第4章 4.3.2 第2课时 等比数列前n项和的性质及应用-（课件PPT+Word教案）【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第二册教师用书（人教A版2019）

第2课时 第四章 <<< 等比数列前n项和的性质及应用 1.熟练应用等比数列前n项和公式的性质解题. 2.能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应的问题. 学习目标 同学们，前面我们就用等差数列的性质，类比出了等比数列的性质，由此得出“类比能使人智慧”这一重要结论，今天我们再进一步增长同学们的智慧，继续通过类比，看我们能得出等比数列前n项和的哪些性质. 导 语 一、等比数列前n项和公式的性质 二、等比数列前n项和公式的实际应用 课时对点练 三、等比数列前n项和公式的综合应用 随堂演练 内容索引 一 等比数列前n项和公式的性质 类似于等差数列中的片段和的性质，在等比数列中，你能发现Sn，S2n-Sn，S3n-S2n，…(n为偶数且q=-1除外)的关系吗？ 问题1 提示　Sn，S2n-Sn，S3n-S2n，…仍成等比数列，证明如下： 思路一：当q=1时，结论显然成立； 当q≠1时，Sn=，S2n=， S3n=. S2n-Sn=-=， S3n-S2n=- =， 而=， Sn(S3n-S2n)=×， 故有=Sn(S3n-S2n)， 所以Sn，S2n-Sn，S3n-S2n成等比数列. 思路二：由性质Sm+n=Sm+qmSn可知S2n=Sn+qnSn，故有S2n-Sn=qnSn， S3n=S2n+q2nSn，故有S3n-S2n=q2nSn，故有=Sn(S3n-S2n)， 所以Sn，S2n-Sn，S3n-S2n成等比数列. 类比等差数列前n项和性质中的奇数项、偶数项的性质，等比数列是否也有相似的性质？ 问题2 提示　若等比数列{an}的项数有2n项， 其偶数项和为S偶=a2+a4+…+a2n， 其奇数项和为S奇=a1+a3+…+a2n-1，容易发现两列式子中对应项之间存在联系，即S偶=a1q+a3q+…+a2n-1q=qS奇，所以有=q. 若等比数列{an}的项数有2n+1项， 其偶数项和为S偶=a2+a4+…+a2n， 其奇数项和为S奇=a1+a3+…+a2n-1+a2n+1，从项数上来看，奇数项比偶数项多了一项，于是我们有S奇-a1=a3+…+a2n-1+a2n+1=a2q+a4q+…+a2nq=qS偶，即S奇=a1+qS偶. 你能否用等比数列{an}中的Sm，Sn来表示Sm+n？ 问题3 提示　思路一：Sm+n=a1+a2+…+am+am+1+am+2+…+am+n=Sm+a1qm+a2qm+…+ anqm=Sm+qmSn. 思路二：Sm+n=a1+a2+…+an+an+1+an+2+…+an+m=Sn+a1qn+a2qn+…+amqn =Sn+qnSm. 1.数列{an}为公比不为-1的等比数列(或公比为-1，且n不是偶数)，Sn为其前n项和，则Sn，S2n-Sn， 仍构成等比数列. 2.若{an}是公比为q的等比数列，S偶，S奇分别是数列的偶数项和与奇数项和，则： (1)在其前2n项中，=q. (2)在其前2n+1项中，S奇-S偶=a1-a2+a3-a4+…-a2n+a2n+1==(q≠-1)；S奇=a1+qS偶. 3.若{an}是公比为q的等比数列，则Sn+m=Sn+ (n，m∈N*). S3n-S2n qnSm 知识梳理 等比数列片段和性质的成立是有条件的，即Sn≠0. 注 意 点 <<< (1)已知等比数列{an}共有2n项，其和为-240，且(a1+a3+…+a2n-1)-(a2+a4+…+a2n)=80，则公比q=　　　.  例 1 2 由题意知S奇+S偶=-240，S奇-S偶=80， ∴S奇=-80，S偶=-160， ∴q==2. 14 (2)若等比数列{an}共有奇数项，其首项为1，其偶数项和为170，奇数项和为341，则这个数列的公比为　　　，项数为　　　.  2 由性质S奇=a1+qS偶可知341=1+170q，所以q=2， 设这个数列共有2n+1项，则S2n+1==341+170=511，解得n=4，即这个等比数列的项数为9. 9 15 (3)在等比数列{an}中，已知Sn=48，S2n=60，求S3n. 方法一　∵S2n≠2Sn，∴q≠1， 由已知得 ②÷①得1+qn=， 即qn=，　　　　　　　　　　　　　 ③ 将③代入①得=64， ∴S3n==64×=63. 17 方法二　∵{an}为等比数列，显然公比不等于-1， ∴Sn，S2n-Sn，S3n-S2n也成等比数列， ∴(S2n-Sn)2=Sn(S3n-S2n)， ∴S3n=+S2n=+60=63. 方法三　由性质Sm+n=Sm+qmSn可知S2n=Sn+qnSn， 即60=48+48qn，得qn=， ∴S3n=S2n+q2nSn=60+48×=63. 18 反 思 感 悟 处理等比数列前n项和有关问题的常用方法 (1)若等比数列{an}共有2n项，要抓住=q和S偶+S奇=S2n这一隐含特点；若等比数列{an}共有2n+1项，要抓住S奇=a1+qS偶和S偶+S奇=S2n+1这一隐含特点.要注意公比q=1和q≠1两种情形，在解有关的方程(组)时，通常用约分或两式相除的方法进行消元. (2)灵活运用等比数列前n项和的有关性质. (1)已知等比数列{an}的公比q=，且a1+a3+a5+…+a99=90，则a1+a2+a3+…+a100=　　　　.  跟踪训练 1 120 因为在等比数列中，若项数为2n，则=q， 所以a1+a2+a3+…+a100=(a1+a3+a5+…+a99)+(a2+a4+a6+…+a100) =(a1+a3+a5+…+a99)+(a1+a3+a5+…+a99) =90+×90=120. 20 (2)记等比数列{an}的前n项和为Sn，若S4=3，S8=9，则S12等于 A.12　　　B.18　　　C.21　　　D.27 √ 方法一　因为Sn为等比数列{an}的前n项和，且S4=3，S8=9，易知等比数列{an}的公比q≠-1，所以S4，S8-S4，S12-S8成等比数列，所以(S8-S4)2 =S4(S12-S8)，所以62=3(S12-9)，解得S12=21. 方法二　由方法一知，S4，S8-S4，S12-S8成等比数列，即3，6，12成等比数列，S12-S8=12，所以S12=S8+12=9+12=21. 21 二 等比数列前n项和公式的实际应用 《算法统宗》是中国古代数学名著，程大位著，共17卷，书中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”大致意思是：有一个人要到距离出发地378里的地方，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地.那么该人第一天所走路程里数为 A.96 B.126 C.192 D.252 例 2 √ 23 由题意得，该人每天走的路程形成以a1为首项，以为公比的等比数列， 因为该人6天后到达目的地，则有S6==378， 解得a1=192， 所以该人第一天所走路程里数为192. 24 反 思 感 悟 (1)解应用问题的核心是建立数学模型. (2)一般步骤：审题、抓住数量关系、建立数学模型. (3)注意问题是求什么(n，an，Sn). 中国三大名楼之一的黄鹤楼因其独特的建筑结构而闻名，其外观有五层而实际上内部有九层，隐喻“九五至尊”之意，现打算在黄鹤楼内部挂灯笼进行装饰，若在黄鹤楼内部九层塔楼共挂1 533盏灯笼，且相邻的两层中，下一层的灯笼数是上一层灯笼数的两倍，则内部塔楼的顶层应挂　　　盏灯笼.  跟踪训练 2 3 依题意，各层灯笼数从上到下排成一列构成等比数列{an}(n∈N*，n≤9)，公比q=2，前9项和为1 533，于是得S9==1 533，解得a1=3，所以内部塔楼的顶层应挂3盏灯笼. 26 三 等比数列前n项和公式的综合应用 在等腰直角三角形ABC中，B=，AB=a，以AB为斜边作等腰直角三角形AB1B，再以AB1为斜边作等腰直角三角形AB2B1，依此类推，记△ABC的面积为S1，依次所得三角形的面积分别为S2，S3，…，若S1+S2+…+S8=，则a等于 A.2 B.2 C.3 D.4 例 3 √ 由题知AB1=AB，AB2=AB1，…，ABn+1=ABn，S1=AB2=a2，Sn=A(n≥2)， ∴==(n≥2)， 又S2=a2=S1， ∴数列{Sn}是首项为a2，公比为的等比数列， ∴S1+S2+S3+…+S8==， ∴a=2(负值舍去). 反 思 感 悟 解决等比数列前n项和公式有关问题时应注意 (1)首先将题目问题转化为等比数列问题. (2)当题中有多个数列出现时，既要研究单一数列项与项之间的关系，又要关注各数列之间的相互联系. 如图，画一个边长为2的正方形，再将此正方形各边的中点相连得到第2个正方形，以此类推，记第n个正方形的面积为an，数列{an}的前n项和为Sn.求{an}的通项公式及S2 024. 跟踪训练 3 记第n个正方形的边长为bn， 由题意可知当n≥2时，=2×=， 则an=an-1， 所以数列{an}是以a1=4为首项，q=为公比的等比数列， 即an=4×=23-n. S2 024==8×=8-. 1.知识清单： (1)等比数列前n项和公式的性质. (2)等比数列前n项和公式的实际应用. (3)等比数列前n项和公式的综合应用. 2.方法归纳：公式法、分类讨论法、转化法. 3.常见误区：应用片段和性质时易忽略其成立的条件. 课堂小结 随堂演练 四 1 2 3 4 1.在等比数列{an}中，a1a2a3=1，a4=4，则a2+a4+a6+…+a2n等于 A.2n-1 B. C. D. √ 由a1a2a3=1得a2=1，又a4=4，故q2=4，a2+a4+a6+…+a2n==. 2.设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S10∶S5=1∶2，则S15∶S5等于 A.3∶4 B.2∶3 C.1∶2 D.1∶3 1 2 3 4 √ 在等比数列{an}中，S5，S10-S5，S15-S10成等比数列， 因为S10∶S5=1∶2， 所以S5=2S10，S15=S5，得S15∶S5=3∶4. 3.《庄子·天下》中提到：“一尺之棰，日取其半，万世不竭.”其含义是：一尺长的木棍，每天截去它的一半，永远也截不完.在这个问题中，记第n天后剩余木棍的长度为an，数列{an}的前n项和为Sn，则使得不等式Sn>成立的正整数n的最小值为 A.6 B.5 C.4 D.3 1 2 3 4 √ 数列{an}是以为公比的等比数列， ∴Sn==1-， 若Sn>，则1->， 即>，∴2n>， 又n∈N*，24=16<，25=32>， ∴使得不等式Sn>成立的正整数n的最小值为5. 1 2 3 4 4.一个项数为偶数的等比数列{an}，全部项之和为偶数项之和的4倍， 前3项之积为64，则数列的通项公式an=　　　　　　　　　　.  12×，n∈N* 1 2 3 4 设数列的首项为a1，公比为q，奇数项、偶数项之和分别记作S奇，S偶，由题意可知，S奇+S偶=4S偶，即S奇=3S偶， 因为数列{an}的项数为偶数，所以有q==. 又因为a1·a1q·a1q2=64，所以·q3=64，即a1=12， 故所求通项公式为an=12×，n∈N*. 1 2 3 4 课时对点练 五 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 1.已知一个等比数列的项数是偶数，其奇数项之和为1 011，偶数项之和为2 022，则这个数列的公比为 A.8 B.-2 C.4 D.2 √ 由=q，可知q=2. 2.设等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S3=8，S6=7，则a7+a8+a9等于 A. B.- C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 易知q≠-1， 因为a7+a8+a9=S9-S6， 且S3，S6-S3，S9-S6也成等比数列， 即8，-1，S9-S6成等比数列， 所以8(S9-S6)=1， 即S9-S6=， 所以a7+a8+a9=. 3.中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗.羊主曰：“我羊食半马.”马主曰：“我马食半牛.”今欲衰偿之，问各出几何？此问题的译文是：现有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗谷子.羊主人说：“我的羊所吃的禾苗只有马的一半.”马主人说：“我的马所吃的禾苗只有牛的一半.”打算按此比例偿还，他们各应偿还多少？此问题中1斗为10升，则牛主人应偿还多少升谷子？ A. 升　　　B. 升　　　C. 升　　　D. 升 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5斗=50升，设羊、马、牛的主人应偿还谷子的量分别为a1，a2，a3， 由题意可知a1，a2，a3构成公比为2的等比数列，且S3=50， 则=50， 解得a1=， 所以牛主人应偿还谷子的量为a3=22a1=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.设等比数列{an}的前n项和为10，前2n项和为60，则该数列的前4n项和为 A.360 B.720 C.1 560 D.1 800 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设等比数列{an}的前n项和为Sn，公比为q， 由题可知Sn，S2n-Sn，S3n-S2n，S4n-S3n成等比数列，公比为qn， 因为Sn=10，S2n=60， 所以S2n-Sn=50，所以qn=5， 所以S3n-S2n=50×5=250， 所以S4n-S3n=250×5=1 250， 所以S4n=10+50+250+1 250=1 560. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.已知等比数列{an}有2n+1项，a1=1，所有奇数项的和为85，所有偶数项的和为42，则n等于 A.2 B.3 C.4 D.5 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 方法一　因为等比数列{an}有2n+1项，则奇数项有n+1项，偶数项有n项，设公比为q， 则1+q2+q4+…+q2n=1+q(q+q3+q5+…+q2n-1)=85， q+q3+q5+…+q2n-1=42，整体代入得q=2， 所以前2n+1项和为=85+42=127，解得n=3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 方法二　因为等比数列{an}有2n+1项，则S奇=a1+qS偶， 即85=1+42q，解得q=2， 所以S2n+1==S奇+S偶=85+42=127， 解得n=3. 6.(多选)已知等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn，则下列命题中正确的是 A.Sn+1=Sn+anq B.Sn+1=S1+qSn C.S2，S4-S2，S6-S4成等比数列 D.“q=-”是“Sn，Sn+2，Sn+1成等差数列”的充要条件 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ Sn+1-Sn=an+1=anq，故A正确； Sn+1-S1=a2+a3+…+an+1=q(a1+a2+…+an)=qSn，故B正确； 当q=-1时，有S2=a1+a2=a1-a1=0，等比数列中的项不能为0，故C错误； 当q=-时，Sn+1+Sn=2Sn+2-2an+2-an+1=2Sn+2-(2q·an+1+an+1) =2Sn+2-(-an+1+an+1)=2Sn+2，故由“q=-”可得“Sn，Sn+2，Sn+1成等差数列”， 当Sn，Sn+2，Sn+1成等差数列时，可得Sn+Sn+1=2Sn+2， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 即Sn+Sn+1=2Sn+2=2Sn+1+2an+2=Sn+Sn+1+2an+2+an+1， 即2an+2+an+1=0，可得=-， 即由“Sn，Sn+2，Sn+1成等差数列”可得“q=-”， 故“q=-”是“Sn，Sn+2，Sn+1成等差数列”的充要条件，故D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，则需要的最少天数为　　　.  每天植树的棵数构成以2为首项，2为公比的等比数列， 其前n项和Sn===2n+1-2. 由2n+1-2≥100，得2n+1≥102. 由于26=64，27=128， 则n+1≥7，即n≥6，故需要的最少天数为6. 6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.设正项等比数列{an}的前n项和为Sn，且210S30-(210+1)S20+S10=0，则 公比q=　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由210S30-(210+1)S20+S10=0， 得210(S30-S20)=S20-S10. 易知q≠-1， ∴S10，S20-S10，S30-S20成等比数列， ∴=q10=. 又{an}为正项等比数列，∴q=. 9.已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且满足S3=7，S6=63. (1)求数列{an}的通项公式； 由题意知S6≠2S3，q≠1，且q≠-1， 由等比数列的前n项和的性质知， q3===8，故q=2， ∴S3==7，代入q可得a1=1， ∴an=2n-1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)若bn=an+log2an，求数列的前n项和Tn. 由(1)知bn=2n-1+n-1， ∴Tn=+[1+2+…+(n-1)] =2n+-1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.在一次招聘会上，两家公司开出的工资标准分别为：公司A：第一年月工资3 000元，以后每年的月工资比上一年的月工资增加300元；公司B：第一年月工资3 720元，以后每年的月工资在上一年的月工资基础上增加5%，设某人年初想从这两家公司中选择一家去工作. (1)若此人选择在其中一家公司连续工作n年，第n年的月工资分别为多少？ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 选择在公司A连续工作n年，第一年月工资3 000元，以后每年的月工资比上一年的月工资增加300元， 则他第n年的月工资是3 000+(n-1)×300=300n+2 700(元)(n∈N*)； 选择在公司B连续工作n年，第一年月工资3 720元，以后每年的月工资在上一年的月工资基础上增加5%. 则他第n年的月工资是3 720×(1+0.05)n-1(元)(n∈N*). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)若此人选择在其中一家公司连续工作10年，则从哪家公司得到的报酬较多？(参考数据：1.0510≈1.63) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 若此人选择在其中一家公司连续工作10年，则在公司A、公司B得到的报酬分别为 公司A：12×[3 000+(3 000+1×300)+…+(3 000+9×300)] =12×3 000×10+12×300×=522 000(元). 公司B：12×3 720×(1+1.051+1.052+…+1.059)=12×3 720×≈ 562 464(元)， 因为562 464>522 000，故从公司B得到的报酬较多. 11.已知Sn为等比数列{an}的前n项和，S4=10，S12=70，则S8等于 A.30 B.-20 C.-30 D.30或-20 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 综合运用 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由{an}是等比数列，且S4=10，S12=70，知{an}的公比q≠-1， 所以S4，S8-S4，S12-S8构成等比数列， 所以(S8-S4)2=S4(S12-S8)， 即(S8-10)2=10(70-S8)， 化简并整理得-10S8-600=0， 又S8=S4+q4S4>0， 解得S8=30或S8=-20(舍去). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12.(多选)设等比数列{an}的公比为q，其前n项和为Sn，前n项积为Tn，且满足条件a1>1，a2 024a2 025>1，(a2 024-1)(a2 025-1)<0，则下列选项正确的是 A.0<q<1 B.S2 024>S2 025-1 C.T2 025是数列{Tn}中的最大项 D.T4 045<1 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵(a2 024-1)(a2 025-1)<0， ∴a2 024-1>0，a2 025-1<0或a2 024-1<0， a2 025-1>0， ∵a1>1，a2 024a2 025>1， ∴a2 024，a2 025同号， 且a2 024>1，a2 025<1，即数列前2 024项大于1，从第2 025项开始小于1， q=<1，且易知q>0，故0<q<1，A正确； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 易知a2 025<1，故S2 025-S2 024<1，S2 024>S2 025-1，B正确； 由题意知{an}是递减数列，且a2 024>1，a2 025<1，故T2 024是数列{Tn}中的最大项，故C错误； T4 045=a1…a4 045=·q4 045×2 023=>1，故D错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.已知等比数列{an}的首项为2，项数为奇数，其奇数项之和为，偶数项之和为，这个等比数列前n项的积为Tn(n≥1)，则Tn的最大值为 A. B. C.1 D.2 √ 设数列{an}共有2m+1项，由题意得 S奇=a1+a3+…+a2m+1=， S偶=a2+a4+…+a2m=， 因为项数为奇数时，S奇=a1+qS偶， 即2+q=，所以q=. 所以Tn=a1·a2·…·an=q1+2+…+n-1==， 故当n=1或2时，Tn取最大值2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.已知Sn为正项等比数列{an}的前n项和，若S6-3S3=4，则S9-S6的最小值为　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 32 由q≠-1及等比数列的性质，知S3，S6-S3，S9-S6成等比数列. 又S6-3S3=4， ∴S9-S6===4S3++16≥2+16=32， 当且仅当S3=2时，等号成立， ∴S9-S6的最小值为32. 15.设f(x)是定义在R上的恒不为零的函数，且对任意的实数x，y，都有f(x)·f(y)=f(x+y).若a1=，an=f(n)(n∈N*)，则数列{an}的前n项和Sn=　　　.  拓广探究 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1- 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 令x=n，y=1，则f(n)·f(1)=f(n+1)， 又an=f(n)，∴==f(1)=a1=， ∴数列{an}是以为公比的等比数列， ∴Sn==1-. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=n-5an-85，n∈N*. (1)证明：{an-1}是等比数列； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 当n=1时，由Sn=n-5an-85可知，a1=-14； 当n≥2时，an=Sn-Sn-1=-5an+5an-1+1， 即6an=5an-1+1. 因此6an-6=5an-1+1-6=5(an-1-1)， 所以an-1=(an-1-1). 又a1-1=-15≠0， 所以数列{an-1}是等比数列. (2)求数列{Sn}的通项公式，并求出n为何值时，Sn取得最小值，并说明理由. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由(1)知，an-1=-15×，得an=1-15×， 从而Sn=75×+n-90，n∈N*. 解不等式Sn<Sn+1，得<，n>lo+1≈14.9， 当n≥15时，数列{Sn}单调递增； 同理可得，当n≤15时，数列{Sn}单调递减. 故当n=15时，Sn取得最小值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 第四章 <<< $$ 第2课时　等比数列前n项和的性质及应用 ［学习目标］　1.熟练应用等比数列前n项和公式的性质解题.2.能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应的问题. 导语 同学们，前面我们就用等差数列的性质，类比出了等比数列的性质，由此得出“类比能使人智慧”这一重要结论，今天我们再进一步增长同学们的智慧，继续通过类比，看我们能得出等比数列前n项和的哪些性质. 一、等比数列前n项和公式的性质 问题1　类似于等差数列中的片段和的性质，在等比数列中，你能发现Sn，S2n-Sn，S3n-S2n，…（n为偶数且q=-1除外）的关系吗？ 提示　Sn，S2n-Sn，S3n-S2n，…仍成等比数列，证明如下： 思路一：当q=1时，结论显然成立； 当q≠1时，Sn=，S2n=， S3n=. S2n-Sn=-=， S3n-S2n=- =， 而=， Sn（S3n-S2n）=×， 故有=Sn（S3n-S2n）， 所以Sn，S2n-Sn，S3n-S2n成等比数列. 思路二：由性质Sm+n=Sm+qmSn可知S2n=Sn+qnSn，故有S2n-Sn=qnSn， S3n=S2n+q2nSn，故有S3n-S2n=q2nSn，故有=Sn（S3n-S2n）， 所以Sn，S2n-Sn，S3n-S2n成等比数列. 问题2　类比等差数列前n项和性质中的奇数项、偶数项的性质，等比数列是否也有相似的性质？ 提示　若等比数列｛an｝的项数有2n项， 其偶数项和为S偶=a2+a4+…+a2n， 其奇数项和为S奇=a1+a3+…+a2n-1，容易发现两列式子中对应项之间存在联系，即S偶=a1q+a3q+…+a2n-1q=qS奇，所以有=q. 若等比数列｛an｝的项数有2n+1项， 其偶数项和为S偶=a2+a4+…+a2n， 其奇数项和为S奇=a1+a3+…+a2n-1+a2n+1，从项数上来看，奇数项比偶数项多了一项，于是我们有S奇-a1=a3+…+a2n-1+a2n+1=a2q+a4q+…+a2nq=qS偶，即S奇=a1+qS偶. 问题3　你能否用等比数列｛an｝中的Sm，Sn来表示Sm+n？ 提示　思路一：Sm+n=a1+a2+…+am+am+1+am+2+…+am+n=Sm+a1qm+a2qm+…+anqm=Sm+qmSn. 思路二：Sm+n=a1+a2+…+an+an+1+an+2+…+an+m=Sn+a1qn+a2qn+…+amqn =Sn+qnSm. 知识梳理 1.数列｛an｝为公比不为-1的等比数列（或公比为-1，且n不是偶数），Sn为其前n项和，则Sn，S2n-Sn，S3n-S2n仍构成等比数列. 2.若｛an｝是公比为q的等比数列，S偶，S奇分别是数列的偶数项和与奇数项和，则： （1）在其前2n项中，=q. （2）在其前2n+1项中，S奇-S偶=a1-a2+a3-a4+…-a2n+a2n+1==（q≠-1）；S奇=a1+qS偶. 3.若｛an｝是公比为q的等比数列，则Sn+m=Sn+qnSm（n，m∈N*）. 注意点：等比数列片段和性质的成立是有条件的，即Sn≠0. 例1　（1）已知等比数列｛an｝共有2n项，其和为-240，且（a1+a3+…+a2n-1）-（a2+a4+…+a2n）=80，则公比q=　　　　.  答案　2 解析　由题意知S奇+S偶=-240，S奇-S偶=80， ∴S奇=-80，S偶=-160， ∴q==2. （2）若等比数列｛an｝共有奇数项，其首项为1，其偶数项和为170，奇数项和为341，则这个数列的公比为　　　　，项数为　　　　.  答案　2　9 解析　由性质S奇=a1+qS偶可知341=1+170q，所以q=2，设这个数列共有2n+1项，则S2n+1==341+170=511，解得n=4，即这个等比数列的项数为9. （3）在等比数列｛an｝中，已知Sn=48，S2n=60，求S3n. 解　方法一　∵S2n≠2Sn，∴q≠1， 由已知得 ②÷①得1+qn=， 即qn=，　　　　　　　　　　　　　 ③ 将③代入①得=64， ∴S3n==64×=63. 方法二　∵｛an｝为等比数列，显然公比不等于-1， ∴Sn，S2n-Sn，S3n-S2n也成等比数列， ∴（S2n-Sn）2=Sn（S3n-S2n）， ∴S3n=+S2n=+60=63. 方法三　由性质Sm+n=Sm+qmSn可知S2n=Sn+qnSn，即60=48+48qn，得qn=， ∴S3n=S2n+q2nSn=60+48×=63. 反思感悟　处理等比数列前n项和有关问题的常用方法 （1）若等比数列｛an｝共有2n项，要抓住=q和S偶+S奇=S2n这一隐含特点；若等比数列｛an｝共有2n+1项，要抓住S奇=a1+qS偶和S偶+S奇=S2n+1这一隐含特点.要注意公比q=1和q≠1两种情形，在解有关的方程（组）时，通常用约分或两式相除的方法进行消元. （2）灵活运用等比数列前n项和的有关性质. 跟踪训练1　（1）已知等比数列｛an｝的公比q=，且a1+a3+a5+…+a99=90，则a1+a2+a3+…+a100=　　　　.  答案　120 解析　因为在等比数列中，若项数为2n，则=q， 所以a1+a2+a3+…+a100=（a1+a3+a5+…+a99）+（a2+a4+a6+…+a100）=（a1+a3+a5+…+a99）+（a1+a3+a5+…+a99） =90+×90=120. （2）记等比数列｛an｝的前n项和为Sn，若S4=3，S8=9，则S12等于（　　） A.12 B.18 C.21 D.27 答案　C 解析　方法一　因为Sn为等比数列｛an｝的前n项和，且S4=3，S8=9，易知等比数列｛an｝的公比q≠-1，所以S4，S8-S4，S12-S8成等比数列，所以（S8-S4）2=S4（S12-S8），所以62=3（S12-9），解得S12=21. 方法二　由方法一知，S4，S8-S4，S12-S8成等比数列，即3，6，12成等比数列，S12-S8=12，所以S12=S8+12=9+12=21. 二、等比数列前n项和公式的实际应用 例2　《算法统宗》是中国古代数学名著，程大位著，共17卷，书中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”大致意思是：有一个人要到距离出发地378里的地方，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地.那么该人第一天所走路程里数为（　　） A.96 B.126 C.192 D.252 答案　C 解析　由题意得，该人每天走的路程形成以a1为首项，以为公比的等比数列， 因为该人6天后到达目的地，则有S6==378， 解得a1=192， 所以该人第一天所走路程里数为192. 反思感悟　（1）解应用问题的核心是建立数学模型. （2）一般步骤：审题、抓住数量关系、建立数学模型. （3）注意问题是求什么（n，an，Sn）. 跟踪训练2　中国三大名楼之一的黄鹤楼因其独特的建筑结构而闻名，其外观有五层而实际上内部有九层，隐喻“九五至尊”之意，现打算在黄鹤楼内部挂灯笼进行装饰，若在黄鹤楼内部九层塔楼共挂1 533盏灯笼，且相邻的两层中，下一层的灯笼数是上一层灯笼数的两倍，则内部塔楼的顶层应挂　　　　盏灯笼.  答案　3 解析　依题意，各层灯笼数从上到下排成一列构成等比数列｛an｝（n∈N*，n≤9），公比q=2，前9项和为1 533，于是得S9==1 533，解得a1=3，所以内部塔楼的顶层应挂3盏灯笼. 三、等比数列前n项和公式的综合应用 例3　在等腰直角三角形ABC中，B=，AB=a，以AB为斜边作等腰直角三角形AB1B，再以AB1为斜边作等腰直角三角形AB2B1，依此类推，记△ABC的面积为S1，依次所得三角形的面积分别为S2，S3，…，若S1+S2+…+S8=，则a等于（　　） A.2 B.2 C.3 D.4 答案　B 解析　由题知AB1=AB，AB2=AB1，…，ABn+1=ABn，S1=AB2=a2，Sn=A（n≥2）， ∴==（n≥2）， 又S2=a2=S1， ∴数列｛Sn｝是首项为a2，公比为的等比数列， ∴S1+S2+S3+…+S8==， ∴a=2（负值舍去）. 反思感悟　解决等比数列前n项和公式有关问题时应注意 （1）首先将题目问题转化为等比数列问题. （2）当题中有多个数列出现时，既要研究单一数列项与项之间的关系，又要关注各数列之间的相互联系. 跟踪训练3　如图，画一个边长为2的正方形，再将此正方形各边的中点相连得到第2个正方形，以此类推，记第n个正方形的面积为an，数列｛an｝的前n项和为Sn.求｛an｝的通项公式及S2 024. 解　记第n个正方形的边长为bn， 由题意可知当n≥2时，=2×=， 则an=an-1， 所以数列｛an｝是以a1=4为首项，q=为公比的等比数列，即an=4×=23-n. S2 024= =8×=8-. 1.知识清单： （1）等比数列前n项和公式的性质. （2）等比数列前n项和公式的实际应用. （3）等比数列前n项和公式的综合应用. 2.方法归纳：公式法、分类讨论法、转化法. 3.常见误区：应用片段和性质时易忽略其成立的条件. 1.在等比数列｛an｝中，a1a2a3=1，a4=4，则a2+a4+a6+…+a2n等于（　　） A.2n-1 B. C. D. 答案　B 解析　由a1a2a3=1得a2=1，又a4=4，故q2=4，a2+a4+a6+…+a2n==. 2.设等比数列｛an｝的前n项和为Sn，若S10∶S5=1∶2，则S15∶S5等于（　　） A.3∶4 B.2∶3 C.1∶2 D.1∶3 答案　A 解析　在等比数列｛an｝中，S5，S10-S5，S15-S10成等比数列， 因为S10∶S5=1∶2， 所以S5=2S10，S15=S5，得S15∶S5=3∶4. 3.《庄子·天下》中提到：“一尺之棰，日取其半，万世不竭.”其含义是：一尺长的木棍，每天截去它的一半，永远也截不完.在这个问题中，记第n天后剩余木棍的长度为an，数列｛an｝的前n项和为Sn，则使得不等式Sn>成立的正整数n的最小值为（　　） A.6 B.5 C.4 D.3 答案　B 解析　数列｛an｝是以为首项，为公比的等比数列， ∴Sn==1-， 若Sn>，则1->， 即>，∴2n>， 又n∈N*，24=16<，25=32>， ∴使得不等式Sn>成立的正整数n的最小值为5. 4.一个项数为偶数的等比数列｛an｝，全部项之和为偶数项之和的4倍，前3项之积为64，则数列的通项公式an=　　　　　　　　　　　　.  答案　12×，n∈N* 解析　设数列的首项为a1，公比为q，奇数项、偶数项之和分别记作S奇，S偶，由题意可知，S奇+S偶=4S偶，即S奇=3S偶，因为数列｛an｝的项数为偶数，所以有q==.又因为a1·a1q·a1q2=64，所以·q3=64，即a1=12，故所求通项公式为an=12×，n∈N*. 课时对点练　［分值：100分］ 单选题每小题5分，共35分；多选题每小题6分，共12分 1.已知一个等比数列的项数是偶数，其奇数项之和为1 011，偶数项之和为2 022，则这个数列的公比为（　　 ） A.8 B.-2 C.4 D.2 答案　D 解析　由=q，可知q=2. 2.设等比数列｛an｝的前n项和为Sn，已知S3=8，S6=7，则a7+a8+a9等于（　　） A. B.- C. D. 答案　A 解析　易知q≠-1， 因为a7+a8+a9=S9-S6， 且S3，S6-S3，S9-S6也成等比数列， 即8，-1，S9-S6成等比数列， 所以8（S9-S6）=1， 即S9-S6=， 所以a7+a8+a9=. 3.中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗.羊主曰：“我羊食半马.”马主曰：“我马食半牛.”今欲衰偿之，问各出几何？此问题的译文是：现有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗谷子.羊主人说：“我的羊所吃的禾苗只有马的一半.”马主人说：“我的马所吃的禾苗只有牛的一半.”打算按此比例偿还，他们各应偿还多少？此问题中1斗为10升，则牛主人应偿还多少升谷子？（　　） A. 升 B. 升 C. 升 D. 升 答案　D 解析　5斗=50升，设羊、马、牛的主人应偿还谷子的量分别为a1，a2，a3， 由题意可知a1，a2，a3构成公比为2的等比数列，且S3=50，则=50， 解得a1=， 所以牛主人应偿还谷子的量为a3=22a1=. 4.设等比数列｛an｝的前n项和为10，前2n项和为60，则该数列的前4n项和为（　　） A.360 B.720 C.1 560 D.1 800 答案　C 解析　设等比数列｛an｝的前n项和为Sn，公比为q， 由题可知Sn，S2n-Sn，S3n-S2n，S4n-S3n成等比数列，公比为qn，因为Sn=10，S2n=60， 所以S2n-Sn=50，所以qn=5， 所以S3n-S2n=50×5=250， 所以S4n-S3n=250×5=1 250， 所以S4n=10+50+250+1 250=1 560. 5.已知等比数列｛an｝有2n+1项，a1=1，所有奇数项的和为85，所有偶数项的和为42，则n等于（　　） A.2 B.3 C.4 D.5 答案　B 解析　方法一　因为等比数列｛an｝有2n+1项，则奇数项有n+1项，偶数项有n项，设公比为q， 则1+q2+q4+…+q2n=1+q（q+q3+q5+…+q2n-1）=85， q+q3+q5+…+q2n-1=42，整体代入得q=2， 所以前2n+1项和为=85+42=127，解得n=3. 方法二　因为等比数列｛an｝有2n+1项，则S奇=a1+qS偶， 即85=1+42q，解得q=2， 所以S2n+1==S奇+S偶=85+42=127， 解得n=3. 6.（多选）已知等比数列｛an｝的公比为q，前n项和为Sn，则下列命题中正确的是（　　） A.Sn+1=Sn+anq B.Sn+1=S1+qSn C.S2，S4-S2，S6-S4成等比数列 D.“q=-”是“Sn，Sn+2，Sn+1成等差数列”的充要条件 答案　ABD 解析　Sn+1-Sn=an+1=anq，故A正确； Sn+1-S1=a2+a3+…+an+1=q（a1+a2+…+an）=qSn，故B正确； 当q=-1时，有S2=a1+a2=a1-a1=0，等比数列中的项不能为0，故C错误； 当q=-时，Sn+1+Sn=2Sn+2-2an+2-an+1=2Sn+2-（2q·an+1+an+1） =2Sn+2-（-an+1+an+1）=2Sn+2，故由“q=-”可得“Sn，Sn+2，Sn+1成等差数列”， 当Sn，Sn+2，Sn+1成等差数列时，可得Sn+Sn+1=2Sn+2， 即Sn+Sn+1=2Sn+2=2Sn+1+2an+2=Sn+Sn+1+2an+2+an+1， 即2an+2+an+1=0，可得=-，即由“Sn，Sn+2，Sn+1成等差数列”可得“q=-”， 故“q=-”是“Sn，Sn+2，Sn+1成等差数列”的充要条件，故D正确. 7.（5分）某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，则需要的最少天数为　　　　.  答案　6 解析　每天植树的棵数构成以2为首项，2为公比的等比数列， 其前n项和Sn===2n+1-2. 由2n+1-2≥100，得2n+1≥102. 由于26=64，27=128， 则n+1≥7，即n≥6，故需要的最少天数为6. 8.（5分）设正项等比数列｛an｝的前n项和为Sn，且210S30-（210+1）S20+S10=0，则公比q=　　　　.  答案　 解析　由210S30-（210+1）S20+S10=0， 得210（S30-S20）=S20-S10. 易知q≠-1， ∴S10，S20-S10，S30-S20成等比数列， ∴=q10=. 又｛an｝为正项等比数列，∴q=. 9.（10分）已知等比数列｛an｝的前n项和为Sn，且满足S3=7，S6=63. （1）求数列｛an｝的通项公式；（5分） （2）若bn=an+log2an，求数列的前n项和Tn.（5分） 解　（1）由题意知S6≠2S3，q≠1，且q≠-1， 由等比数列的前n项和的性质知， q3===8，故q=2， ∴S3==7，代入q可得a1=1， ∴an=2n-1. （2）由（1）知bn=2n-1+n-1， ∴Tn=+［1+2+…+（n-1）］ =2n+-1. 10.（11分）在一次招聘会上，两家公司开出的工资标准分别为：公司A：第一年月工资3 000元，以后每年的月工资比上一年的月工资增加300元；公司B：第一年月工资3 720元，以后每年的月工资在上一年的月工资基础上增加5%，设某人年初想从这两家公司中选择一家去工作. （1）若此人选择在其中一家公司连续工作n年，第n年的月工资分别为多少？（5分） （2）若此人选择在其中一家公司连续工作10年，则从哪家公司得到的报酬较多？（参考数据：1.0510≈1.63）（6分） 解　（1）选择在公司A连续工作n年，第一年月工资3 000元，以后每年的月工资比上一年的月工资增加300元， 则他第n年的月工资是3 000+（n-1）×300=300n+2 700（元）（n∈N*）； 选择在公司B连续工作n年，第一年月工资3 720元，以后每年的月工资在上一年的月工资基础上增加5%. 则他第n年的月工资是3 720×（1+0.05）n-1（元）（n∈N*）. （2）若此人选择在其中一家公司连续工作10年，则在公司A、公司B得到的报酬分别为 公司A：12×［3 000+（3 000+1×300）+…+（3 000+9×300）］ =12×3 000×10+12×300×=522 000（元）. 公司B：12×3 720×（1+1.051+1.052+…+1.059）=12×3 720×≈562 464（元）， 因为562 464>522 000，故从公司B得到的报酬较多. 11.已知Sn为等比数列｛an｝的前n项和，S4=10，S12=70，则S8等于（　　） A.30 B.-20 C.-30 D.30或-20 答案　A 解析　由｛an｝是等比数列，且S4=10，S12=70，知｛an｝的公比q≠-1， 所以S4，S8-S4，S12-S8构成等比数列， 所以（S8-S4）2=S4（S12-S8）， 即（S8-10）2=10（70-S8）， 化简并整理得-10S8-600=0， 又S8=S4+q4S4>0， 解得S8=30或S8=-20（舍去）. 12.（多选）设等比数列｛an｝的公比为q，其前n项和为Sn，前n项积为Tn，且满足条件a1>1，a2 024a2 025>1，（a2 024-1）（a2 025-1）<0，则下列选项正确的是（　　） A.0<q<1 B.S2 024>S2 025-1 C.T2 025是数列｛Tn｝中的最大项 D.T4 045<1 答案　AB 解析　∵（a2 024-1）（a2 025-1）<0， ∴a2 024-1>0，a2 025-1<0或a2 024-1<0， a2 025-1>0， ∵a1>1，a2 024a2 025>1， ∴a2 024，a2 025同号， 且a2 024>1，a2 025<1，即数列前2 024项大于1，从第2 025项开始小于1， q=<1，且易知q>0，故0<q<1，A正确； 易知a2 025<1，故S2 025-S2 024<1，S2 024>S2 025-1，B正确； 由题意知｛an｝是递减数列，且a2 024>1，a2 025<1，故T2 024是数列｛Tn｝中的最大项，故C错误； T4 045=a1…a4 045=·q4 045×2 023=>1，故D错误. 13.已知等比数列｛an｝的首项为2，项数为奇数，其奇数项之和为，偶数项之和为，这个等比数列前n项的积为Tn（n≥1），则Tn的最大值为（　　） A. B. C.1 D.2 答案　D 解析　设数列｛an｝共有2m+1项，由题意得 S奇=a1+a3+…+a2m+1=， S偶=a2+a4+…+a2m=， 因为项数为奇数时，S奇=a1+qS偶， 即2+q=， 所以q=.所以Tn=a1·a2·…·an =q1+2+…+n-1==， 故当n=1或2时，Tn取最大值2. 14.（5分）已知Sn为正项等比数列｛an｝的前n项和，若S6-3S3=4，则S9-S6的最小值为　　　　.  答案　32 解析　由q≠-1及等比数列的性质，知S3，S6-S3，S9-S6成等比数列.又S6-3S3=4， ∴S9-S6== =4S3++16≥2+16=32， 当且仅当S3=2时，等号成立， ∴S9-S6的最小值为32. 15.（5分）设f（x）是定义在R上的恒不为零的函数，且对任意的实数x，y，都有f（x）·f（y）=f（x+y）.若a1=，an=f（n）（n∈N*），则数列｛an｝的前n项和Sn=　　　　.  答案　1- 解析　令x=n，y=1，则f（n）·f（1）=f（n+1）， 又an=f（n），∴==f（1）=a1=， ∴数列｛an｝是以为首项，为公比的等比数列， ∴Sn==1-. 16.（12分）已知数列｛an｝的前n项和为Sn，且Sn=n-5an-85，n∈N*. （1）证明：｛an-1｝是等比数列；（6分） （2）求数列｛Sn｝的通项公式，并求出n为何值时，Sn取得最小值，并说明理由.（6分） （1）证明　当n=1时，由Sn=n-5an-85可知， a1=-14； 当n≥2时，an=Sn-Sn-1=-5an+5an-1+1， 即6an=5an-1+1. 因此6an-6=5an-1+1-6=5（an-1-1）， 所以an-1=（an-1-1）. 又a1-1=-15≠0， 所以数列｛an-1｝是等比数列. （2）解　由（1）知，an-1=-15×， 得an=1-15×， 从而Sn=75×+n-90，n∈N*. 解不等式Sn<Sn+1， 得<，n>lo+1≈14.9， 当n≥15时，数列｛Sn｝单调递增； 同理可得，当n≤15时，数列｛Sn｝单调递减. 故当n=15时，Sn取得最小值. 学科网（北京）股份有限公司 $$