第5章 5.3.2 第2课时 函数的最大(小)值-（课件PPT+Word教案）【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第二册教师用书（人教A版2019）

第2课时　函数的最大(小)值 ［学习目标］　1.理解函数最值的概念，会求某闭区间上函数的最值.2.能利用导数求简单的含参数的函数的最值问题.3.能根据最值求参数的值或取值范围. 导语 同学们，上节课我们在群山之间穿梭，感受了每一个山峰与山谷的优美之处，而今天我们誓要寻找最高的山峰和最低的峡谷，我们既要有俯视一切的雄心和气魄，拿出“会当凌绝顶，一览众山小”的气势，也要有仰望一切的谦虚和胸怀，更要有“上九天揽月，下五洋捉鳖”的勇气，这其实就是我们今天要探究的函数的最值. 一、极值与最值的关系 知识梳理 函数最值的定义 （1）一般地，如果在区间［a，b］上函数y=f（x）的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值. （2）对于函数f（x），给定区间I，若对任意x∈I，存在x0∈I，使得f（x）≥f（x0），则称f（x0）为函数f（x）在区间I上的最小值；若对任意x∈I，存在x0∈I，使得f（x）≤f（x0），则称f（x0）为函数f（x）在区间I上的最大值. 注意点：（1）开区间不一定有最值，闭区间上的连续函数一定有最值；（2）函数f（x）在闭区间［a，b］上连续是f（x）在闭区间［a，b］上有最大值和最小值的充分不必要条件. 例1　（1）如图是函数y=f（x）在区间［a，b］上的图象，写出函数的极大值、极小值、最大值和最小值. 解　由题图可知，y=f（x）在x1，x3处取得极小值，在x2处取得极大值，所以极小值为f（x1），f（x3），极大值为f（x2）；比较极值和端点值可知函数的最小值是f（x3），最大值在b处取得，最大值为f（b）. （2）求函数f（x）=2x3-12x，x∈［-2，3］的最值. 解　因为f（x）=2x3-12x，x∈［-2，3］， 所以f'（x）=6x2-12 =6（x+）（x-）， 令f'（x）=0， 解得x=-或x=. 因为f（-2）=8，f（3）=18， f（）=-8，f（-）=8， 所以当x=时， f（x）取得最小值-8； 当x=3时， f（x）取得最大值18. 反思感悟　求函数y=f（x）在区间［a，b］上的最值的步骤 （1）求在（a，b）内方程f'（x）=0的所有根； （2）计算（1）中所有根对应的函数值； （3）把（2）中计算的函数值与f（a），f（b）比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值. 跟踪训练1　（1）设f（x）是区间［a，b］上的连续函数，且在（a，b）内可导，则下列结论中正确的是（　　） A.f（x）的极值点一定是最值点 B.f（x）的最值点一定是极值点 C.f（x）在区间［a，b］上可能没有极值点 D.f（x）在区间［a，b］上可能没有最值点 答案　C 解析　根据函数的极值与最值的概念知，f（x）的极值点不一定是最值点，f（x）的最值点不一定是极值点.可能是区间的端点，连续可导函数在闭区间上一定有最值，所以选项A，B，D都不正确，若函数f（x）在区间［a，b］上单调，则函数f（x）在区间［a，b］上没有极值点，所以C正确. （2）求函数f（x）=x+sin x，x∈［0，2π］的最值. 解　f'（x）=+cos x，令f'（x）=0， 又x∈［0，2π］， 解得x=或x=. 因为f（0）=0，f（2π）=π，f=+， f=-. 所以当x=0时，f（x）有最小值f（0）=0； 当x=2π时，f（x）有最大值f（2π）=π. 二、求含参数的函数的最值 例2　已知函数f（x）=x3-ax2-a2x.求函数f（x）在［0，+∞）上的最小值. 解　f'（x）=3x2-2ax-a2=（3x+a）（x-a）， 令f'（x）=0，得x1=-，x2=a. ①当a>0时，f（x）在［0，a）上单调递减，在［a，+∞）上单调递增.所以f（x）min=f（a）=-a3. ②当a=0时，f'（x）=3x2≥0，f（x）在［0，+∞）上单调递增，所以f（x）min=f（0）=0. ③当a<0时，f（x）在上单调递减， 在上单调递增. 所以f（x）min=f=a3. 综上所述，当a>0时，f（x）的最小值为-a3； 当a=0时，f（x）的最小值为0； 当a<0时，f（x）的最小值为a3. 延伸探究　当a>0时，求函数f（x）=x3-ax2-a2x在［-a，2a］上的最值. 解　f'（x）=（3x+a）（x-a）（a>0）， 令f'（x）=0，得x1=-，x2=a. 所以f（x）在上单调递增， 在上单调递减，在［a，2a］上单调递增. 因为f（-a）=-a3，f=a3， f（a）=-a3，f（2a）=2a3. 所以f（x）max=f（2a）=2a3. f（x）min=f（-a）=f（a）=-a3. 反思感悟　含参数的函数最值问题的两类情况 （1）能根据条件求出参数，从而化为不含参数的函数的最值问题. （2）对于不能求出参数值的问题，则要对参数进行讨论，其实质是讨论导函数大于0、等于0、小于0三种情况.若导函数恒不等于0，则函数在已知区间上是单调函数，最值在端点处取得；若导函数可能等于0，则求出极值点后求极值，再与端点值比较后确定最值. 跟踪训练2　已知a∈R，函数f（x）=x2，求f（x）在区间［0，2］上的最大值. 解　f（x）=x3-ax2，则f'（x）=x2-2ax. 令f'（x）=0，解得x1=0，x2=2a. 令g（a）=f（x）max， ①当2a≤0，即a≤0时， f（x）在［0，2］上单调递增， 从而g（a）=f（x）max=f（2）=-4a. ②当2a≥2，即a≥1时，f（x）在［0，2］上单调递减， 从而g（a）=f（x）max=f（0）=0. ③当0<2a<2，即0<a<1时， f（x）在 ［0，2a］上单调递减，在（2a，2］上单调递增， 从而g（a）= 综上所述，g（a）= 三、根据最值求参数的值或范围 例3　已知函数f（x）=ax3-6ax2+b，x∈［-1，2］的最大值为3，最小值为-29，求a，b的值. 解　由题设知a≠0，否则f（x）=b为常数函数，与题设矛盾. 求导得f'（x）=3ax2-12ax=3ax（x-4）， 令f'（x）=0，得x1=0，x2=4（舍去）. ①当a>0，且当x变化时， f'（x），f（x）的变化情况如表： x -1 （-1，0） 0 （0，2） 2 f'（x） + 0 - f（x） -7a+b 单调递增 b 单调递减 -16a+b 由表可知，当x=0时，f（x）取得极大值b，也就是函数在［-1，2］上的最大值， ∴f（0）=b=3. 又f（-1）=-7a+3，f（2）=-16a+3<f（-1）， ∴f（2）=-16a+3=-29， 解得a=2. ②当a<0时，同理可得，当x=0时，f（x）取得极小值b，也就是函数在［-1，2］上的最小值， ∴f（0）=b=-29. 又f（-1）=-7a-29，f（2）=-16a-29>f（-1）， ∴f（2）=-16a-29=3，解得a=-2. 综上可得，a=2，b=3或a=-2，b=-29. 反思感悟　已知函数在某区间上的最值求参数的值（或范围）是求函数最值的逆向思维，一般先求导数，利用导数研究函数的单调性及极值点，探索最值点，根据已知最值列方程（不等式）解决问题. 跟踪训练3　已知函数h（x）=x3+3x2-9x+1在区间［k，2］上的最大值是28，求k的取值范围. 解　∵h（x）=x3+3x2-9x+1， ∴h'（x）=3x2+6x-9. 令h'（x）=0，得x1=-3，x2=1， 当x变化时，h'（x），h（x）的变化情况如表： x （-∞，-3） -3 （-3，1） 1 （1，+∞） h'（x） + 0 - 0 + h（x） 单调递增 28 单调递减 -4 单调递增 ∴当x=-3时，h（x）取极大值28； 当x=1时，h（x）取极小值-4. 而h（2）=3<h（-3）=28， ∴如果h（x）在区间［k，2］上的最大值为28， 则k≤-3. ∴k的取值范围为（-∞，-3］. 1.知识清单： （1）求函数的最值. （2）求含参数的函数的最值. （3）根据最值求参数的值或范围. 2.方法归纳：转化法、分类讨论. 3.常见误区：分类讨论解决含参的问题时是否做到了不重不漏. 1.下列结论正确的是（　　） A.若f（x）在［a，b］上有极大值，则极大值一定是［a，b］上的最大值 B.若f（x）在［a，b］上有极小值，则极小值一定是［a，b］上的最小值 C.若f（x）在［a，b］上有极大值，则极小值一定是在x=a和x=b处取得 D.若f（x）在［a，b］上连续，则f（x）在［a，b］上存在最大值和最小值 答案　D 解析　函数f（x）在［a，b］上的极值不一定是最值，最值也不一定是极值，极值一定不会在端点处取得，而在［a，b］上一定存在最大值和最小值. 2.函数y=x-sin x，x∈的最大值是（　　） A.π-1 B.-1 C.π D.π+1 答案　C 解析　y'=1-cos x，当x∈时，y'>0， 则函数在区间上单调递增， 所以y的最大值为ymax=π-sin π=π. 3.已知函数f（x）=ax3+c，且f'=6，函数在［1，2］上的最大值为20，则c的值为（　　） A.1 B.4 C.-1 D.0 答案　B 解析　由题意得，f'（x）=3ax2，则f'（1）=3a=6，解得a=2， 所以f'（x）=6x2≥0， 故f（x）在［1，2］上单调递增，则f（2）=2×23+c=20，解得c=4. 4.函数f=的最大值为（　　） A.a B.e C.e1-a D.ea-1 答案　D 解析　f（x）=，则f'=， 所以当x<1-a时，f'>0， 当x>1-a时，f'<0， 所以f（x）在（-∞，1-a）上单调递增， 在（1-a，+∞）上单调递减， 所以f=f=ea-1. 课时对点练　［分值：100分］ 单选题每小题5分，共40分；多选题每小题6分，共6分 1.设M，m分别是函数f（x）在［a，b］上的最大值和最小值，若M=m，则f'（x）（　　） A.等于0 B.小于0 C.等于1 D.不确定 答案　A 解析　因为M=m，所以f（x）为常函数， 故f'（x）=0，故选A. 2.函数f（x）=x+2cos x在区间上的最小值是（　　） A.- B.2 C.+ D.+1 答案　A 解析　f'（x）=1-2sin x， 因为x∈， 所以sin x∈［-1，0］，所以-2sin x∈［0，2］. 所以f'（x）=1-2sin x>0在上恒成立. 所以f（x）在上单调递增. 所以f（x）min=-+2cos=-. 3.若函数f（x）=asin x+sin 3x在x=处有最值，则a等于（　　） A.2 B.1 C. D.0 答案　A 解析　∵f（x）在x=处有最值， ∴x=是函数f（x）的极值点. 又f'（x）=acos x+cos 3x， ∴f'=acos +cos π=0，解得a=2. 4.若函数y=x3+x2+m在［-2，1］上的最大值为，则m等于（　　） A.0 B.1 C.2 D. 答案　C 解析　y'=3x2+3x=3x（x+1），易知当-1<x<0时，y'<0，当-2<x<-1或0<x<1时，y'>0， 所以函数y=x3+x2+m在（-2，-1），（0，1）上单调递增，在（-1，0）上单调递减，又当x=-1时，y=m+，当x=1时，y=m+，所以最大值为m+=，解得m=2. 5.函数f（x）=3x-x3在［0，m］上的最大值为2，最小值为0，则实数m的取值范围为（　　） A.［1，］ B.［1，+∞） C.（1，］ D.（1，+∞） 答案　A 解析　∵f（x）=3x-x3， ∴f'（x）=3-3x2 =3（1+x）（1-x）， 令f'（x）=0， 则x=1或x=-1（舍去）， 当0≤x<1时，f'（x）>0，f（x）单调递增； 当x>1时，f'（x）<0，f（x）单调递减. ∵函数f（x）在［0，m］上的最大值为2，最小值为0，且f（0）=f（）=0，f（1）=2，如图所示， ∴1≤m≤. 6.（多选）函数f（x）=x3-3ax-a在（0，1）内有最小值，则a的值可以为（　　） A.0 B. C. D.1 答案　BC 解析　∵f'（x）=3x2-3a， 且f'（x）=0有解，∴a=x2. 又∵x∈（0，1），∴0<a<1. 7.（5分）函数f（x）=x3-3x2-9x+k在区间［-4，4］上的最大值为10，则其最小值为　　　　.  答案　-71 解析　f'（x）=3x2-6x-9=3（x-3）（x+1）. 由f'（x）=0得x=3或x=-1. 又f（-4）=k-76，f（3）=k-27， f（-1）=k+5，f（4）=k-20. 由f（x）max=k+5=10，得k=5， ∴f（x）min=k-76=-71. 8.（5分）已知函数f（x）=-x3+ax2-4在x=2处取得极值，若m∈［-1，1］，则f（m）的最小值为　　　　.  答案　-4 解析　f'（x）=-3x2+2ax，由f（x）在x=2处取得极值知f'（2）=0. 即-3×4+2a×2=0，故a=3. 由此可得f（x）=-x3+3x2-4. f'（x）=-3x2+6x，由此可得f（x）在［-1，0）上单调递减，在［0，1］上单调递增， ∴当m∈［-1，1］时，f（m）min=f（0）=-4. 9.（10分）求下列函数的最值： （1）f（x）=sin x+cos x，x∈；（5分） （2）f（x）=ln（1+x）-x2，x∈［0，2］.（5分） 解　（1）f'（x）=cos x-sin x. 令f'（x）=0，即tan x=1， 且x∈， 所以x=. 又因为f=， f=-1，f=1， 所以当x∈时，函数的最大值为f=， 最小值为f=-1. （2）f'（x）=-x， 令-x=0， 化简为x2+x-2=0， 解得x1=-2（舍去），x2=1. 当0≤x<1时，f'（x）>0，f（x）单调递增； 当1<x≤2时，f'（x）<0，f（x）单调递减， 所以f（1）=ln 2-为函数f（x）的极大值. 又f（0）=0，f（2）=ln 3-1>0，f（1）>f（2）. 所以f（0）=0为函数f（x）=ln（1+x）-x2在［0，2］上的最小值， f（1）=ln 2-为函数在［0，2］上的最大值. 10.（12分）已知a为常数，求函数f（x）=-x3+3ax（0≤x≤1）的最大值. 解　f'（x）=-3x2+3a=-3（x2-a）. 若a≤0，则f'（x）≤0，函数f（x）单调递减， 所以当x=0时，f（x）有最大值f（0）=0. 若a>0，则令f'（x）=0，解得x=±. 因为x∈［0，1］， 所以只考虑x=的情况. ①若0<<1，即0<a<1，则当x=时，f（x）有极大值，也是最大值f（）=2a.（如表所示） x 0 （0，） （，1） 1 f'（x） + 0 - f（x） 0 单调递增 2a 单调递减 3a-1 ②若≥1，即a≥1，则当0≤x≤1时，f'（x）≥0，函数f（x）在［0，1］上单调递增，当x=1时，f（x）有最大值f（1）=3a-1. 综上可知，当a≤0，x=0时，f（x）有最大值0， 当0<a<1，x=时，f（x）有最大值2a， 当a≥1，x=1时，f（x）有最大值3a-1. 11.已知函数f（x）=x3-3x-1，若对任意x1，x2∈［-3，2］，都有|f（x1）-f（x2）|≤t，则实数t的最小值是（　　） A.20 B.18 C.3 D.0 答案　A 解析　由f'（x）=3x2-3=3（x-1）（x+1）=0得x=1或x=-1.又f（-3）=-19，f（-1）=1，f（1）=-3，f（2）=1，所以在区间［-3，2］上，f（x）max=1，f（x）min=-19，又由题设知在区间［-3，2］上，|f（x1）-f（x2）|≤f（x）max-f（x）min=20，所以t≥20，故实数t的最小值是20. 12.若存在x∈，使得不等式2xln x+x2-mx+3≥0成立，则实数m的最大值为（　　） A.+3e-2 B.+e+2 C.4 D.e2-1 答案　A 解析　∵2xln x+x2-mx+3≥0， ∴m≤2ln x+x+， 设h=2ln x+x+，x∈， 则h'=+1-=， 当≤x<1时，h'<0，h单调递减， 当1<x≤e时，h'>0，h单调递增. ∵存在x∈，m≤2ln x+x+成立， ∴m≤h， ∵h=-2++3e，h=2+e+， ∴h>h. ∴m≤+3e-2. 13.已知函数f=若∃x0∈R使得f=f成立，则实数k的取值范围是（　　） A. B. C. D. 答案　D 解析　由题意可得，存在实数x0≠0， 使得f=f成立， 假设x0>0，则-x0<0， 所以有-kx0=ln x0， 则k=-， 令h=-，x>0， 则h'=， 令h'>0，即ln x>1，解得x>e， 令h'<0，即ln x<1，解得0<x<e， 则h在上单调递减，在上单调递增， 所以h≥h=h=-=-， 所以k≥-. 14.（5分）已知y=f（x）是奇函数，当x∈（0，2）时，f（x）=ln x-ax，当x∈（-2，0）时，f（x）的最小值为1，则a的值为　　　　.  答案　1 解析　由题意知，当x∈（0，2）时，f（x）的最大值为-1. 令f'（x）=-a=0，得x=， 当0<x<时，f'（x）>0； 当<x<2时，f'（x）<0. ∴f（x）max=f=-ln a-1=-1. 解得a=1. 15.（5分）已知函数f（x）=要使函数f（x）=k有三个零点，则k的取值范围是　　　　.  答案　-<k<0 解析　要使函数f（x）=k有三个零点，即y=f（x）与y=k的图象有3个交点，因为当x≤0时， f（x）=xex， 所以f'（x）=（x+1）ex， 所以f（x）=xex有最小值f（-1）=-， 且当x<0时，f（x）<0， 当x趋向于负无穷时，f（x）趋向于0，但始终小于0，当x>0时，f（x）=-x2+1单调递减，所以要使函数f（x）=k有三个零点， 则-<k<0. 16.（12分）已知f（x）=ax-ln x，a∈R. （1）当a=1时，求曲线f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；（4分） （2）是否存在实数a，使f（x）在区间（0，e］上的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，说明理由.（8分） 解　（1）当a=1时，f（x）=x-ln x，f'（x）=1-=， ∴所求切线的斜率为f'（2）=，切点为（2，2-ln 2）， ∴所求切线的方程为y-（2-ln 2）=（x-2）， 即x-2y+2-2ln 2=0. （2）假设存在实数a，使f（x）=ax-ln x在区间（0，e］上的最小值是3， f'（x）=a-=. ①当a≤0时，f（x）在（0，e］上单调递减，故f（x）min=f（e）=ae-1=3，解得a=（舍去），所以此时不存在符合题意的实数a； ②当0<<e，即a>时，f（x）在上单调递减，在上单调递增，故f（x）min=f=1+ln a=3，解得a=e2，满足条件； ③当≥e，即0<a≤时，f（x）在（0，e］上单调递减，故f（x）min=f（e）=ae-1=3，解得a=（舍去），所以此时不存在符合题意的实数a. 综上，存在实数a=e2，使f（x）在区间（0，e］上的最小值是3. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第2课时 第五章 <<< 函数的最大(小)值 1.理解函数最值的概念，会求某闭区间上函数的最值. 2.能利用导数求简单的含参数的函数的最值问题. 3.能根据最值求参数的值或取值范围. 学习目标 同学们，上节课我们在群山之间穿梭，感受了每一个山峰与山谷的优美之处，而今天我们誓要寻找最高的山峰和最低的峡谷，我们既要有俯视一切的雄心和气魄，拿出“会当凌绝顶，一览众山小”的气势，也要有仰望一切的谦虚和胸怀，更要有“上九天揽月，下五洋捉鳖”的勇气，这其实就是我们今天要探究的函数的最值. 导 语 一、极值与最值的关系 二、求含参数的函数的最值 课时对点练 三、根据最值求参数的值或范围 随堂演练 内容索引 一 极值与最值的关系 函数最值的定义 (1)一般地，如果在区间[a，b]上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值. (2)对于函数f(x)，给定区间I，若对任意x∈I，存在x0∈I，使得f(x)≥f(x0)，则称f(x0)为函数f(x)在区间I上的最小值；若对任意x∈I，存在x0∈I，使得f(x)≤f(x0)，则称f(x0)为函数f(x)在区间I上的最大值. 知识梳理 6 (1)开区间不一定有最值，闭区间上的连续函数一定有最值；(2)函数f(x)在闭区间[a，b]上连续是f(x)在闭区间[a，b]上有最大值和最小值的充分不必要条件. 注 意 点 <<< 7 (1)如图是函数y=f(x)在区间[a，b]上的图象，写出函数的极大值、极小值、最大值和最小值. 例 1 由题图可知，y=f(x)在x1，x3处取得极小值，在x2处取得极大值，所以极小值为f(x1)，f(x3)，极大值为f(x2)；比较极值和端点值可知函数的最小值是f(x3)，最大值在b处取得，最大值为f(b). 8 (2)求函数f(x)=2x3-12x，x∈[-2，3]的最值. 9 因为f(x)=2x3-12x，x∈[-2，3]， 所以f'(x)=6x2-12 =6(x+)(x-)， 令f'(x)=0， 解得x=-或x=. 因为f(-2)=8，f(3)=18， f()=-8，f(-)=8， 所以当x=时， 10 f(x)取得最小值-8； 当x=3时， f(x)取得最大值18. 11 反 思 感 悟 求函数y=f(x)在区间[a，b]上的最值的步骤 (1)求在(a，b)内方程f'(x)=0的所有根； (2)计算(1)中所有根对应的函数值； (3)把(2)中计算的函数值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值. (1)设f(x)是区间[a，b]上的连续函数，且在(a，b)内可导，则下列结论中正确的是 A.f(x)的极值点一定是最值点 B.f(x)的最值点一定是极值点 C.f(x)在区间[a，b]上可能没有极值点 D.f(x)在区间[a，b]上可能没有最值点 跟踪训练 1 √ 13 根据函数的极值与最值的概念知，f(x)的极值点不一定是最值点，f(x)的最值点不一定是极值点.可能是区间的端点，连续可导函数在闭区间上一定有最值，所以选项A，B，D都不正确， 若函数f(x)在区间[a，b]上单调，则函数f(x)在区间[a，b]上没有极值点，所以C正确. 14 (2)求函数f(x)=x+sin x，x∈[0，2π]的最值. 15 f'(x)=+cos x，令f'(x)=0， 又x∈[0，2π]， 解得x=或x=. 因为f(0)=0，f(2π)=π，f=+， f=-. 所以当x=0时，f(x)有最小值f(0)=0； 当x=2π时，f(x)有最大值f(2π)=π. 16 二 求含参数的函数的最值 已知函数f(x)=x3-ax2-a2x.求函数f(x)在[0，+∞)上的最小值. 例 2 18 f'(x)=3x2-2ax-a2=(3x+a)(x-a)， 令f'(x)=0，得x1=-，x2=a. ①当a>0时，f(x)在[0，a)上单调递减，在[a，+∞)上单调递增.所以f(x)min=f(a)=-a3. ②当a=0时，f'(x)=3x2≥0，f(x)在[0，+∞)上单调递增，所以f(x)min=f(0)=0. ③当a<0时，f(x)在上单调递减， 在上单调递增. 19 所以f(x)min=f=a3. 综上所述，当a>0时，f(x)的最小值为-a3； 当a=0时，f(x)的最小值为0； 当a<0时，f(x)的最小值为a3. 20 当a>0时，求函数f(x)=x3-ax2-a2x在[-a，2a]上的最值. 延伸探究 21 f'(x)=(3x+a)(x-a)(a>0)， 令f'(x)=0，得x1=-，x2=a. 所以f(x)在上单调递增， 在上单调递减，在[a，2a]上单调递增. 因为f(-a)=-a3，f=a3， f(a)=-a3，f(2a)=2a3. 所以f(x)max=f(2a)=2a3. f(x)min=f(-a)=f(a)=-a3. 22 反 思 感 悟 含参数的函数最值问题的两类情况 (1)能根据条件求出参数，从而化为不含参数的函数的最值问题. (2)对于不能求出参数值的问题，则要对参数进行讨论，其实质是讨论导函数大于0、等于0、小于0三种情况.若导函数恒不等于0，则函数在已知区间上是单调函数，最值在端点处取得；若导函数可能等于0，则求出极值点后求极值，再与端点值比较后确定最值. 已知a∈R，函数f(x)=x2，求f(x)在区间[0，2]上的最大值. 跟踪训练 2 24 f(x)=x3-ax2，则f'(x)=x2-2ax. 令f'(x)=0，解得x1=0，x2=2a. 令g(a)=f(x)max， ①当2a≤0，即a≤0时， f(x)在[0，2]上单调递增， 从而g(a)=f(x)max=f(2)=-4a. ②当2a≥2，即a≥1时，f(x)在[0，2]上单调递减， 从而g(a)=f(x)max=f(0)=0. 25 ③当0<2a<2，即0<a<1时， f(x)在 [0，2a]上单调递减，在(2a，2]上单调递增， 从而g(a)= 综上所述，g(a)= 26 三 根据最值求参数的值或范围 已知函数f(x)=ax3-6ax2+b，x∈[-1，2]的最大值为3，最小值为-29，求a，b的值. 例 3 由题设知a≠0，否则f(x)=b为常数函数，与题设矛盾. 求导得f'(x)=3ax2-12ax=3ax(x-4)， 令f'(x)=0，得x1=0，x2=4(舍去). ①当a>0，且当x变化时， f'(x)，f(x)的变化情况如表： x -1 (-1，0) 0 (0，2) 2 f'(x)   + 0 -   f(x) -7a+b 单调递增 b 单调递减 -16a+b 由表可知，当x=0时，f(x)取得极大值b，也就是函数在[-1，2]上的最大值， 29 ∴f(0)=b=3. 又f(-1)=-7a+3，f(2)=-16a+3<f(-1)， ∴f(2)=-16a+3=-29， 解得a=2. ②当a<0时，同理可得，当x=0时，f(x)取得极小值b，也就是函数在[-1，2]上的最小值， ∴f(0)=b=-29. 又f(-1)=-7a-29，f(2)=-16a-29>f(-1)， ∴f(2)=-16a-29=3，解得a=-2. 综上可得，a=2，b=3或a=-2，b=-29. 30 反 思 感 悟 已知函数在某区间上的最值求参数的值(或范围)是求函数最值的逆向思维，一般先求导数，利用导数研究函数的单调性及极值点，探索最值点，根据已知最值列方程(不等式)解决问题. 已知函数h(x)=x3+3x2-9x+1在区间[k，2]上的最大值是28，求k的取值范围. 跟踪训练 3 ∵h(x)=x3+3x2-9x+1， ∴h'(x)=3x2+6x-9. 令h'(x)=0，得x1=-3，x2=1， 当x变化时，h'(x)，h(x)的变化情况如表： x (-∞，-3) -3 (-3，1) 1 (1，+∞) h'(x) + 0 - 0 + h(x) 单调递增 28 单调递减 -4 单调递增 ∴当x=-3时，h(x)取极大值28； 当x=1时，h(x)取极小值-4. 而h(2)=3<h(-3)=28， ∴如果h(x)在区间[k，2]上的最大值为28， 则k≤-3. ∴k的取值范围为(-∞，-3]. 1.知识清单： (1)求函数的最值. (2)求含参数的函数的最值. (3)根据最值求参数的值或范围. 2.方法归纳：转化法、分类讨论. 3.常见误区：分类讨论解决含参的问题时是否做到了不重不漏. 课堂小结 随堂演练 四 1 2 3 4 1.下列结论正确的是 A.若f(x)在[a，b]上有极大值，则极大值一定是[a，b]上的最大值 B.若f(x)在[a，b]上有极小值，则极小值一定是[a，b]上的最小值 C.若f(x)在[a，b]上有极大值，则极小值一定是在x=a和x=b处取得 D.若f(x)在[a，b]上连续，则f(x)在[a，b]上存在最大值和最小值 函数f(x)在[a，b]上的极值不一定是最值，最值也不一定是极值，极值一定不会在端点处取得，而在[a，b]上一定存在最大值和最小值. √ 2.函数y=x-sin x，x∈的最大值是 A.π-1 B.-1 C.π D.π+1 1 2 3 4 y'=1-cos x，当x∈时，y'>0， 则函数在区间上单调递增， 所以y的最大值为ymax=π-sin π=π. √ 3.已知函数f(x)=ax3+c，且f'=6，函数在[1，2]上的最大值为20，则c的值为 A.1 B.4 C.-1 D.0 1 2 3 4 由题意得，f'(x)=3ax2，则f'(1)=3a=6，解得a=2， 所以f'(x)=6x2≥0， 故f(x)在[1，2]上单调递增，则f(2)=2×23+c=20，解得c=4. √ 4.函数f=的最大值为 A.a B.e C.e1-a D.ea-1 1 2 3 4 √ 1 2 3 4 f(x)=，则f'=， 所以当x<1-a时，f'>0， 当x>1-a时，f'<0， 所以f(x)在(-∞，1-a)上单调递增， 在(1-a，+∞)上单调递减， 所以f=f=ea-1. 课时对点练 五 基础巩固 1.设M，m分别是函数f(x)在[a，b]上的最大值和最小值，若M=m，则f'(x) A.等于0 B.小于0 C.等于1 D.不确定 因为M=m，所以f(x)为常函数， 故f'(x)=0，故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 2.函数f(x)=x+2cos x在区间上的最小值是 A.- B.2 C.+ D.+1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 f'(x)=1-2sin x， 因为x∈， 所以sin x∈[-1，0]，所以-2sin x∈[0，2]. 所以f'(x)=1-2sin x>0在上恒成立. 所以f(x)在上单调递增. 所以f(x)min=-+2cos=-. 3.若函数f(x)=asin x+sin 3x在x=处有最值，则a等于 A.2 B.1 C. D.0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵f(x)在x=处有最值， ∴x=是函数f(x)的极值点. 又f'(x)=acos x+cos 3x， ∴f'=acos +cos π=0，解得a=2. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.若函数y=x3+x2+m在[-2，1]上的最大值为，则m等于 A.0 B.1 C.2 D. y'=3x2+3x=3x(x+1)，易知当-1<x<0时，y'<0，当-2<x<-1或0<x<1时，y'>0， 所以函数y=x3+x2+m在(-2，-1)，(0，1)上单调递增，在(-1，0)上单调递减，又当x=-1时，y=m+，当x=1时，y=m+，所以最大值为m+=，解得m=2. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.函数f(x)=3x-x3在[0，m]上的最大值为2，最小值为0，则实数m的取值范围为 A.[1，] B.[1，+∞) C.(1，] D.(1，+∞) √ ∵f(x)=3x-x3， ∴f'(x)=3-3x2=3(1+x)(1-x)， 令f'(x)=0，则x=1或x=-1(舍去)， 当0≤x<1时，f'(x)>0，f(x)单调递增； 当x>1时，f'(x)<0，f(x)单调递减. ∵函数f(x)在[0，m]上的最大值为2，最小值为0，且f(0)=f()=0，f(1)=2，如图所示， ∴1≤m≤. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.(多选)函数f(x)=x3-3ax-a在(0，1)内有最小值，则a的值可以为 A.0 B. C. D.1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ ∵f'(x)=3x2-3a， 且f'(x)=0有解，∴a=x2. 又∵x∈(0，1)，∴0<a<1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.函数f(x)=x3-3x2-9x+k在区间[-4，4]上的最大值为10，则其最小值为　　　　.  f'(x)=3x2-6x-9=3(x-3)(x+1). 由f'(x)=0得x=3或x=-1. 又f(-4)=k-76，f(3)=k-27， f(-1)=k+5，f(4)=k-20. 由f(x)max=k+5=10，得k=5， ∴f(x)min=k-76=-71. -71 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.已知函数f(x)=-x3+ax2-4在x=2处取得极值，若m∈[-1，1]，则f(m)的最小值为　　.  -4 f'(x)=-3x2+2ax，由f(x)在x=2处取得极值知f'(2)=0. 即-3×4+2a×2=0，故a=3. 由此可得f(x)=-x3+3x2-4. f'(x)=-3x2+6x，由此可得f(x)在[-1，0)上单调递减，在[0，1]上单调递增， ∴当m∈[-1，1]时，f(m)min=f(0)=-4. 9.求下列函数的最值： (1)f(x)=sin x+cos x，x∈； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 f'(x)=cos x-sin x. 令f'(x)=0，即tan x=1， 且x∈， 所以x=. 又因为f=， f=-1，f=1， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 所以当x∈时，函数的最大值为f=， 最小值为f=-1. (2)f(x)=ln(1+x)-x2，x∈[0，2]. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 f'(x)=-x， 令-x=0， 化简为x2+x-2=0， 解得x1=-2(舍去)，x2=1. 当0≤x<1时，f'(x)>0，f(x)单调递增； 当1<x≤2时，f'(x)<0，f(x)单调递减， 所以f(1)=ln 2-为函数f(x)的极大值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 又f(0)=0，f(2)=ln 3-1>0，f(1)>f(2). 所以f(0)=0为函数f(x)=ln(1+x)-x2在[0，2]上的最小值， f(1)=ln 2-为函数在[0，2]上的最大值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.已知a为常数，求函数f(x)=-x3+3ax(0≤x≤1)的最大值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 f'(x)=-3x2+3a=-3(x2-a). 若a≤0，则f'(x)≤0，函数f(x)单调递减， 所以当x=0时，f(x)有最大值f(0)=0. 若a>0，则令f'(x)=0，解得x=±. 因为x∈[0，1]， 所以只考虑x=的情况. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ①若0<<1，即0<a<1，则当x=时，f(x)有极大值，也是最大值f()=2a.(如表所示) x 0 (0，) (，1) 1 f'(x)   + 0 -   f(x) 0 单调递增 2a 单调递减 3a-1 ②若≥1，即a≥1，则当0≤x≤1时，f'(x)≥0，函数f(x)在[0，1]上单调递增，当x=1时，f(x)有最大值f(1)=3a-1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 综上可知，当a≤0，x=0时，f(x)有最大值0， 当0<a<1，x=时，f(x)有最大值2a， 当a≥1，x=1时，f(x)有最大值3a-1. 11.已知函数f(x)=x3-3x-1，若对任意x1，x2∈[-3，2]，都有|f(x1)-f(x2)|≤t，则实数t的最小值是 A.20 B.18 C.3 D.0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 综合运用 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由f'(x)=3x2-3=3(x-1)(x+1)=0得x=1或x=-1.又f(-3)=-19，f(-1)=1，f(1)=-3，f(2)=1，所以在区间[-3，2]上，f(x)max=1，f(x)min=-19，又由题设知在区间[-3，2]上，|f(x1)-f(x2)|≤f(x)max-f(x)min=20，所以t≥20，故实数t的最小值是20. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12.若存在x∈，使得不等式2xln x+x2-mx+3≥0成立，则实数m的最大值为 A.+3e-2 B.+e+2 C.4 D.e2-1 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵2xln x+x2-mx+3≥0， ∴m≤2ln x+x+， 设h=2ln x+x+，x∈， 则h'=+1-=， 当≤x<1时，h'<0，h单调递减， 当1<x≤e时，h'>0，h单调递增. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵存在x∈，m≤2ln x+x+成立， ∴m≤h， ∵h=-2++3e，h=2+e+， ∴h>h. ∴m≤+3e-2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.已知函数f=若∃x0∈R使得f=f成立，则实数k的取值范围是 A. B. C. D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意可得，存在实数x0≠0， 使得f=f成立， 假设x0>0，则-x0<0， 所以有-kx0=ln x0， 则k=-， 令h=-，x>0， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 则h'=， 令h'>0，即ln x>1，解得x>e， 令h'<0，即ln x<1，解得0<x<e， 则h上单调递增， 所以h≥h=h=-=-， 所以k≥-. 14.已知y=f(x)是奇函数，当x∈(0，2)时，f(x)=ln x-ax，当x∈(-2，0)时，f(x)的最小值为1，则a的值为　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意知，当x∈(0，2)时，f(x)的最大值为-1. 令f'(x)=-a=0，得x=， 当0<x<时，f'(x)>0； 当<x<2时，f'(x)<0. ∴f(x)max=f=-ln a-1=-1. 解得a=1. 15.已知函数f(x)=要使函数f(x)=k有三个零点，则k的取值范围是　　　　.  拓广探究 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 -<k<0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 要使函数f(x)=k有三个零点，即y=f(x)与y=k的图象有3个交点，因为当x≤0时， f(x)=xex， 所以f'(x)=(x+1)ex， 所以f(x)=xex有最小值f(-1)=-， 且当x<0时，f(x)<0， 当x趋向于负无穷时，f(x)趋向于0，但始终小于0， 当x>0时，f(x)=-x2+1单调递减，所以要使函数f(x)=k有三个零点， 则-<k<0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.已知f(x)=ax-ln x，a∈R. (1)当a=1时，求曲线f(x)在点(2，f(2))处的切线方程； 当a=1时，f(x)=x-ln x，f'(x)=1-=， ∴所求切线的斜率为f'(2)=，切点为(2，2-ln 2)， ∴所求切线的方程为y-(2-ln 2)=(x-2)， 即x-2y+2-2ln 2=0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)是否存在实数a，使f(x)在区间(0，e]上的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，说明理由. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 假设存在实数a，使f(x)=ax-ln x在区间(0，e]上的最小值是3， f'(x)=a-=. ①当a≤0时，f(x)在(0，e]上单调递减，故f(x)min=f(e)=ae-1=3，解得a=(舍去)，所以此时不存在符合题意的实数a； ②当0<<e，即a>时，f(x)在上单调递增，故f(x)min=f=1+ln a=3，解得a=e2，满足条件； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ③当≥e，即0<a≤时，f(x)在(0，e]上单调递减，故f(x)min=f(e)=ae-1=3，解得a=(舍去)，所以此时不存在符合题意的实数a. 综上，存在实数a=e2，使f(x)在区间(0，e]上的最小值是3. <<< 第五章 $$