19.2.1 正比例函数 【八大题型】-2024-2025学年八年级下册数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破（人教版）

19.2.1 正比例函数 【考点梳理】 · 考点一：正比例函数的定义 · 考点二：由定义求正比例函数参数 · 考点三：正比例函数的图像 · 考点四：正比例函数的性质 · 考点五：正比例函数比较大小问题 · 考点六：利用正比例函数的图像和性质求参数 · 考点七：正比例函数与几何、规律交汇问题 · 考点八：正比例函数的综合问题 【知识梳理】 知识点1：正比例函数的定义：一般地,形如y=kx(k是常数,k≠0)的函数,叫做正比例函数,其中k叫做比例系数.例如y=-0.1x,y=2x都是正比例函数。 注意：(1)正比例函数y=kx必须满足两个条件：①比例系数k≠0,②自变量x的次数是1 (2)在判断一个函数是否是正比例函数时,只要看其是否满足y=kx(k≠0)的形式即可;若求函数的解析式,只要求出比例系数k的值,解析式就可以确定了。 (3)求正比例函数解析式采用待定系数法,即设所求解析式为y=kx,将图像上的点的坐标代入解析式,求出k即可。 知识点2：正比例函数的图像与性质 正比例函数y=kx(k是常数,k≠0)的图像是一条经过原点与点(1,k)的直线,我们称它为直线y=kx，其图像和性质如下表： y=kx k＞0 k＜0 图像 性质 (1)直线经过第一、第三象限； (2)y随x的增大而增大 (1)直线经过第二、第四象限； (2)y随x的增大而减小 (3)自变量x的取值范围是全体实数； (4)正比例函数y=kx中│k│越大，直线y=kx越靠近y轴，即直线与x轴正半轴的夹角越大；│k│越小，直线y=kx越靠近x轴，即直线与x轴正半轴的夹角越小 【题型探究】 题型一：正比例函数的定义 1．（24-25八年级下·河北石家庄）下列函数（1）；（2）；（3）；（4）；（5）（k为常数）中，正比例函数的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（2025八年级下·全国）已知函数：①；②；③；④，其中属于正比例函数的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（24-25七年级上·山东淄博·期末）下列函数（其中x是自变量）中，是正比例函数的个数有（   ） ①；②；③（k是常数）；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型二：由定义求正比例函数参数 4．（24-25八年级上·河北保定·期末）若是关于的正比例函数，则的值为（   ） A． B．0 C．1 D．2 5．（2025八年级下·全国·专题练习）若为正比例函数，则a的值为（   ） A．3 B． C． D．9 6．（2025八年级下·全国·专题练习）已知函数是正比例函数，则m的值是（　　） A．2 B． C． D． 题型三：正比例函数的图像 7．（2025八年级下·全国·专题练习）在直角坐标系中，随的增大而减小的正比例函数的图象是（　　） A． B． C． D． 8．（23-24八年级下·河北张家口·期末）在平面直角坐标系中，函数的图象大致是（   ） A．B． C． D． 9．（23-24八年级下·福建福州·期中）如图表示光从空气进入水中前与入水后的光路图，按下图建立平面直角坐标系，若设入水前与入水后光线所在直线的解析式分别为，，则关于与的关系，正确的是（     ） A．， B．， C． D． 题型四：正比例函数的性质 10．（24-25八年级下·云南昆明）已知正比例函数，下列结论正确的是（   ） A．图象是一条双曲线 B．图象必经过点 C．图象经过第一、三象限 D．y随x的增大而减小 11．（24-25八年级上·安徽亳州·期中）关于正比例函数，下列结论不正确的是（   ） A．点在函数的图象上 B．y随x的增大而减小 C．图象经过原点 D．图象经过二、四象限 12．（23-24八年级下·广东广州·期末）已知正比例函数，下列结论正确的是（   ） A．图象是一条射线 B．图象必经过点 C．图象经过第一、三象限 D．随的增大而减小 题型五：正比例函数比较大小问题 13．（24-25八年级上·河南平顶山·期中）已知点都在正比例函数的图象上，若，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D． 14．（24-25八年级上·浙江·期末）正比例函数的图象经过点，点和点，当时，下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 15．（24-25八年级上·山西晋中·期末）已知点都在经过原点的同一条直线上，则的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法确定 题型六：利用正比例函数的图像和性质求参数 16．（23-24八年级上·陕西宝鸡·期末）如图，点在直线上，过点作轴于点，作轴与直线交于点，若，则的值是（    ） A． B． C． D． 17．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）已知 、、是正比例函数图象上的三个点，当时，t的取值范围是 ． 18．（23-24八年级下·河南驻马店·期末）将的正方形网格如图所示的放置在平面直角坐标系中，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长都是 1，正方形的顶点都在格点上，若直线与正方形有两个公共点，则k的取值范围是 ． 题型七：正比例函数与几何、规律交汇问题 19．（22-23八年级下·福建厦门·期末）如图，平面直角坐标系中有，两点，将沿x轴向右平移后得到，点B的对应点F在直线上，则点D的坐标为 ． 20．（21-22八年级下·广东东莞·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，，……都在x轴上，点，，……都在直线上，，，，，……都是等腰直角三角形，且，则点的坐标是 ． 21．（2022·四川广安·二模）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，以点O为圆心、的长为半径画弧，交直线于点，过点作轴，交直线于点；以点O为圆心、的长为半径画弧，交直线于点，过点作轴，交直线于点；以点O为圆心、的长为半径画弧，交直线于点；…按照此规律进行下去，点的坐标为 ． 题型八：正比例函数的综合问题 22．（24-25八年级上·上海）如图，平面直角坐标系内有一矩形，直线与相交于点D，E是边上的一点，且，． (1)当点D的纵坐标为3时，求E点的坐标； (2)当的面积为4时，求E点的坐标． 23．（23-24八年级上·上海）已知正比例函数经过点A，点A在第四象限，过点A作轴，垂足为点H，点A的横坐标为3，且的面积为3． (1)求正比例函数的解析式； (2)在x轴上能否找到一点P，使的面积为5．若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由 (3)在（2）的条件下，是否在正比例函数上存在一点M，使得若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由 24．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，为正比例函数的图像上一点，轴，垂足为． (1)求的值． (2)①点从点出发，以每秒2个单位长度的速度，沿射线方向运动设运动时间为．过点作交直线于点，若，求的值． ②在点的运动过程中，是否存在这样的，使得为等腰三角形．若存在，请求出所有符合题意的的值；若不存在，请说明理由． 【双基达标】 一、单选题 1．（2025八年级下·全国）若为正比例函数，则的值为（　　） A． B． C． D．或 2．（24-25八年级上·贵州贵阳·期末）下列函数关系式中，y是x的正比例函数的是（　　） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·上海崇明·期末）若正比例函数的图象经过第二、四象限，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·山西晋中·期末）为了探究物质的质量与体积的关系，同学们找来甲、乙、丙、丁四种物质做实验，分别测量它们的体积和质量m（g），并在如图的平面直角坐标系内依次画出了相应的图象．根据图象及物理学知识，可判断这四种物质中密度最大的是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 5．（24-25八年级上·内蒙古包头·期末）若点和点在同一个正比例函数的图象上，则（    ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级上·重庆·期中）下列关于直线的说法不正确的是（   ） A．一定经过点 B．图象必过原点 C．y随x的增大而减小 D．图象过二、四象限 7．（2024·河北·模拟预测）下图表示光从空气进入水中的入水前与入水后的光路图，若按如图所示的方式建立平面直角坐标系，并设入水前与入水后光线所在直线的函数解析式分别为，，则关于与的关系，下列说法正确的是（     ） A． B． C． D． 8．（2024·吉林·模拟预测）如图是某函数的图象，当时，若在该函数图象上可以找到n个不同的点，使得恒成立，则n的值不可能是（    ） A．2 B．5 C．6 D．7 二、填空题 9．（24-25八年级下·湖南衡阳·阶段练习）点在正比例函数上， 则m为 ． 10．（24-25八年级下·吉林长春·阶段练习）已知正比例函数，如果随的增大而减小，那么的取值范围是 ． 11．（23-24八年级上·四川达州·期末）已知是正比例函数，且y随x的增大而减小，则m的值为 ． 12．（2025八年级下·全国·专题练习）已知点，是函数图象上的两个点，若，则 ．（填“”“”或“”） 13．（23-24八年级下·重庆·期中）如图，在平面直角坐标系中点的坐标为，点的坐标为，将沿轴向左平移得到，若点的坐标为，点落在直线上，则的值为 ． 14．（24-25八年级上·河北保定·期中）如图，在平面直角坐标系中，函数和的图象分别为直线，，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，…依次进行下去，则点的坐标为 ． 三、解答题 15．（24-25八年级下·云南昆明）已知y是x的正比例函数，且函数图象经过点． (1)求y与x的函数关系式． (2)当时，求对应的函数值y． (3)已知点在此函数图像上，求m的值． 16．（24-25八年级上·宁夏银川·期中）已知点在正比例函数的图象上． (1)求的值； (2)若点在（）中函数的图象上，求的值； (3)若点；；都在此正比例函数图象上，试比较，，的大小． 17．（23-24八年级下·广东东莞·期末）2024年3月22日是第三十二届“世界水日”，联合国呼吁全世界关注和重视水资源的重要性．水龙头关闭不严会造成滴水，为了调查漏水量与漏水时间的关系，小明同学在滴水的水龙头下放置了一个足够大的且能显示水量的量杯，每记录一次容器中的水量，如下表． 时间 0 5 10 15 20 25 量杯中的水量 0 15 30 45 60 75 (1)请根据上表的信息，在平面直角坐标系中描出表中数据对应的点，并用平滑曲线连接这些点； (2)观察平面直角坐标系中各点的分布规律，试求出y关于t的函数解析式； (3)请根据（2）中所求的函数解析式，估算这种漏水状态下一天的漏水量． 18．（23-24八年级下·河南洛阳·期中）已知正比例函数的图象经过横坐标为的点，过点作轴，垂足为点． (1)填空：点的坐标是（______，______），的面积为______； (2)点在轴上，点在第二象限，四边形是平行四边形，求四边形的周长． 19．（23-24八年级下·重庆沙坪坝·期末）如图，在中，，，．动点从点出发，沿着折线运动（点不与点重合）．设点运动的路程为，的面积为． (1)请直接写出关于的函数表达式并注明自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； (3)请结合你所画的函数图象，直接写出当时的值． 20．（22-23八年级上·上海黄浦·期中）已知：如图，直线上有一点，直线上有一点． (1)求点P和点Q的坐标（其中点Q的坐标用含k的代数式表示）． (2)过点P分别作轴，轴，过点Q分别作轴，如果的面积等于的面积的两倍，请求出k的值． (3)在（2）的条件下，在直线上是否存在点，使？如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 21．（21-22八年级下·陕西西安·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线y=kx过点B（m，6），过点B分别作x轴和y轴的垂线，垂足分别为点A，C，∠AOB=30°．动点P从点O出发，以每秒2个单位长度的速度向点B运动，动点Q从点B出发．以每秒个单位长度的速度向点C运动．点P，Q同时开始运动，当点P到达点B时，点P，Q同时停止运动，设运动时间为t秒． (1)求m与k的值； (2)若以点P，Q，B为顶点的三角形是等腰三角形，请求出t的值． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 19.2.1 正比例函数 【考点梳理】 · 考点一：正比例函数的定义 · 考点二：由定义求正比例函数参数 · 考点三：正比例函数的图像 · 考点四：正比例函数的性质 · 考点五：正比例函数比较大小问题 · 考点六：利用正比例函数的图像和性质求参数 · 考点七：正比例函数与几何、规律交汇问题 · 考点八：正比例函数的综合问题 【知识梳理】 知识点1：正比例函数的定义：一般地,形如y=kx(k是常数,k≠0)的函数,叫做正比例函数,其中k叫做比例系数.例如y=-0.1x,y=2x都是正比例函数。 注意：(1)正比例函数y=kx必须满足两个条件：①比例系数k≠0,②自变量x的次数是1 (2)在判断一个函数是否是正比例函数时,只要看其是否满足y=kx(k≠0)的形式即可;若求函数的解析式,只要求出比例系数k的值,解析式就可以确定了。 (3)求正比例函数解析式采用待定系数法,即设所求解析式为y=kx,将图像上的点的坐标代入解析式,求出k即可。 知识点2：正比例函数的图像与性质 正比例函数y=kx(k是常数,k≠0)的图像是一条经过原点与点(1,k)的直线,我们称它为直线y=kx，其图像和性质如下表： y=kx k＞0 k＜0 图像 性质 (1)直线经过第一、第三象限； (2)y随x的增大而增大 (1)直线经过第二、第四象限； (2)y随x的增大而减小 (3)自变量x的取值范围是全体实数； (4)正比例函数y=kx中│k│越大，直线y=kx越靠近y轴，即直线与x轴正半轴的夹角越大；│k│越小，直线y=kx越靠近x轴，即直线与x轴正半轴的夹角越小 【题型探究】 题型一：正比例函数的定义 1．（24-25八年级下·河北石家庄）下列函数（1）；（2）；（3）；（4）；（5）（k为常数）中，正比例函数的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查了正比例函数的定义，形如（k为常数，）的函数叫做正比例函数，由此判断即可． 【详解】解：(1)是正比例函数； (2)，是一次函数，不是正比例函数； (3)不是正比例函数； (4)不是正比例函数； (5)（k是常数），当时，不是函数，当时，是正比例函数； 所以是正比例函数的个数有1个， 故选：A． 2．（2025八年级下·全国）已知函数：①；②；③；④，其中属于正比例函数的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查了正比例函数的定义，熟练掌握正比例函数的定义是解题的关键．根据正比例函数的定义：形如（k为常数且），逐一判断即可解答． 【详解】解：①多了常数，不是正比例函数； ②符合正比例函数的定义； ③不是正比例函数； ④不是正比例函数； 其中属于正比例函数只有②， 故选A． 3．（24-25七年级上·山东淄博·期末）下列函数（其中x是自变量）中，是正比例函数的个数有（   ） ①；②；③（k是常数）；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查正比例函数的判断，根据形如，这样的函数叫做正比例函数，进行判断即可． 【详解】解：，是正比例函数，故①正确； ，整理，得：，是正比例函数，故②正确； （k是常数），当时，不是正比例函数，故③错误； ，不是正比例函数，故④错误； 故选B． 题型二：由定义求正比例函数参数 4．（24-25八年级上·河北保定·期末）若是关于的正比例函数，则的值为（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【分析】本题考查了正比例函数的定义．由是关于的正比例函数，可知中，求解作答即可． 【详解】解：∵是关于的正比例函数， ∴， 解得，， 故选：B． 5．（2025八年级下·全国·专题练习）若为正比例函数，则a的值为（   ） A．3 B． C． D．9 【答案】B 【分析】本题主要考查了正比例函数的定义，难度不大，注意基础概念的掌握． 根据正比例函数的定义条件：k为常数且，自变量次数为1，即可列出有关a的方程，求出a值． 【详解】解：根据正比例函数的定义：， 解得：， 又， 故． 故选：B． 6．（2025八年级下·全国·专题练习）已知函数是正比例函数，则m的值是（　　） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正比例函数的定义，理解正比例函数的定义是解题的关键． 根据正比例函数的定义，可得，，即可求解． 【详解】解：根据题意，得，， 解得． 故选：C． 题型三：正比例函数的图像 7．（2025八年级下·全国·专题练习）在直角坐标系中，随的增大而减小的正比例函数的图象是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正比例函数图象与性质，熟练掌握正比例函数的图象与性质：正比例函数的图象是一条经过原点的直线，当，直线经过第一、三象限；当，直线经过第二、四象限是解题的关键．利用正比例函数的性质可判断，然后根据正比例函数的图象经过原点和第二、四象限进行判断． 【详解】解：∵正比例函数，随的增大而减小， ∴， ∴直线经过原点和第二、四象限． 故选：C． 8．（23-24八年级下·河北张家口·期末）在平面直角坐标系中，函数的图象大致是（   ） A．B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了正比例函数的图象．根据题意得到函数的图象经过原点、第一、三象限，即可求解． 【详解】解：A、∵， ∴函数的图象经过原点、第一、三象限，如图，． 故选：A 9．（23-24八年级下·福建福州·期中）如图表示光从空气进入水中前与入水后的光路图，按下图建立平面直角坐标系，若设入水前与入水后光线所在直线的解析式分别为，，则关于与的关系，正确的是（     ） A．， B．， C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正比例函数的图象与性质，解题关键是取横坐标相同的点，利用纵坐标的大小关系得到比例系数的关系．利用两个函数图象的位置关系取横坐标相同的点利用纵坐标的大小列出不等式，即可求解． 【详解】解：如图，在两个图象上分别取横坐标为的两个点A和B， 则，， ∵， ∴， ∵ ∴ 当取横坐标为正数时，同理可得， 综上所述， 故选：D 题型四：正比例函数的性质 10．（24-25八年级下·云南昆明）已知正比例函数，下列结论正确的是（   ） A．图象是一条双曲线 B．图象必经过点 C．图象经过第一、三象限 D．y随x的增大而减小 【答案】C 【分析】本题主要考查的是正比例函数的图象和性质． 根据正比例函数的图象和性质逐一判断即可． 【详解】解：A、正比例函数，图象是一条直线，不符合题意； B、当时，，图象不经过点，不符合题意； C、，图象经过第一、三象限，符合题意； D、，y随x的增大而增大，不符合题意． 故选：C． 11．（24-25八年级上·安徽亳州·期中）关于正比例函数，下列结论不正确的是（   ） A．点在函数的图象上 B．y随x的增大而减小 C．图象经过原点 D．图象经过二、四象限 【答案】A 【分析】本题考查了正比例函数的图象与性质．根据正比例函数的图象与性质逐项判断即可． 【详解】解：对于正比例函数，，图象过原点，经过二、四象限，且随的增大而减小， 当时，，即点在函数的图象上； 所以B、C、D三个选项正确，选项A不正确； 故选：A． 12．（23-24八年级下·广东广州·期末）已知正比例函数，下列结论正确的是（   ） A．图象是一条射线 B．图象必经过点 C．图象经过第一、三象限 D．随的增大而减小 【答案】C 【分析】本题主要考查的是正比例函数的图象和性质．根据正比例函数的图象和性质逐一判断即可． 【详解】解：A、正比例函数，图象是一条直线，故该选项不符合题意； B、当时，，图象不经过点，故该选项不符合题意； C、，图象经过第一、三象限，故该选项符合题意； D、，y随x的增大而增大，故该选项不符合题意． 故选：C． 题型五：正比例函数比较大小问题 13．（24-25八年级上·河南平顶山·期中）已知点都在正比例函数的图象上，若，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查正比例函数的性质，解题的关键是根据正比例函数的斜率判断函数的增减性． 对于正比例函数（为常数，），当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小．先根据正比例函数的表达式确定其增减性，再根据自变量的大小关系判断函数值的大小关系． 【详解】在函数中，，所以该函数随的增大而增大． 已知，根据函数的增减性可得． 故选：A． 14．（24-25八年级上·浙江·期末）正比例函数的图象经过点，点和点，当时，下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】本题考查了正比例函数的性质，熟练掌握正比例函数的性质是解题的关键．根据正比例函数的性质，逐一判定各个选项即可． 【详解】解：正比例函数的图象经过点，点和点， ，，， 当时， 若，则，同为正，或，同为负，， 故或，故选项A错误； 若，则，异号，故，， 当时，； 当时，；故选项B错误； 若，则，异号，故，，故，故选项C错误； 若，则，异号，故，，故，故选项D正确； 故选D． 15．（24-25八年级上·山西晋中·期末）已知点都在经过原点的同一条直线上，则的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，正比例函数的性质，先由已知求得直线解析式，再根据正比例函数的性质可得的大小关系． 【详解】解：根据题意可设直线解析式为， 将代入得， 解得， ∴直线解析式为， ∵，， ∴． 故选：B． 题型六：利用正比例函数的图像和性质求参数 16．（23-24八年级上·陕西宝鸡·期末）如图，点在直线上，过点作轴于点，作轴与直线交于点，若，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了正比例函数的图象与性质，设，得出，结合得出，从而得出，代入，计算即可得出答案，熟练掌握一次函数的图象与性质是解此题的关键． 【详解】解：设， 点在直线上， ， ， ， ， ， ， 点在上， ， ， 故选：D． 17．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）已知 、、是正比例函数图象上的三个点，当时，t的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是正比例函数图象上点的坐标特点，根据正比例函数图象上点的坐标特征求得，再根据正比例函数的性质即可得出t的取值范围． 【详解】解：设正比例函数解析式为， ∵、、是正比例函数图象上的三个点， ∴， 两个方程相减得，解得， ∴正比例函数解析式为， ∴正比例函数的值随增大而减小， 当时，， ∵是正比例函数图象上的点， ∴当时，t的取值范围是． 故答案为：． 18．（23-24八年级下·河南驻马店·期末）将的正方形网格如图所示的放置在平面直角坐标系中，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长都是 1，正方形的顶点都在格点上，若直线与正方形有两个公共点，则k的取值范围是 ． 【答案】 【分析】分别确定点A和点C的坐标，代入正比例函数的解析式即可求得k的取值范围． 本题考查了正比例函数的性质，解题的关键是求得点A和点C的坐标． 【详解】解：由题意得：点A的坐标为，点C的坐标为， 当正比例函数经过点A时，， 当经过点C时，， 解得， ∵直线与正方形有两个公共点， ∴k的取值范围是， 故答案为：． 题型七：正比例函数与几何、规律交汇问题 19．（22-23八年级下·福建厦门·期末）如图，平面直角坐标系中有，两点，将沿x轴向右平移后得到，点B的对应点F在直线上，则点D的坐标为 ． 【答案】 【分析】先根据平移的性质求出点的纵坐标为3，代入可得点的坐标，从而可得平移距离，再根据点坐标的平移变换规律即可得． 【详解】解：将沿轴向右平移后得到，且， 点的纵坐标为3， 当时，，解得， ， 将沿轴向右平移个单位长度后得到， 平移后，点与点是对应点，且， ，即， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正比例函数、点坐标的平移变换，熟练掌握点坐标的平移变换是解题关键． 20．（21-22八年级下·广东东莞·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，，……都在x轴上，点，，……都在直线上，，，，，……都是等腰直角三角形，且，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】由得到点的坐标，然后利用等腰直角三角形的性质得到点的坐标，进而得到点的坐标，然后再一次类推得到点的坐标． 【详解】解： 点的坐标为， 是等腰直角三角形， ， 是等腰直角三角形， ， 为等腰直角三角形， ， ， 同理可得， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正比例函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形的性质，勾股定理的应用，解题的关键是通过等腰直角三角形的性质依次求出系列点B的坐标找出规律． 21．（2022·四川广安·二模）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，以点O为圆心、的长为半径画弧，交直线于点，过点作轴，交直线于点；以点O为圆心、的长为半径画弧，交直线于点，过点作轴，交直线于点；以点O为圆心、的长为半径画弧，交直线于点；…按照此规律进行下去，点的坐标为 ． 【答案】 【分析】由A1（1，2），OA1=OB1，设，可求得B1为（2，1），同理可得A2（2，4），B2（4，2），找出规律，即可求得B2022的坐标． 【详解】解：∵点B1在直线上， ∴设B1的坐标为， ∵A1（1，2），OA1=OB1， ∴ ， 解得：a1=2，a2=-2（舍去）， ∴设B1的坐标为（2，1）， 同理可得： A2的坐标为（2，4），B2的坐标为（4，2）， A3的坐标为（4，8），B3的坐标为（8，4）， … 归纳可得：A2022的坐标为，B2022的坐标为， 故答案为． 【点睛】本题考查了图形的坐标规律的探究，正比例函数的性质，勾股定理的应用，根据题意求得点的坐标之间的内在联系，是解决问题的关键． 题型八：正比例函数的综合问题 22．（24-25八年级上·上海）如图，平面直角坐标系内有一矩形，直线与相交于点D，E是边上的一点，且，． (1)当点D的纵坐标为3时，求E点的坐标； (2)当的面积为4时，求E点的坐标． 【答案】(1) (2)E点的坐标为 【分析】该题主要考查了全等三角形的性质和判定，勾股定理，解一元二次方程等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． （1）证明，得出，当点D的纵坐标为3时，得出，即可求解． （2）根据，得出，设点D的坐标为，则，求出即可得出点D的坐标，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意可得，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 当点D的纵坐标为3时，代入得， 则，，， ∴E点的坐标为． （2）∵， ∴， 设点D的坐标为， 则， ∴， 解得：（舍去）或． ∴点D的坐标为， ∴，，， ∴E点的坐标为． 23．（23-24八年级上·上海）已知正比例函数经过点A，点A在第四象限，过点A作轴，垂足为点H，点A的横坐标为3，且的面积为3． (1)求正比例函数的解析式； (2)在x轴上能否找到一点P，使的面积为5．若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由 (3)在（2）的条件下，是否在正比例函数上存在一点M，使得若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由 【答案】(1)正比例函数的解析式是 (2)P点坐标为或 (3)点的坐标为或 【分析】本题考查了正比例函数图象的性质、待定系数法求正比例函数的解析式．注意点P的坐标有两个． （1）根据题意求得点A的坐标，然后利用待定系数法求得正比例函数的解析式； （2）利用三角形的面积公式求得，然后根据坐标与图形的性质求得点P的坐标． （3）设点，当或时，分点M在线段上与在线段延长线两种情况，由列方程，从而可得点M的坐标． 【详解】（1）解：∵点A的横坐标为3，且的面积为3 ∴， 解得，， ∴点A的坐标为， ∵正比例函数经过点A， ∴， 解得， ∴正比例函数的解析式是； （2）解：存在． 设， ∵的面积为5，点A的坐标为， ∴， ∴或， ∴P点坐标为或． （3）解：设，如图， ①点在上时， 当时，， 又, 若时，， ∴， 解得，， ∴， ∴点的坐标为； 当点时，， 若时，， ∴， 解得，， ∴， ∴点的坐标为； ②点在的延长线上时， 当时，， 若时，， ∴， 解得，， ∴， ∴点的坐标为； 当点时，， 若时，同理可得，点的坐标为； 综上，点的坐标为或． 24．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，为正比例函数的图像上一点，轴，垂足为． (1)求的值． (2)①点从点出发，以每秒2个单位长度的速度，沿射线方向运动设运动时间为．过点作交直线于点，若，求的值． ②在点的运动过程中，是否存在这样的，使得为等腰三角形．若存在，请求出所有符合题意的的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①或；②当的值为2.5或4或6.4时，为等腰三角形，理由见解析 【分析】（1）把代入求解即可得到结论； （2）①根据两点之间距离公式得到，再由全等三角形的性质得到．分两种情况讨论：当点在线段上时；当点在线段的延长线上时，列方程求解即可得到结论；②由等腰三角形性质，分三种情况讨论：若；若；若，列方程求解即可得到结论． 【详解】（1）解：∵在正比例函数的图象上， ∴把代入，得， ∴的值为； （2）解：①由（1）知， ∴， ①若，则． 当点在线段上时，如图所示： 得，即，解得； 当点在线段的延长线上时，如图所示： 得，即，解得； 综上所述，的值是或； ②若，如图所示： 则点在的垂直平分线上， ， ，即， 此时， ∴； 若，如图所示： 在中，，， ，即， ∴； 若，过点作于点，如图所示： 由等面积法确定， 在中，，，则由勾股定理可得， 则由等腰三角形三线合一性质可知，，即， ∴． 综上所述，当的值为2.5或4或6.4时，为等腰三角形． 【点睛】本题考查了正比例函数的综合题，涉及正比例函数图象与性质、两点之间距离公式、勾股定理、全等三角形的性质、等腰三角形的性质等知识，根据全等三角形的性质、等腰三角形的性质分类讨论是解题的关键． 【双基达标】 一、单选题 1．（2025八年级下·全国·专题练习）若为正比例函数，则的值为（　　） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】本题考查了正比例函数的定义，熟知正比例函数的定义是解题的关键．形如（为常数，）的函数叫做正比例函数，由此计算即可． 【详解】解：根据题意得，， 解得或， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 2．（24-25八年级上·贵州贵阳·期末）下列函数关系式中，y是x的正比例函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是正比例函数的定义，一般地，形如（k是常数，）的函数叫做正比例函数．根据正比例函数的定义解答即可． 【详解】解：A、，不是正比例函数，不符合题意； B、，不是正比例函数，不符合题意； C、，是正比例函数，符合题意； D、，不是正比例函数，不符合题意． 故选：C． 3．（24-25八年级上·上海崇明·期末）若正比例函数的图象经过第二、四象限，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了正比例函数的图象与所经过的象限的问题．根据正比例函数的图象经过第二、四象限列出关于m的不等式，求出m的取值范围即可． 【详解】解：∵正比例函数的图象经过第二，四象限， ∴， ∴． 故选：C． 4．（24-25八年级上·山西晋中·期末）为了探究物质的质量与体积的关系，同学们找来甲、乙、丙、丁四种物质做实验，分别测量它们的体积和质量m（g），并在如图的平面直角坐标系内依次画出了相应的图象．根据图象及物理学知识，可判断这四种物质中密度最大的是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】D 【分析】本题考查比较正比例函数的函数值大小，根据图象法直接进行判断即可． 【详解】解：由图象可知，物质的质量与体积成正比， ∴当体积相同时，密度越大，质量越大， ∵当体积为时，丁的质量最大， ∴这四种物质中密度最大的是丁； 故选D． 5．（24-25八年级上·内蒙古包头·期末）若点和点在同一个正比例函数的图象上，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了正比例函数图象上点的坐标特征，比较函数值的大小，将点代入解析式，根据，即可解决问题． 【详解】解：根据题意得，， ， ，即，故选项B，C，D错误， ， ，选项A正确； 故选：A． 6．（24-25八年级上·重庆·期中）下列关于直线的说法不正确的是（   ） A．一定经过点 B．图象必过原点 C．y随x的增大而减小 D．图象过二、四象限 【答案】A 【分析】本题主要考查了正比例函数的图象与性质．根据正比例函数的图象与性质逐项分析判断即可． 【详解】解：∵， ∴当时，，故图象经过点，选项A不正确，符合题意； 当时，，故图象必过原点，选项B正确，不符合题意； ∵， ∴图象过二，四象限，随的增大而减小，选项CD正确，不符合题意； 故选：A． 7．（2024·河北·模拟预测）下图表示光从空气进入水中的入水前与入水后的光路图，若按如图所示的方式建立平面直角坐标系，并设入水前与入水后光线所在直线的函数解析式分别为，，则关于与的关系，下列说法正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正比例函数的图像与性质，解题关键是熟练掌握正比例函数的图像与性质．根据函数图像的增减性，判断选项A、B；利用两个函数图像的位置关系，取横坐标相同的点和，利用纵坐标的大小列出不等式，即可判断选项C、D． 【详解】解：由图像可知，随的增大而减小，随的增大而减小， 所以，故选项A、B错误，不符合题意； 如下图，在两个图像上分别取横坐标为的两个点和（）， 则，， ∵，即 ∴， 又∵， ∴，，故选项C错误，不符合题意，而选项D正确，符合题意． 故选：D 8．（2024·吉林·模拟预测）如图是某函数的图象，当时，若在该函数图象上可以找到n个不同的点，使得恒成立，则n的值不可能是（    ） A．2 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【分析】本题考查了函数图象，学会利用数形结合的思想解决问题是解题关键． 设，则在该函数图象上n个不同的点，，也都在正比例的图象上，画出函数图象，观察正比例函数与其交点情况即可求解． 【详解】解：设，则在该函数图象上n个不同的点，，也都在，的图象上，画出函数图象观察交点即可求解． 如图1 正比例函数与该函数图象有2个交点，故A不符合； 如图2 正比例函数与该函数图象有5个交点，故B不符合； 如图3 正比例函数与该函数图象有6个交点，故C不符合； 故选：D． 二、填空题 9．（24-25八年级下·湖南衡阳·阶段练习）点在正比例函数上， 则m为 ． 【答案】 【分析】此题考查了正比例的性质，把点的坐标代入即可求出答案． 【详解】解：∵点在正比例函数上， ∴ 解得， 故答案为： 10．（24-25八年级下·吉林长春·阶段练习）已知正比例函数，如果随的增大而减小，那么的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了正比例函数的图象与性质．熟练掌握正比例函数的图象与性质是解题的关键．由正比例函数，y随x的增大而减小，可得，计算求解即可． 【详解】解：∵正比例函数，y随x的增大而减小， ∴， 解得，， 故答案为：． 11．（23-24八年级上·四川达州·期末）已知是正比例函数，且y随x的增大而减小，则m的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正比例函数的性质，根据题意得，进行计算即可得；掌握正比例函数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵是正比例函数，且y随x的增大而减小， ∴， 解得，， 故答案为：． 12．（2025八年级下·全国·专题练习）已知点，是函数图象上的两个点，若，则 ．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了正比例函数的图象与性质．根据正比例函数中，可知随的增大而减小，因为，所以，从而可得． 【详解】解：一次函数中， 随的增大而减小， ， ， ． 故答案为： ． 13．（23-24八年级下·重庆·期中）如图，在平面直角坐标系中点的坐标为，点的坐标为，将沿轴向左平移得到，若点的坐标为，点落在直线上，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平移的基本规律，正比例函数解析式的确定，熟记平移的规律是解题的关键． 确定向左平移的距离为，确定点的坐标为，将其代入中，即可得出结果． 【详解】解：∵点B的坐标为，将沿x轴向左平移得到，且点的坐标为， ∴向左平移的距离为， ∵点A的坐标为， ∴点的坐标为， ∵点落在直线， ∴，解得， 故答案为：． 14．（24-25八年级上·河北保定·期中）如图，在平面直角坐标系中，函数和的图象分别为直线，，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，…依次进行下去，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中的找规律问题，解本题的关键在找出要求的点所在的象限，然后再根据点所在的象限找出这个象限的点的规律．根据题意，先找到点所在的象限，然后再根据第三象限的点的变化，找出第三象限的点的规律，即可得出答案． 【详解】解：∵过点作轴的垂线交于点， ∴， 把代入得，即， 把代入得，即， 同理可得，， ∵点在4条射线上运动，， ∴点在第四象限， ∵，，， ∴第四象限的点的规律为：， ∴． 故答案为：． 三、解答题 15．（24-25八年级下·云南昆明·阶段练习）已知y是x的正比例函数，且函数图象经过点． (1)求y与x的函数关系式． (2)当时，求对应的函数值y． (3)已知点在此函数图像上，求m的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了求正比例函数解析式，求正比例函数自变量的值和函数值，正确求出正比例函数解析式是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）把代入（1）所求解析式中求出对应的函数值即可； （3）把代入（1）所求解析式中求出对应的自变量的值即可． 【详解】（1）解：设， 把代入中得：，解得， ∴y与x的函数关系式为； （2）解：在中，当时，； （3）解：在中，当时，， ∵点在此函数图像上， ∴． 16．（24-25八年级上·宁夏银川·期中）已知点在正比例函数的图象上． (1)求的值； (2)若点在（）中函数的图象上，求的值； (3)若点；；都在此正比例函数图象上，试比较，，的大小． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】（）根据待定系数法即可求解； （）把点代入正比例函数解析式为中即可求出的值； （）根据正比例函数，随的增大而减小即可求解； 本题考查了正比例函数的性质，熟练掌握正比例函数的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：∵点在正比例函数的图象上， ∴， ∴； （2）解：由（）得， ∴正比例函数解析式为， ∵点在正比例函数解析式为的图象上， ∴， ∴； （3）解：由（）得正比例函数解析式为， ∵， ∴随的增大而减小， ∵， ∴． 17．（23-24八年级下·广东东莞·期末）2024年3月22日是第三十二届“世界水日”，联合国呼吁全世界关注和重视水资源的重要性．水龙头关闭不严会造成滴水，为了调查漏水量与漏水时间的关系，小明同学在滴水的水龙头下放置了一个足够大的且能显示水量的量杯，每记录一次容器中的水量，如下表． 时间 0 5 10 15 20 25 量杯中的水量 0 15 30 45 60 75 (1)请根据上表的信息，在平面直角坐标系中描出表中数据对应的点，并用平滑曲线连接这些点； (2)观察平面直角坐标系中各点的分布规律，试求出y关于t的函数解析式； (3)请根据（2）中所求的函数解析式，估算这种漏水状态下一天的漏水量． 【答案】(1)见解析； (2)； (3) 【分析】本题考查的是在坐标系内描点，利用待定系数法求解函数的解析式，求解函数的函数值，熟悉利用待定系数法求解正比例函数是解析式是解本题的关键． （1）根据表格信息，在平面直角坐标系内描出各点连线即可； （2）根据图象得，y是关于t的正比例函数，再利用待定系数法求解函数的解析式即可； （3）把代入函数的解析式进行求解即可． 【详解】（1）解：如图所示． （2）根据图象得，y是关于t的正比例函数， 设函数解析式为． 把代入，得． 解得． ∴y关于t的函数解析式为． （3）当时， ． 答：估计这种漏水状态下一天的漏水量有． 18．（23-24八年级下·河南洛阳·期中）已知正比例函数的图象经过横坐标为的点，过点作轴，垂足为点． (1)填空：点的坐标是（______，______），的面积为______； (2)点在轴上，点在第二象限，四边形是平行四边形，求四边形的周长． 【答案】(1)，，； (2)四边形是周长为． 【分析】（）将点的横坐标为代入正比例函数解析式即可求出纵坐标，再由点坐标即可求出的面积； （）根据点的坐标利用勾股定理分别求出长，即可得到平行四边形周长； 本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，坐标与图形，勾股定理，平行四边形的周长，熟练掌握函数图象上点的坐标满足函数解析式是解题的关键．， 【详解】（1）解：把代入得， ∴点的坐标为， 的面积为， 故答案为：，，； （2）如下图，轴于点， 点的坐标为， ， 点的坐标为， ， 由勾股定理得， 四边形是平行四边形， ，， 四边形是周长为． 19．（23-24八年级下·重庆沙坪坝·期末）如图，在中，，，．动点从点出发，沿着折线运动（点不与点重合）．设点运动的路程为，的面积为． (1)请直接写出关于的函数表达式并注明自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； (3)请结合你所画的函数图象，直接写出当时的值． 【答案】(1) (2)图像见详解，性质：当时，y随着x的增大而增大（答案不唯一） (3)1或4 【分析】（1）分类讨论，表示出底和高，直接求解即可； （2）画出正比例函数和一次函数的图像，找出两点，连接即可，注意端点是空心，性质可以写正比例函数和一次函数的性质即可； （3）从图像直接观察即可求解． 【详解】（1）解：如图：当， 如图：当时， ∴， 综上所述：； （2）解：函数的图象为， 一条性质：当时，y随着x的增大而增大（答案不唯一）； （3）解：观察图象可得时或． 【点睛】本题考查了求函数解析式的求解，画函数图像，已知函数值求自变量的值，正比例函数和一次函数的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 20．（22-23八年级上·上海黄浦·期中）已知：如图，直线上有一点，直线上有一点． (1)求点P和点Q的坐标（其中点Q的坐标用含k的代数式表示）． (2)过点P分别作轴，轴，过点Q分别作轴，如果的面积等于的面积的两倍，请求出k的值． (3)在（2）的条件下，在直线上是否存在点，使？如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)存在，或 【分析】（1）将点代入求得，即可求得点的坐标，将代入即可求得的坐标， （2）根据，，求得面积根据题意列出方程，即可求解； （3）根据（2）的结论，以及列出方程，即可求解． 【详解】（1）解：∵点在直线上 ∴， ∴, ∵点在直线 ∴ 解得， ∴， （2）∵ ∴ ∵，， ∴，， ∴，，，， ， ， ∵的面积等于的面积的两倍 ∴， 即， 解得，则， （3）当时，，则，的解析式为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴当时，， ∴， 当时，， ∴; 综上所述，点的坐标为或． 【点睛】本题考查了正比例函数的性质，坐标与图形，分类讨论是解题的关键． 21．（21-22八年级下·陕西西安·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线y=kx过点B（m，6），过点B分别作x轴和y轴的垂线，垂足分别为点A，C，∠AOB=30°．动点P从点O出发，以每秒2个单位长度的速度向点B运动，动点Q从点B出发．以每秒个单位长度的速度向点C运动．点P，Q同时开始运动，当点P到达点B时，点P，Q同时停止运动，设运动时间为t秒． (1)求m与k的值； (2)若以点P，Q，B为顶点的三角形是等腰三角形，请求出t的值． 【答案】(1)， (2)或4或秒 【分析】（1）由含30°角的直角三角形的性质求解即可； （2）分三种情况讨论：①当BQ=BP时，求得t=24-12；②当PQ=PB时，过点P作PM⊥BQ于点M，求得t=4；③当QB=QP时，过点Q作ON⊥BP于点N，求得t=． 【详解】（1）解：∵BA⊥OA， ∴∠BAO=90°， ∵∠AOB=30°，B（m，6）， ∴OA=m，AB=6， ∴OB=2AB=12，OA=6， ∴m=6，即B（6，6）， ∵直线y=kx过点B（6，6）， ∴k=； （2）解：分三种情况： ①当BQ=BP时，t=12-2t， 解得t=24-12； ②当PQ=PB时，如图2， 过点P作PM⊥BQ于点M， ∴BM=t， ∴t=（12-2t）， 解得t=4； ③当QB=QP时，如图3， 过点Q作ON⊥BP于点N， 则BN=6-t， ∴t-6=•t， 解得t=； 综上所述，当△PQB为等腰三角形时，t的值为24-12或4或秒． 【点睛】本题是一次函数的综合题，熟练掌握一次函数的图象及性质，等腰三角形的性质，分类讨论是解题的关键， 2 学科网（北京）股份有限公司 $$