第7章 §7.2 离散型随机变量及其分布列-（课件PPT+Word教案）【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第三册教师用书（人教A版2019）

第七章 <<< §7.2 离散型随机变量及其分布列 1.通过具体实例，理解随机变量及离散型随机变量的含义. 2.掌握离散型随机变量分布列的表示方法和性质. 3.理解两点分布. 学习目标 在射击比赛训练中，某运动员射击所中环数均在7环(含7环)以上，已知该运动员射击一次命中7环的概率为0.1，射击一次命中7环、8环、9环、10环的概率依次成等差数列. 你能知道该运动员射击命中环数的概率分布情况吗？ 导 语 一、随机变量的概念及判定 二、离散型随机变量的分布列及其性质 课时对点练 三、两点分布 随堂演练 内容索引 一 随机变量的概念及判定 (1)某人在射击训练中，射击一次命中的环数，能否用数值表示相应结果呢？ 问题1 提示　射击一次，可能命中1环，命中2环，…，命中10环，可以用1，2，…，10来表示相应结果. (2)篮球运动员每次罚球具有一定的随机性，那么他三次罚球的得分结果可能是什么？ 提示　投进零个球——0分，投进一个球——1分，投进两个球——2分，投进三个球——3分. (3)掷一枚骰子，出现正面向上的点数共有几种不同的数字？能否用数值表示相应结果呢？ 提示　共有6种，可以用1，2，3，4，5，6来表示相应结果. (4)抛掷一枚硬币，可能会出现哪几种结果？能否用数值来表示随机试验的结果呢？ 提示　掷一枚硬币，可能出现正面向上、反面向上两种结果.可以用1表示正面向上，0表示反面向上. 1.随机变量：一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有______的实数X(ω)与之对应，我们称X为随机变量. 2.离散型随机变量：可能取值为 或可以 的随机变量，我们称之为离散型随机变量，通常用 表示随机变量，例如X，Y，Z；用 表示随机变量的取值，例如x，y，z. 唯一 有限个 一一列举 大写英文字母 小写英文字母 知识梳理 离散型随机变量的特征： (1)可以用数值表示. (2)试验之前可以判断其可能出现的所有值，但不能确定取 何值. (3)试验结果能一一列出. 注 意 点 <<< 11 　(1)袋中有3个白球、5个黑球，从中任取两个球，可以作为离散型随机变量的是 A.至少取到1个白球 B.至多取到1个白球 C.取到白球的个数 D.取到的球的个数 例 1 √ 12 根据离散型随机变量的定义可得，选项C是离散型随机变量，其结果可以一一列出，用随机变量X表示取到白球的个数，则X的可能取值为0，1，2. 13 (2)指出下列随机变量是否为离散型随机变量，并说明理由. ①白炽灯的寿命； 不是离散型随机变量.因为白炽灯的寿命的取值是一个非负实数，而所有非负实数不能一一列出. ②某长江水位监测站所测水位在(0，29]这一范围内变化，该水位站所测水位； 不是离散型随机变量.因为水位在(0，29]这一范围内连续变化，对水位值我们不能按一定次序一一列出. 14 ③一个学习小组有5个男同学和5个女同学，从中任取3人，其中男同学的个数. 是离散型随机变量.从10个人中取3人，所得的结果有限，且其结果可以一一列出，符合离散型随机变量的定义. 15 (1)明确随机试验的所有可能结果. (2)将随机试验的结果数量化. (3)确定试验结果所对应的实数是否可以一一列出，若能一一列出，则该随机变量是离散型随机变量，否则不是. 反 思 感 悟 判断离散型随机变量的方法 16 　指出下列随机变量是不是离散型随机变量，并说明理由. (1)从10张已编好号码的卡片(1号到10号)中任取一张，被取出的卡片的号数； 跟踪训练 1 是离散型随机变量.只要取出一张卡片，便有一个号码，因此被取出的卡片的号数可以一一列出，符合离散型随机变量的定义. 17 (2)一个袋中装有5个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数； 是离散型随机变量.从10个球中取3个球，所得的结果有以下几种：3个白球；2个白球和1个黑球；1个白球和2个黑球；3个黑球，即其结果可以一一列出，符合离散型随机变量的定义. 18 (3)某林场的树木最高达30 m，则此林场中树木的高度； 不是离散型随机变量.林场树木的高度是一个随机变量，它可以取(0，30]内的一切值，无法一一列举，故不是离散型随机变量. 19 (4)某加工厂加工的某种铜管的外径与规定的外径尺寸之差. 不是离散型随机变量.实际测量值与规定值之间的差值无法一一列出，故不是离散型随机变量. 20 二 离散型随机变量的分布列及其性质 在掷一枚质地均匀的骰子的随机试验中，X表示向上的点数，X的取值有哪些？X取每个值的概率分别是多少？ 问题2 提示　列成表的形式 X 1 2 3 4 5 6 P 离散型随机变量的分布列：一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，xn，我们称X取每一个值xi的概率 为X的概率分布列，简称分布列. 离散型随机变量的分布列也可以用表格表示： P(X=xi)=pi，i=1，2，…，n X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn 知识梳理 离散型随机变量的分布列的性质： (1) ； (2) . pi≥0，i=1，2，…，n p1+p2+…+pn=1 24 (1)从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这10个自然数中，任取3个不同的数.设X为所取的3个数中奇数的个数，求随机变量X的分布列. 例 2 25 根据题意，X=0，1，2，3， P(X=0)===，P(X=1)===，P(X=2)===，P(X=3)===， 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P 26 (2)设随机变量X的分布列P=ak(k=1，2，3，4，5). ①求常数a的值； 由题意，得X的分布列为 X 1 P a 2a 3a 4a 5a 由分布列的性质得a+2a+3a+4a+5a=1， 解得a=. 27 ②求P. 方法一　P=P+P+P(X=1)=++=. 方法二　P=1-P=1-=. 28 本例(2)条件不变，求P. ∵<X<，∴X=. ∴P=P+P+P=++=. 延伸探究 29 反 思 感 悟 (1)找出随机变量的所有可能取值. (2)计算每一个取值所对应的概率，并利用分布列的性质对计算结果进行检验. 求离散型随机变量的分布列的关键 　(1)某班有学生45人，其中O型血的有10人，A型血的有12人，B型血的有8人，AB型血的有15人.现从中抽1人，其血型为随机变量X，求X的分布列. 跟踪训练 2 31 将O，A，B，AB四种血型分别编号为1，2，3，4，则X的可能取值为1，2，3，4. P(X=1)==，P(X=2)==，P(X=3)==，P(X=4)==. 故X的分布列为 X 1 2 3 4 P 32 (2)设随机变量X的分布列为P(X=i)=(i=1，2，3，4)，求： ①P(X=1或X=2)； 由题意知P(X=i)=(i=1，2，3，4)， ∴=1，∴a=10， ∴P(X=1或X=2)==. 33 ②P. P=P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)===. 34 三 两点分布 对于只有两个可能结果的随机试验，用A表示“成功”，表示“失败”，定义X=如果P(A)=p，则P()=1-p，那么X的分布列如表所示. X 0 1 P 1-p p 我们称X服从 分布或0-1分布. 两点 知识梳理 随机变量X只取0和1，才是两点分布，否则不是. 注 意 点 <<< 37 　若随机变量X只能取0，1这两个值，且X取0的概率是取1的概率的3倍，写出X的分布列. 例 3 38 由题意及分布列满足的条件知P(X=0)+P(X=1)=3P(X=1)+P(X=1)=1，所以P(X=1)=，故P(X=0)=. 所以X的分布列为 X 0 1 P 39 反 思 感 悟 (1)看取值：随机变量只取0和1. (2)验概率：检验P(X=0)+P(X=1)=1是否成立. 判断一个分布是否为两点分布 　 袋内有10个白球，5个红球，从中摸出2个球，记X=求X的分布列. 跟踪训练 3 41 由题设可知X服从两点分布. P(X=0)==， P(X=1)=1-P(X=0)=. 所以X的分布列为 X 0 1 P 42 1.知识清单： (1)随机变量及离散型随机变量的概念及判定. (2)离散型随机变量分布列的概念及其性质. (3)两点分布. 2.方法归纳：转化化归. 3.常见误区：随机变量的取值不明确导致分布列求解错误. 课堂小结 43 随堂演练 四 1 2 3 4 1.下列叙述中，X不可以做离散型随机变量的是 A.某座大桥一天经过的车辆数X B.某无线电寻呼台一天内收到的寻呼次数X C.一天之内的温度X D.一位射击手对目标进行射击，击中目标得1分，未击中目标得0分，用 X表示该射击手在一次射击中的得分 √ A，B，D中的X的可能取值可以一一列举出来，而C中的X可以取某一区间内的一切值，属于连续型的. 2.设随机变量X等可能取值1，2，3，…，n，若P(X<4)=0.3，则n等于 A.3 B.4 C.10 D.不确定 1 2 3 4 √ 因为X等可能取1，2，3，…，n， 所以X取每个值的概率均为. 由题意知P(X<4)=P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)==0.3，所以n=10. 3.某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量X描述1次试验的成功次数，则P(X=1)等于 A.0 B. C. D. 1 2 3 4 √ 1 2 3 4 设失败率为p，则成功率为2p，分布列为 X 0 1 P p 2p 由p+2p=1，得p=， 所以P(X=1)=2p=. 4.一批产品分为一、二、三级，其中一级品是二级品的两倍，三级品为二级品的一半，从这批产品中随机抽取一个检验，其级别为随机变量X，则P=　　.  1 2 3 4 1 2 3 4 设二级品有k个，则一级品有2k个，三级品有个. ∴X的分布列为 X 1 2 3 P ∴P=P(X=1)=. 课时对点练 五 1.(多选)下列变量中，不是离散型随机变量的是 A.一条河流每日最大流量 B.一只刚出生的大熊猫，一年以后的身高 C.某人在车站等出租车的时间 D.某人投篮10次，可能投中的次数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 √ 根据离散型随机变量的定义，即可以按照一定次序一一列出，可能取值为有限个或无限个，选项B，C中的变量为连续型随机变量，而选项A，D中的变量是离散型随机变量. √ 2.袋中装有大小相同的6个黑球，5个白球，从袋中每次任意取出1个球且不放回，直到取出的球是白球，记所需要的取球次数为随机变量X，则X的可能取值为 A.1，2，3，…，6 B.1，2，3，…，7 C.0，1，2，…，5 D.1，2，…，5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为取到白球时停止，所以最少取球次数为1，即第一次就取到了白球；最多取球次数是7次，即把所有的黑球取完之后才取到白球.所以取球次数可以是1，2，3，…，7. 3.甲、乙两人下象棋，赢了得3分，平局得1分，输了得0分，共下三局.用ξ表示甲的得分，则｛ξ=3｝表示 A.甲赢三局 B.甲赢一局输两局 C.甲、乙平局三次 D.甲赢一局输两局或甲、乙平局三次 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 甲、乙两人下象棋，赢了得3分，平局得1分，输了得0分， 所以｛ξ=3｝有两种情况，即甲赢一局输两局或甲、乙平局三次. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.(多选)下列选项中的随机变量服从两点分布的是 A.抛掷一枚骰子，所得点数X B.某射击手射击一次，击中目标的次数X C.从装有除颜色外其余均相同的5个红球、3个白球的袋中任取1个球，设 D.某医生做一次手术，手术成功的次数X √ X= √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意可知B，C，D中的随机事件只有两种结果，随机变量均服从两点分布， 而抛掷一枚骰子，所得点数X的可能取值为1，2，3，4，5，6，所以A中的随机变量不服从两点分布. 5.设随机变量X的分布列如表所示，则P(|X-1|≤1)等于 A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ X -1 0 1 2 P m 由分布列的性质可得+m++=1， 则m=，P(|X-1|≤1)=P(0≤X≤2) =P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)=++=. 6.(多选)已知随机变量X的分布列如表所示，其中a，b，c成等差数列，则 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 X -1 0 1 P a b c A.a= B.b= C.c= D.P(|X|=1)= √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵a，b，c成等差数列，∴2b=a+c. 由分布列的性质得a+b+c=3b=1，∴b=. ∴P(|X|=1)=P(X=1)+P(X=-1)=1-P(X=0)=1-=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.若随机变量X服从两点分布，且P(X=0)=0.8，P(X=1)=0.2.令Y=3X-2，则P(Y=-2)=　　　.  由Y=-2，且Y=3X-2，得X=0， ∴P(Y=-2)=P(X=0)=0.8. 0.8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.由于电脑故障，使得随机变量X的分布列中部分数据丢失(以“x，y”代替)，其分布列如表所示： X 1 2 3 4 5 6 P 0.20 0.10 0.x5 0.10 0.1y 0.20 则x，y的值依次为　　　　.  2，5 由0.20+0.10+(0.1x+0.05)+0.10+(0.1+0.01y)+0.20=1，得10x+y=25.又因为x，y∈｛0，1，2，3，4，5，6，7，8，9｝，故x=2，y=5. 62 9.某城市为了加快“两型社会”(资源节约型、环境友好型)的建设，本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多，自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费2元(不足1小时的部分按1小时计算).有甲、乙两人相互独立地来该租车点租车骑游(各租一车一次).设甲、乙两人不超过两小时还车的概率分别为，；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为，；两人租车时间都不会超过四小时. (1)求甲、乙两人所付的租车费用相同的概率； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意得，甲、乙两人在三小时以上且不超过四小时还车的概率分别为， 租车费用相同，即两人都在同一时间段还车， 记“甲、乙两人所付的租车费用相同”为事件A， 则P(A)=×+×+×=， 所以甲、乙两人所付的租车费用相同的概率为. (2)设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量X，求X的分布列. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题可知，X可能取的值有0，2，4，6，8，且P(X=0)=×=； P(X=2)=×+×=； P(X=4)=×+×+×=； P(X=6)=×+×=； P(X=8)=×=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 所以X的分布列为 X 0 2 4 6 8 P 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束. (1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率； 记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件A，则P(A)=×=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)已知每检测一件产品需要费用100元，设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用(单位：元)，求X的分布列. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意可知，随机变量X的可能取值为200，300，400. 则P(X=200)==， P(X=300)==， P(X=400)=1-P(X=200)-P(X=300)=1--=. 故X的分布列为 X 200 300 400 P 11.已知随机变量X的分布列如表所示. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 综合运用 X -2 -1 0 1 2 3 P 若P(X2<x)=，则实数x的取值范围是 A.[4，9] B.(4，9] C.[4，9) D.(4，9) √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由随机变量X的分布列知，X2的可能取值为0，1，4，9， 且P(X2=0)=，P(X2=1)=+=， P(X2=4)=+=，P(X2=9)=， ∵P(X2<x)==++， ∴实数x满足4<x≤9. 12.一个袋中装有4个红球、3个黑球，小明从袋中随机取球，记取到一个红球得2分，取到一个黑球得1分，从袋中任取4个球，则小明得分大于6分的概率是 A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 记得分为X，则X的可能取值为5，6，7，8， 因为P(X=7)==， P(X=8)==， 所以P(X>6)=P(X=7)+P(X=8)=+=. 13.(多选)一盒中有7个乒乓球，其中5个未使用过，2个已使用过.现从盒子中任取3个球来用，用完后再装回盒中.记盒中已使用过的球的个数为X，则下列结论正确的是 A.X的所有可能取值是3，4，5 B.X最有可能的取值是5 C.X等于3的概率为 D.X等于4的概率为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 记未使用过的乒乓球为M，已使用过的乒乓球为N， 任取3个球的所有可能有1个M球和2个N球、2个M球和1个N球、3个M球. M球使用后成为N球，故X的所有可能取值是3，4，5，故A正确； 又P(X=3)==，故C正确； P(X=4)==， P(X=5)==， 所以X最有可能的取值是4，故B，D错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.已知随机变量X的分布列为P(X=n)=(n=1，2，3，…，10)，则实数a=　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 依题意，P(X=n)=a， 由分布列的性质得P(X=n) =a==1， 解得a=. 15.如图是某市10月份1日至14日的空气污染指数折线图，空气污染指数为0~50，空气质量级别为一级；空气污染指数为51~100，空气质量级别为二级；空气污染指数为101~150，空气质量级别为三级.某人随机选择10月份的1日至13日中的某一天到达该市，并停留2天.设X是此人停留期间空气质量级别不超过二级的 天数，则P(X>1)等于 A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 拓广探究 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 即要连续两天的空气质量级别不超过二级，所以此人应在10月份的1日、2日、12日、13日中的某一天到达该市，所以P(X>1)=P(X=2)=. 由题意知，X的取值范围为｛0，1，2｝，空气质量级别不超过二级的为10月份的1日、2日、3日、7日、12日、13日、14日，P(X>1)=P(X=2)， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.设ξ为随机变量.从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，ξ=0；当两条棱平行时，ξ的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，ξ=1. (1)求概率P(ξ=0)； 若两条棱相交，则交点必为正方体8个顶点中的一个，过任意1个顶点恰有3条棱，所以共有8对相交棱，因此P(ξ=0)===. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)求ξ的分布列. 若两条棱平行，则它们的距离为1或的共有6对，故P(ξ=)===， 于是P(ξ=1)=1-P(ξ=0)-P(ξ=)=1--=.故随机变量ξ的分布列为 ξ 0 1 P 第七章 <<< $$ [学习目标]　1.通过具体实例，理解随机变量及离散型随机变量的含义.2.掌握离散型随机变量分布列的表示方法和性质.3.理解两点分布. 导语 在射击比赛训练中，某运动员射击所中环数均在7环(含7环)以上，已知该运动员射击一次命中7环的概率为0.1，射击一次命中7环、8环、9环、10环的概率依次成等差数列. 你能知道该运动员射击命中环数的概率分布情况吗？ 一、随机变量的概念及判定 问题1　(1)某人在射击训练中，射击一次命中的环数，能否用数值表示相应结果呢？ (2)篮球运动员每次罚球具有一定的随机性，那么他三次罚球的得分结果可能是什么？ (3)掷一枚骰子，出现正面向上的点数共有几种不同的数字？能否用数值表示相应结果呢？ (4)抛掷一枚硬币，可能会出现哪几种结果？能否用数值来表示随机试验的结果呢？ 提示　(1)射击一次，可能命中1环，命中2环，…，命中10环，可以用1，2，…，10来表示相应结果. (2)投进零个球——0分，投进一个球——1分，投进两个球——2分，投进三个球——3分. (3)共有6种，可以用1，2，3，4，5，6来表示相应结果. (4)掷一枚硬币，可能出现正面向上、反面向上两种结果.可以用1表示正面向上，0表示反面向上. 知识梳理 1.随机变量：一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有唯一的实数X(ω)与之对应，我们称X为随机变量. 2.离散型随机变量：可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量，我们称之为离散型随机变量，通常用大写英文字母表示随机变量，例如X，Y，Z；用小写英文字母表示随机变量的取值，例如x，y，z. 注意点： 离散型随机变量的特征： (1)可以用数值表示. (2)试验之前可以判断其可能出现的所有值，但不能确定取何值. (3)试验结果能一一列出. 例1　(1)袋中有3个白球、5个黑球，从中任取两个球，可以作为离散型随机变量的是(　　) A.至少取到1个白球 B.至多取到1个白球 C.取到白球的个数 D.取到的球的个数 答案　C 解析　根据离散型随机变量的定义可得，选项C是离散型随机变量，其结果可以一一列出，用随机变量X表示取到白球的个数，则X的可能取值为0，1，2. (2)指出下列随机变量是否为离散型随机变量，并说明理由. ①白炽灯的寿命； ②某长江水位监测站所测水位在(0，29]这一范围内变化，该水位站所测水位； ③一个学习小组有5个男同学和5个女同学，从中任取3人，其中男同学的个数. 解　①不是离散型随机变量.因为白炽灯的寿命的取值是一个非负实数，而所有非负实数不能一一列出. ②不是离散型随机变量.因为水位在(0，29]这一范围内连续变化，对水位值我们不能按一定次序一一列出. ③是离散型随机变量.从10个人中取3人，所得的结果有限，且其结果可以一一列出，符合离散型随机变量的定义. 反思感悟　判断离散型随机变量的方法 (1)明确随机试验的所有可能结果. (2)将随机试验的结果数量化. (3)确定试验结果所对应的实数是否可以一一列出，若能一一列出，则该随机变量是离散型随机变量，否则不是. 跟踪训练1　指出下列随机变量是不是离散型随机变量，并说明理由. (1)从10张已编好号码的卡片(1号到10号)中任取一张，被取出的卡片的号数； (2)一个袋中装有5个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数； (3)某林场的树木最高达30 m，则此林场中树木的高度； (4)某加工厂加工的某种铜管的外径与规定的外径尺寸之差. 解　(1)是离散型随机变量.只要取出一张卡片，便有一个号码，因此被取出的卡片的号数可以一一列出，符合离散型随机变量的定义. (2)是离散型随机变量.从10个球中取3个球，所得的结果有以下几种：3个白球；2个白球和1个黑球；1个白球和2个黑球；3个黑球，即其结果可以一一列出，符合离散型随机变量的定义. (3)不是离散型随机变量.林场树木的高度是一个随机变量，它可以取(0，30]内的一切值，无法一一列举，故不是离散型随机变量. (4)不是离散型随机变量.实际测量值与规定值之间的差值无法一一列出，故不是离散型随机变量. 二、离散型随机变量的分布列及其性质 问题2　在掷一枚质地均匀的骰子的随机试验中，X表示向上的点数，X的取值有哪些？X取每个值的概率分别是多少？ 提示　列成表的形式 X 1 2 3 4 5 6 P 知识梳理 离散型随机变量的分布列：一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，xn，我们称X取每一个值xi的概率P(X=xi)=pi，i=1，2，…，n为X的概率分布列，简称分布列. 离散型随机变量的分布列也可以用表格表示： X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn 离散型随机变量的分布列的性质： (1)pi≥0，i=1，2，…，n； (2)p1+p2+…+pn=1. 例2　(1)从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这10个自然数中，任取3个不同的数.设X为所取的3个数中奇数的个数，求随机变量X的分布列. 解　根据题意，X=0，1，2，3， P(X=0)===， P(X=1)===， P(X=2)===， P(X=3)===， 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P (2)设随机变量X的分布列P=ak(k=1，2，3，4，5). ①求常数a的值； ②求P. 解　由题意，得X的分布列为 X 1 P a 2a 3a 4a 5a ①由分布列的性质得a+2a+3a+4a+5a=1， 解得a=. ②方法一　P=P+P+P(X=1)=++=. 方法二　P=1-P=1-=. 延伸探究　本例(2)条件不变，求P. 解　∵<X<，∴X=，，. ∴P=P+P +P=++=. 反思感悟　求离散型随机变量的分布列的关键 (1)找出随机变量的所有可能取值. (2)计算每一个取值所对应的概率，并利用分布列的性质对计算结果进行检验. 跟踪训练2　(1)某班有学生45人，其中O型血的有10人，A型血的有12人，B型血的有8人，AB型血的有15人.现从中抽1人，其血型为随机变量X，求X的分布列. 解　将O，A，B，AB四种血型分别编号为1，2，3，4，则X的可能取值为1，2，3，4. P(X=1)==，P(X=2)==， P(X=3)==， P(X=4)==. 故X的分布列为 X 1 2 3 4 P (2)设随机变量X的分布列为P(X=i)=(i=1，2，3，4)，求： ①P(X=1或X=2)； ②P. 解　①由题意知P(X=i)=(i=1，2，3，4)， ∴=1，∴a=10， ∴P(X=1或X=2)==. ②P=P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)===. 三、两点分布 知识梳理 对于只有两个可能结果的随机试验，用A表示“成功”，表示“失败”，定义X=如果P(A)=p，则P()=1-p，那么X的分布列如表所示. X 0 1 P 1-p p 我们称X服从两点分布或0-1分布. 注意点： 随机变量X只取0和1，才是两点分布，否则不是. 例3　若随机变量X只能取0，1这两个值，且X取0的概率是取1的概率的3倍，写出X的分布列. 解　由题意及分布列满足的条件知P(X=0)+P(X=1)=3P(X=1)+P(X=1)=1，所以P(X=1)=，故P(X=0)=. 所以X的分布列为 X 0 1 P 反思感悟　判断一个分布是否为两点分布 (1)看取值：随机变量只取0和1. (2)验概率：检验P(X=0)+P(X=1)=1是否成立. 跟踪训练3　袋内有10个白球，5个红球，从中摸出2个球，记X=求X的分布列. 解　由题设可知X服从两点分布. P(X=0)==， P(X=1)=1-P(X=0)=. 所以X的分布列为 X 0 1 P 1.知识清单： (1)随机变量及离散型随机变量的概念及判定. (2)离散型随机变量分布列的概念及其性质. (3)两点分布. 2.方法归纳：转化化归. 3.常见误区：随机变量的取值不明确导致分布列求解错误. 1.下列叙述中，X不可以做离散型随机变量的是(　　) A.某座大桥一天经过的车辆数X B.某无线电寻呼台一天内收到的寻呼次数X C.一天之内的温度X D.一位射击手对目标进行射击，击中目标得1分，未击中目标得0分，用X表示该射击手在一次射击中的得分 答案　C 解析　A，B，D中的X的可能取值可以一一列举出来，而C中的X可以取某一区间内的一切值，属于连续型的. 2.设随机变量X等可能取值1，2，3，…，n，若P(X<4)=0.3，则n等于(　　) A.3 B.4 C.10 D.不确定 答案　C 解析　因为X等可能取1，2，3，…，n， 所以X取每个值的概率均为.由题意知P(X<4)=P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)==0.3，所以n=10. 3.某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量X描述1次试验的成功次数，则P(X=1)等于(　　) A.0 B. C. D. 答案　D 解析　设失败率为p，则成功率为2p，分布列为 X 0 1 P p 2p 由p+2p=1，得p=， 所以P(X=1)=2p=. 4.一批产品分为一、二、三级，其中一级品是二级品的两倍，三级品为二级品的一半，从这批产品中随机抽取一个检验，其级别为随机变量X，则P=　　　.  答案　 解析　设二级品有k个，则一级品有2k个，三级品有个，总数为个. ∴X的分布列为 X 1 2 3 P ∴P=P(X=1)=. 课时对点练　[分值：100分] 单选题每小题5分，共30分；多选题每小题6分，共24分 1.(多选)下列变量中，不是离散型随机变量的是(　　) A.一条河流每日最大流量 B.一只刚出生的大熊猫，一年以后的身高 C.某人在车站等出租车的时间 D.某人投篮10次，可能投中的次数 答案　BC 解析　根据离散型随机变量的定义，即可以按照一定次序一一列出，可能取值为有限个或无限个，选项B，C中的变量为连续型随机变量，而选项A，D中的变量是离散型随机变量. 2.袋中装有大小相同的6个黑球，5个白球，从袋中每次任意取出1个球且不放回，直到取出的球是白球，记所需要的取球次数为随机变量X，则X的可能取值为(　　) A.1，2，3，…，6 B.1，2，3，…，7 C.0，1，2，…，5 D.1，2，…，5 答案　B 解析　因为取到白球时停止，所以最少取球次数为1，即第一次就取到了白球；最多取球次数是7次，即把所有的黑球取完之后才取到白球.所以取球次数可以是1，2，3，…，7. 3.甲、乙两人下象棋，赢了得3分，平局得1分，输了得0分，共下三局.用ξ表示甲的得分，则｛ξ=3｝表示(　　) A.甲赢三局 B.甲赢一局输两局 C.甲、乙平局三次 D.甲赢一局输两局或甲、乙平局三次 答案　D 解析　甲、乙两人下象棋，赢了得3分，平局得1分，输了得0分， 所以｛ξ=3｝有两种情况，即甲赢一局输两局或甲、乙平局三次. 4.(多选)下列选项中的随机变量服从两点分布的是(　　) A.抛掷一枚骰子，所得点数X B.某射击手射击一次，击中目标的次数X C.从装有除颜色外其余均相同的5个红球、3个白球的袋中任取1个球，设X= D.某医生做一次手术，手术成功的次数X 答案　BCD 解析　由题意可知B，C，D中的随机事件只有两种结果，随机变量均服从两点分布， 而抛掷一枚骰子，所得点数X的可能取值为1，2，3，4，5，6，所以A中的随机变量不服从两点分布. 5.设随机变量X的分布列如表所示，则P(|X-1|≤1)等于(　　) X -1 0 1 2 P m A. B. C. D. 答案　C 解析　由分布列的性质可得+m++=1， 则m=，P(|X-1|≤1)=P(0≤X≤2) =P(X=0)+P(X=1)+P(X=2) =++=. 6.(多选)已知随机变量X的分布列如表所示，其中a，b，c成等差数列，则(　　) X -1 0 1 P a b c A.a= B.b= C.c= D.P(|X|=1)= 答案　BD 解析　∵a，b，c成等差数列，∴2b=a+c. 由分布列的性质得a+b+c=3b=1，∴b=. ∴P(|X|=1)=P(X=1)+P(X=-1) =1-P(X=0)=1-=. 7.(5分)若随机变量X服从两点分布，且P(X=0)=0.8，P(X=1)=0.2.令Y=3X-2，则P(Y=-2)=　　　　.  答案　0.8 解析　由Y=-2，且Y=3X-2，得X=0， ∴P(Y=-2)=P(X=0)=0.8. 8.(5分)由于电脑故障，使得随机变量X的分布列中部分数据丢失(以“x，y”代替)，其分布列如表所示： X 1 2 3 4 5 6 P 0.20 0.10 0.x5 0.10 0.1y 0.20 则x，y的值依次为　　　　.  答案　2，5 解析　由0.20+0.10+(0.1x+0.05)+0.10+(0.1+0.01y)+0.20=1，得10x+y=25.又因为x，y∈｛0，1，2，3，4，5，6，7，8，9｝，故x=2，y=5. 9.(10分)某城市为了加快“两型社会”(资源节约型、环境友好型)的建设，本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多，自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费2元(不足1小时的部分按1小时计算).有甲、乙两人相互独立地来该租车点租车骑游(各租一车一次).设甲、乙两人不超过两小时还车的概率分别为，；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为，；两人租车时间都不会超过四小时. (1)求甲、乙两人所付的租车费用相同的概率；(4分) (2)设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量X，求X的分布列.(6分) 解　(1)由题意得，甲、乙两人在三小时以上且不超过四小时还车的概率分别为，， 租车费用相同，即两人都在同一时间段还车， 记“甲、乙两人所付的租车费用相同”为事件A， 则P(A)=×+×+×=， 所以甲、乙两人所付的租车费用相同的概率为. (2)由题可知，X可能取的值有0，2，4，6，8，且 P(X=0)=×=； P(X=2)=×+×=； P(X=4)=×+×+×=； P(X=6)=×+×=； P(X=8)=×=. 所以X的分布列为 X 0 2 4 6 8 P 10.(10分)已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束. (1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；(4分) (2)已知每检测一件产品需要费用100元，设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用(单位：元)，求X的分布列.(6分) 解　(1)记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件A，则P(A)=×=. (2)由题意可知，随机变量X的可能取值为200，300，400. 则P(X=200)==， P(X=300)==， P(X=400)=1-P(X=200)-P(X=300) =1--=. 故X的分布列为 X 200 300 400 P 11.已知随机变量X的分布列如表所示. X -2 -1 0 1 2 3 P 若P(X2<x)=，则实数x的取值范围是(　　) A.[4，9] B.(4，9] C.[4，9) D.(4，9) 答案　B 解析　由随机变量X的分布列知，X2的可能取值为0，1，4，9， 且P(X2=0)=，P(X2=1)=+=， P(X2=4)=+=，P(X2=9)=， ∵P(X2<x)==++， ∴实数x满足4<x≤9. 12.一个袋中装有4个红球、3个黑球，小明从袋中随机取球，记取到一个红球得2分，取到一个黑球得1分，从袋中任取4个球，则小明得分大于6分的概率是(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　记得分为X，则X的可能取值为5，6，7，8， 因为P(X=7)==， P(X=8)==， 所以P(X>6)=P(X=7)+P(X=8) =+=. 13.(多选)一盒中有7个乒乓球，其中5个未使用过，2个已使用过.现从盒子中任取3个球来用，用完后再装回盒中.记盒中已使用过的球的个数为X，则下列结论正确的是(　　) A.X的所有可能取值是3，4，5 B.X最有可能的取值是5 C.X等于3的概率为 D.X等于4的概率为 答案　AC 解析　记未使用过的乒乓球为M，已使用过的乒乓球为N， 任取3个球的所有可能有1个M球和2个N球、2个M球和1个N球、3个M球. M球使用后成为N球，故X的所有可能取值是3，4，5，故A正确； 又P(X=3)==，故C正确； P(X=4)==， P(X=5)==， 所以X最有可能的取值是4，故B，D错误. 14.(5分)已知随机变量X的分布列为P(X=n)=(n=1，2，3，…，10)，则实数a=　　　　.  答案　 解析　依题意，P(X=n)=a， 由分布列的性质得P(X=n) =a ==1， 解得a=. 15.如图是某市10月份1日至14日的空气污染指数折线图，空气污染指数为0~50，空气质量级别为一级；空气污染指数为51~100，空气质量级别为二级；空气污染指数为101~150，空气质量级别为三级.某人随机选择10月份的1日至13日中的某一天到达该市，并停留2天.设X是此人停留期间空气质量级别不超过二级的天数，则P(X>1)等于(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　由题意知，X的取值范围为｛0，1，2｝，空气质量级别不超过二级的为10月份的1日、2日、3日、7日、12日、13日、14日，P(X>1)=P(X=2)， 即要连续两天的空气质量级别不超过二级，所以此人应在10月份的1日、2日、12日、13日中的某一天到达该市，所以P(X>1)=P(X=2)=. 16.(11分)设ξ为随机变量.从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，ξ=0；当两条棱平行时，ξ的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，ξ=1. (1)求概率P(ξ=0)；(5分) (2)求ξ的分布列.(6分) 解　(1)若两条棱相交，则交点必为正方体8个顶点中的一个，过任意1个顶点恰有3条棱，所以共有8对相交棱，因此P(ξ=0)===. (2)若两条棱平行，则它们的距离为1或，其中距离为的共有6对，故P(ξ=)===， 于是P(ξ=1)=1-P(ξ=0)-P(ξ=)=1--=.故随机变量ξ的分布列为 ξ 0 1 P 学科网（北京）股份有限公司 $$