综合检测试卷(二)-（课件PPT+Word教案）【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第二册教师用书（北师大版2019）

综合检测试卷(二)　[时间：120分钟　分值：150分] 一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分) 1.在等差数列{an}中，a4=2，a8=14，则a15等于(　　) A.32 B.-32 C.35 D.-35 答案　C 解析　∵{an}是等差数列， ∴d==3， ∴a15=a4+11d=2+11×3=35. 2.函数f(x)=x3-x2-x+a在区间[0，2]上的最大值是3，则a等于(　　) A.3 B.1 C.2 D.-1 答案　B 解析　f'(x)=3x2-2x-1， 令f'(x)=0，解得x=-(舍去)或x=1，当0≤x<1时，f'(x)<0，当1<x≤2时，f'(x)>0， 又f(0)=a，f(2)=a+2， 则f(2)最大，即a+2=3，所以a=1. 3.在数列{an}中，a1=，an=(-1)n·2an-1(n≥2)，则a5等于(　　) A.- B. C.- D. 答案　B 解析　∵a1=，an=(-1)n·2an-1， ∴a2=(-1)2×2×=， a3=(-1)3×2×=-， a4=(-1)4×2×=-， a5=(-1)5×2×=. 4.若曲线f(x)=xsin x在x=处的切线与直线ax+2y+1=0互相垂直，则实数a等于(　　) A.-2 B.-1 C.1 D.2 答案　D 解析　由题意得f'(x)=sin x+xcos x，f'=1， ∴曲线f(x)=xsin x在x=处的切线的斜率为1， 又曲线f(x)=xsin x在x=处的切线与直线ax+2y+1=0互相垂直，且直线ax+2y+1=0的斜率为-， ∴×1=-1，解得a=2. 5.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“诸葛亮领八员将，每将又分八个营，每营里面排八阵，每阵先锋有八人，每人旗头俱八个，每个旗头八队成，每队更该八个甲，每个甲头八个兵.”则该问题中将官、先锋、旗头、队长、甲头、士兵共有(　　) A.(87-8)人 B.(89-8)人 C.人 D.人 答案　D 解析　由题意可得将官、营、阵、先锋、旗头、队长、甲头、士兵依次成等比数列，且首项为8，公比也是8， 所以将官、先锋、旗头、队长、甲头、士兵共有 8+84+85+86+87+88=8+=人. 6.某放射性同位素在衰变过程中，其含量N(单位：贝克)与时间t(单位：天)满足函数关系N(t)=N0，其中N0为t=0时该同位素的含量.已知t=24时，该同位素含量的瞬时变化率为-e-1，则N(120)等于(　　) A.24贝克 B.24e-5贝克 C.1贝克 D.e-5贝克 答案　B 解析　由N(t)=N0，得N'(t)=-N0. 因为t=24时，该同位素含量的瞬时变化率为-e-1， 所以N'(24)=-N0=-e-1， 解得N0=24， 所以N(120)=24×=24e-5. 7.已知数列{an}的前n项和Sn=n2-16n，则等于(　　) A.-55 B.0 C.55 D.73 答案　D 解析　∵Sn=n2-16n， ∴当n=1时，a1=-15， 当n≥2时，an=Sn-Sn-1=n2-16n-[(n-1)2-16(n-1)]=2n-17， 令an≤0，解得n≤8(n∈N+)， 令Tn==-a1-a2-a3-…-a8+a9+a10+a11 =15+13+11+9+7+5+3+1+1+3+5=73. 8.意大利著名天文学家伽利略曾错误地猜测链条自然下垂时的形状是抛物线.直到1690年，雅各布·伯努利正式提出该问题为“悬链线”问题并向数学界征求答案.1691年他的弟弟约翰·伯努利和莱布尼兹、惠更斯三人各自都得到了正确答案，给出悬链线的数学表达式为双曲余弦型函数f(x)=acosh =a·(e为自然对数的底数).当a=2时，记p=f(-2)，m=f，n=f(1)，则p，m，n的大小关系为(　　) A.m<p<n B.m<n<p C.n<m<p D.p<m<n 答案　B 解析　由题意知，f(x)=acosh =a·，当a=2时，f(x)=+定义域为R， 且f(-x)=+=f(x)， 故f(x)为偶函数. 又f'(x)=(-+)=， 当x>0时，f'(x)>0，即函数f(x)在区间(0，+∞)上单调递增， 因为f(-2)=f(2)，又0<<1<2， 所以f<f(1)<f(2)，即m<n<p. 二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.设f(x)，g(x)在[a，b]上可导，且f'(x)>g'(x)，则当a<x<b时，有(　　) A.f(x)>g(x) B.f(x)<g(x) C.f(x)+g(a)>g(x)+f(a) D.f(x)+g(b)<g(x)+f(b) 答案　CD 解析　因为f'(x)-g'(x)>0， 所以[f(x)-g(x)]'>0， 所以f(x)-g(x)在[a，b]上单调递增， 所以当a<x<b时， f(b)-g(b)>f(x)-g(x)>f(a)-g(a)， 所以f(x)+g(a)>g(x)+f(a)， f(x)+g(b)<g(x)+f(b). 10.设{an}是等比数列，Sn为其前n项和，已知a2a4=1，S3=7，则S5等于(　　) A. B. C. D. 答案　BD 解析　设数列{an}的公比为q， 由a2a4=1，得=1，∴a3=±1. ∵S3=7，∴a1+a2+a3=++a3=7， 当a3=-1时，得8q2+q+1=0，无解， 当a3=1时，得6q2-q-1=0， 解得q=或q=-， 当q=-时，a1==9. ∴S5==×=. 当q=时，a1==4. ∴S5==8×=. 11.已知函数f(x)=sin x+x3-ax，则下列结论正确的是(　　) A.f(x)是奇函数 B.当a=-3时，函数f(x)恰有两个零点 C.若f(x)为增函数，则a≤1 D.当a=3时，函数f(x)恰有两个极值点 答案　ACD 解析　对于A选项，函数f(x)=sin x+x3-ax的定义域为R， f(-x)=sin(-x)+(-x)3+ax=-sin x-x3+ax=-f(x)，函数f(x)为奇函数，A选项正确； 对于B选项，当a=-3时，f(x)=sin x+x3+3x，则f'(x)=cos x+3x2+3>0， 所以函数f(x)在R上为增函数，又f(0)=0，所以函数f(x)有且只有一个零点，B选项错误； 对于C选项，f'(x)=cos x+3x2-a， 由于函数f(x)为增函数，则f'(x)≥0对任意的x∈R恒成立，即a≤3x2+cos x. 令g(x)=3x2+cos x，则g'(x)=6x-sin x， 令φ(x)=6x-sin x，则φ'(x)=6-cos x>0， 所以函数g'(x)在R上为增函数， 当x<0时，g'(x)<g'(0)=0，函数g(x)单调递减； 当x>0时，g'(x)>g'(0)=0，函数g(x)单调递增. 所以g(x)min=g(0)=1，∴a≤1，C选项正确； 对于D选项，当a=3时，f(x)=sin x+x3-3x，则f'(x)=cos x+3x2-3. 由C选项可知，函数f'(x)在(-∞，0)上单调递减，在(0，+∞)上单调递增， ∵f'(-1)=f'(1)=cos 1>0，f'(0)=-2<0， ∴由函数零点存在定理可知，函数f'(x)在(-1，0)和(0，1)上都存在一个零点， 因此，当a=3时，函数f(x)有两个极值点，D选项正确. 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分) 12.函数f(x)=(1+x2)ex-1的零点个数为　　　　.  答案　1 解析　因为f'(x)=2xex+(1+x2)ex =(1+x)2ex≥0， 所以f(x)单调递增，又因为f(0)=0， 所以f(x)有且仅有1个零点. 13.在数列{an}中，若a1=21，前n项和Sn=-2n2+bn，则Sn的最大值为　　　　.  答案　66 解析　由题意，S1=a1=-2×12+1×b=21，解得b=23，则Sn=-2n2+23n， 二次函数y=-2x2+23x的图象开口向下，对称轴为直线x==5.75， 故当n=5或n=6时，Sn取得最大值， S5=-2×52+23×5=65，S6=-2×62+23×6=66，S6>S5， 所以Sn的最大值为66. 14.定义“等积数列”：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的乘积都等于同一个不为零的常数，那么这个数列叫作等积数列，这个常数叫作等积数列的公积.已知数列{an}是a1=2，公积为-6的等积数列，则a3=　　　　；数列{an}的前n项和Sn=　　　　.  答案　2　 解析　数列{an}是等积数列，a1=2，公积为-6，所以a2=-3，a3=2，a4=-3，…，所以前n项的和Sn=2+(-3)+2+(-3)+…， 当n=2k时，有k个2，k个-3，所以S2k=2k-3k=-k，得到当n为偶数时，Sn=-； 当n=2k+1时，有k+1个2，k个-3，所以S2k+1=2(k+1)-3k=-k+2，得到当n为奇数时，Sn=-，所以Sn= 四、解答题(本题共5小题，共77分) 15.(13分)设函数f(x)=2x3-3(a+1)x2+6ax+8，其中a∈R.已知f(x)在x=3处取得极值. (1)求f(x)的解析式；(6分) (2)求f(x)在点A(1，16)处的切线方程.(7分) 解　(1)f'(x)=6x2-6(a+1)x+6a. 因为f(x)在x=3处取得极值， 所以f'(3)=6×9-6(a+1)×3+6a=0， 解得a=3. 所以f(x)=2x3-12x2+18x+8. (2)点A在f(x)上， 由(1)可知f'(x)=6x2-24x+18， f'(1)=6-24+18=0， 所以切线方程为y=16. 16.(15分)在①Sn=n2+n，②a3+a5=16，S3+S5=42，③=，S7=56这三个条件中任选一个补充在下面的问题中，并加以解答. 设等差数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}为等比数列，　　　　，b1=a1，b2=.求数列的前n项和Tn.  注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分. 解　选①： 当n=1时，a1=S1=2， 当n≥2时，an=Sn-Sn-1=2n， 又n=1满足an=2n， 所以an=2n，Sn=n2+n(n∈N+)； 选②： 设数列{an}的公差为d， 由a3+a5=16，S3+S5=42， 得解得 所以an=2n，Sn==n2+n(n∈N+)； 选③： 由=，得=，所以=， 即an=a1·n，S7=7a4=28a1=56， 所以a1=2， 所以an=2n，Sn==n2+n(n∈N+). ①②③均可求得an=2n， Sn=n2+n(n∈N+)， 设{bn}的公比为q， 又因为a1=2，a2=4， 由b1=a1=2，b2==4， 得b1=2，q=2， 所以bn=2n(n∈N+)， 所以数列{bn}的前n项和为=2n+1-2， 因为===-， 所以数列的前n项和为1-+-+…+-=1-， 故Tn=2n+1-2+1-=2n+1--1. 17.(15分)函数f(x)=ax3+3x2+3x(a≠0). (1)讨论函数f(x)的单调性；(7分) (2)若函数f(x)在区间(1，2)上单调递增，求a的取值范围.(8分) 解　(1)f'(x)=3ax2+6x+3，令f'(x)=0， 即3ax2+6x+3=0，则Δ=36(1-a). ①若a≥1，则Δ≤0，f'(x)≥0，所以f(x)在R上是增函数. ②因为a≠0，故当a<1时，Δ>0，f'(x)=0有两个根，x1=，x2=， 若0<a<1，则当x∈(-∞，x2)或x∈(x1，+∞)时，f'(x)>0，故f(x)在(-∞，x2)，(x1，+∞)上单调递增； 当x∈(x2，x1)时，f'(x)<0，故f(x)在(x2，x1)上单调递减. 当a<0时，则当x∈(-∞，x1)或x∈(x2，+∞)时，f'(x)<0，故f(x)在(-∞，x1)，(x2，+∞)上单调递减；当x∈(x1，x2)时，f'(x)>0，故f(x)在(x1，x2)上单调递增. (2)当a>0，x>0时，f'(x)=3ax2+6x+3>0， 所以当a>0时，f(x)在区间(1，2)上单调递增. 若a<0时，f(x)在区间(1，2)上单调递增， 则f'(1)≥0且f'(2)≥0，解得-≤a<0. 综上，a的取值范围是∪(0，+∞). 18.(17分)(2024·新课标全国Ⅱ)已知函数f(x)=ex-ax-a3. (1)当a=1时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;(7分) (2)若f(x)有极小值,且极小值小于0,求a的取值范围.(10分) 解　(1)当a=1时,则f(x)=ex-x-1, f'(x)=ex-1, 可得f(1)=e-2,f'(1)=e-1, 即切点坐标为(1,e-2), 切线斜率k=e-1, 所以切线方程为y-(e-2)=(e-1)(x-1), 即(e-1)x-y-1=0. (2)方法一　因为f(x)的定义域为R, 且f'(x)=ex-a, 若a≤0,则f'(x)>0对任意x∈R恒成立, 可知f(x)在R上单调递增, 无极值,不符合题意; 若a>0,令f'(x)>0,解得x>ln a, 令f'(x)<0,解得x<ln a, 可知f(x)在(-∞,ln a)上单调递减, 在(ln a,+∞)上单调递增, 则f(x)有极小值f(ln a)=a-aln a-a3,无极大值, 由题意可得,f(ln a)=a-aln a-a3<0, 即a2+ln a-1>0, 令g(a)=a2+ln a-1,a>0, 则g'(a)=2a+>0, 可知g(a)在(0,+∞)上单调递增, 且g(1)=0, 不等式a2+ln a-1>0等价于g(a)>g(1), 解得a>1, 所以a的取值范围为(1,+∞). 方法二　因为f(x)的定义域为R, 且f'(x)=ex-a, 若f(x)有极小值, 则f'(x)=ex-a有零点, 令f'(x)=ex-a=0,可得ex=a, 可知y=ex与y=a有交点,则a>0, 令f'(x)>0,解得x>ln a; 令f'(x)<0,解得x<ln a, 可知f(x)在(-∞,ln a)上单调递减, 在(ln a,+∞)上单调递增, 则f(x)有极小值f(ln a)=a-aln a-a3, 无极大值,符合题意, 由题意可得,f(ln a)=a-aln a-a3<0, 即a2+ln a-1>0, 令g(a)=a2+ln a-1,a>0, 因为y=a2,y=ln a-1在(0,+∞)上均单调递增, 所以g(a)在(0,+∞)上单调递增, 且g(1)=0, 不等式a2+ln a-1>0等价于g(a)>g(1), 解得a>1, 所以a的取值范围为(1,+∞). 19.(17分)已知数列{an}，{bn}的前n项和分别是Sn，Tn，满足a1=1，2Sn=anan+1且2bn=Tn+2. (1)求数列{an}，{bn}的通项公式；(7分) (2)若数列{cn}对任意n∈N+都有+++…+=bn恒成立，求c1+c2+c3+…+cn.(10分) 解　(1)因为a1=1，2Sn=anan+1， 所以a2=2， 2Sn-1=an-1an(n≥2)， 得anan+1-an-1an=2Sn-2Sn-1=2an⇒an+1-an-1=2， 所以an=n(n∈N+). 因为2bn=Tn+2， 所以2b1=T1+2⇒b1=2， 又由2bn-1=Tn-1+2(n≥2)得 2bn-2bn-1=Tn-Tn-1=bn⇒bn=2bn-1(n≥2)， 所以bn=2n(n∈N+). (2)当n=1时，=b1=2⇒c1=2， 当n≥2时，+++…+=bn-1(n≥2)， 得=bn-bn-1=2n-1， 即cn=n·2n-1(n≥2)， 记Rn=c1+c2+c3+…+cn =2+2×21+3×22+4×23+…+n·2n-1， 则2Rn=2×2+2×22+3×23+4×24+…+(n-1)·2n-1+n·2n， Rn-2Rn=21+22+23+…+2n-1-n·2n =(1-n)·2n-2， 则Rn=c1+c2+c3+…+cn =(n-1)·2n+2(n∈N+). 学科网（北京）股份有限公司 $$ 综合检测试卷(二) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 一、单项选择题 1.在等差数列{an}中，a4=2，a8=14，则a15等于 A.32 B.-32 C.35 D.-35 √ ∵{an}是等差数列， ∴d==3， ∴a15=a4+11d=2+11×3=35. 13 14 15 16 17 18 19 2.函数f(x)=x3-x2-x+a在区间[0，2]上的最大值是3，则a等于 A.3 B.1 C.2 D.-1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 f'(x)=3x2-2x-1， 令f'(x)=0，解得x=-(舍去)或x=1，当0≤x<1时，f'(x)<0，当1<x≤2时，f'(x)>0， 又f(0)=a，f(2)=a+2， 则f(2)最大，即a+2=3，所以a=1. 17 18 19 3.在数列{an}中，a1=，an=(-1)n·2an-1(n≥2)，则a5等于 A.- B. C.- D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵a1=，an=(-1)n·2an-1， ∴a2=(-1)2×2×=， a3=(-1)3×2×=-， a4=(-1)4×2×=-， a5=(-1)5×2×=. 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.若曲线f(x)=xsin x在x=处的切线与直线ax+2y+1=0互相垂直，则实数a等于 A.-2 B.-1 C.1 D.2 √ 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 由题意得f'(x)=sin x+xcos x，f'=1， ∴曲线f(x)=xsin x在x=处的切线的斜率为1， 又曲线f(x)=xsin x在x=处的切线与直线ax+2y+1=0互相垂直，且直线ax+2y+1=0的斜率为-， ∴×1=-1，解得a=2. 5.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“诸葛亮领八员将，每将又分八个营，每营里面排八阵，每阵先锋有八人，每人旗头俱八个，每个旗头八队成，每队更该八个甲，每个甲头八个兵.”则该问题中将官、先锋、旗头、队长、甲头、士兵共有 A.(87-8)人 B.(89-8)人 C.人 D.人 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 由题意可得将官、营、阵、先锋、旗头、队长、甲头、士兵依次成等比数列，且首项为8，公比也是8， 所以将官、先锋、旗头、队长、甲头、士兵共有 8+84+85+86+87+88=8+=人. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.某放射性同位素在衰变过程中，其含量N(单位：贝克)与时间t(单位：天)满足函数关系N(t)=N0，其中N0为t=0时该同位素的含量.已知t=24时，该同位素含量的瞬时变化率为-e-1，则N(120)等于 A.24贝克 B.24e-5贝克 C.1贝克 D.e-5贝克 √ 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 由N(t)=N0，得N'(t)=-N0. 因为t=24时，该同位素含量的瞬时变化率为-e-1， 所以N'(24)=-N0=-e-1， 解得N0=24， 所以N(120)=24×=24e-5. 7.已知数列{an}的前n项和Sn=n2-16n，则等于 A.-55 B.0 C.55 D.73 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 ∵Sn=n2-16n， ∴当n=1时，a1=-15， 当n≥2时，an=Sn-Sn-1=n2-16n-[(n-1)2-16(n-1)]=2n-17， 令an≤0，解得n≤8(n∈N+)， 令Tn==-a1-a2-a3-…-a8+a9+a10+a11 =15+13+11+9+7+5+3+1+1+3+5=73. 8.意大利著名天文学家伽利略曾错误地猜测链条自然下垂时的形状是抛物线.直到1690年，雅各布·伯努利正式提出该问题为“悬链线”问题并向数学界征求答案.1691年他的弟弟约翰·伯努利和莱布尼兹、惠更斯三人各自都得到了正确答案，给出悬链线的数学表达式为双曲余弦型函数 f(x)=acosh =a·(e为自然对数的底数).当a=2时，记p=f(-2)，m=f， n=f(1)，则p，m，n的大小关系为 A.m<p<n B.m<n<p C.n<m<p D.p<m<n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 由题意知，f(x)=acosh =a·，当a=2时，f(x)=+定义域为R， 且f(-x)=+=f(x)， 故f(x)为偶函数. 又f'(x)=(-+)=， 当x>0时，f'(x)>0，即函数f(x)在区间(0，+∞)上单调递增， 因为f(-2)=f(2)，又0<<1<2， 所以f<f(1)<f(2)，即m<n<p. 二、多项选择题 9.设f(x)，g(x)在[a，b]上可导，且f'(x)>g'(x)，则当a<x<b时，有 A.f(x)>g(x) B.f(x)<g(x) C.f(x)+g(a)>g(x)+f(a) D.f(x)+g(b)<g(x)+f(b) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 17 18 19 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 因为f'(x)-g'(x)>0， 所以[f(x)-g(x)]'>0， 所以f(x)-g(x)在[a，b]上单调递增， 所以当a<x<b时， f(b)-g(b)>f(x)-g(x)>f(a)-g(a)， 所以f(x)+g(a)>g(x)+f(a)， f(x)+g(b)<g(x)+f(b). 10.设{an}是等比数列，Sn为其前n项和，已知a2a4=1，S3=7，则S5等于 A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 设数列{an}的公比为q， 由a2a4=1，得=1，∴a3=±1. ∵S3=7，∴a1+a2+a3=++a3=7， 当a3=-1时，得8q2+q+1=0，无解， 当a3=1时，得6q2-q-1=0， 解得q=或q=-， 当q=-时，a1==9. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 ∴S5==×=. 当q=时，a1==4. ∴S5==8×=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11.已知函数f(x)=sin x+x3-ax，则下列结论正确的是 A.f(x)是奇函数 B.当a=-3时，函数f(x)恰有两个零点 C.若f(x)为增函数，则a≤1 D.当a=3时，函数f(x)恰有两个极值点 √ 17 18 19 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 对于A选项，函数f(x)=sin x+x3-ax的定义域为R， f(-x)=sin(-x)+(-x)3+ax=-sin x-x3+ax=-f(x)，函数f(x)为奇函数，A选项正确； 对于B选项，当a=-3时，f(x)=sin x+x3+3x，则f'(x)=cos x+3x2+3>0， 所以函数f(x)在R上为增函数，又f(0)=0，所以函数f(x)有且只有一个零点，B选项错误； 对于C选项，f'(x)=cos x+3x2-a， 由于函数f(x)为增函数，则f'(x)≥0对任意的x∈R恒成立，即a≤3x2+cos x. 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 令g(x)=3x2+cos x，则g'(x)=6x-sin x， 令φ(x)=6x-sin x，则φ'(x)=6-cos x>0， 所以函数g'(x)在R上为增函数， 当x<0时，g'(x)<g'(0)=0，函数g(x)单调递减； 当x>0时，g'(x)>g'(0)=0，函数g(x)单调递增. 所以g(x)min=g(0)=1，∴a≤1，C选项正确； 对于D选项，当a=3时，f(x)=sin x+x3-3x，则f'(x)=cos x+3x2-3. 由C选项可知，函数f'(x)在(-∞，0)上单调递减，在(0，+∞)上单调递增， 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵f'(-1)=f'(1)=cos 1>0，f'(0)=-2<0， ∴由函数零点存在定理可知，函数f'(x)在(-1，0)和(0，1)上都存在一个零点， 因此，当a=3时，函数f(x)有两个极值点，D选项正确. 17 18 19 三、填空题 12.函数f(x)=(1+x2)ex-1的零点个数为　　. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 因为f'(x)=2xex+(1+x2)ex =(1+x)2ex≥0， 所以f(x)单调递增，又因为f(0)=0， 所以f(x)有且仅有1个零点. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.在数列{an}中，若a1=21，前n项和Sn=-2n2+bn，则Sn的最大值为　　　. 17 18 19 66 由题意，S1=a1=-2×12+1×b=21，解得b=23，则Sn=-2n2+23n， 二次函数y=-2x2+23x的图象开口向下，对称轴为直线x==5.75， 故当n=5或n=6时，Sn取得最大值， S5=-2×52+23×5=65，S6=-2×62+23×6=66，S6>S5， 所以Sn的最大值为66. 14.定义“等积数列”：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的乘积都等于同一个不为零的常数，那么这个数列叫作等积数列，这个常数叫作等积数列的公积.已知数列{an}是a1=2，公积为-6的等积数列， 则a3=　　；数列{an}的前n项和Sn=　　　 　. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数列{an}是等积数列，a1=2，公积为-6，所以a2=-3，a3=2，a4=-3，…，所以前n项的和Sn=2+(-3)+2+(-3)+…， 当n=2k时，有k个2，k个-3，所以S2k=2k-3k=-k，得到当n为偶数时，Sn=-； 当n=2k+1时，有k+1个2，k个-3，所以S2k+1=2(k+1)-3k=-k+2，得到当n 为奇数时，Sn=-，所以Sn= 四、解答题 15.设函数f(x)=2x3-3(a+1)x2+6ax+8，其中a∈R.已知f(x)在x=3处取得极值. (1)求f(x)的解析式； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 f'(x)=6x2-6(a+1)x+6a. 因为f(x)在x=3处取得极值， 所以f'(3)=6×9-6(a+1)×3+6a=0， 解得a=3. 所以f(x)=2x3-12x2+18x+8. (2)求f(x)在点A(1，16)处的切线方程. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 点A在f(x)上， 由(1)可知f'(x)=6x2-24x+18， f'(1)=6-24+18=0， 所以切线方程为y=16. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.在①Sn=n2+n，②a3+a5=16，S3+S5=42，③=，S7=56这三个条件中任选一个补充在下面的问题中，并加以解答. 设等差数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}为等比数列，　　　　，b1=a1，b2=.求数列的前n项和Tn. 注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分. 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 选①： 当n=1时，a1=S1=2， 当n≥2时，an=Sn-Sn-1=2n， 又n=1满足an=2n， 所以an=2n，Sn=n2+n(n∈N+)； 选②： 设数列{an}的公差为d， 由a3+a5=16，S3+S5=42， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 得 所以an=2n，Sn==n2+n(n∈N+)； 选③： 由===， 即an=a1·n，S7=7a4=28a1=56， 所以a1=2， 所以an=2n，Sn==n2+n(n∈N+). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 ①②③均可求得an=2n， Sn=n2+n(n∈N+)， 设{bn}的公比为q， 又因为a1=2，a2=4， 由b1=a1=2，b2==4， 得b1=2，q=2， 所以bn=2n(n∈N+)， 所以数列{bn}的前n项和为=2n+1-2， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 因为===-， 所以数列的前n项和为1-+-+…+-=1-， 故Tn=2n+1-2+1-=2n+1--1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17.函数f(x)=ax3+3x2+3x(a≠0). (1)讨论函数f(x)的单调性； 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 f'(x)=3ax2+6x+3，令f'(x)=0， 即3ax2+6x+3=0，则Δ=36(1-a). ①若a≥1，则Δ≤0，f'(x)≥0，所以f(x)在R上是增函数. ②因为a≠0，故当a<1时，Δ>0，f'(x)=0有两个根，x1=，x2=， 若0<a<1，则当x∈(-∞，x2)或x∈(x1，+∞)时，f'(x)>0，故f(x)在(-∞，x2)，(x1，+∞)上单调递增； 当x∈(x2，x1)时，f'(x)<0，故f(x)在(x2，x1)上单调递减. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 当a<0时，则当x∈(-∞，x1)或x∈(x2，+∞)时，f'(x)<0，故f(x)在(-∞，x1)，(x2，+∞)上单调递减；当x∈(x1，x2)时，f'(x)>0，故f(x)在(x1，x2)上单调递增. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)若函数f(x)在区间(1，2)上单调递增，求a的取值范围. 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 当a>0，x>0时，f'(x)=3ax2+6x+3>0， 所以当a>0时，f(x)在区间(1，2)上单调递增. 若a<0时，f(x)在区间(1，2)上单调递增， 则f'(1)≥0且f'(2)≥0，解得-≤a<0. 综上，a的取值范围是∪(0，+∞). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18.(2024·新课标全国Ⅱ)已知函数f(x)=ex-ax-a3. (1)当a=1时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程; 17 18 19 当a=1时,则f(x)=ex-x-1, f'(x)=ex-1, 可得f(1)=e-2,f'(1)=e-1, 即切点坐标为(1,e-2), 切线斜率k=e-1, 所以切线方程为y-(e-2)=(e-1)(x-1), 即(e-1)x-y-1=0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)若f(x)有极小值,且极小值小于0,求a的取值范围. 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 方法一　因为f(x)的定义域为R, 且f'(x)=ex-a, 若a≤0,则f'(x)>0对任意x∈R恒成立, 可知f(x)在R上单调递增, 无极值,不符合题意; 若a>0,令f'(x)>0,解得x>ln a, 令f'(x)<0,解得x<ln a, 可知f(x)在(-∞,ln a)上单调递减, 在(ln a,+∞)上单调递增, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 则f(x)有极小值f(ln a)=a-aln a-a3,无极大值, 由题意可得,f(ln a)=a-aln a-a3<0, 即a2+ln a-1>0, 令g(a)=a2+ln a-1,a>0, 则g'(a)=2a+>0, 可知g(a)在(0,+∞)上单调递增, 且g(1)=0, 不等式a2+ln a-1>0等价于g(a)>g(1), 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 解得a>1, 所以a的取值范围为(1,+∞). 方法二　因为f(x)的定义域为R, 且f'(x)=ex-a, 若f(x)有极小值, 则f'(x)=ex-a有零点, 令f'(x)=ex-a=0,可得ex=a, 可知y=ex与y=a有交点,则a>0, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 令f'(x)>0,解得x>ln a; 令f'(x)<0,解得x<ln a, 可知f(x)在(-∞,ln a)上单调递减, 在(ln a,+∞)上单调递增, 则f(x)有极小值f(ln a)=a-aln a-a3, 无极大值,符合题意, 由题意可得,f(ln a)=a-aln a-a3<0, 即a2+ln a-1>0, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 令g(a)=a2+ln a-1,a>0, 因为y=a2,y=ln a-1在(0,+∞)上均单调递增, 所以g(a)在(0,+∞)上单调递增, 且g(1)=0, 不等式a2+ln a-1>0等价于g(a)>g(1), 解得a>1, 所以a的取值范围为(1,+∞). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 19.已知数列{an}，{bn}的前n项和分别是Sn，Tn，满足a1=1，2Sn=anan+1且2bn=Tn+2. (1)求数列{an}，{bn}的通项公式； 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 因为a1=1，2Sn=anan+1， 所以a2=2， 2Sn-1=an-1an(n≥2)， 得anan+1-an-1an=2Sn-2Sn-1=2an⇒an+1-an-1=2， 所以an=n(n∈N+). 因为2bn=Tn+2， 所以2b1=T1+2⇒b1=2， 又由2bn-1=Tn-1+2(n≥2)得 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 2bn-2bn-1=Tn-Tn-1=bn⇒bn=2bn-1(n≥2)， 所以bn=2n(n∈N+). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)若数列{cn}对任意n∈N+都有+++…+=bn恒成立，求c1+c2+c3+ …+cn. 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 当n=1时，=b1=2⇒c1=2， 当n≥2时，+++…+=bn-1(n≥2)， 得=bn-bn-1=2n-1， 即cn=n·2n-1(n≥2)， 记Rn=c1+c2+c3+…+cn =2+2×21+3×22+4×23+…+n·2n-1， 则2Rn=2×2+2×22+3×23+4×24+…+(n-1)·2n-1+n·2n， Rn-2Rn=21+22+23+…+2n-1-n·2n=(1-n)·2n-2， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 则Rn=c1+c2+c3+…+cn =(n-1)·2n+2(n∈N+). $$