精品解析：河南省郑州市荥阳市郑州机电工程学校2024-2025学年高二下学期4月期中数学试题

2025年二年级下学期期中考试 数学试卷 说明：1．本考试共两张四页，请把答案写在答题卡上，只交答题卡页 2．答题卡页保持卷面整洁，不得随意涂抹 一、单项选择题（本大题包括10小题，每小题3分，共30分．） 1. 若平面平面，直线，则和的关系为（ ） A. 相交 B. 平行 C. 异面 D. 无法判断 【答案】B 【解析】 【分析】根据线面平行的判断定理即可求解. 【详解】由线面平行的判断定理可得，若两个平面平行，那么一个平面内的直线与另一个平面平行， 所以若平面平面，直线，则和的关系为平行. 故选：B. 2. 若，是两个不重合的平面，则下列条件中可判断两平面平行的是（ ） A. 内有无数条直线与平行 B. 与都平行于直线 C. ，，且， D. 内的任何直线都与平行 【答案】D 【解析】 【分析】根据面面平行的定义及判定定理求解即可. 【详解】A选项，内有无数条直线与平行，不能判定，因为这无数条直线可能都平行． 选项，若同一条直线平行于两个平面，则这两个平面可以平行，也可以相交． C选项，，，且，，则或与相交． D选项，内的任何直线都与平行，则可得到内的两条相交直线与平行，则． 故选：D. 3. 已知，则直线的位置关系为（ ） A. 相交 B. 平行 C. 异面 D. 以上均有可能 【答案】D 【解析】 【分析】根据线面，线线的位置关系即可求解. 【详解】由可得，直线可能相交，平行或异面. 故选：D. 4. 下列命题不正确的是（　　） A. 不在同一直线上的三点确定一个平面 B. 一条直线和一个点确定一个平面 C. 两条平行直线确定一个平面 D. 两条相交直线确定一个平面 【答案】B 【解析】 【分析】根据平面的基本性质即可求解. 【详解】对于A：不在同一直线上的三点确定一个平面，故A正确； 对于B：一条直线和直线外一点确定一个平面，故B错误； 对于C：两条平行直线可确定一个平面，故C正确； 对于D：两条相交直线确定一个平面，故D正确． 故选：B． 5. 两条相交直线所成的角的范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间中直线所成角即可得到答案. 【详解】两条相交直线所成的角的范围是. 故选：A . 6. 如图，用符号语言可以表达为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据点线面之间的关系，结合符号表示即可求解. 【详解】对A，由图可得，点在直线上，即，故A错误. 对B，由图可得，直线在平面内，即，故B错误. 对C，由图可得，点在直线上且在直线上，即，故C错误. 对D，由图可得，与相交于直线，即；直线在平面内，即； 点在直线上且在直线上，即，故D正确. 故选：D. 7. 已知直线平面，平面，，则直线a，b的位置关系为（　　） A. 相交 B. 平行 C. 异面 D. 垂直 【答案】B 【解析】 【分析】根据线面平行性质定理即可解得. 【详解】由于直线平面，平面，， 则由线面平行的性质可知， 故选：B 8. 若直线平面，则b与的位置关系为（ ） A. B. C. b与相交 D. 不确定 【答案】D 【解析】 【分析】根据线面平行的性质定理即可知. 【详解】若直线平面， 则，或，或b与相交. 故选：D. 9. 若平面α外一点A到平面α的距离为，斜线段AB交于点B，AB在α内射影，则直线AB与平面所成角的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题知，于，即为斜线段AB与平面所成的角，在中可求解. 【详解】 如图，由题知，于， 所以斜线段AB在平面内的射影为， 即为斜线段AB与平面所成的角. 在中，，， 所以， 所以. 故选：D 10. 已知表示平面，l，m，n表示直线，下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间中直线的位置关系以及线面平行和垂直的性质判断即可. 【详解】垂直于同一直线的两条直线平行，相交或异面，A、B错误； 平行于同一平面的两直线平行，相交或异面，C错误； ，由线面平行的性质有，D正确． 故选：D. 二、填空题（本大题包括3小题，共30分） 11. 三条互相平行的直线最多可确定____个平面． 【答案】3 【解析】 【分析】讨论三条直线的位置关系即可得到答案. 【详解】解：若三条直线在同一个平面内，则此时三条直线只能确定一个平面， 若三条直线不在同一个平面内，则此时三条直线能确定三个平面， 所以三条互相平行的直线最多可确定3个平面. 故答案为：3. 12. 如图所示，正方体中，与所成角的度数为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据正方体的结构特征，异面直线所成的角即可求解. 【详解】连接， 在正方体中，，则异面直线与所成的角等价于与所成的角， 由正方体的结构特征可得，与所成的角为，即与所成角的度数为. 故答案为：. 13. 在正方体中，平面与平面的交线为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】结合图形，分析两平面的交线即可得解. 【详解】如图， 因为平面，平面， 所以平面平面. 故答案为：. 14. 如果，那么和的关系为_______（填平行相交或异面） 【答案】平行 【解析】 【分析】根据线面平行的性质求解. 【详解】因为，根据线面平行的性质定理可知． 故答案为：平行. 15. 若点平面直线，则，这种说法_______（填正确或错误） 【答案】错误 【解析】 【分析】根据点线面的位置关系即可求解. 【详解】因为点平面直线，则直线与平面有公共点，所以或直线与平面相交． 故答案为：错误. 16. 如果，，那么__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据平面与平面平行的性质判断. 【详解】由平面与平面平行的性质可知， 若，且，则由. 故答案为: . 17. 平面平面，平面平面，平面平面，则直线与的位置关系是__________． 【答案】平行 【解析】 【分析】根据平面与平面平行的性质定理判断. 【详解】如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么两条交线互相平行． 所以m与n的位置关系是平行， 故答案为：平行. 18. 、、是三条直线，是平面，若，，，，且__________（填上一个条件即可），则有． 【答案】 【解析】 【分析】由直线与平面垂直的判定定理分析即可. 【详解】由直线与平面垂直的判定定理可知，如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则这条直线与这个平面垂直， 即，，，，，则有． 故答案为:. 19. 若平面，直线，则m与位置关系为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据线面垂直的判定定理即可求解. 【详解】因为一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面， 据此，平面，直线，则有， 故答案为： 20. 下列推理正确的序号是_______． ① ② ③ ④ ⑤ 【答案】①②④ 【解析】 【分析】根据点线面的位置关系，线面垂直的判定即可求解. 【详解】对①，若一条直线上有两点在一个平面内，则这条直线在这个平面内， 所以，故①正确； 对②，如果一条直线垂直一个平面，那么这条直线垂直平面内的所有直线， 所以，故②正确； 对③，，也可能是与的交点，故③错误； 对④，若点在直线上，直线在平面内，则点在平面内，所以，故④正确； 对⑤，，与异面或，故⑤错误. 综上，正确的序号是：①②④. 故答案为：①②④. 三、证明题：（本大题包括5小题，每小题8分，共40分） 21. 已知直三棱柱的所有棱长都相等，分别是棱的中点， （1）求证：平面 （2）求和平面所成角的正切值 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据线面平行的判定，面面平行的判定定理即可求解. （2）先找出是和平面所成角，即可求解. 【小问1详解】 取中点，连接，因为分别是棱的中点，所以， 因为平面，不在平面内，所以平面， 因为平面，不在平面内，所以平面， 又，在平面内，所以平面平面， 因为平面，所以平面. 【小问2详解】 在直三棱柱中，平面． 由（1）知，所以平面，所以是和平面所成角． 设直三棱柱棱长为2，则，则， 即和平面所成角的正切值为. 22. 已知正方体ABCD-A1B1C1D1，为底面的中心．求证： （1）平面AB1D1//平面C1BD； （2）． 【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析. 【解析】 【分析】（1）在正方体ABCD-A1B1C1D1中，分别证明平面，平面，由面面平行的判定定理可证；（2）在等腰三角形中可证，由平行线的传递性可证. 【详解】解：（1）在正方体ABCD-A1B1C1D1中，，且，所以四边形为平行四边形，则，同理 平面，平面，所以平面，同理平面，且，所以平面AB1D1//平面C1BD； （2）在正方体ABCD-A1B1C1D1中，，为的中点，所以，又，所以. 23. 如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，侧棱，，求证：平面． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】由已知可证，，从而得证平面． 【详解】证明：∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 又∵，平面，平面， ∴平面． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年二年级下学期期中考试 数学试卷 说明：1．本考试共两张四页，请把答案写在答题卡上，只交答题卡页 2．答题卡页保持卷面整洁，不得随意涂抹 一、单项选择题（本大题包括10小题，每小题3分，共30分．） 1. 若平面平面，直线，则和的关系为（ ） A. 相交 B. 平行 C. 异面 D. 无法判断 2. 若，是两个不重合的平面，则下列条件中可判断两平面平行的是（ ） A. 内有无数条直线与平行 B. 与都平行于直线 C. ，，且， D. 内的任何直线都与平行 3. 已知，则直线的位置关系为（ ） A. 相交 B. 平行 C. 异面 D. 以上均有可能 4. 下列命题不正确的是（　　） A. 不在同一直线上的三点确定一个平面 B. 一条直线和一个点确定一个平面 C. 两条平行直线确定一个平面 D. 两条相交直线确定一个平面 5. 两条相交直线所成的角的范围是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，用符号语言可以表达为（ ） A. B. C. D. 7. 已知直线平面，平面，，则直线a，b的位置关系为（　　） A. 相交 B. 平行 C. 异面 D. 垂直 8. 若直线平面，则b与的位置关系为（ ） A. B. C. b与相交 D. 不确定 9. 若平面α外一点A到平面α的距离为，斜线段AB交于点B，AB在α内射影，则直线AB与平面所成角的大小为（ ） A. B. C. D. 10. 已知表示平面，l，m，n表示直线，下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 二、填空题（本大题包括3小题，共30分） 11. 三条互相平行的直线最多可确定____个平面． 12. 如图所示，正方体中，与所成角的度数为_______． 13. 在正方体中，平面与平面的交线为__________. 14. 如果，那么和的关系为_______（填平行相交或异面） 15. 若点平面直线，则，这种说法_______（填正确或错误） 16. 如果，，那么__________． 17. 平面平面，平面平面，平面平面，则直线与的位置关系是__________． 18. 、、是三条直线，是平面，若，，，，且__________（填上一个条件即可），则有． 19. 若平面，直线，则m与位置关系为______． 20. 下列推理正确的序号是_______． ① ② ③ ④ ⑤ 三、证明题：（本大题包括5小题，每小题8分，共40分） 21. 已知直三棱柱的所有棱长都相等，分别是棱的中点， （1）求证：平面 （2）求和平面所成角的正切值 22. 已知正方体ABCD-A1B1C1D1，为底面的中心．求证： （1）平面AB1D1//平面C1BD； （2）． 23. 如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，侧棱，，求证：平面． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $