角速度匀速转动时，球相对杆静止时对杆压力恰好为零，弹性绳与的夹角为未知。 比较与的大小关系要有过程； 求的值。 【答案】装置静止时，小球在点，受重力、弹性绳弹力和杆对球的作用力作用如图所示 依据平衡，有 依据牛顿第三定律，知球对杆的作用力大小 依据胡克定律有 弹性绳劲度系数； 当圆盘绕轴以角速度匀速转动时，球相对杆静止时，球对杆压力恰好为零，弹簧与的夹角为 设此状态下，弹性绳的弹力为，在竖直方向对小球，有 若，即小球相对杆静止在点上方，有，，不成立 若，即小球相对杆静止在点下方，有，，也不成立 圆盘绕轴以角速度匀速转动时，球相对杆仍静止在点，有 匀速转动球相对杆静止时，对杆压力为零有 可得。  11.一种自行车气嘴灯的感应装置结构如图所示，感应装置内壁光滑，质量为的重物套在光滑杆上，一端通过劲度系数为的弹簧连在点，重物上有触点，在端固定有触点，触点大小不计，端朝下竖直静置时、间的距离。当触点、接触后，灯就会发光。安装了气嘴灯的自行车如图竖直倒放在地面上，气嘴灯端固定在车轮内圈，端指向车轮圆心，旋转车轮研究发光情况。测得自行车车轮内半径为，重力加速度大小为，气嘴灯大小相对车轮内径可忽略不计。 若车轮匀速转动时，线速度大小，当气嘴灯运动到最低点时，求端对重物的支持力； 若灯能一直发光，求车轮匀速转动的最小线速度大小。 【答案】解：如图重物静止时，弹簧弹力， 在最低点时，合力提供向心力有， 解得端对重物的支持力，方向竖直向上； 若当气嘴灯运动到最高点时恰能发光，则此时的弹簧弹力为， 则此时的临界状态是弹簧弹力和其重力提供向心力， 解得，则当车轮线速度时，灯能一直发光。  12.如图所示，竖直平面内的圆弧形不光滑管道半径，端与圆心等高，为水平面，点为管道的最高点且在的正上方．一小球质量，在点正上方高处的点由静止释放，自由下落至点进入管道并通过点，过点时小球的速度为，小球最后落到面上的点处．不计空气阻力．求： 小球过点时的速度是多大？ 小球过点时对管壁的压力为多大，方向如何？ 落点到点的距离为多少？ 【答案】解：对小球，由自由落体运动可得： 解得：         小球过点时，设管壁对其压力为，方向竖直向下，根据牛顿第二定律，有： 解得： 由牛顿第三定律可知小球过点时对管壁的压力为，方向竖直向上； 从到，由平抛运动可得： 水平分运动： 竖直分运动： 其中： 联立解得： 。  12 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 目录 第19课时　水平、竖直、斜面上的圆周运动及其临界极值问题 1 考点一　水平面内的圆周运动及其临界极值问题 1 题型1：水平面上汽车转弯（相对滑动）问题 2 题型2：水平面上火车转弯问题 2 题型3：圆锥摆的临界（分离）合极值问题 3 题型4：水平转盘上的圆周运动及其临界极值问题 3 考点二　竖直面的圆周运动 5 题型1：竖直面内的圆周运动绳模型 6 题型2：竖直面内的圆周运动杆模型 7 考点三　斜面上的圆周运动 9 题型1：静摩擦力左右下斜面上的圆周运动 9 题型2：轻绳作用下斜面上的圆周运动 10 题型3：轻杆作用下斜面上的圆周运动 10 巩固训练·提升能力 11 第19课时　水平、竖直、斜面上的圆周运动及其临界极值问题 考点一　水平面内的圆周运动及其临界极值问题 必备知识·回顾梳理 问题特点：物体做圆周运动时，若物体的速度、角速度发生变化，会引起某些力(如拉力、支持力、摩擦力)发生变化，进而出现某些物理量或运动状态的突变，即出现临界状态。 (1)物体在水平面内做匀速圆周运动 (2)当转速变化时，会出现绳子张紧、绳子突然断裂、静摩擦力随转速逐渐增大而达到最大值、弹簧弹力的大小及方向发生变化等，从而出现临界问题 关键能力·规律方法 分析圆周运动临界问题的方法是让角速度或线速度从小逐渐增大，分析各量的变化，找出临界状态。确定了物体运动的临界状态和临界条件后，选择研究对象进行受力分析，利用牛顿第二定律列方程求解。 常见 情境 （1）水平转盘上的物体恰好不发生相对滑动的临界条件：物体与转盘之间的摩擦力恰好达到最大静摩擦力。 （2）绳的拉力出现临界条件：绳恰好拉直（此时绳上无弹力）或绳上拉力恰好为最大承受力等。 （3）物体间恰好分离的临界条件：物体间的弹力恰好为零 解题 思路 （1）若题目中有“刚好”“恰好”“正好”等关键词，表明题述的过程存在临界状态。 （2）若题目中有“最大”“最小”“至多”“至少”等关键词，表明题述的过程存在着极值，这个极值点也往往是临界状态。 （3）当确定了物体运动的临界状态或极值条件后，要分别针对不同的运动过程或现象，选择相对应的物理规律，然后再列方程求解 例题分析·考点题型 题型1：水平面上汽车转弯（相对滑动）问题 1.在用高级沥青铺设的高速公路上．对汽车的设计限速是。汽车在这种路面上行驶时，它的轮胎与地面的最大静摩擦力等于车重的倍。 如果汽车在这种高速路的水平弯道上拐弯，假设弯道的路面是水平的，其弯道的最小半径为多大？ 如果弯道的路面设计为倾斜外高内低，弯道半径为，要使汽车以的速度通过此弯道时不产生侧向摩擦力，则弯道路面的倾斜角度正切为多大？ 题后反思 水平面上汽车转弯类问题的临界条件是静摩擦力达到最大值 题型2：水平面上火车转弯问题 2. （多选）铁路转弯处，为了减小火车对铁轨的损伤，内、外轨设计时高度略有不同。某段转弯处半径为，火车速度为时，恰好轮缘对内、外轨道无压力，轨道平面与水平地面间夹角为，如图所示。现有一质量为的火车沿该弯道做速度为的匀速圆周运动，重力加速度为。则(    ) A. 该转弯处的设计速度为 B. 该转弯处的设计速度为 C. 若，火车有向外轨道方向运动的趋势 D. 若，火车有向外轨道方向运动的趋势 题型3：圆锥摆的临界（分离）合极值问题 3.如图所示，水平转台上点放有一个小物体，转台中心有一个立杆，长度为的细线一端系住小物体，小物体可看作质点，另一端系在立杆上的点，细线与立杆成角，转台不旋转时细线上没有拉力。小物体与转台之间的动摩擦因数为，重力加速度为，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。，，求： 细线上刚好产生拉力时，小物体随转台转动的角速度； 转台对小物体支持力刚好为零时，小物体转动的角速度； 当小物体转动的角速度为时烧断细线，小物体落在转台上的点，求、之间的距离。 题后反思 圆锥摆的临界和极值问题，常常与弹力有关 (1)绳子松弛的临界条件是：绳恰好拉直且没有弹力；绳子断开的临界条件是：绳上的拉力恰好达最大值。 (2)两物体接触或脱离的临界条件是：两物体间的弹力恰好为零。 (3)对于半圆形碗内的水平圆周运动，有两类临界情况：①摩擦力的方向发生改变；②恰好发生相对滑动。 题型4：水平转盘上的圆周运动及其临界极值问题 4. （单选）如图所示，一距地面高为、半径为的水平圆盘上放置质量分别为、的和两个物体，用长为的轻绳连接，物体在转轴位置上，当圆盘绕其竖直轴以角速度转动时，、两物体刚好相对圆盘静止。两物体均看作质点，两物体与圆盘之间的动摩擦因数均为，取。某时刻轻绳突然断裂，下列说法正确的是(    ) A. 轻绳断裂前，圆盘转动的角速度为 B. 轻绳断裂前，轻绳拉力的大小为 C. 物体落到水平面的位置到竖直轴的距离为 D. 物体落地时的速度大小为 题后反思 水平转盘上圆周运动的临界问题，主要涉及与摩擦力和弹力有关的临界极值问题。 (1)如果只有摩擦力提供向心力，物体间恰好不发生相对滑动的临界条件是物体间恰好达到最大静摩擦力，则最大静摩擦力Fm＝，方向指向圆心。 (2)如果水平方向除受摩擦力以外还有其他力，如绳两端连接物体在水平面上转动，其临界情况要根据题设条件进行判断，如判断某个力是否存在以及这个力存在时的方向(特别是一些接触力，如静摩擦力、绳的拉力等)。 (3)运动实例 变式训练·举一反三 5. （单选）如图所示，为了测量列车通过一圆弧形弯道在水平面内转弯的半径的大小，某人设计了如下方法：将一重物可视为质点用轻绳悬挂在列车车厢顶部，当列车以恒定速率通过该弯道时，发现轻绳与车厢侧壁保持平行。已知弯道路面与水平面间夹角为，空气阻力不计，重力加速度为。则列车在该弯道的转弯半径大小为(    ) A. B. C. D. 6. （单选）如图所示、在匀速转动的水平盘上，沿半径方向放着用细线相连的两个物体和，它们分居圆心两侧，与圆心距离分别为，，与盘间的动摩擦因数相同。当圆盘转速加快到两物体刚好还未发生滑动时，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，下列说法正确的是(    ) A. 此时绳子张力为 B. 此时圆盘的角速度为 C. 此时所受摩擦力方向沿半径指向圆外 D. 此时烧断绳子，仍相对盘静止，将做离心运动 7. （多选）如图所示，系在悬点的小球在水平面内做圆锥摆运动，当小球角速度为时，细绳与竖直方向夹角为，细绳对小球的拉力为；当小球角速度为时，细绳与竖直方向夹角为，细绳对小球的拉力为。则以下关系式正确的是(    ) A. B. C. D. 考点二　竖直面的圆周运动 必备知识·回顾梳理 在竖直平面内做圆周运动的物体，按运动到轨道最高点时的受力情况可分为两类：一是无支撑(如球与绳连接、物体沿内轨道运动等)，称为“绳(环)约束模型”；二是有支撑(如球与杆连接、物体在弯管内运动等)，称为“杆(管)约束模型”。 关键能力·规律方法 绳、杆模型涉及的临界问题 绳模型 杆模型 常见类型 均是没有支撑的小球 均是有支撑的小球 受力特征 除重力外，物体受到的弹力向下或等于零 除重力外，物体受到的弹力向下、等于零或向上 受力示意图 力学方程 mg＋FT＝m mg±FN＝m 过最高点的临界条件 由mg＝m得v临＝ 由小球恰能做完整的圆周运动得v临＝0 讨论分析 (1)过最高点时，v≥，FN＋mg＝m，绳、圆轨道对球产生弹力FN； (2)不能过最高点时，v<，在到达最高点前小球已经脱离了圆轨道 (1)当v＝0时，FN＝mg，FN为支持力，沿半径背离圆心； (2)当0<v<时，mg－FN＝m，FN背离圆心，随v的增大而减小； (3)当v＝时，FN＝0； (4)当v>时，FN＋mg＝m，FN指向圆心，并随v的增大而增大 例题分析·考点题型 题型1：竖直面内的圆周运动绳模型 8. （单选）如图所示是某同学制作的水流星，四根轻绳系在一轻质圆形木板的边缘四个等分点上，并将一个质量为的小水杯放在木板中心位置，然后在杯中倒入质量为的水，甩动绳子，使得木板和杯子在竖直平面绕点做圆周运动．若杯子和木板始终保持相对静止，木板中心到点距离为，圆形木板半径为，轻绳长为，重力加速度大小为，杯子大小相对于绳长和木板半径可忽略，若它们在最高处时的速度为，关于在最高处，下列说法正确的是 A. 杯中的水恰好不洒下来 B. 杯中的水具有向上的加速度 C. 木板对水杯的压力大小为 D. 每根轻绳的拉力大小为 题后反思 竖直面内圆周运动问题的解题思路 题型2：竖直面内的圆周运动杆模型 9. （单选）如图所示，半径为的鼓形轮可绕固定的光滑水平轴转动。在轮上沿相互垂直的直径方向固定四根直杆，杆上分别固定有质量为的、、、个小球，球心与的距离均为。现让鼓形轮匀速转动，若某时刻，两球所在直杆恰好位于水平方向，小球的速度大小为，不计空气阻力，重力加速度为，下列说法正确的是(    ) A. 鼓形轮的角速度为 B. 杆对小球的作用力一定竖直向上 C. 杆对小球的作用力为 D. 杆对小球的作用力一定大于 变式训练·举一反三 10. （单选）如图所示，长为且不可伸长的轻绳一端固定在点，另一端系一小球，使小球在竖直面内做圆周运动。由于阻力的影响，小球每次通过最高点时速度大小不同。测量小球经过最高点时速度的大小、绳子拉力的大小，作出与的关系图线如图所示。下列说法中正确的是(    ) A. 根据图线可以得出小球的质量 B. 根据图线可以得出重力加速度 C. 绳长不变，用质量更小的球做实验，得到的图线斜率更大 D. 用更长的绳做实验，得到的图线与横轴交点的位置不变 11. （单选）如图所示，长的轻杆的一端固定在水平转轴上，另一端固定一质量的小球，小球随轻杆绕转轴在竖直平面内做线速度的匀速圆周运动，重力加速度取，不计空气阻力。小球运动到水平位置时，轻杆对小球的作用力大小为(    ) A. B. C. D. 12. （单选）如图所示，长为的轻杆一端固定一个小球，现让小球在竖直平面内绕轻杆的另一端做圆周运动，小球到达最高点时，受到杆的弹力为，速度大小为，其图像如图所示。则下列说法正确的是(    ) A. 当地的重力加速度大小为 B. 时，小球对杆的弹力方向竖直向上 C. 时，小球受到的弹力大小等于 D. 小球的质量为 考点三　斜面上的圆周运动 必备知识·回顾梳理 在斜面上做圆周运动的物体，因所受的控制因素不同，如静摩擦力控制(图甲)、轻绳控制(图乙)、轻杆控制(图丙)，物体的受力情况和临界条件也不相同。 由于重力沿斜面的分力，在斜面内做圆周运动的物体的速率不断变化，运动情况与竖直面内的圆周运动类似，所以通常分析物体在最高点和最低点的受力情况求临界状态。物体在斜面上运动时，若受摩擦力，还要参照水平面内圆周运动的临界问题分析摩擦力的突变问题，如静摩擦力的方向变化、静摩擦力变为滑动摩擦力。 关键能力·规律方法 解题关键——重力的分解和视图 物体在斜面上做圆周运动时，设斜面的倾角为θ，重力垂直斜面的分力与物体受到的支持力相等，解决此类问题时，可以按以下操作，把问题简化。 例题分析·考点题型 题型1：静摩擦力左右下斜面上的圆周运动 13. （单选）有一娱乐项目，人坐在半径为的倾斜圆盘边缘随着圆盘绕圆心处的转轴匀速转动转轴垂直于盘面，圆盘的倾角为，如图所示，图中人用方块代替。当人与圆盘间的动摩擦因数时，人恰好不从圆盘滑出去。人的质量为，为圆盘的最低点，为圆盘的最高点，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，以下正确的是(    ) A. 位置处受到的摩擦力方向沿斜面向上 B. 点与点人所受到的摩擦力大小之差为 C. 人在转动时的速度大小为 D. 人从到摩擦力做功为 题型2：轻绳作用下斜面上的圆周运动 14. （单选）如图，在倾角为的光滑斜面上，有一根长为的细绳，一端固定在点，另一端系一可视为质点的物体．当物体刚好在斜面上做完整的圆周运动，则物体在最高点的速度大小是取， A. B. C. D. 题型3：轻杆作用下斜面上的圆周运动 15. （多选）如图所示，内壁光滑的圆形细管固定在倾角为的斜面上，其半径为，、分别为细管的最高点和最低点，、为细管上与圆心处于同一水平高度的两点，细管内有一直径稍小于细管内径的质量为的小球，小球可视为质点。开始时小球静止在点，某时刻对小球施加轻微扰动，使小球自向沿着细管开始滑动。以过直线的水平面为重力势能的参考平面，重力加速度为，下列说法正确的是(    ) A. 小球不能返回到点 B. 小球自点到点的过程中，重力的瞬时功率一直增大 C. 小球在点时的机械能为 D. 小球到达点时，细管对小球的作用力大小为 变式训练·举一反三 16. （单选）在一个倾角为的山岩斜面上，质量为、可视为质点的探险爱好者用长为、不可伸长的轻绳一端固定在斜面上的点，另一端系住自己。现探险爱好者将轻绳拉直，使轻绳水平且与斜面平行，然后爱好者沿半径为的圆周做初速度为零、切线方向加速度大小为的加速运动，如图所示。重力加速度大小为，不计空气阻力，爱好者运动到最低点时轻绳的拉力为(    ) A. B. C. D. 17. （单选）如图所示，在与水平地面夹角为的光滑斜面，上有一半径为的光滑圆轨道，一质量为的小球在圆轨道内沿轨道做圆周运动，，下列说法中正确的是(    ) A. 小球能通过圆轨道最高点的最小速度为 B. 小球能通过圆轨道最高点的最小速度为 C. 小球以的速度通过圆轨道最低点时对轨道的压力为 D. 在最低点给小球一水平初速度在小球向上运动的过程中小球的运动属于超重 巩固训练·提升能力 一、单选题。 1.为美观和经济，许多桥面建成拱形。汽车通过桥顶时，对桥面的压力会减小，过快的汽车将失去控制、无法转向，造成安全隐患，故拱形桥上都会有限速标志。设汽车对桥面的压力是其重力的倍时，其速度就是限速标志对应的速度，桥顶圆弧对应的半径为，则该限速标志所示速度约为取(    ) A. B. C. D. 2.如图所示，一质量为的汽车在水平公路上行驶，路面对轮胎的径向最大静摩擦力为，当汽车经过半径为的弯道时，下列判断正确的是  (    ) A. 汽车转弯时所受的力有重力、弹力、摩擦力和向心力 B. 汽车转弯的速度为时所需的向心力为 C. 汽车转弯的速度为时汽车会发生侧滑 D. 汽车能安全转弯的向心加速度不超过 3.铁路在弯道处的内、外轨高度是不同的，已知内、外轨所在平面与水平面的夹角为，如图所示，弯道处的圆弧半径为，若质量为的火车转弯时速度等于，则  (    ) A. 内轨对内侧车轮轮缘有挤压 B. 外轨对外侧车轮轮缘有挤压 C. 这时铁轨对火车的支持力等于 D. 这时铁轨对火车的支持力大于 4.如图所示，三段细线长，、、三球质量相等，当它们绕点在光滑的水平桌面上以相同的角速度做匀速圆周运动时，则三段线的拉力：：为(    ) A. ：： B. ：： C. ：： D. ：： 5.如图所示，漏斗状容器绕竖直对称轴匀速转动，倾斜侧壁的倾角为。物块放在容器的倾斜侧壁上，在容器转动的角速度缓慢增大的过程中，物块始终能相对于容器静止。则在这一过程中，下列说法正确的是 A. 倾斜侧壁对物块的支持力大小一定保持不变 B. 倾斜侧壁对物块的支持力大小可能先增大后减小 C. 倾斜侧壁对物块的摩擦力大小一定一直减小 D. 倾斜侧壁对物块的摩擦力大小可能先减小后增大 6.如图所示，为一辆越野车在比赛时经过一段起伏路段，、分别为该路段的最高点和最低点，已知在最高点附近汽车所走过的那一小段圆弧可认为是圆周运动的一部分，其对应半径为，在最低点附近对应圆周运动的半径为，假设汽车整个运动可近似认为速率不变，汽车经过最高点时对轨道的压力为汽车自重的倍，那么汽车经过最低点时对轨道的压力为自重的(    ) A. 倍 B. 倍 C. 倍 D. 倍 二、多选题。 7.轻杆一端连着质量为的小球，另一端固定，使小球在竖直面内做半径为的圆周运动，如图所示，重力加速度为，下列说法正确的是(    ) A. 小球通过最高点时，轻杆中弹力不可以为 B. 小球恰好通过最高点时的速度是 C. 若小球通过最高点时速度，则小球此时受到轻杆的作用力为拉力 D. 小球通过最低点时，受到轻杆拉力必大于 8.如图所示，一辆汽车正通过一段半径约为的圆弧形弯道公路，视汽车做匀速圆周运动，路面水平，晴天时路面对轮胎的径向最大静摩擦力为正压力的倍，取重力加速度，下列说法正确的是(    ) A. 汽车以的速率通过此圆弧形弯道时的向心加速度为 B. 汽车以的速率通过此圆弧形弯道时的角速度为 C. 晴天时汽车以的速率可以安全通过此圆弧形弯道 D. 雨天时汽车汽车若以速率通过此圆弧形弯道时将做离心运动 三、计算题。 9.如图所示，在足够大的转盘中心固定一个小物块，距离中心为处放置小物块，、质量均为，与转盘之间的动摩擦因数为，现在用原长为、劲度系数的轻质弹簧将两者拴接，重力加速度，假设弹簧始终处于弹性限度以内，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则： 缓慢增加转盘转动的角速度，求即将打滑时的角速度； 若转盘的角速度，可以放置在离中心距离不同的位置上，且始终不打滑，求满足条件的的转动半径的大小范围； 若小物块解除固定状态，和转盘间的动摩擦因数为，现将转盘角速度从开始缓慢增大，为了保证不打滑，求满足条件的转盘角速度的大小范围。 10.如图所示，一足够长光滑杆垂直圆盘固定在水平圆盘上，是过盘心的竖直轴。一原长为的轻质弹性绳遵循胡克定律一端固定在点，另一端与穿过杆的质量为的小球连接。初始时装置静止，小球在点，弹性绳与的夹角为、长为，重力加速度为。 求弹性绳的劲度系数及装置静止时球对杆的压力大小； 当圆盘绕 轴以角速度匀速转动时，球相对杆静止时对杆压力恰好为零，弹性绳与的夹角为未知。 比较与的大小关系要有过程； 求的值。 11.一种自行车气嘴灯的感应装置结构如图所示，感应装置内壁光滑，质量为的重物套在光滑杆上，一端通过劲度系数为的弹簧连在点，重物上有触点，在端固定有触点，触点大小不计，端朝下竖直静置时、间的距离。当触点、接触后，灯就会发光。安装了气嘴灯的自行车如图竖直倒放在地面上，气嘴灯端固定在车轮内圈，端指向车轮圆心，旋转车轮研究发光情况。测得自行车车轮内半径为，重力加速度大小为，气嘴灯大小相对车轮内径可忽略不计。 若车轮匀速转动时，线速度大小，当气嘴灯运动到最低点时，求端对重物的支持力； 若灯能一直发光，求车轮匀速转动的最小线速度大小。 12.如图所示，竖直平面内的圆弧形不光滑管道半径，端与圆心等高，为水平面，点为管道的最高点且在的正上方．一小球质量，在点正上方高处的点由静止释放，自由下落至点进入管道并通过点，过点时小球的速度为，小球最后落到面上的点处．不计空气阻力．求： 小球过点时的速度是多大？ 小球过点时对管壁的压力为多大，方向如何？ 落点到点的距离为多少？ 12 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 目录 第19课时　水平、竖直、斜面上的圆周运动及其临界极值问题 1 考点一　水平面内的圆周运动及其临界极值问题 1 题型1：水平面上汽车转弯（相对滑动）问题 1 题型2：水平面上火车转弯问题 1 题型3：圆锥摆的临界（分离）合极值问题 2 题型4：水平转盘上的圆周运动及其临界极值问题 2 考点二　竖直面的圆周运动 4 题型1：竖直面内的圆周运动绳模型 4 题型2：竖直面内的圆周运动杆模型 4 考点三　斜面上的圆周运动 6 题型1：静摩擦力左右下斜面上的圆周运动 6 题型2：轻绳作用下斜面上的圆周运动 7 题型3：轻杆作用下斜面上的圆周运动 7 巩固训练·提升能力 8 第19课时　水平、竖直、斜面上的圆周运动及其临界极值问题 考点一　水平面内的圆周运动及其临界极值问题 例题分析·考点题型 题型1：水平面上汽车转弯（相对滑动）问题 1.在用高级沥青铺设的高速公路上．对汽车的设计限速是。汽车在这种路面上行驶时，它的轮胎与地面的最大静摩擦力等于车重的倍。 如果汽车在这种高速路的水平弯道上拐弯，假设弯道的路面是水平的，其弯道的最小半径为多大？ 如果弯道的路面设计为倾斜外高内低，弯道半径为，要使汽车以的速度通过此弯道时不产生侧向摩擦力，则弯道路面的倾斜角度正切为多大？ 题型2：水平面上火车转弯问题 2. （多选）铁路转弯处，为了减小火车对铁轨的损伤，内、外轨设计时高度略有不同。某段转弯处半径为，火车速度为时，恰好轮缘对内、外轨道无压力，轨道平面与水平地面间夹角为，如图所示。现有一质量为的火车沿该弯道做速度为的匀速圆周运动，重力加速度为。则(    ) A. 该转弯处的设计速度为 B. 该转弯处的设计速度为 C. 若，火车有向外轨道方向运动的趋势 D. 若，火车有向外轨道方向运动的趋势 题型3：圆锥摆的临界（分离）合极值问题 3.如图所示，水平转台上点放有一个小物体，转台中心有一个立杆，长度为的细线一端系住小物体，小物体可看作质点，另一端系在立杆上的点，细线与立杆成角，转台不旋转时细线上没有拉力。小物体与转台之间的动摩擦因数为，重力加速度为，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。，，求： 细线上刚好产生拉力时，小物体随转台转动的角速度； 转台对小物体支持力刚好为零时，小物体转动的角速度； 当小物体转动的角速度为时烧断细线，小物体落在转台上的点，求、之间的距离。 题型4：水平转盘上的圆周运动及其临界极值问题 4. （单选）如图所示，一距地面高为、半径为的水平圆盘上放置质量分别为、的和两个物体，用长为的轻绳连接，物体在转轴位置上，当圆盘绕其竖直轴以角速度转动时，、两物体刚好相对圆盘静止。两物体均看作质点，两物体与圆盘之间的动摩擦因数均为，取。某时刻轻绳突然断裂，下列说法正确的是(    ) A. 轻绳断裂前，圆盘转动的角速度为 B. 轻绳断裂前，轻绳拉力的大小为 C. 物体落到水平面的位置到竖直轴的距离为 D. 物体落地时的速度大小为 变式训练·举一反三 5. （单选）如图所示，为了测量列车通过一圆弧形弯道在水平面内转弯的半径的大小，某人设计了如下方法：将一重物可视为质点用轻绳悬挂在列车车厢顶部，当列车以恒定速率通过该弯道时，发现轻绳与车厢侧壁保持平行。已知弯道路面与水平面间夹角为，空气阻力不计，重力加速度为。则列车在该弯道的转弯半径大小为(    ) A. B. C. D. 6. （单选）如图所示、在匀速转动的水平盘上，沿半径方向放着用细线相连的两个物体和，它们分居圆心两侧，与圆心距离分别为，，与盘间的动摩擦因数相同。当圆盘转速加快到两物体刚好还未发生滑动时，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，下列说法正确的是(    ) A. 此时绳子张力为 B. 此时圆盘的角速度为 C. 此时所受摩擦力方向沿半径指向圆外 D. 此时烧断绳子，仍相对盘静止，将做离心运动 7. （多选）如图所示，系在悬点的小球在水平面内做圆锥摆运动，当小球角速度为时，细绳与竖直方向夹角为，细绳对小球的拉力为；当小球角速度为时，细绳与竖直方向夹角为，细绳对小球的拉力为。则以下关系式正确的是(    ) A. B. C. D. 考点二　竖直面的圆周运动 例题分析·考点题型 题型1：竖直面内的圆周运动绳模型 8. （单选）如图所示是某同学制作的水流星，四根轻绳系在一轻质圆形木板的边缘四个等分点上，并将一个质量为的小水杯放在木板中心位置，然后在杯中倒入质量为的水，甩动绳子，使得木板和杯子在竖直平面绕点做圆周运动．若杯子和木板始终保持相对静止，木板中心到点距离为，圆形木板半径为，轻绳长为，重力加速度大小为，杯子大小相对于绳长和木板半径可忽略，若它们在最高处时的速度为，关于在最高处，下列说法正确的是 A. 杯中的水恰好不洒下来 B. 杯中的水具有向上的加速度 C. 木板对水杯的压力大小为 D. 每根轻绳的拉力大小为 题型2：竖直面内的圆周运动杆模型 9. （单选）如图所示，半径为的鼓形轮可绕固定的光滑水平轴转动。在轮上沿相互垂直的直径方向固定四根直杆，杆上分别固定有质量为的、、、个小球，球心与的距离均为。现让鼓形轮匀速转动，若某时刻，两球所在直杆恰好位于水平方向，小球的速度大小为，不计空气阻力，重力加速度为，下列说法正确的是(    ) A. 鼓形轮的角速度为 B. 杆对小球的作用力一定竖直向上 C. 杆对小球的作用力为 D. 杆对小球的作用力一定大于 变式训练·举一反三 10. （单选）如图所示，长为且不可伸长的轻绳一端固定在点，另一端系一小球，使小球在竖直面内做圆周运动。由于阻力的影响，小球每次通过最高点时速度大小不同。测量小球经过最高点时速度的大小、绳子拉力的大小，作出与的关系图线如图所示。下列说法中正确的是(    ) A. 根据图线可以得出小球的质量 B. 根据图线可以得出重力加速度 C. 绳长不变，用质量更小的球做实验，得到的图线斜率更大 D. 用更长的绳做实验，得到的图线与横轴交点的位置不变 11. （单选）如图所示，长的轻杆的一端固定在水平转轴上，另一端固定一质量的小球，小球随轻杆绕转轴在竖直平面内做线速度的匀速圆周运动，重力加速度取，不计空气阻力。小球运动到水平位置时，轻杆对小球的作用力大小为(    ) A. B. C. D. 12. （单选）如图所示，长为的轻杆一端固定一个小球，现让小球在竖直平面内绕轻杆的另一端做圆周运动，小球到达最高点时，受到杆的弹力为，速度大小为，其图像如图所示。则下列说法正确的是(    ) A. 当地的重力加速度大小为 B. 时，小球对杆的弹力方向竖直向上 C. 时，小球受到的弹力大小等于 D. 小球的质量为 考点三　斜面上的圆周运动 例题分析·考点题型 题型1：静摩擦力左右下斜面上的圆周运动 13. （单选）有一娱乐项目，人坐在半径为的倾斜圆盘边缘随着圆盘绕圆心处的转轴匀速转动转轴垂直于盘面，圆盘的倾角为，如图所示，图中人用方块代替。当人与圆盘间的动摩擦因数时，人恰好不从圆盘滑出去。人的质量为，为圆盘的最低点，为圆盘的最高点，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，以下正确的是(    ) A. 位置处受到的摩擦力方向沿斜面向上 B. 点与点人所受到的摩擦力大小之差为 C. 人在转动时的速度大小为 D. 人从到摩擦力做功为 题型2：轻绳作用下斜面上的圆周运动 14. （单选）如图，在倾角为的光滑斜面上，有一根长为的细绳，一端固定在点，另一端系一可视为质点的物体．当物体刚好在斜面上做完整的圆周运动，则物体在最高点的速度大小是取， A. B. C. D. 题型3：轻杆作用下斜面上的圆周运动 15. （多选）如图所示，内壁光滑的圆形细管固定在倾角为的斜面上，其半径为，、分别为细管的最高点和最低点，、为细管上与圆心处于同一水平高度的两点，细管内有一直径稍小于细管内径的质量为的小球，小球可视为质点。开始时小球静止在点，某时刻对小球施加轻微扰动，使小球自向沿着细管开始滑动。以过直线的水平面为重力势能的参考平面，重力加速度为，下列说法正确的是(    ) A. 小球不能返回到点 B. 小球自点到点的过程中，重力的瞬时功率一直增大 C. 小球在点时的机械能为 D. 小球到达点时，细管对小球的作用力大小为 变式训练·举一反三 16. （单选）在一个倾角为的山岩斜面上，质量为、可视为质点的探险爱好者用长为、不可伸长的轻绳一端固定在斜面上的点，另一端系住自己。现探险爱好者将轻绳拉直，使轻绳水平且与斜面平行，然后爱好者沿半径为的圆周做初速度为零、切线方向加速度大小为的加速运动，如图所示。重力加速度大小为，不计空气阻力，爱好者运动到最低点时轻绳的拉力为(    ) A. B. C. D. 17. （单选）如图所示，在与水平地面夹角为的光滑斜面，上有一半径为的光滑圆轨道，一质量为的小球在圆轨道内沿轨道做圆周运动，，下列说法中正确的是(    ) A. 小球能通过圆轨道最高点的最小速度为 B. 小球能通过圆轨道最高点的最小速度为 C. 小球以的速度通过圆轨道最低点时对轨道的压力为 D. 在最低点给小球一水平初速度在小球向上运动的过程中小球的运动属于超重 巩固训练·提升能力 一、单选题。 1.为美观和经济，许多桥面建成拱形。汽车通过桥顶时，对桥面的压力会减小，过快的汽车将失去控制、无法转向，造成安全隐患，故拱形桥上都会有限速标志。设汽车对桥面的压力是其重力的倍时，其速度就是限速标志对应的速度，桥顶圆弧对应的半径为，则该限速标志所示速度约为取(    ) A. B. C. D. 2.如图所示，一质量为的汽车在水平公路上行驶，路面对轮胎的径向最大静摩擦力为，当汽车经过半径为的弯道时，下列判断正确的是  (    ) A. 汽车转弯时所受的力有重力、弹力、摩擦力和向心力 B. 汽车转弯的速度为时所需的向心力为 C. 汽车转弯的速度为时汽车会发生侧滑 D. 汽车能安全转弯的向心加速度不超过 3.铁路在弯道处的内、外轨高度是不同的，已知内、外轨所在平面与水平面的夹角为，如图所示，弯道处的圆弧半径为，若质量为的火车转弯时速度等于，则  (    ) A. 内轨对内侧车轮轮缘有挤压 B. 外轨对外侧车轮轮缘有挤压 C. 这时铁轨对火车的支持力等于 D. 这时铁轨对火车的支持力大于 4.如图所示，三段细线长，、、三球质量相等，当它们绕点在光滑的水平桌面上以相同的角速度做匀速圆周运动时，则三段线的拉力：：为(    ) A. ：： B. ：： C. ：： D. ：： 5.如图所示，漏斗状容器绕竖直对称轴匀速转动，倾斜侧壁的倾角为。物块放在容器的倾斜侧壁上，在容器转动的角速度缓慢增大的过程中，物块始终能相对于容器静止。则在这一过程中，下列说法正确的是 A. 倾斜侧壁对物块的支持力大小一定保持不变 B. 倾斜侧壁对物块的支持力大小可能先增大后减小 C. 倾斜侧壁对物块的摩擦力大小一定一直减小 D. 倾斜侧壁对物块的摩擦力大小可能先减小后增大 6.如图所示，为一辆越野车在比赛时经过一段起伏路段，、分别为该路段的最高点和最低点，已知在最高点附近汽车所走过的那一小段圆弧可认为是圆周运动的一部分，其对应半径为，在最低点附近对应圆周运动的半径为，假设汽车整个运动可近似认为速率不变，汽车经过最高点时对轨道的压力为汽车自重的倍，那么汽车经过最低点时对轨道的压力为自重的(    ) A. 倍 B. 倍 C. 倍 D. 倍 二、多选题。 7.轻杆一端连着质量为的小球，另一端固定，使小球在竖直面内做半径为的圆周运动，如图所示，重力加速度为，下列说法正确的是(    ) A. 小球通过最高点时，轻杆中弹力不可以为 B. 小球恰好通过最高点时的速度是 C. 若小球通过最高点时速度，则小球此时受到轻杆的作用力为拉力 D. 小球通过最低点时，受到轻杆拉力必大于 8.如图所示，一辆汽车正通过一段半径约为的圆弧形弯道公路，视汽车做匀速圆周运动，路面水平，晴天时路面对轮胎的径向最大静摩擦力为正压力的倍，取重力加速度，下列说法正确的是(    ) A. 汽车以的速率通过此圆弧形弯道时的向心加速度为 B. 汽车以的速率通过此圆弧形弯道时的角速度为 C. 晴天时汽车以的速率可以安全通过此圆弧形弯道 D. 雨天时汽车汽车若以速率通过此圆弧形弯道时将做离心运动 三、计算题。 9.如图所示，在足够大的转盘中心固定一个小物块，距离中心为处放置小物块，、质量均为，与转盘之间的动摩擦因数为，现在用原长为、劲度系数的轻质弹簧将两者拴接，重力加速度，假设弹簧始终处于弹性限度以内，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则： 缓慢增加转盘转动的角速度，求即将打滑时的角速度； 若转盘的角速度，可以放置在离中心距离不同的位置上，且始终不打滑，求满足条件的的转动半径的大小范围； 若小物块解除固定状态，和转盘间的动摩擦因数为，现将转盘角速度从开始缓慢增大，为了保证不打滑，求满足条件的转盘角速度的大小范围。 10.如图所示，一足够长光滑杆垂直圆盘固定在水平圆盘上，是过盘心的竖直轴。一原长为的轻质弹性绳遵循胡克定律一端固定在点，另一端与穿过杆的质量为的小球连接。初始时装置静止，小球在点，弹性绳与的夹角为、长为，重力加速度为。 求弹性绳的劲度系数及装置静止时球对杆的压力大小； 当圆盘绕 轴以角速度匀速转动时，球相对杆静止时对杆压力恰好为零，弹性绳与的夹角为未知。 比较与的大小关系要有过程； 求的值。 11.一种自行车气嘴灯的感应装置结构如图所示，感应装置内壁光滑，质量为的重物套在光滑杆上，一端通过劲度系数为的弹簧连在点，重物上有触点，在端固定有触点，触点大小不计，端朝下竖直静置时、间的距离。当触点、接触后，灯就会发光。安装了气嘴灯的自行车如图竖直倒放在地面上，气嘴灯端固定在车轮内圈，端指向车轮圆心，旋转车轮研究发光情况。测得自行车车轮内半径为，重力加速度大小为，气嘴灯大小相对车轮内径可忽略不计。 若车轮匀速转动时，线速度大小，当气嘴灯运动到最低点时，求端对重物的支持力； 若灯能一直发光，求车轮匀速转动的最小线速度大小。 12.如图所示，竖直平面内的圆弧形不光滑管道半径，端与圆心等高，为水平面，点为管道的最高点且在的正上方．一小球质量，在点正上方高处的点由静止释放，自由下落至点进入管道并通过点，过点时小球的速度为，小球最后落到面上的点处．不计空气阻力．求： 小球过点时的速度是多大？ 小球过点时对管壁的压力为多大，方向如何？ 落点到点的距离为多少？ 12 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$