第4章 §4.1 第2课时 数列的递推公式-（课件PPT+Word教案）【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第二册教师用书（人教A版2019）

第2课时　数列的递推公式 ［学习目标］　1.理解递推公式的含义，能根据递推公式求出数列的前几项.2.了解用累加法、累乘法求通项公式.3.会由数列的前n项和Sn求数列的通项公式.4.了解数列是一种特殊函数. 导语 同学们，上节课我们学习了数列的概念以及数列的通项公式，我们知道了数列与现代生活密不可分，其实，当人类祖先需要用一组数据有序地表达一类事物、记录某个变化过程时，数列就应运而生了，因此，数列应用广泛，大家先看本课时上的例1. 一、数列的单调性与最值 问题1　由上节课可知在数列的通项公式中，给定任意的序号n，就会有唯一确定的an与其对应，这种情形与以往学的哪方面的知识有联系？ 提示　函数. 例1　已知数列｛an｝的通项公式是an=n，n∈N*.试问该数列有没有最大项？若有，求出最大项和最大项的序号；若没有，请说明理由. 解　方法一　==·， 当n<2时，>1，即an+1>an； 当n=2时，=1，即an+1=an； 当n>2时，<1，即an+1<an. 则a1<a2=a3>a4>a5>…， 故数列｛an｝有最大项，为第2项和第3项， 且a2=a3=2×=. 方法二　根据题意，令 即 解得2≤n≤3. 又n∈N*，则n=2或n=3. 故数列｛an｝有最大项，为第2项和第3项， 且a2=a3=2×=. 反思感悟　求数列最值的方法 （1）函数的单调性法：令an=f（n），通过研究f（n）的单调性来研究最大（小）项. （2）不等式组法：先假设有最大（小）项.不妨设an最大，则满足（n≥2），解不等式组便可得到n的取值范围，从而确定n的值；求最小项用不等式组（n≥2）求得n的取值范围，从而确定n的值. 跟踪训练1　已知数列an=-n2+4n+2，则该数列中最大项的序号是（　　） A.2 B.3 C.4 D.5 答案　A 解析　因为an=-（n-2）2+6，n∈N*， 所以当n=2时，an取得最大值. 二、数列的递推公式 问题2　观察如图所示的钢管堆放示意图，你能够发现上下层之间的关系吗？你能否用数列的形式写出上下层之间的关系？ 提示　自上而下每一层的钢管数都比上一层的钢管数多1，即a1=4，a2=5=4+1=a1+1，a3=6=5+1=a2+1.依此类推：an=an-1+1（2≤n≤7）. 知识梳理 如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式. 注意点： （1）通项公式反映的是an与n之间的关系. （2）常见的递推关系一般是数列任意两个或三个相邻项之间的推导关系，需要知道首项或前几项，即可求数列中的每一项. 例2　若数列｛an｝满足a1=2，=，n∈N*，求a6. 解　a2===-3， a3===-， a4===， a5===2， a6===-3. 延伸探究　在例2的条件下，求a2 024. 解　由例2知，a5=a1=2，a6=a2=-3，…， ∴｛an｝是周期为4的周期数列， ∴a2 024=a4×505+4=a4=. 反思感悟　递推公式反映的是相邻两项（或多项）之间的关系.要已知首项（或前几项），才可依次求得其他的项.若序号很大，则应考虑数列是否具有规律性（周期性）. 跟踪训练2　已知数列｛an｝的首项a1=1，且满足an+1=an+，则此数列的第3项是（　　） A.1 B. C. D. 答案　C 解析　a1=1，a2=a1+=1，a3=a2+=. 三、由递推公式求通项公式 例3　（1）在数列｛an｝中，a1=1，an+1=an+-，则an等于（　　） A. B. C. D. 答案　B 解析　方法一　（归纳法）数列的前5项分别为 a1=1，a2=1+1-=2-=， a3=+-=2-=， a4=+-=2-=， a5=+-=2-=， 又a1=1， 由此可得数列的一个通项公式为an=. 方法二　（迭代法）a2=a1+1-， a3=a2+-，…， an=an-1+-（n≥2）， 则an=a1+1-+-+-+…+-=2-=（n≥2）. 又a1=1也适合上式， 所以an=（n∈N*）. 方法三　（累加法）　an+1-an=-， a1=1， a2-a1=1-， a3-a2=-， a4-a3=-， … an-an-1=-（n≥2）， 以上各项相加得 an=1+1-+-+…+-. 所以an=（n≥2）. 因为a1=1也适合上式， 所以an=（n∈N*）. （2）已知数列｛an｝满足a1=1，an+1=an，则an等于（　　） A.n+1 B.n C. D. 答案　D 解析　由题意，因为数列｛an｝满足an+1=an，所以=， 所以当n≥2时，an=··…···a1=××…×××1=. 当n=1时，a1=1满足上式，所以an=（n∈N*）. 反思感悟　由递推公式求通项公式的常用方法 （1）归纳法：根据数列的某项和递推公式，求出数列的前几项，归纳出通项公式.（只适用于选择题、填空题） （2）迭代法、累加法或累乘法，递推公式对应的有以下几类： ①an+1-an=常数，或an+1-an=f（n）（f（n）是可以求和的），使用累加法或迭代法. ②an+1=pan（p为非零常数），或an+1=f（n）an（f（n）是可以求积的），使用累乘法或迭代法. ③an+1=pan+q（p，q为非零常数），适当变形后转化为第②类解决. 跟踪训练3　（1）已知数列｛an｝满足a1=1，an=an-1+-（n≥2），求an. 解　因为an=an-1+-（n≥2）， 所以an-an-1=-（n≥2）. 所以当n≥2时，an=（an-an-1）+（an-1-an-2）+…+（a2-a1）+a1 =（-）+（-）+…+（-）+1=-+1. 又当n=1时，a1=1也符合上式， 所以an=-+1，n∈N*. （2）已知数列｛an｝满足a1=1，ln an-ln an-1=1（n≥2），求an. 解　因为ln an-ln an-1=1， 所以ln =1，即=e（n≥2）. 所以an=··…··a1 =·1=en-1（n≥2）， 又a1=1也符合上式，所以an=en-1，n∈N*. 四、an与Sn的关系 问题3　如果已知数列｛an｝的前n项和，如何求a4呢？ 提示　用｛an｝的前4项和减去前3项和. 知识梳理　 1.把数列｛an｝从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列｛an｝的前n项和，记作Sn，即Sn=a1+a2+…+an. 2.an= . 注意点： （1）注意等式成立的条件. （2）一定要检验n=1时，S1是否满足首项. （3）若Sn与an的关系式较复杂，可分别写出Sn与Sn-1，然后作差求得. 例4　已知Sn为数列｛an｝的前n项和，根据条件求｛an｝的通项公式. （1）Sn=3n-1； （2）Sn=2n2-30n. 解　（1）当n=1时，a1=S1=2， 当n≥2时，an=Sn-Sn-1=3n-1-（3n-1-1） =2×3n-1，显然a1=2适合上式， 所以an=2×3n-1（n∈N*）. （2）因为Sn=2n2-30n， 所以当n=1时，a1=S1=2×12-30×1=-28， 当n≥2时，an=Sn-Sn-1 =2n2-30n-［2（n-1）2-30（n-1）］=4n-32. 显然a1=-28适合上式， 所以an=4n-32，n∈N*. 延伸探究　将本例（2）的条件“Sn=2n2-30n”改为“Sn=2n2-30n+1”，其他条件不变，求an. 解　因为Sn=2n2-30n+1， 所以当n=1时，a1=S1=2×12-30×1+1=-27， 当n≥2时，an=Sn-Sn-1 =2n2-30n+1-［2（n-1）2-30（n-1）+1］ =4n-32. 当n=1时不适合上式. 所以an= 反思感悟　由Sn求通项公式an的步骤 （1）当n=1时，a1=S1. （2）当n≥2时，an=Sn-Sn-1. （3）验证a1与an的关系. ①若a1适合an（n≥2），则an=Sn-Sn-1. ②若a1不适合an（n≥2），则an= 跟踪训练4　（1）已知数列｛an｝的前n项和Sn满足Sn=2n2+3n+2，求an. 解　当n=1时，a1=S1=7， 当n≥2时，an=Sn-Sn-1 =2n2+3n+2-［2（n-1）2+3（n-1）+2］=4n+1， 又a1=7不适合上式，所以an= （2）已知数列｛an｝满足a1+2a2+3a3+…+nan=2n，求an. 解　当n=1时，由已知可得a1=21=2. 由a1+2a2+3a3+…+nan=2n， ① 可得当n≥2时，a1+2a2+3a3+…+（n-1）an-1=2n-1， ② 由①-②得nan=2n-2n-1=2n-1（n≥2）， ∴an=（n≥2）.显然a1=2不适合上式， ∴an= 1.知识清单： （1）数列的单调性与最值. （2）数列的递推公式. （3）由递推公式求通项公式. （4）数列的前n项和Sn与an的关系. 2.方法归纳：归纳法、迭代法、累加法、累乘法. 3.常见误区： （1）累加法、累乘法中不注意验证首项是否符合通项公式. （2）由Sn求an时忽略验证n=1时的情况. 1.已知在数列｛an｝中，a1=2，an+1=an+n（n∈N*），则a4的值为（　　） A.5 B.6 C.7 D.8 答案　D 解析　因为a1=2，an+1=an+n， 所以a2=a1+1=2+1=3， a3=a2+2=3+2=5， a4=a3+3=5+3=8. 2.设数列｛an｝的前n项和为Sn，且Sn=2n-1（n∈N*），则a5等于（　　） A.32 B.31 C.16 D.15 答案　C 解析　当n≥2时， an=Sn-Sn-1=2n-1-（2n-1-1）=2n-1， 当n=5时，a5=24=16. 3.已知数列｛an｝中，a1=1，a2=2，an+an+1+an+2=1，n∈N*，则a2 024等于（　　） A.-2 B.-1 C.1 D.2 答案　D 解析　∵a1=1，a2=2，an+an+1+an+2=1， ∴a3=1-a1-a2=1-1-2=-2， a4=1-a3-a2=1-（-2）-2=1， a5=1-a4-a3=1-1-（-2）=2， … 依此类推，可得数列｛an｝是一个周期为3的周期数列，∴a2 024=a2=2. 4.在数列｛an｝中，an=-2n2+29n+3，则此数列最大项的值是（　　） A.105 B.106 C.107 D.108 答案　D 解析　an=-2n2+29n+3对应的抛物线开口向下，对称轴为n=-==7， ∵n是整数， ∴当n=7时，数列取得最大值，此时最大项的值为a7=-2×72+29×7+3=108. 课时对点练　［分值：100分］ 单选题每小题5分，共40分；多选题每小题6分，共6分 1.已知数列｛an｝满足an=4an-1+3（n≥2，n∈N*），且a1=0，则此数列的第5项是（　　） A.15 B.255 C.16 D.63 答案　B 解析　由递推公式，得a2=3，a3=15，a4=63，a5=255. 2.数列，-，，-，…的第n项an与第n+1项an+1的关系是（　　） A.an+1=2an B.an+1=-2an C.an+1=an D.an+1=-an 答案　D 3.已知数列｛an｝满足an=+1（n≥2，n∈N*），若a4=，则a1等于（　　） A.1 B. C.2 D. 答案　A 解析　∵a4=，a4=+1，∴a3=， 又∵a3=+1，∴a2=2， 又∵a2=+1，∴a1=1. 4.下列给出的图形中，星星的个数构成一个数列，则该数列的一个递推公式可以是（　　） A.an+1=an+n，n∈N* B.an=an-1+n，n∈N*，n≥2 C.an+1=an+，n∈N*，n≥2 D.an=an-1+，n∈N*，n≥2 答案　B 解析　结合图象易知，a1=1，a2=3=a1+2，a3=6=a2+3，a4=10=a3+4， ∴an=an-1+n，n∈N*，n≥2. 5.已知数列｛an｝满足a1=2，an+1-an+1=0（n∈N*），则此数列的通项公式an等于（　　） A.n2+1 B.n+1 C.1-n D.3-n 答案　D 解析　∵an+1-an=-1. ∴当n≥2时，an=a1+（a2-a1）+（a3-a2）+…+（an-an-1）=2+ =2+（-1）×（n-1）=3-n. 当n=1时，a1=2也符合上式. 故数列的通项公式an=3-n（n∈N*）. 6.（多选）已知数列｛an｝的前n项和为Sn，a2=1，am+n=aman，则下列结论正确的是（　　） A.a2 024=1 B.a2 023=1 C.若S2 024=2 024，则a1=1 D.若S2 023=-1，则a1=-1 答案　ACD 解析　在数列｛an｝中，a2=1，am+n=aman，令m=n=1，得=a2=1，解得a1=±1，令m=2，则an+2=ana2=an，因此a2 024=a2=1，a2 023=a1=±1，A正确，B错误； 显然a2n=1，a2n-1=a1，则S2 024=1 012a1+1 012a2=1 012a1+1 012=2 024，解得a1=1，C正确； S2 023=1 012a1+1 011a2=1 012a1+1 011=-1，解得a1=-1，D正确. 7.（5分）在数列｛an｝中，an+1=an+2-an，a1=2，a2=5，则a5=　　　　.  答案　19 解析　a3=a2+a1=5+2=7， a4=a3+a2=7+5=12，a5=a4+a3=12+7=19. 8.（5分）已知数列｛an｝中，a1a2…an=n2（n∈N*），则a9=　　　　.  答案　 解析　a1a2…a8=82， ① a1a2…a9=92， ② ②÷①得，a9==. 9.（10分）已知数列｛an｝的前n项和Sn=2n2-n+2. （1）求数列｛an｝的通项公式；（4分） （2）若bn=an+100n-2n，求数列｛bn｝的最大项是该数列的第几项.（6分） 解　（1）当n≥2时，an=Sn-Sn-1=（2n2-n+2）-（2n2-5n+5）=4n-3， 当n=1时，a1=S1=3，不满足上式，故数列｛an｝的通项公式为an= （2）由已知得b1=3+100-2=101， 当n≥2时，bn=an+100n-2n=4n-3+100n-2n=104n-3-2n，令n∈N*， 即n∈N*， 得n∈N*，即n=7， 所以当n≥2时，｛bn｝的最大项为第7项， 又b7=104×7-3-27=597>b1， 所以数列｛bn｝的最大项是该数列的第7项. 10.（12分）（1）在数列｛an｝中，a1=2，且an+1=an+ln，求数列｛an｝的通项公式；（5分） （2）已知数列｛an｝中，a1=，an=an-1（n≥2），求数列｛an｝的通项公式.（7分） 解　（1）由题设an+1-an=ln ， 所以an=（an-an-1）+…+（a2-a1）+a1=ln +…+ln +2=2+ln n，且n≥2， 显然a1=ln 1+2=2满足上式， 所以an=2+ln n，n∈N*. （2）因为an=an-1（n≥2）， 所以当n≥2时，=， 所以=，=，…，=，=， 以上n-1个式子左右两边分别相乘，得 ··…·· =××…××， 即=××2×1， 所以an=（n≥2）. 当n=1时，a1=，符合上式. 所以数列｛an｝的通项公式为an=，n∈N*. 11.设an=+++…+（n∈N*），那么an+1-an等于（　　） A. B. C.+ D.- 答案　D 解析　∵an=+++…+， ∴an+1=++…+++， ∴an+1-an=+- =-. 12.在数列｛an｝中，a1=，an+1=1-，则a2 024等于（　　） A. B.-1 C.2 D.3 答案　B 解析　由题意得，a2=1-=-1， a3=1-=2， a4=1-==a1，a5=1-=-1=a2，a6=2=a3，… 所以数列｛an｝是一个周期为3的周期数列， 故a2 024=a3×674+2=a2=-1. 13.公元13世纪意大利数学家斐波那契在自己的著作《算盘书》中记载着这样一个数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，满足an+2=an+1+an（n≥1），那么1+a2+a4+a6+…+a2 022等于（　　） A.a2 021 B.a2 022 C.a2 023 D.a2 024 答案　C 解析　由于an+2=an+1+an（n≥1）， 则1+a2+a4+a6+…+a2 022=a1+a2+a4+a6+…+a2 022=a3+a4+a6+…+a2 022=a5+a6+…+a2 022=a2 021+a2 022=a2 023. 14.（5分）已知数列｛an｝的通项公式为an=，其最大项为　　　　，最小项为　　　　.  答案　1　- 解析　因为n∈N*，所以当1≤n≤3时，an=<0，且单调递减； 当n≥4时，an=>0，且单调递减， 所以最小项为a3==-，最大项为a4==1. 15.（5分）在一个数列中，如果对任意n∈N*，都有anan+1an+2=k（k为常数），那么这个数列叫做等积数列，k叫做这个数列的公积.已知数列｛an｝是等积数列，且a1=1，a2=2，公积为8，则a1+a2+a3+…+a12=　　　　.  答案　28 解析　依题意得数列｛an｝是周期为3的数列， 且a1=1，a2=2，a3=4， 因此a1+a2+a3+…+a12=4（a1+a2+a3）=4×（1+2+4）=28. 16.（12分）已知数列｛an｝满足：a1=m（m为正整数），an+1=若a4=4，求m所有可能的取值. 解　若a3为奇数，则3a3+1=4，a3=1. 若a2为奇数，则3a2+1=1，a2=0（舍去）， 若a2为偶数，则=1，a2=2. 若a1为奇数，则3a1+1=2，a1=（舍去）， 若a1为偶数，=2，a1=4. 若a3为偶数，则=4，a3=8. 若a2为奇数，则3a2+1=8，a2=（舍去）， 若a2为偶数，则=8，a2=16. 若a1为奇数，则3a1+1=16，a1=5， 若a1为偶数，则=16，a1=32. 故m所有可能的取值为4，5，32. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第2课时 第四章 <<< 数列的递推公式 1.理解递推公式的含义，能根据递推公式求出数列的前几项. 2.了解用累加法、累乘法求通项公式. 3.会由数列的前n项和Sn求数列的通项公式. 4.了解数列是一种特殊函数. 学习目标 同学们，上节课我们学习了数列的概念以及数列的通项公式，我们知道了数列与现代生活密不可分，其实，当人类祖先需要用一组数据有序地表达一类事物、记录某个变化过程时，数列就应运而生了，因此，数列应用广泛，大家先看本课时上的例1. 导 语 一、数列的单调性与最值 二、数列的递推公式 课时对点练 三、由递推公式求通项公式 随堂演练 内容索引 四、an与Sn的关系 一 数列的单调性与最值 由上节课可知在数列的通项公式中，给定任意的序号n，就会有唯一确定的an与其对应，这种情形与以往学的哪方面的知识有联系？ 问题1 提示　函数. 已知数列{an}的通项公式是an=n，n∈N*.试问该数列有没有最大项？若有，求出最大项和最大项的序号；若没有，请说明理由. 例 1 7 方法一　==·， 当n<2时，>1，即an+1>an； 当n=2时，=1，即an+1=an； 当n>2时，<1，即an+1<an. 则a1<a2=a3>a4>a5>…，故数列{an}有最大项，为第2项和第3项， 且a2=a3=2×=. 8 方法二　根据题意，令 即解得2≤n≤3. 又n∈N*，则n=2或n=3. 故数列{an}有最大项，为第2项和第3项， 且a2=a3=2×=. 9 反 思 感 悟 求数列最值的方法 (1)函数的单调性法：令an=f(n)，通过研究f(n)的单调性来研究最大(小)项. (2)不等式组法：先假设有最大(小)项.不妨设an最大，则满足(n≥2)，解不等式组便可得到n的取值范围，从而确定n的值；求最小项用不等式组(n≥2)求得n的取值范围，从而确定n的值. 已知数列an=-n2+4n+2，则该数列中最大项的序号是 A.2 B.3 C.4 D.5 跟踪训练 1 √ 因为an=-(n-2)2+6，n∈N*， 所以当n=2时，an取得最大值. 11 二 数列的递推公式 观察如图所示的钢管堆放示意图，你能够发现上下层之间的关系吗？你能否用数列的形式写出上下层之间的关系？ 问题2 提示　自上而下每一层的钢管数都比上一层的钢管数多1，即a1=4，a2=5=4+1=a1+1，a3=6=5+1=a2+1.依此类推：an=an-1+1(2≤n≤7). 如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用 来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式. 一个式子 知识梳理 14 (1)通项公式反映的是an与n之间的关系. (2)常见的递推关系一般是数列任意两个或三个相邻项之间的推导关系，需要知道首项或前几项，即可求数列中的每一项. 注 意 点 <<< 15 若数列{an}满足a1=2，=，n∈N*，求a6. 例 2 16 a2===-3， a3===-， a4===， a5===2， a6===-3. 在例2的条件下，求a2 024. 延伸探究 由例2知，a5=a1=2，a6=a2=-3，…， ∴{an}是周期为4的周期数列， ∴a2 024=a4×505+4=a4=. 18 反 思 感 悟 递推公式反映的是相邻两项(或多项)之间的关系.要已知首项(或前几项)，才可依次求得其他的项.若序号很大，则应考虑数列是否具有规律性(周期性). 已知数列{an}的首项a1=1，且满足an+1=an+，则此数列的第3项是 A.1 B. C. D. 跟踪训练 2 √ a1=1，a2=a1+=1，a3=a2+=. 20 三 由递推公式求通项公式 (1)在数列{an}中，a1=1，an+1=an+-，则an等于 A. B. C. D. 例 3 √ 方法一　(归纳法)数列的前5项分别为 a1=1，a2=1+1-=2-=， a3=+-=2-=， a4=+-=2-=， a5=+-=2-=， 又a1=1， 由此可得数列的一个通项公式为an=. 方法二　(迭代法)a2=a1+1-， a3=a2+-，…， an=an-1+-(n≥2)， 则an=a1+1-+-+-+…+-=2-=(n≥2). 又a1=1也适合上式， 所以an=(n∈N*). 方法三　(累加法)　an+1-an=-， a1=1， a2-a1=1-， a3-a2=-， a4-a3=-， … an-an-1=-(n≥2)， 以上各项相加得 an=1+1-+-+…+-. 所以an=(n≥2). 因为a1=1也适合上式， 所以an=(n∈N*). (2)已知数列{an}满足a1=1，an+1=an，则an等于 A.n+1　　B.n　　　C.D. √ 由题意，因为数列{an}满足an+1=an=， 所以当n≥2时，an=··…···a1=××…×××1=. 当n=1时，a1=1满足上式，所以an=(n∈N*). 反 思 感 悟 由递推公式求通项公式的常用方法 (1)归纳法：根据数列的某项和递推公式，求出数列的前几项，归纳出通项公式.(只适用于选择题、填空题) (2)迭代法、累加法或累乘法，递推公式对应的有以下几类： ①an+1-an=常数，或an+1-an=f(n)(f(n)是可以求和的)，使用累加法或迭代法. ②an+1=pan(p为非零常数)，或an+1=f(n)an(f(n)是可以求积的)，使用累乘法或迭代法. ③an+1=pan+q(p，q为非零常数)，适当变形后转化为第②类解决. (1)已知数列{an}满足a1=1，an=an-1+-(n≥2)，求an. 跟踪训练 3 因为an=an-1+-(n≥2)， 所以an-an-1=-(n≥2). 所以当n≥2时，an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1 =(-)+(-)+…+(-)+1=-+1. 又当n=1时，a1=1也符合上式， 所以an=-+1，n∈N*. (2)已知数列{an}满足a1=1，ln an-ln an-1=1(n≥2)，求an. 因为ln an-ln an-1=1， 所以ln =1，即=e(n≥2). 所以an=··…··a1 =·1=en-1(n≥2)， 又a1=1也符合上式，所以an=en-1，n∈N*. 四 an与Sn的关系 如果已知数列{an}的前n项和，如何求a4呢？ 问题3 提示　用{an}的前4项和减去前3项和. 1.把数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{an}的前n项和，记作Sn，即Sn= . 2.an= . a1+a2+…+an 知识梳理 (1)注意等式成立的条件. (2)一定要检验n=1时，S1是否满足首项. (3)若Sn与an的关系式较复杂，可分别写出Sn与Sn-1，然后作差求得. 注 意 点 <<< 已知Sn为数列{an}的前n项和，根据条件求{an}的通项公式. (1)Sn=3n-1； 例 4 当n=1时，a1=S1=2， 当n≥2时，an=Sn-Sn-1=3n-1-(3n-1-1) =2×3n-1，显然a1=2适合上式， 所以an=2×3n-1(n∈N*). (2)Sn=2n2-30n. 因为Sn=2n2-30n， 所以当n=1时，a1=S1=2×12-30×1=-28， 当n≥2时，an=Sn-Sn-1 =2n2-30n-[2(n-1)2-30(n-1)]=4n-32. 显然a1=-28适合上式， 所以an=4n-32，n∈N*. 将本例(2)的条件“Sn=2n2-30n”改为“Sn=2n2-30n+1”，其他条件不变，求an. 延伸探究 因为Sn=2n2-30n+1， 所以当n=1时，a1=S1=2×12-30×1+1=-27， 当n≥2时，an=Sn-Sn-1 =2n2-30n+1-[2(n-1)2-30(n-1)+1]=4n-32. 当n=1时不适合上式. 所以an= 37 反 思 感 悟 由Sn求通项公式an的步骤 (1)当n=1时，a1=S1. (2)当n≥2时，an=Sn-Sn-1. (3)验证a1与an的关系. ①若a1适合an(n≥2)，则an=Sn-Sn-1. ②若a1不适合an(n≥2)，则an= (1)已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn=2n2+3n+2，求an. 跟踪训练 4 当n=1时，a1=S1=7， 当n≥2时，an=Sn-Sn-1 =2n2+3n+2-[2(n-1)2+3(n-1)+2]=4n+1， 又a1=7不适合上式，所以an= (2)已知数列{an}满足a1+2a2+3a3+…+nan=2n，求an. 当n=1时，由已知可得a1=21=2. 由a1+2a2+3a3+…+nan=2n， ① 可得当n≥2时，a1+2a2+3a3+…+(n-1)an-1=2n-1， ② 由①-②得nan=2n-2n-1=2n-1(n≥2)， ∴an=(n≥2). 显然a1=2不适合上式，∴an= 1.知识清单： (1)数列的单调性与最值. (2)数列的递推公式. (3)由递推公式求通项公式. (4)数列的前n项和Sn与an的关系. 2.方法归纳：归纳法、迭代法、累加法、累乘法. 3.常见误区： (1)累加法、累乘法中不注意验证首项是否符合通项公式. (2)由Sn求an时忽略验证n=1时的情况. 课堂小结 随堂演练 五 1 2 3 4 1.已知在数列{an}中，a1=2，an+1=an+n(n∈N*)，则a4的值为 A.5　　　B.6　　　C.7　　　D.8 √ 因为a1=2，an+1=an+n， 所以a2=a1+1=2+1=3， a3=a2+2=3+2=5， a4=a3+3=5+3=8. 2.设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=2n-1(n∈N*)，则a5等于 A.32 B.31 C.16 D.15 1 2 3 4 √ 当n≥2时， an=Sn-Sn-1=2n-1-(2n-1-1)=2n-1， 当n=5时，a5=24=16. 3.已知数列{an}中，a1=1，a2=2，an+an+1+an+2=1，n∈N*，则a2 024等于 A.-2　　　B.-1　　　C.1　　　D.2 √ ∵a1=1，a2=2，an+an+1+an+2=1， ∴a3=1-a1-a2=1-1-2=-2， a4=1-a3-a2=1-(-2)-2=1， a5=1-a4-a3=1-1-(-2)=2， … 依此类推，可得数列{an}是一个周期为3的周期数列，∴a2 024=a2=2. 1 2 3 4 1 2 3 4 4.在数列{an}中，an=-2n2+29n+3，则此数列最大项的值是 A.105　　　B.106　　　C.107　　　D.108 √ an=-2n2+29n+3对应的抛物线开口向下，对称轴为n=-==7， ∵n是整数， ∴当n=7时，数列取得最大值，此时最大项的值为a7=-2×72+29×7+3 =108. 课时对点练 六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 1.已知数列{an}满足an=4an-1+3(n≥2，n∈N*)，且a1=0，则此数列的第5项是 A.15 B.255 C.16 D.63 √ 由递推公式，得a2=3，a3=15，a4=63，a5=255. 2.数列，-，，-，…的第n项an与第n+1项an+1的关系是 A.an+1=2an B.an+1=-2an C.an+1=an D.an+1=-an 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 3.已知数列{an}满足an=+1(n≥2，n∈N*)，若a4=，则a1等于 A.1　　　B.　　　C.2　　　D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ ∵a4=，a4=+1，∴a3=， 又∵a3=+1，∴a2=2， 又∵a2=+1，∴a1=1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.下列给出的图形中，星星的个数构成一个数列，则该数列的一个递推公式可以是 A.an+1=an+n，n∈N* B.an=an-1+n，n∈N*，n≥2 C.an+1=an+，n∈N*，n≥2 D.an=an-1+，n∈N*，n≥2 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 结合图象易知，a1=1，a2=3=a1+2，a3=6=a2+3，a4=10=a3+4， ∴an=an-1+n，n∈N*，n≥2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.已知数列{an}满足a1=2，an+1-an+1=0(n∈N*)，则此数列的通项公式an等于 A.n2+1 B.n+1 C.1-n D.3-n √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵an+1-an=-1. ∴当n≥2时，an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)=2+ =2+(-1)×(n-1)=3-n. 当n=1时，a1=2也符合上式. 故数列的通项公式an=3-n(n∈N*). 6.(多选)已知数列{an}的前n项和为Sn，a2=1，am+n=aman，则下列结论正确的是 A.a2 024=1 B.a2 023=1 C.若S2 024=2 024，则a1=1 D.若S2 023=-1，则a1=-1 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ 在数列{an}中，a2=1，am+n=aman，令m=n=1，得=a2=1， 解得a1=±1，令m=2，则an+2=ana2=an， 因此a2 024=a2=1，a2 023=a1=±1，A正确，B错误； 显然a2n=1，a2n-1=a1，则S2 024=1 012a1+1 012a2=1 012a1+1 012=2 024，解得a1=1，C正确； S2 023=1 012a1+1 011a2=1 012a1+1 011=-1，解得a1=-1，D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.在数列{an}中，an+1=an+2-an，a1=2，a2=5，则a5=　　　.  a3=a2+a1=5+2=7， a4=a3+a2=7+5=12，a5=a4+a3=12+7=19. 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.已知数列{an}中，a1a2…an=n2(n∈N*)，则a9=　　　.  a1a2…a8=82， ① a1a2…a9=92， ② ②÷①得，a9==. 9.已知数列{an}的前n项和Sn=2n2-n+2. (1)求数列{an}的通项公式； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 当n≥2时，an=Sn-Sn-1=(2n2-n+2)-(2n2-5n+5)=4n-3， 当n=1时，a1=S1=3，不满足上式， 故数列{an}的通项公式为an= 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)若bn=an+100n-2n，求数列{bn}的最大项是该数列的第几项. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由已知得b1=3+100-2=101， 当n≥2时，bn=an+100n-2n=4n-3+100n-2n=104n-3-2n， 令n∈N*， 即n∈N*， 得n∈N*，即n=7， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 所以当n≥2时，{bn}的最大项为第7项， 又b7=104×7-3-27=597>b1， 所以数列{bn}的最大项是该数列的第7项. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.(1)在数列{an}中，a1=2，且an+1=an+ln，求数列{an}的通项公式； 由题设an+1-an=ln ， 所以an=(an-an-1)+…+(a2-a1)+a1=ln +…+ln +2=2+ln n，且n≥2， 显然a1=ln 1+2=2满足上式， 所以an=2+ln n，n∈N*. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)已知数列{an}中，a1=，an=an-1(n≥2)，求数列{an}的通项公式. 因为an=an-1(n≥2)， 所以当n≥2时，=， 所以==，…，==， 以上n-1个式子左右两边分别相乘，得 ··…·· =××…××， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 即=××2×1， 所以an=(n≥2). 当n=1时，a1=，符合上式. 所以数列{an}的通项公式为an=，n∈N*. 11.设an=+++…+(n∈N*)，那么an+1-an等于 A. B. C.+ D.- 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 综合运用 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵an=+++…+， ∴an+1=++…+++， ∴an+1-an=+- =-. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12.在数列{an}中，a1=，an+1=1-，则a2 024等于 A. B.-1 C.2 D.3 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意得，a2=1-=-1， a3=1-=2， a4=1-==a1，a5=1-=-1=a2，a6=2=a3，… 所以数列{an}是一个周期为3的周期数列， 故a2 024=a3×674+2=a2=-1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.公元13世纪意大利数学家斐波那契在自己的著作《算盘书》中记载着这样一个数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，满足an+2=an+1+ an(n≥1)，那么1+a2+a4+a6+…+a2 022等于 A.a2 021　　　　B.a2 022　　　　C.a2 023　　　　D.a2 024 √ 由于an+2=an+1+an(n≥1)， 则1+a2+a4+a6+…+a2 022=a1+a2+a4+a6+…+a2 022=a3+a4+a6+…+a2 022=a5+ a6+…+a2 022=a2 021+a2 022=a2 023. 14.已知数列{an}的通项公式为an=，其最大项为　　　，最小项为 　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 - 因为n∈N*，所以当1≤n≤3时，an=<0，且单调递减； 当n≥4时，an=>0，且单调递减， 所以最小项为a3==-，最大项为a4==1. 15.在一个数列中，如果对任意n∈N*，都有anan+1an+2=k(k为常数)，那么这个数列叫做等积数列，k叫做这个数列的公积.已知数列{an}是等积数列，且a1=1，a2=2，公积为8，则a1+a2+a3+…+a12=　　　　.  拓广探究 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 28 依题意得数列{an}是周期为3的数列， 且a1=1，a2=2，a3=4， 因此a1+a2+a3+…+a12=4(a1+a2+a3)=4×(1+2+4)=28. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.已知数列{an}满足：a1=m(m为正整数)，an+1= 若a4=4，求m所有可能的取值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 若a3为奇数，则3a3+1=4，a3=1. 若a2为奇数，则3a2+1=1，a2=0(舍去)， 若a2为偶数，则=1，a2=2. 若a1为奇数，则3a1+1=2，a1=(舍去)， 若a1为偶数，=2，a1=4. 若a3为偶数，则=4，a3=8. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 若a2为奇数，则3a2+1=8，a2=(舍去)， 若a2为偶数，则=8，a2=16. 若a1为奇数，则3a1+1=16，a1=5， 若a1为偶数，则=16，a1=32. 故m所有可能的取值为4，5，32. 第四章 <<< $$