第4章 4.2.2 第1课时 等差数列的前n项和公式-（课件PPT+Word教案）【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第二册教师用书（人教A版2019）

4.2.2　等差数列的前n项和公式 第1课时　等差数列的前n项和公式 ［学习目标］　1.了解等差数列前n项和公式的推导过程.2.掌握等差数列的前n项和有关计算.3.能利用等差数列前n项和的函数性质解决其前n项和的最值问题.4.会计算含绝对值的前n项和. 导语 同学们，印度有一著名景点——泰姬陵，传说寝陵中有一个三角形图案，以相同大小的圆宝石镶嵌而成，共有100层，你知道这个图案一共用了多少颗宝石吗？大家通过预习可知，聪明的高斯给出了计算方法，这就是我们今天要研究的等差数列求和. 一、等差数列的前n项和有关计算 问题1　请同学们欣赏唐代诗人张南史的《花》并回答下面的问题： 花，　　　　　　 花. 深浅，　　　　　 芬葩. 凝为雪，　　　　 错为霞. 莺和蝶到，　　　 苑占宫遮. 已迷金谷路，　　 频驻玉人车. 芳草欲陵芳树，　 东家半落西家. 愿得春风相伴去， 一攀一折向天涯. 从数学的角度来看，这首诗有什么特点？这首诗的内容一共有多少个字？ 提示　诗中文字有对称性；S=2+4+6+8+10+12+14=2×（1+2+3+4+5+6+7），根据对称性，可先取其一半来研究.其数的个数较少，大家很容易求出答案. 问题2　网络时代与唐代不同的是，宝塔诗的句数不受限制，如图，从第1行到第n行一共有多少个字？ 提示　方法一　对项数分奇数、偶数讨论，认清当项数为奇数时，通过“落单”中间一项或最后一项，转化成项数为偶数来研究.通过计算发现，无论项数是奇数还是偶数，结果都是S=，可见，结果与项数的奇偶无关. 方法二　（如图）在原式的基础上，再加一遍1+2+3+…+n， 即S=1+2+3+…+n， S=n+（n-1）+（n-2）+…+1， 避免了分类讨论，我们把这种求和的方法称为“倒序相加法”，其本质还是配对，将2n个数重新分组配对求和. 问题3　对于一般的等差数列｛an｝，如何求其前n项和Sn？设其首项为a1，公差为d. 提示　倒序相加法 ⇒ 两式相加可得2Sn=n（a1+an），即Sn=，上述过程实际上用到了等差数列性质里面的首末“等距离”的两项的和相等. 知识梳理　 等差数列的前n项和公式 已知量 首项、末项与项数 首项、公差与项数 求和公式 Sn= Sn=na1+d 注意点： （1）公式一反映了等差数列的性质，任意第k项与倒数第k项的和都等于首末两项之和. （2）由公式二知d=0时，Sn=na1；d≠0时，等差数列的前n项和Sn是关于n的没有常数项的“二次函数”. （3）公式里的n表示的是所求等差数列的项数. 例1　在等差数列｛an｝中： （1）已知a6=10，S5=5，求a8和S10； （2）已知a1=4，S8=172，求a8和d. 解　（1） 解得 ∴a8=a6+2d=10+2×3=16， S10=10a1+d=10×（-5）+5×9×3=85. （2）由已知得S8===172， 解得a8=39， 又∵a8=4+（8-1）d=39， ∴d=5. ∴a8=39，d=5. 反思感悟　等差数列中的基本计算 （1）利用基本量求值： 等差数列的通项公式和前n项和公式中有五个量a1，d，n，an和Sn，这五个量可以“知三求二”.一般是利用公式列出基本量a1和d的方程组，解出a1和d，便可解决问题.解题时注意整体代换的思想. （2）结合等差数列的性质解题： 等差数列的常用性质：若m+n=p+q（m，n，p，q∈N*），则am+an=ap+aq，特别地，m+n=2p，2ap=am+an常与求和公式Sn=结合使用. 跟踪训练1　在等差数列｛an｝中： （1）a1=1，a4=7，求S9； （2）a3+a15=40，求S17； （3）a1=，an=-，Sn=-5，求n和d. 解　（1）设等差数列｛an｝的公差为d， 则a4=a1+3d=1+3d=7， 所以d=2. 故S9=9a1+d=9+×2=81. （2）S17== ==340. （3）由题意得，Sn===-5， 解得n=15. 又a15=+（15-1）d=-， 解得d=-， 所以n=15，d=-. 二、利用等差数列前n项和公式判断等差数列 问题4　等差数列前n项和Sn=na1+d是关于n的二次函数吗？它可以写成什么形式？ 提示　当d=0时，Sn不是关于n的二次函数；当d≠0时，Sn是关于n的二次函数.Sn=n2+n. 例2　若数列｛an｝的前n项和Sn=2n2-3n，求数列｛an｝的通项公式，并判断数列｛an｝是否是等差数列，若是，请证明；若不是，请说明理由. 解　当n=1时，a1=S1=-1； 当n≥2时，an=Sn-Sn-1 =2n2-3n-2（n-1）2+3（n-1）=4n-5， 经检验，当n=1时，a1=-1满足上式， 故an=4n-5. 数列｛an｝是等差数列，证明如下： 因为an+1-an=4（n+1）-5-4n+5=4， 所以数列｛an｝是等差数列. 延伸探究　若数列｛an｝的前n项和Sn=2n2-3n-1，求数列｛an｝的通项公式，并判断数列｛an｝是否是等差数列.若是，请证明；若不是，请说明理由. 解　∵Sn=2n2-3n-1， ① 当n=1时，a1=S1=2-3-1=-2； 当n≥2时，Sn-1=2-3-1， ② ①-②得an=Sn-Sn-1 =2n2-3n-1-［2-3-1］ =4n-5， 经检验当n=1时，an=4n-5不成立， 故an= 故数列｛an｝不是等差数列，数列｛an｝是从第二项起以4为公差的等差数列. 反思感悟　由Sn求得通项公式an的特点，若Sn是关于n的二次函数，不含常数项，则由Sn求得an，知数列｛an｝是等差数列；否则an=数列｛an｝不是等差数列. 跟踪训练2　已知数列｛an｝的前n项和为Sn=n2+n-1，求数列｛an｝的通项公式，并判断它是不是等差数列. 解　当n=1时，a1=S1=1； 当n≥2时，an=Sn-Sn-1 =（n2+n-1）-［（n-1）2+（n-1）-1］=2n. 又a1=1不满足an=2n， ∴数列｛an｝的通项公式是 an= ∵a2-a1=4-1=3≠a3-a2=2， ∴数列｛an｝中前两项的差与第二、三项的差不是同一个常数， ∴｛an｝不是等差数列，数列｛an｝是从第二项起以2为公差的等差数列. 三、等差数列中前n项和的最值问题 问题5　根据前面所学，等差数列的前n项和公式有什么样的函数特点？ 提示　由Sn=na1+d，可知Sn=n2+n，当d≠0时，Sn是常数项为0的二次函数.该函数的定义域是n∈N*，公差的符号决定了该二次函数的开口方向，通常简记为Sn=An2+Bn（A，B∈R）. 知识梳理 等差数列前n项和的最值 （1）在等差数列｛an｝中， 当a1>0，d<0时，Sn有最大值，使Sn取得最值的n可由不等式组确定； 当a1<0，d>0时，Sn有最小值，使Sn取得最值的n可由不等式组确定. （2）Sn=n2+n，若d≠0，则从二次函数的角度看：当d>0时，Sn有最小值；当d<0时，Sn有最大值.当n取最接近对称轴的正整数时，Sn取到最值. 注意点： （1）当a1>0，d>0时Sn有最小值S1，当a1<0，d<0时Sn有最大值S1. （2）Sn取得最大值或最小值时的n不一定唯一. 例3　在等差数列｛an｝中，a1=25，S8=S18，求前n项和Sn的最大值. 解　方法一　因为S8=S18，a1=25， 所以8×25+d=18×25+d， 解得d=-2. 所以Sn=25n+×（-2）=-n2+26n =-（n-13）2+169. 所以当n=13时，Sn有最大值为169. 方法二　同方法一，求出公差d=-2. 所以an=25+（n-1）×（-2）=-2n+27. 因为a1=25>0， 由得 又因为n∈N*， 所以当n=13时，Sn有最大值为169. 方法三　因为S8=S18， 所以a9+a10+…+a18=0. 由等差数列的性质得a13+a14=0. 因为a1>0，所以d<0. 所以a13>0，a14<0. 所以当n=13时，Sn有最大值. 由a13+a14=0，得a1+12d+a1+13d=0， 解得d=-2， 所以S13=13×25+×（-2）=169， 所以Sn的最大值为169. 方法四　设Sn=An2+Bn. 因为S8=S18，a1=25， 所以二次函数图象的对称轴为n==13，且开口方向向下， 所以当n=13时，Sn取得最大值. 由题意得 解得 所以Sn=-n2+26n， 所以S13=169， 即Sn的最大值为169. 反思感悟　求等差数列前n项和Sn最值的方法 （1）寻找正、负项的分界点，可利用等差数列性质或利用或来寻找； （2）运用二次函数求最值，注意n∈N*. 跟踪训练3　（多选）设数列是以d为公差的等差数列，Sn是其前n项和，a1>0，且S6=S9，则下列结论正确的是（　　） A.d<0 B.a8=0 C.S5>S6 D.S7和S8为Sn的最大值 答案　ABD 解析　根据题意可得6a1+d=9a1+d，即a1+7d=a8=0.因为a1>0，a8=0，所以d<0，所以数列是递减数列，故A，B正确； 对于C，因为a8=0，d<0，所以a6>0，所以S5<S6，故C不正确； 对于D，因为a8=0，所以S7=S8，又为递减数列，所以S7和S8为Sn的最大值，故D正确. 四、求数列｛|an|｝的前n项和 例4　已知数列｛an｝的前n项和Sn=-n2+n，求数列｛|an|｝的前n项和Tn. 解　a1=S1=-×12+×1=101. 当n≥2时，an=Sn-Sn-1=-=-3n+104. ∵n=1也适合上式， ∴数列｛an｝的通项公式为an=-3n+104. 由an=-3n+104≥0得n≤34， 即当n≤34时，an>0；当n≥35时，an<0. 方法一　①当n≤34时， Tn=|a1|+|a2|+…+|an|=a1+a2+…+an=Sn=-n2+n； ②当n≥35时， Tn=|a1|+|a2|+…+|a34|+|a35|+…+|an|=（a1+a2+…+a34）-（a35+a36+…+an） =2（a1+a2+…+a34）-（a1+a2+…+an）=2S34-Sn=2- =n2-n+3 502. 故Tn= 方法二　①同方法一. ②当n≥35时， Tn=|a1|+|a2|+…+|an| =（a1+a2+…+a34）-（a35+a36+…+an） =- =n2-n+3 502， 故Tn= 反思感悟　由等差数列｛an｝求数列｛|an|｝的前n项和的技巧 常先由Sn的最值判断出哪些项为正，哪些项为负或先求出an，解得an≥0时n的取值范围，判断出哪些项为正，哪些项为负. （1）等差数列｛an｝的各项都为非负数，这种情形中数列｛|an|｝就等于数列｛an｝，可以直接求解. （2）若前k项为负，从k+1项开始以后的项非负，则｛|an|｝的前n项和Tn= （3）若前k项为正，从k+1项开始以后的项非正，则Tn= （4）分别求出an≥0与an<0时的和，再相减求出|an|的前n项和. 跟踪训练4　已知数列｛an｝的通项公式是an=4n-25，求数列｛|an|｝的前n项和Sn. 解　∵an=4n-25， ∴an+1=4（n+1）-25，an+1-an=4， a1=4×1-25=-21， ∴数列｛an｝是以-21为首项，4为公差的等差数列. 由an≥0，得4n-25≥0，即n≥6， ∴数列｛an｝中前6项均小于零，从第7项起均大于零， ∴当n≤6时，|a1|+|a2|+…+|an| =-（a1+a2+…+an） =-=-2n2+23n. 当n≥7时，|a1|+|a2|+…+|an|=-（a1+a2+…+a6）+（a7+a8+…+an） =（a1+a2+…+an）-2（a1+a2+…+a6） =-21n+×4-2× =2n2-23n+132. 故数列｛|an|｝的前n项和 Sn= 1.知识清单： （1）等差数列前n项和的有关计算. （2）利用等差数列前n项和公式判断等差数列. （3）等差数列中前n项和的最值问题. （4）含绝对值的前n项和. 2.方法归纳：倒序相加法、公式法、整体代换法、函数法. 3.常见误区：由Sn求通项公式时忽略对n=1的讨论. 1.已知数列｛an｝的通项公式为an=2-3n，n∈N*，则｛an｝的前n项和Sn等于（　　） A.-n2+ B.-n2- C.n2+ D.n2- 答案　A 解析　∵an=2-3n，∴a1=2-3=-1， ∴Sn==-n2+. 2.设等差数列｛an｝的前n项和为Sn，若a5，a25是方程x2-4x+3=0的两根，则S29等于（　　） A.60 B.116 C.29 D.58 答案　D 解析　因为a5，a25是方程x2-4x+3=0的两根，故可得a5+a25=4；又因为｛an｝是等差数列，故S29===58. 3.已知数列｛an｝满足an=26-2n，则使其前n项和Sn取最大值的n的值为（　　） A.11或12 B.12 C.13 D.12或13 答案　D 解析　方法一　令an=26-2n≥0， ∴1≤n≤13， ∴当1≤n<13时，an>0， 当n=13时，an=0， 当n≥14时，an<0， ∴当n=12或n=13时， Sn最大. 方法二　∵an=26-2n， ∴an-an-1=-2（n≥2，n∈N*）， ∴数列｛an｝为等差数列. 又a1=24，d=-2， ∴Sn=24n+×（-2）=-n2+25n =-+. ∵n∈N*， ∴当n=12或n=13时，Sn最大. 4.数列｛an｝的前n项和Sn=-n2+n，则它的通项公式an=　　　　.  答案　-2n+2 解析　当n=1时，a1=S1=-1+1=0； 当n≥2且n∈N*时，an=Sn-Sn-1=-［-+］=-2n+2，经检验，n=1也适合该式.故an=-2n+2. 课时对点练　［分值：100分］ 单选题每小题5分，共35分；多选题每小题6分，共12分 1.在等差数列｛an｝中，已知a1=10，d=2，Sn=580，则n等于（　　） A.10 B.15 C.20 D.30 答案　C 解析　因为Sn=na1+n（n-1）d =10n+n（n-1）×2=n2+9n， 所以n2+9n=580， 解得n=20或n=-29（舍去）. 2.（2024·全国甲卷）设Sn为等差数列｛an｝的前n项和，已知S5=S10，a5=1，则a1等于（　　） A. B. C. D. 答案　B 解析　由S10-S5=a6+a7+a8+a9+a10=5a8=0，则a8=0， 则等差数列｛an｝的公差d==-， 故a1=a5-4d=1-4×=. 3.等差数列｛an｝的公差为正数，记前n项和为Sn，若a3=5，S9=a4a5，则（　　） A.an=3n B.an=2n-1 C.an=4n-7 D.an=8n-19 答案　C 解析　设等差数列｛an｝的公差为d，则d>0，所以a5>a3>0， S9==9a5=a4a5， 所以a4=9，则d=a4-a3=4， 故an=a3+d=5+4=4n-7. 4.在等差数列｛an｝中，Sn是其前n项和，且S2 017=S2 024，Sk=S2 014，则正整数k为（　　） A.2 024 B.2 025 C.2 026 D.2 027 答案　D 解析　因为等差数列｛an｝的前n项和Sn是关于n的二次函数，所以由二次函数的对称性及S2 017=S2 024，Sk=S2 014，可得=，解得k=2 027. 5.设等差数列｛an｝的前n项和为Sn，若a1=-11，a4+a6=-6，则Sn的最小值等于（　　） A.-32 B.-35 C.-36 D.-38 答案　C 解析　设等差数列｛an｝的公差为d， 因为a1=-11，所以a4+a6=2a1+8d=-22+8d=-6， 解得d=2. 因此Sn=na1+×d=-11n+n（n-1）=n2-12n=（n-6）2-36， 故当n=6时，Sn取得最小值-36. 6.（多选）已知等差数列｛an｝的前n项和为Sn，若S23>0，S24<0，则下列结论正确的是（　　） A.数列｛an｝是递增数列 B.a13>0 C.当Sn取得最大值时，n=12 D.|a13|>|a12| 答案　CD 解析　设｛an｝的公差为d， S23===23a12>0，故a12>0， S24===12（a12+a13）<0，故a12+a13<0， 所以a13<0，且|a13|>|a12|，d=a13-a12<0，即｛an｝是递减数列，A，B错误，D正确. 由于｛an｝是递减数列，a12>0，a13<0，故当Sn取得最大值时，n=12，C正确. 7.（2024·新课标全国Ⅱ）（5分）记Sn为等差数列｛an｝的前n项和，若a3+a4=7，3a2+a5=5，则S10=　　　　.  答案　95 解析　设数列｛an｝的公差为d， 则由题意得 解得 则S10=10a1+d=10×（-4）+45×3=95. 8.（5分）数列｛an｝为等差数列，它的前n项和为Sn，若Sn=（n+1）2+λ，则λ的值是　　　　.  答案　-1 解析　等差数列前n项和Sn的形式为Sn=an2+bn，∴λ=-1. 9.（10分）设等差数列｛an｝的前n项和为Sn，S4=-16，S6=-12. （1）求｛an｝的通项公式an；（4分） （2）求数列｛|an|｝的前n项和Tn.（6分） 解　（1）设等差数列｛an｝的首项和公差分别为a1和d， ∴即 解得 ∴an=-7+（n-1）×2=2n-9，n∈N*. （2）由（1）知Sn=（-7）n+n（n-1）×2=n2-8n. 当an≥0时⇒2n-9≥0⇒n≥5； 当an<0时⇒2n-9<0⇒n≤4， 当0<n≤4，n∈N*时， Tn=|a1|+|a2|+…+|an|=-（a1+a2+…+an）=8n-n2， 当n≥5时， Tn=-（a1+a2+a3+a4）+（a5+…+an） =Sn-2S4=n2-8n-2×（-16） =n2-8n+32. 综上，Tn= 10.（11分）已知数列｛an｝的前n项和Sn是n的二次函数，且a1=-2，a2=2，a3=6. （1）求Sn的表达式；（5分） （2）判断｛an｝是否为等差数列，并说明理由.（6分） 解　（1）设Sn=an2+bn+c（a≠0）. ∵a1=-2，a2=2，a3=6， ∴解得 ∴Sn=2n2-4n. （2）｛an｝是等差数列，理由如下： 方法一　∵等差数列的前n项和Sn=na1+d=n2+n， 当d≠0时，其是不含常数项的二次函数， ∴Sn=2n2-4n符合等差数列前n项和的形式， ∴｛an｝是等差数列. 方法二　当n=1时，∵a1=S1=2-4=-2， 当n≥2时，an=Sn-Sn-1=2n2-4n-［2（n-1）2-4（n-1）］=4n-6； 当n=1时，a1=-2，当n=2时，a2=2，当n=3时，a3=6， ∴an=4n-6（n∈N*），∴｛an｝是等差数列. 11.已知等差数列｛an｝的前n项和为Sn，a1=1，若am+1+am+am-1=18，且Sm=28，则m的值为（　　） A.7 B.8 C.14 D.16 答案　B 解析　∵在等差数列｛an｝中，am+1+am+am-1=18，∴3am=18，∴am=6， ∵a1=1，Sm=28， ∴28=，∴m=8. 12.已知数列｛an｝的前三项依次为-1，1，3，且前n项和Sn是关于n的不含常数项的二次函数，则a100等于（　　） A.197 B.199 C.207 D.203 答案　A 解析　因为数列｛an｝的前n项和Sn是关于n的不含常数项的二次函数， 所以数列｛an｝是等差数列. 又因为数列｛an｝的前三项依次为-1，1，3， 所以等差数列｛an｝的首项为-1，公差为2， 所以等差数列｛an｝的通项公式为an=2n-3（n∈N*）， 所以a100=197. 13.（5分）设数列｛an｝的前n项和为Sn，点（n∈N*）均在函数y=3x-2的图象上，则数列｛an｝的通项公式an=　　　　.  答案　6n-5（n∈N*） 解析　依题意得=3n-2，即Sn=3n2-2n，所以数列｛an｝为等差数列，且a1=S1=1，a2=S2-S1=7，设其公差为d，则d=6， 所以an=6n-5（n∈N*）. 14.（5分）已知等差数列｛an｝满足a2 024+a2 025<0，a2 024·a2 025<0，且数列｛an｝的前n项和Sn有最大值，则当Sn取最小正值时，n等于　　　　　　.  答案　4 047 解析　因为数列｛an｝的前n项和Sn有最大值，所以数列｛an｝是递减的等差数列. 又a2 024+a2 025<0，a2 024·a2 025<0， 所以a2 024>0>a2 025， 即数列的前2 024项为正数，从第2 025项开始为负数，由等差数列求和公式和性质可知， S4 047=（a1+a4047）=4 047a2 024>0， S4 048=（a1+a4 048）=2 024（a2 024+a2 025）<0， 所以当Sn取最小正值时，n=4 047. 15.（多选）已知Sn是等差数列｛an｝的前n项和，则下列选项中可能是Sn所对应函数的图象的是（　　） 答案　ABC 解析　因为Sn是等差数列｛an｝的前n项和，所以Sn=an2+bn（a，b为常数，n∈N*），则其对应函数为y=ax2+bx.当a=0时，该函数的图象是过原点的直线上一些孤立的点，如选项C；当a≠0时，该函数的图象是过原点的抛物线上一些孤立的点，如选项A，B；选项D中的曲线不过原点，不符合题意. 16.（12分）已知等差数列｛an｝的公差d>0，前n项和为Sn，且a2a3=45，S4=28. （1）求数列｛an｝的通项公式；（5分） （2）若bn=（c为非零常数），且数列｛bn｝也是等差数列，求c的值.（7分） 解　（1）∵S4=28，∴=28，a1+a4=14， ∴a2+a3=14，又a2a3=45，公差d>0， ∴a2<a3，∴a2=5，a3=9， ∴解得 ∴an=4n-3，n∈N*. （2）由（1）知Sn=2n2-n， ∴bn==， ∴b1=，b2=，b3=. 又｛bn｝也是等差数列， ∴b1+b3=2b2， 即2×=+， 解得c=-（c=0舍去）. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第1课时 第四章 <<< 等差数列的前n项和公式 1.了解等差数列前n项和公式的推导过程. 2.掌握等差数列的前n项和有关计算. 3.能利用等差数列前n项和的函数性质解决其前n项和的最值问题. 4.会计算含绝对值的前n项和. 学习目标 同学们，印度有一著名景点——泰姬陵，传说寝陵中有一个三角形图案，以相同大小的圆宝石镶嵌而成，共有100层，你知道这个图案一共用了多少颗宝石吗？大家通过预习可知，聪明的高斯给出了计算方法，这就是我们今天要研究的等差数列求和. 导 语 一、等差数列的前n项和有关计算 二、利用等差数列前n项和公式判断等差数列 课时对点练 三、等差数列中前n项和的最值问题 随堂演练 内容索引 四、求数列{|an|}的前n项和 一 等差数列的前n项和有关计算 请同学们欣赏唐代诗人张南史的《花》并回答下面的问题： 花，　　　　　　 花. 深浅，　　　　　 芬葩. 凝为雪，　　　　 错为霞. 莺和蝶到，　　　 苑占宫遮. 已迷金谷路，　　 频驻玉人车. 芳草欲陵芳树，　 东家半落西家. 愿得春风相伴去， 一攀一折向天涯. 从数学的角度来看，这首诗有什么特点？这首诗的内容一共有多少个字？ 问题1 提示　诗中文字有对称性；S=2+4+6+8+10+12+14=2×(1+2+3+4+5+6+7)，根据对称性，可先取其一半来研究.其数的个数较少，大家很容易求出答案. 网络时代与唐代不同的是，宝塔诗的句数不受限制，如图，从第1行到第n行一共有多少个字？ 问题2 提示　方法一　对项数分奇数、偶数讨论，认清当项数为奇数时，通过“落单”中间一项或最后一项，转化成项数为偶数来研究.通过计算发现，无论项数是奇数还是偶数，结果都是S=，可见，结果与项数的奇偶无关. 方法二　(如图)在原式的基础上，再加一遍1+2+3+…+n， 即S=1+2+3+…+n， S=n+(n-1)+(n-2)+…+1， 避免了分类讨论，我们把这种求和的方法称为“倒序相加法”，其本质还是配对，将2n个数重新分组配对求和. 对于一般的等差数列{an}，如何求其前n项和Sn？设其首项为a1，公差为d. 问题3 提示　倒序相加法 ⇒ 两式相加可得2Sn=n(a1+an)，即Sn=，上述过程实际上用到了等差数列性质里面的首末“等距离”的两项的和相等. 等差数列的前n项和公式 已知量 首项、末项与项数 首项、公差与项数 求和公式 Sn=________ Sn=____________ na1+d 知识梳理 (1)公式一反映了等差数列的性质，任意第k项与倒数第k项的和都等于首末两项之和. (2)由公式二知d=0时，Sn=na1；d≠0时，等差数列的前n项和Sn是关于n的没有常数项的“二次函数”. (3)公式里的n表示的是所求等差数列的项数. 注 意 点 <<< 12 在等差数列{an}中： (1)已知a6=10，S5=5，求a8和S10； 例 1 解得 ∴a8=a6+2d=10+2×3=16， S10=10a1+d=10×(-5)+5×9×3=85. 13 (2)已知a1=4，S8=172，求a8和d. 由已知得S8===172， 解得a8=39， 又∵a8=4+(8-1)d=39， ∴d=5. ∴a8=39，d=5. 14 等差数列中的基本计算 (1)利用基本量求值： 等差数列的通项公式和前n项和公式中有五个量a1，d，n，an和Sn，这五个量可以“知三求二”.一般是利用公式列出基本量a1和d的方程组，解出a1和d，便可解决问题.解题时注意整体代换的思想. 反 思 感 悟 15 (2)结合等差数列的性质解题： 等差数列的常用性质：若m+n=p+q(m，n，p，q∈N*)，则am+an=ap+aq，特别地，m+n=2p，2ap=am+an常与求和公式Sn=结合使用. 反 思 感 悟 16 在等差数列{an}中： (1)a1=1，a4=7，求S9； 跟踪训练 1 设等差数列{an}的公差为d， 则a4=a1+3d=1+3d=7， 所以d=2. 故S9=9a1+d=9+×2=81. 17 (2)a3+a15=40，求S17； S17== ==340. 18 (3)a1=，an=-，Sn=-5，求n和d. 由题意得，Sn===-5， 解得n=15. 又a15=+(15-1)d=-， 解得d=-， 所以n=15，d=-. 19 二 利用等差数列前n项和公式判断等差数列 等差数列前n项和Sn=na1+d是关于n的二次函数吗？它可以写成什么形式？ 问题4 提示　当d=0时，Sn不是关于n的二次函数； 当d≠0时，Sn是关于n的二次函数. Sn=n2+n. 若数列{an}的前n项和Sn=2n2-3n，求数列{an}的通项公式，并判断数列{an}是否是等差数列，若是，请证明；若不是，请说明理由. 例 2 当n=1时，a1=S1=-1； 当n≥2时，an=Sn-Sn-1=2n2-3n-2(n-1)2+3(n-1)=4n-5， 经检验，当n=1时，a1=-1满足上式， 故an=4n-5. 数列{an}是等差数列，证明如下： 因为an+1-an=4(n+1)-5-4n+5=4， 所以数列{an}是等差数列. 22 若数列{an}的前n项和Sn=2n2-3n-1，求数列{an}的通项公式，并判断数列{an}是否是等差数列.若是，请证明；若不是，请说明理由. 延伸探究 ∵Sn=2n2-3n-1， ① 当n=1时，a1=S1=2-3-1=-2； 当n≥2时，Sn-1=2-3-1， ② ①-②得an=Sn-Sn-1=2n2-3n-1-[2-3-1]=4n-5， 经检验当n=1时，an=4n-5不成立， 故an= 故数列{an}不是等差数列，数列{an}是从第二项起以4为公差的等差数列. 反 思 感 悟 由Sn求得通项公式an的特点，若Sn是关于n的二次函数，不含常数项，则由Sn求得an，知数列{an}是等差数列；否则an=数列{an}不是等差数列. 已知数列{an}的前n项和为Sn=n2+n-1，求数列{an}的通项公式，并判断它是不是等差数列. 跟踪训练 2 26 当n=1时，a1=S1=1； 当n≥2时，an=Sn-Sn-1=(n2+n-1)-[(n-1)2+(n-1)-1]=2n. 又a1=1不满足an=2n， ∴数列{an}的通项公式是an= ∵a2-a1=4-1=3≠a3-a2=2， ∴数列{an}中前两项的差与第二、三项的差不是同一个常数， ∴{an}不是等差数列，数列{an}是从第二项起以2为公差的等差数列. 27 三 等差数列中前n项和的最值问题 根据前面所学，等差数列的前n项和公式有什么样的函数特点？ 问题5 提示　由Sn=na1+d，可知Sn=n2+n，当d≠0时，Sn是常数项为0的二次函数. 该函数的定义域是n∈N*，公差的符号决定了该二次函数的开口方向，通常简记为Sn=An2+Bn(A，B∈R). 等差数列前n项和的最值 (1)在等差数列{an}中， 当a1>0，d<0时，Sn有最 值，使Sn取得最值的n可由不等式组__________ 确定； 当a1<0，d>0时，Sn有最 值，使Sn取得最值的n可由不等式组_________ 确定. 大 小 知识梳理 (2)Sn=n2+n，若d≠0，则从二次函数的角度看：当d>0时，Sn有最 值；当d<0时，Sn有最 值.当n取最接近对称轴的正整数时，Sn取到最值. 小 大 (1)当a1>0，d>0时Sn有最小值S1，当a1<0，d<0时Sn有最大值S1. (2)Sn取得最大值或最小值时的n不一定唯一. 注 意 点 <<< 在等差数列{an}中，a1=25，S8=S18，求前n项和Sn的最大值. 例 3 方法一　因为S8=S18，a1=25， 所以8×25+d=18×25+d， 解得d=-2. 所以Sn=25n+×(-2)=-n2+26n =-(n-13)2+169. 所以当n=13时，Sn有最大值为169. 方法二　同方法一，求出公差d=-2. 所以an=25+(n-1)×(-2)=-2n+27. 因为a1=25>0， 由 又因为n∈N*， 所以当n=13时，Sn有最大值为169. 方法三　因为S8=S18， 所以a9+a10+…+a18=0. 由等差数列的性质得a13+a14=0. 因为a1>0，所以d<0. 所以a13>0，a14<0. 所以当n=13时，Sn有最大值. 由a13+a14=0，得a1+12d+a1+13d=0， 解得d=-2， 所以S13=13×25+×(-2)=169， 所以Sn的最大值为169. 方法四　设Sn=An2+Bn. 因为S8=S18，a1=25， 所以二次函数图象的对称轴为n==13，且开口方向向下， 所以当n=13时，Sn取得最大值. 由题意得解得 所以Sn=-n2+26n， 所以S13=169， 即Sn的最大值为169. 反 思 感 悟 求等差数列前n项和Sn最值的方法 (1)寻找正、负项的分界点，可利用等差数列性质或利用或来寻找； (2)运用二次函数求最值，注意n∈N*. (多选)设数列是以d为公差的等差数列，Sn是其前n项和，a1>0，且S6=S9，则下列结论正确的是 A.d<0 B.a8=0 C.S5>S6 D.S7和S8为Sn的最大值 跟踪训练 3 √ √ √ 根据题意可得6a1+d=9a1+d，即a1+7d=a8=0. 因为a1>0，a8=0，所以d<0，所以数列是递减数列，故A，B正确； 对于C，因为a8=0，d<0，所以a6>0，所以S5<S6，故C不正确； 对于D，因为a8=0，所以S7=S8，又为递减数列，所以S7和S8为Sn的最大值，故D正确. 四 求数列{|an|}的前n项和 已知数列{an}的前n项和Sn=-n2+n，求数列{|an|}的前n项和Tn. 例 4 a1=S1=-×12+×1=101. 当n≥2时，an=Sn-Sn-1=-=-3n +104. ∵n=1也适合上式， ∴数列{an}的通项公式为an=-3n+104. 由an=-3n+104≥0得n≤34， 即当n≤34时，an>0；当n≥35时，an<0. 方法一　①当n≤34时，Tn=|a1|+|a2|+…+|an|=a1+a2+…+an=Sn=-n2+n； ②当n≥35时， Tn=|a1|+|a2|+…+|a34|+|a35|+…+|an|=(a1+a2+…+a34)-(a35+a36+…+an) =2(a1+a2+…+a34)-(a1+a2+…+an)=2S34-Sn=2- =n2-n+3 502. 故Tn= 方法二　①同方法一. ②当n≥35时， Tn=|a1|+|a2|+…+|an|=(a1+a2+…+a34)-(a35+a36+…+an) =- =n2-n+3 502， 故Tn= 反 思 感 悟 由等差数列{an}求数列{|an|}的前n项和的技巧 常先由Sn的最值判断出哪些项为正，哪些项为负或先求出an，解得an≥0时n的取值范围，判断出哪些项为正，哪些项为负. (1)等差数列{an}的各项都为非负数，这种情形中数列{|an|}就等于数列{an}，可以直接求解. (2)若前k项为负，从k+1项开始以后的项非负，则{|an|}的前n项和Tn= 反 思 感 悟 (3)若前k项为正，从k+1项开始以后的项非正，则 Tn= (4)分别求出an≥0与an<0时的和，再相减求出|an|的前n项和. 已知数列{an}的通项公式是an=4n-25，求数列{|an|}的前n项和Sn. 跟踪训练 4 ∵an=4n-25， ∴an+1=4(n+1)-25，an+1-an=4， a1=4×1-25=-21， ∴数列{an}是以-21为首项，4为公差的等差数列. 由an≥0，得4n-25≥0，即n≥6， ∴数列{an}中前6项均小于零，从第7项起均大于零， ∴当n≤6时，|a1|+|a2|+…+|an|=-(a1+a2+…+an) =-=-2n2+23n. 当n≥7时，|a1|+|a2|+…+|an|=-(a1+a2+…+a6)+(a7+a8+…+an) =(a1+a2+…+an)-2(a1+a2+…+a6) =-21n+×4-2× =2n2-23n+132. 故数列{|an|}的前n项和 Sn= 1.知识清单： (1)等差数列前n项和的有关计算. (2)利用等差数列前n项和公式判断等差数列. (3)等差数列中前n项和的最值问题. (4)含绝对值的前n项和. 2.方法归纳：倒序相加法、公式法、整体代换法、函数法. 3.常见误区：由Sn求通项公式时忽略对n=1的讨论. 课堂小结 随堂演练 五 1 2 3 4 1.已知数列{an}的通项公式为an=2-3n，n∈N*，则{an}的前n项和Sn等于 A.-n2+ B.-n2- C.n2+ D.n2- √ ∵an=2-3n，∴a1=2-3=-1， ∴Sn==-n2+. 2.设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a5，a25是方程x2-4x+3=0的两根，则S29等于 A.60　　　B.116　　　C.29　　　D.58 1 2 3 4 因为a5，a25是方程x2-4x+3=0的两根，故可得a5+a25=4； 又因为{an}是等差数列，故S29===58. √ 1 2 3 4 3.已知数列{an}满足an=26-2n，则使其前n项和Sn取最大值的n的值为 A.11或12 B.12 C.13 D.12或13 √ 1 2 3 4 方法一　令an=26-2n≥0， ∴1≤n≤13， ∴当1≤n<13时，an>0， 当n=13时，an=0， 当n≥14时，an<0， ∴当n=12或n=13时， Sn最大. 1 2 3 4 方法二　∵an=26-2n， ∴an-an-1=-2(n≥2，n∈N*)， ∴数列{an}为等差数列. 又a1=24，d=-2， ∴Sn=24n+×(-2)=-n2+25n=-+. ∵n∈N*， ∴当n=12或n=13时，Sn最大. 1 2 3 4 4.数列{an}的前n项和Sn=-n2+n，则它的通项公式an=　　　　　　　.  -2n+2(n∈N*) 当n=1时，a1=S1=-1+1=0； 当n≥2且n∈N*时，an=Sn-Sn-1=-[-+]=-2n+2，经检验，n=1也适合该式. 故an=-2n+2(n∈N*). 课时对点练 六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 1.在等差数列{an}中，已知a1=10，d=2，Sn=580，则n等于 A.10　　　B.15　　　C.20　　　D.30 √ 因为Sn=na1+n(n-1)d=10n+n(n-1)×2=n2+9n， 所以n2+9n=580， 解得n=20或n=-29(舍去). 2.(2024·全国甲卷)设Sn为等差数列{an}的前n项和，已知S5=S10，a5=1，则a1等于 A.　　　B.　　　C.　　　D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 由S10-S5=a6+a7+a8+a9+a10=5a8=0，则a8=0， 则等差数列{an}的公差d==-， 故a1=a5-4d=1-4×=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.等差数列{an}的公差为正数，记前n项和为Sn，若a3=5，S9=a4a5，则 A.an=3n B.an=2n-1 C.an=4n-7 D.an=8n-19 √ 设等差数列{an}的公差为d，则d>0，所以a5>a3>0， S9==9a5=a4a5， 所以a4=9，则d=a4-a3=4， 故an=a3+d=5+4=4n-7. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.在等差数列{an}中，Sn是其前n项和，且S2 017=S2 024，Sk=S2 014，则正整数k为 A.2 024 B.2 025 C.2 026 D.2 027 √ 因为等差数列{an}的前n项和Sn是关于n的二次函数，所以由二次函数的对称性及S2 017=S2 024，Sk=S2 014， 可得=，解得k=2 027. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1=-11，a4+a6=-6，则Sn的最小值等于 A.-32　　　B.-35　　　C.-36　　　D.-38 √ 设等差数列{an}的公差为d， 因为a1=-11，所以a4+a6=2a1+8d=-22+8d=-6， 解得d=2. 因此Sn=na1+×d=-11n+n(n-1)=n2-12n=(n-6)2-36， 故当n=6时，Sn取得最小值-36. 6.(多选)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S23>0，S24<0，则下列结论正确的是 A.数列{an}是递增数列 B.a13>0 C.当Sn取得最大值时，n=12 D.|a13|>|a12| √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 设{an}的公差为d， S23===23a12>0，故a12>0， S24===12(a12+a13)<0，故a12+a13<0， 所以a13<0，且|a13|>|a12|，d=a13-a12<0，即{an}是递减数列，A，B错误，D正确. 由于{an}是递减数列，a12>0，a13<0，故当Sn取得最大值时，n=12，C正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.(2024·新课标全国Ⅱ)记Sn为等差数列{an}的前n项和，若a3+a4=7，3a2+a5=5，则S10=　　　.  设数列{an}的公差为d， 则由题意得 解得 则S10=10a1+d=10×(-4)+45×3=95. 95 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.数列{an}为等差数列，它的前n项和为Sn，若Sn=(n+1)2+λ，则λ的值是　　　.  -1 等差数列前n项和Sn的形式为Sn=an2+bn，∴λ=-1. 9.设等差数列{an}的前n项和为Sn，S4=-16，S6=-12. (1)求{an}的通项公式an； 设等差数列{an}的首项和公差分别为a1和d， ∴ 解得 ∴an=-7+(n-1)×2=2n-9，n∈N*. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)求数列{|an|}的前n项和Tn. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由(1)知Sn=(-7)n+n(n-1)×2=n2-8n. 当an≥0时⇒2n-9≥0⇒n≥5； 当an<0时⇒2n-9<0⇒n≤4， 当0<n≤4，n∈N*时， Tn=|a1|+|a2|+…+|an|=-(a1+a2+…+an)=8n-n2， 当n≥5时， Tn=-(a1+a2+a3+a4)+(a5+…+an) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 =Sn-2S4=n2-8n-2×(-16) =n2-8n+32. 综上，Tn= 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.已知数列{an}的前n项和Sn是n的二次函数，且a1=-2，a2=2，a3=6. (1)求Sn的表达式； 设Sn=an2+bn+c(a≠0). ∵a1=-2，a2=2，a3=6， ∴ ∴Sn=2n2-4n. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)判断{an}是否为等差数列，并说明理由. {an}是等差数列，理由如下： 方法一　∵等差数列的前n项和Sn=na1+d=n2+n， 当d≠0时，其是不含常数项的二次函数， ∴Sn=2n2-4n符合等差数列前n项和的形式，∴{an}是等差数列. 方法二　当n=1时，∵a1=S1=2-4=-2， 当n≥2时，an=Sn-Sn-1=2n2-4n-[2(n-1)2-4(n-1)]=4n-6； 当n=1时，a1=-2，当n=2时，a2=2，当n=3时，a3=6， ∴an=4n-6(n∈N*)，∴{an}是等差数列. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，若am+1+am+am-1=18，且Sm=28，则m的值为 A.7　　　B.8　　　C.14　　　D.16 综合运用 √ ∵在等差数列{an}中，am+1+am+am-1=18，∴3am=18，∴am=6， ∵a1=1，Sm=28， ∴28=，∴m=8. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12.已知数列{an}的前三项依次为-1，1，3，且前n项和Sn是关于n的不含常数项的二次函数，则a100等于 A.197 B.199 C.207 D.203 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为数列{an}的前n项和Sn是关于n的不含常数项的二次函数， 所以数列{an}是等差数列. 又因为数列{an}的前三项依次为-1，1，3， 所以等差数列{an}的首项为-1，公差为2， 所以等差数列{an}的通项公式为an=2n-3(n∈N*)， 所以a100=197. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.设数列{an}的前n项和为Sn，点(n∈N*)均在函数y=3x-2的图象上，则数列{an}的通项公式an=　　　　　　　.  依题意得=3n-2，即Sn=3n2-2n，所以数列{an}为等差数列，且a1=S1=1，a2=S2-S1=7，设其公差为d，则d=6， 所以an=6n-5(n∈N*). 6n-5(n∈N*) 14.已知等差数列{an}满足a2 024+a2 025<0，a2 024·a2 025<0，且数列{an}的前n项和Sn有最大值，则当Sn取最小正值时，n等于　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4 047 因为数列{an}的前n项和Sn有最大值，所以数列{an}是递减的等差数列. 又a2 024+a2 025<0，a2 024·a2 025<0， 所以a2 024>0>a2 025， 即数列的前2 024项为正数，从第2 025项开始为负数，由等差数列求和公式和性质可知， S4 047=(a1+a4047)=4 047a2 024>0， S4 048=(a1+a4 048)=2 024(a2 024+a2 025)<0， 所以当Sn取最小正值时，n=4 047. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15.(多选)已知Sn是等差数列{an}的前n项和，则下列选项中可能是Sn所对应函数的图象的是 拓广探究 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为Sn是等差数列{an}的前n项和，所以Sn=an2+bn(a，b为常数，n∈N*)，则其对应函数为y=ax2+bx. 当a=0时，该函数的图象是过原点的直线上一些孤立的点，如选项C； 当a≠0时，该函数的图象是过原点的抛物线上一些孤立的点，如选项A，B； 选项D中的曲线不过原点，不符合题意. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.已知等差数列{an}的公差d>0，前n项和为Sn，且a2a3=45，S4=28. (1)求数列{an}的通项公式； ∵S4=28，∴=28，a1+a4=14， ∴a2+a3=14，又a2a3=45，公差d>0， ∴a2<a3，∴a2=5，a3=9， ∴ ∴an=4n-3，n∈N*. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)若bn=(c为非零常数)，且数列{bn}也是等差数列，求c的值. 由(1)知Sn=2n2-n，∴bn==， ∴b1=，b2=，b3=. 又{bn}也是等差数列，∴b1+b3=2b2， 即2×=+， 解得c=-(c=0舍去). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 第四章 <<< $$