第7章 §7.5 正态分布-（课件PPT+Word教案）【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第三册教师用书（人教A版2019）

第七章 <<< §7.5 正态分布 1.利用实际问题的频率分布直方图，了解正态曲线的特点及正态曲线所表示的意义. 2.了解变量落在区间[μ-σ，μ+σ]，[μ-2σ，μ+2σ]，[μ-3σ，μ+3σ]内的概率大小. 3.会用正态分布去解决实际问题. 学习目标 一所学校同年级的同学的身高，特别高的同学比较少，特别矮的同学也不多，大都集中在某个高度左右；某种电子产品的使用寿命也都接近某一个数，使用期过长，或过短的产品相对较少.生活中这样的现象很多，是否可以用数学模型来刻画呢？ 导 语 一、正态曲线及其特征 二、利用正态分布的性质求概率 课时对点练 三、正态分布的应用 随堂演练 内容索引 4 一 正态曲线及其特征 下列随机变量哪个是离散型随机变量： (1)掷一枚骰子一次，用X表示所得点数； 问题1 提示　是， (2)白炽灯的使用时间. 提示　不是. 教材P74例2的高尔顿板试验中，随着重复次数的增加，频率分布直方图的形状会越来越像一条钟形曲线，那么这条曲线是否存在函数解析式呢？ 问题2 提示　存在. 1.我们称f(x)=_______________，x∈R，其中μ∈R，σ>0为参数，为______________，称它的图象为正态密度曲线，简称 . 2.若随机变量X的概率分布密度函数为f(x)，则称随机变量X服从正态分布，记为_____________.特别地，当μ=0，σ=1时，称随机变量X服从________ _________. 3.若X~N(μ，σ2)，则E(X)=μ，D(X)=σ2. 正态密度函数 正态曲线 X~N(μ，σ2) 标准正 态分布 知识梳理 4.正态曲线的特点： (1)非负性：对∀x∈R，f(x)>0，它的图象在x轴的 . (2)定值性：曲线与x轴之间的区域的面积为 . (3)对称性：曲线是单峰的，它关于直线 对称. (4)最大值：曲线在 处达到峰值. (5)当|x|无限增大时，曲线无限接近 轴. (6)当 一定时，正态曲线的位置由μ确定，正态曲线 随着 的变化而沿x轴平移，如图①. 上方 1 x=μ x=μ x σ μ 9 (7)当μ一定时，正态曲线的形状由σ确定，当σ较小时，峰值高，正态曲线“瘦高”，表示随机变量X的分布比较集中；当σ较大时，峰值低，正态曲线“矮胖”，表示随机变量X的分布比较分散，如图②. 5.正态分布的几何意义：若X~N(μ，σ2)，如图所示，X取值不超过x的概率P(X≤x)为图中区域A的面积，而P(a≤X≤b)为图中区域B的面积. 10 　(1)已知随机变量服从正态分布，其正态曲线 如图所示，则总体的均值μ=　　　，方差σ2=　　.  例 1 20 2 从给出的正态曲线可知，该正态曲线关于直线x=20对称，最大值是=，解得σ=，因此总体的均值μ=20，方差σ2=()2=2. 11 (2)(多选)一次教学质量检测中，甲、乙、丙三科考试成绩的正态曲线如图所示，下列说法中不正确的是 A.甲科总体的标准差最小 B.丙科总体的平均数最小 C.乙科总体的标准差及平均数都比甲小，比丙大 D.甲、乙、丙总体的平均数不相同 √ √ √ 12 由题图可知三科总体的平均数(均值)相等，由正态曲线的性质，可知σ越大，正态曲线越“矮胖”，σ越小，正态曲线越“瘦高”. 故三科总体的标准差从小到大依次为甲、乙、丙. 13 (1)正态曲线是单峰的，它关于直线x=μ对称，由此特点结合图象求出μ. (2)正态曲线在x=μ处达到峰值，由此特点结合图象可求出σ. 反 思 感 悟 利用正态曲线的特点求参数μ，σ 14 　(1)(多选)下面关于正态曲线的叙述中，正确的有 A.曲线在x轴上方，且与x轴不相交 B.当x>μ时，曲线下降，当x<μ时，曲线上升 C.当μ一定时，σ越小，总体分布越分散，σ越大，总体分布越集中 D.曲线关于直线x=μ对称，且当x=μ时，位于最高点 跟踪训练 1 √ 只有C错误，因为当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，总体分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，总体分布越分散. √ √ 15 (2)(多选)甲、乙两类水果的质量(单位：kg)分别服从正态分布N(μ1，)，N(μ2，)，其正态密度函数f(x)=，x∈R的正态曲线如图所示，则下列说法正确的是 A.甲类水果的平均质量μ1=0.4 kg B.甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平 均值左右 C.甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小 D.乙类水果的质量服从的正态分布的参数σ2=1.99 √ √ √ 16 由图象可知甲图象关于直线x=0.4对称，乙图象关于直线x=0.8对称， 所以μ1=0.4，μ2=0.8，μ1<μ2，故A，C正确； 因为甲图象比乙图象更“瘦高”，所以甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值左右，故B正确； 因为乙图象的最大值为1.99， 即=1.99，σ2≠1.99，故D错误. 17 二 利用正态分布的性质求概率 正态变量在三个特殊区间内取值的概率值 P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈ ；  P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈ ；  P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈ .  0.682 7 0.954 5 0.997 3 知识梳理 尽管正态变量的取值范围是(-∞，+∞)，但在一次试验中，X的取值几乎总是落在区间[μ-3σ，μ+3σ]内，而在此区间以外取值的概率大约只有0.002 7，通常认为这种情况几乎不可能发生. 在实际应用中，通常认为服从于正态分布N(μ，σ2)的随机变量X只取[μ-3σ，μ+3σ]中的值，这在统计学中称为3σ原则. 注 意 点 <<< 20 　设ξ~N(1，22)，试求： (1)P(-1≤ξ≤3)； 例 2 ∵ξ~N(1，22)， ∴μ=1，σ=2， P(-1≤ξ≤3)=P(1-2≤ξ≤1+2)=P(μ-σ≤ξ≤μ+σ)≈0.682 7. 21 (2)P(3<ξ≤5). ∵P(3<ξ≤5)=P(-3≤ξ<-1)， ∴P(3<ξ≤5)=[P(-3≤ξ≤5)-P(-1≤ξ≤3)] =[P(1-4≤ξ≤1+4)-P(1-2≤ξ≤1+2)] =[P(μ-2σ≤ξ≤μ+2σ)-P(μ-σ≤ξ≤μ+σ)]≈×(0.954 5-0.682 7)=0.135 9. 22 若本例条件不变，求P(ξ>5). P(ξ>5)=P(ξ<-3)=[1-P(-3≤ξ≤5)] =[1-P(1-4≤ξ≤1+4)] =[1-P(μ-2σ≤ξ≤μ+2σ)] ≈×(1-0.954 5)=0.022 75. 延伸探究 23 反 思 感 悟 利用正态分布求概率的两个方法 (1)对称法：由于正态曲线是关于直线x=μ对称的，且概率的和为1，故关于直线x=μ对称的区间概率相等.如： ①P(X<a)=1-P(X≥a)； ②P(X<μ-a)=P(X>μ+a). (2)“3σ”法：利用X落在区间[μ-σ，μ+σ]，[μ-2σ，μ+2σ]，[μ-3σ，μ+3σ]内的概率分别是0.682 7，0.954 5，0.997 3求解. (1)已知随机变量ξ服从正态分布N(1，σ2)，且P(ξ<2)=0.6，则P(0<ξ<2)等于 A.0.4 B.0.3 C.0.2 D.0.1 跟踪训练 2 √ 由已知可得正态曲线关于直线x=1对称，P(ξ<2)=0.6， 所以P(ξ≥2)=P(ξ≤0)=0.4，故P(0<ξ<2)=1-0.4-0.4=0.2. 25 (2)随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，若P(ξ<2)=0.2，P(2<ξ<6)=0.6，则μ等于 A.3 B.4 C.5 D.6 √ ∵P(ξ<2)=0.2，P(2<ξ<6)=0.6， ∴P(ξ>6)=1-0.2-0.6=0.2， 即P(ξ<2)=P(ξ>6)，∴μ==4. 26 三 正态分布的应用 　(1)现实世界中的很多随机变量遵循正态分布.例如反复测量某一个物理量，其测量误差X通常被认为服从正态分布.若某物理量做n次测量，最后结果的误差Xn ~N，则为使|Xn|>的概率控制在0.045 5及以下，至少要测量的次数为(附：若随机变量X~N(μ，σ2)，则P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7，P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5，P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈ 0.997 3) A.32 B.64 C.128 D.256 例 3 √ 28 根据题意，P≤0.045 5⇒P=P≥1-0.045 5=0.954 5， 而μ=0，则P(-2σ≤Xn≤2σ)≈0.954 5， 所以2σ≤⇒σ=≤⇒n≥128. 29 (2)某厂生产的圆柱形零件的外直径X(单位：cm)服从正态分布N(4，0.52).质检人员从该厂生产的1 000件零件中随机抽查1件，测得它的外直径为5.7 cm，试问：该厂生产的这批零件是否合格？ 由于外直径X~N(4，0.52)， 则X在[4-3×0.5，4+3×0.5]之内取值的概率为0.997 3，在[2.5，5.5]之外取值的概率为0.002 7， 而5.7∉[2.5，5.5]，这说明在一次试验中，出现了几乎不可能发生的小概率事件，据此可以认为这批零件是不合格的. 30 反 思 感 悟 解题时，应当注意零件尺寸应落在[μ-3σ，μ+3σ]之内，否则可以认为该批产品不合格.判断的根据是小概率事件在一次试验中几乎是不可能发生的，而一旦发生了，就可以认为这批产品不合格. 　已知某平台某次促销活动期间，某小区居民网上购物的消费金额X(单位：元)近似服从正态分布N(600，10 000)，则该小区800名居民中，网购金额超过800元的人数大约为(附：若随机变量X~N(μ，σ2)，则P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7，P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5，P(μ-3σ≤X≤μ+3σ) ≈0.997 3) A.16 B.18 C.20 D.25 跟踪训练 3 √ 32 ∵小区居民网上购物的消费金额X(单位：元)近似服从正态分布N(600，10 000)， ∴P=≈=0.022 75， ∴该小区800名居民中，网购金额超过800元的人数大约为0.022 75× 800=18.2≈18. 33 1.知识清单： (1)正态曲线及其特征. (2)利用正态分布的性质求概率. (3)正态分布的应用. 2.方法归纳：转化化归、数形结合. 3.常见误区：概率区间转化不等价. 课堂小结 34 随堂演练 四 1 2 3 4 1.设有一随机变量服从正态分布，它的正态曲线是函数f(x)的图象，且f(x)=，则这个随机变量的均值与标准差分别是 A.10与8 B.10与2 C.8与10 D.2与10 √ 由正态密度函数的定义可知，均值μ=10，方差σ2=4，即标准差σ=2. 2.某学校共1 000人参加数学测验，考试成绩ξ近似服从正态分布N(100，σ2)，若P(80≤ξ≤100)=0.45，则估计成绩在120分以上的学生人数为 A.25 B.50 C.75 D.100 1 2 3 4 √ 由已知可得，μ=100，所以P(ξ≥100)=0.5. 又P(80≤ξ≤100)=0.45，根据正态分布的对称性可得P(100≤ξ≤120) =0.45， 所以P(ξ>120)=P(ξ≥100)-P(100≤ξ≤120)=0.5-0.45=0.05. 所以，可估计成绩在120分以上的学生人数为1 000×0.05=50. 3.已知随机变量X服从正态分布N(10，22)，则D(3X-1)等于 A.6 B.11 C.12 D.36 1 2 3 4 √ 因为随机变量X服从正态分布N(10，22)， 所以D(X)=22=4， 所以D(3X-1)=32D(X)=9×4=36. 4.在正态分布N中，数据落在(-∞，-2)∪(2，+∞)内的概率是　　　　.  1 2 3 4 0.002 7 设X~N，则μ=0，σ=. 因为P(-2≤X≤2)=P≈0.997 3， 所以P(X<-2或X>2)=1-P(-2≤X≤2)≈1-0.997 3=0.002 7. 课时对点练 五 1.已知随机变量X~N(6，1)，且P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7，P(μ-2σ≤X≤μ +2σ)≈0.954 5，则P(7<X≤8)为 A.0.135 8 B.0.271 6 C.0.135 9 D.0.271 8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 √ 由题设可得P(5≤X≤7)≈0.682 7， P(4≤X≤8)≈0.954 5， 则P(7<X≤8)=[P(4≤X≤8)-P(5≤X≤7)]≈=0.135 9. 2.某物理量的测量结果服从正态分布N(10，σ2)，下列结论中不正确的是 A.σ越小，该物理量在一次测量中测量结果落在(9.9，10.1)内的概率越大 B.该物理量在一次测量中测量结果大于10的概率为0.5 C.该物理量在一次测量中测量结果小于9.99与大于10.01的概率相等 D.该物理量在一次测量中测量结果落在(9.9，10.2)内与落在(10，10.3)内 的概率相等 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为该物理量的测量结果服从正态分布N(10，σ2)，所以测量结果的分布关于直线x=10对称，且方差σ2越小，分布越集中. 对于A，σ越小，测量结果的分布越集中在10左右，则该物理量在一次测量中测量结果落在(9.9，10.1)内的概率越大，故选项A正确； 对于B，不管σ取何值，测量结果大于10的概率均为0.5，故选项B正确； 对于C，由于测量结果的分布关于直线x=10对称，所以测量结果大于10.01的概率等于小于9.99的概率，故选项C正确； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 对于D，由于测量结果的分布是集中在10附近的，(9.9，10.2)分布在10附近的区域大于(10，10.3)分布在10附近的区域，故测量结果落在(9.9，10.2)内的概率大于落在(10，10.3)内的概率，故选项D错误. 3.已知随机变量X~B(6，p)，Y~N(μ，σ2)，且P(Y≥2)=，E(X)=E(Y)，则p等于 A. B. C. D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为随机变量X~B(6，p)， 所以E(X)=6p， 因为Y~N(μ，σ2)，P(Y≥2)=，所以μ=2， 即E(Y)=2， 又E(X)=E(Y)，所以6p=2，即p=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.某中学抽取了1 600名同学进行身高调查，已知样本的身高(单位：cm)服从正态分布N(170，σ2).若身高在165 cm到175 cm的人数占样本总数的，则样本中不高于165 cm的人数约为 A.80 B.160 C.240 D.320 √ P(X≤165)=×=，则样本中不高于165 cm的人数约为1 600 ×=160. 5.(多选)已知三个正态密度函数fi(x)=·(x∈R，i=1，2，3)的图象如图所示，则下列结论正确的是 A.σ1=σ2 B.μ1>μ3 C.μ2=μ3 D.σ2<σ3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ √ 根据正态曲线关于直线x=μ对称，且μ越大，图象越靠近右边，所以μ1<μ2=μ3，故B错误，C正确； 又σ较小时，峰值高，正态曲线“瘦高”，所以σ1=σ2<σ3，故A，D正确. 6.(多选)(2024·新课标全国Ⅰ)随着“一带一路”国际合作的深入，某茶叶种植区多措并举推动茶叶出口，为了解推动出口后的亩收入(单位：万元)情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值=2.1，样本方差s2=0.01，已知该种植区以往的亩收入X服从正态分布N(1.8，0.12)，假设推动出口后的亩收入Y服从正态分布N(，s2)，则 (若随机变量Z服从正态分布N(μ，σ2)，P(Z<μ+σ)≈0.841 3) A.P(X>2)>0.2 B.P(X>2)<0.5 C.P(Y>2)>0.5 D.P(Y>2)<0.8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 依题可知，=2.1，s2=0.01， 所以Y~N(2.1，0.12)， 故P(Y>2)=P(Y>2.1-0.1)=P(Y<2.1+0.1)≈0.841 3，所以C正确，D错误； 因为X~N(1.8，0.12)， 所以P(X<1.8+0.1)≈0.841 3， 所以P(X>1.8+0.1)≈1-0.841 3=0.158 7， 而P(X>2)=P(X>1.8+2×0.1)<P(X>1.8+0.1)≈0.158 7，所以B正确，A错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.设随机变量ξ服从正态分布N(4，3)，若P(ξ<a-5)=P(ξ>a+1)，则实数a=　　.  由题意，随机变量ξ服从正态分布N(4，3)，可得μ=4，σ2=3，又P(ξ<a-5)=P(ξ>a+1)，所以a-5+a+1=8，解得a=6. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.已知随机变量X服从正态分布N(100，4)，若P(m<X≤104)≈0.135 9，则m=　　　　.  ∵随机变量X服从正态分布N(100，4)， ∴P(98≤X≤102)≈0.682 7， P(96≤X≤104)≈0.954 5， ∴P(102<X≤104)≈×(0.954 5-0.682 7)=0.135 9， 又P(m<X≤104)≈0.135 9，∴m=102. 52 9.某人骑自行车上班，第一条路线较短但拥挤，到达时间X(分钟)服从正态分布N(5，1)；第二条路线较长不拥挤，X服从N(6，0.16).若有一天他出发时离点名时间还有7分钟，问他应选哪一条路线？若离点名时间还有6.5分钟，问他应选哪一条路线？ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 还有7分钟时： 若选第一条路线，即X~N(5，1)，能及时到达的概率P1=P(X≤7)=P(X≤5) +P(5<X≤7)=+P(μ-2σ≤X≤μ+2σ). 若选第二条路线，即X~N(6，0.16)，能及时到达的概率P2=P(X≤7)= P(X≤6)+P(6<X≤7) =+P(μ-2.5σ≤X≤μ+2.5σ). 因为P1<P2，所以应选第二条路线. 同理，还有6.5分钟时，应选第一条路线. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.某单位为了解职工对垃圾回收知识的重视情况，对本单位的200名职工进行考核，然后通过随机抽样抽取其中的50名，统计其考核成绩(单位：分)，制成如图所示的频率分布直方图. (1)求这50名职工考核成绩的平均数(同 一组中的数据用该组区间的中点值为代 表)及中位数t(精确到0.01)； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 依题意，这50名职工考核成绩的平均数=74×0.04+78×0.12+82×0.28+86×0.36+90×0.10+94×0.06+98×0.04=84.80(分)， 由频率分布直方图得t∈[84，88)， ∴0.01×4+0.03×4+0.07×4+0.09×(t-84) =0.5， ∴中位数t≈84.67分. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)若该单位职工的考核成绩X服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ近似为50名职工考核成绩的平均数，σ2近似为样本方差s2，经计算得s2=27.68，利用该正态分布，估计该单位200名职工考核成绩高于90.06分的有多少名？(结果四舍五入保留整数) 参考数据：≈5.26，若X~N(μ，σ2)，则P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7，P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5，P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997 3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意得X~N(84.80，27.68)， μ+σ=84.80+≈90.06， ∴P(X>μ+σ)≈-≈0.158 7， ∴200×0.158 7≈32(名)， ∴估计该单位200名职工考核成绩高 于90.06分的有32名. 11.已知某批零件的长度X(单位：毫米)服从正态分布N(60，σ2)，且P(X<62)=0.8，从中随机取一个零件，其长度落在区间(58，60)内的概率为 A.0.3 B.0.4 C.0.5 D.0.6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 综合运用 √ 由题意知X~N(60，σ2)，所以μ=60， 所以P(X<62)=0.8=P(X≤60)+P(60<X<62)，又P(X≤60)=0.5， 所以P(60<X<62)=0.3，由正态曲线的对称性可得P(58<X<60)=0.3. 12.已知某节假日期间，某高速公路收费站的四个高速收费口每天通过的小汽车数Xi(i=1，2，3，4)(单位：辆)均服从正态分布N(600，σ2)，若P(500<Xi<700)=(i=1，2，3，4)，假设四个收费口均能正常工作，则这四个收费口每天至少有一个不低于700辆小汽车通过的概率为 A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 根据正态曲线的对称性可知，每个收费口有不低于700辆小汽车通过的概率P(Xi≥700)=×[1-P(500<Xi<700)]=×=(i=1，2，3，4)， 所以这四个收费口每天至少有一个不低于700辆小汽车通过的概率P=1-=. 13.设随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，且一元二次方程x2+4x+ξ=0无实数根的概率为，则μ=　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4 因为方程x2+4x+ξ=0无实数根的概率为，由Δ=16-4ξ<0，得ξ>4，即P(ξ>4)==1-P(ξ≤4)，故P(ξ≤4)=，所以μ=4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.某校高二年级男生的身高X(单位：cm)近似服从正态分布N，若X的值在[160，176]内的概率约为0.84，则n的值约为　　.  参考数据：P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7；P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5；P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997 3. 6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为X~N，所以μ=172，σ=， 因为P(160≤X≤176)=P(172-12≤X≤172+4)≈0.84， ① 而P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7，P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997 3， 所以P(172-3σ≤X≤172+σ)≈×(0.682 7+0.997 3)=0.84， ② 对比①②两式可知σ=4， 所以=4，解得n=6. 15.某汽车公司最近研发了一款新能源汽车，以单次最大续航里程500公里为标准进行测试，且每辆汽车是否达到标准相互独立，设每辆新能源汽车达到标准的概率为p(0<p<1)，当100辆汽车中恰有80辆达到标准时的概率取最大值时，若预测该款新能源汽车的单次最大续航里程为X，且X~N(550，σ2)，则预测这款汽车的单次最大续航里程不低于600公里的概率为 A.0.2 B.0.3 C.0.6 D.0.8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 拓广探究 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设100辆汽车中恰有80辆达到标准时的概率为f(p)，则f(p)=p80(1-p)20 (0<p<1)，则f'(p)=p79(1-p)19(80-100p).当p∈(0，0.8)时，f'(p)>0，所以f(p)在(0，0.8)上单调递增；当p∈(0.8，1)时，f'(p)<0，所以f(p)在(0.8，1)上单调递减.所以f(p)在p=0.8处取得最大值.所以P(X≥600)= P(X≤500)=1-P(X≥500)=1-0.8=0.2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.已知某军区新兵50 m步枪射击个人平均成绩X(单位：环)服从正态分布N(μ，σ2)，从中随机抽取100名新兵的个人平均成绩，得到如下的频数分布表： X 4 5 6 7 8 9 频数 1 2 26 40 29 2 (1)求μ和σ2的值(用样本的均值和方差代替总体的均值和方差)； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意，得随机抽取的100名新兵的个人平均成绩的分布列为(用频率估计概率)： X 4 5 6 7 8 9 P 0.01 0.02 0.26 0.40 0.29 0.02 均值E(X)=4×0.01+5×0.02+6×0.26+7×0.40+8×0.29+9×0.02=7， 方差D(X)=(4-7)2×0.01+(5-7)2×0.02+(6-7)2×0.26+(7-7)2×0.40+(8-7)2× 0.29+(9-7)2×0.02=0.8. 用样本的均值和方差代替总体的均值和方差，得μ=7，σ2=0.8. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)从这个军区随机抽取1名新兵，求此新兵的50 m步枪射击个人平均成绩在区间(7.9，8.8]的概率. 参考数据：≈0.9. X 4 5 6 7 8 9 频数 1 2 26 40 29 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由(1)知X~N(7，0.8)，因为≈0.9， 所以σ≈0.9， 因为P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7， P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5， 所以P(7.9<X≤8.8)=×[P(5.2≤X≤8.8)-P(6.1≤X≤7.9]≈×(0.954 5-0.682 7)=0.135 9， 即从这个军区随机抽取1名新兵，此新兵的50 m步枪射击个人平均成绩在区间(7.9，8.8]的概率约为0.135 9. 第七章 <<< $$ [学习目标]　1.利用实际问题的频率分布直方图，了解正态曲线的特点及正态曲线所表示的意义.2.了解变量落在区间[μ-σ，μ+σ]，[μ-2σ，μ+2σ]，[μ-3σ，μ+3σ]内的概率大小.3.会用正态分布去解决实际问题. 导语 一所学校同年级的同学的身高，特别高的同学比较少，特别矮的同学也不多，大都集中在某个高度左右；某种电子产品的使用寿命也都接近某一个数，使用期过长，或过短的产品相对较少.生活中这样的现象很多，是否可以用数学模型来刻画呢？ 一、正态曲线及其特征 问题1　下列随机变量哪个是离散型随机变量： (1)掷一枚骰子一次，用X表示所得点数； (2)白炽灯的使用时间. 提示　(1)是，(2)不是. 问题2　教材P74例2的高尔顿板试验中，随着重复次数的增加，频率分布直方图的形状会越来越像一条钟形曲线，那么这条曲线是否存在函数解析式呢？ 提示　存在. 知识梳理 1.我们称f(x)=，x∈R，其中μ∈R，σ>0为参数，为正态密度函数，称它的图象为正态密度曲线，简称正态曲线. 2.若随机变量X的概率分布密度函数为f(x)，则称随机变量X服从正态分布，记为X~N(μ，σ2).特别地，当μ=0，σ=1时，称随机变量X服从标准正态分布. 3.若X~N(μ，σ2)，则E(X)=μ，D(X)=σ2. 4.正态曲线的特点： (1)非负性：对∀x∈R，f(x)>0，它的图象在x轴的上方. (2)定值性：曲线与x轴之间的区域的面积为1. (3)对称性：曲线是单峰的，它关于直线x=μ对称. (4)最大值：曲线在x=μ处达到峰值. (5)当|x|无限增大时，曲线无限接近x轴. (6)当σ一定时，正态曲线的位置由μ确定，正态曲线随着μ的变化而沿x轴平移，如图①. (7)当μ一定时，正态曲线的形状由σ确定，当σ较小时，峰值高，正态曲线“瘦高”，表示随机变量X的分布比较集中；当σ较大时，峰值低，正态曲线“矮胖”，表示随机变量X的分布比较分散，如图②. 5.正态分布的几何意义：若X~N(μ，σ2)，如图所示，X取值不超过x的概率P(X≤x)为图中区域A的面积，而P(a≤X≤b)为图中区域B的面积. 例1　(1)已知随机变量服从正态分布，其正态曲线如图所示，则总体的均值μ=　　　　，方差σ2=　　　　.  答案　20　2 解析　从给出的正态曲线可知，该正态曲线关于直线x=20对称，最大值是，所以=，解得σ=，因此总体的均值μ=20，方差σ2=()2=2. (2)(多选)一次教学质量检测中，甲、乙、丙三科考试成绩的正态曲线如图所示，下列说法中不正确的是(　　) A.甲科总体的标准差最小 B.丙科总体的平均数最小 C.乙科总体的标准差及平均数都比甲小，比丙大 D.甲、乙、丙总体的平均数不相同 答案　BCD 解析　由题图可知三科总体的平均数(均值)相等，由正态曲线的性质，可知σ越大，正态曲线越“矮胖”，σ越小，正态曲线越“瘦高”. 故三科总体的标准差从小到大依次为甲、乙、丙. 反思感悟　利用正态曲线的特点求参数μ，σ (1)正态曲线是单峰的，它关于直线x=μ对称，由此特点结合图象求出μ. (2)正态曲线在x=μ处达到峰值，由此特点结合图象可求出σ. 跟踪训练1　(1)(多选)下面关于正态曲线的叙述中，正确的有(　　) A.曲线在x轴上方，且与x轴不相交 B.当x>μ时，曲线下降，当x<μ时，曲线上升 C.当μ一定时，σ越小，总体分布越分散，σ越大，总体分布越集中 D.曲线关于直线x=μ对称，且当x=μ时，位于最高点 答案　ABD 解析　只有C错误，因为当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，总体分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，总体分布越分散. (2)(多选)甲、乙两类水果的质量(单位：kg)分别服从正态分布N(μ1，)，N(μ2，)，其正态密度函数f(x)=，x∈R的正态曲线如图所示，则下列说法正确的是(　　) A.甲类水果的平均质量μ1=0.4 kg B.甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值左右 C.甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小 D.乙类水果的质量服从的正态分布的参数σ2=1.99 答案　ABC 解析　由图象可知甲图象关于直线x=0.4对称，乙图象关于直线x=0.8对称， 所以μ1=0.4，μ2=0.8，μ1<μ2，故A，C正确； 因为甲图象比乙图象更“瘦高”，所以甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值左右，故B正确； 因为乙图象的最大值为1.99， 即=1.99，σ2≠1.99，故D错误. 二、利用正态分布的性质求概率 知识梳理 正态变量在三个特殊区间内取值的概率值 P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7；  P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5；  P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997 3.  注意点： 尽管正态变量的取值范围是(-∞，+∞)，但在一次试验中，X的取值几乎总是落在区间[μ-3σ，μ+3σ]内，而在此区间以外取值的概率大约只有0.002 7，通常认为这种情况几乎不可能发生. 在实际应用中，通常认为服从于正态分布N(μ，σ2)的随机变量X只取[μ-3σ，μ+3σ]中的值，这在统计学中称为3σ原则. 例2　设ξ~N(1，22)，试求： (1)P(-1≤ξ≤3)；(2)P(3<ξ≤5). 解　∵ξ~N(1，22)， ∴μ=1，σ=2， (1)P(-1≤ξ≤3)=P(1-2≤ξ≤1+2) =P(μ-σ≤ξ≤μ+σ)≈0.682 7. (2)∵P(3<ξ≤5)=P(-3≤ξ<-1)， ∴P(3<ξ≤5)=[P(-3≤ξ≤5)-P(-1≤ξ≤3)] =[P(1-4≤ξ≤1+4)-P(1-2≤ξ≤1+2)] =[P(μ-2σ≤ξ≤μ+2σ)-P(μ-σ≤ξ≤μ+σ)] ≈×(0.954 5-0.682 7)=0.135 9. 延伸探究　若本例条件不变，求P(ξ>5). 解　P(ξ>5)=P(ξ<-3)=[1-P(-3≤ξ≤5)] =[1-P(1-4≤ξ≤1+4)] =[1-P(μ-2σ≤ξ≤μ+2σ)] ≈×(1-0.954 5)=0.022 75. 反思感悟　利用正态分布求概率的两个方法 (1)对称法：由于正态曲线是关于直线x=μ对称的，且概率的和为1，故关于直线x=μ对称的区间概率相等.如： ①P(X<a)=1-P(X≥a)； ②P(X<μ-a)=P(X>μ+a). (2)“3σ”法：利用X落在区间[μ-σ，μ+σ]，[μ-2σ，μ+2σ]，[μ-3σ，μ+3σ]内的概率分别是0.682 7，0.954 5，0.997 3求解. 跟踪训练2　(1)已知随机变量ξ服从正态分布N(1，σ2)，且P(ξ<2)=0.6，则P(0<ξ<2)等于(　　) A.0.4 B.0.3 C.0.2 D.0.1 答案　C 解析　由已知可得正态曲线关于直线x=1对称，P(ξ<2)=0.6， 所以P(ξ≥2)=P(ξ≤0)=0.4，故P(0<ξ<2)=1-0.4-0.4=0.2. (2)随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，若P(ξ<2)=0.2，P(2<ξ<6)=0.6，则μ等于(　　) A.3 B.4 C.5 D.6 答案　B 解析　∵P(ξ<2)=0.2，P(2<ξ<6)=0.6， ∴P(ξ>6)=1-0.2-0.6=0.2， 即P(ξ<2)=P(ξ>6)，∴μ==4. 三、正态分布的应用 例3　(1)现实世界中的很多随机变量遵循正态分布.例如反复测量某一个物理量，其测量误差X通常被认为服从正态分布.若某物理量做n次测量，最后结果的误差Xn ~N，则为使|Xn|>的概率控制在0.045 5及以下，至少要测量的次数为(附：若随机变量X~N(μ，σ2)，则P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7，P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5，P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997 3)(　　) A.32 B.64 C.128 D.256 答案　C 解析　根据题意，P≤0.045 5⇒P=P≥1-0.045 5=0.954 5， 而μ=0，则P(-2σ≤Xn≤2σ)≈0.954 5， 所以2σ≤⇒σ=≤⇒n≥128. (2)某厂生产的圆柱形零件的外直径X(单位：cm)服从正态分布N(4，0.52).质检人员从该厂生产的1 000件零件中随机抽查1件，测得它的外直径为5.7 cm，试问：该厂生产的这批零件是否合格？ 解　由于外直径X~N(4，0.52)， 则X在[4-3×0.5，4+3×0.5]之内取值的概率为0.997 3，在[2.5，5.5]之外取值的概率为0.002 7， 而5.7∉[2.5，5.5]，这说明在一次试验中，出现了几乎不可能发生的小概率事件，据此可以认为这批零件是不合格的. 反思感悟　解题时，应当注意零件尺寸应落在[μ-3σ，μ+3σ]之内，否则可以认为该批产品不合格.判断的根据是小概率事件在一次试验中几乎是不可能发生的，而一旦发生了，就可以认为这批产品不合格. 跟踪训练3　已知某平台某次促销活动期间，某小区居民网上购物的消费金额X(单位：元)近似服从正态分布N(600，10 000)，则该小区800名居民中，网购金额超过800元的人数大约为(附：若随机变量X~N(μ，σ2)，则P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7，P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5，P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997 3)(　　) A.16 B.18 C.20 D.25 答案　B 解析　∵小区居民网上购物的消费金额X(单位：元)近似服从正态分布N(600，10 000)， ∴P= ≈=0.022 75， ∴该小区800名居民中，网购金额超过800元的人数大约为0.022 75×800=18.2≈18. 1.知识清单： (1)正态曲线及其特征. (2)利用正态分布的性质求概率. (3)正态分布的应用. 2.方法归纳：转化化归、数形结合. 3.常见误区：概率区间转化不等价. 1.设有一随机变量服从正态分布，它的正态曲线是函数f(x)的图象，且f(x)=，则这个随机变量的均值与标准差分别是(　　) A.10与8 B.10与2 C.8与10 D.2与10 答案　B 解析　由正态密度函数的定义可知，均值μ=10，方差σ2=4，即标准差σ=2. 2.某学校共1 000人参加数学测验，考试成绩ξ近似服从正态分布N(100，σ2)，若P(80≤ξ≤100)=0.45，则估计成绩在120分以上的学生人数为(　　) A.25 B.50 C.75 D.100 答案　B 解析　由已知可得，μ=100，所以P(ξ≥100)=0.5. 又P(80≤ξ≤100)=0.45，根据正态分布的对称性可得P(100≤ξ≤120)=0.45， 所以P(ξ>120)=P(ξ≥100)-P(100≤ξ≤120)=0.5-0.45=0.05. 所以，可估计成绩在120分以上的学生人数为1 000×0.05=50. 3.已知随机变量X服从正态分布N(10，22)，则D(3X-1)等于(　　) A.6 B.11 C.12 D.36 答案　D 解析　因为随机变量X服从正态分布N(10，22)， 所以D(X)=22=4， 所以D(3X-1)=32D(X)=9×4=36. 4.在正态分布N中，数据落在(-∞，-2)∪(2，+∞)内的概率是　　　　.  答案　0.002 7 解析　设X~N，则μ=0，σ=. 因为P(-2≤X≤2)=P≈0.997 3， 所以P(X<-2或X>2)=1-P(-2≤X≤2)≈1-0.997 3=0.002 7. 课时对点练　[分值：100分] 单选题每小题5分，共35分；多选题每小题6分，共12分 1.已知随机变量X~N(6，1)，且P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7，P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5，则P(7<X≤8)为(　　) A.0.135 8 B.0.271 6 C.0.135 9 D.0.271 8 答案　C 解析　由题设可得P(5≤X≤7)≈0.682 7， P(4≤X≤8)≈0.954 5， 则P(7<X≤8)=[P(4≤X≤8)-P(5≤X≤7)]≈=0.135 9. 2.某物理量的测量结果服从正态分布N(10，σ2)，下列结论中不正确的是(　　) A.σ越小，该物理量在一次测量中测量结果落在(9.9，10.1)内的概率越大 B.该物理量在一次测量中测量结果大于10的概率为0.5 C.该物理量在一次测量中测量结果小于9.99与大于10.01的概率相等 D.该物理量在一次测量中测量结果落在(9.9，10.2)内与落在(10，10.3)内的概率相等 答案　D 解析　因为该物理量的测量结果服从正态分布N(10，σ2)，所以测量结果的分布关于直线x=10对称，且方差σ2越小，分布越集中. 对于A，σ越小，测量结果的分布越集中在10左右，则该物理量在一次测量中测量结果落在(9.9，10.1)内的概率越大，故选项A正确； 对于B，不管σ取何值，测量结果大于10的概率均为0.5，故选项B正确； 对于C，由于测量结果的分布关于直线x=10对称，所以测量结果大于10.01的概率等于小于9.99的概率，故选项C正确； 对于D，由于测量结果的分布是集中在10附近的，(9.9，10.2)分布在10附近的区域大于(10，10.3)分布在10附近的区域，故测量结果落在(9.9，10.2)内的概率大于落在(10，10.3)内的概率，故选项D错误. 3.已知随机变量X~B(6，p)，Y~N(μ，σ2)，且P(Y≥2)=，E(X)=E(Y)，则p等于(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　因为随机变量X~B(6，p)， 所以E(X)=6p， 因为Y~N(μ，σ2)，P(Y≥2)=，所以μ=2， 即E(Y)=2， 又E(X)=E(Y)，所以6p=2，即p=. 4.某中学抽取了1 600名同学进行身高调查，已知样本的身高(单位：cm)服从正态分布N(170，σ2).若身高在165 cm到175 cm的人数占样本总数的，则样本中不高于165 cm的人数约为(　　) A.80 B.160 C.240 D.320 答案　B 解析　P(X≤165)=×=，则样本中不高于165 cm的人数约为1 600×=160. 5.(多选)已知三个正态密度函数fi(x)=·(x∈R，i=1，2，3)的图象如图所示，则下列结论正确的是(　　) A.σ1=σ2 B.μ1>μ3 C.μ2=μ3 D.σ2<σ3 答案　ACD 解析　根据正态曲线关于直线x=μ对称，且μ越大，图象越靠近右边，所以μ1<μ2=μ3，故B错误，C正确； 又σ较小时，峰值高，正态曲线“瘦高”，所以σ1=σ2<σ3，故A，D正确. 6. (多选)(2024·新课标全国Ⅰ)随着“一带一路”国际合作的深入，某茶叶种植区多措并举推动茶叶出口，为了解推动出口后的亩收入(单位：万元)情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值=2.1，样本方差s2=0.01，已知该种植区以往的亩收入X服从正态分布N(1.8，0.12)，假设推动出口后的亩收入Y服从正态分布N(，s2)，则(　　) (若随机变量Z服从正态分布N(μ，σ2)，P(Z<μ+σ)≈0.841 3) A.P(X>2)>0.2 B.P(X>2)<0.5 C.P(Y>2)>0.5 D.P(Y>2)<0.8 答案　BC 解析　依题可知，=2.1，s2=0.01， 所以Y~N(2.1，0.12)， 故P(Y>2)=P(Y>2.1-0.1)=P(Y<2.1+0.1)≈0.841 3，所以C正确，D错误； 因为X~N(1.8，0.12)， 所以P(X<1.8+0.1)≈0.841 3， 所以P(X>1.8+0.1)≈1-0.841 3=0.158 7， 而P(X>2)=P(X>1.8+2×0.1)<P(X>1.8+0.1)≈0.158 7，所以B正确，A错误. 7.(5分)设随机变量ξ服从正态分布N(4，3)，若P(ξ<a-5)=P(ξ>a+1)，则实数a=　　　　.  答案　6 解析　由题意，随机变量ξ服从正态分布N(4，3)，可得μ=4，σ2=3，又P(ξ<a-5)=P(ξ>a+1)，所以a-5+a+1=8，解得a=6. 8.(5分)已知随机变量X服从正态分布N(100，4)，若P(m<X≤104)≈0.135 9，则m=　　　　.  答案　102 解析　∵随机变量X服从正态分布N(100，4)， ∴P(98≤X≤102)≈0.682 7， P(96≤X≤104)≈0.954 5， ∴P(102<X≤104)≈×(0.954 5-0.682 7)=0.135 9， 又P(m<X≤104)≈0.135 9，∴m=102. 9.(10分)某人骑自行车上班，第一条路线较短但拥挤，到达时间X(分钟)服从正态分布N(5，1)；第二条路线较长不拥挤，X服从N(6，0.16).若有一天他出发时离点名时间还有7分钟，问他应选哪一条路线？若离点名时间还有6.5分钟，问他应选哪一条路线？ 解　还有7分钟时： 若选第一条路线，即X~N(5，1)，能及时到达的概率P1=P(X≤7)=P(X≤5)+P(5<X≤7) =+P(μ-2σ≤X≤μ+2σ). 若选第二条路线，即X~N(6，0.16)，能及时到达的概率P2=P(X≤7)=P(X≤6)+P(6<X≤7) =+P(μ-2.5σ≤X≤μ+2.5σ). 因为P1<P2，所以应选第二条路线. 同理，还有6.5分钟时，应选第一条路线. 10.(11分)某单位为了解职工对垃圾回收知识的重视情况，对本单位的200名职工进行考核，然后通过随机抽样抽取其中的50名，统计其考核成绩(单位：分)，制成如图所示的频率分布直方图. (1)求这50名职工考核成绩的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)及中位数t(精确到0.01)；(5分) (2)若该单位职工的考核成绩X服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ近似为50名职工考核成绩的平均数，σ2近似为样本方差s2，经计算得s2=27.68，利用该正态分布，估计该单位200名职工考核成绩高于90.06分的有多少名？(结果四舍五入保留整数)(6分) 参考数据：≈5.26，若X~N(μ，σ2)，则P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7，P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5，P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997 3. 解　(1)依题意，这50名职工考核成绩的平均数=74×0.04+78×0.12+82×0.28+86×0.36+90×0.10+94×0.06+98×0.04=84.80(分)， 由频率分布直方图得t∈[84，88)， ∴0.01×4+0.03×4+0.07×4+0.09×(t-84)=0.5， ∴中位数t≈84.67分. (2)由题意得X~N(84.80，27.68)， μ+σ=84.80+≈90.06， ∴P(X>μ+σ)≈-≈0.158 7， ∴200×0.158 7≈32(名)， ∴估计该单位200名职工考核成绩高于90.06分的有32名. 11.已知某批零件的长度X(单位：毫米)服从正态分布N(60，σ2)，且P(X<62)=0.8，从中随机取一个零件，其长度落在区间(58，60)内的概率为(　　) A.0.3 B.0.4 C.0.5 D.0.6 答案　A 解析　由题意知X~N(60，σ2)，所以μ=60， 所以P(X<62)=0.8=P(X≤60)+P(60<X<62)，又P(X≤60)=0.5， 所以P(60<X<62)=0.3，由正态曲线的对称性可得P(58<X<60)=0.3. 12.已知某节假日期间，某高速公路收费站的四个高速收费口每天通过的小汽车数Xi(i=1，2，3，4)(单位：辆)均服从正态分布N(600，σ2)，若P(500<Xi<700)=(i=1，2，3，4)，假设四个收费口均能正常工作，则这四个收费口每天至少有一个不低于700辆小汽车通过的概率为(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　根据正态曲线的对称性可知，每个收费口有不低于700辆小汽车通过的概率P(Xi≥700)=×[1-P(500<Xi<700)]=×=(i=1，2，3，4)， 所以这四个收费口每天至少有一个不低于700辆小汽车通过的概率P=1-=. 13.(5分)设随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，且一元二次方程x2+4x+ξ=0无实数根的概率为，则μ=　　　.  答案　4 解析　因为方程x2+4x+ξ=0无实数根的概率为，由Δ=16-4ξ<0，得ξ>4，即P(ξ>4)==1-P(ξ≤4)，故P(ξ≤4)=，所以μ=4. 14.(5分)某校高二年级男生的身高X(单位：cm)近似服从正态分布N，若X的值在[160，176]内的概率约为0.84，则n的值约为　　　　.  参考数据：P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7；P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5；P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997 3. 答案　6 解析　因为X~N，所以μ=172，σ=， 因为P(160≤X≤176)=P(172-12≤X≤172+4)≈0.84， ① 而P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7，P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997 3， 所以P(172-3σ≤X≤172+σ)≈×(0.682 7+0.997 3)=0.84， ② 对比①②两式可知σ=4， 所以=4，解得n=6. 15.某汽车公司最近研发了一款新能源汽车，以单次最大续航里程500公里为标准进行测试，且每辆汽车是否达到标准相互独立，设每辆新能源汽车达到标准的概率为p(0<p<1)，当100辆汽车中恰有80辆达到标准时的概率取最大值时，若预测该款新能源汽车的单次最大续航里程为X，且X~N(550，σ2)，则预测这款汽车的单次最大续航里程不低于600公里的概率为(　　) A.0.2 B.0.3 C.0.6 D.0.8 答案　A 解析　设100辆汽车中恰有80辆达到标准时的概率为f(p)，则f(p)=p80(1-p)20(0<p<1)，则f'(p)=p79(1-p)19(80-100p).当p∈(0，0.8)时，f'(p)>0，所以f(p)在(0，0.8)上单调递增；当p∈(0.8，1)时，f'(p)<0，所以f(p)在(0.8，1)上单调递减.所以f(p)在p=0.8处取得最大值.所以P(X≥600)=P(X≤500)=1-P(X≥500)=1-0.8=0.2. 16.(12分)已知某军区新兵50 m步枪射击个人平均成绩X(单位：环)服从正态分布N(μ，σ2)，从中随机抽取100名新兵的个人平均成绩，得到如下的频数分布表： X 4 5 6 7 8 9 频数 1 2 26 40 29 2 (1)求μ和σ2的值(用样本的均值和方差代替总体的均值和方差)；(6分) (2)从这个军区随机抽取1名新兵，求此新兵的50 m步枪射击个人平均成绩在区间(7.9，8.8]的概率.(6分) 参考数据：≈0.9. 解　(1)由题意，得随机抽取的100名新兵的个人平均成绩的分布列为(用频率估计概率)： X 4 5 6 7 8 9 P 0.01 0.02 0.26 0.40 0.29 0.02 均值E(X)=4×0.01+5×0.02+6×0.26+7×0.40+8×0.29+9×0.02=7， 方差D(X)=(4-7)2×0.01+(5-7)2×0.02+(6-7)2×0.26+(7-7)2×0.40+(8-7)2×0.29+(9-7)2×0.02=0.8. 用样本的均值和方差代替总体的均值和方差，得μ=7，σ2=0.8. (2)由(1)知X~N(7，0.8)，因为≈0.9， 所以σ≈0.9， 因为P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7， P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5， 所以P(7.9<X≤8.8)=×[P(5.2≤X≤8.8)-P(6.1≤X≤7.9]≈×(0.954 5-0.682 7)=0.135 9， 即从这个军区随机抽取1名新兵，此新兵的50 m步枪射击个人平均成绩在区间(7.9，8.8]的概率约为0.135 9. 学科网（北京）股份有限公司 $$