第4章 4.2.2 第2课时 等差数列前n项和的性质及应用-（课件PPT+Word教案）【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第二册教师用书（人教A版2019）

第2课时　等差数列前n项和的性质及应用 ［学习目标］　1.理解并应用等差数列前n项和的性质.2.灵活求解等差数列奇偶项和的问题.3.构造等差数列求和模型，解决实际问题. 一、等差数列前n项和的性质 问题1　设等差数列｛an｝的前n项和为Sn，公差为d，你能发现Sn与S2n的关系吗？ 提示　S2n=a1+a2+…+an+an+1+…+a2n=Sn+（a1+nd）+（a2+nd）+…+（an+nd）=2Sn+n2d，同样我们发现S3n=3Sn+3n2d，这里出现了一个数列Sn，S2n-Sn=Sn+n2d，S3n-S2n=Sn+2n2d，…，是一个公差为n2d的等差数列. 知识梳理 1.设等差数列｛an｝的公差为d，Sn为其前n项和，则Sm，S2m-Sm，S3m-S2m，…仍构成等差数列，且公差为m2d. 2.若数列｛an｝是公差为d的等差数列，则数列也是等差数列，且公差为. 3.在等差数列中，若Sn=m，Sm=n，则Sm+n=-（m+n）. 4.已知等差数列｛an｝和｛bn｝的前n项和分别为Sn，Tn，则=，=·. 例1　（1）已知Sn，Tn分别是等差数列｛an｝与｛bn｝的前n项和，且=（n=1，2，…），则+等于（　　） A. B. C. D. 答案　B 解析　因为数列｛bn｝是等差数列，所以b3+b18=b6+b15， 所以+=， 又因为Sn，Tn分别是等差数列｛an｝与｛bn｝的前n项和，且=（n=1，2，…）， 所以+=====. （2）已知Sn是等差数列｛an｝的前n项和，且S10=100，S100=10，求S110. 解　方法一　设等差数列｛an｝的首项为a1，公差为d， ∵S10=100，S100=10， ∴ 解得 ∴S110=110a1+d =110×+×=-110. 方法二　∵S10，S20-S10，S30-S20，…，S100-S90，S110-S100，…成等差数列，设公差为d，∴该数列的前10项和为10×100+d=S100=10，解得d=-22， ∴前11项和S110=11×100+×（-22） =-110. 方法三　由也是等差数列，构造新的等差数列b1==10，b10==， 则d=（b10-b1）=×=-， 所以b11==b10+d=+=-1， 所以S110=-110. 方法四　直接利用性质Sn=m，Sm=n，Sm+n=-（m+n），可知S110=-110. 反思感悟　利用等差数列前n项和的性质简化计算 （1）在解决等差数列问题时，先利用已知求出a1，d，再求所求，是基本解法，有时运算量大些. （2） 等差数列前n项和Sn的有关性质在解题过程中，如果运用得当可以达到化繁为简、化难为易、事半功倍的效果. （3）设而不求，整体代换也是很好的解题方法. 跟踪训练1　等差数列｛an｝中，S3=3，S6=9，则S12等于（　　） A.12 B.18 C.24 D.30 答案　D 解析　根据题意，得在等差数列｛an｝中，S3，S6-S3，S9-S6，S12-S9，…也成等差数列， 又由S3=3，S6=9，得S6-S3=6， 则S9-S6=9，S12-S9=12， 则S12=S3+（S6-S3）+（S9-S6）+（S12-S9）=3+6+9+12=30. 二、等差数列的奇（偶）项和问题 知识梳理 等差数列的奇（偶）项和的性质 （1）设等差数列｛an｝的项数为2n（n∈N*），则有： ①S2n=n（an+an+1）； ②S偶-S奇=nd，=（an≠0，且S奇，S偶分别是数列｛an｝的所有奇数项和、偶数项和）. （2）设等差数列｛an｝的项数为2n-1（n≥2，且n∈N*），则S2n-1=（2n-1）an（an是数列的中间项），S奇-S偶=an，=. 例2　一个等差数列项数为偶数，奇数项之和与偶数项之和分别为24和30，最后一项与第一项之差为10.5，求此数列的首项、公差、项数. 解　方法一　设此数列的首项为a1，公差为d，项数为2k（k∈N*）. 根据题意，得 即 ∴解得 ∴首项为，公差为，项数为8. 方法二　设此数列的首项为a1，公差为d，项数为2k（k∈N*）. 根据题意，得∴ ∴∴ 代入S奇=（a1+a2k-1）=24，可得a1=. ∴首项为，公差为，项数为8. 反思感悟　解决等差数列奇偶项和的问题关键在于准确找到公式中的n. 跟踪训练2　（1）等差数列｛an｝共2 023项，求它的奇数项和与偶数项和之比. 解　由题意知等差数列｛an｝共有1 012个奇数项，1 011个偶数项， ∴S奇=，S偶=. ∵a1+a2 023=a2+a2 022，∴=. （2）一个等差数列前20项和为75，其中奇数项和与偶数项和之比为1∶2，求公差d. 解　前20项中，奇数项和S奇=×75=25， 偶数项和S偶=×75=50， 又S偶-S奇=10d，∴d==2.5. 三、等差数列前n项和的实际应用 问题2　请同学们围绕身边的相关生活背景，发挥智慧，命制一个等差数列求和的应用题. 提示　我们学校会议室里的一排排座位的总和；超市里有规律摆放的水果的总和；工地上的一堆钢管的总和等. 例3　某优秀大学生毕业团队响应国家号召，毕业后自主创业，通过银行贷款等方式筹措资金，投资72万元生产并经营共享单车，第一年维护费用为12万元，以后每年都增加4万元，每年收入租金50万元. （1）若扣除投资和维护费用，则从第几年开始获取纯利润？ （2）若年平均获利最大时，该团队计划投资其他项目，问应在第几年转投其他项目？ 解　（1）设第n年获取的利润为y万元，则n年共收入租金50n万元，维护费构成一个以12为首项，4为公差的等差数列， 共12n+4×=（2n2+10n）万元， 因此利润y=50n-（72+2n2+10n） =-2n2+40n-72， 令y>0，解得2<n<18， 因为n∈N*，所以从第3年起开始获取纯利润. （2）年平均获利为 ==-+40， 因为2n+≥2=24， 所以-+40≤-24+40=16， 当且仅当2n=，即n=6时，取等号， 所以应在第6年转投其他项目. 反思感悟　（1）本题属于与等差数列前n项和有关的应用题，其关键在于构造合适的等差数列. （2）遇到与正整数有关的应用题时，可以考虑与数列知识联系，抽象出数列的模型，并用有关知识解决相关的问题，是数学建模的核心素养的体现. 跟踪训练3　《张邱建算经》卷上第22题为：今有女善织，日益功疾，且从第2天起，每天比前一天多织相同量的布，若第1天织5尺布，现在一月（按30天计）共织390尺布，则每天比前一天多织　　　　尺布（不作近似计算）.  答案　 解析　由题意知，该女每天的织布尺数构成等差数列｛an｝，其中a1=5，S30=390，设其公差为d，则S30=30×5+d=390，解得d=.故该女子织布每天增加尺. 1.知识清单： （1）等差数列前n项和性质的应用. （2）等差数列奇偶项和的问题. （3）等差数列前n项和的实际应用. 2.方法归纳：公式法、构造法、整体代换法. 3.常见误区： （1）等差数列奇偶项和的问题，n的取值易出错. （2）等差数列前n项和性质应用的前提是等差数列. 1.已知等差数列｛an｝的前n项和为Sn，若=，则等于（　　） A. B. C. D. 答案　C 解析　由等差数列的性质知S3，S6-S3，S9-S6，S12-S9成等差数列， 设S3=k，S6=4k，则S9=3S6-3S3=9k，S12=3S9-3S6+S3=16k，所以=. 2.《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用.在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的，“九儿问甲歌”就是其中一首：一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推.在这个问题中，记这位公公的第n个儿子的年龄为an，则a1等于（　　） A.35 B.32 C.23 D.38 答案　A 解析　由题意可知，九个儿子的年龄成公差d=-3的等差数列，且九项之和为207. 故S9=9a1+d=9a1-108=207，解得a1=35. 3.一个等差数列前12项的和为354，前12项中偶数项的和与奇数项的和的比为32∶27，则公差d为　　　　.  答案　5 解析　设首项为a1，公差为d， 则由题意可得解得 又S偶-S奇=6d，∴d=5. 综上所述，公差为5. 4.已知Sn是等差数列｛an｝的前n项和，若a1=-2，-=2，则=　　　　　.  答案　2 021 解析　∵Sn是等差数列｛an｝的前n项和， ∴是等差数列，设其公差为d. ∵-=2，∴2d=2，d=1. ∵a1=-2，∴=-2， ∴=-2+（n-1）×1=n-3， ∴=2 024-3=2 021. 课时对点练　［分值：100分］ 单选题每小题5分，共45分；多选题每小题6分，共6分 1.在等差数列｛an｝中，a1=1，其前n项和为Sn，若-=2，则S10等于（　　） A.10 B.100 C.110 D.120 答案　B 解析　∵｛an｝是等差数列，a1=1， ∴也是等差数列且首项为=1. 又-=2，∴的公差是1， ∴=1+（10-1）×1=10，∴S10=100. 2.若等差数列｛an｝的前m项的和Sm为20，前3m项的和S3m为90，则它的前2m项的和S2m为（　　） A.30 B.70 C.50 D.60 答案　C 解析　∵等差数列｛an｝中，Sm，S2m-Sm，S3m-S2m也成等差数列， ∴2（S2m-Sm）=Sm+S3m-S2m， ∴2（S2m-20）=20+90-S2m，∴S2m=50. 3.已知等差数列｛an｝的公差d=，a2+a4+…+a100=80，那么S100等于（　　） A.80 B.120 C.135 D.160 答案　C 解析　在等差数列｛an｝中，公差d=，a2+a4+…+a100=80， 所以a1+a3+…+a99=a2+a4+…+a100-50d=80-50×=55， 所以S100=（a1+a3+…+a99）+（a2+a4+…+a100）=55+80=135. 4.若等差数列｛an｝与等差数列｛bn｝的前n项和分别为Sn和Tn，且=，则等于（　　） A. B. C. D. 答案　C 解析　======. 5.古印度数学家婆什迦罗在《莉拉沃蒂》一书中提出如下问题：某人给一个人布施，初日4德拉玛（古印度货币单位），其后日增5德拉玛.朋友啊，请马上告诉我，半个月中，他总共布施多少德拉玛？在这个问题中，这人15天的最后7天布施的德拉玛总数为（　　） A.413 B.427 C.308 D.133 答案　A 解析　由题知，每日德拉玛数依次构成等差数列｛an｝，设数列的首项为a1，公差为d，则a1=4，d=5. 则an=4+（n-1）×5=5n-1，a15=74，a8=39， 则这人15天的最后7天布施的德拉玛总数为 S15-S8=-=585-172=413. 6.（多选）设等差数列｛an｝，｛bn｝的前n项和分别为Sn，Tn，若=，则满足∈Z的n的值可能为（　　） A.2 B.4 C.12 D.14 答案　ABD 解析　因为等差数列｛an｝，｛bn｝的前n项和分别为Sn，Tn，且=， 则=======7+， 因为∈Z，则n+1=1，3，5，15， 所以n=0，2，4，14，又n∈N*， 所以n的值可能为2，4，14. 7.（5分）在项数为2n+1的等差数列中，所有奇数项的和为165，所有偶数项的和为150，则n的值为　　　　.  答案　10 解析　∵等差数列有2n+1项，S奇-S偶=an+1， ∴an+1=15. 又S2n+1=（2n+1）an+1， ∴165+150=（2n+1）×15，∴n=10. 8.（5分）若数列｛an｝的前n项和Sn=lo（n+1），则a10+a11+a12+…+a99=　　　　.  答案　-1 解析　a10+a11+a12+…+a99=S99-S9 =lo100-lo10=（-2）-（-1）=-1. 9.（10分）已知数列｛an｝满足a1=1，a2=2，an+2-an=3. （1）求a2n；（4分） （2）当n为奇数时，求数列｛an｝的前n项和Sn.（6分） 解　（1）因为an+2-an=3，所以数列a2，a4，…，a2n构成首项为a2=2，公差为3的等差数列，所以a2n=a2+（n-1）·3=3n-1. （2）由an+2-an=3，所以数列a1，a3，…，a2n-1构成首项为1，公差为3的等差数列，得到a2n-1=a1+（n-1）·3=3n-2，设n=2k-1，则S2k-1=（a1+a3+…+a2k-1）+（a2+a4+…+a2k-2）=（1+4+7+…+3k-2）+（2+5+8+…+3k-4）=+=3k2-3k+1， 又k=，所以当n为奇数时，Sn=3-3+1=. 10.（12分）某抗洪指挥部接到预报，24小时后有一洪峰到达，为确保安全，指挥部决定在洪峰到来之前临时筑一道堤坝作为第二道防线.经计算，除现有的参战军民连续奋战外，还需调用20台同型号翻斗车，平均每辆车工作24小时.从各地紧急抽调的同型号翻斗车目前只有一辆投入使用，每隔20分钟能有一辆翻斗车到达，一共可调集25辆，那么在24小时内能否构筑成第二道防线？ 解　从第一辆车投入工作算起各车工作时间（单位：小时）依次设为a1，a2，…，a25. 由题意可知，此数列为等差数列，且a1=24，公差d=-.25辆翻斗车完成的工作量为a1+a2+…+a25=25×24+25×12×=500，而需要完成的工作量为24×20=480. ∵500>480， ∴在24小时内能构筑成第二道防线. 11.某公司技术部为了激发员工的工作积极性，准备在年终奖的基础上再增设30个“幸运奖”，投票产生“幸运奖”，按照得票数（假设每人的得票数各不相同）排名次，发放的奖金数成等差数列.已知前10名共发放2 000元，前20名共发放3 500元，则前30名共发放（　　） A.4 000元 B.4 500元 C.4 800元 D.5 000元 答案　B 解析　由已知可知等差数列中S10=2 000， S20=3 500， 因为S10，S20-S10，S30-S20成等差数列， 所以2（S20-S10）=S10+（S30-S20）， 所以2×（3 500-2 000）=2 000+（S30-3 500）， 解得S30=4 500. 12.“中国剩余定理”又称“孙子定理”，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二（除以3余2），五五数之剩三（除以5余3），七七数之剩二（除以7余2），问物几何？现有这样一个相关的问题：已知正整数p满足三三数之剩二，将符合条件的所有正整数p按照从小到大的顺序排成一列，构成数列｛an｝，记数列｛an｝的前n项和为Sn，则的最小值为（　　） A. B. C.10 D.11 答案　B 解析　被3除余2的正整数按照从小到大的顺序所构成的数列｛an｝是一个首项为2，公差为3的等差数列， 所以an=2+3（n-1）=3n-1， Sn==， 所以==++≥2+=， 当且仅当=，即n=2时，等号成立， 所以的最小值为. 13.已知等差数列｛an｝与｛bn｝的前n项和分别为Sn，Tn，且=，则的值为（　　） A. B. C. D. 答案　D 解析　因为｛an｝，｛bn｝为等差数列，且=， 所以可设Sn=kn（2n+3），Tn=kn（n+1）， 则a5=S5-S4=65k-44k=21k， b10=T10-T9=110k-90k=20k， 所以=. 14.现有200根相同的钢管，把它们堆成正三角形垛，要使剩余的钢管尽可能少，那么剩余钢管的根数为（　　） A.9 B.10 C.19 D.29 答案　B 解析　钢管排列方式是从上到下各层钢管数组成了一个等差数列，最上面一层钢管数为1，逐层增加1个.∴钢管总数为1+2+3+…+n=. 当n=19时，S19=190. 当n=20时，S20=210>200. ∴当n=19时，剩余钢管根数最少，为10根. 15.（5分）已知数列｛an｝中，a1=1，a2=2，对任意正整数n，an+2-an=2+cos nπ，Sn为｛an｝的前n项和，则S100=　　　　.  答案　5 050 解析　当n为奇数时，an+2-an=1，即数列｛an｝的奇数项是以1为首项，1为公差的等差数列； 当n为偶数时，an+2-an=3，即数列｛an｝的偶数项是以2为首项，3为公差的等差数列， 所以S100=（a1+a3+…+a99）+（a2+a4+…+a100）=+ =5 050. 16.（12分）一列火车自A城驶往B城，沿途有n个车站（包括起点A和终点B），车上有一节邮政车厢，每停靠一站便要卸下前面各站发往该站的邮袋各一个，同时又要装上该站发往后面各站的邮袋各一个. （1）证明：若列车从第k站出发时，车厢内共有邮袋数为（-k2+nk）个；（5分） （2）试判断第几站的车厢内邮袋数最多，最多是多少？（7分） （1）证明　设列车从各站出发时，邮政车厢内的邮袋数构成一个数列｛an｝，则a1=n-1，a2=a1-1+n-2=（n-1）+（n-2）-1， a3=a2-2+n-3=（n-1）+（n-2）+（n-3）-1-2，… 所以ak=（n-1）+（n-2）+（n-3）+…+（n-k）-（1+2+…+k-1） =kn-k（k+1）-k（k-1）=-k2+nk（k∈N*）. （2）解　由ak=-+，得 当n为偶数，k=时，ak的最大值为，当n为奇数，k=或时，ak的最大值为. 即若n为偶数，则第站的车厢内邮袋数最多，最多为个； 若n为奇数，则第或站的车厢内邮袋数最多，最多为个. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第2课时 第四章 <<< 等差数列前n项和的性质及应用 1.理解并应用等差数列前n项和的性质. 2.灵活求解等差数列奇偶项和的问题. 3.构造等差数列求和模型，解决实际问题. 学习目标 一、等差数列前n项和的性质 二、等差数列的奇(偶)项和问题 课时对点练 三、等差数列前n项和的实际应用 随堂演练 内容索引 一 等差数列前n项和的性质 设等差数列{an}的前n项和为Sn，公差为d，你能发现Sn与S2n的关系吗？ 问题1 提示　S2n=a1+a2+…+an+an+1+…+a2n=Sn+(a1+nd)+(a2+nd)+…+(an+nd)=2Sn +n2d，同样我们发现S3n=3Sn+3n2d，这里出现了一个数列Sn，S2n-Sn=Sn+n2d，S3n-S2n=Sn+2n2d，…，是一个公差为n2d的等差数列. 1.设等差数列{an}的公差为d，Sn为其前n项和，则Sm，S2m-Sm，S3m-S2m，…仍构成等差数列，且公差为m2d. 2.若数列{an}是公差为d的等差数列，则数列也是等差数列，且公差为 . 3.在等差数列中，若Sn=m，Sm=n，则Sm+n=-(m+n). 4.已知等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，则=，=·. 知识梳理 (1)已知Sn，Tn分别是等差数列{an}与{bn}的前n项和，且=(n=1，2，…)，则+等于 A. B. C. D. 例 1 √ 7 因为数列{bn}是等差数列，所以b3+b18=b6+b15， 所以+=， 又因为Sn，Tn分别是等差数列{an}与{bn}的前n项和， 且=(n=1，2，…)， 所以+=====. 8 (2)已知Sn是等差数列{an}的前n项和，且S10=100，S100=10，求S110. 9 方法一　设等差数列{an}的首项为a1，公差为d， ∵S10=100，S100=10， ∴解得 ∴S110=110a1+d =110×+×=-110. 10 方法二　∵S10，S20-S10，S30-S20，…，S100-S90，S110-S100，…成等差数列，设公差为d，∴该数列的前10项和为10×100+d=S100=10， 解得d=-22， ∴前11项和S110=11×100+×(-22) =-110. 11 方法三　由也是等差数列，构造新的等差数列b1==10，b10==， 则d=(b10-b1)=×=-， 所以b11==b10+d=+=-1， 所以S110=-110. 方法四　直接利用性质Sn=m，Sm=n，Sm+n=-(m+n)，可知S110=-110. 12 反 思 感 悟 利用等差数列前n项和的性质简化计算 (1)在解决等差数列问题时，先利用已知求出a1，d，再求所求，是基本解法，有时运算量大些. (2) 等差数列前n项和Sn的有关性质在解题过程中，如果运用得当可以达到化繁为简、化难为易、事半功倍的效果. (3)设而不求，整体代换也是很好的解题方法. 等差数列{an}中，S3=3，S6=9，则S12等于 A.12 B.18 C.24 D.30 跟踪训练 1 √ 根据题意，得在等差数列{an}中，S3，S6-S3，S9-S6，S12-S9，…也成等差数列， 又由S3=3，S6=9，得S6-S3=6， 则S9-S6=9，S12-S9=12， 则S12=S3+(S6-S3)+(S9-S6)+(S12-S9)=3+6+9+12=30. 14 二 等差数列的奇(偶)项和问题 等差数列的奇(偶)项和的性质 (1)设等差数列{an}的项数为2n(n∈N*)，则有： ①S2n=n(an+an+1)； ②S偶-S奇=nd，=(an≠0，且S奇，S偶分别是数列{an}的所有奇数项和、偶数项和). (2)设等差数列{an}的项数为2n-1(n≥2，且n∈N*)，则S2n-1=(2n-1)an(an是数列的中间项)，S奇-S偶=an，=. 知识梳理 16 一个等差数列项数为偶数，奇数项之和与偶数项之和分别为24和30，最后一项与第一项之差为10.5，求此数列的首项、公差、项数. 例 2 17 方法一　设此数列的首项为a1，公差为d，项数为2k(k∈N*). 根据题意，得 即 ∴ ∴首项为，项数为8. 方法二　设此数列的首项为a1，公差为d，项数为2k(k∈N*). 根据题意，得 ∴ 代入S奇=(a1+a2k-1)=24，可得a1=. ∴首项为，项数为8. 反 思 感 悟 解决等差数列奇偶项和的问题关键在于准确找到公式中的n. (1)等差数列{an}共2 023项，求它的奇数项和与偶数项和之比. 跟踪训练 2 由题意知等差数列{an}共有1 012个奇数项，1 011个偶数项， ∴S奇=，S偶=. ∵a1+a2 023=a2+a2 022，∴=. 22 (2)一个等差数列前20项和为75，其中奇数项和与偶数项和之比为1∶2，求公差d. 前20项中，奇数项和S奇=×75=25， 偶数项和S偶=×75=50， 又S偶-S奇=10d，∴d==2.5. 23 三 等差数列前n项和的实际应用 请同学们围绕身边的相关生活背景，发挥智慧，命制一个等差数列求和的应用题. 问题2 提示　我们学校会议室里的一排排座位的总和；超市里有规律摆放的水果的总和；工地上的一堆钢管的总和等. 某优秀大学生毕业团队响应国家号召，毕业后自主创业，通过银行贷款等方式筹措资金，投资72万元生产并经营共享单车，第一年维护费用为12万元，以后每年都增加4万元，每年收入租金50万元. (1)若扣除投资和维护费用，则从第几年开始获取纯利润？ 例 3 设第n年获取的利润为y万元，则n年共收入租金50n万元，维护费构成一个以12为首项，4为公差的等差数列， 共12n+4×=(2n2+10n)万元， 因此利润y=50n-(72+2n2+10n) =-2n2+40n-72， 令y>0，解得2<n<18， 因为n∈N*，所以从第3年起开始获取纯利润. (2)若年平均获利最大时，该团队计划投资其他项目，问应在第几年转投其他项目？ 年平均获利为==-+40， 因为2n+≥2=24， 所以-+40≤-24+40=16， 当且仅当2n=，即n=6时，取等号， 所以应在第6年转投其他项目. 反 思 感 悟 (1)本题属于与等差数列前n项和有关的应用题，其关键在于构造合适的等差数列. (2)遇到与正整数有关的应用题时，可以考虑与数列知识联系，抽象出数列的模型，并用有关知识解决相关的问题，是数学建模的核心素养的体现. 《张邱建算经》卷上第22题为：今有女善织，日益功疾，且从第2天起，每天比前一天多织相同量的布，若第1天织5尺布，现在一月(按30天计)共织390尺布，则每天比前一天多织　　　尺布(不作近似计算).  跟踪训练 3 由题意知，该女每天的织布尺数构成等差数列{an}，其中a1=5，S30=390，设其公差为d，则S30=30×5+d=390，解得d=. 故该女子织布每天增加尺. 1.知识清单： (1)等差数列前n项和性质的应用. (2)等差数列奇偶项和的问题. (3)等差数列前n项和的实际应用. 2.方法归纳：公式法、构造法、整体代换法. 3.常见误区： (1)等差数列奇偶项和的问题，n的取值易出错. (2)等差数列前n项和性质应用的前提是等差数列. 课堂小结 随堂演练 四 1 2 3 4 1.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若=，则等于 A.　　　B.　　　C.　　　D. √ 由等差数列的性质知S3，S6-S3，S9-S6，S12-S9成等差数列， 设S3=k，S6=4k(k≠0)，则S9=3S6-3S3=9k，S12=3S9-3S6+S3=16k，所以=. 2.《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用.在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的，“九儿问甲歌”就是其中一首：一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推.在这个问题中，记这位公公的第n个儿子的年龄为an，则a1等于 A.35 B.32 C.23 D.38 1 2 3 4 √ 由题意可知，九个儿子的年龄成公差d=-3的等差数列，且九项之和为207. 故S9=9a1+d=9a1-108=207，解得a1=35. 1 2 3 4 3.一个等差数列前12项的和为354，前12项中偶数项的和与奇数项的和的比为32∶27，则公差d为　　　.  设首项为a1，公差为d， 则由题意可得 又S偶-S奇=6d，∴d=5. 综上所述，公差为5. 5 1 2 3 4 4.已知Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1=-2，-=2，则= 　　　　.  1 2 3 4 2 021 ∵Sn是等差数列{an}的前n项和， ∴是等差数列，设其公差为d. ∵-=2，∴2d=2，d=1. ∵a1=-2，∴=-2， ∴=-2+(n-1)×1=n-3， ∴=2 024-3=2 021. 1 2 3 4 课时对点练 五 基础巩固 1.在等差数列{an}中，a1=1，其前n项和为Sn，若-=2，则S10等于 A.10　　　B.100　　　C.110　　　D.120 √ ∵{an}是等差数列，a1=1， ∴=1. 又-=2，∴的公差是1， ∴=1+(10-1)×1=10，∴S10=100. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.若等差数列{an}的前m项的和Sm为20，前3m项的和S3m为90，则它的前2m项的和S2m为 A.30　　　B.70　　　C.50　　　D.60 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ ∵等差数列{an}中，Sm，S2m-Sm，S3m-S2m也成等差数列， ∴2(S2m-Sm)=Sm+S3m-S2m， ∴2(S2m-20)=20+90-S2m，∴S2m=50. 3.已知等差数列{an}的公差d=，a2+a4+…+a100=80，那么S100等于 A.80　　　B.120　　　C.135　　　D.160 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 在等差数列{an}中，公差d=，a2+a4+…+a100=80， 所以a1+a3+…+a99=a2+a4+…+a100-50d=80-50×=55， 所以S100=(a1+a3+…+a99)+(a2+a4+…+a100)=55+80=135. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.若等差数列{an}与等差数列{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，且=，则等于 A.　　　B.　　　C.　　　D. √ ======. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.古印度数学家婆什迦罗在《莉拉沃蒂》一书中提出如下问题：某人给一个人布施，初日4德拉玛(古印度货币单位)，其后日增5德拉玛.朋友啊，请马上告诉我，半个月中，他总共布施多少德拉玛？在这个问题中，这人15天的最后7天布施的德拉玛总数为 A.413 B.427 C.308 D.133 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题知，每日德拉玛数依次构成等差数列{an}，设数列的首项为a1，公差为d，则a1=4，d=5. 则an=4+(n-1)×5=5n-1，a15=74，a8=39， 则这人15天的最后7天布施的德拉玛总数为 S15-S8=-=585-172=413. 6.(多选)设等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，若=，则满足∈Z的n的值可能为 A.2 B.4 C.12 D.14 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ 因为等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，且=， 则=======7+， 因为∈Z，则n+1=1，3，5，15， 所以n=0，2，4，14，又n∈N*， 所以n的值可能为2，4，14. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.在项数为2n+1的等差数列中，所有奇数项的和为165，所有偶数项的和为150，则n的值为　　　.  ∵等差数列有2n+1项，S奇-S偶=an+1， ∴an+1=15. 又S2n+1=(2n+1)an+1， ∴165+150=(2n+1)×15，∴n=10. 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.若数列{an}的前n项和Sn=lo(n+1)，则a10+a11+a12+…+a99=　　　.  a10+a11+a12+…+a99=S99-S9 =lo100-lo10=(-2)-(-1)=-1. -1 9.已知数列{an}满足a1=1，a2=2，an+2-an=3. (1)求a2n； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为an+2-an=3，所以数列a2，a4，…，a2n构成首项为a2=2，公差为3的等差数列，所以a2n=a2+(n-1)·3=3n-1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)当n为奇数时，求数列{an}的前n项和Sn. 由an+2-an=3，所以数列a1，a3，…，a2n-1构成首项为1，公差为3的等差数列，得到a2n-1=a1+(n-1)·3=3n-2，设n=2k-1，则S2k-1=(a1+a3+…+a2k-1)+ (a2+a4+…+a2k-2)=(1+4+7+…+3k-2)+(2+5+8+…+3k-4)=+ =3k2-3k+1， 又k=，所以当n为奇数时，Sn=3-3+1=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.某抗洪指挥部接到预报，24小时后有一洪峰到达，为确保安全，指挥部决定在洪峰到来之前临时筑一道堤坝作为第二道防线.经计算，除现有的参战军民连续奋战外，还需调用20台同型号翻斗车，平均每辆车工作24小时.从各地紧急抽调的同型号翻斗车目前只有一辆投入使用，每隔20分钟能有一辆翻斗车到达，一共可调集25辆，那么在24小时内能否构筑成第二道防线？ 从第一辆车投入工作算起各车工作时间(单位：小时)依次设为a1，a2，…，a25. 由题意可知，此数列为等差数列，且a1=24，公差d=-. 25辆翻斗车完成的工作量为a1+a2+…+a25=25×24+25×12×=500，而需要完成的工作量为24×20=480. ∵500>480， ∴在24小时内能构筑成第二道防线. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11.某公司技术部为了激发员工的工作积极性，准备在年终奖的基础上再增设30个“幸运奖”，投票产生“幸运奖”，按照得票数(假设每人的得票数各不相同)排名次，发放的奖金数成等差数列.已知前10名共发放2 000元，前20名共发放3 500元，则前30名共发放 A.4 000元 B.4 500元 C.4 800元 D.5 000元 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 综合运用 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由已知可知等差数列中S10=2 000，S20=3 500， 因为S10，S20-S10，S30-S20成等差数列， 所以2(S20-S10)=S10+(S30-S20)， 所以2×(3 500-2 000)=2 000+(S30-3 500)， 解得S30=4 500. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12.“中国剩余定理”又称“孙子定理”，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二(除以3余2)，五五数之剩三(除以5余3)，七七数之剩二(除以7余2)，问物几何？现有这样一个相关的问题：已知正整数p满足三三数之剩二，将符合条件的所有正整数p按照从小到大的顺序排成一列，构成数列{an}，记数列{an}的前n项和为Sn，则的最小值为 A. B. C.10 D.11 √ 被3除余2的正整数按照从小到大的顺序所构成的数列{an}是一个首项为2，公差为3的等差数列， 所以an=2+3(n-1)=3n-1，Sn==， 所以==++≥2+=， 当且仅当=，即n=2时，等号成立， 所以. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.已知等差数列{an}与{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，且=，则的值为 A. B. C. D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为{an}，{bn}为等差数列，且=， 所以可设Sn=kn(2n+3)，Tn=kn(n+1)， 则a5=S5-S4=65k-44k=21k， b10=T10-T9=110k-90k=20k， 所以=. 14.现有200根相同的钢管，把它们堆成正三角形垛，要使剩余的钢管尽可能少，那么剩余钢管的根数为 A.9　　 B.10 C.19　　　 D.29 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 钢管排列方式是从上到下各层钢管数组成了一个等差数列，最上面一层钢管数为1，逐层增加1个. ∴钢管总数为1+2+3+…+n=. 当n=19时，S19=190. 当n=20时，S20=210>200. ∴当n=19时，剩余钢管根数最少，为10根. 15.已知数列{an}中，a1=1，a2=2，对任意正整数n，an+2-an=2+cos nπ，Sn为{an}的前n项和，则S100=　　　　.  拓广探究 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5 050 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 当n为奇数时，an+2-an=1，即数列{an}的奇数项是以1为首项，1为公差的等差数列； 当n为偶数时，an+2-an=3，即数列{an}的偶数项是以2为首项，3为公差的等差数列， 所以S100=(a1+a3+…+a99)+(a2+a4+…+a100)=+=5 050. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.一列火车自A城驶往B城，沿途有n个车站(包括起点A和终点B)，车上有一节邮政车厢，每停靠一站便要卸下前面各站发往该站的邮袋各一个，同时又要装上该站发往后面各站的邮袋各一个. (1)证明：若列车从第k站出发时，车厢内共有邮袋数为(-k2+nk)个； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设列车从各站出发时，邮政车厢内的邮袋数构成一个数列{an}，则a1=n-1，a2=a1-1+n-2=(n-1)+(n-2)-1， a3=a2-2+n-3=(n-1)+(n-2)+(n-3)-1-2，… 所以ak=(n-1)+(n-2)+(n-3)+…+(n-k)-(1+2+…+k-1) =kn-k(k+1)-k(k-1)=-k2+nk(k∈N*). (2)试判断第几站的车厢内邮袋数最多，最多是多少？ 由ak=-+，得 当n为偶数，k=时，ak的最大值为，当n为奇数，k=时，ak的最大值为. 即若n为偶数，则第个； 若n为奇数，则第个. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 第四章 <<< $$