第5章 5.1.1 变化率问题-（课件PPT+Word教案）【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第二册教师用书（人教A版2019）

5.1.1 第五章 <<< 变化率问题 1.通过实例分析，经历由平均速度过渡到瞬时速度的过程，理解瞬时速度引入的必要性. 2.理解割线的斜率与切线的斜率之间的关系. 3.体会极限思想. 学习目标 同学们，大家知道，在高速路上经常看到“区间测速”这样的提醒，这其实是在提醒司机安全驾驶，其实它测速的方式是在固定的路程上，看你用了多少时间，从而达到测速的目的；大家也经常能听到家长们讨论车辆油耗的问题，你的车几个油？这里所说的几个油实际上是汽车百公里的油耗，不过有些车上可以查看汽车的瞬时油耗，今天我们就来研究生活中的变化率问题. 导 语 一、平均速度 二、瞬时速度 课时对点练 三、抛物线的切线的斜率 随堂演练 内容索引 一 平均速度 在一次跳水运动中，某运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t(单位：s)存在函数关系h(t)=-4.9t2+2.8t+11，根据上述探究，你能求该运动员在0≤t≤ 0.2，1≤t≤1.5，0≤t≤内的平均速度吗？ 问题1 提示　当0≤t≤0.2时， =1.82(m/s)； 当1≤t≤1.5时，=-9.45(m/s)； 当0≤t≤=0(m/s)， 虽然运动员在0≤t≤这段时间里的平均速度是0 m/s，但实际情况是，该运动员仍在运动，可以说明平均速度不能准确反映运动员在这一时间段里的运动状态. 某物体运动的位移s与时间t之间的函数关系式为s(t)=sin t，t∈ . (1)分别求s(t)在区间上的平均速度； 例 1 物体在区间上的平均速度为 . 物体在区间上的平均速度为 . 8 (2)比较(1)中两个平均速度的大小，说明其几何意义. 由(1)可知>0，所以.作出函数s(t)=sin t在上的图象，如图所示，可以发现，s(t)=sin t在上随着t的增大，函数值s(t)变化得越来越慢. 9 反 思 感 悟 求物体运动的平均速度的主要步骤 (1)计算位移的改变量s(t2)-s(t1). (2)计算时间的改变量t2-t1. (3)得平均速度. 一质点按运动方程s(t)=作直线运动，则其从t1=1到t2=2的平均速度为 A.-1 B.- C.-2 D.2 跟踪训练 1 √ . 11 二 瞬时速度 我们也发现了高速路上区间测速的弊端，因为如果某人发现超速了，他只需踩下刹车，让车辆低速行驶一段时间即可，你认为，我们应该如何改进高速路上的区间测速问题？ 问题2 提示　由可知，我们可以减小路程区间的长度，在最小路程下，看所用的时间，或者在较少的相同时间内，看汽车所经过的路程，这样似乎都不可避免违法行为的发生，于是，我们有了一个大胆的想法，如果我们能测量汽车的瞬时速度就好了. 我们把函数值的增量f(t2)-f(t1)记为Δy，即Δy=f(t2)-f(t1)，自变量的增量t2-t1记为Δt，即Δt=t2-t1，这里的Δt可以看成是t1的一个增量，可用t1+Δt来表示t2，则平均速度可记为，我们发现如果时间的增量Δt无限小，此时在极短的时间内的平均速度就可近似等于在时间t=t1的瞬时速度，这就需要用到我们数学中的“极限”思想，意思就是让Δt无限趋近于0. 1.瞬时速度：物体在 的速度称为瞬时速度. 2.瞬时速度与平均速度的关系：从物理角度看，当时间间隔|Δt|无限趋近于0时，平均速度就无限趋近于t=t0时的瞬时速度. 3.瞬时速度的计算：设物体运动的时间与位移的函数关系式为y=h(t)，则物体在t0时刻的瞬时速度为 . 某一时刻 知识梳理 Δt可正，可负，但不能为0. 注 意 点 <<< 16 某物体的运动路程s(单位：m)与时间t(单位：s)的关系可用函数y=s(t)=t2+t+1表示，求物体在t=1 s时的瞬时速度. 例 2 ∵ ==3+Δt， ∴(3+Δt)=3. 即物体在t=1 s时的瞬时速度为3 m/s. 17 1.若本例中的条件不变，试求物体的初速度. 延伸探究 求物体的初速度，即求物体在t=0时的瞬时速度， ∵ = =1+Δt， ∴ (1+Δt)=1. 即物体的初速度为1 m/s. 18 2.若本例中的条件不变，试问物体在哪一时刻的瞬时速度为9 m/s. 设物体在t0时刻的瞬时速度为9 m/s. 又=(2t0+1)+Δt. (2t0+1+Δt)=2t0+1. 则2t0+1=9，∴t0=4. 则物体在4 s时的瞬时速度为9 m/s. 19 反 思 感 悟 求运动物体瞬时速度的三个步骤 (1)求位移改变量Δy=s(t0+Δt)-s(t0). (2)求平均速度. (3)求瞬时速度，当Δt无限趋近于0时，无限趋近于的常数v即为瞬时速度，即v=. 一质点M按运动方程y=s(t)=at2+1做直线运动(位移单位：m，时间单位：s)，若质点M在t=2时的瞬时速度为8 m/s，求常数a的值. 跟踪训练 2 ∵质点M在t=2附近的平均变化率为 =4a+aΔt， 又质点M在t=2时的瞬时速度为8 m/s， ∴=4a=8， 即a=2. 21 三 抛物线的切线的斜率 在点P0(1，1)的附近任取一点P(x，x2)，考察抛物线f(x)=x2的割线P0P有什么变化趋势？ 问题3 提示　当点P无限趋近于点P0时，割线P0P无限趋近于一个确定的位置. 1.抛物线的切线：设P0是抛物线上一定点，P是抛物线上的动点，当点P无限趋近于点P0时，割线P0P无限趋近于一个确定的位置，这个确定位置的直线P0T称为抛物线在点P0处的切线. 2.切线的斜率与割线的斜率的关系：从几何图形上看，当横坐标间隔|Δx|无限变小时，点P无限趋近于点P0，于是割线P0P无限趋近于点P0处的切线P0T，这时，割线P0P的斜率k无限趋近于点P0处的切线P0T的斜率k0. 知识梳理 极限的几何意义：曲线y=f(x)在x=x0处的切线斜率. 注 意 点 <<< 25 求抛物线f(x)=x2-2x+3在点(1，2)处的切线方程. 例 3 由 ==Δx， 可得切线的斜率为k=Δx=0. 所以切线的方程为y-2=0×(x-1)，即y=2. 本例函数不变，求与2x-y+4=0平行的该曲线的切线方程. 延伸探究 设切点坐标为(x0，-2x0+3)， 故==2x0-2+Δx， 所以切线的斜率k=(2x0-2+Δx)=2x0-2， 故有2x0-2=2，解得x0=2，所以切点坐标为(2，3)，所求切线方程为2x-y-1=0. 27 反 思 感 悟 求抛物线在某点处的切线方程的步骤 求抛物线f(x)=x2-x在点(2，2)处的切线方程. 跟踪训练 3 f(2+Δx)-f(2)=(2+Δx)2-(2+Δx)-2=3Δx+(Δx)2， 所以切线的斜率k= = (3+Δx)=3. 则切线方程为y-2=3(x-2)，即3x-y-4=0. 1.知识清单： (1)平均速度. (2)瞬时速度. (3)曲线在某点处的切线方程. 2.方法归纳：无限逼近思想、定义法. 3.常见误区：对割线的斜率与切线的斜率之间的关系理解不到位. 课堂小结 随堂演练 四 1 2 3 4 1.某质点的运动方程为s(t)=1-t2，则该物体在[1，2]内的平均速度为 A.2 B.3 C.-2 D.-3 √ =-3. 2.一个物体做直线运动，位移s与时间t之间的函数关系式为s(t)=t2+2t+3，则该物体在t=2时的瞬时速度为 A.4 B.5 C.6 D.7 1 2 3 4 √ (Δt+6)=6. 3.物体自由落体的运动方程为s(t)=gt2，g=9.8 m/s2.若v== 9.8 m/s，那么下列说法中正确的是 A.9.8 m/s是物体从0 s到1 s这段时间内的速度 B.9.8 m/s是物体从1 s到(1+Δt)s这段时间内的速度 C.9.8 m/s是物体在t=1 s这一时刻的瞬时速度 D.9.8 m/s是物体从1 s到(1+Δt)s这段时间内的平均速度 1 2 3 4 √ 当Δt趋近于0时，平均速度趋于该时刻的瞬时速度. 4.抛物线y=x2+4在点(1，5)处的切线的斜率为　　.  1 2 3 4 2 k=(Δx+2)=2. 课时对点练 五 基础巩固 1.已知抛物线y=，Q是曲线上点P附近的一点，则点Q的坐标为 A. B. C. D. √ 抛物线y=x2上在点P附近的点Q的横坐标为1+Δx，纵坐标为(1+Δx)2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.已知某质点运动的方程是s=2+，当t由1变到2时，其路程的增量Δs等于 A. B.- C.1 D.-1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ Δs=-(2+1)=-. 3.已知抛物线y=3x-x2在x0=2处的增量为Δx=0.1，则的值为 A.-0.11 B.-1.1 C.3.89 D.0.29 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 令y=f(x)=3x-x2. ∵Δy=f(2+0.1)-f(2)=(3×2.1-2.12)-(3×2-22)=-0.11， ∴=-1.1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.一个物体做直线运动，位移s(单位：m)与时间t(单位：s)之间的函数关系为s(t)=5t2+mt，且这一物体在2≤t≤3这段时间内的平均速度为26 m/s，则实数m的值为 A.2 B.1 C.-1 D.6 √ 由已知，得=26，即(5×32+3m)-(5×22+2m)=26，解得m=1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.物体甲、乙在时间0到t1范围内的路程的变化情况如图所示，下列说法正确的是 A.在0到t0范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度 B.在0到t0范围内，甲的平均速度小于乙的平均速度 C.在t0到t1范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度 D.在t0到t1范围内，甲的平均速度小于乙的平均速度 √ 在0到t0范围内，甲、乙的平均速度都为，故A，B错误； 在t0到t1范围内，甲的平均速度为 ， 因为s2-s0>s1-s0，t1-t0>0，所以， 则在t0到t1范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度，故C正确，D错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.(多选)已知某物体做直线运动，位移s(单位：m)与时间t(单位：s)之间的函数关系为s(t)=7t2+8(0≤t≤5)，则 A.该物体在1≤t≤3这段时间内的平均速度是28 m/s B.该物体在t=4 s时的瞬时速度是56 m/s C.该物体位移的最大值为43 m D.该物体在t=5 s时的瞬时速度是70 m/s √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ 该物体在1≤t≤3这段时间内的平均速度是 =28(m/s)，A正确； 物体在t=4 s时的瞬时速度是 =(56+7Δt)=56(m/s)，故B正确； 物体的最大位移是7×52+8=183(m)，C错误； 物体在t=5时的瞬时速度是 = (70+7Δt)=70(m/s)，故D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.若抛物线f(x)=4x2在点(x0，f(x0))处切线的斜率为8，则x0=　　　.  k==(4Δx+8x0)=8x0=8， 解得x0=1. 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.某汽车启动阶段的位移函数为s(t)=2t3-5t2，其中位移s的单位为m，时间t的单位为s，则当t=2 s时，汽车的瞬时速度是　　　　.  4 m/s v= = [4+7Δt+2(Δt)2]=4(m/s). 9.某物体按照y=s(t)=3t2+2t+4(s的单位：m)的规律做直线运动，求自运动开始到4 s时物体运动的平均速度和4 s时的瞬时速度. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 =14(m/s). 由于Δy=3(4+Δt)2+2(4+Δt)+4-(3×42+2×4+4)=26Δt+3(Δt)2. =26+3Δt， =26， 所以4 s时物体的瞬时速度为26 m/s. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.曲线f(x)=x2上哪一点处的切线满足下列条件？ (1)平行于直线y=4x-5； 设P(x0，y0)是满足条件的点，曲线f(x)=x2在点P(x0，y0)处切线的斜率为 k==(2x0+Δx)=2x0. ∵切线与直线y=4x-5平行， ∴2x0=4，x0=2， y0=4，即P(2，4)是满足条件的点. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)垂直于直线2x-6y+5=0； ∵切线与直线2x-6y+5=0垂直， ∴2x0×=-1， 得x0=-，y0=， 即P是满足条件的点. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (3)倾斜角为135°. 因为切线的倾斜角为135°，所以其斜率为-1，即2x0=-1，得x0=-，y0=，即P是满足条件的点. 11.汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图象如图所示，在时间段[t0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]上的平均速度分别为，则三者的大小关系为 A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 综合运用 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设直线O'A，AB，BC的斜率分别为kO'A，kAB，kBC，则=kO'A，=kAB，=kBC，由题中图象知kBC>kAB>kO'A，即. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12.某物体做直线运动，其运动规律是s=t2+(t的单位是s，s的单位是m)，则它在4 s时的瞬时速度为 A. m/s B. m/s C.8 m/s D. m/s √ ∵=Δt+8-， ∴. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.已知抛物线y=2x2-1的图象上一点(1，1)及其邻近一点(1+Δx，1+Δy)，则这两点所在割线的斜率为 A.2+Δx B.2-2Δx C.4+2Δx D.4 √ 这两点所在割线的斜率为k==4+2Δx. 14.一条水管中流出的水量y(单位：m3)关于时间t(单位：s)的函数为y=t2+7t+15(0≤t≤8)，则其在t=　　　 s时的水流瞬时速度为11 m3/s.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 设在t=t0时的水流瞬时速度为11 m3/s， =2t0+Δt+7， 当(2t0+Δt+7)=11时，解得t0=2. 15.一质点沿直线运动，位移s与时间t之间的关系为s(t)=t2，质点在t0到t0+Δt之间的平均速度为的大小关系是 A. B. C. D.无法确定 拓广探究 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题可知，=2t0+Δt，=2t0-Δt，而Δt可正可负，故的大小关系不确定. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.若一物体运动方程如下：(位移单位：m，时间单位：s) s=f(t)= 求：(1)物体在t∈[3，5]内的平均速度； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵物体在t∈[3，5]上的时间变化量为Δt=5-3=2， 物体在t∈[3，5]上的位移变化量为 Δs=3×52+2-(3×32+2)=3×(52-32)=48， ∴物体在t∈[3，5]上的平均速度为=24， ∴物体在t∈[3，5]上的平均速度为24 m/s. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)物体的初速度v0； 求物体的初速度v0，即求物体在t=0时的瞬时速度. ∵= =3Δt-18， ∴物体的初速度v0= = (3Δt-18)=-18(m/s). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (3)物体在t=1时的瞬时速度. ∵ = =3Δt-12， ∴物体在t=1时的瞬时速度为(3Δt-12)=-12(m/s). <<< 第五章 $$ 5.1.1　变化率问题 ［学习目标］　1.通过实例分析，经历由平均速度过渡到瞬时速度的过程，理解瞬时速度引入的必要性.2.理解割线的斜率与切线的斜率之间的关系.3.体会极限思想. 导语 同学们，大家知道，在高速路上经常看到“区间测速”这样的提醒，这其实是在提醒司机安全驾驶，其实它测速的方式是在固定的路程上，看你用了多少时间，从而达到测速的目的；大家也经常能听到家长们讨论车辆油耗的问题，你的车几个油？这里所说的几个油实际上是汽车百公里的油耗，不过有些车上可以查看汽车的瞬时油耗，今天我们就来研究生活中的变化率问题. 一、平均速度 问题1　在一次跳水运动中，某运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度h（单位：m）与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系h（t）=-4.9t2+2.8t+11，根据上述探究，你能求该运动员在0≤t≤0.2，1≤t≤1.5，0≤t≤内的平均速度吗？ 提示　当0≤t≤0.2时， ==1.82（m/s）； 当1≤t≤1.5时，==-9.45（m/s）； 当0≤t≤时，==0（m/s）， 虽然运动员在0≤t≤这段时间里的平均速度是0 m/s，但实际情况是，该运动员仍在运动，可以说明平均速度不能准确反映运动员在这一时间段里的运动状态. 例1　某物体运动的位移s与时间t之间的函数关系式为s（t）=sin t，t∈. （1）分别求s（t）在区间和上的平均速度； （2）比较（1）中两个平均速度的大小，说明其几何意义. 解　（1）物体在区间上的平均速度为 ===. 物体在区间上的平均速度为 ===. （2）由（1）可知-=>0，所以<.作出函数s（t）=sin t在上的图象，如图所示，可以发现，s（t）=sin t在上随着t的增大，函数值s（t）变化得越来越慢. 反思感悟　求物体运动的平均速度的主要步骤 （1）计算位移的改变量s（t2）-s（t1）. （2）计算时间的改变量t2-t1. （3）得平均速度=. 跟踪训练1　一质点按运动方程s（t）=作直线运动，则其从t1=1到t2=2的平均速度为（　　） A.-1 B.- C.-2 D.2 答案　B 解析　==-1=-. 二、瞬时速度 问题2　我们也发现了高速路上区间测速的弊端，因为如果某人发现超速了，他只需踩下刹车，让车辆低速行驶一段时间即可，你认为，我们应该如何改进高速路上的区间测速问题？ 提示　由=可知，我们可以减小路程区间的长度，在最小路程下，看所用的时间，或者在较少的相同时间内，看汽车所经过的路程，这样似乎都不可避免违法行为的发生，于是，我们有了一个大胆的想法，如果我们能测量汽车的瞬时速度就好了.我们把函数值的增量f（t2）-f（t1）记为Δy，即Δy=f（t2）-f（t1），自变量的增量t2-t1记为Δt，即Δt=t2-t1，这里的Δt可以看成是t1的一个增量，可用t1+Δt来表示t2，则平均速度可记为==，我们发现如果时间的增量Δt无限小，此时在极短的时间内的平均速度就可近似等于在时间t=t1的瞬时速度，这就需要用到我们数学中的“极限”思想，意思就是让Δt无限趋近于0. 知识梳理 1.瞬时速度：物体在某一时刻的速度称为瞬时速度. 2.瞬时速度与平均速度的关系：从物理角度看，当时间间隔|Δt|无限趋近于0时，平均速度就无限趋近于t=t0时的瞬时速度. 3.瞬时速度的计算：设物体运动的时间与位移的函数关系式为y=h（t），则物体在t0时刻的瞬时速度为. 注意点：Δt可正，可负，但不能为0. 例2　某物体的运动路程s（单位：m）与时间t（单位：s）的关系可用函数y=s（t）=t2+t+1表示，求物体在t=1 s时的瞬时速度. 解　∵= ==3+Δt， ∴=（3+Δt）=3. 即物体在t=1 s时的瞬时速度为3 m/s. 延伸探究　 1.若本例中的条件不变，试求物体的初速度. 解　求物体的初速度，即求物体在t=0时的瞬时速度， ∵= = =1+Δt， ∴ （1+Δt）=1. 即物体的初速度为1 m/s. 2.若本例中的条件不变，试问物体在哪一时刻的瞬时速度为9 m/s. 解　设物体在t0时刻的瞬时速度为9 m/s. 又==（2t0+1）+Δt. =（2t0+1+Δt）=2t0+1. 则2t0+1=9，∴t0=4. 则物体在4 s时的瞬时速度为9 m/s. 反思感悟　求运动物体瞬时速度的三个步骤 （1）求位移改变量Δy=s（t0+Δt）-s（t0）. （2）求平均速度=. （3）求瞬时速度，当Δt无限趋近于0时，无限趋近于的常数v即为瞬时速度，即v=. 跟踪训练2　一质点M按运动方程y=s（t）=at2+1做直线运动（位移单位：m，时间单位：s），若质点M在t=2时的瞬时速度为8 m/s，求常数a的值. 解　∵质点M在t=2附近的平均变化率为 ===4a+aΔt， 又质点M在t=2时的瞬时速度为8 m/s， ∴ =4a=8， 即a=2. 三、抛物线的切线的斜率 问题3　在点P0（1，1）的附近任取一点P（x，x2），考察抛物线f（x）=x2的割线P0P有什么变化趋势？ 提示　当点P无限趋近于点P0时，割线P0P无限趋近于一个确定的位置. 知识梳理 1.抛物线的切线：设P0是抛物线上一定点，P是抛物线上的动点，当点P无限趋近于点P0时，割线P0P无限趋近于一个确定的位置，这个确定位置的直线P0T称为抛物线在点P0处的切线. 2.切线的斜率与割线的斜率的关系：从几何图形上看，当横坐标间隔|Δx|无限变小时，点P无限趋近于点P0，于是割线P0P无限趋近于点P0处的切线P0T，这时，割线P0P的斜率k无限趋近于点P0处的切线P0T的斜率k0. 注意点：极限的几何意义：曲线y=f（x）在x=x0处的切线斜率. 例3　求抛物线f（x）=x2-2x+3在点（1，2）处的切线方程. 解　由 ==Δx， 可得切线的斜率为k=Δx=0. 所以切线的方程为y-2=0×（x-1），即y=2. 延伸探究　本例函数不变，求与2x-y+4=0平行的该曲线的切线方程. 解　设切点坐标为（x0，-2x0+3）， 故 = =2x0-2+Δx， 所以切线的斜率k=（2x0-2+Δx）=2x0-2， 故有2x0-2=2，解得x0=2，所以切点坐标为（2，3），所求切线方程为2x-y-1=0. 反思感悟　求抛物线在某点处的切线方程的步骤 跟踪训练3　求抛物线f（x）=x2-x在点（2，2）处的切线方程. 解　f（2+Δx）-f（2）=（2+Δx）2-（2+Δx）-2 =3Δx+（Δx）2， 所以切线的斜率k= == （3+Δx）=3. 则切线方程为y-2=3（x-2），即3x-y-4=0. 1.知识清单： （1）平均速度. （2）瞬时速度. （3）曲线在某点处的切线方程. 2.方法归纳：无限逼近思想、定义法. 3.常见误区：对割线的斜率与切线的斜率之间的关系理解不到位. 1.某质点的运动方程为s（t）=1-t2，则该物体在［1，2］内的平均速度为（　　） A.2 B.3 C.-2 D.-3 答案　D 解析　==-3. 2.一个物体做直线运动，位移s与时间t之间的函数关系式为s（t）=t2+2t+3，则该物体在t=2时的瞬时速度为（　　） A.4 B.5 C.6 D.7 答案　C 解析　=（Δt+6）=6. 3.物体自由落体的运动方程为s（t）=gt2，g=9.8 m/s2.若v==9.8 m/s，那么下列说法中正确的是（　　） A.9.8 m/s是物体从0 s到1 s这段时间内的速度 B.9.8 m/s是物体从1 s到（1+Δt）s这段时间内的速度 C.9.8 m/s是物体在t=1 s这一时刻的瞬时速度 D.9.8 m/s是物体从1 s到（1+Δt）s这段时间内的平均速度 答案　C 解析　当Δt趋近于0时，平均速度趋于该时刻的瞬时速度. 4.抛物线y=x2+4在点（1，5）处的切线的斜率为　　　　.  答案　2 解析　k==（Δx+2）=2. 课时对点练　［分值：100分］ 单选题每小题5分，共45分；多选题每小题6分，共6分 1.已知抛物线y=x2和这条曲线上的一点P，Q是曲线上点P附近的一点，则点Q的坐标为（　　） A. B. C. D. 答案　C 解析　抛物线y=x2上在点P附近的点Q的横坐标为1+Δx，纵坐标为（1+Δx）2. 2.已知某质点运动的方程是s=2+，当t由1变到2时，其路程的增量Δs等于（　　） A. B.- C.1 D.-1 答案　B 解析　Δs=-（2+1）=-. 3.已知抛物线y=3x-x2在x0=2处的增量为Δx=0.1，则的值为（　　） A.-0.11 B.-1.1 C.3.89 D.0.29 答案　B 解析　令y=f（x）=3x-x2. ∵Δy=f（2+0.1）-f（2）=（3×2.1-2.12）-（3×2-22）=-0.11， ∴==-1.1. 4.一个物体做直线运动，位移s（单位：m）与时间t（单位：s）之间的函数关系为s（t）=5t2+mt，且这一物体在2≤t≤3这段时间内的平均速度为26 m/s，则实数m的值为（　　） A.2 B.1 C.-1 D.6 答案　B 解析　由已知，得=26，即（5×32+3m）-（5×22+2m）=26，解得m=1. 5.物体甲、乙在时间0到t1范围内的路程的变化情况如图所示，下列说法正确的是（　　） A.在0到t0范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度 B.在0到t0范围内，甲的平均速度小于乙的平均速度 C.在t0到t1范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度 D.在t0到t1范围内，甲的平均速度小于乙的平均速度 答案　C 解析　在0到t0范围内，甲、乙的平均速度都为，故A，B错误； 在t0到t1范围内，甲的平均速度为，乙的平均速度为， 因为s2-s0>s1-s0，t1-t0>0，所以>， 则在t0到t1范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度，故C正确，D错误. 6.（多选）已知某物体做直线运动，位移s（单位：m）与时间t（单位：s）之间的函数关系为s（t）=7t2+8（0≤t≤5），则（　　） A.该物体在1≤t≤3这段时间内的平均速度是28 m/s B.该物体在t=4 s时的瞬时速度是56 m/s C.该物体位移的最大值为43 m D.该物体在t=5 s时的瞬时速度是70 m/s 答案　ABD 解析　该物体在1≤t≤3这段时间内的平均速度是 ==28（m/s），A正确； 物体在t=4 s时的瞬时速度是 =（56+7Δt）=56（m/s），故B正确； 物体的最大位移是7×52+8=183（m），C错误； 物体在t=5时的瞬时速度是 = （70+7Δt）=70（m/s），故D正确. 7.（5分）若抛物线f（x）=4x2在点（x0，f（x0））处切线的斜率为8，则x0=　　　　.  答案　1 解析　k= =（4Δx+8x0）=8x0=8， 解得x0=1. 8.（5分）某汽车启动阶段的位移函数为s（t）=2t3-5t2，其中位移s的单位为m，时间t的单位为s，则当t=2 s时，汽车的瞬时速度是　　　　　　.  答案　4 m/s 解析　v= = ［4+7Δt+2（Δt）2］=4（m/s）. 9.（10分）某物体按照y=s（t）=3t2+2t+4（s的单位：m）的规律做直线运动，求自运动开始到4 s时物体运动的平均速度和4 s时的瞬时速度. 解　==14（m/s）. 由于Δy=3（4+Δt）2+2（4+Δt）+4-（3×42+2×4+4） =26Δt+3（Δt）2. =26+3Δt， =26， 所以4 s时物体的瞬时速度为26 m/s. 10.（12分）曲线f（x）=x2上哪一点处的切线满足下列条件？ （1）平行于直线y=4x-5；（4分） （2）垂直于直线2x-6y+5=0；（4分） （3）倾斜角为135°.（4分） 解　设P（x0，y0）是满足条件的点，曲线f（x）=x2在点P（x0，y0）处切线的斜率为 k= =（2x0+Δx）=2x0. （1）∵切线与直线y=4x-5平行， ∴2x0=4，x0=2， y0=4，即P（2，4）是满足条件的点. （2）∵切线与直线2x-6y+5=0垂直， ∴2x0×=-1， 得x0=-，y0=， 即P是满足条件的点. （3）因为切线的倾斜角为135°，所以其斜率为-1，即2x0=-1，得x0=-，y0=，即P是满足条件的点. 11.汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图象如图所示，在时间段［t0，t1］，［t1，t2］，［t2，t3］上的平均速度分别为，，，则三者的大小关系为（　　） A.>> B.>> C.>> D.>> 答案　B 解析　设直线O'A，AB，BC的斜率分别为kO'A，kAB，kBC，则==kO'A，==kAB，==kBC，由题中图象知kBC>kAB>kO'A，即>>. 12.某物体做直线运动，其运动规律是s=t2+（t的单位是s，s的单位是m），则它在4 s时的瞬时速度为（　　） A. m/s B. m/s C.8 m/s D. m/s 答案　B 解析　∵= =Δt+8-， ∴=8-=. 13.已知抛物线y=2x2-1的图象上一点（1，1）及其邻近一点（1+Δx，1+Δy），则这两点所在割线的斜率为（　　） A.2+Δx B.2-2Δx C.4+2Δx D.4 答案　C 解析　这两点所在割线的斜率为k==4+2Δx. 14.（5分）一条水管中流出的水量y（单位：m3）关于时间t（单位：s）的函数为y=t2+7t+15（0≤t≤8），则其在t=　　　　 s时的水流瞬时速度为11 m3/s.  答案　2 解析　设在t=t0时的水流瞬时速度为11 m3/s，= =2t0+Δt+7， 当（2t0+Δt+7）=11时，解得t0=2. 15.一质点沿直线运动，位移s与时间t之间的关系为s（t）=t2，质点在t0到t0+Δt之间的平均速度为，在t0-Δt到t0之间的平均速度为，则，的大小关系是（　　） A.< B.> C.= D.无法确定 答案　D 解析　由题可知，==2t0+Δt，==2t0-Δt，而Δt可正可负，故，的大小关系不确定. 16.（12分）若一物体运动方程如下：（位移单位：m，时间单位：s） s=f（t）= 求：（1）物体在t∈［3，5］内的平均速度；（4分） （2）物体的初速度v0；（4分） （3）物体在t=1时的瞬时速度.（4分） 解　（1）∵物体在t∈［3，5］上的时间变化量为Δt=5-3=2， 物体在t∈［3，5］上的位移变化量为 Δs=3×52+2-（3×32+2）=3×（52-32）=48， ∴物体在t∈［3，5］上的平均速度为==24， ∴物体在t∈［3，5］上的平均速度为24 m/s. （2）求物体的初速度v0，即求物体在t=0时的瞬时速度. ∵= = =3Δt-18， ∴物体的初速度v0= = （3Δt-18）=-18（m/s）. （3）∵ = =3Δt-12， ∴物体在t=1时的瞬时速度为（3Δt-12）=-12（m/s）. 学科网（北京）股份有限公司 $$