动力学中的等时圆、板块模型与传送带模型 讲义 - 2026届高三物理一轮大单元考点题型复习对点练

目录 第14课时　动力学中的等时圆、板块模型与传送带模型 1 考点一　等时圆 1 题型1：共最高点 2 题型2：共最低点 2 题型3：综合应用 3 考点二　传送带模型 4 题型1：水平传送 6 题型2：倾斜向上传送 6 题型3：倾斜向下传送 7 考点三　滑块木板模型 9 题型1：水平面上的滑块木板模型 11 题型2：斜面上的滑块木板模型 12 巩固训练·提升能力 13 第14课时　动力学中的等时圆、板块模型与传送带模型 考点一　等时圆 必备知识·回顾梳理 1．模型分析 如图甲、乙所示，质点沿竖直面内圆环上的任意一条光滑弦从上端由静止滑到底端，可知加速度a＝gsinθ，位移x＝2Rsinθ，由匀变速直线运动规律有x＝at2，得下滑时间t＝2，即沿竖直直径自由下落的时间。图丙是甲、乙两图的组合，有相同的结论。 2．结论 模型1：质点从竖直面内的圆环上沿不同的光滑弦从上端由静止开始滑到环的最低点所用时间相等，如图甲所示； 模型2：质点从竖直面内的圆环上最高点沿不同的光滑弦由静止开始滑到下端所用时间相等，如图乙所示； 模型3：两个竖直面内的圆环相切且两环的竖直直径均过切点，质点沿不同的光滑弦从上端由静止开始经切点滑到下端所用时间相等，如图丙所示。 关键能力·规律方法 思维模板 例题分析·考点题型 题型1：共最高点 1. （单选）倾角为的斜面固定在水平地面上，在与斜面共面的平面上方点伸出三根光滑轻质细杆至斜面上、、三点，其中与斜面垂直，且，现有三个质量均为的小圆环看作质点分别套在三根细杆上，依次从点由静止滑下，滑到斜面上、、三点所有时间分别为、、，下列说法正确的是(    ) A. B. C. D. 题型2：共最低点 2. （单选）如图所示，位于竖直平面内的固定光滑圆环轨道与水平面相切于点，与竖直墙相切于点。竖直墙上另一点与的连线和水平面的夹角为，是圆环轨道的圆心。已知在同一时刻、两球分别由、两点从静止开始沿光滑倾斜直轨道、运动到点；球由点自由下落到点。则(    ) A. 球最先到达点 B. 球最先到达点 C. 球最先到达点 D. 球和球都可能最先到达点 题型3：综合应用 3. （单选）如图所示，有一半圆，其直径水平且与另一圆的底部相切于点，点恰好是下半圆的圆心，它们处在同一竖直平面内。现有三条光滑轨道、、，它们的两端分别位于上下两圆的圆周上，轨道与竖直直径的夹角关系为。现让一小物块先后从三条轨道顶端由静止下滑至底端，则小物块在每一条倾斜轨道上滑动时所经历的时间关系为(    ) A. B. C. D. 变式训练·举一反三 4. （单选）如图所示，在竖直平面内建立直角坐标系，该平面内有、、三条光滑固定轨道，其中、两点处于同一个圆上，是圆上任意一点，、分别为此圆与、轴的切点。点在轴上且，为圆心。现将、、三个小球分别从、、点同时由静止释放，它们将沿轨道运动到点，如所用时间分别为，则大小关系是(    ) A. B. C. D. 由于点的位置不确定，无法比较时间大小关系 5. （多选）如图所示，、和是竖直平面内三根固定的光滑细杆，、、、、位于同一圆周上，为圆周的最高点，为最低点，为圆心。每根杆上都套着一个小滑环未画出，两个滑环从点无初速度释放，一个滑环从点无初速度释放，用、、分别表示滑环沿、、到达或所用的时间。下列关系正确的是(    ) A.   B. C. D. 考点二　传送带模型 必备知识·回顾梳理 传送带模型的特征是以摩擦力为纽带关联传送带和物块的运动。这类问题涉及滑动摩擦力和静摩擦力的转换、对地位移和二者间相对位移的区别，需要综合牛顿运动定律、运动学公式、功和能等知识求解。 两个关键分析 受力分析 (1)摩擦力方向的判断：①同向“以快带慢”；②反向“互相阻碍”。 (2)共速时摩擦力的可能突变：①滑动摩擦力突变为零；②滑动摩擦力突变为静摩擦力；③摩擦力方向突变。 运动分析 (1)参考系的选择：①研究物体的速度、位移、加速度时均以地面为参考系；②研究物体的滑行痕迹等一般以传送带为参考系。 (2)判断共速以后物体是否能与传送带保持相对静止。 (3)判断物体在达到共速之前是否滑出传送带。 关键能力·规律方法 水平传送带 情景 滑块的运动情况 传送带不够长 传送带足够长 一直匀加速 先匀加速后匀速 v0＜v时，一直匀加速 v0＜v时，先匀加速再匀速 v0＞v时，一直匀减速 v0＞v时，先匀减速再匀速 滑块一直匀减速 滑块先匀减速到速度为0，后被传送带传回左端：①若v0＜v，返回到左端时速度为v0；②若v0＞v，返回到左端时速度为v。 倾斜传送带 情景 滑块的运动情况 传送带不够长 传送带足够长 一直加速(一定满足关系μ＞tan θ) 先加速后匀速 一直加速(加速度为gsin θ＋μgcos θ) 若μ≥tan θ，先加速后匀速 若μ＜tan θ，先以a1＝gsin θ＋μgcos θ加速，后以a2＝gsin θ－μgcos θ加速 v0＜v时，一直加速(加速度为gsin θ＋μgcos θ) v0＜v时：若μ≥tan θ，先加速后匀速；若μ＜tan θ，先以a1＝gsin θ＋μgcos θ加速，后以a2＝gsin θ－μgcos θ加速 v0＞v时，一直匀变速(加速度为|gsin θ－μgcos θ|) v0＞v时：若μ＞tan θ，先减速后匀速；若μ＜tan θ，以a2＝gsin θ－μgcos θ加速 (摩擦力方向一定沿斜面向上) μ＜tan θ，一直加速； μ＝tan θ，一直匀速 μ＞tan θ，一直减速 μ＞tan θ，先减速到速度为0后反向加速到v，若v0＜v，则回到原位置时速度大小为v0(类竖直上抛运动) 例题分析·考点题型 题型1：水平传送 6. （单选）如图所示，水平匀速转动的传送带左右两端相距，物块可看成质点以水平速度滑上传送带左端，物块与传送带间的动摩擦因数，设到达传送带右端时的瞬时速度为，取，下列说法不正确的是(    ) A. 若传送带速度等于，物块不可能先减速运动后匀速运动 B. 若传送带速度等于，可能等于 C. 若到达传送带右端时的瞬时速度等于，传送带可能沿逆时针方向转动 D. 若到达传送带右端时的瞬时速度等于，则传送带的速度不大于 7. （多选）如图所示，绷紧的水平传送带足够长，且始终以的恒定速率顺时针运行。初速度大小为的小墨块从与传送带等高的光滑水平地面上的处滑上传送带。若从小墨块滑上传送带开始计时，小墨块在传送带上运动后与传送带的速度相同，则(    ) A. 小墨块未与传送带速度相同时，受到的摩擦力方向水平向右 B. 小墨块的加速度大小为 C. 小墨块在传送带上的痕迹长度为 D. 小墨块在传送带上的痕迹长度为 题后反思 求解传送带模型问题,首先要根据物体和传送带之间的相对运动情况,确定摩擦力的大小和方向。当物体的速度与传送带的速度相等时,物体所受的摩擦力有可能发生突变,速度相等前后对摩擦力的分析是解题的关键。 题型2：倾斜向上传送 8. （多选）如图甲所示，倾角为的传送带以恒定速率顺时针转动。时一易掉色的物块以初速度从底部冲上传送带，其图像如图乙所示，末恰好到达传送带顶端，已知，，则下列说法正确的是(    ) A. 传送带的速率为 B. 传送带底端到顶端的距离为 C. 物块与传送带间的动摩擦因数为 D. 物块在传送带上留下的痕迹的长度为 9. （多选）如图甲所示，足够长、倾角的传送带，以的速度顺时针匀速转动，一物块以的初速度从传送带顶端沿传送带滑下，物块在传送带上运动过程中的图像如图乙所示取物块沿传送带向下运动为正方向，重力加速度。下列说法正确的是(    ) A. 时，物块相对传送带的速度大小为 B. 物块在整个运动过程中所受摩擦力方向始终沿传送带向上 C. 物块与传送带之间的动摩擦因数为 D. 物块在传送带上留下的划痕长度为 题型3：倾斜向下传送 10. （单选）如图甲所示，倾角为的传送带以恒定的速率沿逆时针方向运行。时，将质量的物体可视为质点轻放在传送带上端，物体相对地面的图像如图乙所示，时滑离传送带。设沿传送带向下为正方向重力加速度取，。则(    ) A. 传送带的倾角 B. 物体与传送带之间的动摩擦因数 C. 传送带上下两端的间距为 D. 物体在传送带上留下的痕迹长度为 11. （单选）机场地勤工作人员利用传送带从飞机上卸行李。如图所示，以恒定速率运行的传送带与水平面间的夹角，转轴间距。工作人员沿传送方向以速度从传送带顶端推下一件小包裹可视为质点。小包裹与传送带间的动摩擦因数。取重力加速度，，。求： 小包裹相对传送带滑动时加速度的大小； 小包裹通过传送带所需的时间。 变式训练·举一反三 12.如图甲所示为机场、火车站等场所的安全检查仪，其传送装置可简化为如图乙所示的模型。绷紧的传送带始终保持的恒定速率运行。旅客把行李无初速度地放在处，行李与传送带之间的动摩擦因数为，间的距离为，取。求： 行李从到的时间要使行李从到的时间最短，水平传送带的最小恒定速度。 13. （单选）如图所示，与水平面夹角为的倾斜传送带，在电机控制下以的恒定速率逆时针运转，两轮心间的距离为。质量为的小物块可视为质点以的初速度从传送带顶端滑至底端的过程中已知小物块与传送带间的动摩擦因数为，重力加速度大小取，物块 A. 先做匀加速直线运动，后做匀速运动 B. 所受的摩擦力方向一直沿传送带向上 C. 从顶端运动至底端的时间为 D. 在传送带上留下的划痕长度为 14. （单选）如图所示，倾角为的浅色传送带以恒定速率逆时针运行，将一质量为的可视为质点的深色物块轻放在传送带的顶端点，末物块恰好到达传送带底端点。物块的速度随时间的变化图像如图所示，重力加速度大小。下列说法正确的是(    ) A. 物块与传送带之间的动摩擦因数为 B. 物体滑到点的速度大小为 C. 、两点之间的距离为 D. 传送带划痕的长度为 考点三　滑块木板模型 必备知识·回顾梳理 1．模型特点：滑块(视为质点)置于木板上，滑块和木板均相对地面运动，且滑块和木板在摩擦力的相互作用下发生相对滑动。 2．位移关系：滑块由木板一端运动到另一端的过程中，滑块和木板同向运动时，位移大小之差Δx＝x1－x2＝L(或Δx＝x2－x1＝L)；滑块和木板反向运动时，位移大小之和Δx＝x2＋x1＝L。 关键能力·规律方法 四种常见类型：滑块m与木板M之间有摩擦，地面光滑或者粗糙。 图例 初始条件 终止条件 (1)滑块m静止。 (2)木板M初速度为v。 (1)滑块m停在木板M上某位置。 (2)滑块m恰好没有滑离木板M。 (3)滑块m滑离木板M。 (1)滑块m初速度为v。 (2)木板M静止。 (1)滑块m、木板M均静止。 (2)外力F作用在木板M上。 (1)滑块m、木板M均静止。 (2)外力F作用在滑块m上。 3．分析滑块—木板模型时要抓住一个转折和两个关联 4．解决滑块—木板模型中速度临界问题的思维模板 例题分析·考点题型 题型1：水平面上的滑块木板模型 15. （单选）如图所示，质量为的足够长的木板放在光滑水平地面上，质量为的物块放在木板上，物块与木板之间有摩擦，两者都以大小为的初速度向相反方向运动．当木板的速度为时，物块处于(    ) A. 匀速运动阶段 B. 减速运动阶段 C. 加速运动阶段 D. 速度为零的时刻 16.如图所示，质量的小车停放在光滑水平面上，在小车右端施加一个的水平恒力，当小车向右运动的速度达到时，在其右端轻轻放上一质量的小煤块小煤块视为质点且初速度为零，小煤块与小车间的动摩擦因数。假定小车足够长，重力加速度取，则： 经过多长时间小煤块与小车保持相对静止？ 求相对静止前小煤块前进的位移大小。 求小煤块最终在小车上留下的痕迹长度。 题后反思 解决板块问题的基本思路 1.明确滑块和木板之间的相对运动情况,确定摩擦力的性质,分别画出两物体所受摩擦力的方向。 2.分别隔离滑块和木板求各自的加速度。要注意当滑块与木板的速度相同时,摩擦力发生突变的情况。 3.明确位移关系:滑块与木板叠放在一起运动时,应仔细分析滑块与木板的运动过程,明确滑块与木板对地的位移和滑块与木板之间的相对位移之间的关系。一般情况下,若同向运动,则x1-x2=L;若反向运动,则x1+x2=L。 题型2：斜面上的滑块木板模型 17. （多选）滑沙运动是小孩比较喜欢的一项运动，其运动过程可类比为如图所示的模型，倾角为的斜坡上有长为的滑板，滑板与沙间的动摩擦因数为。小孩可视为质点坐在滑板上端，与滑板一起由静止开始下滑，小孩与滑板之间的动摩擦因数取决于小孩的衣料，假设图中小孩与滑板间的动摩擦因数为，小孩的质量与滑板的质量相等，斜坡足够长，，，取，则下列判断正确的是(    ) A. 小孩在滑板上下滑的加速度大小为 B. 小孩和滑板脱离前滑板的加速度大小为 C. 经过的时间，小孩离开滑板 D. 小孩离开滑板时的速度大小为 变式训练·举一反三 18. （多选）如图甲所示，质量为的木板置于水平地面上，木板最左端放有可视为质点的物块。时刻，对物块施加水平向右、大小为的恒力时刻，撤去。物块、木板运动的速度随时间变化的图像如图乙所示。取重力加速度。下列说法正确的是(    ) A. 物块与木板间的动摩擦因数为 B. 物块的质量为 C. 时，物块的加速度大小为 D. 木板的长度至少为 19.如图所示，在倾角为的足够长的固定斜面上，有一质量为的长木板，长木板在沿斜面向上的拉力作用下始终做速度为的匀速运动。某时刻开始，将一质量为的小铁块可视为质点，以相对斜面向下的初速度从长木板的上端释放，小铁块沿长木板向下滑动，最终小铁块跟长木板一起沿斜面向上做匀速运动。已知，小铁块、木板和斜面相互间的动摩擦因数均为，，重力加速度为。求：小铁块从开始滑动到离斜面底端最近时经历的时间； 从释放铁块到共速时长木板沿斜面向上运动的距离和长木板的最短长度。 巩固训练·提升能力 一、单选题。 1.如图所示，绷紧的水平传送带始终以恒定速率运行，初速度大小为的小物块从与传送带等高的光滑水平地面，沿传送带运动的反方向滑上传送带，选的方向为正方向，从物块滑上传送带开始计时，其运动的图像不可能是下图中的(    ) A. B. C. D. 2.如图，飞机场运输行李的倾斜传送带保持恒定的速率向上运行，将行李箱无初速度地放在传送带底端，当它送入飞机货舱前行李箱已做匀速运动。设行李箱与传送带之间的动摩擦因数为，已知滑动摩擦力近似等于最大静摩擦力，下列说法正确的是(    ) A. 做匀速运动时，行李箱与传送带之间的摩擦力为零 B. 重的行李箱比轻的行李箱传送时间更长些 C. 若增加传送带速度，传送的时间不变 D. 运送行李时该传送带的倾角必须小于 3.如图所示，一水平传送带以速度沿逆时针方向匀速转动，一碳块从传送带左端以初速度向右滑上水平传送带，碳块与传送带间的动摩擦因数恒定，下列说法错误的是(    ) A. 当碳块从传送带右端滑离时，若一定，越大，传送带上的划痕越长 B. 当碳块从传送带右端滑离时，若一定，越大，传送带上的划痕越长 C. 当碳块从传送带左端滑离时，若一定，越大，传送带上的划痕越长 D. 当碳块从传送带左端滑离时，若一定，越大，传送带上的划痕越长 4.如图所示，倾角为的传送带始终以的速度顺时针匀速运动，一质量为的物块以的速度从底端冲上传送带，恰好能到达传送带顶端。已知物块与传送带间的动摩擦因数为，取重力加速度大小，，物块从传送带底端运动到顶端的时间为(    ) A. B. C. D. 5.如图甲所示，小物块以初速度冲上水平放置的平板，在此后的运动过程中始终没有滑离平板，、运动的部分图像如图乙所示。下列说法正确的是(    ) A. 若，则 B. A、两物体质量可能相同 C. 时间内，有时仅受一个摩擦力作用 D. 与间的动摩擦因数小于与地面间的动摩擦因数 二、多选题。 6.如图所示，、和是竖直平面内三根固定的光滑细杆，、、、、位于同一圆周上，为圆周的最高点，为最低点，为圆心。每根杆上都套着一个小滑环未画出，两个滑环从点无初速度释放，一个滑环从点无初速度释放，、、分别表示滑环沿、、到达、所用的时间，则下列关系正确的是(    ) A. B. C. D. 7.一小物块向左冲上水平向右运动的木板，二者速度大小分别为、，此后木板的速度随时间变化的图像如图所示。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，木板足够长。整个运动过程中(    ) A. 物块的运动方向不变 B. 物块的加速度方向不变 C. 物块相对木板的运动方向不变 D. 物块与木板的加速度大小相等 8.如图所示，一质量为的物块叠放在质量为的长木板上，二者均静止在水平地面上，已知木板与物块间的动摩擦因数为，木板与地面间的动摩擦因数为。现给长木板一水平向右的初速度，下列关于板、块的图像实线和虚线分别表示不同物体可能正确的是(    ) A. 　　　 B. C. 　　　 D. 9.如图甲，一水平浅色传送带上放置一煤块可视为质点，煤块与传送带之间的动摩擦因数。初始时，两者都是静止的。现让传送带在电机带动下先加速后减速，传送带的速度时间图像如图乙所示。设传送带足够长，一段时间后，煤块在传送带上留下了一段黑色痕迹，重力加速度取。下列说法正确的是(    ) A. 时煤块与传送带速度相同 B. 煤块相对传送带的位移为 C. 煤块的质量越大黑色痕迹的长度越长 D. 黑色痕迹的长度为 三、计算题。 10.如图所示，传送带与水平面之间的夹角，其上、两点间的距离，传送带在电动机的带动下以的速率匀速运动。现将一小物体可视为质点轻放在传送带的点，已知小物体与传送带之间的动摩擦因数，重力加速度的大小，在传送带将小物体从点传送到点的过程中；求： 小物体刚开始运动时的加速度大小； 小物体从点运动到点经过的时间。 11.如图所示，足够长、质量的木板静止在水平面上，质量的小滑块可视为质点静止在木板左端，滑块与木板间的动摩擦因数，木板与水平面间的动摩擦因数。从零时刻起，对滑块施加方向与水平面成斜向右上方恒定外力，经过时间撤去此力。已知，，取，求： 撤去外力前，滑块的加速度大小； 木板的最大速度； 木板运动的时间。 12.如图所示，木板静止在足够大的水平地面上，可视为质点的物块放置在的右端，木板的质量，长度，物块的质量，、间的动摩擦因数，与地面间的动摩擦因数。现对木板施加一个水平向右、大小为的外力，重力加速度大小取，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。 求物块从木板上脱离时物块与木板的动能分别为多大； 要使物块不脱离木板，求外力作用的最长时间。 12 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 目录 第14课时　动力学中的等时圆、板块模型与传送带模型 1 考点一　等时圆 1 题型1：共最高点 1 题型2：共最低点 1 题型3：综合应用 2 考点二　传送带模型 3 题型1：水平传送 3 题型2：倾斜向上传送 4 题型3：倾斜向下传送 5 考点三　滑块木板模型 7 题型1：水平面上的滑块木板模型 7 题型2：斜面上的滑块木板模型 7 巩固训练·提升能力 9 第14课时　动力学中的等时圆、板块模型与传送带模型 考点一　等时圆 例题分析·考点题型 题型1：共最高点 1. （单选）倾角为的斜面固定在水平地面上，在与斜面共面的平面上方点伸出三根光滑轻质细杆至斜面上、、三点，其中与斜面垂直，且，现有三个质量均为的小圆环看作质点分别套在三根细杆上，依次从点由静止滑下，滑到斜面上、、三点所有时间分别为、、，下列说法正确的是(    ) A. B. C. D. 题型2：共最低点 2. （单选）如图所示，位于竖直平面内的固定光滑圆环轨道与水平面相切于点，与竖直墙相切于点。竖直墙上另一点与的连线和水平面的夹角为，是圆环轨道的圆心。已知在同一时刻、两球分别由、两点从静止开始沿光滑倾斜直轨道、运动到点；球由点自由下落到点。则(    ) A. 球最先到达点 B. 球最先到达点 C. 球最先到达点 D. 球和球都可能最先到达点 题型3：综合应用 3. （单选）如图所示，有一半圆，其直径水平且与另一圆的底部相切于点，点恰好是下半圆的圆心，它们处在同一竖直平面内。现有三条光滑轨道、、，它们的两端分别位于上下两圆的圆周上，轨道与竖直直径的夹角关系为。现让一小物块先后从三条轨道顶端由静止下滑至底端，则小物块在每一条倾斜轨道上滑动时所经历的时间关系为(    ) A. B. C. D. 变式训练·举一反三 4. （单选）如图所示，在竖直平面内建立直角坐标系，该平面内有、、三条光滑固定轨道，其中、两点处于同一个圆上，是圆上任意一点，、分别为此圆与、轴的切点。点在轴上且，为圆心。现将、、三个小球分别从、、点同时由静止释放，它们将沿轨道运动到点，如所用时间分别为，则大小关系是(    ) A. B. C. D. 由于点的位置不确定，无法比较时间大小关系 5. （多选）如图所示，、和是竖直平面内三根固定的光滑细杆，、、、、位于同一圆周上，为圆周的最高点，为最低点，为圆心。每根杆上都套着一个小滑环未画出，两个滑环从点无初速度释放，一个滑环从点无初速度释放，用、、分别表示滑环沿、、到达或所用的时间。下列关系正确的是(    ) A.   B. C. D. 考点二　传送带模型 例题分析·考点题型 题型1：水平传送 6. （单选）如图所示，水平匀速转动的传送带左右两端相距，物块可看成质点以水平速度滑上传送带左端，物块与传送带间的动摩擦因数，设到达传送带右端时的瞬时速度为，取，下列说法不正确的是(    ) A. 若传送带速度等于，物块不可能先减速运动后匀速运动 B. 若传送带速度等于，可能等于 C. 若到达传送带右端时的瞬时速度等于，传送带可能沿逆时针方向转动 D. 若到达传送带右端时的瞬时速度等于，则传送带的速度不大于 7. （多选）如图所示，绷紧的水平传送带足够长，且始终以的恒定速率顺时针运行。初速度大小为的小墨块从与传送带等高的光滑水平地面上的处滑上传送带。若从小墨块滑上传送带开始计时，小墨块在传送带上运动后与传送带的速度相同，则(    ) A. 小墨块未与传送带速度相同时，受到的摩擦力方向水平向右 B. 小墨块的加速度大小为 C. 小墨块在传送带上的痕迹长度为 D. 小墨块在传送带上的痕迹长度为 题型2：倾斜向上传送 8. （多选）如图甲所示，倾角为的传送带以恒定速率顺时针转动。时一易掉色的物块以初速度从底部冲上传送带，其图像如图乙所示，末恰好到达传送带顶端，已知，，则下列说法正确的是(    ) A. 传送带的速率为 B. 传送带底端到顶端的距离为 C. 物块与传送带间的动摩擦因数为 D. 物块在传送带上留下的痕迹的长度为 9. （多选）如图甲所示，足够长、倾角的传送带，以的速度顺时针匀速转动，一物块以的初速度从传送带顶端沿传送带滑下，物块在传送带上运动过程中的图像如图乙所示取物块沿传送带向下运动为正方向，重力加速度。下列说法正确的是(    ) A. 时，物块相对传送带的速度大小为 B. 物块在整个运动过程中所受摩擦力方向始终沿传送带向上 C. 物块与传送带之间的动摩擦因数为 D. 物块在传送带上留下的划痕长度为 题型3：倾斜向下传送 10. （单选）如图甲所示，倾角为的传送带以恒定的速率沿逆时针方向运行。时，将质量的物体可视为质点轻放在传送带上端，物体相对地面的图像如图乙所示，时滑离传送带。设沿传送带向下为正方向重力加速度取，。则(    ) A. 传送带的倾角 B. 物体与传送带之间的动摩擦因数 C. 传送带上下两端的间距为 D. 物体在传送带上留下的痕迹长度为 11. （单选）机场地勤工作人员利用传送带从飞机上卸行李。如图所示，以恒定速率运行的传送带与水平面间的夹角，转轴间距。工作人员沿传送方向以速度从传送带顶端推下一件小包裹可视为质点。小包裹与传送带间的动摩擦因数。取重力加速度，，。求： 小包裹相对传送带滑动时加速度的大小； 小包裹通过传送带所需的时间。 变式训练·举一反三 12.如图甲所示为机场、火车站等场所的安全检查仪，其传送装置可简化为如图乙所示的模型。绷紧的传送带始终保持的恒定速率运行。旅客把行李无初速度地放在处，行李与传送带之间的动摩擦因数为，间的距离为，取。求： 行李从到的时间要使行李从到的时间最短，水平传送带的最小恒定速度。 13. （单选）如图所示，与水平面夹角为的倾斜传送带，在电机控制下以的恒定速率逆时针运转，两轮心间的距离为。质量为的小物块可视为质点以的初速度从传送带顶端滑至底端的过程中已知小物块与传送带间的动摩擦因数为，重力加速度大小取，物块 A. 先做匀加速直线运动，后做匀速运动 B. 所受的摩擦力方向一直沿传送带向上 C. 从顶端运动至底端的时间为 D. 在传送带上留下的划痕长度为 14. （单选）如图所示，倾角为的浅色传送带以恒定速率逆时针运行，将一质量为的可视为质点的深色物块轻放在传送带的顶端点，末物块恰好到达传送带底端点。物块的速度随时间的变化图像如图所示，重力加速度大小。下列说法正确的是(    ) A. 物块与传送带之间的动摩擦因数为 B. 物体滑到点的速度大小为 C. 、两点之间的距离为 D. 传送带划痕的长度为 考点三　滑块木板模型 例题分析·考点题型 题型1：水平面上的滑块木板模型 15. （单选）如图所示，质量为的足够长的木板放在光滑水平地面上，质量为的物块放在木板上，物块与木板之间有摩擦，两者都以大小为的初速度向相反方向运动．当木板的速度为时，物块处于(    ) A. 匀速运动阶段 B. 减速运动阶段 C. 加速运动阶段 D. 速度为零的时刻 16.如图所示，质量的小车停放在光滑水平面上，在小车右端施加一个的水平恒力，当小车向右运动的速度达到时，在其右端轻轻放上一质量的小煤块小煤块视为质点且初速度为零，小煤块与小车间的动摩擦因数。假定小车足够长，重力加速度取，则： 经过多长时间小煤块与小车保持相对静止？ 求相对静止前小煤块前进的位移大小。 求小煤块最终在小车上留下的痕迹长度。 题型2：斜面上的滑块木板模型 17. （多选）滑沙运动是小孩比较喜欢的一项运动，其运动过程可类比为如图所示的模型，倾角为的斜坡上有长为的滑板，滑板与沙间的动摩擦因数为。小孩可视为质点坐在滑板上端，与滑板一起由静止开始下滑，小孩与滑板之间的动摩擦因数取决于小孩的衣料，假设图中小孩与滑板间的动摩擦因数为，小孩的质量与滑板的质量相等，斜坡足够长，，，取，则下列判断正确的是(    ) A. 小孩在滑板上下滑的加速度大小为 B. 小孩和滑板脱离前滑板的加速度大小为 C. 经过的时间，小孩离开滑板 D. 小孩离开滑板时的速度大小为 变式训练·举一反三 18. （多选）如图甲所示，质量为的木板置于水平地面上，木板最左端放有可视为质点的物块。时刻，对物块施加水平向右、大小为的恒力时刻，撤去。物块、木板运动的速度随时间变化的图像如图乙所示。取重力加速度。下列说法正确的是(    ) A. 物块与木板间的动摩擦因数为 B. 物块的质量为 C. 时，物块的加速度大小为 D. 木板的长度至少为 19.如图所示，在倾角为的足够长的固定斜面上，有一质量为的长木板，长木板在沿斜面向上的拉力作用下始终做速度为的匀速运动。某时刻开始，将一质量为的小铁块可视为质点，以相对斜面向下的初速度从长木板的上端释放，小铁块沿长木板向下滑动，最终小铁块跟长木板一起沿斜面向上做匀速运动。已知，小铁块、木板和斜面相互间的动摩擦因数均为，，重力加速度为。求：小铁块从开始滑动到离斜面底端最近时经历的时间； 从释放铁块到共速时长木板沿斜面向上运动的距离和长木板的最短长度。 巩固训练·提升能力 一、单选题。 1.如图所示，绷紧的水平传送带始终以恒定速率运行，初速度大小为的小物块从与传送带等高的光滑水平地面，沿传送带运动的反方向滑上传送带，选的方向为正方向，从物块滑上传送带开始计时，其运动的图像不可能是下图中的(    ) A. B. C. D. 2.如图，飞机场运输行李的倾斜传送带保持恒定的速率向上运行，将行李箱无初速度地放在传送带底端，当它送入飞机货舱前行李箱已做匀速运动。设行李箱与传送带之间的动摩擦因数为，已知滑动摩擦力近似等于最大静摩擦力，下列说法正确的是(    ) A. 做匀速运动时，行李箱与传送带之间的摩擦力为零 B. 重的行李箱比轻的行李箱传送时间更长些 C. 若增加传送带速度，传送的时间不变 D. 运送行李时该传送带的倾角必须小于 3.如图所示，一水平传送带以速度沿逆时针方向匀速转动，一碳块从传送带左端以初速度向右滑上水平传送带，碳块与传送带间的动摩擦因数恒定，下列说法错误的是(    ) A. 当碳块从传送带右端滑离时，若一定，越大，传送带上的划痕越长 B. 当碳块从传送带右端滑离时，若一定，越大，传送带上的划痕越长 C. 当碳块从传送带左端滑离时，若一定，越大，传送带上的划痕越长 D. 当碳块从传送带左端滑离时，若一定，越大，传送带上的划痕越长 4.如图所示，倾角为的传送带始终以的速度顺时针匀速运动，一质量为的物块以的速度从底端冲上传送带，恰好能到达传送带顶端。已知物块与传送带间的动摩擦因数为，取重力加速度大小，，物块从传送带底端运动到顶端的时间为(    ) A. B. C. D. 5.如图甲所示，小物块以初速度冲上水平放置的平板，在此后的运动过程中始终没有滑离平板，、运动的部分图像如图乙所示。下列说法正确的是(    ) A. 若，则 B. A、两物体质量可能相同 C. 时间内，有时仅受一个摩擦力作用 D. 与间的动摩擦因数小于与地面间的动摩擦因数 二、多选题。 6.如图所示，、和是竖直平面内三根固定的光滑细杆，、、、、位于同一圆周上，为圆周的最高点，为最低点，为圆心。每根杆上都套着一个小滑环未画出，两个滑环从点无初速度释放，一个滑环从点无初速度释放，、、分别表示滑环沿、、到达、所用的时间，则下列关系正确的是(    ) A. B. C. D. 7.一小物块向左冲上水平向右运动的木板，二者速度大小分别为、，此后木板的速度随时间变化的图像如图所示。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，木板足够长。整个运动过程中(    ) A. 物块的运动方向不变 B. 物块的加速度方向不变 C. 物块相对木板的运动方向不变 D. 物块与木板的加速度大小相等 8.如图所示，一质量为的物块叠放在质量为的长木板上，二者均静止在水平地面上，已知木板与物块间的动摩擦因数为，木板与地面间的动摩擦因数为。现给长木板一水平向右的初速度，下列关于板、块的图像实线和虚线分别表示不同物体可能正确的是(    ) A. 　　　 B. C. 　　　 D. 9.如图甲，一水平浅色传送带上放置一煤块可视为质点，煤块与传送带之间的动摩擦因数。初始时，两者都是静止的。现让传送带在电机带动下先加速后减速，传送带的速度时间图像如图乙所示。设传送带足够长，一段时间后，煤块在传送带上留下了一段黑色痕迹，重力加速度取。下列说法正确的是(    ) A. 时煤块与传送带速度相同 B. 煤块相对传送带的位移为 C. 煤块的质量越大黑色痕迹的长度越长 D. 黑色痕迹的长度为 三、计算题。 10.如图所示，传送带与水平面之间的夹角，其上、两点间的距离，传送带在电动机的带动下以的速率匀速运动。现将一小物体可视为质点轻放在传送带的点，已知小物体与传送带之间的动摩擦因数，重力加速度的大小，在传送带将小物体从点传送到点的过程中；求： 小物体刚开始运动时的加速度大小； 小物体从点运动到点经过的时间。 11.如图所示，足够长、质量的木板静止在水平面上，质量的小滑块可视为质点静止在木板左端，滑块与木板间的动摩擦因数，木板与水平面间的动摩擦因数。从零时刻起，对滑块施加方向与水平面成斜向右上方恒定外力，经过时间撤去此力。已知，，取，求： 撤去外力前，滑块的加速度大小； 木板的最大速度； 木板运动的时间。 12.如图所示，木板静止在足够大的水平地面上，可视为质点的物块放置在的右端，木板的质量，长度，物块的质量，、间的动摩擦因数，与地面间的动摩擦因数。现对木板施加一个水平向右、大小为的外力，重力加速度大小取，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。 求物块从木板上脱离时物块与木板的动能分别为多大； 要使物块不脱离木板，求外力作用的最长时间。 12 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 目录 第14课时　动力学中的等时圆、板块模型与传送带模型 1 考点一　等时圆 1 题型1：共最高点 2 题型2：共最低点 3 题型3：综合应用 3 考点二　传送带模型 5 题型1：水平传送 7 题型2：倾斜向上传送 8 题型3：倾斜向下传送 10 考点三　滑块木板模型 14 题型1：水平面上的滑块木板模型 15 题型2：斜面上的滑块木板模型 17 巩固训练·提升能力 19 第14课时　动力学中的等时圆、板块模型与传送带模型 考点一　等时圆 必备知识·回顾梳理 1．模型分析 如图甲、乙所示，质点沿竖直面内圆环上的任意一条光滑弦从上端由静止滑到底端，可知加速度a＝gsinθ，位移x＝2Rsinθ，由匀变速直线运动规律有x＝at2，得下滑时间t＝2，即沿竖直直径自由下落的时间。图丙是甲、乙两图的组合，有相同的结论。 2．结论 模型1：质点从竖直面内的圆环上沿不同的光滑弦从上端由静止开始滑到环的最低点所用时间相等，如图甲所示； 模型2：质点从竖直面内的圆环上最高点沿不同的光滑弦由静止开始滑到下端所用时间相等，如图乙所示； 模型3：两个竖直面内的圆环相切且两环的竖直直径均过切点，质点沿不同的光滑弦从上端由静止开始经切点滑到下端所用时间相等，如图丙所示。 关键能力·规律方法 思维模板 例题分析·考点题型 题型1：共最高点 1. （单选）倾角为的斜面固定在水平地面上，在与斜面共面的平面上方点伸出三根光滑轻质细杆至斜面上、、三点，其中与斜面垂直，且，现有三个质量均为的小圆环看作质点分别套在三根细杆上，依次从点由静止滑下，滑到斜面上、、三点所有时间分别为、、，下列说法正确的是(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】由于，则可以判断竖直向下，以为直径做圆，则必过点，如图： 圆环在杆上运动过程，由牛顿第二定律及运动学公式可得，，联立解得， 可见从点出发，到达圆周各点所用的时间相等，与杆的长短、倾角无关，可得。 故选B。 题型2：共最低点 2. （单选）如图所示，位于竖直平面内的固定光滑圆环轨道与水平面相切于点，与竖直墙相切于点。竖直墙上另一点与的连线和水平面的夹角为，是圆环轨道的圆心。已知在同一时刻、两球分别由、两点从静止开始沿光滑倾斜直轨道、运动到点；球由点自由下落到点。则(    ) A. 球最先到达点 B. 球最先到达点 C. 球最先到达点 D. 球和球都可能最先到达点 【答案】C  【解析】由等时圆模型知，球运动时间小于球运动时间，球运动时间和沿过的直径的自由下落时间相等，所以从点自由下落到点的球运动时间最短，故C正确。 题型3：综合应用 3. （单选）如图所示，有一半圆，其直径水平且与另一圆的底部相切于点，点恰好是下半圆的圆心，它们处在同一竖直平面内。现有三条光滑轨道、、，它们的两端分别位于上下两圆的圆周上，轨道与竖直直径的夹角关系为。现让一小物块先后从三条轨道顶端由静止下滑至底端，则小物块在每一条倾斜轨道上滑动时所经历的时间关系为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解答】 物体在上面圆运动是一个典型的等时圆模型，故物体到到交点点时，用时相等。在下半圆中，如图所示，过点作的垂线与竖直虚线交于，以为直径作圆，可以看出点在辅助圆内，而点在辅助圆外，由等时圆结论可知，，项正确。 变式训练·举一反三 4. （单选）如图所示，在竖直平面内建立直角坐标系，该平面内有、、三条光滑固定轨道，其中、两点处于同一个圆上，是圆上任意一点，、分别为此圆与、轴的切点。点在轴上且，为圆心。现将、、三个小球分别从、、点同时由静止释放，它们将沿轨道运动到点，如所用时间分别为，则大小关系是(    ) A. B. C. D. 由于点的位置不确定，无法比较时间大小关系 【答案】C  【解答】设圆的半径为，对于段，位移，加速度，根据得，；对于段，位移，加速度，由得，；对于段，根据等时圆模型可得，，故C正确，ABD错误。 故选C。 5. （多选）如图所示，、和是竖直平面内三根固定的光滑细杆，、、、、位于同一圆周上，为圆周的最高点，为最低点，为圆心。每根杆上都套着一个小滑环未画出，两个滑环从点无初速度释放，一个滑环从点无初速度释放，用、、分别表示滑环沿、、到达或所用的时间。下列关系正确的是(    ) A.   B. C. D. 【答案】CD  【解析】设与竖直方向的夹角为，由几何关系得与竖直方向的夹角为  ， 环沿下滑时的加速度大小为 沿下滑时的加速度大小为 设长为，由几何关系得长为  ， 根据运动学公式有 ，  解得 ，  由此得到 根据等时圆原理可得到 因此， 故AB错误，CD正确。 故选CD。 考点二　传送带模型 必备知识·回顾梳理 传送带模型的特征是以摩擦力为纽带关联传送带和物块的运动。这类问题涉及滑动摩擦力和静摩擦力的转换、对地位移和二者间相对位移的区别，需要综合牛顿运动定律、运动学公式、功和能等知识求解。 两个关键分析 受力分析 (1)摩擦力方向的判断：①同向“以快带慢”；②反向“互相阻碍”。 (2)共速时摩擦力的可能突变：①滑动摩擦力突变为零；②滑动摩擦力突变为静摩擦力；③摩擦力方向突变。 运动分析 (1)参考系的选择：①研究物体的速度、位移、加速度时均以地面为参考系；②研究物体的滑行痕迹等一般以传送带为参考系。 (2)判断共速以后物体是否能与传送带保持相对静止。 (3)判断物体在达到共速之前是否滑出传送带。 关键能力·规律方法 水平传送带 情景 滑块的运动情况 传送带不够长 传送带足够长 一直匀加速 先匀加速后匀速 v0＜v时，一直匀加速 v0＜v时，先匀加速再匀速 v0＞v时，一直匀减速 v0＞v时，先匀减速再匀速 滑块一直匀减速 滑块先匀减速到速度为0，后被传送带传回左端：①若v0＜v，返回到左端时速度为v0；②若v0＞v，返回到左端时速度为v。 倾斜传送带 情景 滑块的运动情况 传送带不够长 传送带足够长 一直加速(一定满足关系μ＞tan θ) 先加速后匀速 一直加速(加速度为gsin θ＋μgcos θ) 若μ≥tan θ，先加速后匀速 若μ＜tan θ，先以a1＝gsin θ＋μgcos θ加速，后以a2＝gsin θ－μgcos θ加速 v0＜v时，一直加速(加速度为gsin θ＋μgcos θ) v0＜v时：若μ≥tan θ，先加速后匀速；若μ＜tan θ，先以a1＝gsin θ＋μgcos θ加速，后以a2＝gsin θ－μgcos θ加速 v0＞v时，一直匀变速(加速度为|gsin θ－μgcos θ|) v0＞v时：若μ＞tan θ，先减速后匀速；若μ＜tan θ，以a2＝gsin θ－μgcos θ加速 (摩擦力方向一定沿斜面向上) μ＜tan θ，一直加速； μ＝tan θ，一直匀速 μ＞tan θ，一直减速 μ＞tan θ，先减速到速度为0后反向加速到v，若v0＜v，则回到原位置时速度大小为v0(类竖直上抛运动) 例题分析·考点题型 题型1：水平传送 6. （单选）如图所示，水平匀速转动的传送带左右两端相距，物块可看成质点以水平速度滑上传送带左端，物块与传送带间的动摩擦因数，设到达传送带右端时的瞬时速度为，取，下列说法不正确的是(    ) A. 若传送带速度等于，物块不可能先减速运动后匀速运动 B. 若传送带速度等于，可能等于 C. 若到达传送带右端时的瞬时速度等于，传送带可能沿逆时针方向转动 D. 若到达传送带右端时的瞬时速度等于，则传送带的速度不大于 【答案】D  【解析】物块在传送带上的加速度大小，若物块一直做匀减速运动到传送带右端，根据，解得，可知当传送带速度等于时，物块一直减速到最右端，故A正确；当传送带速度等于时，可能等于，故B正确；若到达传送带右端时的瞬时速度等于，传送带可能沿逆时针方向转动，传送带的速度可以大于，故C正确，D错误。 7. （多选）如图所示，绷紧的水平传送带足够长，且始终以的恒定速率顺时针运行。初速度大小为的小墨块从与传送带等高的光滑水平地面上的处滑上传送带。若从小墨块滑上传送带开始计时，小墨块在传送带上运动后与传送带的速度相同，则(    ) A. 小墨块未与传送带速度相同时，受到的摩擦力方向水平向右 B. 小墨块的加速度大小为 C. 小墨块在传送带上的痕迹长度为 D. 小墨块在传送带上的痕迹长度为 【答案】ABD  【解析】A.小墨块未与传送带速度相同时，相对传送带向左运动，受到传送带的摩擦力方向水平向右，故A正确； B.小墨块在摩擦力的作用下做匀变速运动，小墨块在传送带上运动后与传送带的速度相同，故，方向向右，故B正确； 小墨块向左做匀减速远动时，对小墨块有：，，联立解得，小墨块向左减速的过程中，传送带的位移为；小墨块向右做匀加速运动时，对小墨块有，，联立解得：，对传送带有，因而小墨块在传送带上的痕迹长度为，故C错误，D正确。 故选ABD。 题后反思 求解传送带模型问题,首先要根据物体和传送带之间的相对运动情况,确定摩擦力的大小和方向。当物体的速度与传送带的速度相等时,物体所受的摩擦力有可能发生突变,速度相等前后对摩擦力的分析是解题的关键。 题型2：倾斜向上传送 8. （多选）如图甲所示，倾角为的传送带以恒定速率顺时针转动。时一易掉色的物块以初速度从底部冲上传送带，其图像如图乙所示，末恰好到达传送带顶端，已知，，则下列说法正确的是(    ) A. 传送带的速率为 B. 传送带底端到顶端的距离为 C. 物块与传送带间的动摩擦因数为 D. 物块在传送带上留下的痕迹的长度为 【答案】BC  【解答】  如果小于，则物块向上做减速运动时加速度不变，与题图乙不符，因此物块的初速度一定 大于。结合题图乙可知物块减速运动到与传送带速度相同时，继续向上做减速运动，由此可以判断传送带的速度为，故A错误；   传送带底端到顶端的距离等于图象与时间轴所包围的面积大小，即物块运动的位移      则：，故B正确；   ．内物块的加速度大小：， 根据牛顿第二定律得：     ，代入数据解得：，故C正确；   时间内煤块相对传送带向上运动，相对位移为 ，时间内煤块相对传送带向下运动，相对位移为 ，则煤块在皮带上留下的划痕为，故D错误。 9. （多选）如图甲所示，足够长、倾角的传送带，以的速度顺时针匀速转动，一物块以的初速度从传送带顶端沿传送带滑下，物块在传送带上运动过程中的图像如图乙所示取物块沿传送带向下运动为正方向，重力加速度。下列说法正确的是(    ) A. 时，物块相对传送带的速度大小为 B. 物块在整个运动过程中所受摩擦力方向始终沿传送带向上 C. 物块与传送带之间的动摩擦因数为 D. 物块在传送带上留下的划痕长度为 【答案】ABD  【解析】A、由图乙所示图像可知，物块刚放上传送带时的加速度大小，物块放在传送带上做匀减速直线运动，时物体的速度，方向沿传送带向下，以沿传送带向下为正方向，则传送带的速度，物块相对于传送带的速度大小，故A正确； B、物块先沿传送带向下做匀减速直线运动，所受滑动摩擦力沿传送带向上，减速为零后反向做匀加速直线运动，物块所受摩擦力方向沿传送带向上，最后物块相对传送带静止与传送带一起向上做匀速直线运动，该过程物块所受摩擦力方向沿传送带向上，整个过程物块所受摩擦力方向都沿传送带向上，故B正确； C、对物块，由牛顿第二定律得：，代入数据解得：，故C错误； D、由图乙所示图像可知，物块做匀减速直线运动与速度减为零后反向做初速度为零的匀加速直线运动过程的加速度大小都相等，都是，物块减速为零需要的时间，物块反向加速到与传送带速度相等需要的时间，物块在传送带上留下痕迹的长度，代入数据解得：，故D正确。 故选：。 题型3：倾斜向下传送 10. （单选）如图甲所示，倾角为的传送带以恒定的速率沿逆时针方向运行。时，将质量的物体可视为质点轻放在传送带上端，物体相对地面的图像如图乙所示，时滑离传送带。设沿传送带向下为正方向重力加速度取，。则(    ) A. 传送带的倾角 B. 物体与传送带之间的动摩擦因数 C. 传送带上下两端的间距为 D. 物体在传送带上留下的痕迹长度为 【答案】D  【解答】由题图得内物体加速度 根据牛顿第二定律得 内加速度 根据牛顿第二定律得 联立解得， 故AB错误； C.由题可得物体内的位移大小即为传送带上下两端的间距，根据图像与轴所围的面积表示位移，可知位移，故C错误； D.由题图知传送带的速率，则内，物体的位移为 传送带的位移为 故物体与传送带间相对位移大小为 物体相对传送带向上运动；内物体的位移为 传送带的位移为 故物体与传送带间相对位移大小为 物体相对传送带向下运动，痕迹重叠，因此物体在传送带上留下的痕迹长度为，故D正确。 故选D。 11. （单选）机场地勤工作人员利用传送带从飞机上卸行李。如图所示，以恒定速率运行的传送带与水平面间的夹角，转轴间距。工作人员沿传送方向以速度从传送带顶端推下一件小包裹可视为质点。小包裹与传送带间的动摩擦因数。取重力加速度，，。求： 小包裹相对传送带滑动时加速度的大小； 小包裹通过传送带所需的时间。 【答案】解：开始时小包裹向下做匀减速运动，根据牛顿第二定律有 ， 代入数据后得到。 设经过时间与传送带共速，则有：， 代入数据后得：， 此段时间小包裹运动的位移， 小包裹与传速带共速后由于，小包裹相对于传送带静止，两者一起向下做匀速运动，则 位移为， 时间， 通过传送带的总时间。 答：小包裹相对传送带滑动时加速度的大小为； 小包裹通过传送带所需的时间为。  变式训练·举一反三 12.如图甲所示为机场、火车站等场所的安全检查仪，其传送装置可简化为如图乙所示的模型。绷紧的传送带始终保持的恒定速率运行。旅客把行李无初速度地放在处，行李与传送带之间的动摩擦因数为，间的距离为，取。求： 行李从到的时间要使行李从到的时间最短，水平传送带的最小恒定速度。 【答案】行李刚放上传送带时的加速度 与传送带达到共速所用时间为 行李加速阶段的位移为 共速后，行李继续匀速运动的时间 则行李从到的时间为 要使行李从到的时间最短，则需一直做匀加速直线运动： 解得， 可知水平传送带的最小恒定速度为 13. （单选）如图所示，与水平面夹角为的倾斜传送带，在电机控制下以的恒定速率逆时针运转，两轮心间的距离为。质量为的小物块可视为质点以的初速度从传送带顶端滑至底端的过程中已知小物块与传送带间的动摩擦因数为，重力加速度大小取，物块 A. 先做匀加速直线运动，后做匀速运动 B. 所受的摩擦力方向一直沿传送带向上 C. 从顶端运动至底端的时间为 D. 在传送带上留下的划痕长度为 【答案】D  【解析】初始时，由于物块速度小于传送带速度，对物块受力分析可得，物块受到的摩擦力方向沿传送带向下，物块沿传送带下滑时的加速度， 设物块经时间加速到与传送带速度相同，由，其中，，解得，在时间内，物块沿传送带向下运动的距离，传送带相对物块向下运动的位移， 由于物块与传送带间的摩擦因数为小于，故物块将继续向下加速运动，对物块受力分析可知，物块受到的摩擦力方向沿传送带向上，物块继续向下加速的加速度，设物块再经时间到达传送带底端，则有，解得，此过程物块相对传送带向下运动的位移， 综上所述：A.物块先向下以的加速度向下加速，后以的加速度继续向下加速，A错误； B.物块所受摩擦力方向先是沿传送带向下，后来变为沿传送带向上，B错误； C.从顶端运动至底端的时间为，C错误； D.物块在传送带上留下的划痕长度为，D正确。 故选D。 14. （单选）如图所示，倾角为的浅色传送带以恒定速率逆时针运行，将一质量为的可视为质点的深色物块轻放在传送带的顶端点，末物块恰好到达传送带底端点。物块的速度随时间的变化图像如图所示，重力加速度大小。下列说法正确的是(    ) A. 物块与传送带之间的动摩擦因数为 B. 物体滑到点的速度大小为 C. 、两点之间的距离为 D. 传送带划痕的长度为 【答案】D  【解析】物体在没有和传送带达到共同速度以前，得，A错误 共速后，因为，所以物体还要加速下滑：，得，所以物体滑到点的速度大小为，B错误 、两点之间的距离为图线与横轴所围的面积，C错误 由于传送带一直以的速度匀速运动，由图可知第一段时间内传送带走了，物体走了，划痕为，第二段时间内物体速度快于传送带，比传送带多走，覆盖了原来的划痕，不会增加新的划痕，所以划痕还是，所以D正确。 考点三　滑块木板模型 必备知识·回顾梳理 1．模型特点：滑块(视为质点)置于木板上，滑块和木板均相对地面运动，且滑块和木板在摩擦力的相互作用下发生相对滑动。 2．位移关系：滑块由木板一端运动到另一端的过程中，滑块和木板同向运动时，位移大小之差Δx＝x1－x2＝L(或Δx＝x2－x1＝L)；滑块和木板反向运动时，位移大小之和Δx＝x2＋x1＝L。 关键能力·规律方法 四种常见类型：滑块m与木板M之间有摩擦，地面光滑或者粗糙。 图例 初始条件 终止条件 (1)滑块m静止。 (2)木板M初速度为v。 (1)滑块m停在木板M上某位置。 (2)滑块m恰好没有滑离木板M。 (3)滑块m滑离木板M。 (1)滑块m初速度为v。 (2)木板M静止。 (1)滑块m、木板M均静止。 (2)外力F作用在木板M上。 (1)滑块m、木板M均静止。 (2)外力F作用在滑块m上。 3．分析滑块—木板模型时要抓住一个转折和两个关联 4．解决滑块—木板模型中速度临界问题的思维模板 例题分析·考点题型 题型1：水平面上的滑块木板模型 15. （单选）如图所示，质量为的足够长的木板放在光滑水平地面上，质量为的物块放在木板上，物块与木板之间有摩擦，两者都以大小为的初速度向相反方向运动．当木板的速度为时，物块处于(    ) A. 匀速运动阶段 B. 减速运动阶段 C. 加速运动阶段 D. 速度为零的时刻 【答案】B  【解析】物块和木板相对运动，那么，物块和木板间有摩擦力，所以，物块做加速度的匀减速运动；木板做加速度的匀减速运动； 故当木板速度为时，物块速度为，两者的速度方向不变，故仍做匀减速运动； 之后木板继续做减速运动，物块先做减速运动，减到速度为零后做匀加速运动，当木板和物块速度相同后，两者一起做匀速运动；故当木板的速度为时，物块必处于匀减速运动阶段，故B正确，ACD错误。 故选：。 16.如图所示，质量的小车停放在光滑水平面上，在小车右端施加一个的水平恒力，当小车向右运动的速度达到时，在其右端轻轻放上一质量的小煤块小煤块视为质点且初速度为零，小煤块与小车间的动摩擦因数。假定小车足够长，重力加速度取，则： 经过多长时间小煤块与小车保持相对静止？ 求相对静止前小煤块前进的位移大小。 求小煤块最终在小车上留下的痕迹长度。 【答案】保持相对静止前，对煤块根据牛顿第二定律可得 解得 对小车根据牛顿第二定律可得 解得 经过时间，小煤块与小车保持相对静止，则有，解得。 相对静止前小煤块前进的位移大小 ，解得。 在相对静止前小车前进的位移 解得 两者的相对位移 即小煤块最终在小车上留下的痕迹长度为。 题后反思 解决板块问题的基本思路 1.明确滑块和木板之间的相对运动情况,确定摩擦力的性质,分别画出两物体所受摩擦力的方向。 2.分别隔离滑块和木板求各自的加速度。要注意当滑块与木板的速度相同时,摩擦力发生突变的情况。 3.明确位移关系:滑块与木板叠放在一起运动时,应仔细分析滑块与木板的运动过程,明确滑块与木板对地的位移和滑块与木板之间的相对位移之间的关系。一般情况下,若同向运动,则x1-x2=L;若反向运动,则x1+x2=L。 题型2：斜面上的滑块木板模型 17. （多选）滑沙运动是小孩比较喜欢的一项运动，其运动过程可类比为如图所示的模型，倾角为的斜坡上有长为的滑板，滑板与沙间的动摩擦因数为。小孩可视为质点坐在滑板上端，与滑板一起由静止开始下滑，小孩与滑板之间的动摩擦因数取决于小孩的衣料，假设图中小孩与滑板间的动摩擦因数为，小孩的质量与滑板的质量相等，斜坡足够长，，，取，则下列判断正确的是(    ) A. 小孩在滑板上下滑的加速度大小为 B. 小孩和滑板脱离前滑板的加速度大小为 C. 经过的时间，小孩离开滑板 D. 小孩离开滑板时的速度大小为 【答案】BC  【解析】对小孩，由牛顿第二定律得，加速度大小为，同理对滑板，加速度大小为，A错误，B正确；小孩刚与滑板分离时，有，解得，离开滑板时小孩的速度大小为，D错误，C正确。 变式训练·举一反三 18. （多选）如图甲所示，质量为的木板置于水平地面上，木板最左端放有可视为质点的物块。时刻，对物块施加水平向右、大小为的恒力时刻，撤去。物块、木板运动的速度随时间变化的图像如图乙所示。取重力加速度。下列说法正确的是(    ) A. 物块与木板间的动摩擦因数为 B. 物块的质量为 C. 时，物块的加速度大小为 D. 木板的长度至少为 【答案】BC  【解析】对物块受力分析可知，对长木板，时刻，撤去，对物块，整理以上公式得，，，故A错误，B正确； C.时，物块与长木板共同运动，加速度，故C正确； D.木板的长度为物块相对木板的位移即图中三角形的面积，故D错误。 19.如图所示，在倾角为的足够长的固定斜面上，有一质量为的长木板，长木板在沿斜面向上的拉力作用下始终做速度为的匀速运动。某时刻开始，将一质量为的小铁块可视为质点，以相对斜面向下的初速度从长木板的上端释放，小铁块沿长木板向下滑动，最终小铁块跟长木板一起沿斜面向上做匀速运动。已知，小铁块、木板和斜面相互间的动摩擦因数均为，，重力加速度为。求：小铁块从开始滑动到离斜面底端最近时经历的时间； 从释放铁块到共速时长木板沿斜面向上运动的距离和长木板的最短长度。 【答案】解：对小铁块分析，因为，所以滑动摩擦力大于重力沿斜面向下的分力，加速度方向沿斜面向上，小铁块沿斜面向下做匀减速运动，沿斜面方向，根据牛顿第二定律有：                      当小铁块速度减为零时，离斜面底端最近，设经历时间为 根据运动学公式有：                由两式可解得： 小铁块先沿斜面向下匀减速运动，速度为零后再沿斜面向上匀加速运动，最终跟长木板以共同速度匀速运动，设到共速时经历时间为，对小铁块，根据运动学公式，取向上为正方向有： 长木板匀速运动，沿斜面向上运动的距离为 可解得： 小铁块从开始沿斜面向下做匀减速运动，到与长木板共速时，根据运动公式， 沿斜面向下运动的距离为： 若小铁块与长木板共速时小铁块恰好滑到长木板的最下端，则长木板的长度最短，最短长度为： 答：小铁块从开始滑动到离斜面底端最近时经历的时间为； 从释放铁块到共速时长木板沿斜面向上运动的距离和长木板的最短长度为。  巩固训练·提升能力 一、单选题。 1.如图所示，绷紧的水平传送带始终以恒定速率运行，初速度大小为的小物块从与传送带等高的光滑水平地面，沿传送带运动的反方向滑上传送带，选的方向为正方向，从物块滑上传送带开始计时，其运动的图像不可能是下图中的(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】A.小物块从右端滑上传送带后一直做匀减速运动，到达左端后速度还没有减为零，离开传送带后在光滑水平地面上做匀速运动，故A可能； B.小物块从右端滑上传送带后先做匀减速运动，速度减为零后反向做匀加速运动，当速度等于传送带速度  后匀速运动，故B可能； C.物块做匀减速运动速度达到零后不能一直匀加速下去，反向加速后，速度等于传送带速度  后匀速运动，故C不可能； D.小物块从右端滑上传送带后一直做匀减速运动，到达左端时速度恰好为零，故D可能。 题目要求选不可能的，故选C。 2.如图，飞机场运输行李的倾斜传送带保持恒定的速率向上运行，将行李箱无初速度地放在传送带底端，当它送入飞机货舱前行李箱已做匀速运动。设行李箱与传送带之间的动摩擦因数为，已知滑动摩擦力近似等于最大静摩擦力，下列说法正确的是(    ) A. 做匀速运动时，行李箱与传送带之间的摩擦力为零 B. 重的行李箱比轻的行李箱传送时间更长些 C. 若增加传送带速度，传送的时间不变 D. 运送行李时该传送带的倾角必须小于 【答案】D  【解析】A.做匀速运动时，行李箱与传送带之间的摩擦力为   ，故A错误 B.根据，加速阶段，重的行李箱与轻的行李箱传送加速度相同，即行李箱的加速时间、加速位移、匀速时间相同，故B错误； C.若增加传送带速度，行李箱的加速时间改变，传送的时间变化，故C错误 D.行李箱先做加速运动，有，解得，运送行李时该传送带的倾角必须小于，故D正确． 3.如图所示，一水平传送带以速度沿逆时针方向匀速转动，一碳块从传送带左端以初速度向右滑上水平传送带，碳块与传送带间的动摩擦因数恒定，下列说法错误的是(    ) A. 当碳块从传送带右端滑离时，若一定，越大，传送带上的划痕越长 B. 当碳块从传送带右端滑离时，若一定，越大，传送带上的划痕越长 C. 当碳块从传送带左端滑离时，若一定，越大，传送带上的划痕越长 D. 当碳块从传送带左端滑离时，若一定，越大，传送带上的划痕越长 【答案】B  【解析】A.当碳块从传送带右端滑离，根据，可知  一定，碳块通过传送带的时间一定，碳块的位移一定，划痕为  ， 越大时，传送带的位移越大，划痕越长，故A正确，不符合题意； B.由上述分析可知，若  一定，  越大，碳块通过传送带的时间越短，碳块的位移一定，传送带的位移变小，划痕越短，故B错误，符合题意； 当碳块从传送带左端滑离，在  时，碳块在传送带上的划痕长度  ， 若  ，划痕长度 ，  一定，  越大，划痕越长，  一定，  越大，划痕越长，故CD正确，不符合题意。 本题选择错误选项，故选B。 4.如图所示，倾角为的传送带始终以的速度顺时针匀速运动，一质量为的物块以的速度从底端冲上传送带，恰好能到达传送带顶端。已知物块与传送带间的动摩擦因数为，取重力加速度大小，，物块从传送带底端运动到顶端的时间为(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解答】开始时物块速度大于传送带速度，所受传送带摩擦力沿传送带向下，根据牛顿第二定律，解得，  物块速度与传送带速度相等所需的时间 ，之后物块的速度小于传送带的速度，物块所受摩擦力沿传送带向上， 根据牛顿第二定律，解得 物块从速度等于传送带速度到速度为零所需时间 物块从传送带底端运动到顶端的时间 。 故选D。 5.如图甲所示，小物块以初速度冲上水平放置的平板，在此后的运动过程中始终没有滑离平板，、运动的部分图像如图乙所示。下列说法正确的是(    ) A. 若，则 B. A、两物体质量可能相同 C. 时间内，有时仅受一个摩擦力作用 D. 与间的动摩擦因数小于与地面间的动摩擦因数 【答案】A  【解析】A.设之间、与地面之间动摩擦因数分别为  ，到  内，对、，由牛顿第二定律分别有 解得、加速度分别为 ，  则到  内，对有 对有   到  时间内，对整体有 联立解得 若 解得 故A正确； B.以上分析可知 若质量相等，则 而图乙可知  速度就已经为  ，故  速度不可能还是  ，不符合题意，故B错误； C.速度时间图像的斜率表示加速度，图乙可知到  时间内始终有加速度，故AB间一直存在摩擦力，所以在  时间内一直同时受到给摩擦力和地面给的摩擦力，故C错误； D.题意可知要让运动起来，必须满足 即 故A与间的动摩擦因数大于与地面间的动摩擦因数，故 D错误。 故选 A。 二、多选题。 6.如图所示，、和是竖直平面内三根固定的光滑细杆，、、、、位于同一圆周上，为圆周的最高点，为最低点，为圆心。每根杆上都套着一个小滑环未画出，两个滑环从点无初速度释放，一个滑环从点无初速度释放，、、分别表示滑环沿、、到达、所用的时间，则下列关系正确的是(    ) A. B. C. D. 【答案】BCD  【解析】设想还有一根光滑固定细杆，则、、三细杆交于圆的最低点，三杆顶点均在圆周上，根据等时圆模型可知，由、、无初速度释放的小滑环到达点的时间相等，即；而由和由滑动的小滑环相比较，滑行位移大小相同，初速度均为零，但，由可知，，故A错误，、、D正确。 7.一小物块向左冲上水平向右运动的木板，二者速度大小分别为、，此后木板的速度随时间变化的图像如图所示。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，木板足够长。整个运动过程中(    ) A. 物块的运动方向不变 B. 物块的加速度方向不变 C. 物块相对木板的运动方向不变 D. 物块与木板的加速度大小相等 【答案】CD  【解析】A、木板速度为时，斜率发生改变，则加速度发生变化，可知此时物块与木板共速，则物块先向左减速，再向右加速，故A错误； B、物块与木板共速前，加速度始终向右，共速后一起减速，加速度向左，故B错误； C、物块速度减到之前相对木板向左运动，物块速度从增大到时速度依然小于木板速度，所以该过程物块相对木板向左运动，之后一起减速，无相对位移，所以整个过程中物块相对木板的运动方向向左不变，故C正确； D、共速前，物块的加速度为 木板的加速度为 则物块与木板共速前后，二者的加速度大小都相等，故D正确。 故选：。 8.如图所示，一质量为的物块叠放在质量为的长木板上，二者均静止在水平地面上，已知木板与物块间的动摩擦因数为，木板与地面间的动摩擦因数为。现给长木板一水平向右的初速度，下列关于板、块的图像实线和虚线分别表示不同物体可能正确的是(    ) A. 　　　 B. C. 　　　 D. 【答案】AD  【解析】、由题意可知，起初物块做匀加速直线运动，木板做匀减速直线运动，故四个选项中的虚线均表示物块、实线均表示木板。某个时刻两者速度相等，之后若，则二者可相对静止以共同加速度做匀减速直线运动直至停下，且二者做匀减速运动的加速度大小均为，小于起初木板做匀减速运动的加速度，A正确，B错误； 、若，则二者不能相对静止，二者以不同的加速度做匀减速直线运动，且物块的加速度大小不变，方向相反，C错误，D正确。 9.如图甲，一水平浅色传送带上放置一煤块可视为质点，煤块与传送带之间的动摩擦因数。初始时，两者都是静止的。现让传送带在电机带动下先加速后减速，传送带的速度时间图像如图乙所示。设传送带足够长，一段时间后，煤块在传送带上留下了一段黑色痕迹，重力加速度取。下列说法正确的是(    ) A. 时煤块与传送带速度相同 B. 煤块相对传送带的位移为 C. 煤块的质量越大黑色痕迹的长度越长 D. 黑色痕迹的长度为 【答案】AD  【解析】煤块的加速度大小，在图上作出煤块的速度时间图像，斜率为加速度，根据几何关系可知，图像过，与传送带的图像交于，然后减速，交轴于，故A正确；由图可知，煤块先相对传送带向左滑动，相对位移，共速后煤块相对传送带往右滑动，相对位移，则痕迹应取较长的相对位移为，煤块相对传送带的总位移，故B错误，D正确；煤块的质量变大，不改变加速度，痕迹长度不变，故C错误。 三、计算题。 10.如图所示，传送带与水平面之间的夹角，其上、两点间的距离，传送带在电动机的带动下以的速率匀速运动。现将一小物体可视为质点轻放在传送带的点，已知小物体与传送带之间的动摩擦因数，重力加速度的大小，在传送带将小物体从点传送到点的过程中；求： 小物体刚开始运动时的加速度大小； 小物体从点运动到点经过的时间。 【答案】物体加速过程，根据牛顿第二定律有 则物体刚开始运动时的加速度大小 当物体的速度增加到时，通过的位移 由  得 由于  ，所以物体的速度达到后将与传送带以相同速度匀速运动物体匀速运动的位移 匀速运动的时间 故物体从运动到经过的时间。 11.如图所示，足够长、质量的木板静止在水平面上，质量的小滑块可视为质点静止在木板左端，滑块与木板间的动摩擦因数，木板与水平面间的动摩擦因数。从零时刻起，对滑块施加方向与水平面成斜向右上方恒定外力，经过时间撤去此力。已知，，取，求： 撤去外力前，滑块的加速度大小； 木板的最大速度； 木板运动的时间。 【答案】撤去外力前，以滑块为研究对象，根据牛顿第二定律可得 又 联立解得滑块的加速度大小。 撤去外力前，由于 可知木板处于静止状态；经过时间撤去力，此时滑块的速度大小 撤去力后，分别对滑块和木板，根据牛顿第二定律可得， 解得滑块和木板的加速度大小分别为， 设经过时间，滑块和木板达到共速，则有 解得， 可知木板的最大速度为。 共速后，由于 可知滑块和木板保持相对静止一起做匀减速运动，加速度大小 共速后到停下所用时间 则木板运动的时间。 12.如图所示，木板静止在足够大的水平地面上，可视为质点的物块放置在的右端，木板的质量，长度，物块的质量，、间的动摩擦因数，与地面间的动摩擦因数。现对木板施加一个水平向右、大小为的外力，重力加速度大小取，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。 求物块从木板上脱离时物块与木板的动能分别为多大； 要使物块不脱离木板，求外力作用的最长时间。 【答案】解：物块在摩擦力作用下做匀加速运动，根据牛顿第二定律可得， 解得， 木板加速过程，根据牛顿第二定律可得， 解得， 物块从木板上脱离时满足， 又，， 联立解得，，， 则物块从木板上脱离时物块与木板的动能分别为，。 设外力作用的最长时间为，从撤去外力到物块刚好到达木板最左端所用的时间为， 撤去外力时物块与木板的相对速度大小为， 撤去外力后木板做减速运动，有， 解得， 又， ， 联立解得。  12 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$