第5章 5.3.2 第1课时 函数的极值-（课件PPT+Word教案）【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第二册教师用书（人教A版2019）

5.3.2　函数的极值与最大(小)值 第1课时　函数的极值 ［学习目标］　1.借助函数的图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件.2.能利用导数求某些函数的极大值、极小值. 导语 同学们，前面我们通过对函数的求导，得到了函数的单调性，从而也发现了函数图象的变化趋势，正所谓“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”，大家可以展开想象一下，在群山之中，各个山峰的顶端虽然不一定是群山之中的最高处，但却是其附近的最高点，同样，各个谷底虽然不一定是山谷的最低处，但却是其附近的最低点.这就是我们今天要研究的函数的极值. 一、求函数的极值 知识梳理 极值点与极值的概念 （1）极小值点与极小值 函数y=f（x）在点x=a处的函数值f（a）比它在点x=a附近其他点处的函数值都小，f'（a）=0；而且在点x=a附近的左侧f'（x）<0，右侧f'（x）>0，则把a叫做函数y=f（x）的极小值点，f（a）叫做函数y=f（x）的极小值. （2）极大值点与极大值 函数y=f（x）在点x=b处的函数值f（b）比它在点x=b附近其他点处的函数值都大，f'（b）=0；而且在点x=b附近的左侧f'（x）>0，右侧f'（x）<0，则把b叫做函数y=f（x）的极大值点，f（b）叫做函数y=f（x）的极大值. （3）极大值点、极小值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值. 注意点：（1）极值点不是点；（2）极值是函数的局部性质；（3）函数的极值不唯一；（4）极大值与极小值两者的大小不确定；（5）极值点出现在区间的内部，端点不能是极值点；（6）若f'（x0）=0，则x0不一定是极值点，即f'（x0）=0是f（x）在x=x0处取到极值的必要不充分条件，函数y=f'（x）的变号零点，才是函数的极值点. 例1　（1）函数y=f（x）的导函数的图象如图所示，给出下列判断： ①函数y=f（x）在区间（3，5）上单调递增； ②函数y=f（x）在区间上单调递减； ③函数y=f（x）在区间（-2，2）上单调递增； ④当x=-时，函数y=f（x）有极大值； ⑤当x=2时，函数y=f（x）有极大值. 则上述判断中正确的序号是　　　　.  答案　③⑤ 解析　对于①，当x∈（3，4）时，f'（x）<0，f（x）单调递减， 当x∈（4，5）时，f'（x）>0，f（x）单调递增，所以①错误； 对于②，当x∈时，f'（x）>0，f（x）单调递增， 当x∈（2，3）时，f'（x）<0，f（x）单调递减，所以②错误； 对于③，当x∈（-2，2）时，f'（x）>0，f（x）单调递增，所以③正确； 对于④，当x∈（-2，2）时，f'（x）>0，f（x）单调递增，故当x=-时，f不是极大值，所以④错误； 对于⑤，由②知当x=2时，函数y=f（x）取得极大值，所以⑤正确. （2）求函数f（x）=x3-3x2-9x+5的极值. 解　函数f（x）的定义域为R. f'（x）=3x2-6x-9， 令f'（x）=0， 即3x2-6x-9=0， 解得x1=-1，x2=3. 当x变化时，f（x），f'（x）的变化情况如表： x （-∞，-1） -1 （-1，3） 3 （3，+∞） f'（x） + 0 - 0 + f（x） 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 故当x=-1时，函数f（x）有极大值， 且极大值为f（-1）=10； 当x=3时，函数f（x）有极小值， 且极小值为f（3）=-22. 反思感悟　函数极值和极值点的求解步骤 （1）确定函数的定义域. （2）求方程f'（x）=0的根. （3）用方程f'（x）=0的根顺次将函数的定义域分成若干个小开区间，并列成表格. （4）由f'（x）在方程f'（x）=0的根左右的符号，来判断f（x）在这个根处取极值的情况. 跟踪训练1　（1）已知函数y=f的导函数y=f'的图象如图所示，则函数y=f在区间上的极小值点的个数为（　　） A.1 B.2 C.3 D.4 答案　A 解析　由图象，设y=f'（x）的图象与x轴负半轴的两个交点的横坐标分别为c，d，其中c<d，知在（-∞，c），（d，b）上f'（x）≥0， 所以此时函数f（x）在（-∞，c），（d，b）上单调递增， 在（c，d）上，f'（x）<0，此时f（x）在（c，d）上单调递减， 所以当x=c时，函数取得极大值，当x=d时，函数取得极小值. 则函数y=f（x）的极小值点的个数为1. （2）求函数f（x）=的极值. 解　函数f（x）的定义域为R. 因为f（x）=， 所以f'（x）==， 令f'（x）=0，解得x=3或x=-1，令f'（x）<0，得x>3或x<-1，令f'（x）>0，得-1<x<3，列表如下： x （-∞，-1） -1 （-1，3） 3 （3，+∞） f'（x） - 0 + 0 - f（x） 单调递减 极小值 单调递增 极大值 单调递减 可得f（x）的极大值为f（3）=， 极小值为f（-1）=-2e2. 二、含参数的函数的极值问题 例2　已知函数f（x）=x-aln x（a∈R），讨论函数f（x）的极值. 解　函数f（x）的定义域为（0，+∞）， f'（x）=1-=， ①当a≤0时，f'（x）>0，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，函数f（x）无极值； ②当a>0时，由f'（x）=0，解得x=a. 又当x∈（0，a）时，f'（x）<0，当x∈（a，+∞）时，f'（x）>0，从而函数f（x）在x=a处取得极小值，且极小值为f（a）=a-aln a，无极大值. 综上，当a≤0时，函数f（x）无极值； 当a>0时，函数f（x）在x=a处取得极小值a-aln a，无极大值. 反思感悟　一般地，遇到题目中含有参数的问题时，常常结合参数的意义及对结果的影响进行分类讨论，此种题目为含参型，应全面分析参数变化引起结论的变化情况，参数有几何意义时还要考虑适当地运用数形结合思想，分类讨论时做到分类标准明确，不重不漏. 跟踪训练2　设函数f（x）=x3-3ax+b（a≠0），讨论函数f（x）的单调性与极值点. 解　f'（x）=3（x2-a）（a≠0）. 当a<0时，f'（x）>0恒成立，即函数f（x）在R上单调递增，此时函数f（x）没有极值点. 当a>0时，由f'（x）=0，得x1=-，x2=. 当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如表： x （-∞，-） - （-，） （，+∞） f'（x） + 0 - 0 + f（x） 单调递增 f（-） 单调递减 f（） 单调递增 因此，函数f（x）在（-∞，-）和（，+∞）上单调递增，在（-，）上单调递减，此时-是函数f（x）的极大值点，是函数f（x）的极小值点. 三、根据极值求参数的值或范围 例3　（1）若函数f（x）=x3+ax2+bx+a2在x=1处取得极值10，则a=　　　，b=　　　　.  答案　4　-11 解析　f'（x）=3x2+2ax+b， 依题意得 即 解得或 但由于当a=-3，b=3时， f'（x）=3x2-6x+3=3（x-1）2≥0， 故f（x）在R上单调递增，不可能在x=1处取得极值， 所以不符合题意，应舍去. 而当a=4，b=-11时，经检验知符合题意， 故a，b的值分别为4，-11. （2）已知函数f（x）=x3-（m+3）x2+（m+6）x（x∈R，m为常数），在区间（1，+∞）上有两个极值点，求实数m的取值范围. 解　f'（x）=x2-（m+3）x+m+6. 因为函数f（x）在（1，+∞）上有两个极值点， 所以f'（x）=x2-（m+3）x+m+6的图象在（1，+∞）上与x轴有两个不同的交点，如图所示. 所以 解得m>3. 故实数m的取值范围是（3，+∞）. 反思感悟　已知函数的极值求参数的方法 （1）对于已知可导函数的极值求参数的问题，解题的切入点是极值存在的条件：极值点处的导数值为0，极值点两侧的导数值异号. 注意：求出参数后，一定要验证是否满足题目的条件. （2）对于函数无极值的问题，往往转化为其导函数的值非负或非正在某区间内恒成立的问题，即转化为f'（x）≥0或f'（x）≤0在某区间内恒成立的问题，此时需注意不等式中的等号是否成立. 跟踪训练3　若函数f（x）=x3-4x+4的图象与直线y=a恰有三个不同的交点，则实数a的取值范围是　　　　.  答案　 解析　∵f（x）=x3-4x+4， ∴f'（x）=x2-4=（x+2）（x-2）. 令f'（x）=0，得x=2或x=-2. 当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如表： x （-∞，-2） -2 （-2，2） 2 （2，+∞） f'（x） + 0 - 0 + f（x） 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 ∴当x=-2时，函数取得极大值f（-2）=； 当x=2时，函数取得极小值f（2）=-. 且f（x）在（-∞，-2）上单调递增，在（-2，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增. 根据函数单调性、极值的情况，它的图象大致如图所示， 结合图象知-<a<. 1.知识清单： （1）求函数的极值. （2）含参数的函数的极值问题. （3）根据极值求参数的值或范围. 2.方法归纳：方程思想、分类讨论. 3.常见误区：导数值等于零不是此点为极值点的充要条件. 1.已知函数f（x）的定义域为R，它的导函数y=f'（x）的部分图象如图所示，则下列结论错误的是（　　） A.函数f（x）在（1，2）上单调递增 B.函数f（x）在（3，4）上单调递减 C.函数f（x）在（1，3）上有极大值 D.x=3是函数f（x）在区间［1，5］上的极小值点 答案　D 解析　根据导函数图象知，当x∈（1，2）时，f'（x）>0；当x∈（2，4）时，f'（x）<0；当x∈（4，5）时，f'（x）>0. ∴f（x）在（1，2），（4，5）上单调递增，在（2，4）上单调递减，x=2是f（x）在区间［1，5］上的极大值点，x=4是极小值点. 2.设函数f（x）=xex，则（　　） A.x=1为f（x）的极大值点 B.x=1为f（x）的极小值点 C.x=-1为f（x）的极大值点 D.x=-1为f（x）的极小值点 答案　D 解析　令f'（x）=ex+x·ex=（1+x）ex=0， 得x=-1. 当x<-1时，f'（x）<0； 当x>-1时，f'（x）>0. 故x=-1为f（x）的极小值点. 3.（多选）已知函数f（x）=2x3+ax2+36x-24在x=2处有极值，则该函数的一个单调递增区间是（　　） A.（-∞，2） B.（3，+∞） C.（2，+∞） D.（-∞，3） 答案　AB 解析　∵f'（x）=6x2+2ax+36，且在x=2处有极值， ∴f'（2）=0，即24+4a+36=0，解得a=-15， ∴f'（x）=6x2-30x+36=6（x-2）（x-3）， 由f'（x）>0得x<2或x>3. 4.已知曲线f（x）=x3+ax2+bx+1在点（1，f（1））处的切线斜率为3，且x=是y=f（x）的极值点，则a=　　　　，b=　　　　.  答案　2　-4 解析　f'（x）=3x2+2ax+b， 由题意知即 解得经验证知符合题意. 课时对点练　［分值：100分］ 单选题每小题5分，共45分；多选题每小题6分，共6分 1.下列函数中存在极值的是（　　） A.y= B.y=x-ex C.y=2 D.y=x3 答案　B 解析　对于y=x-ex，y'=1-ex， 令y'=0，得x=0. 在区间（-∞，0）上，y'>0； 在区间（0，+∞）上，y'<0. 故当x=0时，函数y=x-ex取得极大值. 2.设函数f（x）在R上可导，其导函数为f'（x），且函数y=f'（x）的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（　　） A.函数f（x）有极大值f（2）和极小值f（1） B.函数f（x）有极大值f（-2）和极小值f（1） C.函数f（x）有极大值f（2）和极小值f（-2） D.函数f（x）有极大值f（-2）和极小值f（2） 答案　D 解析　由题图可知，当x<-2时，f'（x）>0； 当-2<x<1时，f'（x）<0； 当1<x<2时，f'（x）<0； 当x>2时，f'（x）>0. 由此可以得到函数f（x）在x=-2处取得极大值， 在x=2处取得极小值. 3.设函数f（x）=+ln x，则（　　） A.为f（x）的极大值点 B.为f（x）的极小值点 C.2为f（x）的极大值点 D.2为f（x）的极小值点 答案　D 解析　∵f（x）=+ln x，x>0，∴f'（x）=-+，令f'（x）=0，即-+==0，解得x=2.当0<x<2时，f'（x）<0，f（x）单调递减；当x>2时，f'（x）>0，f（x）单调递增.∴2为f（x）的极小值点，无极大值点. 4.已知a是函数f（x）=x3-12x的极小值点，则a等于（　　） A.-4 B.-2 C.4 D.2 答案　D 解析　∵f（x）=x3-12x， ∴f'（x）=3x2-12， 令f'（x）=0，解得x1=-2，x2=2. 当x∈（-∞，-2）∪（2，+∞）时，f'（x）>0，f（x）单调递增； 当x∈（-2，2）时，f'（x）<0，f（x）单调递减， ∴f（x）的极小值点为x=2，即a=2. 5.若函数f（x）=ex+e-x-ax有大于零的极值点，则a的取值范围为（　　） A.（0，+∞） B.（-∞，0） C.（e，+∞） D.（-∞，e） 答案　A 解析　原命题等价于f'（x）=ex-e-x-a有大于零的零点， 显然f'（x）在（0，+∞）上单调递增， 又因为x→+∞时，f'（x）→+∞， 所以f'（0）=-a<0，所以a>0， 所以a的取值范围为（0，+∞）. 6.（多选）已知函数f（x）=x3+ax2+（a+6）x+1有极大值和极小值，则实数a的值可以是（　　） A.-4 B.-3 C.6 D.8 答案　AD 解析　由题意知f'（x）=3x2+2ax+（a+6）=0有两个不相等的根， 所以Δ=4a2-12（a+6）>0， 解得a>6或a<-3. 7.（5分）函数f（x）=的极小值为　　　　.  答案　- 解析　f'（x）= =. 令f'（x）<0，得x<-2或x>1； 令f'（x）>0，得-2<x<1. 所以f（x）在（-∞，-2），（1，+∞）上单调递减， 在（-2，1）上单调递增， 所以f（x）的极小值为f（-2）=-. 8.（5分）函数f（x）=ax3+bx在x=1处有极值-2，则a=　　　　，b=　　　　.  答案　1　-3 解析　∵f'（x）=3ax2+b， ∴f'（1）=3a+b=0. ① 又当x=1时，函数f（x）有极值-2， ∴a+b=-2. ② 联立①②解得经检验知符合题意，故a，b的值分别为1，-3. 9.（10分）设函数f（x）=aln x++x+1，其中a∈R，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线垂直于y轴. （1）求a的值；（4分） （2）求函数f（x）的极值.（6分） 解　（1）f'（x）=-+（x>0）. 由题意知，曲线在x=1处的切线斜率为0， 即f'（1）=0， 从而a-+=0， 解得a=-1. （2）由（1）知f（x）=-ln x++x+1（x>0）， f'（x）=--+ ==. 令f'（x）=0，解得x1=1，x2=-（舍去）. 当x∈（0，1）时，f'（x）<0， 故f（x）在（0，1）上单调递减； 当x∈（1，+∞）时，f'（x）>0，故f（x）在（1，+∞）上单调递增. 故f（x）在x=1处取得极小值，极小值为f（1）=3，无极大值. 10.（12分）设a为实数，函数f（x）=x3-x2-x+a. （1）求f（x）的极值；（6分） （2）当a在什么范围内取值时，曲线y=f（x）与x轴仅有一个交点？（6分） 解　（1）f'（x）=3x2-2x-1. 令f'（x）=0，得x=-或x=1. 当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如表： x - 1 （1，+∞） f'（x） + 0 - 0 + f（x） 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 ∴f（x）的极大值是f=+a， 极小值是f（1）=a-1. （2）函数f（x）=x3-x2-x+a =（x-1）2（x+1）+a-1， 由此可知，x取足够大的正数时，有f（x）>0， x取足够小的负数时，有f（x）<0， ∴曲线y=f（x）与x轴至少有一个交点. 由（1）知f（x）的极大值为f=+a， f（x）的极小值为f（1）=a-1. ∵曲线y=f（x）与x轴仅有一个交点， ∴+a<0或a-1>0， ∴a<-或a>1， ∴当a∈∪（1，+∞）时，曲线y=f（x）与x轴仅有一个交点. 11.设函数f（x）在R上可导，其导函数为f'（x），且函数f（x）在x=-2处取得极小值，则函数y=xf'（x）的图象可能是（　　） 答案　C 解析　因为f（x）在x=-2处取得极小值， 所以当x<-2时， f（x）单调递减， 即f'（x）<0； 当x>-2时，f（x）单调递增，即f'（x）>0. 所以当x<-2时，y=xf'（x）>0； 当x=-2时，y=xf'（x）=0； 当-2<x<0时，y=xf'（x）<0； 当x=0时，y=xf'（x）=0； 当x>0时，y=xf'（x）>0. 结合选项中的图象知选C. 12.若函数f（x）=ex-ax-b在R上有小于0的极值点，则实数a的取值范围是（　　） A.（-1，0） B.（0，1） C.（-∞，-1） D.（1，+∞） 答案　B 解析　由题意知f'（x）=ex-a. 当a≤0时，f'（x）>0恒成立，则f（x）在R上单调递增，不符合题意； 当a>0时，令f'（x）=0，解得x=ln a， ∴当x∈（-∞，ln a）时，f'（x）<0；当x∈（ln a，+∞）时，f'（x）>0. 可知x=ln a为f（x）的极值点， ∴ln a<0，∴a∈（0，1）. 13.若函数f=x3-x2+3a2x-3a2-在x=3处取得极大值，则常数a的值为（　　） A.3 B.2 C.3或2 D.-3或-2 答案　A 解析　∵f=x3-x2+3a2x-3a2-， ∴f'=2x2-5ax+3a2， 由题意可得f'=2×9-15a+3a2=0，整理得a2-5a+6=0，解得a=2或a=3. 当a=2时，f'=2x2-10x+12 =2， 令f'>0，得x<2或x>3； 令f'<0，得2<x<3， 此时，函数y=f在x=3处取得极小值，不符合题意； 当a=3时，f'=2x2-15x+27=. 令f'>0，得x>或x<3； 令f'<0，得3<x<. 此时，函数y=f在x=3处取得极大值，符合题意. 综上所述，a=3. 14.（5分）若函数f（x）=x3+x2-ax-4在区间（-1，1）上恰有一个极值点，则实数a的取值范围为 . 答案　［1，5） 解析　∵f'（x）=3x2+2x-a， 函数f（x）在区间（-1，1）上恰有一个极值点， 即f'（x）=0在（-1，1）内恰有一个根. 又函数f'（x）=3x2+2x-a的对称轴为x=-. ∴应满足∴ ∴1≤a<5. 15.已知函数f（x）=ax3+bx2+cx的图象如图所示，且f（x）在x=x0与x=2处取得极值，则f（1）+f（-1）的值一定（　　） A.等于0 B.大于0 C.小于0 D.小于或等于0 答案　B 解析　f'（x）=3ax2+2bx+c. 令f'（x）=0，则x0和2是该方程的根. ∴x0+2=-<0，即>0. 由题图知，f'（x）<0的解集为（x0，2）， ∴3a>0，则b>0， ∵f（1）+f（-1）=2b， ∴f（1）+f（-1）>0. 16.（2024·新课标全国Ⅱ）（12分）已知函数f（x）=ex-ax-a3. （1）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（4分） （2）若f（x）有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围.（8分） 解　（1）当a=1时，则f（x）=ex-x-1，f'（x）=ex-1， 可得f（1）=e-2，f'（1）=e-1， 即切点坐标为（1，e-2），切线斜率k=e-1， 所以切线方程为y-（e-2）=（e-1）（x-1）， 即（e-1）x-y-1=0. （2）方法一　因为f（x）的定义域为R， 且f'（x）=ex-a， 若a≤0，则f'（x）>0对任意x∈R恒成立， 可知f（x）在R上单调递增， 无极值，不符合题意； 若a>0，令f'（x）>0，解得x>ln a， 令f'（x）<0，解得x<ln a， 可知f（x）在（-∞，ln a）上单调递减， 在（ln a，+∞）上单调递增， 则f（x）有极小值f（ln a）=a-aln a-a3，无极大值， 由题意可得，f（ln a）=a-aln a-a3<0， 即a2+ln a-1>0，令g（a）=a2+ln a-1，a>0， 则g'（a）=2a+>0， 可知g（a）在（0，+∞）上单调递增，且g（1）=0， 不等式a2+ln a-1>0等价于g（a）>g（1）， 解得a>1，所以a的取值范围为（1，+∞）. 方法二　因为f（x）的定义域为R，且f'（x）=ex-a， 若f（x）有极小值，则f'（x）=ex-a有零点， 令f'（x）=ex-a=0，可得ex=a， 可知y=ex与y=a有交点，则a>0， 令f'（x）>0，解得x>ln a； 令f'（x）<0，解得x<ln a， 可知f（x）在（-∞，ln a）上单调递减， 在（ln a，+∞）上单调递增， 则f（x）有极小值f（ln a）=a-aln a-a3， 无极大值，符合题意， 由题意可得，f（ln a）=a-aln a-a3<0， 即a2+ln a-1>0，令g（a）=a2+ln a-1，a>0， 因为y=a2，y=ln a-1在（0，+∞）上均单调递增， 所以g（a）在（0，+∞）上单调递增，且g（1）=0， 不等式a2+ln a-1>0等价于g（a）>g（1）， 解得a>1，所以a的取值范围为（1，+∞）. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第1课时 第五章 <<< 函数的极值 1.借助函数的图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件. 2.能利用导数求某些函数的极大值、极小值. 学习目标 同学们，前面我们通过对函数的求导，得到了函数的单调性，从而也发现了函数图象的变化趋势，正所谓“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”，大家可以展开想象一下，在群山之中，各个山峰的顶端虽然不一定是群山之中的最高处，但却是其附近的最高点，同样，各个谷底虽然不一定是山谷的最低处，但却是其附近的最低点.这就是我们今天要研究的函数的极值. 导 语 一、求函数的极值 二、含参数的函数的极值问题 课时对点练 三、根据极值求参数的值或范围 随堂演练 内容索引 一 求函数的极值 极值点与极值的概念 (1)极小值点与极小值 函数y=f(x)在点x=a处的函数值f(a)比它在点x=a附近 其他点处的函数值都小，f'(a)=0；而且在点x=a附 近的左侧 ，右侧 ，则把a叫做函数y =f(x)的 ，f(a)叫做函数y=f(x)的 . f'(x)<0 f'(x)>0 极小值点 极小值 知识梳理 6 (2)极大值点与极大值 函数y=f(x)在点x=b处的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点处的函数值都大，f'(b)=0；而且在点x=b附近的左侧 ，右侧 ，则把b叫做函数y=f(x)的 ，f(b)叫做函数y=f(x)的 . (3)极大值点、极小值点统称为 ，极大值和极小值统称为 . f'(x)>0 f'(x)<0 极大值点 极大值 极值点 极值 7 (1)极值点不是点；(2)极值是函数的局部性质；(3)函数的极值不唯一；(4)极大值与极小值两者的大小不确定；(5)极值点出现在区间的内部，端点不能是极值点；(6)若f'(x0)=0，则x0不一定是极值点，即f'(x0)=0是f(x)在x=x0处取到极值的必要不充分条件，函数y=f'(x)的变号零点，才是函数的极值点. 注 意 点 <<< 8 (1)函数y=f(x)的导函数的图象如图所示，给出下列判断： 例 1 ①函数y=f(x)在区间(3，5)上单调递增； ②函数y=f(x)在区间上单调递减； ③函数y=f(x)在区间(-2，2)上单调递增； ④当x=-时，函数y=f(x)有极大值； ⑤当x=2时，函数y=f(x)有极大值. 则上述判断中正确的序号是　　　　.  ③⑤ 9 对于①，当x∈(3，4)时，f'(x)<0，f(x)单调递减， 当x∈(4，5)时，f'(x)>0，f(x)单调递增，所以①错误； 对于②，当x∈时，f'(x)>0，f(x)单调递增， 当x∈(2，3)时，f'(x)<0，f(x)单调递减，所以②错误； 对于③，当x∈(-2，2)时，f'(x)>0，f(x)单调递增，所以③正确； 对于④，当x∈(-2，2)时，f'(x)>0，f(x)单调递增，故当x=-时，f不是极大值，所以④错误； 对于⑤，由②知当x=2时，函数y=f(x)取得极大值，所以⑤正确. 10 (2)求函数f(x)=x3-3x2-9x+5的极值. 11 函数f(x)的定义域为R. f'(x)=3x2-6x-9， 令f'(x)=0， 即3x2-6x-9=0， 解得x1=-1，x2=3. 当x变化时，f(x)，f'(x)的变化情况如表： x (-∞，-1) -1 (-1，3) 3 (3，+∞) f'(x) + 0 - 0 + f(x) 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 12 故当x=-1时，函数f(x)有极大值， 且极大值为f(-1)=10； 当x=3时，函数f(x)有极小值， 且极小值为f(3)=-22. 13 反 思 感 悟 函数极值和极值点的求解步骤 (1)确定函数的定义域. (2)求方程f'(x)=0的根. (3)用方程f'(x)=0的根顺次将函数的定义域分成若干个小开区间，并列成表格. (4)由f'(x)在方程f'(x)=0的根左右的符号，来判断f(x)在这个根处取极值的情况. (1)已知函数y=f的导函数y=f'的图象如图所示，则函数y=f在区间上的极小值点的个数为 A.1 B.2 C.3 D.4 跟踪训练 1 √ 15 由图象，设y=f'(x)的图象与x轴负半轴的两个交点的横坐标分别为c，d，其中c<d，知在(-∞，c)，(d，b)上f'(x)≥0， 所以此时函数f(x)在(-∞，c)，(d，b)上单调递增， 在(c，d)上，f'(x)<0，此时f(x)在(c，d)上单调递减， 所以当x=c时，函数取得极大值，当x=d时，函数取得极小值. 则函数y=f(x)的极小值点的个数为1. 16 (2)求函数f(x)=的极值. 17 函数f(x)的定义域为R. 因为f(x)=， 所以f'(x)==， 令f'(x)=0，解得x=3或x=-1，令f'(x)<0，得x>3或x<-1，令f'(x)>0， 得-1<x<3，列表如下： x (-∞，-1) -1 (-1，3) 3 (3，+∞) f'(x) - 0 + 0 - f(x) 单调递减 极小值 单调递增 极大值 单调递减 18 可得f(x)的极大值为f(3)=， 极小值为f(-1)=-2e2. 19 二 含参数的函数的极值问题 已知函数f(x)=x-aln x(a∈R)，讨论函数f(x)的极值. 例 2 函数f(x)的定义域为(0，+∞)， f'(x)=1-=， ①当a≤0时，f'(x)>0，函数f(x)在(0，+∞)上单调递增，函数f(x)无极值； ②当a>0时，由f'(x)=0，解得x=a. 又当x∈(0，a)时，f'(x)<0，当x∈(a，+∞)时，f'(x)>0，从而函数f(x)在x=a处取得极小值，且极小值为f(a)=a-aln a，无极大值. 综上，当a≤0时，函数f(x)无极值； 当a>0时，函数f(x)在x=a处取得极小值a-aln a，无极大值. 21 反 思 感 悟 一般地，遇到题目中含有参数的问题时，常常结合参数的意义及对结果的影响进行分类讨论，此种题目为含参型，应全面分析参数变化引起结论的变化情况，参数有几何意义时还要考虑适当地运用数形结合思想，分类讨论时做到分类标准明确，不重不漏. 一质点M按运动方程y=s(t)=at2+1做直线运动(位移单位：m，时间单位：s)，若质点M在t=2时的瞬时速度为8 m/s，求常数a的值. 跟踪训练 2 23 f'(x)=3(x2-a)(a≠0). 当a<0时，f'(x)>0恒成立，即函数f(x)在R上单调递增，此时函数f(x)没有极值点. 当a>0时，由f'(x)=0，得x1=-，x2=. 当x变化时，f'(x)，f(x)的变化情况如表： x (-∞，-) - (-) (，+∞) f'(x) + 0 - 0 + f(x) 单调递增 f(-) 单调递减 f() 单调递增 24 因此，函数f(x)在(-∞，-，+∞)上单调递增，在(-)上单调递减，此时-是函数f(x)的极大值点，是函数f(x)的极小值点. 25 三 根据极值求参数的值或范围 (1)若函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1处取得极值10，则a=　　　，b=　　　　.  例 3 4 -11 f'(x)=3x2+2ax+b， 依题意得 即 解得 但由于当a=-3，b=3时， f'(x)=3x2-6x+3=3(x-1)2≥0， 故f(x)在R上单调递增，不可能在x=1处取得极值， 所以不符合题意，应舍去. 而当a=4，b=-11时，经检验知符合题意， 故a，b的值分别为4，-11. (2)已知函数f(x)=x3-(m+3)x2+(m+6)x(x∈R，m为常数)，在区间(1，+∞)上有两个极值点，求实数m的取值范围. 30 f'(x)=x2-(m+3)x+m+6. 因为函数f(x)在(1，+∞)上有两个极值点， 所以f'(x)=x2-(m+3)x+m+6的图象在(1，+∞)上与x轴有两个不同的交点，如图所示. 所以 解得m>3. 故实数m的取值范围是(3，+∞). 31 反 思 感 悟 已知函数的极值求参数的方法 (1)对于已知可导函数的极值求参数的问题，解题的切入点是极值存在的条件：极值点处的导数值为0，极值点两侧的导数值异号. 注意：求出参数后，一定要验证是否满足题目的条件. (2)对于函数无极值的问题，往往转化为其导函数的值非负或非正在某区间内恒成立的问题，即转化为f'(x)≥0或f'(x)≤0在某区间内恒成立的问题，此时需注意不等式中的等号是否成立. 若函数f(x)=x3-4x+4的图象与直线y=a恰有三个不同的交点，则实数a的取值范围是　　　　　　.  跟踪训练 3 ∵f(x)=x3-4x+4， ∴f'(x)=x2-4=(x+2)(x-2). 令f'(x)=0，得x=2或x=-2. 当x变化时，f'(x)，f(x)的变化情况如表： x (-∞，-2) -2 (-2，2) 2 (2，+∞) f'(x) + 0 - 0 + f(x) 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 ∴当x=-2时，函数取得极大值f(-2)=； 当x=2时，函数取得极小值f(2)=-. 且f(x)在(-∞，-2)上单调递增，在(-2，2)上单调递减，在(2，+∞)上单调递增. 根据函数单调性、极值的情况， 它的图象大致如图所示， 结合图象知-<a<. 1.知识清单： (1)求函数的极值. (2)含参数的函数的极值问题. (3)根据极值求参数的值或范围. 2.方法归纳：方程思想、分类讨论. 3.常见误区：导数值等于零不是此点为极值点的充要条件. 课堂小结 随堂演练 四 1 2 3 4 1.已知函数f(x)的定义域为R，它的导函数y=f'(x)的部分图象如图所示，则下列结论错误的是 A.函数f(x)在(1，2)上单调递增 B.函数f(x)在(3，4)上单调递减 C.函数f(x)在(1，3)上有极大值 D.x=3是函数f(x)在区间[1，5]上的极小值点 √ 1 2 3 4 根据导函数图象知，当x∈(1，2)时，f'(x)>0； 当x∈(2，4)时，f'(x)<0；当x∈(4，5)时，f'(x)>0. ∴f(x)在(1，2)，(4，5)上单调递增，在(2，4)上 单调递减，x=2是f(x)在区间[1，5]上的极大值点，x=4是极小值点. 2.设函数f(x)=xex，则 A.x=1为f(x)的极大值点 B.x=1为f(x)的极小值点 C.x=-1为f(x)的极大值点 D.x=-1为f(x)的极小值点 1 2 3 4 √ 1 2 3 4 令f'(x)=ex+x·ex=(1+x)ex=0， 得x=-1. 当x<-1时，f'(x)<0； 当x>-1时，f'(x)>0. 故x=-1为f(x)的极小值点. 3.(多选)已知函数f(x)=2x3+ax2+36x-24在x=2处有极值，则该函数的一个单调递增区间是 A.(-∞，2) B.(3，+∞) C.(2，+∞) D.(-∞，3) 1 2 3 4 ∵f'(x)=6x2+2ax+36，且在x=2处有极值， ∴f'(2)=0，即24+4a+36=0，解得a=-15， ∴f'(x)=6x2-30x+36=6(x-2)(x-3)， 由f'(x)>0得x<2或x>3. √ √ 4.已知曲线f(x)=x3+ax2+bx+1在点(1，f(1))处的切线斜率为3，且x=是y=f(x)的极值点，则a=　　，b=　　.  1 2 3 4 2 f'(x)=3x2+2ax+b， 由题意知 解得经验证知符合题意. -4 课时对点练 五 基础巩固 1.下列函数中存在极值的是 A.y= B.y=x-ex C.y=2 D.y=x3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 对于y=x-ex，y'=1-ex， 令y'=0，得x=0. 在区间(-∞，0)上，y'>0； 在区间(0，+∞)上，y'<0. 故当x=0时，函数y=x-ex取得极大值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.设函数f(x)在R上可导，其导函数为f'(x)，且函数y=f'(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是 A.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1) B.函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(1) C.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(-2) D.函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(2) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题图可知，当x<-2时，f'(x)>0； 当-2<x<1时，f'(x)<0； 当1<x<2时，f'(x)<0； 当x>2时，f'(x)>0. 由此可以得到函数f(x)在x=-2处取得极大值， 在x=2处取得极小值. 3.设函数f(x)=+ln x，则 A.为f(x)的极大值点 B.为f(x)的极小值点 C.2为f(x)的极大值点 D.2为f(x)的极小值点 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵f(x)=+ln x，x>0，∴f'(x)=-+，令f'(x)=0，即-+==0，解得x=2.当0<x<2时，f'(x)<0，f(x)单调递减；当x>2时，f'(x)>0，f(x)单调递增.∴2为f(x)的极小值点，无极大值点. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.已知a是函数f(x)=x3-12x的极小值点，则a等于 A.-4 B.-2 C.4 D.2 ∵f(x)=x3-12x， ∴f'(x)=3x2-12， 令f'(x)=0，解得x1=-2，x2=2. 当x∈(-∞，-2)∪(2，+∞)时，f'(x)>0，f(x)单调递增； 当x∈(-2，2)时，f'(x)<0，f(x)单调递减， ∴f(x)的极小值点为x=2，即a=2. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.若函数f(x)=ex+e-x-ax有大于零的极值点，则a的取值范围为 A.(0，+∞) B.(-∞，0) C.(e，+∞) D.(-∞，e) √ 原命题等价于f'(x)=ex-e-x-a有大于零的零点， 显然f'(x)在(0，+∞)上单调递增， 又因为x→+∞时，f'(x)→+∞， 所以f'(0)=-a<0，所以a>0， 所以a的取值范围为(0，+∞). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.(多选)已知函数f(x)=x3+ax2+(a+6)x+1有极大值和极小值，则实数a的值可以是 A.-4 B.-3 C.6 D.8 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 由题意知f'(x)=3x2+2ax+(a+6)=0有两个不相等的根， 所以Δ=4a2-12(a+6)>0， 解得a>6或a<-3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.函数f(x)=的极小值为　　.  - 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 f'(x)= =. 令f'(x)<0，得x<-2或x>1； 令f'(x)>0，得-2<x<1. 所以f(x)在(-∞，-2)，(1，+∞)上单调递减， 在(-2，1)上单调递增， 所以f(x)的极小值为f(-2)=-. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.函数f(x)=ax3+bx在x=1处有极值-2，则a=　　，b=　　　.  1 ∵f'(x)=3ax2+b， ∴f'(1)=3a+b=0. ① 又当x=1时，函数f(x)有极值-2， ∴a+b=-2. ② 联立①②解得经检验知符合题意，故a，b的值分别为1，-3. -3 9.设函数f(x)=aln x++x+1，其中a∈R，曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于y轴. (1)求a的值； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 f'(x)=-+(x>0). 由题意知，曲线在x=1处的切线斜率为0， 即f'(1)=0， 从而a-+=0， 解得a=-1. (2)求函数f(x)的极值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由(1)知f(x)=-ln x++x+1(x>0)， f'(x)=--+ ==. 令f'(x)=0，解得x1=1，x2=-(舍去). 当x∈(0，1)时，f'(x)<0， 故f(x)在(0，1)上单调递减； 当x∈(1，+∞)时，f'(x)>0，故f(x)在(1，+∞)上单调递增. 故f(x)在x=1处取得极小值，极小值为f(1)=3，无极大值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.设a为实数，函数f(x)=x3-x2-x+a. (1)求f(x)的极值； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 f'(x)=3x2-2x-1. 令f'(x)=0，得x=-或x=1. 当x变化时，f'(x)，f(x)的变化情况如表： x - 1 (1，+∞) f'(x) + 0 - 0 + f(x) 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 ∴f(x)的极大值是f=+a，极小值是f(1)=a-1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)当a在什么范围内取值时，曲线y=f(x)与x轴仅有一个交点？ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 函数f(x)=x3-x2-x+a =(x-1)2(x+1)+a-1， 由此可知，x取足够大的正数时，有f(x)>0， x取足够小的负数时，有f(x)<0， ∴曲线y=f(x)与x轴至少有一个交点. 由(1)知f(x)的极大值为f=+a， f(x)的极小值为f(1)=a-1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵曲线y=f(x)与x轴仅有一个交点， ∴+a<0或a-1>0， ∴a<-或a>1， ∴当a∈∪(1，+∞)时，曲线y=f(x)与x轴仅有一个交点. 11.设函数f(x)在R上可导，其导函数为f'(x)，且函数f(x)在x=-2处取得极小值，则函数y=xf'(x)的图象可能是 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 综合运用 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为f(x)在x=-2处取得极小值， 所以当x<-2时， f(x)单调递减， 即f'(x)<0； 当x>-2时，f(x)单调递增，即f'(x)>0. 所以当x<-2时，y=xf'(x)>0； 当x=-2时，y=xf'(x)=0； 当-2<x<0时，y=xf'(x)<0； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 当x=0时，y=xf'(x)=0； 当x>0时，y=xf'(x)>0. 结合选项中的图象知选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12.若函数f(x)=ex-ax-b在R上有小于0的极值点，则实数a的取值范围是 A.(-1，0) B.(0，1) C.(-∞，-1) D.(1，+∞) 由题意知f'(x)=ex-a. 当a≤0时，f'(x)>0恒成立，则f(x)在R上单调递增，不符合题意； 当a>0时，令f'(x)=0，解得x=ln a， ∴当x∈(-∞，ln a)时，f'(x)<0；当x∈(ln a，+∞)时，f'(x)>0. 可知x=ln a为f(x)的极值点， ∴ln a<0，∴a∈(0，1). √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.若函数f=x3-x2+3a2x-3a2-在x=3处取得极大值，则常数a的值为 A.3 B.2 C.3或2 D.-3或-2 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵f=x3-x2+3a2x-3a2-， ∴f'=2x2-5ax+3a2， 由题意可得f'=2×9-15a+3a2=0，整理得a2-5a+6=0，解得a=2或a=3. 当a=2时，f'=2x2-10x+12 =2， 令f'>0，得x<2或x>3； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 令f'<0，得2<x<3， 此时，函数y=f在x=3处取得极小值，不符合题意； 当a=3时，f'=2x2-15x+27=. 令f'>0，得x>或x<3； 令f'<0，得3<x<. 此时，函数y=f在x=3处取得极大值，符合题意. 综上所述，a=3. 14.若函数f(x)=x3+x2-ax-4在区间(-1，1)上恰有一个极值点，则实数a的取值范围为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 [1，5) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵f'(x)=3x2+2x-a， 函数f(x)在区间(-1，1)上恰有一个极值点， 即f'(x)=0在(-1，1)内恰有一个根. 又函数f'(x)=3x2+2x-a的对称轴为x=-. ∴应满足 ∴1≤a<5. 15.已知函数f(x)=ax3+bx2+cx的图象如图所示，且f(x)在x=x0与x=2处取得极值，则f(1)+f(-1)的值一定 A.等于0 B.大于0 C.小于0 D.小于或等于0 拓广探究 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 f'(x)=3ax2+2bx+c. 令f'(x)=0，则x0和2是该方程的根. ∴x0+2=-<0，即>0. 由题图知，f'(x)<0的解集为(x0，2)， ∴3a>0，则b>0， ∵f(1)+f(-1)=2b， ∴f(1)+f(-1)>0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.(2024·新课标全国Ⅱ)已知函数f(x)=ex-ax-a3. (1)当a=1时，求曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线方程； 当a=1时，则f(x)=ex-x-1，f'(x)=ex-1， 可得f(1)=e-2，f'(1)=e-1， 即切点坐标为(1，e-2)，切线斜率k=e-1， 所以切线方程为y-(e-2)=(e-1)(x-1)， 即(e-1)x-y-1=0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)若f(x)有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 方法一　因为f(x)的定义域为R， 且f'(x)=ex-a， 若a≤0，则f'(x)>0对任意x∈R恒成立， 可知f(x)在R上单调递增， 无极值，不符合题意； 若a>0，令f'(x)>0，解得x>ln a， 令f'(x)<0，解得x<ln a， 可知f(x)在(-∞，ln a)上单调递减， 在(ln a，+∞)上单调递增， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 则f(x)有极小值f(ln a)=a-aln a-a3，无极大值， 由题意可得，f(ln a)=a-aln a-a3<0， 即a2+ln a-1>0，令g(a)=a2+ln a-1，a>0， 则g'(a)=2a+>0， 可知g(a)在(0，+∞)上单调递增，且g(1)=0， 不等式a2+ln a-1>0等价于g(a)>g(1)， 解得a>1，所以a的取值范围为(1，+∞). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 方法二　因为f(x)的定义域为R，且f'(x)=ex-a， 若f(x)有极小值，则f'(x)=ex-a有零点， 令f'(x)=ex-a=0，可得ex=a， 可知y=ex与y=a有交点，则a>0， 令f'(x)>0，解得x>ln a； 令f'(x)<0，解得x<ln a， 可知f(x)在(-∞，ln a)上单调递减， 在(ln a，+∞)上单调递增， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 则f(x)有极小值f(ln a)=a-aln a-a3， 无极大值，符合题意， 由题意可得，f(ln a)=a-aln a-a3<0， 即a2+ln a-1>0，令g(a)=a2+ln a-1，a>0， 因为y=a2，y=ln a-1在(0，+∞)上均单调递增， 所以g(a)在(0，+∞)上单调递增，且g(1)=0， 不等式a2+ln a-1>0等价于g(a)>g(1)， 解得a>1，所以a的取值范围为(1，+∞). <<< 第五章 $$